复数与复变函数-难题解答
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第一章 复数与复变函数
§习题
2．设12,,...,n z z z 是任意n 个复数，证明：1
1
||||n n
k
k
k k z z ==≤∑∑，并给出不等式中等号成立
的条件.
（提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是12,,...,n z z z 线性相关）. 3(Re Im )Re Im .
z z z z z +≤≤+
证明：设z a ib =+，则Re z a =，Im z b =，||z =
.由题2知，
z a bi a b ≤+=+
故22
22
2222
2
22||2
2
22
a a
b b
a b a b a b ab z +++++=
=
+≤+=，
(Re Im )Re Im .
z z z z z +≤≤+
4．若12||,0z z λλ=>，证明：21212||z z z z λλ-=-. 证明：不妨设2
2
2
21210.z z z z λ≠=
则2
2
2
2212122
121
112z z z z z z z z z z z z λλ-=-=-=-
即有21212||z z z z λλ-=-成立.
5．设|a |<1，证明：若|z|=1，则
11z a
az
-=-.
证明：由1z =得1zz =
故11z a z azz z az az -=-=-=-
即证之.
6．设|a |<1，|z|<1.证明：
11z a
az
-<-.
证明：提示：（
11z a
az
-<-⇔2222||2Re ||12Re ||||;z az a az a z -+<-+
而2
2
2
2
2
2
1||||||||(1||)(1||)0;a z a z a z --+=-->）
7．设12,,...,n z z z ，12,,...,n ωωω是任意2n 个复数，证明复数形式的Lagrange 等式：
22
2
2
1
1
1
1()(),n
n
n
k j j j
j j j k j j j j k n
z z z z ω
ωωω===≤<≤=-
-∑∑∑∑
并由此推出Cauchy 不等式：
22
2
1
11
n
n
n
j j
j j j j j z z ω
ω===⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
∑∑∑. 证明：提示（记1212......n n z z z A ωωω⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
1112'
2212...det det()0.........n n n n z z z z z AA z ωωωωωω⎛⎫
⎪
⎛⎫ ⎪=≥ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎪⎝⎭
， 2
det det ||j
k j
j j k k j j k k
k z z z z z z ωωωωωω⎛⎫
⎛⎫=- ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则原式=2
10k j j k j k n z z ωω≤<≤-≥∑.(1) 另外，2
111
112
22212
11...det det .........n n
j
j j j j n n
n
n j j j n j j n z z z z z z z z z ωωωωωωωωω====⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪
=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭∑∑∑∑ 2
2
2
1
1
1
()()0n
n
n
j
j
j j
j j j z
z ωω
====-
≥∑
∑∑.（2）
由（1）=（2）可得证.
§习题
1． 把复数1cos sin z i θθ=++写成三角形式. 解：1111112
2
2
2
2
2
1()2Re (2cos )2
i i i i i i i z e e e
e
e
e
e
θθθθθθθ
θ
-=+=+==.
2． 问取何值时有(1)(1)n
n
i i +=-. 解：提示（41,1,1k i
i i k N i
+==∈-）
3． 证明：
1
sin
sin()22cos ,2sin
2n
k n k θ
θθθ
=++=
∑ 0
1
cos
cos()22sin ,2sin
2
n
k n k θ
θθθ
=-+=
∑ 证明：由于
(1)201
sin
121sin 2
in i n n
ik i k n e e
e e θθ
θ
θ
θθ+=+-=
=
-∑，则即可得0
cos Re n
n
ik
k k k e θ
θ===∑∑，
sin n
n
ik
k k k im e θθ===∑∑.
4． 证明：123z z z ∆和123ωωω∆同向相似的充分必要条件为1
12
23
31
11
z z z ωωω=0. 证明：提示（123z z z ∆和123z z z ∆同向相似,a b C ⇔∃∈，使得(1,2,3)k k az b k ω=+=
111122223333111,,111w z w z w a z b w z w z w z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⇔=+⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
线性相关112
2331det 10.1
z w z w z w ⇔=）
5． 设12z z ≠，证明：z 位于以1z 和2z 为端点的开线段上，当且仅当存在(0,1)λ∈，使得
12(1)z z z λλ=+-；