组合及组合数公式作业
7.3.1组合与组合数公式
问题1：高二年段12个班要举行篮球赛，如果任意两 个班都比赛一次，需要安排几场比赛？ 问题2：列车从甲站到乙站中途停车8次，单程需要制 作多少种不同的火车票？
问题3：汽车公司从12辆客车中选3辆客车运送高二年 级同学，有多少种不同选法？
你能说说上面3问题 的特点吗？
从n个不同元素中取出m m n 个不同 元素，不论次序的构成一组, 称为一个组合。
3解法1
C C C C 9 604种. 解法2 抽出的 3 件产品中至少有 1件是次品 的抽法的种数 , 也就是从 100件中抽出 3 件的 抽法种数减去 3件中都是合格品的抽法 的种 数,即
3 C100 C3 . 98 161 700 152 096 9 604种
组合
排列
abc bac cab acb bca cba abd bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
m n m n
abc abd acd bcd
上述解释可以推广到一 般情形. 求从 n个不同元素中取出 m个元素的排列数 , 可看作由以下 2个步骤得到的 :
性质1
m n
nm n
在推导性质1时, 我们运 用了证明组合相等 的一个常用而重要的方 法,即通过阐明等号 两边的不同表达式实际 上是对同一个组合 问题的两个不同的计数 方案, 从而达到证明 的目的 .
探究 你能根据上述的思想方 法, 利用分类 计数原理 ,证明下列组合数的性质 吗?
性质 2
m m1 Cm C C . n1 n n
m n m n m m
数公式. 因为 A m n
第一课时 组合与组合数公式
1．2.2第一课时组合与组合数公式一、选择题1．下列等式不正确的是()A．C m n＝n！m！(n－m)！B．C m n＝C n－mnC．C m n＝m＋1n＋1C m＋1n＋1D．C m n＝C m＋1n＋13．平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成平行四边形的个数为()A．A2m A2n B．A2m C2n C．A2n C2m D．C2n C2m4．若C3n＋618＝C4n－218，则n的值为()A．8 B．2 C．2或8 D．185．现有男、女学生共8人，从男生中选2人、女生中选1人分别参加数学、物理、化学竞赛，共有90种不同的方案，那么男、女学生的人数分别为()A．2,6 B．3,5 C．5,3 D．6,26．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有() A．60种B．63种C．65种D．66种二、填空题7．若C n＋1n＋3＝C n－1n＋1＋C n n＋1＋C n－2n，则n＝________.8．C45＋C46＋C47＋C48＝________.9．若C7n＋1－C7n＝C8n，则C n n＋2＝________.三、解答题10．已知1C m5－1C m6＝710C m7，求m的值．11．计算C111＋C211＋C311＋C411＋C511.12．计算C3n13＋n＋C3n－112＋n＋C3n－211＋n＋…＋C17－n2n.13．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种1．2.2 第一课时 组合与组合数公式(解析)一、选择题1．下列等式不正确的是( ) A ．C m n ＝n ！m ！(n －m )！ B ．C m n ＝C n－mnC ．C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1D ．C m n ＝C m ＋1n ＋1解析：∵C m ＋1n ＋1＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ＋1m ＋1·n ！m ！(n －m )！≠C m n ，∴D 不正确． 答案：D2．A 24－C 23＝( ) A ．9 B ．12 C ．15D ．3解析：A 24－C 23＝4×3－3×22×1＝12－3＝9，故选A. 答案：A3．平面内有两组平行线，一组有m 条，另一组有n 条，这两组平行线相交，可以构成平行四边形的个数为( )A ．A 2m A 2n B ．A 2m C 2n C ．A 2n C 2mD ．C 2n C 2m解析：分别从一组m 条中取两条，从另一组n 条中取两条，可组成平行四边形，即共有C 2n C 2m个平行四边形．答案：D4．若C 3n ＋618＝C 4n －218，则n 的值为( )A ．8B ．2C ．2或8D ．18解析：由题意得3n ＋6＝4n －2或3n ＋6＋4n －2＝18，∴n ＝2或n ＝8. 当n ＝8时，3n ＋6＝30>18，不符合组合数的定义故舍去，∴n ＝2. 答案：B5．(2019·正定中学高二月考)现有男、女学生共8人，从男生中选2人、女生中选1人分别参加数学、物理、化学竞赛，共有90种不同的方案，那么男、女学生的人数分别为( )A ．2,6B ．3,5C ．5,3D ．6,2解析：设有男生x 人，则有女生(8－x )人，则C 2x C 18－x A 33＝90，即x (x －1)(8－x )＝30＝3×2×5，所以x ＝3，即男生有3人，女生有5人．故选B.答案：B6．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种解析：从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类：第一类，取四个奇数，即C 45＝5种；第二类取两个奇数，两个偶数，即C 25C 24＝60种；第三类取四个偶数，即C 44＝1种，共有5＋60＋1＝66种，故选D.答案：D 二、填空题7．若C n ＋1n ＋3＝C n －1n ＋1＋C n n ＋1＋C n －2n ，则n ＝________.解析：由已知，可得n ≥2，且n ∈N *，∵C n ＋1n ＋3＝C n －1n ＋1＋C n n ＋1＋C n －2n ，∴C n ＋1n ＋3＝C n n ＋2＋C n －2n ，∴C 2n ＋3＝C 2n ＋2＋C 2n ， ∴C 2n ＋2＋C 1n ＋2＝C 2n ＋2＋C 2n ，∴C 1n ＋2＝C 2n ，即n ＋2＝n (n －1)2，解得n ＝－1或n ＝4， ∵n ≥2，且n ∈N *，∴n ＝4. 答案：48．C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝________.解析：C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝C 45＋C 55＋C 46＋C 47＋C 48－1 ＝C 56＋C 46＋C 47＋C 48－1＝C 47＋C 57＋C 48－1＝C 59－1＝125.答案：125 9．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则C nn ＋2＝________.解析：由C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n 得，C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，∴n ＝14， ∴C n n ＋2＝C 1416＝C 216＝16×152＝120. 答案：120 三、解答题10．已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求m 的值．解：由题意可得m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7·m ！(7－m )！10·7！，化简得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或m ＝21(不合题意舍去)． 所以m 的值为2.11．计算C 111＋C 211＋C 311＋C 411＋C 511.解：∵C 111＝C 1011，C 211＝C 911，C 311＝C 811，C 411＝C 711，C 511＝C 611，C 011＝C 1111， ∴C 111＋C 211＋C 311＋C 411＋C 511＝12(C 011＋C 111＋C 211＋C 311＋…＋C 1111)－12(C 011＋C 1111) ＝12×211－12×2＝210－1＝1 023. 12．计算C 3n 13＋n ＋C 3n －112＋n ＋C 3n －211＋n ＋…＋C 17－n 2n. 解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3n ≤13＋n ，17－n ≤2n ，得173≤n ≤132，又n ∈N *，故n ＝6.∴原式＝C 1819＋C 1718＋C 1617＋…＋C 1112 ＝C 119＋C 118＋C 117＋…＋C 112＝19＋18＋17＋…＋12 ＝124.13．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A ．10种B ．15种C．20种D．30种解析：第一类：3∶0，有2种；第二类，3∶1，有2C13＝6种；第三类：3∶2，有2C24＝12种，共有2＋6＋12＝20种，故选C.答案：C。
组合与组合数公式
4������ -2
100×99 + 200 2
= 5 150.
9×8×7×6
5 6 4 7 【变式训练 2】 (1)计算: C9 + C9 + C10 + C11 ; 2 2 2 2 2 (2)计算: C2 + C3 + C4 + C5 + C6 ; ������ (3)求证: C������ = ������ ������ ������ -1 ������ -2 (4)求证: C������ +2 = C������ + 2C������ + C������ . 5 6 5 6 6 4 7 7 7 (1)解: C9 + C9 + C10 + C11 = C10 + C10 + C11 = C11 + C11 = 5 7 C12 = C12 = 792. 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 (2)解: 由C2 = C3 , 得C2 + C3 + C4 + C5 + C6 = C3 + C3 + C4 + 2 2 C5 + C6 . 3 3 3 2 2 2 2 2 ∵ C3 + C3 = C4 , ∴ C3 + C3 + C4 + C5 + C6 3 2 2 2 2 2 2 = C4 + C4 + C5 + C6 , 依次类推可得C2 + C3 + C4 2 3 2 + C5 + C6 = C7 = 35.
分别有多少种？用式子表示。
【做一做1】 给出下列问题: 2 2 2 A 或 C ①有10个车站,共需准备多少种车票? 10 10 A2 ②有10个车站,共有多少种不同的票价? C 2 10 2 2 2 ③平面内有16个点,共可作出多少条不同的有向线段? A16 或C16 A2 ④有16位同学,假期中约定每两人之间通电话一次,共需通电话 2 多少次? C16 ⑤从20名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物竞 4 4 赛,有多少种选派方法? 4 或C A
人教A版高中数学选修2-3：组合与组合数公式 课时作业
组合与组合数公式一、题组对点训练 对点练一 组合概念的理解1．下列问题中是组合问题的个数是( ) ①从全班50人中选出5名组成班委会；②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积； ④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选 B ①③与顺序无关，属于组合问题；②④与顺序有关，属于排列问题，故选B.2．下列各事件是组合问题的有________．①8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ ②8个朋友相互写一封信，一共写了多少封信？③从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ ④从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？ 解析：①每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．②每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．③是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．④是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变.答案：①④对点练二 组合数公式3．下列计算结果为28的是( ) A ．A 24＋A 26 B ．C 77 C ．A 28D ．C 28解析：选D C 28＝8×72＝4×7＝28.4．若C 2n ＝36，则n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选C ∵C 2n ＝36，∴12n (n －1)＝36，即n 2－n －72＝0，∴(n －9)(n ＋8)＝0.∵n ∈N *，∴n ＝9.5．C 26＋C 57＝________.解析：C 26＋C 57＝6！4！×2！＋7！2！×5！＝6×52＋7×62＝15＋21＝36.答案：366．已知A 2n ＝4C 2n －1，则n ＝________.解析：因为A 2n ＝4C 2n －1，所以n (n －1)＝4×(n －1)(n －2)2，解得n ＝4(n ＝1舍去)．答案：47．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值． 解：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！，整理得n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14， 于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91.对点练三 简单的组合应用题8．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建造“村村通”工程，共需建公路的条数为( )A ．4B ．8C ．28D ．64解析：选C 由于公路的修建问题是组合问题．故共需要建C 28＝28条公路．9．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有( )A ．C 310种 B ．A 310种 C ．A 13A 27种D ．C 13C 27种解析：选D 每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C 13种选法；第二步，选男工，有C 27种选法．故共有C 13C 27种不同的选法．10．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称集合A 具有伙伴关系．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A ．15B ．16C ．28D ．25解析：选A 将集合M 中除0,4外的元素分为四组，即－1；1；12，2；13，3.它们能组成具有伙伴关系的非空集合的个数为C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝15，故选A.11．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．解析：从10人中选派4人有C 410种方法，对选出的4人具体安排会议有C 24C 12种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法种数为C 410C 24C 12＝2 520.答案：2 52012．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)在选出11名上场队员时，还要确定其中一人为守门员，那么教练员有多少种方法做这件事情？解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有C 1117＝12 376(种)． (2)教练员可以分两步完成这件事情．第1步， 从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C 1117种选法；第2步，从选出的11人中再选出1名守门员，共有C 111种选法．所以教练员做这件事情的方法数有C 1117×C 111＝136 136(种)．二、综合过关训练1．(C 2100＋C 97100)÷A 3101的值为( ) A ．6 B ．101 C.16D.1101解析：选C (C 2100＋C 97100)÷A 3101＝(C 2100＋C 3100)÷A 3101＝C 3101÷(C 3101A 33)＝1A 33＝16.2．假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有( ) A ．C 23C 2198种 B ．(C 23C 3197＋C 33C 2197)种 C ．(C 3200－C 4197)种D ．(C 5200－C 13C 4197)种解析：选B 分为两类：第一类，取出的5件产品有2件次品3件合格品，有C 23C 3197种抽法；第二类，取出的5件产品有3件次品2件合格品，有C 33C 2197种抽法．因此共有(C 23C 3197＋C 33C 2197)种抽法．3．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．解析：根据题意，知所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种)．答案：604．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A 地到东北角B 地的最短路线共有________条．解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A 地到B 地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有C 49C 55＝126种走法，故从A 地到B 地的最短路线共有126条．答案：1265．若C 4n ＞C 6n ，则n 的集合是________．解析：∵C4n＞C6n，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n ＞C 6n ，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！＞n ！6！(n －6)！，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10＜0，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＜n ＜10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9.∴n 的集合为{6,7,8,9}． 答案：{6,7,8,9}6．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？解：从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的数的个数为C 36＝6×5×43×2×1＝20.7．(1)在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌．一名参赛者可能得到多少手不同的牌(用排列数或组合数表示)?(2)某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？解：(1)本题实质上是从52个元素中任选13个元素作为一组的组合问题，共有C 1352种不同的可能．即一名参赛者可能得到C 1352手不同的牌．(2)需分两步：第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C 812种选法； 第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C 47种选法． 根据分步乘法计数原理，此人有C 812·C 47＝17 325种不同的投资方式．。
课时作业10：第1课时 组合及组合数公式
1.2.2 组合第1课时 组合及组合数公式一、选择题1．以下四个命题，属于组合问题的是( )A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地2.A 3101C 2100＋C 97100等于( ) A.16 B ．101 C.1107D ．6 3．已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n，则n 等于( ) A ．14 B ．12 C ．13 D ．154．若集合M ＝{x |C x 7≤21}，则组成集合M 的元素共有( )A ．1个B ．3个C ．6个D ．7个5．若C m n ＋2∶C m ＋1n ＋2∶C m ＋2n ＋2＝35∶1∶1，则m ，n 的值分别为( ) A ．m ＝5，n ＝2B ．m ＝5，n ＝5C ．m ＝2，n ＝5D ．m ＝4，n ＝4 6．下列等式不正确的是( )A ．C m n ＝n ！m ！(n －m )！B ．C m n ＝C n －m n C ．C m n ＋1＝C m n ＋C m －1nD ．C m n ＝C m ＋1n ＋1 7．计算C 5－n n ＋C 9－n n ＋1的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．16或58．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则是：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则4位同学不同得分情况的种数是( )A ．48B ．36C ．24D ．18二、填空题9．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，则C 12n＝________.10．C 03＋C 14＋C 25＋…＋C 1821＝________. 11．不等式C x 5＋A 3x <30的解集为________．12．以下四个式子：①C m n ＝A m n m ！；②A m n ＝n A m －1n －1；③C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m.其中正确的个数是________．三、解答题 13．现有1克，2克，4克，10克的砝码各一个，在天平上能称出多少种不同质量的物体．(只允许砝码放在天平右边的盘子里)四、探究与拓展14．从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法有n 种，在这些取法中，若以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则m n等于( ) A.110 B.15 C.310 D.2515．已知⎩⎪⎨⎪⎧C x n ＝C 2x n ，C x ＋1n＝113C x －1n ，试求x 和n 的值．答案精析1．C 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 7.D 8．B 9.91 10.7 315 11.{3,4} 12.313．解 按使用砝码的个数进行分类列举：(1)若使用一个砝码，则能称1克、2克、4克、10克，共4种质量的物体．(2)若使用两个砝码，则能称(1＋2)克，(1＋4)克，(1＋10)克，(2＋4)克，(2＋10)克，(4＋10)克，共6种质量的物体．(3)若使用三个砝码，则能称(1＋2＋4)克，(1＋2＋10)克，(1＋4＋10)克，(2＋4＋10)克，共4种质量的物体．(4)若使用四个砝码，则能称(1＋2＋4＋10)克，共1种质量的物体．所以，总共能称4＋6＋4＋1＝15(种)不同质量的物体．14．B15．解 由C x n ＝C 2x n ，得x ＝2x 或x ＋2x ＝n ，即x ＝0或n ＝3x .显然当x ＝0时，C x －1n 无意义， 把n ＝3x 代入C x ＋1n ＝113C x －1n ，得C x ＋13x ＝113C x －13x ， 即(3x )！(x ＋1)！(2x －1)！＝113·(3x )！(x －1)！(2x ＋1)！， 所以1x ＋1＝116(2x ＋1)， 解得x ＝5.所以n ＝15.即所求x 的值为5，n 的值为15.。
组合及组合数公式作业
组合及组合数公式作业组合问题在数学中是非常重要的一类问题，它涉及到集合中的元素的选择和排列方式。
组合数是指从一组元素中选择若干个元素形成的集合，无关顺序。
在概率论、统计学、计算机科学等领域中都有广泛应用。
一、基本定义：在组合问题中，我们通常使用C(n,k)来表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
其中，n表示总的元素数，k表示要选择的元素数。
二、组合数的计算方法：1.递推关系：组合数满足以下递推关系式：C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)这个递推关系可以通过杨辉三角来直观地理解。
即每个数字是它上一行左右两个数字的和。
2.公式计算：组合数还可以通过公式进行计算。
组合数的公式如下：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即从1到n的所有自然数相乘。
k!表示k的阶乘，(n-k)!表示(n-k)的阶乘。
三、组合数的性质：1.对称性：组合数具有对称性，即C(n,k)=C(n,n-k)。
这是因为选择k个元素等价于不选择(n-k)个元素。
2.全组合：从n个元素中选择0个元素、1个元素、2个元素、..、n个元素，共有2^n种组合方式。
3.互异分配律：对于两个集合A和B，它们的并集中共有n个元素，其中n个元素要分配给A集合，那么选择分配给A集合的元素的不同方式个数等于C(n,k)。
同时，分配给B集合的元素也是C(n,k)。
四、组合数的应用：组合数在数学中有着丰富的应用，也在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景。
1.概率论：在概率论中，组合数常用于计算排列和组合的概率。
例如，在一副扑克牌中，从中抽取5张牌的组合数可以用C(52,5)来计算。
2.统计学：在统计学中，组合数可以用于计算样本空间的大小以及事件的可能性。
例如，在选取一个班级中的学生担任职务时，可以用组合数来计算不同职务的组合方式。
3.计算机科学：在计算机科学中，组合数可用于描述算法和数据结构中的问题。
例如，在生成组合算法中，需要计算组合数。
编号29：组合与组合数公式
高 二 数学 导学案
编号：29 课型：新课 主备人：李晓华、郜文霞 审核人;申彦斌、宋书强 时间： 课题：组合与组合数公式
【学习目标】：掌握组合定义及与排列的区别，会计算组合数
1．组合的概念
，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
排列与组合的区别
判断下列.问题是组合问题还是排列问题．
(1)某铁路上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个同学
3．组合数及组合数公式
（1） ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号 表示。
推导：一般地，m n A 可以理解为：
（2）组合数公式 m m n n
m m A c A == = （3）组合数的性质：m n c = 1m n c +=
求值
（1）228n c = 则n= （2）48495050c c += （3）591n n n n c c --++= 探究： 组合数公式的应用
例1，课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，且男女各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法
（1） 只有一名女生当选
（2） 两名队长当选
（3） 至少一名队长当选
（4） 至多有两名女生当选
（5） 即要有队长，又要有女生当选。
．
例2，赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，5人左右两舷都能划，现在选出6人上艇，平均分配到两舷上划浆，有多少种选法
【反思总结】：
【课后作业】：。
初中排列组合公式例题
初中排列组合公式例题.(共11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--排列组合公式复习排列与组合考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。
考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。
2）理解排列、组合的意义。
掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。
重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。
难点：不重不漏。
知识要点及典型例题分析：1．加法原理和乘法原理两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。
而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。
例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。
解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。
（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。
（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。
故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。
例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。
高中数学排列与组合练习 (5)
＝y，得x＋y＝n. 【答案】 (1)45 (2)65 (3)C
第23页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
题型四 例4
组合数的性质2的应用
(1)求和：C22＋C32＋C42＋…＋C1002；
－ －
(2)证明：Cn0＋Cn＋11＋Cn＋22＋…＋Cn＋m－1m 1＝Cn＋mm 1.
【解析】 (1)方法一：原式＝C33＋(C43－C33)＋(C53－C43)＋…
④某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不 同的结果有多少种？ A．①② C．②③④
答案 解析 C ①与顺序有关，是排列问题，而②③④均与顺序无关，
B．①③④ D．①②③④
m
第17页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
思考题2
m
(1)计算C103；
n (2)证明Cn ＝ Cn－1m； n－m 1 1 7 (3)已知C n－C n＝10C n，求C8n的值．
5 6 7
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
【解析】
10×9×8 3 (1)C10 ＝ ＝120. 3×2×1
第28页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
1．下面几个问题是组合问题的有(
)
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社 会调查，有多少种不同的选法？ ②从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有多少种不同的选 法？ ③有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同 的选法？
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
题型三 例3
组合数的性质1的应用
《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -； 规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？ （4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）恰好有一名女生的不同选法？ 分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？ （2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2） 最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（ ）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（ ）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（ ）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（ ）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（ ）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（ ）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（ ）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（ ）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（ ）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟 二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（ ）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（ ）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（ ） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（ ） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（ ） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（ ）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（ ） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（ ） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（ ）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（ ） 妙记巧学，归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻； （2）甲乙互不相邻； （3）甲乙必须站两端； （4）甲乙不在两端； （5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？ （1）分成相等的三份； （2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本； （4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（ ）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（ ）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（ ）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（ ）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（ ）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（ ）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（ ）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（ ）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（ ）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（ ）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（ ）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（ ）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟： 排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。
10.3组合⑴-组合与组合数公式1
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab b c d a a c d b a b d c a b d c
导入公式
每一个组合对应3！个排列 每一个组合对应 ！个排列.
排列
cab cba dab dba dac dca dbc dcb
组合
abc abd acd bcd
abc acb abd adb acd adc bcd bdc
深化理解 想一想: 想一想 1.ab与ba是相同的排列，还是相同的组合? 与 是相同的排列，还是相同的组合 是相同的排列 是相同的组合， 答：ab与ba是相同的组合，不是相同的排列， 与 是相同的组合 不是相同的排列， 而是两个不同的排列. 而是两个不同的排列 2.两个相同的排列有什么特点 两个相同的 两个相同的排列有什么特点?两个相同的 两个相同的排列有什么特点 组合呢? 组合呢
bac bca bad bda cad A4 可分两步考虑：
第一步， C 4 （ = 4）个；
3
3
第二步， A3 （ = 6）个；
3
根据分步计数原理， A4
3
A 从而C = A
3 4
3 4 3 3
=C⋅A
3 4
3 3 .
组合数公式
个不同元中取出m个元素的排列数 个元素的排列数： 从 n 个不同元中取出 个元素的排列数：
m +1 n! = ⋅ (m + 1)! (n − m)(n − m − 1)!
＝ n! =Cm n m !(n − m)!
．
m + 1 m +1 ∴C = ⋅C n n−m
m n
巩固练习 练习1: 练习 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛， 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛， 通过单循环决出冠亚军． 通过单循环决出冠亚军． （1）列出所有各场比赛的双方； 列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况. 列出所有冠亚军的可能情况
组合和组合数公式
排列定义
一般地说，从 n 个不同元素 中，任取 m (m≤n) 个元素，按照 一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个排列。
组合
思考交流
1. 从9名学生中选出3人做值日,有 多少种不同的选法?
2. 有5 本不同的书,某人要从中借2 本,有多少种不同的借法?
m m
n(n 1)( n 2) (n m 1) P C m m! Pm
n! C m !(n m) !
m n
例1 .计算：
(1) C10 及 C ；
3 7
4
解：
(2) 3 C 2 C ； 3 2 (3) 已知 C n Pn , 求 n ．Βιβλιοθήκη 3 8 2 53 8 2 5
n! m Cn . m !(n m) !
例3. 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学， 每人各得2本，有多少种不同的分法？
2 2 略解：C62 C 4 C 2 90
例4．4名男生和6名女生组成至少有1个 男生参加的三人实践活动小组，问组成 方法共有多少种？ 解法一：（直接法）小组构成有三种情 形：3男，2男1女，1男2女，分别 2 1 3 1 2 ， 有 C4 ，C 4 C 6 ，C 4 C6 3 2 1 1 2 C 一共有 4 + C 4 C6 +C 4 C 6 =100种方法．
C
写出从 a , b , c , d 四个元素中 任取三个元素的所有组合。 c b d a c d b c d
abc ， abd ， acd ， bcd .
写出从 a , b , c , d 四个元素中任 取三个元素的所有排列.
c d b d b c c d a d a cb d a d a b b c a c a b
高中数学 2-3 排列组合典型例题 教师用
1．分类计数原理: 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N = n 1+n 2+n 3+…+n M 种不同的方法．2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法,做第二步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N =n 1·n 2·n 3·…n M 种不同的方法．注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。
它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。
只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。
利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。
3.⑪排列的定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.⑫排列数的定义: 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数， 用符号m n A 表示. 其中n ，m ∈N *，并且m ≤n ．⑬排列数公式: !(1)(1)(,,)()!m n n A n n n m m n n m N n m =--+=∈- ≤ 当m =n 时，排列称为全排列，排列数为n n A =(1)21n n ⨯-⨯⨯⨯ 记为n !, 且规定O!=1.注：!(1)!!n n n n ⋅=+- ; 11--=m n m n nA A 4.⑪组合的定义: 从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑫组合数的定义: 从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示. ⑬组合数公式: (1)(1)!!!()!m m n n m m A n n n m n C A m m n m --+===- . 规定01n C =，其中m ，n ∈N +，m ≤n.注: 排列是“排成一排”，组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序. ⑭组合数的两个性质:①;mn m n n C C -= 从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n -m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n -m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的.②11m m m n n n C C C -++= 根据组合定义与加法原理得；在确定n +1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m -1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.5．解排列、组合题的基本策略与方法(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法：①直接法; ②排除法;③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，()m m n <个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m m n nA A 种排列方法.(Ⅱ)排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略； ②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）； ④正难则反，等价转化策略； ⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略； ⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略； ⑨ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略； ⑩构造模型的策略.1.1两个计数原理(1)例1、某班共有男生28名，女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。
课时作业7组合与组合数公式
课时作业(七)1．若C 2n ＝10，则n 的值为( ) A ．10 B ．5 C ．3 D ．4答案 B2．若C x 6＝C 26，则x 的值为( )A ．2B ．4C ．4或2D ．3答案 C3．C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720的值为( ) A ．C 321B ．C 320C ．C 420D ．C 421答案 D解析 C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720＝C 04＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720＝C 15＋C 25＋C 36＋…＋C 1720＝…＝C 1721＝C 421.4．下列各式中与组合数C m n (n ≠m )相等的是( ) A.n m ·C mn －1 B.nn －m ·C m n －1 C ．C n －m ＋1nD.A m n n ！答案 B解析 ∵n n －m C mn －1＝n n －m ·(n －1)！m ！(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！＝C m n ，故选B.5．下列各式中正确的个数是( )①C 16＝C 56；②C 28＋C 38＝C 39；③30×29×28×…×2010！＝C 1030. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C6．C m 2 014·A m m ÷A m2 014的值是( ) A ．1 B ．C m 2 014 C ．A m 2 014 D ．以上都不对答案 A解析 C m 2 014·A m m ÷A m 2 014 ＝2 014×2 013×…×(2 014－m ＋1)m ！·m ！÷[2 014×2 013×…×(2014－m ＋1)]＝1.7．下列等式不正确的是( ) A ．C m n＝n ！m ！(n －m )！ B ．C m n ＝C n －mnC ．C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1D ．C m n ＝C m ＋1n ＋1答案 D 解析 因为C m ＋1n ＋1＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ＋1m ＋1·n ！m ！(n －m )！＝n ＋1m ＋1C mn . 8．若C m n ＋2∶C m ＋1n ＋2∶C m ＋2n ＋2＝3∶5∶5，则m ，n 的值分别为( )A ．m ＝5，n ＝2B ．m ＝5，n ＝5C ．m ＝2，n ＝5D ．m ＝4，n ＝4答案 C解析 将选项逐一验证可得只有C 项满足条件．9．计算C 28＋C 38＋C 29＝________.答案 12010．(2015·苏州高二检测)已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，则C 12n ＝________.答案 91解析 因为C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列， 所以2C 5n ＝C 4n ＋C 6n .所以2×n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！.整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝14，n ＝7(舍去)，则C 1214＝C 214＝91.11．(1)设集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有________个．(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备______种车票．________种票价．(3)2015年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，则贺年卡共有________张．答案 (1)C 35＝10 (2)A 25＝20 C 25＝10(3)A 210＝90解析 (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．12．解不等式：(1)C 4n >C 6n ； (2)1C 3n －1C 4n <2C 5n.解析 (1)∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6、7、8、9，∴n 的集合为{6,7,8,9}． (2)由6n (n －1)(n －2)－24n (n －1)(n －2)(n －3)<240n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)，可得n 2－11n －12<0，解得－1<n <12. 又n ∈N *，且n ≥5，∴n ∈{5,6,7,8,9,10,11}．13．求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1.解析 由组合数的性质可得：⎩⎨⎧0≤5－n ≤n ，0≤9－n ≤n ＋1，解得4≤n ≤5.又∵n ∈N *，∴n ＝4或n ＝5.当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5. 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.►重点班选做题14．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种答案 C解析 甲选2门有C 24种选法，乙选3门有C 34种选法，丙选3门有C 34种选法．∴共有C 24·C 34·C 34＝96(种)选法．15．从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为( )A ．C 36·C 24B ．C 26·C 34 C ．C 510 D ．A 36·A 24答案 A解析 根据分层抽样的概念知，须从6名女生中抽取3名女生，从4名男生中抽取2名男生，则不同的抽取方法种数为C 36C 24.16．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有________种．答案 20解析 五个人有两个人的编号与座位号相同，此两人的选法共有C 25，假如编号1、2号人坐的号为1、2，其余三人的编号与座号不同，共有2种坐法．∴符合题意的坐法有2×C 25＝2×10＝20(种)．1．已知C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝345，求n . 解析 原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，即C 5n －1＝145C 3n －3，即(n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)5！＝145·(n －3)(n －4)(n －5)3！，化简整理得n 2－3n －54＝0.解得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)． 所以n ＝9. 2．规定C m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C mn (n 、m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求C 5－15的值；(2)组合数的两个性质：①C m n ＝C n －m n； ②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1是否都能推广到C m x (x ∈R ，m 是正整数)的情形；若能推广，请写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．解析 (1)C 5－15＝(－15)×(－16)×(－17)×(－18)×(－19)5！＝－C 519＝－11 628.(2)性质①不能推广．例如当x ＝2时，C12有定义，但C 2－12无意义；性质②能推广，它的推广形式是C m x ＋C m －1x＝C m x ＋1，x ∈R ，m 为正整数．证明：当m ＝1时，有C 1x ＋C 0x ＝x ＋1＝C 1x ＋1；当m ≥2时，C m x＋C m－1x＝x(x－1)…(x－m＋1)m！＋x(x－1)(x－2)…(x－m＋2)(m－1)！＝x(x－1)…(x－m＋2)(m－1)！(x－m＋1)m＋1)＝(x＋1)x(x－1)…(x－m＋2)m！＝C m x＋1.综上，性质②的推广得证．。
2018年秋高中数学课时分层作业组合与组合数公式新人教A版选修
课时分层作业(五) 组合与组合数公式(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列四个问题属于组合问题的是( )A ．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B ．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C ．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式D ．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 C [A 、B 、D 项均为排列问题，只有C 项是组合问题．]2．已知平面内A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )【导学号：95032053】A ．3B ．20C ．12D ．24B [C 36＝6×5×43×2×1＝20.]3．若C x6＝C 26，则x ＝( ) A ．2 B ．4 C ．4或2D ．3C [由组合数性质知，x ＝2或x ＝6－2＝4.] 4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4D ．4A [A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，所以n (n －1)(n －2)＝12×12n (n －1)．由n ∈N *，且n ≥3，解得n ＝8.]5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )【导学号：95032054】A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种C [甲选修2门有C 24＝6种选法，乙、丙各有C 34＝4种选法．由分步乘法计数原理可知，共有6×4×4＝96种选法．]二、填空题 6．方程：C 2x4＋C 2x －14＝C 56－C 66的解集为________．{x |x ＝2} [由组合数公式的性质可知，解得x ＝1或x ＝2，代入方程检验得x ＝2满足方程，所以原方程的解为{x |x ＝2}．]7．C 03＋C 14＋C 25＋…＋C 1821的值等于________.【导学号：95032055】7 315 [原式＝C 04＋C 14＋C 25＋…＋C 1821＝C 15＋C 25＋…＋C 1821＝C 1721＋C 1821＝C 1822＝C 422＝7 315.] 8．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)210 [从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法．]三、解答题9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？【导学号：95032056】[解] 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C 36＝6×5×43×2×1＝20个．10．求式子1C x 5－1C x 6＝710C x 7中的x .[解] 原式可化为：x ！－x ！5！－x ！－x ！6！＝7·x ！－x ！10·7！，∵0≤x ≤5，∴x 2－23x ＋42＝0，∴x ＝21(舍去)或x ＝2，即x ＝2为原方程的解．[能力提升练]一、选择题1．满足方程C x 2－x 16＝C 5x －516的x 值为( ) A ．1,3,5，－7 B ．1,3 C ．1,3,5D ．3,5B [由x 2－x ＝5x －5或x 2－x ＝16－(5x －5)，得x ＝1,3,5，－7，只有x ＝1,3时满足组合数的意义．]2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种C [可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C 14·C 25＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C 24·C 15＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．]二、填空题3．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女一定不是O 型，若某人的血型为O 型，则父母血型所有可能情况有________种.【导学号：95032057】9 [父母应为A ，B 或O ，C 13C 13＝9种．]4．已知C m －1n 2＝C mn 3＝C m ＋1n4，则m 与n 的值为________．14 34 [可得：三、解答题 5．规定C mx ＝x x －x －m ＋m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C mn (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求C 5－15的值； (2)组合数的两个性质： ①C m n ＝C n －mn ；②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1是否都能推广到C mx (x ∈R ，m 是正整数)的情形；若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，请说明理由.【导学号：95032058】[解] (1)C 5－15＝－－－－－5！＝－11 628.(2)性质①不能推广，例如当x ＝2时，有意义，但无意义．性质②能推广，它的推广形式是C m x ＋C m －1x ＝C mx ＋1，x ∈R ，m 为正整数． 证明：当m ＝1时， 有C 1x ＋C 0x ＝x ＋1＝C 1x ＋1； 当m ≥2时， C mx ＋C m －1x ＝x x －x －m ＋m ！＋x x －x －x －m ＋m －！＝x x －x －m ＋m －！⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋1m ＋1 ＝x ＋x x －x －m ＋m ！＝C mx ＋1.综上，性质②的推广得证．课时分层作业(六) 组合的综合应用(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．60种B．70种C．75种D．150种C[从6名男医生中选出2名有C26种选法，从5名女医生中选出1名有C15种选法，由分步乘法计数原理得不同的选法共有C26·C15＝75种，故选C.]2．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为( )【导学号：95032066】A．720 B．360C．240 D．120D[确定三角形的个数为C310＝120.]3．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有( )A．27种B．24种C．21种D．18种C[分两类：一类是2个白球有C26＝15种取法，另一类是2个黑球有C24＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．]4．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )A．56种B．68种C．74种D．92种D[根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有C33C36种，有一个“多面手”的选派方法有C12C23C35种，有两个“多面手”的选派方法有C13C34种，既共有20＋60＋12＝92种不同的选派方法．]5．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1人，最多2人，则不同的分配方案有( )【导学号：95032067】A．30种B．90种C ．180种D ．270种B [先将5名教师分成3组，有C 15C 24C 222＝15种分法，再将3组分配到3个不同班级有A 33＝6种分法，故共有15×6＝90种方案．]二、填空题6．4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有________种．24 [依题意，满足题意的选法共有C 24×2×2＝24种．]7．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有________种．18 [因为先从3个信封中选一个放标号为1,2的卡片，有3种不同的选法，再从剩下的4个标号的卡片中选两个放入一个信封有C 24＝6种，余下的放入最后一个信封，所以共有3C 24＝18(种)．]8．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有________种．(以数字作答)【导学号：95032068】240 [从10个球中任取3个，有C 310种方法．取出的3个球与其所在盒子的标号不一致的方法有2种．∴共有2C 310种方法．即240种．] 三、解答题9．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加； (5)甲、乙、丙三人至少1人参加． [解] (1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法，再从另外的9人中选4人有C 49种选法，共有C 13C 49＝378种不同的选法．(5)法一：(直接法)可分为三类：第一类，甲、乙、丙中有1人参加，共有C13C49种不同的选法；第二类，甲、乙、丙中有2人参加，共有C23C39种不同的选法；第三类，甲、乙、丙3人均参加，共有C33C29种不同的选法；共有C13C49＋C23C39＋C33C29＝666种不同的选法．法二：(间接法)12人中任意选5人共有C512种，甲、乙、丙三人不能参加的有C59种，所以共有C512－C59＝666种不同的选法．10．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．(1)共有几种放法？(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？【导学号：95032069】[解](1)44＝256(种)．(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C34种，再放到2个小盒中有A24种放法，共有C34A24种方法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C24C24种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有C34A24＋C24C24＝84种放法．[能力提升练]一、选择题1．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A．120种B．48种C．36种D．18种C[依题意，所求播放方式的种数为C12C13A33＝2×3×6＝36.]2．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )【导学号：95032070】A．16种B．36种C．42种D．60种D[(1)每城不超过1个项目，有A34＝24(种)；(2)有1个城市投资2个项目，有C14C23C13＝36(种)．∴共有24＋36＝60(种)方案．]二、填空题3．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．58[先从8个顶点中任取4个的取法为C48种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C48－12＝58个．]4．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________．2[设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意C36－C3x＝16，即6×5×4＝x(x－1)(x －2)＋16×6，所以x(x－1)(x－2)＝2×3×4，解得x＝4，即女生有2人．]三、解答题5．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？【导学号：95032071】[解](1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680种．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16·C34·A44＝576种．。
组合与组合数公式相关练习题
组合与组合数公式相关练习题41．若A3n＝6Cn，则n的值为A．B．7C．8D．9解析：选B.由题意知nn?n－1??n－2?·?n－3?＝×3×2×1n－3化简得1，∴n＝7.2．以下四个命题，属于组合问题的是A．从3个不同颜色的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开同一辆车从甲地到乙地解析：选C.只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．783．若C7n＋1－Cn＝Cn，则n等于A．12B．13C．14D．157787878解析：选＋1－Cn＝Cn，即Cn＋1＝Cn ＋Cn＝Cn＋1，所以n＋1＝7＋8，即n＝14.4．四面体的一个顶点为A，从其他顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 A．30种B．33种C．36种D．39种解析：选B.如图，第一类：与A在同一侧面，如C、D、E、F、G有C353种取法，三个侧面有3C5种取法；第二类：与A在同一棱和相对棱的中点，如E、D、H有1种取法，三条棱有3种取法，共有33种不同的取法．5．组合数Crn恒等于r＋1r－1－1Cn－1B．Crn－1 n＋1n－1－1C．CrD.Cr n－1rn－1r＋1r－1r＋1解析：选D.AC－＝ n＋1n1n＋1n－1??n－2?…?n－r＋1?r?r＋1?r＝， ?r－1?！n?n ＋1?nn－1??n－2?…?n－r＋1?r?n＋1??r＋1?r－1B中CrCn. n－1＝方程C24＝C7－C4的解为________．x642解析：C24＝C7－C4＝7－1＝6＝C4，∴2x＝2，即x＝1.答案：x＝156127．已知C4n，Cn，Cn成等差数列，则Cn的值为________．56解析：由已知得2Cn＝C4n＋Cn.n！n！n！∴＝5！?n－5?！4！?n－4?！6！?n－6?！整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.12要求Cn的值，故n≥12，∴n＝14，14×132∴C12＝C＝＝91. 14142×1答案：918．三名医生，六名护士，每名医生带两名护士，去三个学校为学生体检，有________种分配方案．21212解析：有C13C6C2C4C1C2＝540．答案：5403C54－＋C－9．已知3，求－35Cn－119解：原方程可变形为1Cn－3143即C5C，－n15n－3n－1??n－2??n－3??n－4??n－5?即！14?n－3??n－4??n－5?＝，3！化简整理得n2－3n－54＝0.解此二次方程得n＝9或n＝－6．∴n＝9.－110．证明：k·CkCkn＝n·n－1；m＋1m＋1mCn＝C. n－mnn！证明：k·Ck＝k nk！?n－k?！n－1?！－1＝n＝n·Ckn－1. ?k－1?！[?n－1?－?k －1?]！m＋1m＋1m＋1n！Cn n－mn－m?m＋1?！?n－m－1?！ n！＝Cmn. m！?n－m?！[高考水平训练]1．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A．60种B．70种C．75种D．150种1解析：选C.由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C26C5＝75．22．对所有满足1≤m≤n≤5的自然数m、n，方程x2＋Cmny＝1所表示的不同椭圆的个数为________．1121231234解析：∵1≤m≤n≤5，∴Cmn有C2，C3，C3，C4，C4，C4，C5，C5，C5，C5共10个．其21314232m2中C13＝C3，C4＝C4，C5＝C5，C5＝C5，所以x＋Cny＝1能表示的不同椭圆有6个．答案：63．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，10×9即C2＝45， 10＝2×1即共有45种不同的选法．可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师：有C26种方法；第2类，选出的2名是女教师：有C24种方法．2根据分类加法计数原理，共有C6＋C24＝15＋6＝21种不同选法．2从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C4种，根据6×54×32分步乘法计数原理，共有选法C2×C＝×90．42×12×1x?x－1?…?x－m＋1?mm4．规定Cx＝，其中x∈R，m 是正整数，且C0x＝1，这是组合数Cnm！的一种推广．求C5－15的值；mn－m组合数的两个性质：①Cn＝Cn；mm－1m②Cn＋Cn＝Cn＋1是否都能推广到Cmx的情形；若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由．－15??－16??－17??－18??－19?5解：C－15＝5！ 5＝－C19＝－1128. －1C1－1性质①不能推广，例如当x2时，C性质②能推广，它的推广形式是x∈R，m为正整数．证明：当m＝1时，01有C1x＋Cx＝x＋1＝Cx＋1.当m≥2时，x?x－1?…?x－m＋1?m－1Cm＝ x＋Cxm！x?x－1??x－2?…?x－m＋2??m－1?！x?x－1?…?x－m＋2?x－m＋1＝＋1) m?m－1?！x＋1?x?x－1?…?x－m＋2?m＝Cx＋1. m！综上，性质②的推广得证．有意义，但C22无意义； m－1Cm＝Cmx＋Cxx＋1，排列组合公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法.”排列”把5本书分给3个人,有几种分法“组合”1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p表示.p=n……= n!/!.2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c 表示.c=p/m!=n!/!*m!)；c=c;3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p/r=n!/r!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n个元素的全排列数为n!/.k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c. 排列Pnm=n×....；Pnm=n！/！；Pnn =n！；0！=1；Pn1=n组合Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！！；Cnn =1 ；Cn1=n；Cnm=Cnn-m公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
组合与组合数公式
1.2.2组合与组合数公式 （二）
复习
一、组合的定义
二、组合数公式
A m Cn
m
n m
n(n
1)(n
2)(n m!
m
1)
Am
Cm n
n! m!(n
m) !
例子分析
例5．设
x N,求
C x1 2 x 3
的值
C 2x3 x1
2x 3 x 1
解：由题意可得：x 1 2x 3
，解得 2 x 4
.
例9 计算：
( 1) (2)
C ; 198 200
(C
2 2
0
0
200199 21
19900)
C3 99
C2 99
;
C1300 100 99 98 161700
3 21
( 3 ) 2C83 C39 C82 .
2C83 (C83 C82) C82 C83 56
例10 求证:
( 1)
C C C C ; m
m1
m
m1
n1
n
n1
n1
( 2)
Cm1 n
Cm1 n
2Cmn
C . m1 n2
证明:
( 2) (1)
C
m1 n
C
m1 n
2C
m n
C(Cmn mn11 CCmnmn1)C(mnC11mn
C ) m1 n
C C m1
m
C C mn1
mn
n1
n1
m
Cmn1 Cn2
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中
的守门员，那么教练员有多少种方式做这件 事情？
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组合与组合数公式
一、选择题
1．若C x 6＝C 26，则x 的值为( )
A ．2
B ．4
C ．4或2
D ．3
2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为 ( )
A ．4
B ．8
C ．28
D ．64
3．已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( )
A ．14
B ．12
C ．13
D ．15
4．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )
A ．60种
B ．48种
C ．30种
D ．10种
5．平面直角坐标系中有五个点，分别为O (0,0)，A (1,2)，B (2,4)，C (－1,2)，D (－2,4)．则这五个点可以确定不同的三角形个数为( )
6．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A ．60种
B ．63种
C ．65种
D ．66种
二、填空题
7．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为________．
8．不等式C 2n －n <5的解集为________．
9．若对任意的x ∈A ，则1x
∈A ，就称A 是“具有伙伴关系”的集合．集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________． 10．计算：(1)C 58＋C 98100·C 77；
(2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55；
(3)C n n ＋1·C n －1n .
11．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)
(1)图中有多少个矩形？
(2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种？
12．假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？
(1)没有次品；(2)恰有两件是次品；(3)至少有2件次品．
组合与组合数公式
CCACCD 7.20 8.{2,3,4} 9.15
10.解：(1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. (2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25
)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. (3)原式＝C n n ＋1·C 1
n ＝n ＋1！n ！·n ＝n ＋1·n ！n ！
·n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n .
11.解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩
形，故可组成矩形有C 27·C 25＝210(个)．
(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出
6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C 610＝C 410＝210(种)走法．
12.解：(1)没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有C 597种．
(2)恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有C 397
C 23种．
(3)至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有两类：
第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有C 397C 23种．
第二类，从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有C 297C 33种．
按分类计数原理有C 397C 23＋C 297C 33种．
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