作业题答案

思考2 屋檐的水槽问题

房屋管理部门想在房顶的边檐安装一个檐槽，其目的是为了雨天出入方便。从屋脊到屋

檐的房顶可看成是一个12米长，6米宽的矩形平面，房顶与水平方向的倾斜角度一般在 。

a

现有一公司想承接这项业务，允诺：提供一种新型的檐槽，包括一个横截面为半圆形（半径为7.5cm ）的水槽和一个竖直的排水管（直径为10cm ），不论天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水。房管部门犹豫，考虑公司的承诺能否实现。请你建立数学模型，论证这个方案的可行性。

1 问题的简化

水槽的容量能否足以排出雨水的问题，简化为水箱的流入流出问题。从房顶上流下的雨水量是流入量；顺垂直于房顶的排水管排出的是流出量。水槽能否在没有溢出的情况下将全部雨水排出，即就是要研究水槽中水的深度与时间的函数关系。 2 假设

（1）雨水垂直下落并且直接落在房顶上；

（2）落在房顶上的雨水全部迅速流入水槽中； （3）直接落入水槽中的雨水可忽略不计； （4）落在房顶上的雨没有溅到外面去；

（5）在排水系统中不存在一些预料不到的障碍，象落在房顶上的杂物、树叶等。

4 模型的建立

50~20

根据速度平衡原理，对于房顶排水系统水槽中水的容量的变化率=雨水的流入速度 - 排水管流出的速度。

01,Q Q

()t r 表示单位时间里落在水平面上雨水的深度，房顶的面积实际受雨的水平面积αcos bd ，房顶上雨水的流速()cos bd t r 流入水槽的速度应是在铅垂方向的分量 排水管的流出速度应与水槽中水的深度有关。

根据能量守恒原理 ， ，

水槽中水的体积为 ， θ h

5模型的求解与分析

接下来请同学们自己完成。

1)(Q Q t V -='ααsin cos )(1bd t r Q =)(2

1

2

t mgh mv =)(2t gh v =)(20t gh A Q =)

cos sin ()(2θθθ-=d a t V a h a -=θcos a h

ah 22sin -=θ()

a

h a a 2

2

sin --=

θ2)((cos

)(2

2

1

2a

h

ah h a a

h a d a t V ---

-=-)()(2)(2)(2t h t ah t h d t V -'=')()(2)(22t h t ah t h d -'ααsin cos )(bd t r =)(2t gh A -)

()(22)

(2cos sin )(2

t h t ah d t gh A bd t r dt dh --=αα

2 下料问题

某车间有一批长度为180公分的钢管（数量充分多）今为制造零件，要将其截成三种不同长度的管料，70公分，52公分，35公分。生产任务规定，这三种料的需要量分别不少于100根，150根，100根。我们知道，截分钢管时不免要产生“边角料”，从节约原料的观点来考虑，应该采取怎样的截法，才能在完成任务的前提下，使总的边角料达到最小限度？

所 有 可 能 的 截 法

()为正整数

且j j x j x x x x x x x x x x x x x x x x 82101005323150232100

2876431765324321,,,, =≥≥+++++≥++++≥+++

下求目标函数： 的最小值。

8218765432152362452365x x x x x x x x f +++++++=