运筹学第二章题解

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运筹学习题集(第二章)

判断题判断正误，如果错误请更正第二章线形规划的对偶理论1.原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0.2.互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解.3.原问题有多重解,对偶问题也有多重解.4.对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解.5.原问题无最优解,则对偶问题无可行解.6.设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝的可行解,则有(1)CX<=Yb;(2)CX是w的上界;(3)当X,Y为最优解,CX=Yb;(4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0;(5)X为最优解且B是最优基时,则Y=C B B-1是最优解;(6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优解.7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解.8.原问题具有无界解,则对偶问题可行.9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y.10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余.11影子价格就是资源的价格.12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算.13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解.14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法.15.减少一个约束,目标值不会比原来变差.16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.17增加一个变量, 目标值不会比原来变差.18.减少一个非基变量, 目标值不变.19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。

选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。

第二章线性规划的对偶理论1.如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划 A约束条件相同 B目标函数相同 C最优目标函数值相同 D以上结论都不对2.对偶单纯形法的最小比值规则是为了保证 A使原问题保持可行 B使对偶问题保持可行 C逐步消除原问题不可行性 D逐步消除对偶问题不可行性3.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A若最优解存在，则最优解相同B原问题无可行解，则对偶问题也无可行解 C对偶问题无可行解，原问题可能无可行解D一个问题无界，则另一个问题无可行解 E一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解4.已知规范形式原问题（max）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，……λn），松弛变量的检验数为（λn+1,λn+2,……λn+m）,则对偶问题的最优解为 A—（λ1，λ2，……λn） B （λ1，λ2，……λn） C —（λn+1,λn+2,……λn+m）D（λn+1,λn+2,……λn+m）5.原问题与对偶问题都有可行解，则 A原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B原问题与对偶问题可能都没有最优解 C可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D原问题与对偶问题都有最优解计算题线性规划问题和对偶问题对于如下的线性规划问题min z = 3x1 + 2x2+x3. x1 + x2+ x3 ≤ 15 (1)2x1 - x2+ x3≥ 9 (2)-x1 + 2x2+2x3≤ 8 (3)x1 x2x3 ≥ 01、写出题目中线性规划问题的对偶问题；2、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解答：1、写出题目中线性规划问题的对偶问题；解：max w = 15y1 + 9y2 + 8y3. y1 + 2y2- y3 ≤ 3 (1)y1 - y2+ 2y3≤ 2 (2)y1 + y2+ 2y3≤ 1 (3)y1≤0、 y2 ≥0、y3 ≤02、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解：先将原问题化成以下形式，则有mi n z = 3x1 + 2x2 + x3. x1 + x2+ x3+ x4= 15 (1)-2x1 + x2- x3+ x5= -9 (2)-x1 + 2x2+2x3+x6= 8 (3)原始问题的最优解为（X1 X2 X3 X4 X5 X6）=（2，0，5，8，0，0），minz=11 对偶问题的最优解为（y1y2y3y4y5y6）=（0，7/5，-1/5，0，19/5，0），maxw=11 对于以下线性规划问题max z = -x1 - 2x2. -2x1 + 3x2≤ 12 (1)-3x1 + x2≤ 6 (2)x1 + 3x2≥ 3 (3)x1≤ 0， x2≥ 01、写出标准化的线性规划问题；2、用单纯形表求出这个线性规划问题的最优解和最优的目标函数值；3、写出这个（极大化）线性规划问题的对偶问题；4、求出对偶问题的最优解和最优解的目标函数值；5、第（2）个约束右端常数b2=6在什么范围内变化，最优解保持不变。

第二章习题运筹学

第二章习题12、对于下面的线性规划问题，以()632,,A A A B =为基写出相对应的典式。

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=+++-=++-=++-+-61,0108341242723..2min 63215214321321 j x x x x x x x x x x x x t s x x x j 解：由题可以知：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100834010042001213A []000121-=TC取一个基()654A A AB =，即：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=183004021B 且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=834042213N[]012-=T B C []001=TN C在matlab 中可以计算得到：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-14740812104101B []T b B b 39531-==-1-=b C T B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--8321451T N T B C N B C 由()N TN T B T B x C N B C b C Z --=-1可得典式的目标函数：5418321451x x x Z +---=由b Nx B x N B =+-1可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+---=+++=++-3947422558121453412165415431521x x x x x x x x x x x 由此与题中线性规划问题相对应的典式为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥-=+---=+++=++-+---=6,,1,039474225581214534121..8321451min 65415431521541 j x x x x x x x x x x x x t s x x x Z j14、用单纯形法求解线面的线性规划问题，并在平面上画出迭代点走过的路线。

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+≤+--=0,10443186052..2min 21221212121x x x x x x x x x t s x x z 解：由题先将题中线性规划问题化为标准形：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥=+=++=++=++--=6,,1,010*********..2min 6252142132121 j x x x x x x x x x x x x t s x x z j 由此可写出A ，即为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010010*********000152A则可以得出()6543A A A AB =是一个单位矩阵，且()010441860＞Tb =，所以基B 是可行基，6543,,,x x x x 为基变量，21,x x 为非基变量。

运筹学习题答案(第二章)

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2.4 给出线性规划问题
min Z = 2 x1 + 3 x 2 + 5 x 3 + 6 x 4 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 + x 4 ≥ 2 st . − 2 x1 + x 2 − x 3 + 3 x 4 ≤ − 3 x j ≥ 0 , ( j = 1, L , 4 )
page 14 30 December 2010
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是原问题的可行解。解：x1=1,x2=x3=0是原问题的可行解。原问题的对是原问题的可行解偶问题为：偶问题为：
min W = 2 y1 + y 2 − y1 − 2 y 2 ≥ 1 (1) y + y ≥1 (2) 1 2 st . ( 3) y1 − y 2 ≥ 0 y1 , y 2 ≥ 0 (4)
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2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题。写出下列线性规划问题的对偶问题。
min Z = 2 x1 + 2 x 2 + 4 x 3 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 ≥ 2 2 x + x + 3x ≤ 3 2 3 st 1 x1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 5 x1 , x 2 , ≥ 0 , x 3 无约束
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max Z = 5 x1 + 6 x2 + 3 x3 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 5 − x + 5 x − 3 x ≥ 3 2 3 st 1 4 x1 + 7 x2 + 3 x3 ≤ 8 x1无约束 , x2 , ≥ 0, x3 ≤ 0

运筹学--第二章线性规划的对偶问题

习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤54x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1x1，x3≥0，x2，x4无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。

分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；'x代换。

（4）模型中全部x1用312.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2x j≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2x j≥0（j＝1,2,3,4）对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试对偶问题的性质，求出原问题的最优解。

2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3st. 3x1＋4 x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x1＋3x2＋2x3≤80x j≥0 （j＝1,2,3）４７４８（1）写出其对偶问题（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；（4）比较（2）和（3）计算结果。

运筹学作业2(清华版第二章部分习题)答案

运筹学作业2（第二章部分习题）答案2．1 题（P . 77）写出下列线性规划问题的对偶问题：（1）123123123123123m ax 224..34223343500,z x x x s t x x x x x x x x x x x x =++⎧⎪++≥⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥≥⎪⎩无约束，；解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：123123123123123m ax 235..223424334,0,0w y y y s t y y y y y y y y y y y y =++⎧⎪++≤⎪⎪++≤⎨⎪++=⎪≥≤≤⎪⎩（2）1111m in ,1,,,1,,0,1,,;1,,m n ij ij i j n ij ij i j nij ij j j ij z c x c x a i m c x b j nx i m j n====⎧=⎪⎪⎪==⎪⎨⎪⎪==⎪⎪≥==⎪⎩∑∑∑∑ 解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：11m ax 1,,;1,,m n i i j ji j i j ij i w a u b v u v c i m j n u ==⎧=+⎪⎪⎪+≤⎨⎪==⎪⎪⎩∑∑ j 无约束，v 无约束2．2判断下列说法是否正确，为什么？（1）如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；答：错。

因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。

但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。

例如原问题1212212m ax 31..30,0z x x x x s t x x x =++≥⎧⎪≤⎨⎪≥≥⎩有可行解，但其对偶问题1211212m in 33..10,0w y y y s t y y y y =+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≥⎩无可行解。

（2）如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；答：错，如（1）中的例子。

运筹学习题解答(chap2)(1)(1)

第二章对偶问题与灵敏度分析一、写出下列线性规划的对偶问题1、P89,(a)321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++.,0,;534;332;243321321321321无约束x x x x x x x x x x x x解：原模型可化为321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≥≥++.,0,;534;3-3--2-;243321321321321321无约束x x x y y y x x x x x x x x x 于是对偶模型为321532m ax y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+-≤+-.,0,;4334;243;22321321321321无约束y y y y y y y y y y y y2、P89,(b)321365m ax x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++.0,0,;8374;35;522321321321321x x x x x x x x x x x x 无约束解：令033≥-='x x 原模型可化为321365m ax x x x Z '-+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥'≥≤'+≤'='+.0,0,;83-74;3--5-;52-2321321321321321x x x y y y x x x x x x x x x 无约束于是对偶模型为321835m in y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥---≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束二、灵敏度分析1、P92, 线性规划问题213m ax x x Z += ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1025;74212121x x x x x x最优单纯形表如下试用灵敏度分析的方法，分析：（1）目标函数中的系数21,c c 分别在什么范围内变化，最优解不变（2）约束条件右端常数项21,b b 分别在什么范围内变化，最优基保持不变解：（1） 1c 的分析：要使得最优解不变，则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⨯-⨯+=≤⨯+⨯-=034131003513201413c c σσ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥42511c c 所以：4251≤≤c 时可保持最优解不变。

运筹学第二章答案.

2.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤+≤++=0,84821234..2max 2121212121x x x x x x x x t s x x z解：首先划出平面直角坐标系4 x 1 +3x 2X 1⎩⎨⎧=+=-1234842121x x x x 解：⎪⎩⎪⎨⎧=14921x x 所以：2111492max =+⨯=z 所以有唯一解(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤+≤+-+=0,414234223max 2121212121x x x x x x x x x x 解：2=41⎩⎨⎧=+=+-1423422121x x x x 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==4132521x x 所以:144132253max =⨯+⨯=z 因为直线02321=+x x 与直线142321=+x x 平行，所以有无穷多最优解，max z=14（3） ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-+=0,432..32max 21212121x x x x x x t s x x z 解：（4）⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≥-+=0,330..max 21212121x x x x x x t s x x z解：2.2将下列线性规划问题化为标准形式(1) s.t.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无约束321321321321,0,0624322min x x x x x x x x x x x x z (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥-=-+-≤+-≥--+=0,0232132..23min 3213213132321x x x x x x x x x x t s x x x z 无约束，解：（1）令011≥-=x x )0'','('''33333≥-=x x x x x则上述形式可化为：)'''(32'2m ax 3321x x x x z --+=⎪⎩⎪⎨⎧≥=+--+=-++0,'',',,'6)'''('24)'''('..43321433213321x x x x x x x x x x x x x x t s（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥-=-+-≤+-≥--+=0,0232132..23min 3213213132321x x x x x x x x x x t s x x x z 无约束，解：令33'x x -= )0','','(322≥x x x 则上述形式可化为：')'''(23m ax 3221x x x x z ----=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=---=+--=+---0,,','',',2')'''(321')'''(3')'''(2..543221322153224322x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s 2.3. 在下列线性规划问题中，找出所有基解，指出哪些是基可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。

运筹学_第2章_对偶理论习题

第二章线性规划的对偶理论2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题max z=2x1+2x2－4x3x1 + 3x2 + 3x3 ≤304x1 + 2x2 + 4x3≤80x1、x2，x3≥0解：其对偶问题为min w=30y1+ 80y2y1+ 4y2≥23y1 + 2y2 ≥23y1 + 4y2≥－4y1、y2≥02.2 写出下列线性规划问题的对偶问题min z=2x1+8x2－4x3x1 + 3x2－3x3 ≥30－x1 + 5x2 + 4x3 = 804x1 + 2x2－4x3≤50x1≤0、x2≥0，x3无限制解：其对偶问题为max w=30y1+80 y2+50 y3y1－y2 + 4 y3≥23y1+5y2 + 2y3≤8－3y1 + 4y2－4y3 =－4y1≥0，y2无限制，y3≤02.3已知线性规划问题max z=x1+2x2+3x3+4x4x1 + 2x2 + 2x3 +3x4≤202x1 + x2 + 3x3 +2x4≤20x1、x2，x3，x4≥0其对偶问题的最优解为y1*=6/5，y2*=1/5。

试用互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。

解：其对偶问题为min w=20y1+ 20y2y1 + 2y2≥1 （1）2y1 + y2 ≥2 （2）2y1 +3y2≥3 （3）3y1 +2y2≥4 （4）y1、y2≥0将y1*=6/5，y2*=1/5代入上述约束条件，得（1）、（2）为严格不等式；由互补松弛定理可以推得x1*=0，x2*=0。

又因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以2x3*+3x4* = 203x3* +2x4* = 20解得x3* = x4* = 4。

故原问题的最优解为X*=（0，0，4，4）T2.4用对偶单纯形法求解下列线性规划min z=4x1+2x2+6x32x1 +4x2 +8x3 ≥244x1 + x2 + 4x3≥8x1、x2，x3≥0解将问题改写成如下形式max（－z）=－4x1－2x2－6x3－2x1－4x2 －8x3 + x4=－24－4x1－x2－4x3+x5 =－8x1、x2，x3，x4，x5≥0显然，p4、p5可以构成现成的单位基，此时，非基变量在目标函数中的系数全为负数，因此p4、p5构成的就是初始正侧基。

管理运筹学(第四版)第二章习题答案

第二章补充作业习题：用大M 法和两阶段法求解下面LP 问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≥-+=0,3232s.t.42min 21212121x x x x x x x x z解：标准化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-+-=----=0,,,3232s.t.42max 432142132121x x x x x x x x x x x x z（1）大M 法引入人工变量65,x x ，得到下面的LP 问题⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥=+-+-=+------=6,,1,03232s.t.42max 642153216521 j x x x x x x x x x Mx Mx x x z j因为人工变量6x 为4>0，所以原问题没有可行解。

（2）两阶段法：增加人工变量65,x x ，得到辅助LP 问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+-+-=+----=6,,1,03232s.t.max 6421532165 j x x x x x x x x x x x g j初始表因为辅助LP 问题的最优值为4>0，所以原问题没有可行解。

习2.1 解：设1x 为每天生产甲产品的数量，2x 为每天生产乙产品的数量，则数学模型为,5183202..200300max 211212121≥≤≤+≤++=x x x x x x x t s x x z最优解为：()TX 4.8,2.3*=，最优值为：z = 2640。

（1）最优解为：()TX 5.0,5.1*=，最优值为：z = 4.5。

（2）无可行解有无穷多最优解，其中一个为：TX⎪⎭⎫⎝⎛=0,310*1，另一个为：()TX10,0*2=，最优值为：z = 20。

（4）无界解解：A B 资源限额会议室 1 1 5 桌子 3 2 12 货架 3 6 18 工资2522设1x 为雇佣A 的天数，2x 为雇佣B 的天数，则数学模型为,186312235..2225min 2121212121≥≥+≥+≥++=x x x x x x x x t s x x z最优解为：()TX3,2*=，最优值为：z = 116。

【免费下载】运筹学第2章对偶理论习题

试用互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。

又因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以2x3*+3x4* = 203x3* +2x4* = 20解得x3* = x4* = 4。

《运筹学教程》第二章习题答案

《运筹学教程》第二章习题答案1、（1）解：引入松弛变量x4≥0,x5≥0,化不等式为等式为：minz=2X1 +3X2+4X3s.t. X1+3X2+2X3+X4=74X1+2X2+X5=9X1,X2,X4,X5≥0化自由变量为非负，令X3=X3′-X3〞，X3′，X3〞≥0 ：minz=2X1 +3X2+4X3′-4X3〞s.t. X1+3X2+2 X3′-2 X3〞+X4=74X1+2X2+X5=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 ≥0(2)解：引入松弛变量x5≥0,剩余变量X6≥0，化不等式为等式为：maxz=X1 -5X2+4X3- X4s.t. X1+2X3+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2，X4,X5 ，X6≥0化自由变量为非负，令X3=X3′-X3〞，X3′，X3〞≥0 ：maxz=X1 -5X2+4X3′-4X3〞- X4s.t. X1+2 X3′-2 X3〞+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 , X6≥0化极大的目标函数为极小的目标函数：minz=-X1+5X2-4X3′+4X3〞+X4s.t. X1+2 X3′-2 X3〞+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 , X6≥02、(1)是不等式表示下图阴影区域，过阴影部分任意两点的直线仍在该区域内。

(2)不是不等式表示下图阴影区域，过阴影部分且通过曲线上部的直线上的点不完全在该区域内。

(3)不是不等式表示下图阴影区域，过阴影部分且通过圆内部的直线上的点不完全在该区域内。

3、在以下问题中，指出一组基础变量，求出所有基础可行解以及最优解。

（1）123123123123m ax 2..2644,,0z x x x s t x x x x x x x x x =+-⎫⎪++≤⎪⎬+-≤⎪⎪≥⎭解：将上式化成标准形式，如下：1231234123512345m in 2..2644,,,,0p x x x s t x x x x x x x x x x x x x =--+⎫⎪+++=⎪⎬+-+=⎪⎪≥⎭从上式中可以得出系数矩阵为[]12345112101411A P P P P P ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦，取基础变量为45,x x ，令非基变量123,,x x x =0，解方程组123412352644x x x x x x x x +++=+-+=得基础可行解(1)(0,0,0,6,4)T x =同理得基础解：(2)(0,6,0,0,20)T x =-，(3)(0,0,3,0,7)T x =，(4)(0,0,4,24,0)T x =-，(5)(0,1,0,5,0)Tx =，(6)1420(0,,,0,0)99Tx =，(7)(6,0,0,0,2)T x =-，(8)(4,0,0,2,0)Tx=，(9)202(,,0,0,0)33Tx =-，(10)142(,0,,0,0)33Tx =。

清华大学运筹学第二版马建华第二章答案解析

清华大学运筹学第二版马建华第二章答案解析
清华大学运筹学第二版马建华第二章问题：
什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？
答案：
线性规划是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。

线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。

线性规划问题三要素是：决策变量、约束条件、目标函数。

解析：
决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负。

约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性。

目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。

运筹学第2章答案

2.1某人根据医嘱，每天需补充A 、B 、C 三种营养，A 不少于80单位，B 不少于150单位，C 不少于180单位．此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分．已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表2-22所示．（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A ，B ，C 三种营养成分．试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型．表2-22j ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥++++≥+++++≥++++++++++=01801034217181501512253092480118401425132.03.09.08.04.05.0min 65432154321654321654321654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 、、、、、（2）设y i 为第i 种单位营养的价格，则数学模型为12312312312312312312123m ax 801501801324180.525970.41430210.84025340.9812100.311150.2,,0w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪++≤⎪++≤⎨⎪++≤⎪⎪++≤⎪≥⎩2.2写出下列线性规划的对偶问题（1）123123123123m in 3536824,,0x x x x x x x x x x x x =++-++≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩ 【解】1212121212m ax 84233561,0w y y y y y y y y y y =+-+≤⎧⎪+≤⎪⎨-≤⎪⎪≥⎩（2）12312123123m ax 2329310,0Z x x x x x x x x x x x =-++=⎧⎪--+≤⎨⎪≥⎩无约束，【解】121212212m in 910223130w y y y y y y y y y =+-=⎧⎪-≥-⎪⎨≥⎪⎪≥⎩无约束；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++-≥--+=--+-++=无约束43214321432143214321,0,0,66841052678410342max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 【解】123123123123123123m in 8106107416822644530,0w y y y y y y y y y y y y y y y y y y =++++≥⎧⎪+-≥⎪⎪--+≤⎨⎪--+=-⎪≤≥⎪⎩无约束；（4）12341234134123411234m ax 236732696562225100,,,Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-++--+-=⎧⎪+-≥⎪⎪-+-+≤-⎨⎪≤≤⎪≥⎪⎩无约束【解】123412341341234111234m ax 236732696562225100,,,Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-++--+-=⎧⎪+-≥⎪⎪-+-+≤-⎪⎨≥⎪⎪≤⎪≥⎪⎩无约束对偶问题为： 12345123451312312312345m in 962+510362223566270,000w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =+-++-++≥-⎧⎪-+=⎪⎪+-=⎨⎪--+=-⎪≤≥≤≥⎪⎩无约束；，，， 2.3考虑线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥++=0,73225442012min 2121212121x x x x x x x x x x Z(1)说明原问题与对偶问题都有最优解；(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解；(3)利用公式C B B －1求原问题的最优解； (4)利用互补松弛条件求原问题的最优解．【解】(1)原问题的对偶问题为123123123m ax 427212453200,1,2,3j w y y y y y y y y y y j =++⎧++≤⎪++≤⎨⎪≥=⎩容易看出原问题和对偶问题都有可行解，如X ＝(2，1)、Y ＝(1，0，1)，由定理2.4知都有最优解。

运筹学02375计算题经典题型全攻略

运筹学02375计算题经典题型全攻略第二章预测2.3 时间序列预测法一、滑动平均预测法1、简单滑动平均预测法：算数平均数（1）横向比较法：同一时间自己跟别人比【例题·【答案】我们可采用同行的平均数来作为我们的参考价格： 1.5 1.20.90.70.50.965x ++++==元【解析】横向比较法就是求平均数，用平均数作为参考。

（2）纵向比较法：简单滑动平均预测法【例题·计算题】上述电池厂在生产和销售该电池6个月后，得到前后顺序排列的6个出厂价格：1元、1.1元、1.1元、1.2元、1.2元、1.3元，试预测第7个月的出厂价格，只参考就近三个月价格。

【答案】 1.2 1.2 1.31.233x ++==元【解析】纵向比较法也是求平均数。

二、加权平均预测法根据不同数值所占比重不同，在简单滑动平均预测法中加入相应权值即可加权平均数计算公式为：112212......n nnx w x w x w x w w w +++=+++三、指数平滑预测法★指数平滑预测法的公式为：()(1)F F x F x F ααα=+-=+-tx ——t 期的实际值； α——平滑系数。

α的取值范围一般为：01α≤≤；当我们发现t 期的预测值与实际值误差较大时，我们可以加大平滑系数α的值，若误差不大，α可取的小一些；在特殊情况下，即当商品的价格看涨或看跌时，α亦可取大于1的数。

2.4 回归模型预测法二、一元线性回归模型预测法★ 设出回归方程：y a bx =+；确定系数：a,b 也称为回归模型的参数。

系数确定的原则应用最小二乘法最小二乘法：寻求使误差平方和为最小的配合趋势线的方法。

运用最小二乘法，得出系数的计算公式：22()n XY X Y b n X X Y b Xa n -=--=∑∑∑∑∑∑∑求出回归方程后，根据题目中所给的某一变量的数据，带入即可求出另一变量的值。

置信区间：实际值位于这个区间范围的概率应达到95%以上，若大致符合正态分布，则置信区间为：12i y S ∧+±。

运筹学_第2章_对偶理论习题

试用互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。

又因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以2x3*+3x4* = 203x3* +2x4* = 20解得x3* = x4* = 4。

2-9章运筹学课后题及答案

第二章决策分析2.1 某公司面对五种自然状态、四种行动方案的收益情况如下表：假定不知道各种自然状态出现的概率，分别用以下五种方法选择最优行动方案：1、最大最小准则2、最大最大准则3、等可能性准则4、乐观系数准则（分别取α=0.6、0.7、0.8、0.9）5、后悔值准则解：1、用最大最小准则决策S4为最优方案；2、用最大最大准则决策S2为最优方案；3、用等可能性准则决策S4为最优方案；4、乐观系数准则决策(1) α=0.6，S1为最优方案；(2) α=0.7，S1为最优方案；(3) α=0.8，S1为最优方案；(4) α=0.9，S2为最优方案；可见，随着乐观系数的改变，其决策的最优方案也会随时改变。

5、用后悔值准则决策S4为最优方案。

2.2 在习题1中，若各种自然状态发生的概率分别为P（N1）=0.1、P（N2）=0.3、P（N3）=0.4、P（N4）=0.2、P（N5）=0.1。

请用期望值准则进行决策。

解：期望值准则决策S1为最优方案。

3.3 市场上销售一种打印有生产日期的保鲜鸡蛋，由于确保鸡蛋是新鲜的，所以要比一般鸡蛋贵些。

商场以35元一箱买进，以50元一箱卖出，按规定要求印有日期的鸡蛋在一周内必须售出，若一周内没有售出就按每箱10元处理给指定的奶牛场。

商场与养鸡场的协议是只要商场能售出多少，养鸡场就供应多少，但只有11箱、12箱、15箱、18箱和20箱五种可执行的计划，每周一进货。

1、编制商场保鲜鸡蛋进货问题的收益表。

2、分别用最大最小准则、最大最大准则、等可能性准则、乐观系数准则（α=0.8）和后悔值准则进行决策。

3、根据商场多年销售这种鸡蛋的报表统计，得到平均每周销售完11箱、12箱、15箱、18箱和20箱这种鸡蛋的概率分别为：0.1、0.2、0.3、0.3、0.1。

请用期望值准则进行决策。

1、收益表2、用各准则模型求解（1）最大最小准则得S5为最优方案；（2）最大最大准则得S1为最优方案；（3）等可能性准则得S4为最优方案；（4）乐观系数（ =0.8）准则得S1为最优方案；（5）后悔值准则得S3为最优方案。

运筹学习题习题解答

第一章线性规划问题及单纯型解法习题解答：1、将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。

解：1）在约束条件(1)式两边同时乘以-1，得-4x1+x2-2x3+x4=2 (4)令x4=x'4-x"4，且x'4，x"4≥0。

在(4)式中加入人工变量x5，在(2)式中加入松弛变量x6，在(3)式中减去剩余变量x7同时加上人工变量x8；把目标函数变为max Z’=3x1-4x2+2x3-5(x'4-x"4）-M x5+0x6+0x7-M x8。

则线性规划问题的标准形为初始单纯形表为下表（其中M为充分大的正数）：2）在上述问题2）的约束条件中加入人工变量x1，x2，…，x n得：初始单纯形表如下表所示：2、分别用单纯法中的大M法和两阶段法求解下述线性规划问题，并指出属哪一类解：解：（1）大M法在上述约束条件中分别减去剩余变量x4，x5，再分别加上人工变量x6，x7得：列出单纯形表如下表所示：由上表知：线性规划问题的最优解为，且标函数的值为7，且存在非基变量检验数σ3=0，故线性规划问题有无穷多最优解。

（2）两阶段法第一阶段数学模型为：第一阶段单纯形表间下表所示：上述线性规划问题最优解，且标函数的最优值为0。

第二阶段单纯形表为下表所示：由上表知：原线性规划问题的最优解为，且标函数的值为7，且存在非基变量检验数σ3=0，故线性规划问题有无穷多最优解。

3、下表是某求极大化线性规划问题计算得到单纯形表。

表中无人工变量，a1，a2，a3，d，c1，c2为待定常数。

试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为最优解，但存在无穷多最优解；（3）该线性规划问题具有无界解；（4）表中解非最优，为对解进行改进，换入变量为x1，换出变量为x6。

解：（1）上表中解为唯一最优解时，必有d>0，c1<0，c2<0。

（2）上表中解为最优解，但存在无穷多最优解，必有d>0，c1<0，c2=0或d>0，c1=0，c2<0。

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