运筹学第二章题解

，目标函数的最优值为
。 （3） 目标函数中
的系数由13变为8，由表2-5可知：
为非基变量，此时其检验数
（4）
，所以线性规划问题的最优解不变。
的系数列向量由
变为
， 由表2-5知：
为非基变量，此时其检验数
，所以线性规划问题的最优解不变。 (5) 增加一个约束条件③
首先，增加约束条件表明以前的单纯形迭代还是有效的，即原来的约束 方程组进行了多次等价变换，所以增加约束条件，就只要增加基变量， 然后将基变量的系数矩阵化为单位矩阵，重新计算非基变量的检验数。 在③式加入松弛变量
-2 -4
1
-100 0
0
-2 -5
0
由表2-5可知，原线性规划问题的最优解为
，目标函数的最优值
。∵非基变量
的检验数
，∴原线性规划问题有无穷多最优解。 （1） 约束变量
的右端常数由20变为30，则
∴
在表2-4的基础上，列出单纯形表，对于此问题，由于检验数均为非 正，而初始解为非可行解，所以用对偶单纯形法进行求解。见表2-6
0
0
9
0
由表2-4可得 原线性规划问题的最优解
0
0
目标函数最优值
2.8 解 将原问题划为标准形式得
s.t.
对于此线性规划问题，用单纯形法进行求解，见表2-5 表2-5
-5
5
13
0
0
0
20 -1
1
1
0
0
90 12
4
10
0
1
9
0
-5
5
13
0
0
13
1
0
20
0
0
1
35
0
0
5
20 -1
1
3
1
0
0
10 16
0
s.t.
由互补松弛性：若
分别是原问题和对偶问题的可行解，那么
，当且仅当
为最优解。 设
为原问题的最优解。
其中 为原问题约束条件的松弛变量。而
为对偶问题的最优解。
其中 为与(1)(2)(3)(4)相对应的松弛变量。
∴ 且
∵ ∴(3)(4)为等式，故 (1)(2)为不等式，故 由 即 得 ∵ 由 即 得 即原问题的约束条件应取等号 ∴
目标函数最优值
（2）令
，将上述问题转化为如下形式
s.t.
对于此线性规划问题，列出初始单纯形表，利用对偶单纯形法求解，见 表2-4
表2-4
-3 -2 -1 -4
0
0
0
0
-2 -4 -5 -1
1
0
0
-2 -3
1
-7
2
0
1
0
-15
-2 -1 -6
0
0
0
-3 -2 -1 -4
0
0
0
6
0
1
0
0
7
0
0
1
-3
31
∴
在表2-5的基础上列出单纯形表，对于此问题，由于检验数均为非正， 而初始解为非可行解，所以用对偶单纯形法进行求解，见表2-7
表2-7
-5
5
13
0
0
5
20
-1
1
3
1
0
0
-10 16
0
-4
1
-100 0
0
-2
-5
0
5
5
23
1
0
-5
13
5
-8
0
1
2
-90 -16
0
0
-1
-1
由表2-7可知，线性规划问题的最优解发生了变化，其最优解为
得
，显然
可以作为增加的基变量。在表2-5的基础上加入上述约束条件后用对偶 单纯形表进行求解，见表2-8 表2-8
-5
5
13
0
0
0
5
20 -1
1
3
1
0
0
0
10 16
0
-2
-4 1
0
0
50
2
3
5
0
0
1
5
20 -1
1
3
1
0
0
0
10 16
0
-2
1
0
-4
0
-10 5
0
-3
0
1
-100 0
0
-2 -5
0
0
5
1
解得 所以，原问题的最优解为 目标函数最优值 2.7 解 （1）令 ，将上述问题转化为如下形式
s.t.
对于此线性规划问题，列出初始单纯形表，利用对偶单纯形法求解，见 表2-3
表2-3
-1
-1
0
0
0
-4
-2
-1
1
0
0
-7
-1
0
1
0
-1
-1
0
0
0
-3
0
1
-1wenku.baidu.com
1
1
0
1
0
0
-1
1
0
-1
0
1
0
0
由表2-3可得原线性规划问题的最优解
表2-6
-5
5
13
0
0
5
30 -1
1
3
1
0
0
-30 16
0
-4
1
-150 0
0
-2
-5
0
5
-15 23
1
0
13
15 -8
0
1
2
-120 -16
0
0
-1
-1
0
3
0
1
13
9
1
0
-117
0
0
由表2-6可知，线性规划问题的最优解发生了变化，其最优解为
，目标函数的最优值为
。 （2） 约束条件②的右端常数由90变为70
并未发生变化 ∴
并未发生变化。 故线性规划问题的最优解不发生变化。
运筹学第二章题解 2.2 解 令
，
则
∴
解得
∴
∴
∴表2-2中的数字填写如下： 表2-2
0
0
0
1
0
1
5
1
0
0
0
5
0
0
4
0
4
5
0
1
0
4
0
0
1
3
1
0
0
0
0
0
.3 解 （1）对偶问题为
s.t.
0
0
1
0
0
1
0
0
(2)对偶问题为
s.t.
2.4 解 （1）错误。原问题存在可行解，对偶问题可能存在可行解也可 能无可行解。 （2）错误。线性规划的对偶问题无可行解，则原问题可能无可行解也 可能为无界解。 （3）正确。反证如下，假设该问题无最优解，则必为无界解，由无界 性定理知对偶问题应该无可行解，矛盾。 2.6 解 该问题的对偶问题为
0
0
0
15
0
0
1
13
0
1
0
-95
0
0
0
由表2-8可知，线性规划问题的最优解发生了变化，其最优解为
，目标函数的最优值为
。 (6) 将原约束条件②改为
这种情况也可以将不等式约束化为等式约束后，用原来的最优基矩阵的 逆去乘，看看结果如何？本习题比较特殊，虽然改变了一个约束条件， 但是原来的最优基并没有改变，所以原来的最优基还是新问题的基，问 题就 相对容易了。