山东科技大学2007年高等代数考研试题
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(山东.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．（1）若cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则使21z =-的θ值可能是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π （2）已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则MN =（ ）A ．{}11-，B ．{}1-C ．{}0D ．{}10-，（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④（4）设11132a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3B ．1-，1C ．1-，3D ．1-，1，3（5）函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和最大值分别为（ ）①正方形②圆锥③三棱台④正四棱A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2（6）给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()3x f x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =（7）命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ） A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤ B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤C ．存在x ∈R ，3210x x -+>D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ） A ．0.9，35 B ．0.9，45 C ．0.1，35D ．0.1，450 13 14 15 16 17 18 19 秒 频率/组距0.360.340.180.060.04 0.02（9）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是（ ） ①p ：2m <-或6m >；q ：23y x mx m =+++有两个不同的零点．②():1()f x p f x -=；:()q y f x =是偶函数． ③:cos cos p αβ=；:tan tan q αβ=． ④:p A B A =；:U Uq B A ⊆．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④（10）阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（ ） A ．2500，2500 B ．2550，2550 C ．2500，2550D ．2550，2500`（11）在直角ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ） A ．2AC AC AB = B ．2BC BA BC = C ．2AB AC CD =D ．22()()AC AB BA BC CD AB⨯=（12）位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位`于点(23)，的概率是（ ） 开始 输入n22x <1n n =-T T n=+1n n =-结束输出S T ，s s n =+否00ST ==，A ．212⎛⎫⎪⎝⎭B ．3231C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2231C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．312231C C 2⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上． （13）设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为 ．（14）设D 是不等式组21023041x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≥，≤≤，≥表示的平面区域，则D 中的点()P x y ，到直线10x y +=距离的最大值是 ．（15）与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +---=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．（16）函数log (3)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）设数列{}n a 满足211233333n n na a a a -++++=…，a ∈*N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．（18）（本小题满分12分）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）． （Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率．（19）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，AB DC ∥．（Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证：1D E ∥平面11A BD ； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．（20）（本小题满分12分）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？BCD A1A1D1C1BE北2B2A120 105（21）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．（22）（本小题满分14分）设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考答案第Ⅰ卷一、选择题（1）D （2）B （3）D （4）A （5）A （6）B（7）C（8）A（9）D（10）D（11）C（12）B第Ⅱ卷二、填空题（13）212p （14）42 （15）22(2)(2)2x y -+-= （16）8三、解答题（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）211233333n n na a a a -++++=…， ① ∴当2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++=…． ② ①-②得1133n n a -=，13n n a =．在①中，令1n =，得113a =．13n na ∴=． （Ⅱ）n nn b a =， 3n n b n ∴=．23323333n n S n ∴=+⨯+⨯++…， ③23413323333n n S n +∴=+⨯+⨯++…． ④④-③得12323(3333)n n n S n +∴=-++++…．即13(13)2313n n n S n +-=--，1(21)3344n n n S +-∴=+．（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程20x bx c ++=没有实根”为事件A ，“方程20x bx c ++=有且仅有一个实根”为事件B ，“方程20x bx c ++=有两个相异实数”为事件C ，则{}()126b c b c Ω==，，，，…，，{}2()40126A b c b c b c =-<=，，，，，…，， {}2()40126B b c b c b c =-==，，，，，…，， {}2()40126C b c b c b c =->=，，，，，…，，所以Ω是的基本事件总数为36个，A 中的基本事件总数为17个，B 中的基本事件总数为2个，C 中的基本事件总数为17个． 又因为B C ，是互斥事件， 故所求概率21719()()363636P P B B C =+=+=． （Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为012，，，则{}17036P ξ==， {}1118P ξ==， {}17236P ξ==， 故ξ的分布列为：ξ 012P17361181736所以ξ的数学期望171170121361836E ξ=⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）记“先后两次出现的点数有中5”为事件D ，“方程20x bx c ++=有实数”为事件E ，由上面分析得11()36P D =，7()36P D E =， ()7()()11P D E P E D P D ∴==．（19）（本小题满分12分） 解法一：（Ⅰ）连结BE ，则四边形DABE 为正方形，11BE AD A D ∴==，且11BE AD A D ∥∥， ∴四边形11A D EB 为平行四边形．11D E A B ∴∥．又1D E ⊄平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，1D E ∴∥平面1A BD ．（Ⅱ）以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1DA =，则(000)D ，，，(100)A ，，，(110)B ，，，(022)C ，，，1(102)A ，，，1(102)DA ∴=，，，(110)DB =，，， BCD A1A1D1C1BEG设()x y z =，，n 为平面1A BD 的一个法向量． 由1DA ⊥n ，DB ⊥n ，得200.x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1z =，则(231)=-，，n ．又2(023)DC =，，，(110)DB =，，， 设111()x y z =，，m 为平面1C BD 的一个法向量， 由DC ⊥m ，DB ⊥m ，得11112200.y z x y +=⎧⎨+=⎩， 取11z =，则(111)=-，，m ，设m 与n 的夹角为a ，二面角11A BD C --为θ，显然θ为锐角，33cos 393θ-∴===-m n m n ． 3cos 3θ∴=， 即所求二面角11A BD C --的余弦为33． 解法二：（Ⅰ）以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设DA a =，由题意知：(000)D ，，，(00)A a ，，，(0)B a a ，，，(020)C a ，，，1(022)C a a ，，，1(02)A a a ，，，1(002)D a ，，，(00)E a ，，．1(02)D E a a ∴=-，，，1(02)DA a a =，，，(0)DB a a =，，， 又(02)(0)(02)a a a a a a -=-，，，，，，，1D E DB DA ∴=-．1DA DB ⊂，平面1A BD ，1D E ⊄平面1A BD ， 1D E ∴∥平面1A BD ．（Ⅱ）取DB 的中点F ，1DC 的中点M ，连结1A F ，FM ， 由（Ⅰ）及题意得知：022a a F ⎛⎫⎪⎝⎭，，，(0)M a a ，，， 1222a a FA a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，，22a a FM a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，12(0)022a a FA DB a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，，(0)022a a FM DB a a a ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，，，，．1FA DB ∴⊥，FM DB ⊥，1A FM ∴∠为所求二面角的平面角．111cos FA FM A FM FA FM∴=∠BCD A 1A1D 1C1BExyzF M2222232622a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，，，， 222223443332a a a a--+==． 所以二面角11A BD C --的余弦值为33． 解法三：（Ⅰ）证明：如解法一图，连结1AD ，AE ， 设11AD A D G =，AEBD F =，连结GF ，由题意知G 是1A D 的中点，又E 是CD 的中点，∴四边形ABED 是平行四边形，故F 是AE 的中点，∴在1AED △中，1GF D E ∥，又GF ⊂平面1A BD ，1D E ⊄平面1A BD ，1D E ∴∥平面1A BD ．（Ⅱ）如图，在四边形ABCD 中，设AD a =，AB AD =，AD DC ⊥，AB DC ∥， AD AB ∴⊥．故2BD a =，由（Ⅰ）得2222222BC BE EC a a a =+=+=，2DC a =，BCDA1A1D1C1BEF MH90DBC ∴=∠，即BD BC ⊥．又1BD BB ⊥，BD ∴⊥平面11BCC B ，又1BC ⊂平面11BCC B ，1BD BC ∴⊥，取1DC 的中点M ，连结1A F ，FM ， 由题意知：1FM BC ∴∥，FM BD ∴⊥．又11A D A B =，1A F BD ∴⊥．1A FM ∴∠为二面角11A BD C --的平面角．连结1A M ，在1A FM △中， 由题意知：1322A F a =，2211116222FM BC BC CC a ==+=， 取11D C 的中点H ，连结1A H ，HM ， 在1Rt A HM △中，12A H a =，HM a =， 13A M a ∴=．2221111cos 2A F FM A M A FM A F FM+-∴=∠2229332236222a a a a a +-= 33=． ∴二面角11A BD C --的余弦值为33． （20）（本小题满分12分）解法一：如图，连结11A B ，由已知22102A B =，122030210260A A =⨯=，1221A A A B ∴=，又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1212102A B A A ∴==， 由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理，22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-22220(102)2201022=+-⨯⨯⨯200=．12102B B ∴=．北1B2B1A2A120 105 甲乙因此，乙船的速度的大小为1026030220⨯=（海里/小时）． 答：乙船每小时航行302海里．解法二：如图，连结21A B ，由已知1220A B =，122030210260A A =⨯=，112105B A A =∠，cos105cos(4560)=+cos 45cos60sin 45sin 60=- 2(13)4-=， sin105sin(4560)=+sin 45cos60cos 45sin 60=+ 2(13)4+=． 在211A A B △中，由余弦定理，22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-222(13)(102)202102204-=+-⨯⨯⨯100(423)=+．1110(13)A B ∴=+． 由正弦定理1112111222202(13)2sin sin 4210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， 12145A A B ∴=∠，即121604515B A B =-=∠，北1B2B1A2A120 105 乙甲2(13)cos15sin1054+==．在112B A B △中，由已知12102A B =，由余弦定理，22212112221222cos15B B A B A B A B A B =++2222(13)10(13)(102)210(13)1024+=++-⨯+⨯⨯200=．12102B B ∴=， 乙船的速度的大小为1026030220⨯=海里/小时． 答：乙船每小时航行302海里． （21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：3a c +=，1a c -=，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-=．∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+， 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y y x x =---，1212122()40y y x x x x ∴+-++=，2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --∴+++=+++，2291640m mk k ∴++=．解得：12m k =-，227km =-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （22）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知，()f x 的定义域为(1)-+∞，，322()211b x x bf x x x x ++'=+=++ 设2()22g x x x b =-+，其图象的对称轴为1(1)2x =-∈-+∞，，max 11()22g x g b ⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭．当12b >时，max 1()02g x b =-+>， 即2()230g x x x b =+->在(1)-+∞，上恒成立，∴当(1)x ∈-+∞，时，()0f x '>， ∴当12b >时，函数()f x 在定义域(1)-+∞，上单调递增． （Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当12b >时，函数()f x 无极值点． ②12b =时，3122()01x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'==+有两个相同的解12x =-， 112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，12x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，12b ∴=时，函数()f x 在(1)-+∞，上无极值点． ③当12b <时，()0f x '=有两个不同解，11122b x ---=，21122b x -+-=，0b <时，111212b x ---=<-，211202bx ---=>，即1(1)x ∈-+∞，，[)21x ∈-+∞，．0b ∴<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x1(1)x -， 1x 2()x +∞，()f x '-+()f x极小值由此表可知：0b <时，()f x 有惟一极小值点11122bx ---=，当102b <<时，111212b x ---=>-， 12(1)x x ∴∈-+∞，，此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x1(1)x -，1x 12()x x ， 1x 1()x -∞， ()f x ' +0 -0 +()f x极大值极小值由此表可知：102b <<时，()f x 有一个极大值11122b x ---=和一个极小值点21122bx -+-=；综上所述：0b <时，()f x 有惟一最小值点1122bx -+-=；102b <<时，()f x 有一个极大值点1122b x ---=和一个极小值点112bx x-+-=；12b ≥时，()f x 无极值点．（Ⅲ）当1b =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+， 令函数222()()ln(1)h x x f x x x x =-=-++，则22213(1)()3211x x h x x x x x +-'=-+=++． ∴当[)0x ∈+∞，时，()0f x '>，所以函数()h x 在[)0+∞，上单调递增，又(0)0h =．(0)x ∴∈+∞，时，恒有()(0)0h x h >=，即23ln(1)x x x >-+恒成立．故当(0)x ∈+∞，时，有23ln(1)x x x +>-． 对任意正整数n 取1(0)x n =∈+∞，，则有23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭． 所以结论成立．。
山东科技大学电路2007年考研真题
山东科技大学2007年招收硕士学位研究生入学考试 电路试卷一、单项选择题：(本大题共12小题，每小题5分，总计60分)在下列各题中，有四个备选答案，请将其中唯一正确的答案写到答题纸上，不要写在试卷上！1、图示正弦交流电路中，负载L Z 获得最大功率时，L Z 应为A.5Ω B. ()j35+ΩC. ()j35−ΩD.j3−Ω答 ( )LSU 2、若变压器的初级线圈和次级线圈的电感均为2H,线圈间的互感也为2H,则该变压器为A. 为理想变压器B. 线圈的匝数比为2C. 为全耦合变压器D. 以上三点全不正确 答( ） 3、今有10μF 的电容元件，充电到100 V 后从电路中断开，经10 s 后电压下降到36.8 V ，则该电容元件的绝缘电阻为 A. 100k Ω B. 1M Ω C. 10M Ω D. 20M Ω 答（ ）4、RLC 串联电路的R =4k Ω，L =4H ，C =1µF 。
该电路的暂态响应属于A. 衰减振荡情况B. 振荡情况C. 临界情况D. 非振荡情况 答( )5、图示正弦交流电路中，若21C L ωω>，且电流有效值A 41=I ，A 32=I ，则I 等于A. 7AB. 5A C1AD.2A答 ( )2C6、图示二端网络的电压电流关系为A. U I =+25B. U I =−25C. U I =−−25D. U I =−+25 答( )7、电路如图所示, 当t =0时开关断开, 已知()()i i 12000−−==,则()i 20+等于A.L L L I 112+SB. 0C.L L L I 212+SD.12L I S 答()28、图示电容元件的()u 00=，()i t =02. A ，则t 由0至50s 期间电容吸收能量为A.50 JB. 100 JC. 250 JD. 500 J答()02.9、图示正弦RLC 并联电路,测得图中各电流有效值分别为I =5A, I R =4A,I L =3A, 则i C 等于A. 1AB. 2AC. 6AD. 4A 答( )C+-10、图示正弦交流电路中，已知°∠=05SI &A ，则电路复功率(功率复量)S ~等于A. ()j3648−V AB. ()j3648+V AC.()j4836−V AD.()j4836+V A答 ( )Ωj3SI11、图示并联的有互感线圈的等效电感为A. L 1+L 2+2MB. L 1+L 2－2MC.L L M L L M 122122−+−D.L L M L L M122122−++ 答( )L 212、图示电路中i S =+(2410cos t )A ，则10Ω电阻消耗的功率为A. 20WB. 160WC. 80WD. 200W 答( )01.F二、非客观题( 本 大 题15分 ) 求图示电路中的i 1、i 2。
山东科技大学考研真题450有机化学 2007
山东科技大学2007年招命名或写出结构式（15分，每题1分）
二、完成下列反应式（30分，每空1分）
三、简答题（30分）
1.用化学方法除去乙烷中少量的乙烯。（5分）
2.试将下列化合物按酸性的强弱排列,并予以解释。（5分）
2.某碱性化合物A（C4H9N）经臭氧化再水解，得到的产物中有一种是甲醛。A经催化
加氢得B（C4H11N）。B也可由戊酰胺和溴的氢氧化钠溶液反应得到。A和过量的碘甲烷作用，能生成盐C（C7H16IN）。该盐和湿的氧化银反应并加热分解得到D（C4H6）。D和丁炔二酸二甲酯加热反应得到E（C10H12O4）。E在钯存在下脱氢生成邻苯二甲酸二甲酯。试推测A、B、C、D、E的结构。（10分）
3.比较下列离去基团的离去能力的大小强弱，并予以解释。（5分）
4.将下列醇按沸点由低到高排列，并予以解释。（5分）
5.用化学方法鉴别下列化合物：（5分）
6.比较下列卤代烷烃的单分子亲核取代反应（SN1）的反应活性大小，并予以解释。（5分）
四、给出可能的反应机理并予以解释。（20分，每小题10分）
1.
（10分）
2.
（10分）
五、推断结构题（30分,每小题10分）
1.化合物A、B、C、D的分子式都是C10H14，它们都有芳香性。A不能氧化为苯甲酸；B可被氧化为苯甲酸，且B有手性；C也可氧化成苯甲酸，但C无手性，C的一氯代产物中有两个具有手性，分别为E和F；D可氧化为对苯二甲酸，D的一氯代产物中也有两个具有手性，分别是G和H。试写出A、B、C、D、E、F、G、H的构造式。（10分）
六、合成题（25分，每小题5分）
1.以 合成 。（5分）
2007年考研数学试题详解及评分参考
f (x, y)dy =
G
G dy = y2 - y1 < 0 ，是正确选项；
ò ò 对选项(C)，有 f (x, y)ds = ds = l > 0 ，（其中 l 为的弧长），应排除；
G
G
ò ò 对选项(D)，有
G
f
¢
x
(
x,
y)dx
+
f
¢
y
(
x,
y)dy
=
0dx + 0dy = 0 ，应排除.
G
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2007 年数学试题详解及评分参考
2007 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题详解及评分参考
数 学（一）
一、选择题 （ 1 ～ 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。）
(1) 当 x ® 0+ 时，与 (A) 1- e x
【答】 应选 (B) .
x 等价的无穷小量是
1- x
1- x 1- x
x+x:
x ，1- cos
x
:
1 2
(
x )2
=
1 2
x
.
故选 (B) .
(2)
曲线 y
=
1 x
+ ln(1+ ex ) 渐近线的条数为
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
【答】 应选 (D) .
【解】
因 lim y x®+¥
=
lim [1 x x®+¥
+ ln(1+ ex )] = +¥ ， lim x®-¥
y
=
lim [1 x x®-¥
2007考研数一真题答案及详细解析
h(a) =f(a)-g(a) =M-g(a)�O, h(/J) =f依） — g(/J) =f(/J) —M<o,
P 由介们定理，存在介于a与 之间的点刀，使得h(r;) = O.
综上，存在吓E(a,b),使得h(r;)=O. 因此由罗尔定理可知，存在 名ECa,r;),名E(17,b),使得
h I(名） =h'(名） =O,
= O,
故 x-+=时有斜渐近线y =x.
综上，所求曲线的渐近线条数为 3 条，答案为 D.
(3) C
解 如题目中图所示，大小半圆的面积分别为六与 一 14 六．
按定积分的几何意义知，当 x E[0,2]时f(x)�O,当 x E[2,3]时f(x)�O. 则
I I 2(:) ! F(3)=
勹 (t)dt=
(x2 )" n!
=xe立、2
,x、EC�=,
十=).
(21)解 因为方程组也与＠的公共解，即为联立方程组 x1+x2+x3 = 0,
x1 +2x2+a儿、 3 = O, ＠
X 1 +4x2 +a勹3�o, ｀亢 1+2x2 +.:r :, =a — 1
的解
对方程组＠的增广矩阵A施以初等行变换，有
。 。 1 1 1
= J'(0)存在．
工 -o
x-o X
工-o
X
因此A、B、C正确．故应选D.
(5) D 解
、
由广(x)>O (x>O)得J'(x)在(0, 十=)单调上升.j (x)只有以下三种情形：
(1)由存在x。 E (o, 十=), 厂(x。 )=O得
山东科技大学信号与系统2007--2020年考研初试真题
1一、画图（每小题6分，共30分）（1）请画出=)(t T δ)(∑-n nT t -∞∞=δ的波形（2）请画出)(t δ的频谱。
（3）若信号)(t f 的频谱如下图所示,请画出该信号被冲击序列信号=)(t T δ)(∑-n mT t -∞∞=δ取样后信号的频谱。
(注:取样频率大于2ωm)（4）在Z 域平面上，画出序列()()()1k k f k a k b k εε=+--的收敛域（5）请画出该系统的模拟框图或信号流图。
二、若函数()f t 的傅氏变换为()F jw ,)(t ε是阶跃函数，求下列函数的傅氏变换：（每小题5分，共10分）(1)(2)(2)f t t δ-；（2）f (t )=)(t ε三、求原函数（每小题5分，共20分）（1）)3cos(2)(ωω=j F （2），（Re(s)>0注：可表达为卷积的形式）2（3）121)(+=z z F ，(1<|z|)（错误：引用源未找到）（4（⎥z ⎥>5）{参考公式：)0()()()1(--↔f s sF t f,)0()0()()()1(2)2(----↔f sf s F s t f，，，)1()()1-k (1-+↔-f z F z f ,12)1()2()()2-k (---+-+↔z f f z F z f }四．（15分）某LTI 连续系统，其初始状态一定，已知当激励为)(t f 时，其全响应为0),cos(1≥+=-t t e y t π;若初始状态不变时，激励为)(2t f 时，其全响应为0),cos(2)(2≥=t t t y π。
求初始状态不变，而激励为)(3t f 时系统的全响应。
五.（15分）若已知描述某离散时间系统的差分方程为)(4)2(4)1(4)(k f k y k y k y =-+--，初始条件为0)1(=-y ，2)2(=-y ，)()3()(k k f k ε-=，由z 域求系统的零输入响应和零状态响应。
2007年考研数学一试卷真题及答案解析
2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当0x +→等价的无穷小量是(A) 1- (B) ln(C) 1. (D) 1- [ B ]【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】 当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111~.22x -= 利用排除法知应选(B). (2) 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim[ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11xx x e e→+∞=+， 1lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim[ln (1)]lim ln(1)0x x xx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ]【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
2007—数二真题、标准答案及解析
在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的
是：（C）
.
(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)
A. 若存在，则 B. 若存在,
C. 若存在, 则 D. 存在,
（5）曲线渐近线的条数为
（D）
0
12
3
(6)设函数在上具有二阶导数，且,
令=
则下列结论正确的是
(D)
A.若，则必收敛 B. 若，则必发散
则原式可化为： 等式两边同时求导得：
（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线 下方、轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积； （Ⅱ）当为何值时，最小？并求此最小值. 【详解】：
得 故 即是唯一驻点，也是最小值点，最小值 （19）求微分方程满足初始条件的特解. 【详解】： 设，则代入得：
C. 若，则必收敛 D. 若，则必发散
（7）二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （ ）
A.
B. ，且
C.
D. 且
（8）设函数连续，则二次积分等于 （ ）
（9）设向量组线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( )
（A） （B）
（C） （D）
（10）设矩阵A=，B=,则A于B，
（）
(A) 合同，且相似
C. 若，则必收敛 D. 若，则必发散
（7）二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （c）
A.
B. ，且
C.
D. 且
（8）设函数连续，则二次积分等于 （B）
（9）设向量组线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A)
（A） （B）
（C） （D）
（10）设矩阵A=，B=,则A于B，
山东科技大学848线性代数2004--2006,2008,2012,2014--2019年考研真题
0
7x1 7x2 3x3 x4 0
的基础解系与通解。
第1页
第2页
科目代码：409 请在答题纸（本）上做题， 在此试卷及草入纸上做题无效！
山东科技大学2005年招收硕士学位研究生入学考试 线性代数试卷
（共2页）
一、（20分，每小题10分）计算下列行列式
1 a 1 1 1 (1)D 1 1 a 1 1
1-414 22 33 23-121 11 30
-1013-13263
f x12 x22 x32 x42 2x1 x2 4x1 x3 2x1 x4 6x3 x2 4x4 x2 六、（21分）
设a1= ，a2= , a3= , 用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。
1
1
1
五、（本题
20
分）设有向量组
A
：a1
1 2
，a2
2 1
，a3
1 4
及向量
b
0
3
，
2
3
0
1
问向量 b 能否由向量组 A 线性表示？若能，求出表示式.
（C） A 0 .
（D） A 的特征方程没有重根.
4、设 A 为三阶矩阵，将 A 的第二行加到第一行得 B ，再将 B 的第一记
P
0 0
1 0
0 1
，则（
）
(A) C P1AP .
(B) C PAP1 .
(C) C PT AP .
0
山东科技大学会计学2007--2014年考研专业课初试真题
效！
投资本息。 要求：根据以上资料，采用实际利率法编制有关会计分录。（实际利率保留小数点后3 位） 2．公司所有者权益核算 资料：假设某股份有限公司发生下述有关业务： ⑴ 发行附带认股权证的优先股10 000股，每股面值为1元，发行价格为1.2元，实收价款12 000元；认股权证规定可以购买面值为1元的普通股股票1股，价格为1元，普通股股票当时 的市价为1.1元。（分别行权与未行权处理） ⑵ 经批准收回本公司面值为1元的普通股股票10 000股，用以减少股本。该股票发行价格为1.2元。收回股票实际价格为1.3元。 ⑶ 为日后再发行而收回股票10 000股，面值为1元，每股价格为1.3元；再发行5 000股，每股价格为1.4元；再发行5 000股，每股价格为1.2元。 要求：编制有关会计分录。 3．销售收入核算 资料：某公司2006年12月份发生下述有关销售业务：（增值税税率为17%） ⑴ 3日，采用银行本票结算方式销售甲产品价款10 000元。 ⑵ 5日，采用托收承付方式销售甲产品价款10 000元，已办妥托收手续。 ⑶ 7日，销售甲产品价款10 000元，已办妥托收手续。付款条件为：2/10，1/20，n/30。客户于15日付款。企业收取转账 支票。按总价法核算。 ⑷ 10日，某客户因质量问题退回上月甲产品价款2 000元。企业已将转账支票交给客户。 ⑸ 12日，因质量问题同意给予客户销售折让10%，价款200元，企业已将转账支票交给客户。 ⑹ 15日，采用托收承付方式销售乙产品价款10 000元，已办妥托收手续。该批商品的实际成本为6 000元。在办妥托收手续后得知，购货方发生财务困难，近期无法支付货款。 ⑺ 31日，采用银行本票结算方式销售丁产品价款100 000元，该批商品的实际成本为80 000元。销售合同规定，该企业在下年度5月31日以105 000元的价格购回。 要求：根据给定资料编制有关会计分录。 第二部分：成本会计（35分） 一、判断题（每小题1分，共10分）
青岛科技大学860高等代数2007-2012、2016-2018年考研专业课真题试卷
0 0 ... 0 0
1
0
...
0
0
（2）存在V 的一组基，使得 在该组基下的矩阵为 0 1 ... 0 0
... ... ... ... ...
0
0
...
1
0
kk
。
八、（25 分）设V 是复数域上的 n 维线性空间， 和 是V 上的线性变换。
（1） 求 A 的所有不变因子； （2） 写出 A 的 Jordan 标准形。
七、（25 分）设 是数域 P 上线性空间V 0 ，这里 k dimV 。证明：
（1） , ( ),..., k1( ) 线性无关；
A2B
AB
E ，其中 E 是
3 阶单位矩阵，若
A
0
2
0
，则
B
0 0 3
。
5. t 满足
时，二次型 x12 2tx1x2 4x22 (t 1)x32 是正定的。
6.
在
线
性
空
间
P3
中
，
已
知
两
向
量
组
21((11, 2,1,,11,,01), )
1 a1 1
1 ... 1 1
1 1 a2 1 ... 1 1
D 1
1 1 a3 ... 1 1
... ... ... ... ... ...
1
1
1 ... 1 1 an
三、（15
分）给定线性方程组
ax1 x2 x3 x1 ax2 x3
1 1
，讨论当 a 取何值时，方程组有唯一解、无解、
2007【考研数一】真题及解析
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：110小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 当0x +→等价的无穷小量是( )A.1-B1C.1c D -(2) 曲线1ln(1)x y e x=++渐近线的条数为( ) .A 0 .B 1 .C 2 .D 3(3) 如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是( ).A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F =.C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--(4) 设函数()f x 在0x =连续，则下列命题错误的是( ).A 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C 若0()limx f x x →存在，则(0)f '存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在(5) 设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()(1,2,)n u f n n ==，则下列结论正确的是( ).A 若12u u >，则{}n u 必收敛 .B 若12u u >，则{}n u 必发散 .C 若12u u <，则{}n u 必收敛 .D 若12u u <，则{}n u 必发散(6) 设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数)过第Ⅱ象限内的点M 和第IV 象限内的点N ，Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分小于零的是( ).A(,)f x y dx Γ⎰.B (,)f x y dy Γ⎰.C (,)f x y ds Γ⎰ .D (,)(,)x y f x y dx f x y dy Γ''+⎰(7) 设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是( )A .12αα-2331,,αααα--B .12αα+2331,,αααα++C .1223312,2,2αααααα---D .1223312,2,2αααααα+++(8) 设矩阵211121112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，100010000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 与B ( ) A . 合同，且相似 B . 合同，但不相似C . 不合同，但相似D . 既不合同，也不相似(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01),p p <<则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )A .23(1)p p -B .26(1)p p -C .223(1)p p -D .226(1)p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y f x y 为( )A .()X f xB .()Y f yC .()()X Y f x f yD .()()X Y f x f y二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (11)12311x e dx x=⎰_________ (12) 设(,)f u v 为二元可微函数，(,),yxz f x y =则______zx∂=∂(13) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e '''-+=的通解为_____y =(14) 设曲面:1x y z ∑++=，则()_____x y dS ∑+=⎰⎰(15) 设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿＿＿＿(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于12的概率为＿＿＿＿＿＿三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)求函数2222(,)2,f x y x y x y =+-在区域{}22(,)4,0D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值.(18)(本题满分11分)计算曲面积分 23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰ 其中∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧.(19)(本题满分11分)设函数()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=(20)(本题满分10分)设幂级数nn n a x∞=∑在(,)-∞+∞内收敛，其和函数()y x 满足240,(0)0,(0)1y xy y y y ''''--===(I) 证明22,1,2,1n n a a n n +==+(II) 求()y x 的表达式(21)(本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ (1)与方程 12321x x x a ++=- (2)有公共解，求a 得值及所有公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Tλλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量,记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.(I) 验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； (II) 求矩阵B .(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他(I) 求{}2P X Y >；(II) 求Z X Y =+的概率密度()Z f z .(24)(本题满分11分)设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.(I) 求参数θ的矩估计量θ；(II) 判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题 (1)【答案】B 【详解】方法1：排除法：由几个常见的等价无穷小，当0x →时，11;11;2xe x x x -+-2221cos 2sin 2(),222x xx x -==当0x +→0→，所以11();11;2x x x --+-211(),2x-可以排除A 、C 、D ，所以选(B). 方法2：==ln[1+当0x +→时，11-→0→，又因为0x →时，()ln 1x x+，所以)ln[1~~1~x =(B).方法3：000lim limlim x x x +++''→→→=1111lim lim 1x x x x++→→-+--==11xA x -=++(()1142AB x x ++=+对应系数相等得：1A B = =，所以原式01lim lim 1x x xx ++→→-⎡⎤==⎢+⎣0lim lim 01x x ++→→==+1=，选(B).(2)【答案】D【详解】因为001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭001lim limln(1)x x x e x →→=++=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；因为1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++⎪⎝⎭--1lim lim ln(1)000x x x e x →∞→∞=++=+=， 所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令 21l n (1)1l n (1)l i m l i m l i m x x x x x e y e x a x xx x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+10lim 11xx x e e →+∞+ +=洛必达法则令 ()1l i m l i m l n (1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()1limlim ln(1)x x x e x x →+∞→+∞=++-()ln 0lim ln(1)ln x x x x x e e e →+∞ = ++-1lim ln()xx x e e→+∞+=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+== 所以y x =是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择(D)(3)【答案】C【详解】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由0()(),xF x f t dt =⎰知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --==- -- -=- =⎰⎰⎰令因为，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3)F F -=.而2(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰，3232(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值，所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以 232333(3)()()(2)288424F f t dt f t dt F ππππ=+=-==⋅=⎰⎰ 所以 3(3)(3)(2)4F F F -==，选择C(4)【答案】( D) 【详解】方法1：论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确.由0()limx f x x→存在及()f x 在0x =处连续，所以0(0)lim ()x f f x →=0000()()()lim()lim lim 0lim x x x x f x f x f x x x x x x→→→→==⋅=⋅0=，所以(A)正确；由选项(A)知，(0)0f =，所以00()(0)()lim lim0x x f x f f x x x→→-=-存在，根据导数定义，0()(0)'(0)limx f x f f x →-=-存在，所以(C)也正确； 由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而[]0lim ()()lim ()lim ()(0)(0)2(0)x x x f x f x f x f x f f f →→→+-=+-=+=所以0000()()()()()()2(0)lim lim lim 0lim 0x x x x f x f x f x f x f x f x f x x x x x →→→→+-+-+-⎡⎤=⋅=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦即有(0)0f =.所以(B)正确，故此题选择(D).方法2：举例法，举例说明(D)不正确. 例如取()f x x =，有0()()limlim 00x x x x f x f x x x→→----==-存在 而 ()()0000lim lim 100x x f x f x x x --→→---==---，()()0000lim lim 100x x f x f x x x +-→→--==--， 左右极限存在但不相等，所以()f x x =在0x =的导数'(0)f 不存在. (D)不正确，选(D).(5)【答案】( D)【详解】()n u f n =，由拉格朗日中值定理，有1n n (1)()'()(1)'(),(1,2,)n n u u f n f n f n n f n ξξ+-=+-=+-==，其中n 1n n ξ<<+，12n .ξξξ<<<<由''()0,f x >知'()f x 严格单调增，故 12n '()'()'().f f f ξξξ<<<<若12u u <，则121'()0,f u u ξ=-> 所以12n 0'()'()'().f f f ξξξ<<<<<1111k 1111()'()'().nnn k k k k u u u u u f u nf ξξ++===+-=+>+∑∑而1'()f ξ是一个确定的正数. 于是推知1lim ,n n u +→∞=+∞故{}n u 发散. 选(D)(6)【答案】B【详解】用排除法.将(,)1f x y =代入知(,)0f x y ds ds s ΓΓ==>⎰⎰，排除C.取22(,)f x y x y =+，M 、N依次为(、，则37cos ,sin 44x y Γθθπθπ:== ≤≤734(,)cos 0f x y dx d πΓπθ=>⎰⎰，排除A7434(,)(,)2cos (sin )2sin cos 0xyf x y dx f x y dy d πΓπθθθθθ''+=-+=⎰⎰，排除D7434(,)sin 0f x y dy d πΓπθ=<⎰⎰，选B(7) 【答案】A 【详解】方法1：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=成立，则称123,,ααα线性相关.因122331()()()0αααααα-+-+-=，故122331αααααα---，，线性相关，所以选择(A).方法2：排除法因为()122331,,αααααα+++()()1231232101,,110,,,011C αααααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭其中2101110011C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且 2101110011C =11101111(1)2011111011+-⨯-+-=-行行（）1111=⨯-⨯-（）20=≠.故2C 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积，2C 右乘()123,,ααα时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有122331123(,,)(,,)3r r ααααααααα+++==所以122331,,αααααα+++线性无关，排除(B). 因为()1223312,2,2αααααα---()()1231233102,,210,,,021C αααααα-⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭ 其中3102210021C -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，3102210021C -=--11102141014121021+--⨯-=---行2+2行（）1124=⨯--⨯-（）（）≠=-70.故3C 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 3C 右乘()123,,ααα时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα---==所以1223312,2,2αααααα---线性无关，排除(C). 因为()1223312,2,2αααααα+++()()1231234102,,210,,,021C αααααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 其中4102210021C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，4102210021C =11102141(2)2014121021+-⨯-+-=-行行（）1124=⨯-⨯-（）90.=≠故4C 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 4C 右乘()123,,ααα时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα+++==所以1223312,2,2αααααα+++线性无关，排除(D).综上知应选(A).(8) 【答案】B 【详解】方法1：211121112E A λλλλ--=--112312112λλλλλ--、列分别加到列111121112λλλλ--提出1111103112λλλ⨯---行（）+2行111110303λλλ⨯---行（）+3行113103λλλ+-=--（）()230λλ=-=则A 的特征值为3，3，0;B 是对角阵，对应元素即是的特征值，则B 的特征值为1，1，0. ,A B 的特征值不相同，由相似矩阵的特征值相同知，A B 与不相似.由,A B 的特征值可知，,A B 的正惯性指数都是2，又秩都等于2可知负惯性指数也相同，则由实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数，知A 与B 合同，应选(B).方法2: 因为迹(A )=2+2+2=6，迹(B )=1+1=2≠6，所以A 与B 不相似(不满足相似的必要条件).又2(3)E A λλλ-=-，2(1)E B λλλ-=-，A 与B 是同阶实对称矩阵，其秩相等，且有相同的正惯性指数，故A 与B 合同.(9)【答案】C【详解】把独立重复射击看成独立重复试验.射中目标看成试验成功. 第4次射击恰好是第2次命中目标可以理解为：第4次试验成功而前三次试验中必有1次成功，2次失败.根据独立重复的伯努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为123(1).C p p -再加上第4次是成功的，其概率为p .根据独立性原理：若事件1,,n A A 独立，则{}{}{}{}1212n n P A A A P A P A P A =所以，第4次射击为第二次命中目标的概率为12223(1)3(1).C p p p p p -⋅=- 所以选(C)(10)【答案】A【详解】二维正态随机变量(,)X Y 中，X 与Y 的独立等价于X 与Y 不相关. 而对任意两个随机变量X 与Y ，如果它们相互独立，则有(,)()()X Y f x y f x f y =.由于二维正态随机变量(,)X Y 中X 与Y 不相关，故X 与Y 独立，且(,)()()X Y f x y f x f y =. 根据条件概率密度的定义，当在Y y =条件下，如果()0,Y f y ≠则(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =()()()()X Y X Y f x f y f x f y ==.现()Y f y 显然不为0，因此(|)().X X Y f x y f x = 所以应选(A).二、填空题 (11)【详解】命1t x=，有211,,x dx dt t t ==-12311x e dx x ⎰111133222121112111t t t t t t e d t e dt te dt te dt x t t ⎛⎫ = =-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ()1111121111222212t t tt tde tee dt e e e =-=--⎰⎰分部积分11122211222e e e e e ⎛⎫=---== ⎪⎝⎭(12)【答案】112(,)(,)ln y x y y x xf x y yx f x y y y -''+【详解】z x∂=∂12(,)(,)(,)y x y xy x y xf x y x y f x y f x y x x x ∂∂∂''=+∂∂∂112(,)(,)ln y x y y x x f x y yx f x y y y -''=+(13)【答案】32122x x xC e C e e +-【详解】这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()xm P x e λ型(其中()2,2m P x λ= =).所给方程对应的齐次方程为430y y y '''-+=，它的特征方程为2430,r r -+= 得特征根121,3,r r == 对应齐次方程的通解1231212r x r x x x y C e C e C e C e =+=+由于这里2λ=不是特征方程的根，所以应设该非齐次方程的一个特解为*2,xy Ae = 所以()*22xy Ae'=，()*24xyAe''=，代入原方程：222244232xx x x AeAe Ae e -⋅+=，则2A =-，所以*22.xy e =- 故得原方程的通解为32122x x x y C e C e e =+-.(14)【详解】 ()x y dS xdS y dS ∑∑∑+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，对于第一部分，由于积分区域关于x 轴、y 轴是对称的面，被积函数x 为x 的奇函数，所以0.xdS ∑=⎰⎰对于第二部分，因∑关于,,x y z 轮换对称，所以,xdS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰那么()1133y dS x y z dS dS ∑∑∑=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，由曲面积分的几何意义，dS ∑⎰⎰为曲面的表面积，所以13ydS dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰()1.3=⨯∑的面积 而∑为8，所以∑的面积218sin23π=⋅=所以1()433x y dS y dS ∑∑+==⋅=⎰⎰⎰⎰(15)【答案】1 【详解】2010001000010*********001000100010000000000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3201001000001000100100000000000010000000000000000A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=⋅==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由阶梯矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数，知()3 1.r A =(16) 【答案】34【详解】不妨假定随机地抽出两个数分别 为X Y 和，它们应是相互独立的. 如果把,X Y （）看成平面上一个点的坐标，则由于 01,01,X Y <<<<所以,X Y （）为平面上正方形：01,01X Y <<<<中的一个点.X Y 和两个数之差的绝对值小于12对应于正方形中12X Y -<的区域.所有可能在区间(0,1)中随机取的两个数,X Y ，可以被看成上图中单位正方形里的点.12X Y -<的区域就是正方形中阴影的面积D . 根据几何概率的定义：()211213.214D P X Y -⎛⎫-<=== ⎪⎝⎭的面积单位正方形面积三、解答题(17)【详解】方法1：先求函数(,)f x y 在D 的内部驻点，由22220420x y f x xy f y x y ⎧'=-=⎪⎨'=-=⎪⎩，解得D内的驻点为(，相应的函数值为(2f =再考虑在D 的边界1L ：0(22)y x =-≤≤上的(,)f x y . 即2(,0)(22)f x x x =-≤≤，易知函数(,)f x y 在此边界上的最大值为(2,0)4f ±=，最小值为(0,0)0f =.考虑在D 的边界2L ：224(0)x y y +=≥上的(,)f x y，所以y =令222242()(2(4)(4)58,22h x f x x x x x x x x ==+---=-+-≤≤由3()4100h x x x '=-=得驻点1230,x x x === 所以函数()h x 在相应点处的函数值为(0)(0,2)8h f ==，7((4h f ==，74h f == 综上可知函数在D 上的最大值为(0,2)8f =，最小值为(0,0)0f =. 方法2：在D 内与边界1L 上，同方法1 .在边界2L ：224(0)x y y +=≥上，构造函数222222(,,)2(4)F x y x y x y x y λλ=+-++-令 22222220422040x y F x xy x F y x y y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，02x y =⎧⎨=⎩(74f =，(0,2)8f =综上，(,)f x y 在D 上的最大值为8，最小值为0(18)【详解】方法1：增加一个曲面使之成为闭合曲面，从而利用高斯公式，补充曲面片22:0,14y S z x =+≤，下侧为正，有122323SSI xzdydz zydzdx xydxdy xzdydz zydzdx xydxdy II ∑+=++-++=+⎰⎰⎰⎰根据高斯公式，1(2)I z z dv Ω=+⎰⎰⎰221111436(1)x y zzdz dxdy z z dz ππ+<-==-=⎰⎰⎰⎰其中，22(,,)1,014y x y z x z z ⎧⎫⎪⎪Ω=+≤-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 又2221143x y I xydxdy +≤=-⎰⎰由函数奇偶性可知2211430x y xydxdy +≤=⎰⎰，从而0I ππ=+=.方法2：曲面∑在xOy 上的投影记为xy D ，由于曲面∑的正向法向量为1(,,1)(2,,1)2x y n z z x y ''=--=，所以23(,,)xyD I xzdydz zydzdx xydxdy X Y Z ndxdy ∑=++=⎰⎰⎰⎰2222222211411[2(1)(1)3]44x y x x y y x y xy dxdy +≤=--+--+⎰⎰令 c o s ,02,01s i nx r r y r θθπθ=⎧≤≤≤≤⎨=⎩，则 2122222220[2(1)cos 2(1)sin 6cos sin ]2I d r r r r r rdr πθθθθθ=-+-+⎰⎰132012(1)r r dr ππ=-=⎰方法3：记曲面∑在三个坐标平面上的投影分别为,,xy yz zx D D D ，则利用函数奇偶性有，330xyD xydxdy xydxdy ∑==⎰⎰⎰⎰1022yzD xzdydz zdz -∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰10[2(1)]3z z dz ππ=-=⎰1288zxD zydzdx zdz ∑==⎰⎰⎰⎰⎰124(1)3z z dz ππ=-=⎰ 所以 223033I xzdydz zydzdx xydxdy πππ∑=++=++=⎰⎰(19)【详解】欲证明存在(,)a b ξ∈使得()()f g ξξ''''=，可构造函数((),())0f x g x ϕ=，从而使用介值定理、微分中值定理等证明之.令()()()x f x g x ϕ=-，由题设(),()f x g x 存在相等的最大值，设1(,)x a b ∈，2(,)x a b ∈使得12[.][.]()max ()()max ()a b a b f x f x g x g x ===. 于是111()()()0x f x g x ϕ=-≥，222()()()0x f x g x ϕ=-≤若1()0x ϕ=，则取1(,)x a b η=∈有()0ϕη=. 若2()0x ϕ=，则取2(,)x a b η=∈有()0ϕη=.若12()0,()0x x ϕϕ><，则由连续函数介值定理知，存在12(,)x x η∈使()0ϕη=. 不论以上哪种情况，总存在(,),a b η∈使()0ϕη=.再()()()0,()()()0a f a g a b f b g b ϕϕ=-==-=，将()x ϕ在区间[,],[,]a b ηη分别应用罗尔定理，得存在12(,),(,),a b ξηξη∈∈使得12()()0ϕξϕξ''=＝0,；再由罗尔定理知，存在12(,)ξξξ∈，使()0ϕξ''=.即有()()f g ξξ''''=.(20)【详解】(I) 证法一：对0nn n y a x∞==∑求一阶和二阶导数，得 1212,(1),n n nn n n y na xy n n a x ∞∞--=='''==-∑∑代入240y xy y '''--=，得2121(1)240n n n nn n n n n n n a xx na xa x ∞∞∞--===---=∑∑∑即21(1)(2)240nnn n n n n n n n n ax na x a x ∞∞∞+===++--=∑∑∑于是 202240(1)20,n n a a n a a +-=⎧⎨+-=⎩1,2,,n = 从而 22,1,2,,1n n a a n n +==+ 证法二：由于0nn n y a x ∞==∑，根据泰勒级数的唯一性便知()(0)!n n y a n =.在方程240y xy y '''--=两端求n 阶导数，得(2)(1)()22(2)0n n n y xy n y ++--+=令0x =，得(2)()(0)2(2)(0)0n n yn y +-+=，即 2(2)!2(2)!0n n n a n n a ++-+⋅=， 故 22,1,2,1n n a a n n +==+(II) 证法一：由于2202,1,2,,2,1n n a a n a a n +===+且根据题设中条件 01(0)0,(0)1,a y a y '====所以 20,1,2,n a n ==；21211221,0,1,2,22(22)42!nn n a a a n nn n n +-=====-从而 22212121001()()!!nnn n x n n n n n n x y x a x axx x xe n n ∞∞∞∞+++=========∑∑∑∑.证法二：因为0nn n y a x ∞==∑，所以11n n n y a x x ∞-==∑，两边求导，得2220()(1)(1)n n n n n n y n a xn a x x ∞∞-+=='=-=+∑∑ 由于 22,1,2,1n n a a n n +==+，所以 0()22nn n y a x y x ∞='==∑，即函数()y x 满足方程()20y y x '-=令()y u x x =，则上述方程变为20u xu '-=，即2du xdx u=，解之得2x u Ce =，从而2x y Cxe =.由(0)1y '=得1C =，所以2x y xe =.(21) 【详解】方法1：因为方程组(1)、(2)有公共解，将方程组联立得1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩对联立方程组的增广矩阵作初等行变换21110120()140121a A b a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭211100110112140121a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭行（）行 2111001101130310121a a a ⎛⎫ ⎪-⎪⨯-+ ⎪- ⎪⎝⎭行（）行21110011011403100101a a a ⎛⎫⎪- ⎪⨯-+ ⎪-⎪-⎝⎭行（）行2111000111203100101a a a a ⎛⎫ ⎪-- ⎪⨯-+ ⎪- ⎪-⎝⎭4行（）行2111001133001330101a a a a a ⎛⎫⎪-- ⎪⨯-+ ⎪--⎪-⎝⎭4行（）行211100101001100133a a a a a ⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭换行11101013--140011000(1)(2)a a a aa a ⎛⎫⎪-⎪⨯+ ⎪--⎪--⎝⎭行（）行由此知，要使此线性方程组有解，a 必须满足(1)(2)0a a --=，即1a =或2a =.当1a =时，()2r A =，联立方程组(3)的同解方程组为12320x x x x ++=⎧⎨=⎩，由()2r A =，方程组有321n r -=-=个自由未知量. 选1x 为自由未知量，取11x =，解得两方程组的公共解为()1,0,1Tk -，其中k 是任意常数.当2a =时, 联立方程组(3)的同解方程组为1232301x x x x x ++=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得两方程的公共解为()0,1,1T -.方法2：将方程组(1)的系数矩阵A 作初等行变换21111214A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦211111201114a a ⎡⎤⎢⎥⨯-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行（）行2111113011031a a ⎡⎤⎢⎥⨯-+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行（）行1113301100(1)(2)a a a ⎡⎤⎢⎥⨯-+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦2行（）行当1a =时，()2r A =，方程组(1)的同解方程组为12320x x x x ++=⎧⎨=⎩，由()2r A =，方程组有321n r -=-=个自由未知量.选1x 为自由未知量，取11x =，解得(1)的通解为()1,0,1Tk -，其中k 是任意常数. 将通解()1,0,1Tk -代入方程(2)得0()0k k ++-=，对任意的k 成立，故当1a =时，()1,0,1Tk -是(1)、(2)的公共解.当2a =时，()2r A =，方程组(1)的同解方程组为123230x x x x x ++=⎧⎨+=⎩，由()2r A =，方程组有321n r -=-=个自由未知量.选2x 为自由未知量，取21x =，解得(1)的通解为()0,1,1Tμ-,其中μ是任意常数. 将通解()0,1,1Tμ-代入方程(2)得21μμ-=，即1μ=，故当2a =时，(1)和(2)的公共解为()0,1,1T-.(22) 【详解】(I)由11A αα=，可得 111111()k k k A A A A αααα--====，k 是正整数,故5311(4)B A A E αα=-+531114A A E ααα=-+111142αααα=-+=-于是1α是矩阵B 的特征向量(对应的特征值为12λ'=-).若Ax x λ=，则()(),mmkA x k x A x x λλ==因此对任意多项式()f x ，()()f A x f x λ=，即()f λ是()f A 的特征值.故B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，A 的特征值11,λ=22,λ=32,λ=- 则B有特征值112233()2,()1,()1,f f f λλλλλλ'''==-====所以B 的全部特征值为－2，1，1. 由A 是实对称矩阵及B 与A 的关系可以知道，B 也是实对称矩阵，属于不同的特征值的特征向量正交. 由前面证明知1α是矩阵B 的属于特征值12λ'=-的特征向量，设B 的属于1的特征向量为123(,,)T x x x ，1α与123(,,)T x x x 正交，所以有方程如下：1230x x x -+=选23,x x 为自由未知量，取23230,11,0x x x x ====和，于是求得B 的属于1的特征向量为223(1,0,1),(1,1,0)T T k αα=-=故B 的所有的特征向量为：对应于12λ'=-的全体特征向量为11k α，其中1k 是非零任意常数，对应于231λλ''==的全体特征向量为2233k k αα+，其中23,k k 是不同时为零的任意常数. ()II 方法1：令矩阵[]123111,,101110P ααα-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求逆矩阵1P -.111100101010110001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦11110012012110110001-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行行 11110013012110021101-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦行行1111003012110003121-⎡⎤⎢⎥⨯+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行2行111100111100330121100101/31/32/30011/32/31/30011/32/31/3--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥÷-⨯---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦行3行(-2)+2行 1102/32/31/30101/31/32/30011/32/31/3---⎡⎤⎢⎥⨯---⎢⎥⎢⎥⎣⎦3行(-1)+1行1001/31/31/30101/31/32/30011/32/31/3-⎡⎤⎢⎥⨯---⎢⎥⎢⎥⎣⎦2行(-1)+1行1001/31/31/30101/31/32/30011/32/31/3-⎡⎤⎢⎥⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦2行(-1) 则 1P -1/31/31/311111/31/32/311231/32/31/3121--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由1(2,1,1)P BP diag -=-，所以11112001111(2,1,1)1010101123110001121B P diag P ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅-⋅=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112220331110111230333110121330----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦011101110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦方法2：由()I 知1α与23,αα分别正交，但是23αα和不正交，现将23,αα正交化：取22331221111,(1,1,0)(,0,)(,1,)2222k βαβαβ==+=+-=. 其中，3212222(,)1(1)11(1,0,1)(,0,)(,)(1)(1)1122T k αββββ⨯-=-=--=--⨯-+⨯再对1,α23,ββ单位化：312123123111,1),1,0,1),(,1,)22βαβξξξαββ==-==-===其中，1233,2,αββ=阵，记0Q ⎡⎢⎥⎥=⎥⎥ 由1(2,1,1)Q BQ diag -=-，有1(2,1,1)B Q diag Q -=⋅-⋅. 又由正交矩阵的性质：1TQ Q -=，得200(2,1,1)00100001TB Q diag Q ⎡⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎥⎢⎥00⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥011101110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(23)【详解】 计算{}2P X Y >可用公式{}22(,)x yP X Y f x y dxdy >>=⎰⎰求Z X Y =+的概率密度()Z f z ：可用两个随机变量和的概率密度的一般公式求解.(卷积公式)()(,)(,).Z f z f z y y dy f x z x dx +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰此公式简单，但讨论具体的积分上下限会较复杂.另一种方法可用定义先求出{}{}(),Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤然后再'()()Z Z f z F z =.(I){}2(2)DP X Y x y dxdy >=--⎰⎰，其中D为01,01x y <<<<中2x y >的那部分区域(右 图阴影部分)；求此二重积分可得{}11202(2)x P X Y dx x y dy >=--⎰⎰1205()8x x dx =-⎰724=(Ⅱ)方法1：根据两个随机变量和的概率密度的卷积公式有()(,).Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰先考虑被积函数(,)f x z x -中第一个自变量x 的变化范围，根据题设条件只有当01x <<时(,)f x z x -才不等于0. 因此，不妨将积分范围改成1()(,).Z f z f x z x dx =-⎰现再考虑被积函数(,)f x z x -的第二个变量z x -.显然，只有当01z x <-<时，(,)f x z x -才不等于0.且为2()2.x z x z ---=-为此，我们将z 分段讨论.因为有01z x <-<，即是1,x z x <<+而x 的取值范围是(0,1)，所以使得(,)f x z x -不等于0的z 取值范围是(0,2] 如下图，在01x <<情况下，在阴影区域1D 和2D ，密度函数值不为0，积分方向如图所示，积分上下限就很好确定了，所以很容易由卷积公式得出答案。
山东大学2000-2007年硕士研究生入学考试试题(数学分析)
山东大学2000-2007年硕士研究生入学考试试题（数学分析）2000年试题 一、 填空。
1. 22233312(1)lim[]?n n n n n →∞-+++= 2.10(1)lim?xx e x x→-+=3.设3cos ,2sin (02),x t y t t π==<<则22?d ydx =4.2121[ln(1)]?1x x x dx x-++=+⎰ 5.设r =则2216[]?x y r dxdy +≤=⎰⎰6.设Γ表示椭圆22149x y +=正向，则()()?x y dx x y dy Γ-++=⎰ 7.级数13(2)(1)n nn n x n ∞=+-+∑的收敛范围为？8.设()(1)ln(1),f x x x =++则()(0)?n f = 二、1.设()f x 在[,]a b 上可积，令()(),xa F x f t dt =⎰证明：()F x 在[,]ab 上连续。
2.求2cos(2)(x ex dx αα∞-⎰为实数）。
3.试求级数21n n n x ∞=∑的和函数。
三、任选两题。
1.设()f x 在[,]a b 上连续且()0,f x >证明：21()().()bb a af x dx dx b a f x ≥-⎰⎰2.求20cos sin n x nxdx π⎰(1n ≥为正整数）3.设(),()f x g x 在[0,)+∞上可微且满足lim(1)lim ()(0),(2)lim ()().x x f x A A g x g x x →∞→∞=<<+∞≠→∞求证：存在数列{}(,)n n c c n →+∞→∞使得()()()().n n n n f c g c g c f c ''<-2001年试题一、1．220cos 21lim?sin x x x x→-=+2.2!lim ?n n n n n→∞=3.设ln(),u x xy =则22?ux∂=∂40?x π=⎰.5.交换积分顺序2120(,)?x xdx f x y dy -=⎰⎰6.(3,4)(0,1)?xdx ydy -+=⎰7.1(1)n n n n x ∞=+∑的和函数为？8.设()arctan ,f x x =则(21)(0)?n f += 二、1.叙述函数()f x 在[,]a b 上一致连续和不一致连续的εδ-型语言。
2007年数一真题试题+答案
2007年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1〜10小题，每小题4分，共40分,下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题.纸..指定位置上.⑴当X 0时,与JX等价的无穷小量是()(A) 1 e x. (B) 上；一％. (C) . 1 . x 1. (D) 1 cos、.X.答案：(B).⑵曲线y 1ln(1 e x)渐近线的条数为() x(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.答案：(D).(3)如图，连续函数y f (X)在区间3, 2 , 2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区X间2,0 , 0,2上的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x) ° f(t)dt，则下列结论正确的是()(A) F(3) 3F( 2). (B) F(3) 5F ⑵.4 4(C) F( 3) 3F (2) . (D) F( 3) -F( 2).4 4答案：(C).(4)设函数f (x)在x 0处连续，则下列命题错误.的是()(A)若lim 土也存在，则f (0) 0. (B)(C)若既旦次存在，则f (0)存在. (D) 答案：(D).(5)设函数f (x)在(0,)上具有二阶导数，且f (x) 确的是()(A)若U1 U2 ,则U n必收敛. (B)答案：(D).若lim f(x) f( x)存在，则f (0) 0.若l-m f(x) /( x)存在，则f (0)存在.0,令U n f(n) (n 1,2川)，则下列结论正若U1 U2 ,则U n必发散.(C)若U1 U2,则U n必收敛. (D) 若U1 U2,则U n必发散.⑹设曲线L: f (x,y) 1( f (x, y)具有一阶连续偏导数),过第口象限内的点 M 和第W 象限内的 点N , 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分小于零 的是()(A) f (x ，y)dx . (B)f (x ，y)dy .(C)f (x ，y)ds .(D)f x (x ，y)dx f y (x ，y)dy答案：(B).(7)设向量组1， 2，3线性无关，则下列向量组线t 生明为.的是()(A) 1 2， 23， 31.(B)1 2， 23， 31 .(C)1 2 2， 22 3,32 1.(D)12 2， 22 3，32答案： (A).2 11 1 0 0(8)设矩阵A1 2 1 ，B 0 1 0 ，则A 与B ()11 20 0 0(A) 合同，且相似.(B)合同，但不相似.(C) 不合同，但相似 . (D)既不合同， 也不相似.答案：(B). (9) 某人向同一目标独立重复射击 ，每次射击命中目标的概率为 p (0 p 1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()22 2 2 2 2(A) 3p(1 p) . (B) 6p(1 p) . (C) 3p (1 p) . (D) 6p (1 p).答案：(C).(10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，f x (x), f Y (y )分别表示X,Y 的概率 密度，则在Y y 条件下，X 的条件概率密度 f XY (x y)为()(A) f X (x). (B)f Y (y).(C)f X (x)f Y (y).(D)答案：(A).二、填空题：11〜16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸 指定位置上f X (x) f Y (y)2 1(11)p x dx _______ : __1x答案:(12)设f(u,v)为二元可微函数，z f(x y ,y x ),则—^x柘 *Z y x y 1y x x答案：一 f 1(x , y )yxf 2 (x , y )y In yx答案：函数在D 上的最大值为f(0,2) 8,最小值为f(0,0) 0.(18) (本题满分10分)计算曲面积分I xzdydz 2zydzdx 3xydxdy 其中 为曲面z 1 x 2 — (0 z 1)的上侧.(13)二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e 2x 的通解为y 答案：非齐次线性微分方程的通解为yz 1,则仰(x |y)dSV(14)设曲面 ：x x3x 2xC 〔e C 2e2e答案：C\xy)dsQ yds3活3妊(15)设距阵A0 (3)，则A 的秩为1答案：r A 31.1 ,, (16)在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两数之差的绝对值小于 一的概率为23答案：3.4三、解答题:17〜24小题,共86分.请将解答写在答题纸 证明过程或演算步骤. (17)(本题满分11分)求函数f (x,y) x 2指定的位置上•解答应写出文字说明、22 2.—.2y x y ,在区域 D (x, y) x 2y 4,y 0上的最大值和最小值.答案：I ^(19) (本题满分11分)设函数f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a) = g(a), f(b) = g(b),证明：存在(a,b),使得f''( ) g''().证明：设(x) f (x) g(x),由题设f(x), g(x)^在相等的最大值，设x〔(a,b), x2 (a,b)使f (x1)max f (x) g(x2) maxg(x).[a .b] [ a.b]若x1x2,即f (x)与g(x)在同一点取得最大值，此时,取X,有f ( ) g()；若x1x2,不妨设x〔x2 ,则(x〔)f(x〔)g(x〔)0, (x2) f(x2) g(x2) 0,且(x)在a,b上连续，则由零点定理得存在(a,b),使得()0,即f( ) g()；由题设f (a) = g(a) , f (b) = g(b),则(a) 0 (b),结合()0 ,且(x)在a,b上连续，在(a,b)内二阶可导，应用两次使用罗尔定理知：存在 1 (a, ), 2 ( ,b),使得(0, ( 2) 0.在［1, 2］再由罗尔定理，存在(1, 2),使()0.即f ( ) g ().(20) (本题满分10分)设备级数a n x n在(，)内收敛，其和函数y(x)满足y 2xy 4y 0,y(0) 0, y (0) 1.n 0⑴证明a n 2 -^-a n,n 1,2，川.n 1(II)求y(x)的表达式.答案：(I)证明：对y a n x n,求一阶和二阶导数，得y na n x n1, y n(n 1)a n x n 2,n 0n 1n 2代入y 2xy 4y 0,得n(n 1)a「x n2x na n X n 4 a「x n 0 -n 2 n 1 n 0即(n 02a2 4a0 0n(n 1)a n 2 2a n 0,(ii) y xe'.(21) (本题满分11分)x i x2 x3设线性方程组x1 2x2 ax1 4x2 a 值及所有公共解.1 1答案：当a 1时，(Ab) 0 1 0 00 0方程组⑴与⑵的公共解.1 1当a 2时，(Ab) 0 1 0 00 0⑵的公共解.(22) (本题满分11分)设3阶实对称矩阵A的特仙n nn 1)(n 2)a n 2x 2na「xn 11,2,III，从而a n 2 -^a n,nn 10 (1)与方程x1 2x21 00 0，所以方程组的通解为0 00 01 01 0，此时方程组有唯一解1 10 01 1,2 2,3 2, 1n4a「x 0.n 0121#x3 a 1 (2)有公共解，求a得(0,1, 1)T，此即为方程组(1)与(1, 1,1)T是A的属于1的一个特征向量.记B A54A3E,其中E为3阶单位矩阵.⑴ 验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(II) 求矩阵B.答案：⑴ 由A 1 1,可得A k1 A k1(A 1) A k 11 1 , k是正整数，则B 1 (A 5 4A 3 E) 1 A 5 1 4A 3 1 E 114 112 1,是1是矩阵B 的属于特征值 12特征向量.2的全体特征向量为 k 1 1,其中k 1是非零任意常知，X 〔，X 2,...X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 是样本均值⑴求参数的矩估计量⑴ P X 2Y11xdx 2(21x y)dy 0(x 5x 2)dx 82z z 2,0 z 1,(II )f Z (z)z 2 4z 4, 1 z 2,0,其他.答案:(24)(本题满分11分)7 24所以B 的所有的特征向量为：对应于 k 3 3,其中k 2,k 3是不同时为零的任意常数2 0 00 1 1 (II) B P 0 1 0 P 11 0 10 0 11 1 0设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为f(x,y)0,x y,0 x 1,0 y 1,其他，(II)求 ZY 的概率密度 f z (Z) .设总体X 的概率密度为f (x;)1,2 _1 2(1 ), 0,其他x 1,其中参数(01)未(23)(本题满分 分)11k 2 231的全体特征向量为数，对应于2(II) 判断4X2是否为2的无偏估计量，并说明理由答案：1⑴ 2X 一；2(II)只须验证E(4X2) 2是否成立即可.—2 —2 ——。