复数加减运算重难点

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7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义(教案)

第七章复数7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义一、教学目标1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.3.通过对复数的加、减运算及其几何意义的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点复数代数形式的加、减运算及其几何意义．三、教学过程：1、创设情境：问题1：试判断下列复数i z i z 26,3121-=+=所对应的点在复平面中落在第几象限？画出其对应的向量，并计算生答：i z 311+=所对应的点为（1,3），i z 262-=所对应的点为（6,-2），12OZ OZ +=（7，-1）阅读课本，回顾向量间的加减运算，思考复数的加、减法与其是否相同？复数加法、减法的几何意义如何？小组合作探究，总结探究结果2、建构数学复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a 、b 、c 、d ∈R ），则①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．复数加减法的几何意义如图所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，根据平行四边形法则，OZ →=OZ →1+OZ →2，则向量OZ →与复数z 1＋z 2对应；Z 2Z 1→=OZ →1-OZ →2，则向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．问题2：借助数轴，说出|x －x 0|的几何意义，同时进行类复平面中|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是什么？生答：|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．3、数学应用例1.计算：(1)(3)(2)i i +-+；（2）5[(34)(13)]i i i -+--+；（3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.解：(1)()()32i i +-+=3+i-2-i=1；（2）5[(34)(13)]5(4)44i i i i i i -+--+=-+=-+；（3）()(23)3(2)[(3)3](43)a bi a bi i a a b b i a b i +---=-+---=-+- 变式训练1.计算：(a ＋2b i)－(3a －4b i)－5i(a ，b ∈R)．解：原式＝－2a ＋6b i －5i ＝－2a ＋(6b －5)i.例2.已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则求a 的取值范围.解:由题得12z z -=（2-a ）+(a-1)i ,因为复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，所以20,210a a a -<⎧∴>⎨->⎩.变式训练:已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，.求点B 所对应的复数0z ；解:由已知得(3,2),(2,4)OA OC ==-，∴(1,6)OB OA OC =+=，∴点B 对应的复数016z i =+．例3.(1)已知虚数z 满足||1z =.求|2|z +的取值范围；解:(1)设z a bi =+，（,a b ∈R 且0b ≠），因为||1z =，所以221a b +=，因此(,)a b 可看作以坐标原点为圆心的单位圆上的点；22|2|(2)+=++z a b 表示点(,)a b 与定点(2,0)-之间的距离；又点(2,0)-到坐标原点的距离为2，所以2221(2)21-<++<+a b （1为单位圆半径），因此1|2|3z <+<；(2)已知复数z 满足等式1i 1z --=，则3z -的最大值为______ 解:|z ﹣1﹣i |＝1的几何意义为复平面内动点到定点（1，1）距离为1的点的轨迹，如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.由图可知，|z ﹣3|22(31)(01)151-+-=．故答案为51．变式训练1:已知复数z 满足131z i -=，则z 的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】设z x yi =+，由题意得()(22131x y -+=，圆心到原点的距离为2，max 23z r =+=.故选：C.四、小结：1. 复数的加、减法运算2. 复数的加、减法运算的几何意义五、作业：习题7.2。

2024年新教材

2024年新教材一、教学内容本节课选自2024年新教材，具体涉及《数学》第三章第三节：复数的概念与运算。

内容主要包括复数的定义、复数的表示法、复数的加减乘除运算，以及复数在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 让学生理解并掌握复数的定义及表示方法，能熟练地将实数与复数进行区分。

2. 培养学生掌握复数的加减乘除运算，并能应用于解决实际问题。

3. 激发学生对数学学科的兴趣，培养他们的逻辑思维能力和创新意识。

三、教学难点与重点教学难点：复数的加减乘除运算，尤其是乘除运算的法则。

教学重点：复数的定义与表示法，复数的加减乘除运算。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：学生用书、练习本、文具。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示心电图、电路图等实际应用场景，让学生感受复数的存在和重要性。

2. 复数的概念与表示法（10分钟）（1）讲解复数的定义，引导学生理解实数与复数的区别。

（2）介绍复数的表示方法，如代数表示法、极坐标表示法等。

3. 复数的加减乘除运算（15分钟）（1）通过例题讲解复数的加减运算，让学生掌握运算规则。

4. 随堂练习（10分钟）让学生完成教材上的练习题，巩固所学知识。

5. 例题讲解（15分钟）选取典型例题，讲解复数在实际问题中的应用。

六、板书设计1. 复数的定义与表示法2. 复数的加减乘除运算规则3. 例题解析七、作业设计1. 作业题目：（1）已知复数z1=3+4i，z2=12i，求z1+z2、z1z2、z1z2、z1/z2。

（2）已知复数z=a+bi（a、b为实数），求z的共轭复数、模、辐角。

2. 答案：（1）z1+z2=4+2i，z1z2=2+6i，z1z2=11+2i，z1/z2=1+6i。

（2）z的共轭复数为abi，模为sqrt(a^2+b^2)，辐角为arctan(b/a)。

八、课后反思及拓展延伸1. 关注学生对复数定义的理解，加强基础知识的学习。

高中数学复数的运算规则及常见问题解答

高中数学复数的运算规则及常见问题解答一、复数的定义与运算规则复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i 为虚数单位，满足i²=-1。

复数的运算规则包括加法、减法、乘法和除法。

1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法遵循实部相加（减），虚部相加（减）的规则。

例如，(3+2i)+(1-3i)=4-i，(3+2i)-(1-3i)=2+5i。

2. 复数的乘法：复数的乘法可以通过分配律和虚数单位的定义来进行计算。

例如，(3+2i)(1-3i)=3-9i+2i-6i²=9-7i。

3. 复数的除法：复数的除法可以通过乘以共轭复数再化简得到。

例如，(3+2i)/(1-3i)=(3+2i)(1+3i)/(1-3i)(1+3i)=(3+2i)(1+3i)/(1+9)=(-3+11i)/10。

二、常见问题解答1. 如何将复数表示为极坐标形式？复数可以表示为r(cosθ+isinθ)的形式，其中r为模长，θ为辐角。

根据勾股定理和三角函数的定义，可以得到复数的模长和辐角。

例如，复数2+2i的模长为2√2，辐角为π/4。

2. 如何进行复数的乘方运算？复数的乘方运算可以利用极坐标形式进行简化。

将复数表示为r(cosθ+isinθ)，则复数的n次方可以表示为rⁿ(cos(nθ)+isin(nθ))。

例如，复数2+2i的平方为8(cos(π/2)+isin(π/2))。

3. 如何求解复数方程的根？对于复数方程az²+bz+c=0，可以使用求根公式来求解。

其中，根的公式为z=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。

例如，对于方程z²+2z+2=0，根可以表示为(-1±i)。

4. 如何求解复数的共轭？复数的共轭可以通过改变虚部的符号得到。

例如，对于复数3+4i，它的共轭为3-4i。

5. 如何进行复数的除法运算？复数的除法可以通过乘以共轭复数再化简得到。

《复数的运算复数的加法与减法》教案新人教选修

《复数的运算——复数的加法与减法》教案章节：一、复数加法与减法的基本概念二、复数加法与减法的法则三、复数加法与减法的运算步骤四、复数加法与减法的例题解析五、复数加法与减法的练习题一、复数加法与减法的基本概念1. 引入实数和虚数的概念，说明实数可以看作是虚部为0的复数。

2. 介绍共轭复数的概念，即一个复数的虚部取相反数。

3. 讲解复数加法与减法的定义，以及它们与实数加法与减法的联系。

二、复数加法与减法的法则1. 复数加法的法则：两个复数相加，保持实部实数加，虚部虚数加。

2. 复数减法的法则：一个复数减去另一个复数，等于加上这个复数的相反数。

3. 讲解复数加法和减法法则在实际运算中的应用。

三、复数加法与减法的运算步骤1. 确定两个复数的实部和虚部分别相加或相减。

2. 保持实部实数加，虚部虚数加（减）。

3. 如果需要，对结果进行简化或转换为标准形式。

四、复数加法与减法的例题解析1. 举例讲解复数加法和减法的运算过程。

2. 分析例题，引导学生运用复数加法和减法法则进行计算。

3. 讲解例题中的关键步骤和易错点。

五、复数加法与减法的练习题1. 设计不同难度的练习题，让学生巩固复数加法和减法的运算方法。

2. 引导学生独立完成练习题，并及时给予解答和指导。

3. 分析学生练习中的普遍错误，进行针对性的讲解和辅导。

六、复数加法与减法的应用1. 介绍复数在几何中的应用，如复平面上的点表示。

2. 讲解复数在物理中的应用，如交流电的相位。

3. 举例说明复数在工程和经济问题中的应用。

七、复数加法与减法的拓展1. 探讨复数加法和减法的性质，如交换律、结合律等。

2. 介绍复数加法和减法在多维空间中的应用。

3. 引入高级数学中与复数加法和减法相关的内容，如群、环、域的概念。

八、复数加法与减法的练习与评估1. 设计综合性的练习题，考察学生对复数加法和减法的掌握程度。

2. 组织课堂练习时间，让学生完成练习题。

3. 评估学生的练习成果，及时给予反馈和建议。

复数的加减运算及其几何意义(教学设计)

§一、内容和内容解析内容：复数的加减运算及其几何意义．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第2节第一课时的内容．复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的加法的运算法则是一种规定，复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.通过实例，明确复数的加减运算法则，发展数学运算素养.经历复数加减运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.二、目标和目标解析目标：（1）通过对定义复数加法法则的背景的分析，体会规定复数加法法则的合理性.（2）明确复数加法法则和减法法则的具体内容，经历应用法则解决复数加、减运算问题的过程，提升数学运算的核心素养.（3）经历复数代数形式的减法定义和复数加、减法几何意义的形成过程，培养直观想象的核心素养.目标解析：（1）复数的加法法则是直接规定的，教学中可以引导学生结合引入复数集的过程，即在将实数集扩充到复数集时，希望数集扩充后，在复数集中规定的加法、乘法运算，与实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且运算律也满足．（2）+bi中的实部和虚部a,b看作常数，i看作“变元”，从而将复数a+bi看成是“一次二项式”，进而可以得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项”.基于上述分析，本节课的教学重点定为：熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则．三、教学问题诊断分析教学问题一：在知识储备上，学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数a+bi和平面上的点Z(a，b)以及向量OZ一一对应；但探究复数加法的几何意义有一定难度.解决方案：在讲解本节前，可在课上先复习平面向量和复数的几何意义等相关知识，再进行新课的学习和探究，这是突破难点的一个重要举措.教学问题二：复数加法的几何意义是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过类比向量加法的几何意义得到复数加法的几何意义．教学问题三：如何得到复数的减法是第三个教学问题．学生很容易把类比向量的减法得到复数的减法．其实，类比多项式的加减我们既可以得到复数的加法法则，也可以得到复数的减法法则．基于上述情况，本节课的教学难点定为：理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到复数的加减运算及其几何意义，应该为学生创造积极探究的平台．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视加减法法则的发现与证明，让学生体会到类比思想的重要性．五、教学过程与设计 12OZ OZ +[问题3]向量的加减运算满足何种法则？[问题4] 设向量索交流，解决问题OZ2→分别与复数a＋b i，c＋d i对应，那么OZ1→＋OZ2→的坐标如何呢？[问题5]向量OZ1→＋OZ2→对应的复数是什么？[问题6]按照平面向量减法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？[问题7]类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？b＋d)．教师5：提出问题5．学生5：向量OZ1→＋OZ2→对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2.教师6：提出问题6．学生6：复数z1－z2的几何意义就是向量OZ1→－OZ2→对应的复数．教师7：小结一下：1. 加、减法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．2.加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．3.复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为OZ1→，OZ2→，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ→，与z1－z2对应的向量是Z2Z1→.教师8：提出问题7．学生7：|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．高学生分析问题、概括能力。

教学设计教案模板标准版,可打印

教学设计教案模板标准版，可打印一、教学内容本节课我们将学习《数学》教材第四章第三节《复数的运算》。

详细内容包括复数的定义、复数的加减乘除运算，以及复数在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的表示方法。

2. 让学生掌握复数的加减乘除运算，并能熟练运用。

3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：复数的乘除运算。

教学重点：复数的概念及加减乘除运算。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

学具：教材、练习本、计算器。

五、教学过程1. 导入（5分钟）通过一个实践情景引入复数的概念：某电子设备在平面直角坐标系中的运动轨迹为一个复数。

引导学生思考，如何表示这个电子设备的位置。

2. 知识讲解（15分钟）（1）复数的定义：实数与虚数的和。

（2）复数的表示方法：a+bi。

（3）复数的加减乘除运算。

3. 例题讲解（15分钟）例1：计算（3+4i）+（23i）。

例2：计算（4+3i）×（25i）。

4. 随堂练习（10分钟）（1）计算（1+2i）（34i）。

（2）计算（2+5i）÷（13i）。

六、板书设计1. 复数的定义2. 复数的表示方法3. 复数的加减乘除运算4. 例题解答步骤七、作业设计1. 作业题目：（1）计算（4+3i）（25i）。

（2）计算（3+4i）×（23i）。

（3）计算（1+2i）÷（34i）。

2. 答案：（1）2+i（2）10+5i（3）0.44+0.08i八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对复数的概念和运算掌握程度如何，是否需要加强练习。

2. 拓展延伸：引导学生了解复数在物理学、电子学等领域的应用，提高学生的学习兴趣。

重点和难点解析1. 教学内容的组织和难度梯度2. 教学目标的明确和具体化3. 教学难点和重点的突出4. 教具与学具的实用性5. 教学过程中的实践情景引入、例题讲解和随堂练习的设计6. 板书设计的逻辑性和清晰度7. 作业设计的针对性和答案的准确性8. 课后反思及拓展延伸的实际效果一、教学内容的组织和难度梯度教学内容应按照由浅入深的原则进行组织，确保学生能够逐步接受和理解复数的概念及其运算。

高中必修第二册《7.2 复数的四则运算》复数的加、减法运算及其几何意义优质课教案教学设计

中学教案学科：数学年级：高一教师：授课时间：教学内容7.2.1 复数的加减运算及其几何意义教学目标四基：1.掌握复数的代数形式的加、减运算法则及其运算律；2.理解复数加、减运算的几何意义；四能：通过对复数加减法法则规定的分析，使学生认识到规定的合理性，同时通过类比合并同类项，使学生认识数学的变通性，类比教学使学生提高认识问题与分析问题的能力。

数学核心素养：通过复数加减法的规定与实数加减法的比较，使学生认识到规定的合理性，通过与合并同类项的类比，使学生认识到数学的普遍联系，通过几何意义的教学，使学生理解数学的数形结合的重要性。

教材分析地位：是复数运算的开始，对解决复数问题起着重要作用。

重点：掌握复数加减法法则与运算律，难点：复数加减法法则及其几何意义学情分析从有理数扩充到实数，学生体会整个过程教法模式以学生为主体，采用诱思探究式教学，让学生独立思考，合作学习。

媒体运用多媒体展台备注教学过程知识师生活动设计意图一、小测检验（检测上节课所学内容）1.下列命题正确的是（）（A）复平面内纵轴上的点对应的复数是纯虚数（B）复数-i在复平面内对应的坐标是（0，-i）（C）实数0在复平面内对应的是原点（0，0）（D）复平面的x轴与y轴没有公共点2．两个共轭复数在复平面内对应的点（A）关于实轴对称（B）关于虚轴对称（C）关于原点对称（D）虚部互为相反数的是共轭虚数3.已知复数z的模与复数3+4i的模相等，且实部为复数2+i 的虚部，则复数z为；4.复数（m+1）+(m2-2m)i在复平面对应的点位于第4象限，则m∈5.如果复数z的实部为正数，虚部为3，那么在复平面内复数z对应的点位于上CA二、新授课（一）创设情景，引出新课问题1：通过上一节我们已经把实数集扩充到了复数集，而实数有四则运算，那么复数有四则运算吗？下面讨论。

活动一、问题2：阅读教材75-76页“我们规定……类似于教师组织，学生独立完成教师提问，学生思考回答教师巡回交流，学检查上节课知识落实的情况回顾旧知识，创设情景引出新课培养学生阅读能多项式相减”并回答下列问题：（二）进行新课，感受过程问题3：教材如何规定复数的加法法则的？设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1+z2=?两个复数的和结果是什么？类似什么相加？问题4：复数的加法满足交换律、结合律吗？是什么？问题5：我们知道复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数的加法的几何意义吗？问题6：实数的减法是加法的逆运算，类比是数减法的意义，如何定义复数的减法？减法法则是什么？设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1+z2=?两个复数的差结果是什么？类似什么相减？问题6：类似复数加法的几何意义，复数减法的几何意义是什么？生阅读完成，然后教师组织交流教师提问，学生独立回答教师组织，学生口述教师提问，学生回答教师组织，板书减法法则的过程力，并且学习新知识规定加法法则，类比合并同类项，数学的相通性类比实数的运算律得到复数的加法交换律、结合律得到复数加法几何意义运用加法法则和复数相等的含义得到复数减法的法则（三）强化理解知识，及时反馈例1.（教材76页例1）计算（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）例2 已知复数z满足z+2-3i=4+i，求出复数z.例3 已知复数z=a+（2a+1）i，（1）若z+3-4i为实数，则需要满足什么条件？（2）若z+3-4i对应复平面内的点在虚轴上，需要满足什么条件？（3）若z+3-4i对应复平面内的点在第三象限，求a的范围。

专题2.2复数的四则运算(七个重难点突破)高考数学

【答案】−；
【详解】原式= − − + − − − = −.
(2)设z1 = x + 2i，z2 = 3 − yi(x，y ∈ R)，且z1 + z2 = 5 − 6i，求z1 − z2.
【答案】− + .
【详解】因为 = + ， = − ， + = − ，
− = + + − ，
显然 − ≠ ，由 − 为纯虚数，得 + = ，解得 = −，
所以 + = −.
故选：
试卷讲评课件
3.在复平面内，复数z对应的点Z的坐标为 −2sin120∘ , −2cos120∘ ，则
z + 2 3 =(
求 z1 + z2 .
【答案】
【分析】设对应的复数为，对应的复数为，利用向量运算
和复数的向量表示可解.
试卷讲评课件
【详解】设对应的复数为，对应的复数为
，
则 + 对应的复数为 + ， − 对应的
复数为 − ，
因为 = = ，且 − = ，
所以 + + − = − ，
=
+=
所以
，解得
，
=
− = −
所以
− = + − − = − + [ − − ] = − + .
试卷讲评课件
【分析】(1)(2)运用复数加减运算及复数相等求解即可.
③当 = 时， − = − ，
所以 = − + = − + − + − − = − + ，

复数加减运算教案

§3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义一、教学目标：掌握复数的加法与减法的运算及几何意义二、教学重点：掌握复数的加法与减法的运算及几何意义三、教学难点：复数减法的运算法则四、教学过程：（一）导入新课：复数的概念及其几何意义；（二）推进新课：建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。

设z 1=a +bi ，z 2=c +di 是任意两个复数，我们规定：1、复数的加法运算法则：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .2、复数的加法运算律:交换律：z 1+z 2=z 2+z 1结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)3、复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，由于OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i 对应的向量4、复数的减法运算法则：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .5、复数减法的几何意义：类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z = 1OZ -2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，b -d )，所以1OZ 和2OZ 的差就是与复数(a －c )+(b－d )i 对应的向量6、例题讲解：例1、计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)例2、已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：由已知得：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差。

(完整word版电子教案模板

(完整word版电子教案模板一、教学内容本节课我们将学习《高中数学》教材第三章第一节的内容——复数的概念及其运算。

具体内容包括复数的定义、复数的表示方法、复数的加减乘除运算，以及复数的几何意义。

二、教学目标1. 理解并掌握复数的概念及其表示方法。

2. 学会复数的加减乘除运算，并能熟练应用于实际题目中。

3. 了解复数的几何意义，能将复数与坐标系中的点对应起来。

三、教学难点与重点教学难点：复数的加减乘除运算，尤其是乘除运算的法则。

教学重点：复数的概念及其表示方法，复数的几何意义。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：学生用书、练习本、铅笔。

五、教学过程1. 实践情景引入通过展示一个在坐标系中表示复数的动画，让学生观察并思考：复数与坐标系中的点有何关系？2. 复数的概念及其表示方法（1）讲解复数的定义，让学生理解实部和虚部的概念。

（2）介绍复数的表示方法，如代数表示法和极坐标表示法。

3. 复数的加减乘除运算（1）讲解复数的加减运算，通过例题使学生掌握运算规则。

（2）讲解复数的乘除运算，让学生通过实际操作，学会运算方法。

4. 例题讲解讲解典型例题，让学生学会如何应用复数的加减乘除运算解决问题。

5. 随堂练习让学生完成教材中的练习题，巩固所学知识。

6. 复数的几何意义（1）讲解复数在坐标系中的表示方法。

（2）让学生通过实际操作，将复数与坐标系中的点对应起来。

六、板书设计1. 复数的概念及其表示方法2. 复数的加减乘除运算3. 复数的几何意义4. 例题及解答5. 课后作业七、作业设计1. 作业题目：3+4i, 23i；2+3i, 12i；（2）将复数1+i在坐标系中表示出来，并说明其几何意义。

2. 答案：（1）见教材课后答案。

八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习等方式，使学生掌握了复数的概念及其运算。

课后，教师应关注学生的作业完成情况，了解他们对知识点的掌握程度，对存在的问题进行针对性的辅导。

《复数的四则运算》复习教案与课后作业

《7.2 复数的四则运算》复习教案 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义学习目标核心素养1.掌握复数代数形式的加减运算法则．(重点)2．了解复数代数形式的加减运算的几何意义．(易错点)1.通过复数代数形式的加减运算的几何意义，培养数学直观的素养．2．借助复数代数形式的加减运算提升数学运算的素养.【自主预习】1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则 ①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. (2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加减法的几何意义如图所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．思考：类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是什么？[提示] |z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．1．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2＝( ) A ．8i B ．6 C ．6＋8iD ．6－8iB [z 1＋z 2＝3＋4i ＋3－4i ＝(3＋3)＋(4－4)i ＝6.] 2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( )A ．－1＋iB ．1－iC ．iD ．－iA [(1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A.]3．已知向量OZ →1对应的复数为2－3i ，向量OZ →2对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为．1－i [Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.]【合作探究】复数代数形式的加、减运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ；(2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z .[解] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋32i ＝1＋i.(2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2，解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.复数代数形式的加、减法运算技巧复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)．1．(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝ .(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝ .(1)－2－i (2)2 [(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎨⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝ 2.]复数代数形式加减运算的几何意义【例2】 (1)复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.则|z 1－z 2|＝ .(2)如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 对应复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求①AO →所表示的复数，BC →所表示的复数；②对角线CA →所表示的复数；③对角线OB →所表示的复数及OB →的长度．(1)2 [由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，知z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z 1－z 2|＝ 2.](2)[解] ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③对角线OB →＝OA →＋OC →，它所对应的复数z ＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, |OB →|＝12＋62＝37.1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．2．常见结论在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB 为平行四边形；若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．2．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．[解] 设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x ，y )－(1,2) ＝(x －1，y －2)． BC →＝OC →－OB →＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)． ∵AD →＝BC →，∴⎩⎨⎧x －1＝1，y －2＝－3，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，故点D 对应的复数为2－i.复数模的最值问题[1．满足|z |＝1的所有复数z 对应的点组成什么图形？[提示] 满足|z |＝1的所有复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．2．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点组成什么图形？[提示] ∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．【例3】 (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( )A ．1 B.12 C ．2D. 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．(1)A [设复数－i ，i ，－1－i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋i|＋|z －i|＝2, |Z 1Z 2|＝2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|＝1.所以|z ＋i ＋1|min ＝1.](2)[解] 如图所示， |OM →|＝(－3)2＋(－1)2＝2. 所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.1．若本例题(2)条件改为“设复数z 满足|z －3－4i|＝1”，求|z |的最大值． [解] 因为|z －3－4i|＝1，所以复数z 所对应点在以C (3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z |的最大值是 32＋42＋1＝6.2．若本例题(2)条件改为已知|z |＝1且z ∈C ，求|z －2－2i|(i 为虚数单位)的最小值．[解] 因为|z |＝1且z ∈C ，作图如图：所以|z －2－2i|的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P (2,2)的距离，所以|z －2－2i|的最小值为|OP |－1＝22－1.|z 1－z 2|表示复平面内z 1，z 2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．3．|z －z 0|表示复数z 和z 0所对应的点的距离，当|z －z 0|＝r (r ＞0)时，复数z 对应的点的轨迹是以z 0对应的点为圆心，半径为r 的圆．【课堂达标练习】 1．判断正误(1) 复数加法的运算法则类同于实数的加法法则．( ) (2)复数与复数相加减后结果为复数．( )(3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√2．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝ .5 [|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝32＋42＝5.]3．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝ .－1 [z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.]4．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点间的距离．[解] 向量OA →＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2. ∵BA →＝OA →－OB →，∴向量BA →对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i. ∴A ，B 两点间的距离为|－8－2i|＝(－8)2＋(－2)2＝217.《7.2.1复数的加、减运算及其几何意义》课后作业[合格基础练]一、选择题1．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝( ) A.75 B ．－115 C ．－185D ．5 B [(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝(－3a －2b )＋(b －a )i ＝3－5i ，所以⎩⎨⎧－3a －2b ＝3，b －a ＝－5，解得a ＝75，b ＝－185，故有a ＋b ＝－115.]2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3 D ．－4 B [z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.]3．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1D [z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.]4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是( )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2iD [依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，即CD →对应的复数为4－2i.故选D.]5．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5B [设z ＝x ＋y i ，则由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z －2－2i|＝(x －2)2＋(y －2)2表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.]二、填空题6．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝ .3 [由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以⎩⎨⎧a 2－2a －3＝0，a 2－1≠0，解得a ＝3.]7．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →对应的复数为．4－4i [BC →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →)，对应的复数为3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i.]8．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝ . －1＋10i [∵z 1＋z 2＝5－6i ，∴(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ，∴⎩⎨⎧x ＋3＝5，2－y ＝－6，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.] 三、解答题 9．计算：(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)； (2)4－(5＋12i)－i ；(3)若z －(－3＋5i)＝－2＋6i ，求复数z .[解] (1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i ＝3＋7i.(2)4－(5＋12i)－i ＝(4－5)＋(－12－1)i ＝－1－13i.(3)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z －(－3＋5i)＝－2＋6i ，所以(x ＋y i)－(－3＋5i)＝－2＋6i ，即(x ＋3)＋(y －5)i ＝－2＋6i ，因此⎩⎨⎧x ＋3＝－2，y －5＝6，解得⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝11，于是z ＝－5＋11i.法二：由z －(－3＋5i)＝－2＋6i 可得z ＝－2＋6i ＋(－3＋5i)，所以z ＝(－2－3)＋(6＋5)i ＝－5＋11i.10．在复平面内，A ，B ，C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i ，以AB ，AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．[解] 如图所示.AC →对应复数z 3－z 1， AB →对应复数z 2－z 1，AD →对应复数z 4－z 1.由复数加减运算的几何意义，得AD →＝AB →＋AC →，∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.∴AD 的长为|AD →|＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.[等级过关练]1．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )A [由图可知z ＝－2＋i ，所以z ＋1＝－1＋i ，则复数z ＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)，故选A.]2．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( ) A ．0 B ．1 C.22 D.12C [由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离，即为22.]3．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝ . 76－4i [设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则⎩⎨⎧a ＝a 2＋b 2－3，b ＝－4，所以⎩⎨⎧a ＝76，b ＝－4，所以z ＝76－4i.]4．若复平面上的▱ABCD 中，AC →对应的复数为6＋8i ，BD →对应的复数为－4＋6i ，则DA →对应的复数是．－1－7i [设AC 与BD 交于点O ，则有DA →＝DO →＋OA →＝12DB →＋12CA →＝－12(AC →＋BD →)．于是DA →对应的复数为－12[(6＋8i)＋(－4＋6i)]＝－1－7i.]5．设z 为复数，且|z |＝|z ＋1|＝1，求|z －1|的值． [解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋1＝(a ＋1)＋b i ，又|z |＝|z ＋1|＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，a 2＋b 2＋2a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b 2＝34，故|z －1|＝|(a ＋b i)－1|＝|(a －1)＋b i|＝(a －1)2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12＋34＝ 3.7.2.2 复数的乘、除运算对加法的分配律．(易混点)3．了解共轭复数的概念．(难点)学运算的素养.【自主预习】1．复数的乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3思考2：|z|2＝z2，正确吗？[提示]不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1. 2．复数代数形式的除法法则(a＋b i)÷(c＋d i)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(a，b，c，d∈R，且c＋d i≠0)1．复数(3＋2i)i等于( )A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i B[(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B.]2．已知i 是虚数单位，则3＋i1－i＝( ) A ．1－2i B ．2－i C ．2＋i D ．1＋2i D [3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i 2＝1＋2i.]【合作探究】复数代数形式的乘法运算【例1】 (1)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(2)计算：①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； ②(3＋4i)(3－4i)； ③(1＋i)2.(1)B [z ＝(1－i)(a ＋i)＝(a ＋1)＋(1－a )i ，因为对应的点在第二象限，所以⎩⎨⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1 ，故选B.](2)[解] ①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i.②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25. ③(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.1．两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2(a ，b ∈R )；(2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )； (3)(1±i)2＝±2i.1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1＋i)2 B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)(2)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是． (1)C (2)5 [(1)A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数．C 项，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，是纯虚数．D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．故选C.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.]复数代数形式的除法运算【例2】 (1)3＋i1＋i＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋iD ．2－i(2)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(1)D (2)A [(1)3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i.(2)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i.]1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i.2.(1)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)计算：⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8. (1)B [由复数的几何意义知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，所以z 1z 2＝－2－ii＝－1＋2i ，对应的点在第二象限．](2)解：法一：⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i －2i 4＝(－1)4＝1. 法二：因为1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i2＝i ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＝i 8＝1. 复数运算的综合问题[1．若z＝z，则z是什么数？这个性质有什么作用？[提示]z＝z⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．2．若z≠0且z＋z＝0，则z是什么数？这个性质有什么作用？[提示]z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．3．三个实数|z|，|z|，z·z具有怎样的关系？[提示]设z＝a＋b i，则z＝a－b i，所以|z|＝a2＋b2，|z|＝a2＋(－b)2＝a2＋b2，z·z＝(a＋b i)(a－b i)＝a2－(b i)2＝a2＋b2，所以|z|2＝|z|2＝z·z.【例3】(1)已知复数z＝3＋i(1－3i)2，z是z的共轭复数，则z·z等于( )A.14B.12C．1 D．2(2)已知复数z满足|z|＝5，且(1－2i)z是实数，求z.[思路探究]可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解．(1)A[法一：∵z＝3＋i(1－3i)2＝－3i2＋i(1－3i)2＝i(1－3i)(1－3i)2＝i1－3i＝i(1＋3i)4＝－34＋i4，∴z＝－34－i4，∴z·z＝14.法二：∵z＝3＋i (1－3i)2，∴|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋i (1－3i )2＝|3＋i||(1－3i )2|＝24＝12， ∴z ·z ＝14.](2)[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1－2i)z ＝(1－2i)(a ＋b i)＝(a ＋2b )＋(b －2a )i.又因为(1－2i)z 是实数，所以b －2a ＝0，即b ＝2a ，又|z |＝5，所以a 2＋b 2＝5.解得a ＝±1，b ＝±2.所以z ＝1＋2i 或－1－2i ，所以z ＝1－2i 或－1＋2i ，即z ＝±(1－2i)．1．在题设(1)条件不变的情况下，求z z.[解] 由例题(1)的解析可知z ＝－34＋i 4，z ＝－34－i 4，z ·z ＝14，∴z z＝z 2z ·z＝⎝⎛⎭⎪⎫－34＋i 4214＝12－32i.2．把题设(2)的条件“(1－2i)z 是实数”换成“(1－2i)z 是纯虚数”，求z .[解] 设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，由例题(2)的解可知a ＝－2b ，由|z |＝a 2＋b 2＝5b 2＝5，得b ＝1，a ＝－2；或 b ＝－1，a ＝2.所以z ＝－2－i ，或z ＝2＋i.1．由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数．2．注意共轭复数的简单性质的运用．1．复数代数形式的乘法运算类似于多项式的乘法，同时注意i2＝－1的应用.2．复数代数形式的除法运算采用了分母实数化的思想，即应用z·z＝|z|2解题．3．记住几个常用结论：(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．(2)(1±i)2＝±2i.(3)若z＝z⇔z是实数；若z＋z＝0，则z是纯虚数；z·z＝|z|2＝|z|2.【课堂达标练习】1．判断正误(1)实数不存在共轭复数．( )(2)两个共轭复数的差为纯虚数．( )(3)若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.( )[答案](1)×(2)√(3)×2．已知复数z＝2－i，则z·z的值为( )A．5 B. 5 C．3 D. 3A[z·z＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5.]3．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )A．1 B．2 C. 2 D. 3C[因为z(1＋i)＝2i，所以z＝2i1＋i＝2i(1－i)2＝1＋i，故|z|＝12＋12＝2.]4．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋b i)，z2＝a＋2i1－i，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值．[解]z1＝(－1＋i)(1＋b i)＝－1－b i＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i, z2＝a ＋2i 1－i＝(a ＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a ＋a i ＋2i －22＝a －22＋a ＋22i.由于z 1和z 2互为共轭复数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a －22＝－b －1，a ＋22＝－(1－b )，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1.《7.2.2复数的乘除运算》课后作业[合格基础练]一、选择题 1.(1＋i )3(1－i )2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－iD [(1＋i )3(1－i )2＝2i (1＋i )－2i＝－1－i ，选D.]2．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋iC [z －1＝1＋i i ＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C.]3．在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B [i 1＋i ＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12i ，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，23＋12在第二象限．]4．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A．－4 B．－45C．4 D.45D[∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝53－4i＝5(3＋4i)(3－4i)(3＋4i)＝35＋45i.故z的虚部为45，选D.]5．设复数z的共轭复数是z，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z－2是实数，则实数t等于( )A.34B.43C．－43D．－34A[∵z2＝t＋i，∴z－2＝t－i.z 1·z－2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，又∵z1·z2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝34 .]二、填空题6．i为虚数单位，若复数z＝1＋2i2－i，z的共轭复数为z，则z·z＝ .1 [∵z＝1＋2i2－i＝(1＋2i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝5i5＝i，∴z＝－i，∴z·z＝1.]7．已知a＋2ii＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝ .1[∵a＋2ii＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋b i，∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.]8．设复数z1，z2在复平面内的对应点分别为A，B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝ .5[∵z1(1－i)＝3－i，∴z1＝3－i1－i＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2＋i，∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，∴z2＝z1＝2－i，∴|z2|＝ 5.]三、解答题 9．已知复数z ＝52－i. (1)求z 的实部与虚部；(2)若z 2＋m z ＋n ＝1－i(m ，n ∈R ，z 是z 的共轭复数)，求m 和n 的值． [解] (1)z ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5(2＋i )5＝2＋i ，所以z 的实部为2，虚部为1.(2)把z ＝2＋i 代入z 2＋m z ＋n ＝1－i ，得(2＋i)2＋m (2－i)＋n ＝1－i ，所以⎩⎨⎧2m ＋n ＋3＝1，4－m ＝－1.解得m ＝5，n ＝－12.10．把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎨⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1，∴z ＝2＋i.∴zz＝2＋i 2－i ＝(2＋i )2(2－i )(2＋i )＝3＋4i 5＝35＋45i.[等级过关练]1．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－iA [∵z 1＝2＋i ，z 1与z 2关于虚轴对称，∴z 2＝－2＋i ， ∴z 1z 2＝－1－4＝－5，故选A.]2．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22D [A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．]3．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为．83 [z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i )(3＋4i )9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825 ＝(3a －8)＋(4a ＋6)i 25，∴⎩⎨⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.]4．设x ，y 为实数，且x 1－i＋y 1－2i＝51－3i，则x ＋y ＝ . 4 [x 1－i＋y 1－2i ＝51－3i可化为， x (1＋i )2＋y (1＋2i )5＝5(1＋3i )10，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋25y i ＝12＋32i ，由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 5＝12，x 2＋25y ＝32.∴⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝5，∴x ＋y ＝4.]5．设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1＜ω＜2，(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z，证明u 为纯虚数． [解] (1)因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i.因为ω是实数且y ≠0，所以y －y x 2＋y2＝0，所以x 2＋y 2＝1，即|z |＝1. 此时ω＝2x . 因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x ＜2，从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.(2)证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0，由(1)知，x 2＋y 2＝1， ∴u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i (1＋x )2＋y 2＝－y 1＋x i. 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0，所以y 1＋x≠0，所以u为纯虚数.。

2024年教案设计意图最新版

2024年教案设计意图最新版一、教学内容本节课选自《新概念数学》第十五章“复数的运算与应用”，具体内容包括：复数的定义、复数的代数表示法、复数的加减乘除运算、复数在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 理解并掌握复数的定义及代数表示法，能够正确书写复数。

2. 掌握复数的加减乘除运算，能够熟练进行运算。

3. 能够将复数的知识应用于实际问题，解决有关复数的方程和不等式。

三、教学难点与重点重点：复数的定义、复数的加减乘除运算。

难点：复数在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

学具：教材、《新概念数学》练习册、草稿纸、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入通过展示一幅图片（一个正方形旋转45度形成的一个菱形），让学生思考：如何用数学知识来描述这个菱形的位置和大小？2. 例题讲解（1）复数的定义及代数表示法讲解复数的定义，引导学生理解复数的表示方法，如a+bi。

（2）复数的加减乘除运算讲解复数的加减乘除运算，并通过例题演示运算过程。

3. 随堂练习让学生完成教材第十五章的练习题，巩固复数的定义和运算。

4. 知识应用给出一个实际问题，让学生利用复数的知识解决问题。

六、板书设计1. 复数的定义2. 复数的代数表示法3. 复数的加减乘除运算4. 实际问题的应用七、作业设计1. 作业题目（1）已知复数z1=3+4i，z2=12i，求z1+z2、z1z2、z1z2、z1/z2。

（2）求解方程z^24z+5=0的复数解。

2. 答案（1）z1+z2=4+2i，z1z2=2+6i，z1z2=11+2i，z1/z2=1+6i。

（2）z1=2+i，z2=2i。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对复数的定义和运算掌握程度较高，但在实际问题中的应用还需加强。

2. 拓展延伸：引导学生探索复数的几何意义，了解复数在信号处理、电路分析等领域的应用。

重点和难点解析1. 实践情景引入的设计。

2. 复数的定义及其代数表示法的讲解。

《复数的四则运算》教案

3.2《复数的四则运算》教案（1）教学目标1、理解复数代数形式的四则运算法则。

2、能运用运算律进行复数的四则运算。

教学习重难点重点：复数的加、减、乘法运算难点：复数的加、减、乘法运算教学过程：一、复习回顾： 1.虚数单位i 的引入； 2.复数有关概念：复数的代数形式： (,)z a bi a R b R =+∈∈ 复数的实部a ，虚部b 。

实数：()0;b a R =∈ 虚数：()0;b a R ≠∈纯虚数：0a b =⎧⎨≠⎩复数相等a bi c di +=+⇔a cb d=⎧⎨=⎩特别地，a+bi =0⇔a=b=0。

问题1：a=0是z=a+bi(a 、b ∈R)为纯虚数的必要不充分条件问题2:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大。

思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小。

虚数不可以比较大小。

二、问题引入：我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：a b b a +=+ ab ba =()()a b c a b c ++=++ ()()ab c a bc = ()a b c ab ac +=+ 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？注意到i =-21，虚数单位i 可以和实数进行运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的操作整理成法则即可了！三、知识新授：1、复数加减法的运算法则：(1) 运算法则：设复数z 1=a+bi,z 2=c+di ，那么：z 1+z 2=(a+c)+(b+d)i; z 1-z 2=(a-c)+(b-d)i 。

即：两个复数相加(减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)。

(2)复数的加法满足交换律、结合律即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有：z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。

复数的加减法

1复数的运算（一）复数的加法和减法教学目标：1. 知识：掌握复数加法、减法的运算法则，理解复数加减法的几何意义。

2. 能力：培养学生数形结合的思想方法。

3. 情感：培养学生良好的思维品质（严谨性、深刻性、灵活性）。

教学重点：复数代数形式的加法与减法运算教学难点：复数运算的几何意义及应用.课前预习：1、复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ2、-=3、向量的加法满足的运算律：交换律结合律一、复数的加与减法（一）复数的加法和减法运算1、复数加法、减法若复数z 1=a+bi,z 2=c+di(a,b,c,d ∈R)①复数加法：z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=_______________________②复数减法： z 1-z 2=(a+bi)-(c+di)=___________________________总结：两个复数相加减，就是把与、与分别相加减2、复数的加法满足：交换律：结合律.：（二）复数加减法的几何意义复数的加减法可以按照向量的加减法进行1、复数加法的几何意义：先画出与这两复数对应的向量21,OZ OZ ，再以这两个向量为邻边画平行四边形，对角线与和对应，即：对应的复数为：z 1+z 2。

2、复数减法的几何意义：与连接两个向量终点并指向被减的向量对应12Z Z ，即：12Z Z 对应的复数为：z 2-z 1。

3、复平面上两点间的距离：如果复平面上两点A 、B 对应复数B z z A ，，则A B z z -=二、典例解析：例1、计算：（1）已知12z =3+2i,z =1-4i ，计算12z +z ，12z -z 。

（2）计算(2－5i ) +(3+7i )-( 5+4i )变式训练：若(310)(2)19i y i x i -++=-，求实数,x y 的取值。

例2、已知复数z 1=2+i,z 2=1+2i 在复平面上对应点分别为A ，B ，求,OA ，，对应的复数 AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？练习：复平面内有A 、B 、C 三点，点A 对应复数2+i ，对应的复数1+2i ，BC 对应的复数3-i ，求点C 对应的复数.例3、复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 跟踪练习：已知平行四边形的三个顶点分别为对应复数2i 、4—4i 、2+6i.求第四个顶点对应的复数.2 三、巩固练习：A 组1、已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z =z 2－z 1在复平面内所表示的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、一个实数与一个虚数的差（）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数3、设12(),34,2f Z Z z i z i ==+=-+，则)(21z z f =（）A 、1-3iB 、-2+11iC 、-2+iD 、5-5i4、A 、B 分别是复数z 1、z 2在复平面上对应的两点，O 是原点，若│z 1+z 2│=│z 1-z 2│，则△AOB 是( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等边三角形 D 、等腰直角三形5、在复平面上复数－3－2i ,－4+5i ,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 所对应的复数是A.5－9iB.－5－3iC.7－11iD.－7+11i6、计算：(2x +3yi )－(3x －2yi )+(y －2xi )－3xi =__________________(x 、y ∈R ).B 组7、若复数z 满足│z│=│z+2+2i│,则│z -1+i│的最小值是( )A 、4 BC 、2D 、8、若│z -3│+│z+3│=10且│z -5i│-│z+5i│=8，则Z 等于( )A 、4iB 、-4iC 、±4iD 、以上都不对9、已知复平面上△AOB 的顶点A 所对应的复数为1+2i ,其重心G 所对应的复数为1+i ,则以OA 、OB 为邻边的平行四边形的对角线长为（） A.32 B.22 C.2 D.510、已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R )分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量21Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值.。

高中数学_复数代数形式的加减运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

复数代数形式的加减运算及其几何意义一教学目标根据新课标对教材的要求和学生的认知特点，从知识与技能、过程和方法、情感态度和价值观3个维度确定以下教学目标：知识与技能：理解复数加减运算法则，以及复数加减法的几何意义能够进行正确的计算。

过程与方法：通过让学生自主学习，合作探究，培养学生解决问题的能力。

情感态度与价值观：培养学生的合作交流意识，提高解决问题的能力，并在教学过程中培养学生的探索精神。

二教学重点和难点重点：正确理解复数的加减运算，复数加减运算的几何意义难点：对比复数加减法与向量加减法的异同，从而理解复数的几何意义三教法与学法分析从学生已有的知识水平和认知规律出发，为了更好的突出教学重点、突破难点，我采用以引导发现法为主，直观演示法、合作探究、讨论法为辅的教法。

学生的学法中主要让学生分组探究、讨论、归纳、总结，通过学生动脑、动口、动手等活动培养学生学习的积极性和主动性。

使学生掌握知识。

四教学过程为了更好的突出新课改以教为主导，学为主体的教学理念，我设计的教学过程由导入新课、讲授新课、巩固练习、归纳总结、布置作业五个环节构成。

（一）导入新课（1）复数的代数形式是什么？在什么条件下，复数z为实数、虚数、纯虚数？（学生回答）（2）复数相等的重要条件？实部与实部相等，虚部与虚部相等。

（3）复数几何意义？1.复数z=a+bi，表示向量：oz2.复数的模等于向量的模。

实数可以进行加减运算，复数是否也可以进行加减运算？（引出本节课）本环节设计的意图是：从学生熟悉的生活情景和已有的知识出发，找准了新知识的起点，激发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲望。

（二）讲授新课知识点一复数的加法运算复数的加法法则：设z1=a+bi ，z2=c+di (a 、b 、c 、d ∈R)是任意两复数，那么它们的和：（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i说明:（1）复数的加法运算法则是一种规定。

当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。

复数的加减运算及其几何意义(人教A版2019 必修第二册)

可以看成是加上这个复数的相反数．当
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
多个复数相加(减)时，可将这些复数的
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．
复数的运算可以类比多项式的运算：若
【巩固练习3】已知复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为(
A.
3
B.
5
C．6
D. 6
解析：由题意，得|z1－z2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i|＝
＝ 5 − 2≤ 6，故|z1－z2|的最大值为 6.
答案：D
)
−
2
+ 4＝ 5 − 2
【做一做】1.(6－2i)－(3i＋1)＝( B )
A．3－3i
B．5－5i C．7＋i D．5＋5i
2.若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( B )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
（二）复数的加减运算
3.复数加、减法的几何意义
如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为
∴|z1－z2|＝ 2.
法二：设复数z1，z2，z1＋z2分别对应向量 1 ，2 ，1 + 2
∵|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2，∴平行四边形OZ1ZZ2为正方形．
∴|z1－z2|＝|2 1 |＝||＝ 2.
（三）典型例题
【类题通法】1.利用复数加、减运算及模的几何意义，应用数形结合的思想，可以直观简便地解决复数模
的问题．2.在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB满

高中数学_3.2复数代数形式的四则运算教学设计学情分析教材分析课后反思

选修2-2 第三章复数代数形式的四则运算教学设计教学目标：掌握复数的代数形式的加减乘除运算法则，会进行复数代数形式的运算；了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义教学重点：复数的代数形式的加减乘除运算法则教学难点：复数的代数形式的乘、除运算法则一、课前热身：1．复数i －21＋2i＝( ) A ．i B ．－i C ．－45－35iD ．－45＋35i2．复数(3＋4i)i (其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．复数z ＝2＋m i1＋i (m ∈R )是纯虚数，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24复数3)2321(i +等于（）（A ）i - （B ）i （C ）1- （D ） 15．若i iz 21+=,则复数z = 6.复数的11Z i =-模为（）A ．12B ．2CD ．2教学过程二、题型分析题型一、复数的代数运算例1、计算（1）)1)(2123)(2321(i i i +++- （2）iii i 32233223+---+变式训练：（1）已知2i -3是关于x 的方程2x 2+px+q=0的一根，求p,q 的值（2）已知z 是纯虚数，iz +-12是实数，求zi z b b ib b ib b i i i bi i bi i z b R b bi 2202222222)2(2)1)(1()1)(2(1212)0(z -=∴-==+++-=++-=-+--=+-=+-≠∈=，，设拓展探究：1、试求87654321i i i i i i i i 、、、、、、、的值2、由1推论猜测*)(N n i n∈有什么规律？并把这个规律用式子表示出来。

3计算（1）=+++++124321 (i)i i i i（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011题型二、共轭复数（1）已知复数i z 21+=，求z z ⋅ （2）若2)(,2=-=+i z z z z ,求复数z变式训练：（1）已知复数z 满足8,4=⋅=+z z z z ，求复数z题型三、复数加法、减法的几何意义例3、已知212121212,1,,z z z z z z C z z -=+==∈，求变式提升：在复平面内，z 1，z 2对应的点为A ，B ，z 1+z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OABC（1）若| z 1+z 2|=| z 1-z 2|，则四边形OABC 为（2）若| z 1|=| z 2|，则四边形OABC 为（3）若| z 1|=| z 2|且| z 1+z 2|=| z 1-z 2|，则四边形OABC 为练习：已知212121211,1,,z z z z z z C z z +=-==∈，求知识整合1．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=则=±21z z=⋅21z z =21z z2、i 的周期性3．共轭复数（1）定义（2）性质：4、复数加法、减法的几何意义：课堂小结达标检测1 ．设复数z 满足(1)2i z i -=,则=z （）A ．i +-1B ．i --1C ．i +1D ．i -12．若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为（）A ．4-B ．45-C ．4D ．453. 在复平面内,复数21iz i=+(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4.已知a 是实数，iia +-1是纯虚数，则a = （）（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-25.已知复数1z i =-，则21z z =-（） A. 2B. －2C. 2iD. －2i6.已知,43,10521i z i z -=+=21111z z z +=，求z七、板书设计：学情分析:我所授课班级是理科班，学生的数学基础较差，自主研究获得知识和解法有较大的困难。

7.2.1复数的加减运算及其几何意义(教学设计)高一数学(人教A版2019)

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义教学设计一、教学目标1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.二、教学重难点1.教学重点：复数代数形式的加、减运算法则2.教学难点：复数加、减运算法则三、教学过程1．复习引入在上一节，我们把实数集扩充到了复数集．引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算．下面就来讨论复数集中的运算问题．2.复数的加法法则我们规定，复数的加法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的和(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.老师强调：实部与实部相加，虚部与虚部相加.注：1）两个复数的和仍然是一个确定的复数．2）当z1,z2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和．3）两个复数相加，类似于两个多项式相加．思考：复数的加法满足交换律、结合律吗？老师板演：对任意z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d,∈R)，因为z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.z2+z1=(c+di)+(a+bi)=(a+c)+(b+d)i.所以z 1+z 2= z 2+z 1对任意z 1=a +bi,z 2=c +di ，z 3=e +fi (a,b,c,d,e,f ∈R)，因为(z 1+z 2)+z 3=[(a +bi )+(c +di )]+(e +fi )=(a +c +e)+(b +d +f)iz 1+(z 2+z 3)=(a +bi )+[(c +di )+(e +fi )]=(a +c +e)+(b +d +f)i所以(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)学生总结：复数的加法满足交换律、结合律.3.复数加法的几何意义探究：我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应．而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？设OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别与复数a +bi,c +di 对应，则OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b),OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c,d).由平面向量的坐标运算法则，得OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +c,b +d).这说明两个向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 1与OZ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的和就是与复数(a +c)+(b +d)i 对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义．设计意图：数形结合，便于学生的理解.4.复数的减法法则思考：我们知道，实数的减法是加法的逆运算．类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c +di)+(x +yi)=a +bi 的复数x +yi(x,y ∈R)叫做复数a +bi(a,b ∈R)减去复数c +di(c,d ∈R)的差，记作(a +bi)−(c +di).根据复数相等的含义，c +x =a,d +y =b,因此x =a −c,y =b −d,所以x +yi =(a −c)+(b −d)i,即(a +b i )−(c +d i )=(a −c)+(b −d)i .这就是复数的减法法则．老师强调：实部与实部相减，虚部与虚部相减.注：1）两个复数的差是一个确定的复数．2）两个复数相减，类似于两个多项式相减．5.复数减法的几何意义探究：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？设OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别与复数a +bi,c +di 对应，则OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b),OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c,d).由平面向量的坐标运算法则，得OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −c,b −d).这说明两个向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 1与OZ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的和就是与复数(a −c)+(b −d)i 对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义．设计意图：数形结合，形象生动.6．课堂训练例1计算(5−6i)+(−2−i)−(3+4i).解：(5−6i)+(−2−i)−(3+4i)=(5−2−3)+(−6−1−4)i=−11i.练习1计算(1)(2+4i)+(3-4i);(2)5-(3+2i);(3)(-3-4i)+(2+i)-(1-5i);(4)(2-i)-(2+3i)+4i .解：（1）(2+4i)+(3-4i)=5（2）5-(3+2i)=2−2i（3）(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)=−2+2i（4）(2-i)-(2+3i)+4i =0例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)之间的距离．分析：由于复平面内的点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)对应的复数分别为z 1=x 1+y 1i,z 2=x 2+y 2i,由复数减法的几何意义知，复数z 2−z 1对应的向量为Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 从而点Z 1,Z 2之间的距离为|Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|z 2−z 1|.解：因为复平面内的点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)对应的复数分别为z 1=x 1+y 1i,z 2=x 2+y 2i ，所以点Z 1,Z 2之间的距离为|Z 1Z 2|=|Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|z 2−z 1|=|(x 2+y 2i)−(x 1+y 1i)|=|(x 2−x 1)+(y 2−y 1)i|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2.练习2．求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离：(1)z 1=2+i,z 2=3−i;(2)z 3=8+5i,z 4=4+2i.解：|z 1−z 2|=√(2−3)2+(1−(−1))2=√5 |z 3−z 4|=√(8−4)2+(5−2)2=5练习3 如图，向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是z ，分别作出下列运算的结果对应的向量： (1)z +1;(2)z −i;(3)z +(−2+i).设计意图：提高学生对课堂知识的应用.7.课堂小结复数的加法法则(a +bi)+(c +di)=(a +c)+(b +d)i 复数的加法满足交换律、结合律 z 1+z 2= z 2+z 1 (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 复数的加法可以按照向量的加法来进行复数的减法法则(a +b i )−(c +d i )=(a −c)+(b −d)i . 复数的减法可以按照向量的减法来进行复平面内的两点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)之间的距离|Z 1Z 2|=|Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|z 2−z 1|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)28.作业习题7.2 第1,2题。