模糊数学在数据挖掘领域综述

模糊数学在数据挖掘研究综述

一、模糊数学

关于数学的分类，根据所研究对象的确定性可以分为经典数学、随机数学以及模糊数学。三者的关系如图1所示。经典数学建立在集合论的基础上，一个对象对于一个集合要么属于，要么不属于，两者必居其一，且仅居其一，绝不可模棱两可，由于这个要求，大大限制了数学的应用范围，使它无法处理日常生活中大量的不明确的模糊现象与概念。随着发展,过去那些与数学毫无关系或关系不大的学科如生物学，心理学，等都迫切要求定量化和数学化。

图1依照研究对象是否确定的数学分类

在日常生活中，我们经常会遇到一些模糊不清的概念。例如，“高个子”、“矮个子”等。如果把1.80米的人算高个子，那么，身高1.76米的人算不算高个子呢？这就很难说，因为“高个子”，“矮个子”并没有二者明确的标准，因而这些概念就显得模糊不清。为了适应这些学科自身的特点，只有通过改造数学，使它应用的面更为广泛。模糊数学就是研究事物这种模糊性质的一门数学学科。

模糊数学诞生于1965年，创始人是美国自动控制专家查德，他最早提出了模糊集合的概念，引入了隶属函数。自诞生之日起，就与电子计算机息息相关。今天精确的数学计算当然是不可少的，然而，当我们要求脑功能的时候，精确这个长处反而成了短处。例如，我们在判别走过的人是谁时，总是将来人的高矮，胖瘦、走路姿势与大脑存储的样子进行比较，从而作出判断。一般说来，这不是件难事，即使是分别多年的老友，也会很快地认出他来，但是若让计算机做这件事，使用精确数学就太复杂了。得测量来人的身高、体重、手臂摆的角度以及鞋底对地面的正压力、磨擦力、速度、加速度等数据，而且非要精确到后几十位才肯罢休。如果有位熟人最近稍为瘦了或胖了一些，计算机就“翻脸不认了”。显然，这样的“精确”容易使人糊涂。由此可见，要使计算机能模拟人功能，一定程度的模糊是必要的。模糊数学就是在这样的背景下诞生的。

随机数学与模糊数学都是对不确定性量的研究，但与模糊数学不同的是，随机数学是研究随机现象统计规律性的一个数学分支，涉及四个主要部分：概率论、随机过程、数理统计、随机运筹。随机数学更强调对数据的统计规律；而模糊数学强调的是变量的定义的模糊性。

模糊数学是一门新兴学科，过去那些与数学毫不相关或关系不大的学科（如生物学、心理学、语言学、社会科学等）都有可能用定量化和数学化加以描述和处理，从而使数学的应用范围大大扩展。它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面，并且在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。模糊数学最重要的应用领域是计算机职能，它与新一代计算机的研制有密切的联系。

二、模糊计算

精确的数学语言、定量化分析传统计算的方式无法解决概念模糊的问题，如大房子，小个子等，所以需要引入模糊计算来对模糊概念变量的计算。普通计算一般是指函数式，自变量与因变量是一一对应的关系。而模糊计算，一个变量，可以对应于多个状态值。当然，这些个状态与普通的函数表示也不是完全相同的，并不是完全确定的，它们有一个隶属度，或者说概率，来表示这个状态。隶属度表示程度，它的值越大，表明这个状态的概率越高，反之则表明这个状态的概率越低，其原因在于有一些概念模糊的问题，需要模糊计算来处理。

本节讨论关于模糊数学计算的基本知识。

1、模糊集、隶属函数及模糊集的运算

对于普通集合A ，对x ∀，有A x ∈或A x ∉。

如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时，仅用特征函数就不够了。模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0，1]闭区间内，取值的函数以度量这种程度的大小，这个函数（记为)(x E ）称为集合E 的隶属函数。即对于每一个元素x ，有[0,1]内的一个数)(x E 与之对应。

模糊子集的定义：射给定论域U ，U 到[0，1]上的任一映射：

))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→

都确定了U 上的一个模糊集合，简称为模糊子集。)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度。映射所表示的函数称为隶属函数。

模糊集合的运算：

)}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，)}(),.....,(),({21n u B u B u B B =，

并集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∨∨∨=⋃，

交集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∧∧∧=⋂，

补集：

)}(1),.....,(1),(1{21n c u A u A u A A ---=， 包含：B A u B u A U u ⊂≤∈∀，则有有若)()(,。

2、模糊数学基本定理

①、模糊截积：

已知U 上模糊子集))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→

对]1,0[∈λ，A λ也是U 上模糊集，其隶属函数为：)(),())((U u u A u A ∈∀∧=λλ； 称为A λ为λ与A 的模糊截积。

②、分解定理1：已知模糊子集)(U F A ∈，则λλλA A ]

1,0[∈⋃= 推论1：对,U u ∈∀}],1,0[{)(λλλA u u A ∈∈∨=

③、分解定理2：已知模糊子集)(U F A ∈，则S A A λλλ]

1,0[∈⋃= 推论2：对,U u ∈∀}],1,0[{)(S A u u A λλλ∈∈∨=

三、模糊聚类

1、模糊聚类分析法与聚类分析法

模糊聚类分析是聚类分析的一种。聚类分析按照不同的分类标准可以进行不同的分类。就好像人按照性别可以分成男人和女人，按照年龄可以分为老中青一样。聚类分析如果按照隶属度的取值范围可以分为两类，一类叫硬聚类算法，另一类就是模糊聚类算法。

隶属度的概念是从模糊集理论里引申出来的。传统硬聚类算法隶属度只有两个值 0 和

1。 也就是说一个样本只能完全属于某一个类或者完全不属于某一个类。举个例子，把温度分为两类，大于10度为热，小于或者等于10度为冷，这就是典型的“硬隶属度”概念。 那么不论是5度 还是负100度都属于冷这个类，而不属于热这个类的。而模糊集里的隶属度是一个取值在[0 1]区间内的数。一个样本同时属于所有的类，但是通过隶属度的大小来区分其差异。比如5度，可能属于冷这类的隶属度值为0.7,而属于热这个类的值为0.3。这样做就比较合理，硬聚类也可以看做模糊聚类的一个特例。

2、模糊聚类步骤

模糊聚类法和一般的聚类方法相似，先将数据进行标准化，计算变量间相似矩阵或样品间的距离矩阵，将其元素压缩到0与1之间形成模糊相似矩阵，进一步改造为模糊等价矩阵，最后取不同的标准λ，得到不同的-λ截阵，从而就可以得到不同的类。具体步骤如下： 第一步：数据标准化

1）.数据矩阵

设论域},...,,{21n x x x U =为被分类的对象，每个对象又由m 个指标表示其性状：

},...,,{21im i i i x x x x =（n i ,...,2,1=）

于是得到原始数据矩阵为

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nm n n m m x x x x x x x x x (2122221)

11211

2）.数据标准化

在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲。为了使有不同的量纲的量也能进行比较，通常需要对数据作适当的变换。但是，即使这样得到的数据也不一定在区间[0，1]上。因此，这里所说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。通常需要作如下变换：平移标准差变换、平移级差变换。

第二步：建立模糊相似矩阵