完全平方公式的变形与应用
完全平方公式的综合应用
完全平方的综合应用一、公式移项变形运用：1、若3,2a b ab +=-=， 则22a b += ，()2a b -=2、若x y x y 22126-=+=，，则x ＝_____________，y ＝_____________3、已知2=+n m ，2-=mn ，则=--)1)(1(n m _______ 若a 2+2a=1则(a+1)2=________.4、若1,2=-=-c a b a ,则=-+--22)()2(a c c b a5、若22a b +=7，a+b=5，则ab= 若22a b +=7，ab =5，则a+b= 6、若22a b +=7，a-b=5，则ab= 若22a b +=3，ab =-4，则a-b=7.若(x-3)2=x 2+kx+9,则k=_________. 若x 2+y 2=12,xy=4,则(x-y)2=_________. 8.已知:a+b=7,ab=-12,求 (1)a 2+b 2= (2)a 2-ab+b 2= (3)(a-b)2=9、多项式192+x 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是10、若4x 2-Mxy+9y 2是两数和的平方,则M 的值是 ( )A.36 B.±36 C.12 D.±1211．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为（ ）（A ）－5 （B ）5 （C ）－2 （D ）213．如果m-n=15, m 2+n 2=5125,那么(mn)2005的值为 ( )A.1 B.-1 C.0 D.无法确定二、公式的组合及变形应用：1、已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求: (1)a 2+b 2= (2)ab=2、若a―b=7, ab=2, 则(a+b)2的值3、已知a+b=－8,ab=12,则（a －b)2= 若x-y=3，xy=1，则（x+y ）2=________4．若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2a b -= ]5、若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，ab =_________6. 若()()x y x y a -=++22，则a 为（ ） A. 0B. -2xy ;C. 2xyD. -4xy7. 如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( )A 、 2xy B 、－2xy C 、4xy D 、－4xy8．已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于（ ）A 、()n m -21 B 、()n m --21 C 、()n m -41 D 、()n m --419．若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（ ）A. -24ab B.12ab C.24ab D.-12ab三、公式中的特殊关系： 1、如果12a a +=,那么221a a += 2、已知51=+x x ，那么221x x +=_______ 3、 已知31=-x x ，则221x x +的值是 4、若12a a += 且0<a<1,求a － a1的值是 5. 已知a 2－3a ＋1＝0．求a a 1+和a － a1和221a a +的值；6.已知242411112,1;(2);(3)x a a a x a a a+=++-求：（）7．已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；四、公式倒用：1.已知x 2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式20032004x y +的值.2、练习：若x y x y 2246130++-+=，x ，y 均为有理数，求x y=3、已知a 2+b 2+6a-4b+13=0，求(a+b)2的值。
完全平方公式
完全平方公式的变形与应用一、完全平方公式的变形：完全平方公式222222()2,()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+在使用时常作如下变形：(1) 222222()2,()2a b a b ab a b a b ab +=+-+=-+(2) 2222()()4,()()4a b a b ab a b a b ab +=-+-=+-(3) 2222()()2()a b a b a b ++-=+ (4) 2222221[()()()]2a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+- (5) (a a 1+)2=2122++aa 1、 已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？2、 已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积.3、 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和.4、 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？5、 已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积.6、 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3.求：α2+b 2+c 2－αb －bc －cα的值.二、完全平方公式的应用例析（一）根据公式的特点求字母的值已知36442++mx x 是完全平方式，则m 的值为（ ）（二）构造完全平方公式：1、x 4+6x 2+______=（ ___ + ___ ）2 ；m 2+3m+____=（m+___）22、4x 6y 4－_____+9=( _____- _____)2 ；(x+2y)2-8(x+2y)+16=( )2（三）直接用公式求代数式的值 当12s t =+时，代数式222s st t -+的值为 ．992=_______ （四）变形用公式求代数式的值1、已知x+y = –5，xy = 6，则22x y +的值是（ ）；2、已知已知m ＜1且m+m－１＝３，则m －m －1的值为（ ）. 3、已知：ab =60, 22a b +=169，则22a b -的值为（ ）； 4、已知a+1a =5,则=4221a a a++=_____；已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a b a b +-=_____. （五）用公式解决实际问题1、如图，矩形ABCD 的周长是20cm ，以AB 、CD 为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH ，若正方形ABEF 和ADGH 的面积之和682cm ,那么矩形ABCD的面积是（ ）2、一个直角三角形的周长为5+13，已知斜边为13，求该三角形面积。
完全平方公式的变形及其应用
完全平方公式的变形及其应用多项式乘法的完全平方公式的变形形式很多，且应用广泛，下面结合例题，介绍完全平方公式的变形“公式”及其应用。
一、变式1：2a ＋2b ＝()2a b +－2ab这样因为：由()2a b +＝2a ＋2b ＋2ab ，移项，得2a ＋2b ＝()2a b +－2ab 。
例1 已知x ＋y ＝5，xy ＝2，求下列各式的值：（1）2x ＋2y ；（2）4x ＋4y . 解 由变式1，得（1）2x ＋2y ＝()2x y +－2xy ＝25－2×2＝21.（2）4x ＋4y ＝()222x y +－222x y ＝221－2×4＝433. 二、变式2：2a ＋2b ＝()2a b -＋2ab这是因为：由()2a b -＝2a －2ab ＋2b ，移项，得2a ＋2b ＝()2a b -＋2ab 。
例2 已知a －1a ＝5，求2a ＋21a的值。
解 由变式2，得2a ＋21a ＝21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2＝25＋2＝27. 三、变式3：ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+-+⎣⎦ 这是因为：由()2a b +＝2a ＋2b ＋2ab ，得2ab ＝()2a b +－（2a ＋2b ），两边同除以2，得ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+-+⎣⎦。
例3 已知a ＋b ＝7，2a ＋2b ＝29，求ab 的值。
解 由变式3，得ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+-+⎣⎦＝12[27－29]＝10. 四、变式4：ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+--⎣⎦ 这是因为：由()2a b -＝2a －2ab ＋2b ，移项得2ab ＝（2a ＋2b ）－()2a b -，两边同除以2，得ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+--⎣⎦。
例4 已知a －b ＝3，2a ＋2b ＝5，求ab 的值。
解 由变式4，得ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+--⎣⎦＝12[5－23]＝－2.五、变式5：()2a b +＝()2a b -＋4ab这是因为：()2a b +＝2a ＋2b ＋2ab ＝（2a ＋2b －2ab ）＋4ab ＝()2a b -＋4ab 。
完全平方公式的变形公式
完全平方公式的变形公式完全平方公式的变形公式在我们的考试中经常遇到，很多同学对此很苦恼，今天咱们一起来学习完全平方的变形公式。
一、通过移项变形1、（a+b）²=a²+2ab+b²变形为a²+b²=（a+b）²-2ab2、（a+b）²=a²+2ab+b²变形为2ab=（a+b）²-（a²+b²）用法：以上变形适用于已知a+b、ab、a²+b²中的两项求另一项的值，知二求一。
第二个变形也有记ab=½{（a+b）²-（a²+b²）}的，我们不需要这么记，记住上面第2个就行！例1：已知a+b=7，ab=10，求下列各式的值：（1）a²+b²；（2）a²-ab+b²解=（a+b）²-2ab 解= a² +b²-ab先移项因为a+b=7，ab=10 =（a+b）²-2ab-ab所以a²+b²=49-20=29 =（a+b）²-3ab因为a+b=7，ab=10所以a²+b²=49-30=19二、a+b与a-b的转换（1）（a+b）²=（a-b）²+4ab（由a-b变为a+b）（2）（a-b）²=（a+b）²+4ab （由a+b变为a-b）（3）（a+b）²-（a-b）²=4ab（4）（a+b）²+（a-b）²=2（a² +b²）用法：已知a+b、a-b、ab中的两项，求另一项，知二求一.例2、已知（a+b）²=9，（a-b）²=5，求（1）a² +b²，（2）ab的值.解：（1）2（a² +b²）=（a+b）²+（a-b）²2（a² +b²）=9+5=14a² +b²=7（2）4ab=（a+b）²-（a-b）²4ab=9-5=4ab=1特殊的小结：总的来说（a+b）²、（a-b）²、ab、a² +b²、a+b、a-b这六个项，我们通过题目给出的已知项把它们进行加或减就能够求出其它的项。
完全平方公式变形的应用
完全平方公式变形的应用完全平方公式是解二次方程的重要基础工具，可以将一个二次方程转化为一个完全平方的形式。
在实际应用中，完全平方公式变形主要用于简化计算、求解函数极值、确定函数性质等方面。
下面我们将具体介绍完全平方公式变形的应用。
一、解析几何中的应用1.完全平方公式变形常用于求解平面上的曲线的性质，如拟合圆弧、确定形状等。
例如，在平面几何中，如果已知一个椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，要求椭圆上两点之间的距离，可以利用完全平方公式将方程变形为$(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=1$，即$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$。
然后，通过参数方程求解两点之间的距离。
2.完全平方公式变形也常用于解决计算几何中的问题。
例如，在计算几何中，如果已知一个长方形的面积为$8$平方单位，要求长方形的长和宽的和，可以利用完全平方公式将面积写成方程$x^2+lx-8=0$，其中$l$为长方形的长和宽的和。
然后，通过求解这个方程，即可得到长方形的长和宽的和的值。
二、实际问题中的应用1.完全平方公式变形可用于优化问题中的求解。
例如，在生产实践中，工厂生产其中一种产品，设产量为$x$件/天。
已知每件产品的销售价格为$p$元/件，每件产品的生产成本为$c$元/件，则销售收入$R$与生产成本$C$之间的关系可以表示为$R=px$，$C=cx$。
要使得利润最大化，即$R-C$最大化，可以通过完全平方公式变形求得产量$x$的最优值，进而计算出最大利润。
2.完全平方公式变形可用于求解抛物线的最值问题。
例如，在物理学中，一个抛体的运动轨迹为抛物线，设该抛物线的方程为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$为常数。
要求抛物线的顶点坐标，可通过完全平方公式将方程变形为$y=a(x-\frac{b}{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a}$，即可得到顶点坐标$(\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$。
完全平方公式变形的应用培优
完全平方公式变形的应用培优
1.变形一：平方差公式
将完全平方公式中的等式两边移项，可以得到平方差公式：
(a+b)²-a²=2ab；
(a-b)²-a²=-2ab
这些公式可以用于解决一些二次方程的求解问题，也可以用于快速计
算一些算术运算，如：(42)²-40²=(42+40)(42-40)=82*2=164
2.变形二：立方差公式
(a+b)³-a³=3a²b+3ab²+b³；
(a-b)³-a³=-3a²b+3ab²-b³
这些公式可以用于解决一些立方方程的求解问题和立方运算问题，如：(a+b)³=(a+b)(a+b)²
1.应用一：平方求和公式
1²+2²+…+n²=(n(n+1)(2n+1))/6
2.应用二：定积分计算
∫(x²+2x+1)dx=∫(x+1)²dx=(1/3)(x+1)³+C
3.应用三：因式分解
x²+6x+9=(x+3)²
以上是完全平方公式变形的一些应用示例，从中可以看出完全平方公式变形在代数学习中的重要性。
通过灵活运用完全平方公式变形，可以解决一些复杂的方程和计算问题，提高解题能力和计算效率。
因此，学生在数学学习中一定要熟练掌握完全平方公式的变形和应用。
完全平方公式的五种变式
完全平方公式的五种变式《完全平方公式的五种变式》完全平方公式可以让我们更轻松地解算出方程，它的表达形式是a^2+2ab+b^2=c^2，在几何学中被广泛应用。
它是研究直角三角形内比例数学关系、特别是勾股定理和其他定理的基础。
完全平方公式有五种不同的变式，这些变式拥有不同的应用。
首先，原式完全平方形式。
它的正式表达是a^2+2ab+b^2，它展示了两个乘积的累加，这也就是它的名字。
它被用于错角比方程中，由错角定理可知，一个错角必有三个对边，这三个对边可由它推出。
其次，一元二次函数形式。
它是最常用的变式，表达式如下：y=ax^2+2bx+c，其中a、b、c为实数。
它常被用于物理领域，特别是电磁领域，比如连接变压器、引力等等。
下一个变式是极坐标变形。
它的表达式是r=a(cosθ+sinθ)，其中r是极坐标原点，θ是极角，a是椭圆的长半轴。
它可以用来表示二维坐标系内的椭圆，因为椭圆是由它来表达的。
第四种变式是矩阵形式。
它可以用矩阵表达式来构造。
举例来说，可以表示为A^2+2AB+B^2=C^2，这里A、B、C是一组矩阵。
它常用于矩阵的运算，用于求解方程组。
最后，齐次二次方程变形。
它的表达式是ax^2+2bx+c=0，其中a、b、c是常数。
由此可知，这种变形主要用于求解二元齐次方程，可以非常有效的解决二元的齐次方程。
总之，完全平方公式的五种变式是非常重要的，它们可以用于不同的应用领域，比如研究三角形内比例数学关系、一元二次函数、极轴变形、矩阵运算和齐次二次方程求解等。
完全平方公式变形公式及常见题型
完全平方公式变形公式及常见题型加法形式的完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²减法形式的完全平方公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²这两个公式可以用来解决一些常见的数学题型，包括因式分解、求根、化简等。
下面将分别介绍这些题型并给出解题方法和例题。
1.因式分解：如果一个二次多项式可以进行因式分解，它的形式可以表示为(x+a)²或者(x-a)²。
通过比较系数，可以求解出a的值。
例题：将多项式x²+6x+9进行因式分解。
解：这个多项式可以整理成(x+3)²的形式，所以其因式分解为(x+3)²。
2.求根：可以利用完全平方公式来求解一个二次方程的根。
例题：求方程x²+6x+9=0的根。
解：可以通过变形公式x²+6x+9=(x+3)²得到，然后令(x+3)²=0，可以得到x=-3、所以方程的根为x=-33.化简：通过利用完全平方公式的变形，可以化简一个复杂的二次多项式。
例题：化简多项式x²+8x+16解：这个多项式可以整理成(x+4)²的形式。
4.求面积和周长：通过完全平方公式，可以求解一个平方区域的面积和周长。
例题：一个正方形的边长为x，求其周长和面积。
解：正方形的周长为4x，面积为x²。
5.求最值：通过完全平方公式，可以求解一个多项式的最大值或最小值。
例题：求多项式y = ax² + bx + c 的最小值。
解：可以通过完全平方公式将该多项式转化为(x+p)²+q的形式，从而得到最小值为q。
这只是完全平方公式的一些常见应用，还有很多其他的题型和解题方法。
希望这些例题和解题方法能够帮助你更好地理解和应用完全平方公式。
完全平方公式的变形及其应用
完全平方公式的变形及其应用完全平方公式的变形及其应用多项式乘法的完全平方公式的变形形式很多，且应用广泛。
下面结合例题，介绍完全平方公式的变形及其应用。
一、变式1：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，移项，得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$。
例1：已知$x+y=5$，$xy=2$，求下列各式的值：（1）$x^2+y^2$；（2）$x^4+y^4$。
解：由变式1，得（1）$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2\times2=21$；（2）$x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=21^2-2\times4=433$。
二、变式2：$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$这是因为：由$(a-b)=a^2-2ab+b^2$，移项，得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$。
例2：已知$a-\sqrt{11}=5$，求$a^2+11$的值。
解：由变式2，得$a^2+11=\left(a-\sqrt{11}\right)^2+2\sqrt{11}=5^2+2\sqrt{11}=27$。
三、变式3：$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，得$2ab=(a+b)-\left(a^2+b^2\right)$，两边同除以2，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$。
例3：已知$a+b=7$，$a^2+b^2=29$，求$ab$的值。
解：由变式3，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{7^2-29}\right)=10$。
完全平方公式变形公式及常见题型
完全平方公式变形公式及常见题型
完全平方公式变形及常见题型是数学学习中最基本的内容，在考试中也是经常出现的题型。
完全平方公式的变形和常见的题型可以大大提高学生在数学考试中的表现，也可以帮助学生更好地理解这些概念。
本文将对完全平方公式变形公式及常见题型进行讨论，包括它们的定义、变形公式以及常见题型。
完全平方公式是一类特殊的二次公式，其标准形式为：
ax2+bx+c=0
其中a、b和c分别为系数，可以为整数、分数或者其他数学表
示形式。
在完全平方公式中，b=0，a和c为正数或者负数，此时x2
的系数为a，而常数项的系数为c。
完全平方公式的一般形式为：
ax2+c=0
要将完全平方公式一般形式变形为标准形式，可以使用变形公式，其中b系数的变形公式为：
b=±√(ac)
通过使用变形公式，可以在给定的条件下变形完全平方公式，使其达到标准形式。
完全平方公式变形后常常会出现一些常见的题型，这些题型包括： 1.全平方公式求解题：此类题型一般要求学生使用完全平方公式求解某类问题，例如求解一元二次方程；
2.全平方公式变形题：此类题型要求学生运用变形公式将完全平方公式从一般形式变换到标准形式；
3.全平方公式的图像分析题：此类题型要求学生分析完全平方公式的图像特征，如顶点、极值、开口方向等；
4.全平方公式在实际问题中的应用题：此类题型要求学生将完全平方公式运用到实际问题中，如几何问题或投资问题，求解问题的最佳解。
以上就是完全平方公式变形公式及常见题型的基本内容，下面我们将对它们进行更深入的介绍。
完全平方公式的变形
完全平方公式的变形引言在代数学中，完全平方公式是一种常见的代数公式，经常被用于求解二次方程方程、因式分解和展开式化简等问题。
本文将介绍完全平方公式的变形，以及其在求解问题中的应用。
完全平方公式的基本形式完全平方公式是指将一个二次多项式写成平方的形式，其基本形式为：(a+b)2=a2+2ab+b2其中，a和b是任意实数或复数。
完全平方公式的变形完全平方公式还可以通过变形，得到其他形式的公式。
下面将介绍几种常见的变形形式。
1. 差平方公式差平方公式是一种完全平方公式的变形形式，其表达式为：(a−b)2=a2−2ab+b2与完全平方公式的基本形式相比，差平方公式仅改变了中间项的符号。
2. 平方差公式平方差公式是一种完全平方公式的变形形式，其表达式为：a2−b2=(a+b)(a−b)平方差公式可以将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
这在因式分解和展开式化简中经常被使用。
3. 求解二次方程完全平方公式的变形形式还可以应用于求解二次方程。
对于一般的二次方程ax2+bx+c=0，可以通过完全平方公式进行变形，得到以下形式：a(x−ℎ)2+k=0其中，ℎ和k是待求解的常数。
通过移项、配方等运算，可以进一步求解出x的值。
完全平方公式的应用举例完全平方公式的变形形式在数学问题的求解中具有广泛的应用。
下面将通过几个具体例子来说明其应用。
例1：求解二次方程考虑二次方程x2−6x+9=0。
通过观察可得，该方程可以表示为(x−3)2=0的形式。
根据完全平方公式的变形形式，可知x−3=0，从而解得x=3。
这个例子展示了将二次方程转化为完全平方公式的变形形式，从而更容易求解方程的过程。
例2：因式分解考虑多项式x2−4。
根据平方差公式，可将其因式分解为(x+2)(x−2)。
这个例子展示了平方差公式在因式分解中的应用。
例3：化简展开式考虑展开式(x−2)3=x3−6x2+12x−8。
通过完全平方公式的变形形式，可以将其化简为一个较简单的形式。
完全平方公式的变形及其应用
完全平方公式的变形及其应用(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²对于给定的二次方程ax² + bx + c = 0，可以使用完全平方公式来求解其根。
下面将介绍完全平方公式的变形及其应用。
在进行完全平方公式的变形之前，首先要将一般形式的二次方程进行变形，使其具有完全平方的形式。
通过配方，将二次项与线性项合并，得到完全平方的形式。
(a+b)² = a² + 2ab + b²对于二次项 2ab，可以找到两个数 a 和 b，使得 2ab = bx。
从而将a 和b 归纳出来。
利用上面的思路，将二次方程进行配方：ax² + bx + c = a (x² + bx/a) + c = a (x² + (b/2a)² - (b/2a)²) + c = a (x + b/2a)² - (b/2a)² + c再将二次项转化成完全平方的形式，可得：ax² + bx + c = a (x + b/2a)² - (b/2a)² + c在进行完全平方公式的变形之后，我们可以使用该公式来求解二次方程的根。
例如，对于二次方程x²+6x+9=0，可以采用完全平方公式来求解。
将该方程表示为完全平方的形式，可以得到：(x+3)²=0从而可以直接得到方程的解为x=-3顶点的坐标可以通过完全平方公式得到。
对于二次函数y = ax² + bx + c，其顶点的 x 坐标为 -b/2a，将其代入函数中即可得到 y 坐标。
图像的开口方向可以通过二次项的系数a的符号来判断。
当a>0时，二次函数的图像开口朝上，当a<0时，二次函数的图像开口朝下。
最值可以通过完全平方公式和顶点坐标来求解。
七年级数学知识点精讲精练——完全平方公式变形应用与配方法
完全平方公式变形与配方法【知识点】1．完全平方式完全平方式的定义：a2±2ab+b2=（a±b）2口诀：“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号看前方”．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”2．配方法配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2应用：利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．【典型例题】（2017春•秦淮区秦外期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3是x2﹣2x+4的一种形式的配方，（x﹣2）2+2x是x2﹣2x+4的另一种形式的配方…请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+1的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求2x﹣y的值；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．【考点】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2是解题的关键．【解答】解：（1）x 2﹣4x +1的两种配方分别为：x 2﹣4x +1=（x ﹣2）2﹣3，x 2﹣4x +1=（x ﹣1）2﹣2x ；（2）由x 2+y 2﹣4x +6y +13=0得：x 2﹣4x +4+y 2+6y +9=0，∴（x ﹣2）2+（y +3）2=0解得：x =2，y =﹣3∴2x ﹣y =4+3=7；（3）a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣3b ﹣2c +4=（a 2﹣ab +14b 2）+（34b 2﹣3b +3）+（c 2﹣2c +1） =（a 2﹣ab +14b 2）+34（b 2﹣4b +4）+（c 2﹣2c +1） =（a ﹣12b ）2+34（b ﹣2）2+（c ﹣1）2=0，从而有a ﹣12b =0，b ﹣2=0，c ﹣1=0， 即a =1，b =2，c =1，故a +b +c =4．【练习】1．若m 2+2mn +2n 2﹣6n +9=0，则m n 2的值为 ．2．若|m ﹣1|+n 2+6n +9=0，那么m = ，n = ．3. （2016春•玄武区校级期中）阅读材料：若m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，∴（m 2﹣2mn +n 2）+（n 2﹣6n +9）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣3）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣3）2=0，∴n =3，m =3．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x 2﹣2xy +2y 2+8y +16=0，求xy 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2﹣12a ﹣16b +100=0，求△ABC 的最大边c 可能是哪几个值？4.（2016春•南外期中）先阅读后解题：若m 2+2m +n 2﹣6n +10=0，求m 和n 的值．解：等式可变形为：m 2+2m +1+n 2﹣6n +9=0即 （m +1）2+（n ﹣3）2=0因为（m +1）2≥0，（n ﹣3）2≥0，所以 m +1=0，n ﹣3=0即 m =﹣1，n =3．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：（1）已知x 2+y 2+x ﹣6y +374=0，求x y 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2a 2+b 2﹣4a ﹣6b +11=0，则△ABC 的周长是 ；（3）a 2+b 2+4a ﹣10b +30的最小值是 ．5.阅读材料：把形如ax 2+bx +c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2．例如：x 2﹣2x +4=x 2﹣2x +1+3=（x ﹣1）2+ ；x 2﹣2x +4=x 2﹣4x +4+2x =（x ﹣2）2+ ；x 2﹣2x +4=14x 2﹣2x +4+34x 2=（12x ﹣2）2+ 是x 2﹣2x +4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，将二次三项式x 2﹣4x +9配成完全平方式（直接写出两种形式）；（2）将a 2+3ab +b 2配方（写两种形式即可，需写配方过程）；（3）已知a 2+b 2+c 2﹣2ab +2c +1=0，求a ﹣b +c 的值．【练习解析】1.解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0 ∴（m+n）2+（n﹣3）2=0，∴m+n=0且n﹣3=0，∴m=﹣3，n=3，∴mn2=−332=﹣13．故答案为﹣13．2. 解：∵|m﹣1|+n2+6n+9=0，∴|m﹣1|+（n+3）2=0，∵|m﹣1|≥0，（n+3）2≥0∴|m﹣1|=0，（n+3）2=0解得m=1，n=﹣3故应填：1，﹣3．3. 解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+8y+16=0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+8y+16）=0，∴（x﹣y）2+（y+4）2=0，∴（x﹣y）2=0，（y+4）2=0，∴x=﹣4，y=﹣4，∴xy=﹣4×（﹣4）=16；（2）∵a2+b2﹣12a﹣16b+100=0，∴（a2﹣12a+36）+（b2﹣16b+64）=0，∴（a﹣6）2+（b﹣8）2=0，∴（a﹣6）2=0，（b﹣8）2=0，∴a=6，b=8，∵△ABC的最大边是c，∴8＜c＜14，∵c是正整数，∴c可能是9，10，11，12，13．4. 解：（1）等式可变形为：x 2+x +14+y 2﹣6y +9=0， 即（x +12）2+（y ﹣3）2=0 ∵（x +12）2≥0，（y ﹣3）2≥0，∴x +12=0，y ﹣3=0， 即x =﹣12，y =3．x y =（﹣12）3=﹣18；（2）等式可变形为（√2a ）2﹣4a +（√2）2+b 2﹣6b +9=0， 即（√2a ﹣√2）2+（b ﹣3）2=0， ∵（√2a ﹣√2）2≥0，（b ﹣3）2≥0， ∴√2a ﹣√2=0，b ﹣3=0， 即a =1，b =3，由三角形三边的关系，得 2＜c ＜4，又∵a 、b 、c 都是正整数， ∴c =3，△ABC 的周长是3+3+1=7；（3）原式=a 2﹣4a +4+b 2﹣10b +25+1 =（a ﹣2）2+（b ﹣5）2+1 ∵（a ﹣2）2≥0，（b ﹣5）2≥0， ∴a 2+b 2+4a ﹣10b +30的最小值是1， 故答案为：7，1．5. 解：（1）（x ﹣2）2+5，（x ﹣3）2+2x ；（2）a 2+3ab +b 2=a 2+3ab +（32b ）2﹣（32b ）2+b 2=（a +32b ）2﹣54b 2； a 2+3ab +b 2=a 2+2ab +b 2+ab =（a +b ）2+ab ；（3）∵a 2+b 2+c 2﹣2ab +2c +1=0， ∴（a 2+b 2﹣2ab ）+（c 2+2c +1）=0 即（a ﹣b ）2+（c +1）2=0， ∴a ﹣b =0且c =﹣1， ∴a ﹣b +c =﹣1．。
完全平方公式及其应用
完全平方公式及其应用一、公式及其变形1、 完全平方公式：222()+2a b a ab b +=+ （1）222()2a b a ab b -=-+ （2）公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
注意：222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
2、公式变形 (1)+（2）得:2222()()2a b a b a b ++-+= (12)-）（得: 22()()4a b a b ab +--= ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+，ab b a b a 4)()(22-+=-3、三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++二、题型题型一、完全平方公式的应用例1、计算（1）（－21ab 2－32c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）；练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）；（2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k =2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N =4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k =题型三、公式的逆用1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________．3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2．5．代数式xy －x 2－41y 2等于（ ）2题型四、配方思想1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____.2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______.3、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --=_______.4、已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy+=_______.5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ．6、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？题型五、完全平方公式的变形技巧1、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
完全平方公式8种变形
完全平方公式8种变形完全平方公式是高中数学中的重要内容，它为我们解决二次方程、求解平方根提供了便利。
根据完全平方公式，我们可以将任意一元二次方程化为二次项的平方形式，从而更加方便地求解。
以下是完全平方公式的8种变形和其应用。
首先，回顾一下完全平方公式的表达式：对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$，其中 $a \neq 0$。
其完全平方公式为$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.1. $ax^2=0$ 的解是 $x=0$。
这是因为在这种情况下，方程就是$ax^2=0$。
2. $ax^2=b$ 的解是 $x=\pm \sqrt{\dfrac{b}{a}}$. 当方程为$ax^2=b$ 时，我们可以通过完全平方公式得到这个解。
首先将方程化简为 $ax^2-b=0$，然后代入公式，就可以求解出 $x$ 的值。
3. $(x-h)^2=k$ 的解是 $x=h \pm \sqrt{k}$. 这是因为对于方程$(x-h)^2=k$，我们可以将其展开为 $x^2-2hx+h^2-k=0$，然后应用完全平方公式。
4. $ax^2+bx=0$ 的解是 $x=0$ 和 $x=-\dfrac{b}{a}$. 此时，我们可以将方程化为 $ax^2 +bx = x(ax+b) = 0$，然后应用完全平方公式。
5. $ax^2+bx+c=d$ 的解是 $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4a(c-d)}}{2a}$. 在这种情况下，我们可以将方程化为 $ax^2+bx+c-d=0$，然后应用完全平方公式进行求解。
6. $ax^2+bx+c = 0$ 的解是 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. 这是完全平方公式的基本形式，也是我们最常见到的形式。
7. $ax^2 + c = 0$ 的解是 $x = \pm \sqrt{-\dfrac{c}{a}}i$. 当方程为 $ax^2 + c = 0$ 时，我们可以将其变形为 $ax^2 = -c$，然后应用完全平方公式进行求解。
平方差公式和完全平方公式的变形
平方差公式和完全平方公式的变形平方差公式和完全平方公式是数学中两个重要的式子，它们在多项式中有着重要的作用。
本文将介绍平方差公式和完全平方公式的变形，以及它们的应用。
一、平方差公式平方差公式是指在多项式中，一个多项式的平方可以由另外一个多项式的平方加上两个多项式的乘积来表示。
它的一般形式可以表示为：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2从上面的公式可以看出，平方差公式的基本形式就是一个多项式的平方等于另外一个多项式的平方加上两个多项式的乘积。
二、完全平方公式完全平方公式是指一个多项式可以由一个多项式的平方加上两个多项式的乘积表示。
它的一般形式可以表示为：a^2-2ab+b^2=(a-b)^2从上面的公式可以看出，完全平方公式的基本形式就是一个多项式可以由另外一个多项式的平方减去两个多项式的乘积来表示。
三、平方差公式和完全平方公式的变形1. 平方差公式的变形：(a-b)^2=a^2-2ab+b^2从上面的公式可以看出，平方差公式也可以表示为一个多项式的平方等于另外一个多项式的平方减去两个多项式的乘积。
2. 完全平方公式的变形：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2从上面的公式可以看出，完全平方公式也可以由一个多项式的平方加上两个多项式的乘积来表示。
四、平方差公式和完全平方公式的应用1. 平方差公式的应用：a. 平方差公式可以用来解决二次方程。
b. 平方差公式可以用来求解三角形的面积。
c. 平方差公式可以用来计算圆的面积。
2. 完全平方公式的应用：a. 完全平方公式可以用来解决二次方程。
b. 完全平方公式可以用来求解三角形的面积。
c. 完全平方公式可以用来计算圆的面积。
五、总结从上面的介绍可以看出，平方差公式和完全平方公式是数学中重要的式子，它们可以用来解决二次方程、求解三角形的面积以及计算圆的面积。
此外，平方差公式和完全平方公式也可以变形，以求得更多的应用。
完全平方公式变形公式
完全平方公式变形公式【实用版】目录1.完全平方公式的概念2.完全平方公式的变形公式3.完全平方公式和变形公式的应用正文1.完全平方公式的概念完全平方公式是指一个二次方程形如 $x^2 + 2ax + a^2$，其中$a$ 是常数，可以通过完全平方公式进行因式分解。
完全平方公式的因式分解形式为 $(x + a)^2$。
这个公式在代数运算中具有重要的作用，可以将一个二次方程简化为一个一次方程，从而方便求解。
2.完全平方公式的变形公式完全平方公式的变形公式是指将完全平方公式稍作变化，得到其他形式的因式分解公式。
常见的完全平方公式变形公式有以下两种：(1) 平方差公式：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 和 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
这两个公式将二次方程 $x^2 - 2ax + a^2$ 和 $x^2 + 2ax + a^2$ 分别进行因式分解，得到 $(a - b)^2$ 和 $(a + b)^2$。
(2) 完全平方和公式：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ 和 $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$。
这两个公式将二次方程 $x^2 + 2ax + a^2$ 和 $x^2 - 2ax + a^2$ 分别进行因式分解，得到 $(a + b)^2$ 和 $(a - b)^2$。
3.完全平方公式和变形公式的应用完全平方公式和变形公式在代数运算中有广泛的应用，例如求解二次方程、化简复杂的代数式等。
通过运用完全平方公式和变形公式，可以将复杂的代数式简化为更容易理解和求解的形式。
例如，对于二次方程 $x^2 + 2ax + a^2 = 0$，我们可以直接运用完全平方公式得到 $(x + a)^2 = 0$，从而解得 $x = -a$。
再如，对于代数式 $x^2 - 2ax + a^2 - b^2$，我们可以运用平方差公式将其分解为 $(x - a + b)(x - a - b)$，从而将复杂的代数式化为两个一次方程的乘积，便于求解。
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完全平方公式的变形与应用
完全平方公式222222()2,()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+在使用时常作如下变形：
(1) 222222()2,()2a b a b ab a b a b ab +=+-+=-+
(2) 2222()()4,()()4a b a b ab a b a b ab +=-+-=+-
(3) 2222()()2()a b a b a b ++-=+ (4) 22221[()()]2
a b a b a b +=++- (5) 221[()()]2
ab a b a b =+-- (6) 2222221[()()()]2
a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+-
例1 已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？
解 设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75.
由公式(1)，有：
α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250.
(答略，下同)
例2 已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积.
解 设长方形长为α，宽为b ，则α-b=4，αb=12.
由公式(2)，有：
(α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64.
例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和.
证明 设整数为x ，则x=α2+b 2(α、b 都是整数).
由公式(3)，有2x=2(α2+b 2)=(α+b)2+(α-b)2.得证
例4 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？
解 设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64.
设两正方形的面积之和为S ，则由公式(4)，有：
S=(x 4)2+(y 4)2=116
(x 2+y 2) =132
[(x+y)2+(x-y)2] =132
[642+(x-y)2]. ∵(x-y)2≥0，
∴当x=y 即(x-y)2=0时，S 最小，其最小值为64232
=128(cm 2). 例5 已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积.
解 设这两数分别为α、b ，则α+b=10，α2+b 2=52.
由公式(5)，有：
αb=12
[(α+b)2-(α2+b 2)] =12
(102-52)=24. 例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3.
求：α2+b 2+c 2-αb -bc-cα的值.
解 由公式(6)有：
α2+b 2+c 2-αb -bc-αc
=12
[(α-b)2+(b-c)2+(c-α)2] =12
[(-1)2+(-1)2+22] =12
×(1+1+4)=3.。