2015中考夺分自主复习课件 第26讲 图形的变换

第26讲┃ 图形的变换
[中考点金]
通过轴对称整合或转化线段、角、图形面积，使不可 能或难于求解的问题得到解答．
第26讲┃ 图形的变换
变式题 如图 26－9， 正方形 MNEF 的四个顶点在直径 为 4 的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB 与 CD 是大 圆的直径，若 AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面 积是 ( D )
图 26－16 3．[2014· 宁波] 用矩形纸片折出直角的平分线，下列折 法正确的是 ( D )
图 26－17
第26讲┃ 图形的变换
4．[2014· 资阳] 如图 26－18，在 Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°， 如果将该三角形绕点 A 按顺时针方向旋转到△AB1C1 的位置，点 B1 恰好落在边 BC 的中点处，那么旋转的角度等 于 ( B )
第26讲┃ 图形的变换
【归纳总结】
1．位似图形关于位似中心 ________成位似关系． 2．性质： (1)成位似关系的两个图形________ 相似 ； (2)成位似关系的两个图形上任意一对对应点到位似中 位似比(或相似比 ) ； 心的距离之比等于________ ____ (3)在平面直角坐标系中， 如果位似变换是以原点为位似 中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或－k.
第26讲┃ 图形的变换
[解析] 利用平移的知识分别将楼梯水平方向的线段沿竖 直方向平移到 BC 上，竖直方向的线段沿水平方向平移到 AC 上，这样就得到了地毯的总长度．
解：铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边 BC 的长度，纵向线段的长度之和就等于纵向直角边 AC 的长度， 所以地毯的总长度至少为 5.6＋2.8＝8.4(米)，总面积为 8.4×3 ＝25.2(平方米)，所以购买地毯至少需要 25.2×40＝1008(元)．
图 26－7 解：(1)(8－2)×(8－1)＝6×7＝42(平方米)． (2)4620÷ 42＝110(元)． 第26讲┃ 图形的变换
探究二 图形轴对称的应用
例 2 已知菱形 ABCD 和菱形 CEFG 如图 26－8 所示放 置，其中点 A，C，F 在同一直线上，连接 BE，DG. (1)在添加任何辅助线，写出其中的两对全等三角形； (2)求证：BE＝DG.
图 26－4
第26讲┃ 图形的变换
3．如图 26－5，△AOB 与△DOC 是成中心对称的两个 图形， ________ 点 O 是对称中心，点 A ， B 的对称点分别是 点 D，C，相等线段有 AO＝________ ________ DO ，BO＝________ CO ，CD ＝________ AB ．
在解答有关图形设计问题时，应按照图形特点划分为 多种可能，再结合某种图形变换逐一进行尝试，从而得到 符合要求的图形．
第26讲┃ 图形的变换
变式题 [2013· 枣庄] 如图 26－14，在方格纸中，选择 标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部 ② 分构成中心对称图形，该小正方形的序号是________ ．
A．4π
B．3π
图 26－9 C．2π D．π
第26讲┃ 图形的变换
[解析] 将图形分别沿 AB 和 DC 对折，可发现扇形 DOB 与扇形 AOC 内的阴影部分恰好与扇形 BOC 内的空 白部分完全重合， 这样就将阴影部分的面积转化为圆面积 42 1 的四分之一，所以 S 阴影＝π×( ) × ＝π. 2 4
图 26－5
第26讲┃ 图形的变换
【归纳总结】
中心对称 关系． 1．中心对称图形关于对称中心成____________ 2．两个图形成中心对称关系的性质： 全等 图形； (1)关于中心对称的两个图形是________ (2)对称点的连线经过对称中心 ________， 并且被对称中心平分．
第26讲┃ 图形的变换
第26讲┃ 图形的变换
[中考点金]
在求多条线段长度和或不规则图形面积时，可通过平 移变多条线段为可求长度的几条线段，变不规则图形为可 求面积的规则图形，从而使问题得到解答．
第26讲┃ 图形的变换
变式题 如图 26－7，校园内有一块边长为 8 米的正方 形空地，在空地上修了三条道路，宽都是 1 米，空白的部 分种上各种花草． (1)请利用平移的知识求出种花草的面积； (2)若空白的部分种植花草共花费了 4620 元， 则每平方 米种植花草的费用是多少元？
第26讲┃ 图形的变换
变式题 将一副直角三角板如图 26－11 所示放置，等腰 直角三角板 ACB 的直角顶点 A 在直角三角板 EDF 的直角边 DE 上，点 C，D，B，F 在同一直线上，点 D，B 是 CF 的三 等分点，CF＝6，∠F＝30°. (1)三角板 ACB 固定不动，将三角板 EDF 绕点 D 逆时针 旋转至 EF∥CB(如图 26－12)，试求 DF 旋转的度数；点 A 在 EF 上吗？为什么？ (2)在图 26－12 的位置，将三角板 EDF 绕点 D 继续逆时 针旋转 15°，请问此时 AC 与 DF 有何位置关系？为什么？
第26讲
图形的变换
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 平移
1．若点 M(－2，5)是由点 N 向上平移 3 个单位长度得到的，则点 N 的坐标为 (A ) A．(－2，2) B．(－5，5) C．(－2，8) D．(1，5) 2．将正方形 ABCD 向下平移 5 cm 得到正方形 A′B′C′D′， 点 A，B，C，D 的对应点分别是点 A′，B′，C′，D′，则下列说法 中不正确的是 ( C ) A．AA′＝BB′，AB＝A′B′ B．AA′∥BB′，AB∥A′B′ C．正方形 ABCD 与正方形 A′B′C′D′的形状相同，大小不相等 D．正方形 ABCD 与正方形 A′B′C′D′是全等形
第26讲┃ 图形的变换
考点3
旋转与中心对称
1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是
( D )
图 26－3
第26讲┃ 图形的变换
2．如图 26－4，Rt△ABC 的斜边 AB＝16，Rt△ABC 绕点 O 顺时针旋转后得到 Rt△A′B′C′， 则 Rt△A′B′C′的斜 边 A′B′上的中线 C′D 的长度为________ ． 8
图 26－10
第26讲┃ 图形的变换
[解析] 要想说明△PEF 始终是等腰直角三角形，已知 ∠EPF＝90°，所以需证 PE＝PF.证线段相等通常是证明线 段所在的三角形全等， 而等腰三角形最常用的是用“三线合 一”作辅助线，构造全等三角形． 解：连接 PA， ∵PA 是等腰直角三角形 ABC 底边上的中线， ∴PA⊥PC.∵AB⊥AC， ∴∠1＝90°－∠PAC，∠C＝90°－∠PAC， ∴∠1＝∠C. 同理，由 PA⊥PC，PE⊥PF，可得∠2＝∠3. 1 由 PA 是 Rt△ABC 斜边上的中线，得 PA＝ BC＝PC. 2
②
图 26－14
[解析] 把标有序号②的小正方形涂黑，就可以与图中 的阴影部分构成一个中心对称图形．
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┃考题自主训练与名师预测┃
1．[2014· 天津] 下列标志中，可以看作是轴对称图形的 是 ( D )
图 26－15
第26讲┃ 图形的变换
2．[2014· 南充] 下列几何体的主视图既是中心对称图形 又是轴对称图形的是 ( D )
图 26－11
图 26－12 第26讲┃ 图形的变换
解：(1)∵EF∥CB，∴∠BDF＝∠F＝30°， ∴DF 旋转了 30°. 在等腰直角三角形 ABC 中，∵ AD⊥BC， ∴AD＝CD＝DB. ∵D，B 是 CF 的三等分点，CF＝6， ∴CD＝2，DF＝4，∴AD＝CD＝2. 过点 D 作 DH⊥EF 于点 H，由题意，得 DH＝DF×sin30°＝2. ∴AD＝DH，即点 A 与点 H 重合． ∴点 A 在 EF 上． (2)AC∥DF.理由如下： 由题意可知，DF 旋转的度数为 30°＋15°＝45°. ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠C＝45°， ∴∠C＝∠BDF，∴AC∥CF.
第26讲┃ 图形的变换
【归纳总结】
1 ．平移的两个重要因素是平移的 ________ 方向 和平移的 ________ 距离 ． 全等 ． 2．平移前后的两个图形________
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考点2
轴对称
1． 下列图形中， 不是轴对称图形的是
( C )
A
B
C 图 26－1
D
第26讲┃ 图形的变换
第26讲┃ 图形的变换
在△PAE 和△PCF 中， ∠1＝∠C，PA＝PC，∠2＝∠3， ∴△PAE≌△PCF(ASA)， ∴PE＝PF(全等三角形的对应边相等)， ∴△PEF 始终是等腰直角三角形．
第26讲┃ 图形的变换
[中考点金]
图形旋转使图形的位置发生变化， 图形旋转前后的边角 也重新构建了位置关系并产生新的数量关系． 解答旋转问题 的关键是抓住图形旋转的不变性， 从中找出旋转过程中的不 变因素，使问题得到解决．
2．如图 26－2，直线 l 是四边形 ABCD 的对称轴，有 下 面 的 结 论 ： ①AB ＝ AD ； ②BO ＝ DO ； ③BD⊥AC ； ①②③④ __． ④△ABC≌△ADC.其中正确的结论有______ (填 序号)
图 26－2
第26讲┃ 图形的变换
【归纳总结】
1．轴对称图形被________ 对称轴 分成的两个图形成轴对称关系． 2．两个图形成轴对称的性质与判定： (1)两个图形是________ 全等 图形； 性质 (2)对称轴______________ 垂直平分 对应点的连线 如果两个图形的对应点连线被同一直线垂 判定 直平分， 那么这两个图形关于这条直线对称
A．55° B．60°
图 26－18 C．65° D．80°
百度文库
第26讲┃ 图形的变换
5．如图 26－19，在 6×4 方格纸中，格点三角形甲经过 旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是 ( B )
A．点 M B．点 N
图 26－19 C．点 P D．点 Q
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第26讲┃ 图形的变换
探究四 利用图形变换设计图形
例 4 [2013· 宁夏] 如图 26－13，在正三角形网格中，已 有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一 个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 3 ________ 种．
图 26－13
第26讲┃ 图形的变换
[中考点金]
考点4
位似
1． 下列说法正确的是 ( C ) A．位似图形中每组对应点所在的直线必互相平行 B．位似图形的面积比等于位似比 C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比 D．位似图形的周长之比等于位似比的平方 2．若位似图形上某一对对应顶点到位似中心的距离分别 1 为 5 cm 和 15 cm，则它们的相似比为________． 3
图 26－8
第26讲┃ 图形的变换
[解析] (1)多边形 ABEFGD 是一个关于直线 AF 为对称轴 的轴对称图形，所以从图中易找出两对全等三角形；(2)利用对 称思想，易证 BE＝DG.
解：(1)△ADC≌△ABC，△GFC≌△EFC，△GDC≌ △EBC(任意两对均可)； (2)证明： 连接 DB， GE， ∵四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是菱形，∴对角线 DB，GE 被直线 AF 垂直平分，∴点 D 与点 B，点 G 与点 E 都是以直线 AF 为对称轴的两对对 称点，∴BE＝DG.
第26讲┃ 图形的变换
探究三 图形旋转的应用
例 3 如图 26－10，在等腰直角三角形 ABC 中，P 是斜 边 BC 的中点，以 P 为顶点的直角的两边分别与边 AB，AC 交于点 E，F，连接 EF.当∠EPF 绕顶点 P 旋转时(点 E 不与 点 A，B 重合)，△PEF 也始终是等腰直角三角形，请你说明 理由．
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【知识树】
第26讲┃ 图形的变换
┃考向互动探究与方法归纳┃
探究一 图形平移的应用
例 1 某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设 一种红色的地毯， 已知这种地毯的批发价为每平方米 40 元， 主楼梯道的宽为 3 米，其侧面如图 26－6 所示，则买地毯至 少需要多少元？
图 26－6