曲线积分与曲面积分内容小结

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曲线积分和曲面积分

对面积的对面积的曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分两者关系对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义实质背景曲面块的质量流向曲面指定侧的流量性质线性可加与侧无关线性可加与侧有关计算一代二换三投影一代二投三定号联系推广推广定积分定积分曲线积分曲线积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算stokes公式guass公式对面积的曲面积分与侧无关具有与三重积分相类似的奇偶性你对称我奇偶积分曲面对称于坐标面被积函数关于另一个变量具有奇偶性对坐标的曲面积分的对称性比较复杂一般不直接使用可利用两类曲面积分之间的关系先化为对面积的曲面积分再使用对称性曲面面积曲面质量重心坐标转动惯量求椭圆柱面位于xoy面上方和平面易见曲面对称于yoz对弧长的曲线积分的几何意义
关于对称性
对面积的曲面积分与侧无关，具有与三重积分相类似的奇偶性你对称，我奇偶
积分曲面对称于坐标面，被积函数关于另一个变量具有奇偶性
对坐标的曲面积分的对称性比较复杂，一般不直接使用，可利用两类曲面积分之间的关系先化为对面积的曲面积分，再使用对称性
关于对面积的曲面积分的应用
曲面面积曲面质量重心坐标
所围立体的表面的外侧
由 Gauss 公式
解二
上侧
下侧
外侧
（用极坐标）
解
由对称性
Байду номын сангаас
例4 计算所截下的部分解积分曲面关于 yoz 面、 zox 面对称
被积函数 | xyz | 关于 x 和 y 是偶函数由对称性
例5 计算
解
由对称性
例6 计算
绕 z 轴旋转所成的曲面的下侧解补上曲面
取上侧
则由 Gauss 公式

曲线积分与曲面积分重点总结+例题教学文稿

曲线积分与曲面积分重点总结+例题第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2.掌握计算两类曲线积分的方法。

3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。

【教学重点】1.两类曲线积分的计算方法；2.格林公式及其应用；3. 第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1.两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分；【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上, 已知曲线形构件在点(x , y )处的线密度为μ(x , y ). 求曲线形构件的质量.把曲线分成n 小段, ∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n (∆s i 也表示弧长);任取(ξi , ηi )∈∆s i , 得第i 小段质量的近似值μ(ξi , ηi )∆s i ;整个物质曲线的质量近似为i i i ni s M ∆≈=∑),(1ηξμ;令λ=max{∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n }→0, 则整个物质曲线的质量为i i i ni s M ∆==→∑),(lim 10ηξμλ. 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义设函数f (x , y )定义在可求长度的曲线L 上, 并且有界.，将L 任意分成n 个弧段: ∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n , 并用∆s i 表示第i 段的弧长; 在每一弧段∆s i 上任取一点(ξi , ηi ), 作和i i i ni s f ∆=∑),(1ηξ; 令λ=max{∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n }, 如果当λ→0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在曲线弧L 上对弧长的仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4曲线积分或第一类曲线积分, 记作ds y x f L),(⎰, 即 i i i n i L s f ds y x f ∆==→∑⎰),(lim ),(10ηξλ. 其中f (x , y )叫做被积函数, L 叫做积分弧段.曲线积分的存在性: 当f (x , y )在光滑曲线弧L 上连续时, 对弧长的曲线积分ds y x f L ),(⎰是存在的. 以后我们总假定f (x , y )在L 上是连续的.根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分ds y x L),(⎰μ的值, 其中μ(x , y )为线密度.对弧长的曲线积分的推广: i i i i n i s f ds z y x f ∆==→Γ∑⎰),,(lim ),,(10ζηξλ. 如果L (或Γ)是分段光滑的, 则规定函数在L (或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L 可分成两段光滑曲线弧L 1及L 2, 则规定 ds y x f ds y x f ds y x f L L L L ),(),(),(2121⎰⎰⎰+=+. 闭曲线积分: 如果L 是闭曲线, 那么函数f (x , y )在闭曲线L 上对弧长的曲线积分记作 ds y x f L),(⎰. 对弧长的曲线积分的性质:性质1 设c 1、c 2为常数, 则ds y x g c ds y x f c ds y x g c y x f c LL L ),(),()],(),([2121⎰⎰⎰+=+; 性质2 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L 1和L 2, 则ds y x f ds y x f ds y x f L L L ),(),(),(21⎰⎰⎰+=;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5性质3设在L 上f (x , y )≤g (x , y ), 则⎰⎰≤LL ds y x g ds y x f ),(),(. 特别地, 有⎰⎰≤LL ds y x f ds y x f |),(||),(| 二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L 的线密度为f (x , y ), 则曲线形构件L 的质量为 ⎰Lds y x f ),(. 另一方面, 若曲线L 的参数方程为x =ϕ(t ), y =ψ (t ) (α≤t ≤β),则质量元素为 dt t t t t f ds y x f )()()]( ),([),(22ψϕψϕ'+'=,曲线的质量为 ⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()()]( ),([22. 即 ⎰⎰'+'=βαψϕψϕdt t t t t f ds y x f L )()()]( ),([),(22. 定理设f (x , y )在曲线弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ) (α≤t ≤β),其中ϕ(t )、ψ(t )在[α, β]上具有一阶连续导数, 且ϕ'2(t )+ψ'2(t )≠0, 则曲线积分ds y x f L ),(⎰存在, 且 dt t t t t f ds y x f L )()()](),([),(22ψϕψϕβα'+'=⎰⎰(α<β).仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢6应注意的问题: 定积分的下限α一定要小于上限β.讨论:(1)若曲线L 的方程为y =ψ(x )(a ≤x ≤b ), 则ds y x f L),(⎰=? 提示: L 的参数方程为x =x , y =ψ(x )(a ≤x ≤b ), dx x x x f ds y x f ba L ⎰⎰'+=)(1)](,[),(2ψψ. (2)若曲线L 的方程为x =ϕ(y )(c ≤y ≤d ), 则ds y x f L),(⎰=? 提示: L 的参数方程为x =ϕ(y ), y =y (c ≤y ≤d ), dy y y y f ds y x f dc L ⎰⎰+'=1)(]),([),(2ϕϕ. (3)若曲Γ的方程为x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t )(α≤t ≤β),则ds z y x f ),,(⎰Γ=? 提示: dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψϕωψϕβα'+'+'=⎰⎰Γ. 例1 计算ds y L ⎰, 其中L 是抛物线y =x 2上点O (0, 0)与点B (1, 1)之间的一段弧. 解曲线的方程为y =x 2 (0≤x ≤1), 因此 ⎰⎰'+=10222)(1dx x x ds y L ⎰+=10241dx x x )155(121-=. 例2 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度为μ=1).解取坐标系如图所示, 则⎰=Lds y I 2. 曲线L 的参数方程为 x =R cos θ, y =R sin θ (-α≤θ<α).仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7于是 ⎰=L ds y I 2⎰-+-=ααθθθθd R R R 2222)cos ()sin (sin ⎰-=ααθθd R 23sin =R 3(α-sin α cos α). 例3 计算曲线积分ds z y x )(222++⎰Γ, 其中Γ为螺旋线x =a cos t 、y =a sin t 、z =kt 上相应于t 从0到达2π的一段弧.解在曲线Γ上有x 2+y 2+z 2=(a cos t )2+(a sin t )2+(k t )2=a 2+k 2t 2, 并且 dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=,于是 ds z y x )(222++⎰Γ⎰++=π2022222)(dt k a t k a )43(3222222k a k a ππ++=.小结用曲线积分解决问题的步骤:(1)建立曲线积分;(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) , 确定参数的变化范围;(3)将曲线积分化为定积分;(4)计算定积分.教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。

曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分是微积分中重要的概念和计算方法，它们在物理、工程和其他科学领域中的应用广泛。

本文将重点介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法和应用。

一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算的方法。

它可以用来计算曲线上的物理量或者曲线周围的环量。

曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分第一类曲线积分也叫标量场的曲线积分，是对曲线上函数的积分。

设曲线C为参数方程r(t) = {x(t), y(t), z(t)}，函数f(x, y, z)在曲线C上有定义，则第一类曲线积分的计算公式为：∫[C]f(x, y, z)ds = ∫[a,b]f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|dt其中ds表示曲线上的长度元素，|r'(t)|表示参数方程的导数的模。

2. 第二类曲线积分第二类曲线积分也叫矢量场的曲线积分，是对曲线上的矢量场进行积分。

设曲线C为参数方程r(t) = {x(t), y(t), z(t)}，矢量场F(x, y, z)在曲线C上有定义，则第二类曲线积分的计算公式为：∫[C]F(x, y, z)•dr = ∫[a,b]F(x(t), y(t), z(t))•r'(t)dt其中•表示矢量的点积运算。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算的方法。

曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分第一类曲面积分也叫标量场的曲面积分，是对曲面上函数的积分。

设曲面S为参数方程r(u, v) = {x(u, v), y(u, v), z(u, v)}，函数f(x, y, z)在曲面S上有定义，则第一类曲面积分的计算公式为：∬[S]f(x, y, z)dS = ∬[D]f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))|ru × rv|dudv其中dS表示曲面上的面积元素，D为参数化区域，ru和rv分别为参数方程r(u, v)对u和v的偏导数，ru × rv表示它们的叉积。

曲线积分与曲面积分总结笔记

曲线积分与曲面积分总结笔记曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，它们在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用。

下面对曲线积分和曲面积分进行总结和拓展。

一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算。

根据曲线的参数方程给出曲线积分的计算公式。

曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分：对标量函数进行积分，求曲线上的标量场沿曲线的积分值。

它主要应用于测量曲线长度、质量等问题。

2. 第二类曲线积分：对矢量函数进行积分，求曲线上的矢量场沿曲线的积分值。

它主要应用于计算曲线上的力的做功、电流的环路积分等问题。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。

曲面积分也有两类：第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分：对标量函数进行积分，求曲面上的标量场通过曲面的积分值。

它主要应用于计算场的通量、质量通量等问题。

2. 第二类曲面积分：对矢量函数进行积分，求曲面上的矢量场通过曲面的积分值。

它主要应用于计算磁通量、电通量等问题。

曲线积分和曲面积分的计算方法有很多，常用的方法包括参数化、格林公式、斯托克斯定理和高斯定理等。

对于一些简单的曲线和曲面，也可以通过直接计算来求解。

此外，曲线积分和曲面积分还与梯度、散度和旋度等概念密切相关。

这些概念可以帮助我们理解和计算曲线和曲面上的积分值。

总之，曲线积分和曲面积分是微积分中的重要概念，它们在物理学和工程学中有广泛应用。

通过对曲线和曲面上的函数进行积分，我们可以得到一些重要的物理量和场量。

掌握曲线积分和曲面积分的计算方法和应用可以帮助我们解决实际问题。

曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是微积分中两个重要的概念。

曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算，而曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。

本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及应用。

一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算。

通常将曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分第一类曲线积分用于计算曲线上的标量场函数。

对于参数化曲线C：r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b，函数f(x,y,z)在C上可微分，则第一类曲线积分的计算公式为：∫_[C]f(x,y,z)ds=∫_a^bf(x(t),y(t),z(t))∥r'(t)∥dt其中，ds表示曲线上的微元弧长，∥r'(t)∥表示曲线C的切向量的长度。

2. 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算曲线上的矢量场函数。

对于参数化曲线C：r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b，函数F(x,y,z)在C上连续，则第二类曲线积分的计算公式为：∫_[C]F(x,y,z)·dr=∫_a^bF(x(t),y(t),z(t))·r'(t)dt其中，·表示矢量的点乘运算，dr表示曲线上的微元矢量。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。

同样，曲面积分也分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算曲面上的标量场函数。

对于参数化曲面S：r(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v))，其中(u,v)属于区域D，函数f(x,y,z)在S上可微分，则第一类曲面积分的计算公式为：∬_[S]f(x,y,z)dS=∬_Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∥r_u×r_v∥dudv其中，dS表示曲面上的微元面积，r_u和r_v表示曲面S的参数方程关于u和v的偏导数，r_u×r_v表示两个偏导数的叉乘，∥r_u×r_v∥表示其长度。

曲面积分曲线积分总结(推荐3篇)

曲面积分曲线积分总结第1篇对坐标积分，第二型积分是有方向的，对应的物理意义是力沿曲线做功两种方法1.根据对称性、代入性 2.采用化为参数方程例题一、曲线L为 \begin {cases} x^2+y^2+z^2=R^2 \\ x+y+z=0 \end{cases} ，计算\int_{L}xyds (代入性、对称性)例题二、L为 \begin {cases} 2x^2+y^2=2\\ z=x \end {cases} ,计算 \oint_{L}(x^2+y^2)ds (转空间曲线为参数方程形式)\oint_{L}\frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2} ,其中L为 x^2+y^2=a^2 的正向直接使用xxx就是“经典错误，标准错误”当 \frac{\partial P}{dy}=\frac{\partial Q}{dx}证明与路径无关，则可以重新选择简单路径，注意选择新的路径时，一定不能含有奇点。

计算 \int_{L} \frac{x-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x+y}{x^2+y^2}dy ,L是从A（-a，0）到B（a，0）的椭圆 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(y\geq0,a>0,b>0)的一段。

①当区域里面还有奇点，就采用挖洞法②挖洞有讲究，不能乱挖，最好挖得和分母式子是一样的，比如分母是4x^2+y^2 ,那就挖一个椭圆 4x^2+y^2=\xi^2③挖洞的方向要和所求区域是一致的同学问的题，发现这方面的题还没做到，就写一下例题：计算曲面积分 \oint_{c}(x^2+y^2)^2ds ,其中曲线c为 \begin{cases} x^2+y^2+z^2=1 \\ x=y \end{cases}解释：1投是把积分曲面投影到相应的平面，2代是把需要变的值代换，3微变是变换积分例题、求 \iint_{\Sigma}x\sqrt{y^2+z^2}dS , \Sigma 为 x=\sqrt{y^2+z^2}与x=1围成立体的边界曲面思路：这题不是常规的直接投影到xoy平面，但我们可以通过改变坐标轴来改变积分解释：1投求那个面上的积分就往那个面上投影，2代把不在平面的值代换，3定号看与z轴的夹角，若为锐角则正号，若为钝角，则是负值。

高数：曲线积分与曲面积分总结

Q P y
则有
Pdx Q dy
L
( x
D

)d x d y
其中 L 是 D 的取正向的边界曲线,公式称为格林公式.
格林
积分与路径无关：
定理2 设D是平面单连通区域， ( x , y ), Q( x , y )及其 P 一阶偏导数在内连续，则下述四个命 D 题等价：
(2)若投影域面积是零，则积分值是零。
注：“一投,二代,三定号”
z

2
O
n
y
1
x
若是母线平行于 z 轴的柱面 , 则 Pdxdy 0 .

例如积分 I 1 : x
2 2

( x y 1 ) dxdy ,
y
2
1 , ( 0 z 1 );
: x y 1 , ( x 0 , y 0 , 0 z 1 ).
3 .如果由 y y ( z , x ) 给出 , 则有
D yz
把曲面Σ向yoz面投影，得区域D yz
把曲面Σ向xoz面投影，得区域Dxz
Q( x , y , z )dzdx Q[ x , y( z , x ), z ]dzdx
Dzx
注意:(1)对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
f [ x , y , z ( x , y )] 1 z x z y dxdy
2 2

R ( x , y , z ) dxdy

D xy
R [ x , y , z ( x , y )] dxdy
D xy
算一投,二代,三换(与侧无关)一投,二代,三定号 (与侧有关)

曲线积分与曲面积分知识点

第十章曲线积分与曲面积分一、一、重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、二、难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。

三、三、内容提要1． 1．曲线（面）积分的定义：（1）（1）第一类曲线积分∑⎰=→∆∆ni i i i LS f ds y x f 0),(lim ),(ηξλ（存在时）i S ∆表示第i 个小弧段的长度，（i i ηξ,）是i S ∆上的任一点小弧段的最大长度。

实际意义：当f(x,y)表示L 的线密度时，⎰Lds y x f ),(表示L 的质量；当f(x,y) ≡1时，⎰Lds表示L 的弧长，当f(x,y)表示位于L 上的柱面在点（x,y ）处的高时，⎰Lds y x f ),(表示此柱面的面积。

（2）（2）第二类曲线积分]),(),([lim 1i i i ni iiiLy Q x P Qdy Pdx ∆+∆∆+∑⎰=→ηξηξλ(存在时)实际意义：设变力F =P(x,y) i +Q(x,y) j 将质点从点A 沿曲线L 移动到B 点，则F 作的功为：⎰⎰+=⋅=L L Qdy Pdx S d F W，其中S d =（dx,dy ）事实上，⎰L Pdx ，⎰L Qdy 分别是F在沿X 轴方向及Y 轴方向所作的功。

（3）（3）第一类曲面积分∑⎰⎰=→∑∆∆ni i iiiS f ds z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ(存在时)i S ∆表示第i 个小块曲面的面积，（i i i ζηξ,,）为i S ∆上的任一点，λ是n 块小曲面的最大直径。

实际意义：当f(x,y ，z)表示曲面∑上点（x,y,z ）处的面密度时，⎰⎰∑ds z y x f ),,(表示曲面∑的质量，当f(x,y,z) ≡1时，⎰⎰∑ds 表示曲面∑的面积。

曲线积分与曲面积分知识点

是F 在沿X 轴方向及Y 轴方向所作的功。

(3)(3)第一类曲面积分nf(x, y,z)ds_lim 0f( i , i , J S i_0 i 1S i 表示第i 个小块曲面的面积，(i , i , 面的最大直径。

实际意义：当f(x,y , z)表示曲面上点(x,y,z )处的面密度时，(存在时)为 S i 上的任一点,是n 块小曲f (x, y, z)ds 表示曲面的质量，当Pdydz Qdzdx Rdxdy= li 叫nP( i ,i 1i )( S i )yz Q( i , i , i)( S i )zxR( i , i , i )( S i)xy任意分为n 块小曲面后第I 块S i第十章曲线积分与曲面积分一、重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。

三、内容提要 1. 1.曲线(面)积分的定义：(1)(1)第一类曲线积分nf(x, y)ds_limf ( i , i ) S i (存在时)Li oS i 表示第i 个小弧段的长度，(i , i )是 S i 上的任一点小弧段的最大长度。

实际意义：当f(x,y)表示L 的线密度时，L f (x, y)ds 表示L 的质量；当f(x,y) 1时，ds表示L 的弧长，当f(x,y)表示位于L 上的柱面在点(x,y )处的高时，f(x,y)ds 表示此柱面的面积。

(2)(2)第二类曲线积分nPdx Qdy_lim[P( i , i ) x i Q( i , i ) y i ](存在时)L=i 1实际意义：设变力F =P(x,y) i +Q(x,y) j 将质点从点A 沿曲线L 移动到B 点，则F 作的功为： W LF dS L Pdx Qdy ，其中 dS = (dx,dy )事实上，L Pdx , L Qdy 分别f(x,y,z) 1时，ds 表示曲面的面积。

曲线积分与曲面积分内容小结

第四章曲线积分与曲面积分内容小结本章介绍了曲线积分与曲面积分。

从数学角度来讲,与重积分类似,曲线积分与曲面积分都就是定积分得推广，它们都就是用于处理非均匀变化，具有可加性得整体量得。

诸如求质量不均匀分布得各种形体得质量，变力所做得功,不均匀流体得流量等,其处理得方法都就是将整体进行分割，在微小得局部取近似,求与,令分割无限变细取极限．正因为曲线、曲面积分得基本思
想与定积分一致,所以它们得定义及性质也与定积分得类似。

本章得重点有两部分,一部分就是曲线、曲面积分得计算，其基本方法就就是转化为定积分或重积分得计算;另一部分就是介绍揭示平面有界闭区域上得二重积分与该区域边界曲线得对坐标得曲线积分之间关系得格林公式与揭示空间有界闭区域上得三重积分与该区域得边界曲面得对坐标得曲面积分之间关系得高斯公式.
一、曲线积分、曲面积分得计算公式
3.对面积得曲面积分
二、格林公式与平面曲线积分与路径无关得条件。

多元向量函数的曲线积分与曲面积分

多元向量函数的曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是向量微积分中的重要概念，用于描述多元向量函数在曲线上和曲面上的积分性质。

在本文中，我们将介绍多元向量函数的曲线积分和曲面积分的定义、计算方法和一些重要性质。

一、曲线积分曲线积分用于描述多元向量函数沿着曲线的积分性质。

设曲线C为参数方程r(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中a≤t≤b是参数区间。

若函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))定义在曲线C上，那么多元向量函数F沿曲线C的曲线积分可以表示为：∫C F·dr = ∫C (Pdx+Qdy+Rdz)其中dr=(dx,dy,dz)是曲线C上的微元向量，P,Q,R是F的分量函数。

计算曲线积分的方法有两种，一种是直接计算，根据曲线参数方程将x,y,z替换成参数t，在参数区间上对分量函数P,Q,R进行积分。

另一种是利用格林公式或斯托克斯定理，将曲线积分转化为二重积分或三重积分进行计算。

二、曲面积分曲面积分用于描述多元向量函数通过曲面的积分性质。

设曲面S为参数方程r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))，其中(u,v)∈D是参数区域。

若函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))定义在曲面S上，那么多元向量函数F通过曲面S的曲面积分可以表示为：∬S F·dS = ∬S (PdSx+QdSy+RdSz)其中dS=(dSx,dSy,dSz)是曲面S上的面积微元向量，P,Q,R是F的分量函数。

计算曲面积分的方法也有两种，一种是直接计算，根据曲面参数方程将x,y,z替换成参数u,v，在参数区域上对分量函数P,Q,R乘以面积微元dS进行积分。

另一种是利用高斯定理，将曲面积分转化为三重积分进行计算。

三、曲线积分与曲面积分的关系曲线积分和曲面积分之间存在密切的关系。

根据斯托克斯定理，对于光滑曲面S的边界曲线C，有以下等式成立：∫C F·dr = ∬S rotF·dS其中rotF=(∂R/∂y-∂Q/∂z, ∂P/∂z-∂R/∂x, ∂Q/∂x-∂P/∂y)是F的旋度。

高等数学曲线积分和曲面积分总结

高等数学曲线积分和曲面积分总结
高等数学曲线积分和曲面积分是微积分领域中的重要概念,它们在实际应用中具有广泛的应用,例如在物理、工程、计算机科学等领域中都有重要的应用。

本文将对高等数学曲线积分和曲面积分的概念、计算方法和应用进行总结。

一、曲线积分的概念
曲线积分是指对一维曲线上的点的函数值求导的积分,也称为路径积分。

曲线积分的基本思想是通过对曲线上的点进行积分,得到曲线的面积或体积。

曲线积分的计算公式为:
∫Cf(x,y)dS = ∫∫∫Cf(x^TC(y), y^TC(z))dxdydz
其中,C是曲线,f(x,y)是曲线上的点值函数,T是曲线上的任意一点,S是曲线上的面积,z是曲线上的任意一点。

二、曲面积分的概念
曲面积分是指对三维曲面上的点的函数值求导的积分,也称为向量场积分。

曲面积分的基本思想是通过对曲面上的点进行积分,得到曲面的面积或体积。

曲面积分的计算公式为:
∫∫∫Sf(x,y,z)dsdV = ∫∫∫Sf(x^TS(y^TS(z)))dsdV
其中,S是曲面,f(x,y,z)是曲面上的点值函数,T是曲面上的任意一点,V是曲面上的任意体积,s是曲面上的任意法向量,dV是曲面上的任意体积法向量。

拓展:曲线积分和曲面积分在物理学中的应用
曲线积分和曲面积分在物理学中具有广泛的应用。

例如,在量子力学中,曲线积分被用来计算波函数的面积,而曲面积分被用来计算量子场论的场速可变的相对性原理。

在相对论中,曲线积分被用来计算相对论效应的积分,而曲面积分被用
来计算四维空间中的弯曲曲面。

曲线积分与曲面积分总结文字

曲线积分与曲面积分总结文字曲线积分和曲面积分是微积分中的两个重要概念，它们在物理、工程、数学等领域中都有广泛的应用。

本文将对曲线积分和曲面积分进行总结和介绍。

一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分的一种方法。

曲线积分可以用来计算曲线上的弧长、质量、电荷等物理量。

曲线积分的计算方法有两种：第一种是参数化曲线积分，第二种是非参数化曲线积分。

1. 参数化曲线积分参数化曲线积分是将曲线表示为参数方程的形式，然后对参数方程中的函数进行积分。

例如，对于曲线C：y=x^2，0≤x≤1，可以将其表示为参数方程C：r(t)=(t,t^2)，0≤t≤1。

然后对函数f(x,y)在曲线C上进行积分，可以表示为：∫Cf(x,y)ds=∫1 0f(r(t))|r'(t)|dt其中，|r'(t)|表示曲线C在t时刻的切线长度，也就是曲线的弧长。

参数化曲线积分的计算方法比较简单，但是需要先将曲线表示为参数方程的形式。

2. 非参数化曲线积分非参数化曲线积分是将曲线表示为一般的方程形式，然后对方程中的函数进行积分。

例如，对于曲线C：y=x^2，0≤x≤1，可以将其表示为一般的方程形式C：y=f(x)，0≤x≤1。

然后对函数f(x,y)在曲线C上进行积分，可以表示为：∫Cf(x,y)ds=∫1 0f(x,f(x))√(1+(dy/dx)²)dx其中，√(1+(dy/dx)²)表示曲线C在x时刻的切线长度，也就是曲线的弧长。

非参数化曲线积分的计算方法比较复杂，但是可以将曲线表示为一般的方程形式，更加灵活。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分的一种方法。

曲面积分可以用来计算曲面上的面积、质量、电荷等物理量。

曲面积分的计算方法有两种：第一种是参数化曲面积分，第二种是非参数化曲面积分。

1. 参数化曲面积分参数化曲面积分是将曲面表示为参数方程的形式，然后对参数方程中的函数进行积分。

例如，对于曲面S：z=x^2+y^2，0≤x≤1，0≤y≤1，可以将其表示为参数方程S：r(u,v)=(u,v,u^2+v^2)，0≤u≤1，0≤v≤1。

曲线积分曲面积分总结

第十三章曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.第一节对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ．如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ∆∆∆．取其中的一小段弧i i M M 1-来分析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点(),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于(),i i i s ρξη∆．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i s y x M 1,ρ．用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到1lim (,).ni i i i M s λρξη→∞==∆∑即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：定义设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入一点图13-1列n M M M ,...,,21将曲线分为n 个小段. 设第i 段的长度为i s ∆(1,2,,i n =L )，又()i i ηξ,为第i 个小段上任意取定的一点，作乘积()i i i s f ∆ηξ,，并作和()iiini s f ∆∑=ηξ,1，若当各小段的长度λ的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数()y x f ,在曲线L 上对弧长的曲线积分, 也称为第一类曲线积分, 记作()⎰L ds y x f ,, 即1(,)lim (,)n i i i Li f x y ds f s λξη→==∆∑⎰,其中()y x f ,叫做被积函数，L 称为积分弧段．当L 是光滑封闭曲线时，记为()⎰Lds y x f ,．类似地，对于三元函数()z y x f ,,在空间的曲线L 上光滑，也可以定义()z y x f ,,在曲线L 上对弧长的曲线积分()⎰Lds z y x f ,,．这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为(,).LM x y ds ρ=⎰由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质：性质1（线性性）若,f g 在曲线L 上第一类曲线积分存在，,αβ是常数, 则(,)(,)f x y g x y αβ+在曲线L 上第一类曲线积分也存在，且()()()()(),,,,LLLf x yg x y ds f x y ds g x y ds αβαβ±=±⎰⎰⎰；性质２（对路径的可加性）设曲线L 分成两段12,L L . 如果函数f 在L 上的第一类曲线积分存在，则函数分别在1L 和2L 上的第一类曲线积分也存在. 反之，如果函数f 在1L 和2L 上的第一类曲线积分存在，则函数f 在L 上的第一类曲线积分也存在. 并且下面等式成立1212L L L L fds fds fds +=+⎰⎰⎰．(12L L +表示L )对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出．二、第一类曲线积分的计算定理设有光滑曲线():,[,].()x t L t y t ϕαβψ=⎧∈⎨=⎩ 即'()t ϕ,'()t ψ连续. 若函数(,)f x y 在L 上连续，则它在L 上的第一类曲线积分存在，且()()()(,,Lf x y ds f t t βαϕψ=⎰⎰证明如前面定义一样，对L 依次插入121,,...,n M M M -，并设0((),())M ϕαψα=，((),())n M ϕβψβ=. 注意到01.n t t t αβ=<<<=L 记小弧段1i i M M -的长度为i s ∆，那么,1,2,.ii t i t s i n -∆==⎰L1,(').i i t i i i i t s t t τ--∆=<<⎰所以, 当('')i i x ϕτ=,('')i i y ψτ=时,ii i 11(,)((''),(t ,n niiii i f x y s f ϕτψτ==∆=∑∑这里i 1i i i t ',''t .ττ-≤≤ 设ni i i 1f ((''),(i t σϕτψτ==∆∑则有n niiiii i i 1i 1f (x ,y )s f ((''),(t .ϕτψτσ==∆=+∑∑令12n t max{t ,t ,,t },∆=∆∆∆L 要证明的是t 0lim 0.σ∆→=因为复合函数f ((t),(t))ϕψ关于t 连续，所以在闭区间[,]αβ上有界，即存在M ，对一切t [,]αβ∈有|f ((t),(t))|M.ϕψ≤再由[,]αβ上连续，所以它在[,]αβ上一致连续. 即当任给0ε>，必存在0δ>，当t δ∆<时有|.ε≤从而1||().ni i M t M σεεβα=≤∆=-∑所以lim 0.t σ∆→=再从定积分定义得n22i i i i i 0i 1lim f ((''),(''))'('')'('')t t ϕτψτϕτψτ∆→=+∆∑22((),())'()'().f t t t t dt βαϕψϕψ=+⎰所以当n n22iiiii i i i i 1i 1f (x ,y )s f ((''),(''))'('')'('')t ϕτψτϕτψτσ==∆=+∆+∑∑两边取极限后，即得所要证的结果.特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为(),,y y x a x b =≤≤则()()()()()2,,1'b Laf x y ds f x y x y x dx =+⎰⎰．例计算曲线积分⎰Lds y ，其中L 是抛物线2x y =上的点()0,0A 与点()1,1B 之间的一段弧．（如图）图13-2解：积分曲线由方程[]1,0,2∈=x x y给出，所以()()⎰⎰+=1222'1dx x x ds y L12014x dx =+⎰()1241121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x =()155121-.例计算积分()22nLxyds +⎰Ñ，其中L 为圆周:sin ,x a t =cos ,y a t =02t π≤≤.解：由于L 为圆周：π20,cos ,sin ≤≤==t t a y t a x ，所以()()()()222220sin cos nnLxyds a t a t π+=+⎰⎰Ñ⎰==ππ20222nn a dt a ．对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算．例如：若曲线L 由参数方程()()()t z z t y y t x x ===,,，βα≤≤t 确定，则有()()()dt t z t y t x ds 222'''++=，从而()()()()()()()()dt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f L⎰⎰++=βα222''',,,,．例13.３计算曲线积分()⎰Γ++ds z y x222，其中Γ是螺旋线cos ,x a t = sin ,y a t =z kt =上相应于t 从0到π2的一段弧．解：由上面的结论有()()()()()()()dt k t a t a kt t a t a ds z y x⎰⎰++-++=++Γπ20222222222cos sin sin cos()()2222220222224332k a k a dtk a t k aπππ++=++=⎰例计算2Lx ds ⎰, 其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周.解：由对称性可知222,LLLx ds y ds z ds ==⎰⎰⎰所以22222312().333L L L a x ds x y z ds ds a π=++==⎰⎰⎰习题1. 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I （设线密度1μ=）.2. 计算曲线积分222()x y z ds Γ++⎰，其中Γ为螺旋线cos x a t =，sin y a t =，z kt=上相应于t 从0到2π的一段弧.3. 计算,x Cye dS -⎰其中C 为曲线2ln(1),23x t y arctgt t =+=-+由0t =到1t =间的一段弧.4. 求L xydS ⎰，其中L 是椭圆周22221x y a b+=位于第一象限中的那部分。

曲线积分与曲面积分知识点

曲线积分与曲面积分知识点【篇一：曲线积分与曲面积分知识点】曲线积分与曲面积分是考研数一考生要求掌握的内容，数二数三考生不要求掌握，老师以高数教程为例，分章节归纳所要求掌握的内容要点，希望对2016 考研人有所帮助。

9.1 第一类曲线积分内容要点：(1)第一类曲线积分的概念和性质；(2)第一类曲线积分计算测试点：计算第一类曲线积分(包含平面曲线和空间曲线)9.2 第二类曲线积分内容要点：(1)第二类曲线积分的概念和性质；(2)第二类曲线积分计算；(3)两类曲线积分之间的关系测试点：计算第二类曲线积分9.3 格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件内容要点：(1)格林公式；(2)平面曲线积分与路径无关的条件；(3)全微分法则；(4)全微分方程测试点：(1)格林公式；(2)计算曲线积分；(3)全微分方程的求解9.4 第一类曲面积分内容要点：(1)第一类曲面积分的概念和性质；(2)第一类曲面积分计算测试点：计算第一类曲面积分9.5 第二类曲面积分内容要点：(1)第二类曲面积分的概念和性质；(2)第二类曲面积分计算；(3)两类曲面积分之间的关系测试点：(1)直接计算第二类曲面积分(2)通过两类曲面积分之间的关系计算第二类曲面积分9.6 高斯公式与散度内容要点：(1)高斯公式；(2)散度测试点：(1)高斯公式(熟练掌握)；(2)散度(记住公式即可)9.7 斯托克斯公式与旋度内容要点：(1)斯托克斯公式；(2)旋度测试点：(1)斯托克斯公式(熟练掌握)；(2)旋度(记住公式即可)9.8 综合例题针对本章所学内容复习巩固，每个例题独立求解，然和和答案对比，对自己所学情况进行简单的测评。

老师以高数教程为基础，把曲线积分和曲面积分所要求掌握的知识点落实到每一章的某一节，希望考生在复习的过程中复习全面，不要出现遗漏知识点的现象。

【篇二：曲线积分与曲面积分知识点】第十章曲线积分与曲面积分一、一、重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、二、难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。

曲线积分曲面积分公式总结

曲线积分曲面积分公式总结曲线积分是在曲线上计算函数的积分，通常用来计算沿曲线的弧长、质量、电流等物理量。

曲线积分的公式为：1.第一类曲线积分：设曲线为C，参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，函数为f(x, y, z)，则第一类曲线积分的公式为：∫[C] f(x, y, z) ds = ∫[a,b] f(r(t)) ||r'(t)|| dt其中，ds表示弧长元素，||r'(t)||表示曲线的切向量的模。

2.第二类曲线积分：设曲线为C，参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，向量场为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，则第二类曲线积分的公式为：∫[C] F(x, y, z) · dr = ∫[a,b] F(r(t)) · r'(t) dt其中，·表示向量的点乘，dr表示位移向量，r'(t)表示曲线的切向量。

曲面积分是在曲面上计算函数的积分，通常用来计算流量、电通量等物理量。

曲面积分的公式为：1.第一类曲面积分：设曲面为S，参数方程为r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，函数为f(x, y, z)，则第一类曲面积分的公式为：∬[S] f(x, y, z) dS = ∬[D] f(r(u, v)) ||ru × rv|| du dv其中，dS表示面积元素，||ru × rv||表示曲面的法向量的模。

2.第二类曲面积分：设曲面为S，参数方程为r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，向量场为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，则第二类曲面积分的公式为：∬[S] F(x, y, z) · dS = ∬[D] F(r(u, v)) · (ru × rv)du dv其中，·表示向量的点乘，dS表示面积元素，ru和rv分别表示曲面参数u和v方向的偏导数。

曲线积分与曲面积分总结

第十一章：曲线积分与曲而积分“・ (x = x(t) c若—)S则原式二£7(曲),w))X(/)+y"M对弧长的曲线积分 J/ /(x, y, z)ds = £ f(x(r), y(r), z(t))yjd2x + cl2y + d2z.X = x(t)L:< y = y(t) a <t < pz = z(/)则原式二J：/(4r),y(0,z(r))J(#a))U + ()())2+(z0))2/常见的参数方程为：特别的：j Q ds = J e2ds =，J ds =孑2TC厶为上半圆周x2 + y2=2 (y > 0)二对坐标的曲线积分 [p^y)dx + q{x9y)dy计算方法一：若L:f=%(Z)起点处t=a,终点处20则 =y(0原式二["(双。

，W))x'("〃 + g(x(f), y(/))y(r”〃对坐标的曲线积分 f P(x, y, z)dx + e(x, y,z)dy + R(x,y,讹J LX = x(t)L:< y = y⑴起点处t =a终点处/ = 0则z = z(/)原式二 J： P(x(/)，W)，Z(t))x\t\lt + Q(x(f), y(/), z(t))y\t)dt + R(x ⑴,y(/), z ⑴)z‘⑴〃/ 计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。

如图:边界特别地：当竺=叟时，积分与路径无关,且 I：；：P（X' y）厶+q（x，y）dy = [ /心 y ）dx + J：q（x2, y）dy注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。

曲线、曲面积分方法小结

求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。

例一．计算曲线积分⎰+Lxdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点)0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。

本题以下采用多种方法进行计算。

解1：A O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==,2,2x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212dx xx x dy --=分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解2：在弧A O上取)1,1(B 点，B O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧--==,11,2y x y y L 由,B O →y 由,10→.12dy y y dx -= A B 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-+==,11,2y x y y L 由,A B →y 由,01→.12dy y y dx --= 分析：解2是选用参变量为,y 利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。

不同的是以y 为参数时，路径L 不能用一个方程表示，因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。

解3：A O的参数方程为,sin ,cos 1θθ=+=y x L 由,A B O →→θ由,0→π.cos ,sin θθθθd dy d dx =-=解4：A O的极坐标方程为,cos 2θ=r 因此参数方程为,cos 2cos 2θθ==r x ,cos sin 2sin θθθ==r dy L 由,A B O →→θ由,02→π.)sin (cos 2,cos sin 422θθθθθθd dy d dx -=-=分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。