材料力学第10章_梁的应力(2)

Wz 178cm3 183.5cm3
此时梁内最大正应力为：
max

M max Wz

62.4 103 2 178 106
175MPa
超过容许正应力约3%，此差异在一般规定的5%范围内，故允许。
（三）梁的剪应力强度校核
最大剪力： FS max 138 kN
20号槽钢截面简化后（见图），中 性轴以下面积的静矩为：
b.工字形截面(No10)
9.72cm3 49cm3 NO10
W竖 49 5.04 W横 9.72
竖放比横放要好。
2）抗弯截面模量/截面面积
截面形状 圆形 矩形
槽钢
工字钢
Wz
0.125d 0.167h (0.27 ~ 0.31)h (0.27 ~ 0.31)h
A
3）根据材料特性选择截面形状 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形

FS (2r02 ) πr03 (2 )
FS 2 FS
πr0
A
例 FS = 15 kN，Iz = 8.8410-6 m4，b
= 120 mm， 20 mm， yC = 45 mm。试求 ：max ；腹板与翼缘交 接处切应力 a
解：
Sz ,max


(
b 2
yC )2
Fmax 38.3(k N)
2、确定σmax
M
x
max

M max Wz

38.3103 1103 1 1001502
102(MPa)
3、自由叠合时的σmax
6
max

M 0max W0 z

M max 3
1 6
bh02
38.3106

3
1 100 502
6
306.4(MPa)

9.03 105
m3
max
F S* S zmax I z
7.66 MPa
S
* za

b

b 2


yC


8.40
10 -5
m3
a

FSSz,a
I z

7.13 MPa
例 如图所示倒T型外伸梁，已知q=3kN/m，F1=12kN，F2=18kN，形心主 惯性矩IZ=39800cm4。（1）试求梁的最大拉应力和最大压应力及其所在的位
ab1 22a3b918100030.8112053-M45P81a003
0.85MPa
三、梁的切应力强度条件
一般max发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压， 则max所在点处于纯剪切应力状态.。
q
E max
F max
E
F
l/2 l
ql/2
梁的切应力强度条件为
Fs
zh y
τ
y
b
在截面高度h大于宽度b的情况下，以上述假定为基础得到的解，
与精确解相比有足够的准确度。
2、公式推导
mn
现以矩形截面梁m-m 和n-n 两截面从梁中取出 dx微段如图b。
mn
x
dx
图a
由于两截面上分别有 弯矩M 和M+dM作用，因 而在两侧面有着不相等的 正应力如图c。
Fs M
dx
B
y
* c
z max
Fs
b
Fs
(y)

FS
S
* z
I z
S
* z
——下侧部分截面对中性轴
z
的静矩
Fs
( y) FS 8 I z
b(h02 h2 ) (h2 4 y2 )
max (0)

min


(
h) 2
2、盒形薄壁梁
(y)
FS
S
* z
类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若 抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴 靠近上端。如下图：
r0 O
y
max
薄壁环形截面梁最大切应力的计算
r0 O
A 2πr0 y
O
2r0 /p
C
y
Ip
2
A
d
A

2πr0
r02

2πr03
Ip Iz I y 2Iz
Iz

1 2
Ip

πr03
S
* z

πr0
)
2r0 π
2r02
max

FS
S
* z
I z 2 )
M dM
Zh
x
Fs dFs
b
y
图b
x y
dx y
图c
Fs M
dx
M dM
Zh
x
Fs dFs
by
图b
x y

dx y
图c

'
y

FN1
FN 2
aa
12
b
dx
图d
由于正应力的分布已知，欲求离中性轴距离 为 y 处的切应力，把微段梁水平截开（见图d）。
脱离体图d两侧的面积记作A*，建立微段的轴
向平方程下：
Fix 0
dA bdx ( d )dA 0
A*
A*
My dA bdx (M dM ) y dA 0
A*
Iz
'

dM
A*
S
z

FsISz
z
dx bIz bI z
根据切应力互等原理，在纵向水平面上的切
应力 应等于横截面上离中性轴距离为 y 处的
2) 同一横截面上的最大切应力max在中性 h
轴处( y=0 )；
3) 上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。
二、非矩形截面梁
1、工字形薄壁梁
腹板上的切应力（y 方向） 腹板上的切应力仍按矩形截面的公式计算。
假设: t // 腹板侧边，并沿其厚度均匀分布
(y)

FS
S
* z
I z
A* b( h y) 2
I z 2
FS 16I z
b(h02 h2 ) 2 (h2 4 y2 )
3、圆截面梁
切应力的分布特征：
边缘各点切应力的方向与圆周相
切；切应力分布与 y 轴对称；与 y轴
相交各点处的切应力其方向与y 轴一致。
关于其切应力分布的假设：
1）离中性轴为任意距离y的水平直线段 上各点处的切应力汇交于一点 ；
置；（2）若该梁是由两个矩形截面的厚板条沿图示截面上的ab线（实际是
一水平面）胶合而成，为了保证该梁的胶合连接强度，水平接合面上的许用
切应力值是多少？
80
F1
F2
q
300
解 最大拉应力发生在 B截面上
z
AB
C
3m 34 3m
6m
22 4
12
36
14 D 50 14
ab
148.5
16.5MPa
3FL bh2
L
b
3F bh
L
2



6
F

bh2


3L
2)两根梁用一个螺栓联成一整体时的[F]
两梁只有一个中性轴
max

M max Wz
3 2
FL bh2

FL
b2h)2

6
F 2bh2
3L
将两个梁连接成一个整体后,承载能力提高一倍.
F
h
b
L
§6-2 梁横截面的切应力和切应力强度条件
在横力弯曲的情况下，梁截面上的剪力Fs将在横截面上 产生切应力。
一、 矩形截面梁横截面上的切应力
1、假设：
mn
在推导矩形截面梁的切应力
mn
公式时，作如下两点假设：
x dx
图a
⑴ 横截面上各点的切应力方向与 剪力的方向相同。
⑵ 切应力沿截面宽度均匀分布 （距中性轴等距离的各点切应 力大小相等）。
2d /3p
d
max
O
k
k'
O' y
O C
y
4、薄壁环形截面梁
薄壁环形截面梁弯曲切应力
的分布特征：
1) d <<r0→沿壁厚切应力的大
小不变； 2) 内、外壁上无切应力→切应
max
力的方向与圆周相切；
3) y 轴是对称轴 → 切应力分布
与 y 轴对称；与 y 轴相交的
各点处切应力为零。
最大切应力max 仍发生在中性轴 z 上。
200
最大压应力发生在Fs=0
3326.681的0130截33399面8381050上350005M0P111004a184448.5.)5)101033
ab线上最大切应力发生在BC段
32.68 30
SZ* 2S0Z*0152035114083.m5m325)
Sz*max

7.3 10
5

(10

1.1)
(7.3

0.7)
10
1.1 2

104cm3
查型钢表： Iz 1780cm4
max

FS max(SZ* max 2) 2IZ (b 2)
57MPa

100MPa
选用二根20号槽钢能满足剪应力强度条件。
F1 120 kN, F2 30kN, F3 40kN, F4 12kN. 容许应力
170MPa, 100MPa 。试选择槽钢的型号。
解（一） 绘梁的FQ、M图
F1 F2 A
F3 F4
Bz
（二）按正应力强度条件
0.4 0.4 0.7 0.2 0.6
选择槽钢的型号
当 l >> h 时，max >> max
例：截面为三块矩形截面叠加而成(胶合成一体)的梁,[τ]胶 =3.4MPa， 求：Fmax及此时的σmax。 若截面为自由叠合，σmax的值又为多大。
F
1m
Fs
F
-F*1
解：1、确定 Fmax
Z 50
50
胶

Fs
S
z
I zb
100 x
50 F (100 50 50) 3.4 1 1001503 100 12
B L/2
F
Mmax=PL / 4
F/2 F/2
L/4
L/4
Mmax = FL / 8
二、合理安排梁的截面，提高抗弯截面模量。
合理截面形状应该是截面面积A较小，而抗弯截面模量大的截面。
1）放置方式： a.矩形截面(h>b)
bh2 WZ 左 6 Wz左 h 1, Wz右 b
WZ 右

hb2 6
max
ql/2
对等直梁，有
ql2/8
F S* Smax zmax


Izb
弯曲切应力的强度条件
max

F S S max zmax Izb


1）校核强度 2）设计截面尺寸 3）确定外荷载
需要校核剪应力的几种特殊情况：
1)梁的跨度较短，M 较小，而 FS 较大时，要校核剪应力。
2）这些切应力沿 y方向的分量y 沿宽度
相等。
y

FS
S
* z
I zb( y)
d
max
O
k
k'
O' y
最大切应力 max 在中性轴处
max

FS
S
* z
Izd

FS

1 2

πd 4
2


πd 4 d
2d
3π

64
4FS 4FS 3 π d 2 3A 4
例 两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠加在一起承受荷载如图示,若材料 许用应力为[σ],其许可荷载[F]为多少?如将两根梁用一个螺栓联成一整体, 则其许可荷载[F]为多少?若螺栓材料许用切应力为[τ],求螺栓的最小直径.
F
解 1)两梁叠加时的[F]
h
z
zz
max

M max 2Wz

FL 2 bh2
梁中性层处切应力 中性层剪力
F 2bh2
z
3L
3)求螺栓的最小直径d
2bh2
max

3 2
s
maxbL

h b[ ]
2


Fs A

h b
2
pd 2

4
d
2hb p
例：一简支梁由两个槽钢组成，受四个集中荷载作用，如图示。已知：
§6-3梁的合理截面 等强度梁的概念
max

M max Wz


max
一、合理安排梁的受力，减小弯矩。
Qm
axS
z max
Izb


F/L
A
B
Mmax = FL / 8
F/L
A
B
0.2L Mmax =FL / 40 0.2L
合理安排梁的受力，减小弯矩。 F
A L/2
FS (kN)
138
最大弯矩： Mmax 62.4KN .m
18
由正应力强度条件：
Wz

Mmax

367cm3
12
52 64
M (kN m) 62.4
Wz

M max

367cm 3
一个槽钢的抗弯截面模量为：
Wz
Wz 2
183.5cm3
查型钢表，选用20a号槽钢；

h 2
2
y b( h 2
y)
b (h2 24

y2)
A* b( h y) 2 B
矩

Fs 2I z
( h2 4

y2)
y
y
* c
h
z max
max

3 2
Fs A
1.5
Fs b

max

3 2
Q A
1.5
1) 沿截面高度按二次抛物线规律变化；
y
切应力 。


Fs
S
z
I zb

'
y

FN1
FN 2
aa
12
b
dx
图d


Fs
S
z
I zb
注意：Fs为横截面的剪力；Iz 为整个横截
面对 z 轴的惯性矩；b为所求点对应位置
截面的宽度；S
* z
为所求点对应位置以外
的面积对 z 轴的静矩。
3、矩形截面剪应力的分布：
S
z