2019-2020学年高一数学圆的一般方程复习学案.doc

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2019-2020学年高考数学一轮复习《圆的方程》学案.doc

2019-2020学年高考数学一轮复习《圆的方程》学案例1. 根据下列条件，求圆的方程．(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上． (2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长为6．解：(1)∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0 由⎩⎨⎧=++=-+0910301523y x y x 解得 ⎩⎨⎧-==37y x∴圆心为C(7，－3)，半径r ＝65 故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 将P 、Q 两点坐标代入得⎩⎨⎧-=+-=--②F E D ①F E D 1032042 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0由弦长|x 1－x 2|＝6得D 2－4F ＝36 ③解①②③可得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0 变式训练1：求过点A （2，－3），B （－2，－5），且圆心在直线x －2y －3=0上的圆的方程．由A （2，－3），B （－2，－5），得直线AB 的斜率为k AB = －5－(－3)－2－2 = 12 ,线段AB 的中点为（0，－4），线段AB 的中垂线方程为y ＋4=－2x,即y ＋2x ＋4=0,解方程组240230x y x y ++=⎧⎨--=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩∴圆心为（－1，－2），根据两点间的距离公式，得半径r=(2+1)2＋(－3＋2)2=10 所求圆的方程为（x ＋1)2＋(y ＋2)2=10例2. 已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P ，Q 两点，且OP⊥OQ（O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径解方法一将x=3-代入方程x 2+y 2+x-得5y 2-基础过关设P （x 1,y 1）,Q(x 2,y 2),则y 1、y 2满足条件： y 1+y 2=4,y 1y 2=.512m+ ∵OP⊥OQ,∴x 1x 2+y 1y 2 而x 1=3-2y 1,x 2=3-2y 2∴x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-321，,半径r=25方法二如图所示，设弦PQ 中点为M ，∵O 1M⊥PQ，∴21=MO k∴O 1M 的方程为:y-3=2⎪⎭⎫⎝⎛+21x即：由方程组.03242⎩⎨⎧=-++=y x x y解得M 的坐标为（-1，2）则以PQ 为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r 2. ∵OP⊥OQ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上∴（0+1）2+（0-2）2=r 2，即r 2=5,MQ 2=r 2在Rt△O 1MQ 中，O 1Q 2=O 1M 2+MQ 2∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2121(3-2)2+5=44)6(12m --+∴-21λ++2（3-λ）-3=0， ∴λ=1，∴圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21，半径为25变式训练2：已知圆C ：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程（1）证明直线l 可化为x+y-4+m(2x+y-7)即不论m 取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25, ∴点（3，1）在圆内部，∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交（2）解从（1）的结论和直线l 过定点M （3，1）且与过此点的圆C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得 |AB|=222CM r -=.54]）21（）13（[25222=-+--此时，k t =-C Mk 1,从而k t =-31121--∴l 的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.例3. 知点P （x ，y ）是圆(x+2)2+y 2=1上任意一点（1）求P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y 的最大值和最小值；（3）求12--x y 的最大值和最小值解（1）圆心C （-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为 d=56431204)2(322=++⨯+-⨯∴P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=56+1=511，最小值为d -r=56-1=51（2）设t=x-则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y 2=1有公共点∴22212+--t ≤1.∴-5-2≤t≤5-2，∴t max =5-2，t min =-2-5（3）设k=12--x y ，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y 2=1有公共点， ∴1232++-k k ≤1.∴433-≤k≤433+∴k max =433+，k min =433-.变式训练3：已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-（1）求y-x 的最大值和最小值；（2）求x 2+y 2的最大值和最小值解（1）y-x 可看作是直线y=x+b 在y 轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时,3202=+-b，解得b=-2±6.所以y-x 的最大值为-2+6，最小值为-2-6.（2）x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为22）00（）02（-+-=2，所以x 2+y 2的最大值是（2+3）2=7+43， x 2+y 2的最小值是（2-3）2=7-43.例4. 设圆满足：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l ：x －2y=0的距离最小的圆的方程。

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2019-2020学年高考数学第一轮复习圆的方程学案一、知识归纳：1．圆的方程（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+- 其中圆心为（a ，b ），半径为r .特别地，当圆心在原点时，圆的方程为222r y x =+（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （*）将（*）式配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ 当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（2D -，2E -），半径r =21F E D 422-+ 的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程.说明：圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：①x 2、y 2项系数相等且不为零. ②没有xy 项.当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（2D -， 2E -），当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形.2．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件.上述方程表示圆的充要条件是：①A =C ≠0， ②B =0， ③D 2+E 2－4AF ＞0二、学习要点：1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a 、b 、r 或D 、E 、F ）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a 、b 、r （或D 、E 、F ）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于D 、E 、F 或a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出D 、E 、F 或a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程. 3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.三、例题分析：例1．求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.例2．已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆（1）求实数m 的取值范围；（2）求该圆半径r 的取值范围；（3）求圆心的轨迹方程。

高一数学---圆的方程复习学案

一、选择题：1、点(11)，在圆22()()4x a y a -++=的内部，则a 的取值范围是（）Ａ．11a -<< Ｂ．01a << Ｃ．1a <-或1a > Ｄ．1a =±2、若22(1)20x y x y λλλ++-++=表示圆，则λ的取值范围是（）Ａ．(0)+，∞Ｂ．114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｃ．1(1)()5+- ，∞∞，Ｄ．R3、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（）A 22B 4C 24D 2 4、设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（）A 1±B 21±C ．33±D 3±5、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆E O F （O 是原点）的面积为（）Ａ．23 Ｂ．43 Ｃ．52 Ｄ．5566.已知点(1,1)A -和圆2(7)4C x y +-=2：(-5)，一束光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的最短路程是( )A.226-B.8C.64D.107．从点P (m ，3)向圆C ：(x +2)2+(y +2)2=1引切线，则切线长的最小值是（）（A ）26 （B ）5 （C （D ）4+28.曲线y =与直线(1)2y k x =-+有两个交点时，实数k 的取值范围是( )A.43≤k ＞1 B.314k ≤＜ C.43≥K ≥1 D.1≥k ＜43二、填空题：9、圆心在直线2x +y ＝0上，且与直线x +y －1＝0切于点（2，－1）的圆的方程是10、若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a =________.11、已知圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0且这个圆经过点A（6，1），求该圆的方程.12、如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-2，0），直角顶点，顶点C在x 轴上，点P为线段OA的中点．（1）求BC边所在直线方程；（2）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；13、如果一个圆与圆x2+y2－2x=0外切，并与直线x相切于点M（3），求这个圆的方程.一、选择题：1.已知点A （1，-1），B （-1，1），则以线段AB 为直径的圆的方程是（）A.222yx+= B.22yx+=C.221yx+= D.224yx+=2.方程224250x y m yx ++-+=表示圆的条件是（）A.114m << B.m>1 C. 14m <D.m<13.过点M （3，2）作22:4240O x y yx++-+= 的切线方程是（）A.y=2B.5x-12y+9=0C.12x-5y-26=0D.y=2或5x-12y+9=04.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（） A. 224(3)(1)x y +=-+ B. 224(3)(1)x y +=+- C.224(1)(1)x y +=-- D.224(1)(1)x y +=++5.自点A(-1,4)作圆221(2)(3)x y +=--的切线，则切线长为（）A.B.3C.D.56设两圆都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离=( )A ．4B ．C ．8D ．7、圆02422=++-+c y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=120°，则实数c 等于（）A.1B.－11C.9D.11 8.过点（2，1）的直线中，被圆22240x y yx +-+=截得的弦为最长的直线方程为（）A.3x-y-5=0B.x+3y-5=0C.3x-y-1=0D.3x+y-5=0二、填空题：9.已知直线:40l x y -+=与圆22:2(1)(1)C x y +=--，则C 上各点到l 的距离的最小值为。

圆的方程复习学案

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二、专题归纳及典例分析标准方程【考点一：圆的方程】一般方程关于圆的方程，主要考查已知条件求圆的方程、一般方程化为标准方程。在求圆的方程时，常常结合平面几何性质求解。（求圆的方程常采用待定系数法，其一般步骤为： 1、选择圆的方程的某一形式； 2、列关于 a, b, r或（D, E, F）的方程（组）； 3、解方程组； 4、代入圆的方程。）
l : 4 x 3 y 6 0相切与点A（3,6），且经过点B（5,2），
求此圆的方程
5
点与圆直线与圆【考点二：位置关系】圆与圆
例 3、（1）点（1,1）在圆
( x a) 2 ( y a) 2 4 的内部，则 a 的
取值范围是
（2）已知集合
A ( x, y ) x y 1 , B ( x, y ) y x
EF
的值最大，那么 m 的值是（） A.5 B.-5 C.4 D.-4
4、若直线
y kx 1与圆x y 1相交于
2 2
P，Q两点，且角POQ 120

（其中 O 为原点），则 k 的值为（） A.
3
B.
3 3
17
C. 1 D.不存在
5、过点
P（2,3）向圆C：x 2 y 2 1上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为
45的直线l与圆x 2 y 2 5相交于M , N两点，则线段MN
的长度为（ A. 2 2 C. 2 3
） B.3 D.6
11
（2）由直线
2 y x 1上的一点向圆（ x 3） y 2 1 引切
线，则切线长的最小值为

2019-2020学年高考数学一轮复习-圆的一般方程教案

2019-2020学年高考数学一轮复习圆的一般方程教案教学目标：掌握圆的一般方程，会判断二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否是圆的一般方程，能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的一般方程重点难点：会判断二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否是圆的一般方程，能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的一般方程.引入新课问题1．已知一个圆的圆心坐标为)11( ，，半径为2，求圆的标准方程．问题2．在半径与圆心不能确定的情况下仍用圆的标准方程来解行不行？如ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆方程．这道题怎样求？有几种方法？问题3．要求问题2也就意味着圆的方程还有其它形式？建构教学1．圆的一般方程的推导过程．2．若方程Ey Dx y x +++22+F =0表示圆的一般方程，有什么要求？3、二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的条件为:例题剖析例1 已知ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．变式训练：已知ABC ∆的顶点坐标)11( ，A 、)13( ，B 、)33( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．例2 某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度m AB 36=，拱高m OP 6=，每隔m 3需要一个支柱支撑，求支柱22P A 的长（精确到m 01.0）．巩固练习1．下列方程各表示什么图形？（1）0)2()1(22=++-y x ；（2）044222=-+-+y x y x ；（3）0422=-+x y x ；（4）02222=-++b ax y x ；（5）052422=+--+y x y x ．2．如果方程Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 所表示的曲线关于直线x y =对称，那么必有（）A ．E D =B ．F D =C ．F E =D ．FE D ==3．求经过点)14( ，A ，)36( -，B ，)03( ，C 的圆的方程．2P P B A O y x2A课堂小结圆的一般方程的推导及其条件；圆标准方程与一般方程的互化；用代定系数法求圆的一般方程．数学（理）即时反馈作业编号：011 圆的一般方程1．圆036422=--++y x y x 的圆心坐标和半径分别为．2．若方程054222=-+-+m my x y x 表示的图形是圆，则m 的取值范围是．3．已知圆024222=++++b by x y x 与x 轴相切，则b=4．若圆Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 的圆心在直线0=+y x 上，则D 、E 、F 的关系有．5．过圆x 2+y 2-6x +4y -3=0的圆心，且平行于x +2y +11=0的直线方程是 .6．过点)11( -，M 且与已知圆C ：034222=-+-+y x y x 的圆心相同的圆的方程是．7．若圆022222=++++b by x y x 关于直线0=+y x 对称，则=b ．8、已知圆C ：04514422=+--+y x y x ，若M 是圆C 上任意一点，)3,2(-Q ，则|MQ|的最大值为_____________，最小值为______________；9、圆012222=+-++y x y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程为____________．10．求过三点)51( -，A ，)55( ，B ，)26(- ，C 的圆的方程．11．已知一个圆经过A （4,2），B （-1,3）两点，且在两坐标轴上的四个截距和为2，求此圆的方程12、已知直线04=-+y x 和02=+-y kx 与x 轴、y 轴所围成的四边形有外接圆，求外接圆的方程13．已知点)(y x M ，与两个顶点)00( ，O ，)03( ，A 的距离之比为21，那么点M 的坐标满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线．附件1：律师事务所反盗版维权声明附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）学校名录参见：h ttp://w /wxt/list.aspx?ClassID=3060。

2019-2020年高中数学《圆的一般方程》导学案北师大版必修2

2019-2020年高中数学《圆的一般方程》导学案北师大版必修21.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,掌握方程x2+y2 +Dx+Ey+F=0表示圆的条件,由圆的一般方程确定圆的圆心和半径.2.能通过配方等手段将圆的一般方程化为圆的标准方程,会用待定系数法求圆的方程.3.培养学生发现问题、解决问题的能力.同学们,我们在上一节课学习了圆的定义和圆的标准方程,以及用待定系数法求圆的标准方程.我们把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,展开后得到了x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,本节课我们就来学习下这个方程的特点.问题1:对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,配方可得.(1)当D2+E2-4F>0时,与圆的标准方程作比较,可看出方程表示以为圆心,为半径的圆;(2)当D2+E2-4F=0时,方程只有一个解,x=-,y=-,它表示一个点(-,-);(3)当D2+E2-4F<0时,方程没有实数解,它不表示任何图形.因此,当D2+E2-4F>0时,x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆,叫作.圆的一般方程的特点:的系数相同,没有xy这样的二次项,圆的一般方程中有三个待定系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就明确了;圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的一般方程也指出了坐标与大小,几何特征明显.问题2:设点M(x0,y0),根据圆的一般方程得到坐标平面内的点和圆的关系如下:(1)点在圆外⇔;(2)点在圆上⇔;(3)点在圆内⇔.问题3:用待定系数法求圆的一般方程的步骤是:(1)设出圆的一般方程;(2)根据题意列出关于的方程组;(3)解出D、E、F,代入一般方程.问题4:求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系,用有序数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件的;(3)列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.总结为:建系→设标→列式→化简→结果.1.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆的条件是().A.<m<1B.m>1C.m<D.m<12.方程x2+y2-6y+1=0所表示的圆的圆心坐标和半径分别为().A.(3,0),8B.(0,-3),8C.(0,3),2D.(3,0),23.圆的方程为x2+y2-8x=0,则圆心为,半径为.4.圆C通过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1),已知圆C在点P处的切线斜率为1,试求圆C的方程.圆的一般方程的概念辨析若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,求实数a的取值范围,并求出其中半径最小的圆的标准方程.求圆的一般方程已知圆经过三点:A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求圆的方程.有关圆的轨迹问题等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0对称的曲线仍是其本身,求实数a的值.圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1)、B(3,-1),求圆的一般方程.已知定点A(4,0),点P是圆x2+y2=4上一动点,点Q是AP的中点,求点Q的轨迹方程.1.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是().A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x-y+1=0D.x-y+3=02.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为().A.x2+y2-2x-3=0B.x2+y2+4x=0C.x2+y2+2x-3=0D.x2+y2-4x=03.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心为.4.已知圆x2+y2=r2,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A、B满足PA⊥PB,求矩形APBQ顶点Q的轨迹方程.(2010年·上海卷)圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d= .考题变式(我来改编):第9课时圆的一般方程知识体系梳理问题1:(x+)2+(y+)2=(1)(-,-)(3)圆的一般方程x2和y2圆心半径问题2:(1)++Dx0 +Ey0 +F>0(2)++Dx0 +Ey0 +F=0(3)++Dx0+Ey0+F<0问题3:(1)D、E、F问题4:(2)点M的集合基础学习交流1.D圆的方程条件为42+22-4×5m>0⇒m<1.2.C方程可变形为:x2+(y-3)2=8.3.(4,0) 44.解:设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则k、2为x2+Dx+F=0的两根,∴k+2=-D,2k=F,即D=-(k+2),F=2k.又圆过点R(0,1),故1+E+F=0,∴E=-2k-1.故所求圆的方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圆心坐标为(,).∵圆C在点P处的切线斜率为1,∴k CP=-1=,∴k=-3.∴D=1,E=5,F=-6.∴所求圆C的方程为x2+y2+x+5y-6=0.重点难点探究探究一:【解析】 (法一)当a=0时,显然不符合题意,当a≠0时,方程可写为x2+y2-x+y=0.∴D=-,E=,F=0,由D2+E2-4F=(a2-2a+2)>0知,当a∈R且a≠0时原方程表示圆.又半径r==2,∴当a=2时,r min=,此时圆的方程为x2+y2-2x+2y=0.(法二)原方程可化为[x-]2+(y+)2=.∵a2-2a+2>0,∴当a≠0时,原方程表示圆.又r===≥,∴当a=2时,r min=,∴半径最小的圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.【小结】解答此类问题要注意所给的方程是否为x2+y2+Dx+Ey+F=0这种形式,若不是,则要化成一般方程形式再求解.探究二:【解析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A(1,4),B(-2,3),C(4,-5)代入,得⇒故所求圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0.【小结】若已知圆上三点往往要利用待定系数法求解,即设出圆的一般方程,把点的坐标代入即可建立关于D、E、F的方程组.探究三:【解析】设点C的坐标为(x,y),由题意得,|AC|=|AB|,即=,整理得(x-4)2+(y-2)2=10,即为点C的轨迹方程,所以点C的轨迹是圆.[问题]点C的轨迹是完整的圆吗?[结论]上述误解忽视了三角形三点不共线这一隐含条件.于是,正确解答如下:设点C的坐标为(x,y),由题意得,|AC|=|AB|,即=,整理得(x-4)2+(y-2)2=10,因为A、B、C是三角形的三个顶点,三点不共线,而直线AB与圆的交点为(3,5)、(5,-1),所以点C的坐标不能为(3,5)、(5,-1),故点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(除去点(3,5)、(5,-1)),它的轨迹是以A(4,2)为圆心,为半径的圆,但除去(3,5)、(5,-1)两点.【小结】求曲线的轨迹方程时注意以下几点:(1)根据题目的条件选用适当的求轨迹的方法;(2)要看清是求轨迹还是求轨迹方程,轨迹是轨迹方程所表达的曲线;(3)验证轨迹上是否有应去掉或漏掉的点.思维拓展应用应用一:由题意知,圆心C(-,)在直线y-x=0上,∴+=0,∴a2=,∴a=±.(注:F=-4<0,不需检验D2+E2-4F>0)应用二:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意得解得D=E=-4,F=-2,故所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.应用三:设点Q的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则即又点P在圆x2+y2=4上,所以+=4,即(2x-4)2+(2y)2=4,整理得(x-2)2+y2=1,即为点Q的轨迹方程.基础智能检测1.C解题的突破口为弄清平分线的实质是过圆心的直线,即圆心符合直线方程.圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,所以圆心为(1,2),把点(1,2)代入A、B、C、D,不难得出选项C符合要求.2.D设圆心C为(a,0),且a>0,则点C到直线3x+4y+4=0的距离为2,即=2⇒3a+4=±10⇒a=2或a=-(舍去),则圆C的方程为:(x-2)2+(y-0)2=22,即x2+y2-4x=0.3.(0,-1)将方程配方,得(x+)2+(y+1)2=-k2+1.∴r2=1-k2≤1,r max=1,此时k=0,且圆面积最大,∴所求圆心为(0,-1).4.解:设AB的中点为R,坐标为(x,y),欲求Q的轨迹方程,应先求R的轨迹方程.在Rt△APB中,|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点,所以在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=r2-(x2+y2).又|AR|=|PR|=,所以有(x-a)2+(y-b)2=r2-(x2+y2),即2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.因此,点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y),R(x1,y1),因为R是PQ的中点,所以x1=,y1=,代入方程2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,得2()2+2()2-2a×-2b×+a2+b2-r2=0.整理得x2+y2=2r2-a2-b2,这就是所求的轨迹方程.全新视角拓展3圆的标准方程为:(x-1)2+(y-2)2=1,圆心为(1,2),即距离d==3.思维导图构建D2+E2-4F>0D2+E2-4F=0D2+E2-4F<0。

2019-2020年高中数学人教A版必修2《圆的一般方程》word学案

2019-2020年高中数学人教A 版必修2《圆的一般方程》word 学案【学习目标】1. 在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心、半径，掌握方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的条件.2. 能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程.【学习重点】掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程.【学习难点】二元二次方程与圆的一般方程的关系及求动点的轨迹方程. 【问题导学】情景引入：直线方程有一般式,圆的方程有没有一般式呢?如果有会是什么形式呢?（一）仔细阅读教材121-123页的有关内容,思考并回答下列问题:1、直线的一般方程是将特殊式展开整理得到的，同学们仿照此法把圆的标准方程展开，看看会得到什么式子？2、你能将圆的一般方程转化为标准方程吗？这一过程用到怎样的方法？3、是不是方程022=++++F Ey Dx y x 一定表示圆？如果不是，则它在什么条件下才能表示圆呢？4、圆的一般方程和圆的标准方程各有什么特点？5、方程022=++++F Ey Dx y x 与220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=(二元二次方程)有什么相同和不同之处？二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=的系数满足什么条件就可表示圆？并得出圆的一般式的特点？【典型例题】1、求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标，并画出相应图形（试用多种方法求解，并比较各自的特征）总结：用待定系数法求圆的方程的步骤：2、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4,3）,端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点M的轨迹方程。

（试着作图，当点A 在圆上运动时，追踪中点M 的轨迹）【基础题组】1、判断下列二元二次方程是否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径① 222750x y x +-+= ② 22670x xy y x y -+++=③ 2224100x y x y +--+= ④ 222240x y x +-=⑤ 222360x y x +++=⑥ 224441290x y x y +-++= ⑦ 2244412110x y x y +-++=2、判断下列方程分别表示什么图形① 220x y += ② 2210x y x +++=③ 22220(0)x y ax a a +++=≠ ④ 2222220(0)x y ax ay a ++-=≠3、圆222680x y x y +-++=的周长是面积是4、若直线30x y a ++=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值是5、已知圆22440x y x +--=的圆心是点P,则点P 到直线10x y --=的距离是6、求过原点及点A （1,1），且在x 轴上截得的线段长为3的圆的方程1、如果方程()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->所表示的曲线关于y x =对称，则需满足2、已知动点M 到点（8,0）的距离等于点M 到点（2,0）的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是3、已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程是4、已知圆的方程是2224100x y x y ++--=，那么过点（2,5）且经过圆心的直线的方程为5、已知圆C ：22230x y x ay +++-=（a 为实数）上任意一点关于直线l ：20x y -+=的对称点都在圆C 上，则a =6、圆的方程为()(1)(2)2(4)0x x y y -++-+=，则圆心的坐标为7、若点P(2,-1)恒在半径为3的动圆上，则动圆的圆心Q 的轨迹方程是 8、已知两定点A(-2，0)，B （1,0），若动点P 满足2PA PB =,则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于9、已知圆的一条直径的端点分别是()()1122,,,Ax y B x y ，求证此圆的方程是 ()()()()12120x x x x y y y y --+--= 10、已知圆的方程为：2266140x y x y +--+=,求过点()3,5A --的直线交圆得到的弦PQ的中点M的轨迹方程。

2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：4.1.2 圆的一般方程

1.准确把握圆的一般方程的结构形式，理解各个字母的意义；把握圆的一般方程与标准方程的互化；体会待定系数法求圆的一般方程的步骤．2．明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤，弄清楚轨迹与轨迹方程的区别．高考导航1.圆心坐标及半径长的确定或与直线方程的综合是考查的热点，多圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2＋E2－4F>0.________________．解析：由题意得2a2－4a>0，∴a2－2a>0，∴a<0或a>2.答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)∴方程(1)不表示任何图形．(2)∵D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2，∴D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0，∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x 2＋y 2＋ax －ay ＝0，D ＝a ，E ＝－a ，F ＝0，∴D 2＋E 2－4F ＝2a 2>0，∴该方程表示圆，它的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝方法归纳待定系数法求圆的一般方程的步骤用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，这个圆的半径和圆心坐标．设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)，类型三轨迹问题例3已知A(2,0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，整理得(x－1)2＋y2＝1，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，OP，BN，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.整理得x2＋y2－x－y－1＝0，故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.求点的轨迹方程就先设出该点的坐标，然后运用已知条件代入已知点满足的关系式进行求解．方法归纳1．一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系，把等量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键．2．求曲线的轨迹方程要注意的三点(1)根据题目条件，选用适当的求轨迹方程的方法．(2)看准是求轨迹，还是求轨迹方程，轨迹是轨迹方程所表示的曲线(图形)．(3)检查轨迹上是否有应去掉的点或漏掉的点．跟踪训练3已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹．解析：设动点P的坐标为(x，y)．当AP垂直于x轴或点A与点P重合时，点P的坐标分别为(1,0)，(1,2)，符合题意，此时x＝1；当点P在原点，或AP垂直于y轴时，即当点P的坐标为(0,0)或(0,2)时，也符合题意，此时x＝0；当x≠0，且x≠1时，根据题意可知AP⊥OP，即k AP·k OP＝－1，的特殊位置的讨论．4.1.2解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.所以方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是(2,2)，(－2,2)，(2，－2)，(－2，－2)四个点．答案：B4．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )8．过圆x＋y－6x＋4y－3＝0的圆心，且平行于直线x＋2y＋11＝0的直线的方程是________________________．解析：由题意知圆心为(3，－2)，设所求直线的方程为x＋2y＋m ＝0(m≠11)，将圆心(3，－2)代入，得3－4＋m＝0，∴m＝1，故所求直线的方程为x＋2y＋1＝0.答案：x＋2y＋1＝0三、解答题(每小题10分，共20分)9．求经过点A(6,5)，B(0,1)，且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆A．点B．直线C．线段D．圆解析：∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，即(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径长的圆．答案：D12．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大。

2019-2020学年高考数学一轮复习第31-32课时圆的方程学案文.doc

2019-2020学年高考数学一轮复习第31-32课时圆的方程学案文【课题】圆的方程【课时】第31-32课时【复习目标】1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．【基础知识】：1．圆的定义在平面内，到________的距离等于________的点的________叫做圆．2．确定一个圆最基本的要素是________和________．3．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，其中________为圆心，____为半径．4．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是____________，其中圆心为__________，半径r＝________________________.5．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．6．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2.三．基础训练：1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆时，m的取值范围为______________．2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是________．3．点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是______________．4.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆方程是 .5.过两点（2，2）和（4，2），且圆心在直线y=x 上的圆的方程为 .6.三条直线y=0,x=2,y=x围成一个三角形，其外接圆方程为 .7.方程_________________.8．已知点(0,0)在圆：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，则a的取值范围是________．9．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的切线，切点为A、B，则△APB的外接圆方程为________．【例题讲解】:探究点一求圆的方程例1.根据下列条件，求圆的方程：（1）经过P （-2,4），Q （3，-1）两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6；（2）圆心在直线4x+y=0上，且与直线x+y-1=0相切于点P （3，-2）；（3）已知圆和直线x －6y －10=0相切于（4,－1），且经过点（9,6），求圆的方程。

2019-2020学年高中数学《4.1.2圆的一般方程》学案新人教A版必修2.doc

2019-2020学年高中数学《4.1.2圆的一般方程》学案新人教A 版必修2一．学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程；能用待定系数法求圆的一般方程.二．重点、难点：重点：难点：三．知识要点：1. 圆的一般方程：方程220x y Dx Ey F ++++= （2240D E F +->）表示圆心是(,)22D E --. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,)x y 满足的关系式. 四．自主探究：（一）例题精讲：【例1】求过三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,－1)的圆的方程.解：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=. 则442202595309130D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩，解得8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.∴ 圆的方程为2282120x y x y +--+=.【例2】设方程222422(3)2(14)16790x y m x m y m m +-++-+-+=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及圆心的轨迹方程.解：配方得[]222(3)(14)16x m y m m ⎡⎤-++--=+⎣⎦，该方程表示圆，则有160m +>，得1(,)6m ∈-+∞，此时圆心的轨迹方程为2314x m y m =+⎧⎨=-⎩，消去m ，得24(3)1y x =--，由1(,)6m ∈-+∞得x=m+317(,)6∈+∞. ∴所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，17(,)6x ∈+∞ 【例3】已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点轨迹方程. （教材P 133 例5 另解）解：设圆22(1)4x y ++=的圆心为P(-1,0)，半径长为2，线段AB 中点为M(x, y).取PB 中点N,其坐标为(142-+,032+)，即N(32,32). ∵ M 、N 为AB 、PB 的中点, ∴ MN ∥PA 且MN=12PA=1. ∴ 动点M 的轨迹为以N 为圆心，半径长为1的圆. 所求轨迹方程为：2233()()122x y -+-=. 点评：此解为定义法，利用中位线这一几何性质，将所求动点的轨迹转化为到定点的距离等于定长，即圆的定义. 解法关键是连接PB ，取PB 的中点N ，得到MN 的长度为定值. 教材中的解法是通过设动点的坐标，然后找出相关的几何条件，得到动点坐标所满足等式即所求轨迹方程.【例4】求经过(4,2),(1,3)A B -两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.解：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=.当0x =时，20y Ey F ++=，则122E y y +=-；当0y =时，20x DxF ++=，则122D x x +=-. 则1644201930()()422D E F D E F D E ⎧⎪++++=⎪+-++=⎨⎪⎪-+-=⎩，解得352D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.∴ 圆的方程为223520x y x y +--+=.点评：用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定系数的方程）→列（利用条件列出系数所满足的方程组）→求（解方程组）→写（写出所求方程）”. 当已知圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单. 当易知圆心和半径时，选用圆的标准方程形式易求解.五．目标检测（一）基础达标1．方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是（）. A. 114m << B. 1m > C. 14m < D. 1m < 2．M （3，0）是圆2282100x y x y +--+=内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是（）.A. 30x y +-=B. 30x y --=C. 260x y --=D. 260x y +-=3．（04年重庆卷.文理3）圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（）.C. 1D. 4．（1999全国文）曲线x 2+y 2x －关于（）.A. 直线B. 直线y=－x 轴对称C. 点（－2D.0）中心对称5．若实数,x y 满足224240x y x y ++--=）.3B. 14C. 3D. 14-6．已知圆C ：(x-1)2+y 2=1，过坐标原点O 作弦OA ，则OA 中点的轨迹方程是 .7．（1997上海卷）设圆x 2+y 2－4x －5=0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是 .（二）能力提高8．求经过三点(1,1)A -、(1,4)B 、(4,2)C -的圆的方程.9．一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是12的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程.（三）探究创新10．如图，过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线AT，M为AT 上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求△MAQ垂心P的轨迹方程.。

2019-2020学年高考数学一轮复习-圆的标准方程导学案

2019-2020学年高考数学一轮复习圆的标准方程导学案一、学习目标1．掌握圆的标准方程及一般方程，能根据圆的方程熟练地求出圆的圆心和半径；能熟练地对圆的方程的各种形式进行相互转化；2．能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程．二、课前预习1．圆的定义(1)在平面内，到的距离等于的点的轨迹叫圆． (2)确定一个圆基本要素是和 .2．圆的标准方程是，圆心，半径为 .3．圆的一般方程是，圆心坐标为，半径为．4．若方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是 .5．圆心在直线y x =上，半径为22且与x 轴相切的圆的方程 .三、课堂研讨例题1 根据下列条件分别求圆的方程：（1）圆222690x y x y ++++=关于直线50x y -+=对称的圆的方程；（2）经过65A （，），1B （0，）两点，并且圆心C 在直线3490x y ++=上的圆的方程；（3）直线2,==x x y 和0=y 围成的三角形内切圆的方程．备注例2 某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱跨度20AB =米，拱高4OP =米，每隔4米需用一支柱支撑，求支柱22A P 的高度(精确到0.01米)(825≈28.72)．例题３在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈来的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个点的圆记为C ．（１）求实数b 的取值范围；（２）求圆C 的方程．四、学后反思检测案——圆的标准方程和一般方程姓名：1．圆222670x y x y +-++=的标准方程为2．圆1)1(22=++y x 关于直线x y -=对称的圆方程为．3．若圆024222=++++b by x y x 与x 轴相切，则b = ．4．过点(4,1)A 的圆C 与直线10x y --=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为________．课外作业——圆的标准方程和一般方程姓名：1．方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是 .2．圆()2225x y ++=关于坐标原点对称的圆的方程是． 3．与x 轴、y 轴都相切，并且过点()1,8的圆的圆心坐标为 .4．过点()()1,1,1,1A B --，圆心在直线20x y ++=上的圆的方程是 .5．已知一圆过(4,2)P -，(1,3)Q -两点，且在y 轴上截得线段的长为43，则圆的方程为 .6．已知圆C ：22(3)(4)1x y -+-=，点(0,1)A -、(0,1)B ，P 是圆C 上的动点，当22PA PB +取最大值时，点P 的坐标是________．7．已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，则点M 的坐标满足的关系式是 .8．已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+t y t x t y x 表示一个圆，（1）求t 的范围；⑵ 求面积最大的圆方程；⑶ 若圆关于直线02=-+y x 对称，求圆的方程.。

2019-2020学年高一数学《2.3.2圆的一般方程》学案.doc

2019-2020学年高一数学《2.3.2圆的一般方程》学案学习要求1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质．知识再现：1．以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程：新知探究：将222()()x a y b r -+-=展开得：．此式与二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 进行比较有两个特点（1）（2）问题思考：022=+++++F Ey Dx y x 一定表示圆吗？结论（1）当表示以为圆心，以为半径的圆结论（2）当表示点（）结论（3）当不表示任何图形。

４．圆的一般方程： 220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->．【精典范例】例１：将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心的坐标和半径（1）0126422=--++y x y x （2）015484422=-+-+y x y x例2 求过三点)4,3(),2,1(),5,0(---C B A 的圆的方程．注：（1）也可以求AB 和AC 中垂线的交点即为圆心，圆心到A 的距离就是半径也可以求的圆的方程：（2）:通常在已知圆心与半径时用标准方程比较方便，在已知圆三个点时通常用一般方程求解比较方便．例3 已知一曲线是与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 距离的比为21的点轨迹。

求这个曲线的方程，并画出曲线巩固提高：（1）已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 中点M 的坐标(,)x y 中,x y 满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？（2）求与两定点)2,1(-A ，)2,3(B 的距离的比为2的点的轨迹方程。

求经过三点（0,0），（3,2）（-4,0）的圆的方程。