考研数学(一)知识点汇总

1：数列极限 手册P131.01：求极限时候，函数中有阶乘且趋近于无穷大，要用级数法，即证明函数是收敛的（可以用根值，比值），故趋近于无穷大为0.1.02：已知0x lim ()x f x A ->=，则()f x A α=+，0x lim 0x α->= 1.1：奇+奇=奇，偶+偶=偶，()==奇偶奇奇，（奇）偶，偶偶偶1.2：f(x)为周期函数，0x =(t)dt x Ff ⎰（），不一定是周期函数，但是f （x ）如果是奇函数，这个就成立了。

且为奇函数时候。

00(t)dt (t)dt x x f f -=⎰⎰1.3：判断函数有无上下界，用绝对值放缩或导数最大最小，文登P31.305：奇函数的原函数一定是偶函数。

1.31：()lim ()n f x g x ->∞=，一般把g （x ）给分段 1.4：证明连续：00->0lim[f(x +)-f(x )]x x ∆∆ 1.5：22sin(1)(1)sin[(1)]n n n n ππ+=-+-这个让原本不是交错级数的变成了交错级数。

1.6： xlny=xln （y-1+1),于是等价无穷小于x （y-1）前提是y 趋近于11.7：20f(x)-g(x),0....o x 37式出现可以对二者使用迈克劳林，然后消去相同项，注意不能消去（）文登P 1.8：测试函数：（1）x 大于0,为1，小于0为-1 （有界不收敛）（2）x=sinn ，y=1/n （x 发散，y 收敛，无穷大时xy=0）（3）x （n ）在n 为奇数时为n ，为偶数时为0，y （n ）反过来，xy 都是无界，但是xy=01.9：文登P26.1.55 P23.1.491.91：证连续就是要证，左值=右值=等于该点值，证可导是左导数等于右导数即可。

1.92：看到导数大于小于0的时候，不仅有递增递减，还可以写出导数的极限表达式，然后利用保号性可以通过极限分式下半部的正负性决定上半部的正负性。

注意在x0的左右两个领域内，0x x -正负不一，而决定0()()f x f x -的正负，模拟卷1.11.93：对于一阶导数的方程，由一阶导数方程的24b ac -<0知道一阶导数恒大于0或者恒小于0，知原函数恒增或恒减 模拟卷1.41.94：不连续点求导用极限求 模拟卷3.92：收敛数列三性质（唯一性，有界性，保号性）手册P14 3：函数极限 手册P154：函数极限三性质（唯一性，局部有界性，局部保号性）手册P175：无穷大 手册P196：k 阶无穷小 手册P217：3个等价无穷小的原始形式 手册P218：单调有界定理 手册P249：连续函数有界性 手册P2610：最值，介值，零点定理 手册P2711：导数定义 手册P2911.1：利用微分公式'()()()()f x x f x f x x o x +∆=+∆+，可以把一个f （x+y ）的在y->0时候化为f （x ）11.2：周期函数的导数也具有周期性11.3：证明一个式子的时候，如||||||1||1||1||a b a b a b a b +≤+++++，则想到()1xf x x =+11.4：表达式为连乘，乘方，开方，商形式求导，用对数微分法，化为加减11.5：求高阶导就是要把乘积化为加减，会用到三角函数的积化和差，并且在()(cos sin )f x x x -时用cos sin 2cos(/4)cos sin 2cos(/4)x x x x x x ππ-=++=-可以减少项。

而且，高阶导数就是要把乘积化为加减，或者化为简单的乘积，这个时候用到多项式除法 文登P5311.6：()()sin sin()2cos cos()2n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=+=+11.7：导数定义中有极限，会涉及到极限的保号性，11.8：0,sin tan 2x x x x π≤≤≤≤12：可微，可导，连续之间的关系 手册P3213：可微定义 手册P3714：'(log )a x '(cot )x '(c s c )x '(cot )arc x 手册P4115：罗尔，拉格，柯西 手册P215.001：泰勒级数活用：'''1(1)()()(),12f x f x f x f x x ξξ+=++<<+ 15.01：拉格朗日另一种形式'()()()[()],01f b f a b a f a k b a k -=-+-<<15.1：闭区间上存在ξ，使关于ξ的关系式成立，先设m ，M ，再用介值定理15.2：开区间上存在ξ，使关于ξ的关系式成立，做辅助函数F(X)，若F(X)中无积分运算，则验证F(X)满足零值定理，若F(X)中有积分运算，验证F(X)满足罗尔定理15.3：证明给出函数满足某中值定理，要证连续，证可导，然后把两个端点值带入求出'()f ξ 。

然后反找出ξ。

15.4：证明某个函数恒等于一个常数，也就是证明'()f ξ=015.5：证明''()f ξ=0，可以证明'()f ξ为'()f x 的极值。

15.6：要证明在区间（a ，b ）内有两个点怎么怎么的，需要在区间内找到一个c ，然后在（a,c ）(c,b)内分别找。

但是c 找不到怎么办，15.7：证至少存在一点(,)a b ξ∈使得'''()()=k f f ξξ或，或者由'''(),()f f ξξ构成的代数式。

一定要做辅助函数F(X)，方法一：单纯原函数法：无论是拉格朗日还是柯西，都是要把x ξ变，然后做出F(X)，就和拉格朗日定理证明一样简单的构造。

方法二：常数k 值法，用于常数部分可以被分离出来的，'bf(b)-af(a)bf(b)-af(a)()(),k bf(b)-kb=af(a)-ka,F(X)=xf(x)-kx,F(a)-F(b)=0f f b a b aξξξ=+=--证：令则有：则令再，得证方法三：微分方程法：'''--(x)()=()(x)=(),=(x)-(b-x)(x)=C =(b-x)(x)a ab b x f a f f f f x a a f b xf f ξξξ证，，则有F(X)但是微分方程法不仅仅是解微分方程，要根据题意来，比如题目给出''''3()(0)=(0),()12f f f f ξξξ=-证明： 不能单纯的解二阶微分方程，而要利用'(0)=(0)f f ，弄出'()(x)f x f 与的关系式 文登P14215.8：移到一端弄出G(X)，首先看能不能用零值定理，如果不能，再用'()()F X G X =,有的时候，F(X)弄出来有x 作分母，这时候F(0)要用到lim15:9：证明(,)a b ξη∈，，先把要证的关系式中ξη，分离到等号两边15.91：题目中给出连续可导，且f （a ）=0或f （b ）=0，则先用拉格处理，16：三种渐近线 手册P5117：曲率的两种形式 手册P5318：原函数存在定理 手册P5518.1： 1,ln ||ln x x a a dx C dx x a x =+=⎰⎰，别忘了绝对值！18.2：万能公式18.3：如果出现高次的ln 和arc ，则用u=高次ln 或arc18.4：2222tan tan *tan tan (sec 1)n n n x x x x x --==- 18.5：222221(1cos )(1cos )(1cos )(1cos )(1cos )(1cos )(1cos )sin (1cos )(2cos ),sin cos 2sin()241(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos2)k k k k k k k k k k k kk k kx x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x π+++===--+-+=+=+--==+-18.6：分段函数求不定积分时候C 的问题19：csc x ⎰手册P5820：周期函数积分三等式 手册P6021：2200sin cos n n xdx xdx ππ==⎰⎰ 手册P6121.1：定积分的估值：被积函数的最大小值代入积分来放缩 21.2：求定积分的极限的时候，可以放缩出一个大于和小于定积分的便于求出来的极限夹逼。

1/21/21/222000->1/21/2200->->lim ,0,1+1+lim =0.lim =01+nn n n n n n n x x dx dx x dx x xx x dx dx x ∞∞∞≤≤⎰⎰⎰⎰⎰求所以 21.3：被积函数的分母为两项，而分子为其中一项，这种大部分用2I 法21.35：积分时候，被积函数分母有x e -，要上下乘以x e21.4：积分中出现f （g （x ）），则立即用u=g （x ）代换 21.5：证明积分上下限中必有一点ζ，移项后形成G(X)，不着急写出'()()F X G X =,有时()0G X >‘，又有G(a)>0，G(b)<0， 21.6：仅告知被积函数连续，要用辅助函数，即将要证明的结论中积分限取一个作为x ，然后移项，然后判断单调性，然后判断端点值。

21.7：已知被积函数一阶可导，又至少有一个端点的函数值为0，则写出含这个端点的拉格朗日。

然后用最大小等放缩。

一般来说，这个最大M 和最小m 是被积函数'(x)f 的最大小。

21.8:已知被积函数f （x ）二阶及其以上可导，又知道最高阶导数的符号，用泰勒公式。

22：|()||()|b ba a f x dx f x dx =≤⎰⎰ 手册P63 23：柯西不等式 手册P6724：(),(),()ba a f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞⎰⎰⎰ 手册P7124.1：极值点包括不存在的点，最值点还包括边界点24.2：证根存在，如果f （x ）只知道连续，不知道可导，则用零值定理，或用辅助函数罗尔定理。

证出根存在以后，证单调，可以知道根唯一。

24.3：已知三点坐标，求三角型面积公式24.4：321127920,x=x-ax ++,33x x -+=已知一个根为，则设（）（bx c ） 24.5'2'2=(t),y=y(t)2(t)(t)+y (t)x x y x dt βαπ⎰侧面积 2'2=(),2()sin ()+()r r r r r d βαθπθθθθθ⎰侧面积 24.6：同一侧，水平渐近线和斜渐近线不同时存在24.7：球缺体积：2(R-)3h h π 24.8：极坐标化为直角坐标，2222222222222(1)=3cos ,r =3cos ,x +=32(2)sin(),(sin -cos )=1,y-x=142(3)cos()=1,cos ()=1,(1+cos )=222+cos =2,+*cos =2,x ++x +*=2r cos sin r r y xr r r r r r r r r r y y x θθπθθθθθθθθθθ-=所以，关键是要弄出和，三者构成的算式24.9：参数给出的曲线的曲线积分公式，模拟卷1.1224.10：极坐标下平面图形的面积21()2S d αβρθθ=⎰24.11：边界“直线”为参数方程的图形的面积'(),(),()()x t y t S t t dt ϕφφϕ===⎰？？ 25：向量夹角范围 手册P7326：0(cos ,cos ,cos )a αβγ=27：矢量积的右手规则 手册P8427.1：121212x +x y +y z +z 1+1+1+AB M AM MB λλλλλλλ=中有点，，M 点为（，，） 27.2：2=|a|,*=0,*=-*,==0*b=0a a a a a b b a a b a ba b a ∙∙∙∙，垂直，，平行27.3：参数方程的在XOY 面上投影，就把Z 直接变0就可27.4：证两直线共面，就是两直线上各取一点，组成第三条直线，构成3*3行列式，判断是不是为0，若0 ，则共面 27.5：求两直线交点，直线由标准式给出，把L1化为参数方程t ，带入L2，求出t ，带回L1即可。