几何概型中利用计算机随机模拟试验
几何概型中利用计算机随机模拟试验
几何概型中利用计算机随机模拟试验一、教材分析：本课是在学生已经掌握几何概型的基础上，是解决几何概型问题的又一方法，学习本节对全面系统地理解掌握概率知识，对于培养学生自觉动手、动脑的习惯，对于学生辩证思想的进一步形成，具有良好的作用。
二、教学目标：1、知识与技能目标：（1）了解均匀随机数的概念；（2）掌握利用计算机产生均匀随机数的方法；（3）会利用均匀随机数解决具体的有关几何概型概率的问题。
2、过程与方法目标：通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时可以培养学生勤学严谨的学习习惯。
三、重点与难点：重点：利用计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中；难点：把实际问题中事件对应的区域转化为随机数的范围。
四、学法分析：通过对本节例题的模拟试验，认识用计算机模拟试验解决概率问题的方法，体会到用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识。
五、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学。
六、教学过程设计：1、复习回顾：（复习几何概型的概念、公式和特点为以下分析解答例题提供理论基础。
）【教师活动】复习提问：（1）什么是几何概型？（2）几何概型的概率公式是怎样的？（3）几何概型的特点是？【学生活动】回答老师提问：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．2、问题提出：（通过一系列设问，引起学生思考，提高学生参与解决问题的兴趣，） 我们在古典概型中我们可以利用（整数值）随机数来模拟古典概型的问题，那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能够我们如何产生随机数？又如何利用随机数来模拟几何概型的试验呢？3、例题分析：（通过亲自实践，引起学生思考，增强学生参与解决问题的兴趣，让学生掌握利用计算机进行随机试验的方法，培养学生动手能力）【教师活动】例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为电台每小时报时一次,他在0到60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= 605060 =61，即此人等车时间不多于10分钟的概率为61． 例题小结：在本例中，打开收音机的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X 服从[0,60]上的均匀分布，X 为[0,60]上的均匀随机数．均匀随机数的概念：如果X 是区间[a ，b]上的任何一点，且是等可能的，那么我们称X 服从[a ，b]上的均匀分布，X 称为[a ，b]上的均匀随机数。
使用计算机模拟随机试验-湘教版必修5教案
使用计算机模拟随机试验-湘教版必修5教案一、教学目标1.能够了解仪器的使用和操作。
2.能够使用计算机进行模拟随机试验。
3.能够进行模拟试验数据的处理和分析。
二、教学重点1.设计模拟随机实验的方法和步骤。
2.使用计算机模拟随机试验。
三、教学难点1.对模拟随机试验的数据进行概率处理。
2.对计算机模拟随机试验的数据进行处理和分析。
四、教学内容1. 仪器的使用和操作球体机器装置球体机器装置可以用于模拟游戏中的一些抽奖机制和其他随机机制。
它包含的元素是一个随机化函数，生成一些随机的结果，例如投掷硬币、掷骰子等。
球质模型球质模型是通过将随机化函数与不同的对象和属性组合来模拟多种不同的结果。
这种方法可以通过生成随机的数字和形状来模拟实际情况。
随机数生成器随机数生成器可以生成伪随机数，这些伪随机数是随机函数的结果。
这种方法可以帮助学生熟悉计算机的随机性和随机性函数的特征。
2. 模拟随机实验的方法和步骤运用伪随机数构建模拟随机实验模拟随机实验的第一步是确定一个随机事件，并指定其概率分布。
然后，利用计算机生成一个伪随机数序列，使得该序列的分布与随机事件的分布相同，并且将其视为实验过程的随机数流。
这个过程的目的是使用伪随机函数将随机事件与计算机计算结合起来。
制定样本数量制定样本数量是模拟随机实验的第二个步骤。
学生需要确定样本大小，并运用适当的计算机软件将该样本大小传递给计算机。
概率分布概率分布是模拟随机实验的第三个步骤。
学生需要计算随机事件与计算机的随机数生成器的概率分布，并运用适当的计算机软件将概率分布传递给计算机。
展示结果展示结果是模拟随机实验的第四个步骤。
学生需要运用适当的计算机软件将该实验的结果展示，并对结果进行概率分布和统计分析。
3. 计算机模拟随机试验计算机模拟随机试验可以帮助学生更好地理解数学概率和随机性。
本课程将介绍使用计算机进行模拟随机试验的过程和相关的软件，并提供适当的示例和实践体验。
使用 EXCEL 进行模拟随机试验学生可以使用“生成随机数”函数和其他统计函数，如平均值和标准差，来执行模拟随机实验。
高中数学例题：用随机模拟的方法求几何概型问题的概率
高中数学例题：用随机模拟的方法求几何概型问题的概率 例．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，利用随机模拟法试求这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率．【思路点拨】正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在1.2 cm 长的线段上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6 cm 与9 cm 之间的概率．【解析】（1）用计算器产生一组[0，1]内的均匀随机数a 1=RAND ．（2）经过伸缩变换，a=12a 1得到一组[0，12]内的均匀随机数．（3）统计试验总次数N 和[6，9]内随机数的个数N 1．（4）计算频率1N N． 记事件A={正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间}={正方形的边长介于6 cm 与9 cm 之间}，则P （A ）的近似值为1()n N f A N． 【总结升华】 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；用计算机产生随机数。
可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．举一反三：【变式1】用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积，并估计π的近似值.【解析】(1)利用计算机产生两组[]10，上的均匀随机数，RAND b RAND a ==11,.(2)进行平移和伸缩变换，()25.0,2)5.0(11*-=*-b b a ，得到两组[]1,1-上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N 和点落在圆内的次数1N ）数）的点（（满足b a b a ,122≤+.(4)计算频率NN 1即为点落在圆内的概率近似值. (5)设圆面积为S ，则由几何概率公式得4S P =. ∴N N S 14≈，则N N S 14≈即为圆面积的近似值.又∵2S r ππ==圆.∴NN S 14≈=π即为圆周围率π的近似值.。
第21讲几何概型及随机模拟doc高中数学
第21讲几何概型及随机模拟doc 高中数学 高三新数学第一轮复习教案〔讲座21〕—几何概型及随机模拟一．课标要求：1．了解随机数的意义，能运用模拟方法〔包括运算器产生随机数来进行模拟〕估量概率，初步体会几何概型的意义；2．通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
二．命题走向本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使新加内容，考试涉及的可能性较大。
推测07年高考：〔1〕题目类型多以选择题、填空题形式显现，；〔2〕本建考试的重点内容几何概型的求值咨询题，我们要善于将实际咨询题转化为概率模型处理。
三．要点精讲1．随机数的概念随机数是在一定范畴内随机产生的数，同时得到那个范畴内任何一个数的机会是均等的。
2．随机数的产生方法〔1〕利用函数运算器能够得到0~1之间的随机数；〔2〕在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数。
3．几何概型的概念假如每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度〔面积或体积〕成比例，那么称如此的概率模型为几何概率模型；4．几何概型的概率公式：P 〔A 〕=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。
5．几种常见的几何概型〔1〕设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.假设落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,那么点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度〔2〕设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,假设落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,那么点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积〔3〕设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.假设落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,那么点落在区域V 上的概率为： P=v 的体积/V 的体积 四．典例解析 题型1：线长咨询题 例1．一个实验是如此做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T 表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T 发生的概率。
高中数学3.3应用随机模拟法解决几何概型问题论文新人教A版必修
应用随机模拟法解决几何概型问题在新课标教材中我们学习了几何概型, 用随机模拟法可以对几何概型类问题进行估计.其应用比较广泛.下面举例说明.一、用随机模拟法估计与长度有关的几何概型例1 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形．试求这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率．分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为12 cm 长的线段上取一点M ，求使得AM 的长度介于6 cm 与9 cm 之间的概率．解：(1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数a 1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a 1*12得到[0,12]内均匀随机数．(3)统计试验总数N 和［6,9］内随机数个数N 1．(4)计算频率N N 1.记事件A={面积介于36 cm 2与81 cm 2之间}={边长介于6 cm 与9 cm 之间}，则P(A)的近似值为NN 1． 点评：用随机模拟的方法解决与长度有关的几何概型关键在于将对应的区域长度转化为随机数的范围[a,b],进行在[a,b]上产生随机数.二、用随机模拟法估计与面积有关的几何概型例2 利用随机模拟方法计算图中阴影部分（曲线y=2x 与x 轴、x=±1和y=2围成的部分）的面积．分析：用随机模拟的方法可以求出阴影部分与正方形面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值．解：(1) 利用计算机产生两组[0, 1]上的均匀随机数，a 1=RAND, b 1=RAND. (2)进行平移和伸缩变换，a ＝(a 10.5)*2,b=b l *2得到一组[1,1]上的均匀随机数和一组［0,2］上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1(满足条件b< 2a 的点(a, b)数）．(4)计算频率N N 14S P =，所以41S N N ≈．所以NN S 14≈即为阴影部分面积的近似值． 点评：解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公式分别求的几何概率,然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值．三、用随机模拟法估计图形的面积例3 利用随机模拟的方法近似计算如图所示阴影部分（函数y=22xx 2与x 轴围成的图形）的面积．分析：先计算与之相应的规则多边形的面积，然后由几何概率进行面积估计． 解：(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1=RAND,b 1=RAND. (2)经过平移和伸缩变换a ＝a 1*43,b=b l *3得到一组[3,1]和一组[0,3]上的均匀随机数．(3)统计试验总数N 和落在阴影部分的点数N 1(满足条件b< 2-2aa 2的点(a, b)数）.(4)计算频率N N 112S ，所以≈12S N N 1．所以NN S 112=即为阴影部分面积的近似值． 点评：利用随机模拟实验估计图形的面积时,一要选取合适的对应图形,二要由几何概型正确计算概率.四、随机模拟法的应用例4（探究题）如图所示，利用随机模拟的方法近似计算长为2的正方形内切圆面积，并估计π的近似值．分析：用随机模拟的方法可以估算点落在圈内的概率，由几何概型的概率公式可得点落在圆内的概率为4圆S ．这样就可以计算圆的面积，应用圆面积公式可得ππ==2r S 圆．所以上面求得的圆S 的近似值即为π的近似值．解：(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1=RAND, b 1= RAND.（2）经过平移和伸缩变换，a ＝(a 10.5)*2,b= (b 10.5)*2，得到两组[1,1]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 和点落在圆内的次数N 1(满足a 2+b 2≤1的点(a,b)数). (4) 计算频率NN 1即为点落在圆内的概率. (5)设圆面积为S,则由几何概型的概率公式得4S P =．所以NN S 14≈，即N N S 14=即为圆面积的近似值．又因为ππ==2r S 圆,所以N N S 14==π即为圆周率π的近似值.点评：如果我们能设计一个圆形使其面积与某个常数有关,我们就以设计一个概率模型,然后设计适当的试验,并通过这个结果来确定该量的近似值.。
全国通用版2021版高考数学大一轮温习第九章概率第52讲几何概型优选学案20210508372
第52讲几何概型考纲要求考情分析命题趋势1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义．2017·全国卷Ⅰ，42017·江苏卷，72016·全国卷Ⅱ，8几何概型主要考查事件发生的概率与构成事件区域的长度、角度、面积、体积有关的实际问题，注重考查数形结合思想和逻辑思维能力．分值：5分1．几何概型若是事件发生的概率只与组成该事件区域的__长度(面积或体积)__成比例，而与A的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个特点一是__无穷性__，即在一次实验中，大体事件的个数是无穷的；二是__等可能性__，即每一个大体事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包括的大体事件所占的__图形面积(体积、长度)__”与“实验的大体事件所占的__总面积(整体积、总长度)__”之比来表示．3．在几何概型中，事件A的概率的计算公式P (A )＝__构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)__.4．随机模拟方式(1)利用计算机或其他方式进行的模拟实验，以便通过这个实验求出随机事件的概率的近似值的方式就是模拟方式．(2)用计算机或计算器模拟实验的方式为随机模拟方式．这个方式的大体步骤是：①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并给予每一个随机数必然的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．(1)随机模拟方式是以事件发生的频率估量概率．( √ )(2)相同环境下两次随机模拟取得的概率的估量值是相等的．( × )(3)几何概型中，每一个大体事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机缘相等．( √ )(4)在几何概型概念中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) 解析 (1)正确．由随机模拟方式及几何概型可知，该说法正确．(2)错误．虽然环境相同，可是因为随机模拟取得的是某一次的频率，所以结果不必然相等．(3)正确．由几何概型的概念知，该说法正确． (4)正确．由几何概型的概念知，该说法正确．2．在区间(15,25]内的所有实数中随机抽取一个实数a ，则这个实数知足17＜a ＜20的概率是( C )A ．13 B ．12 C ．310D ．710解析 ∵a ∈(15,25]， ∴P (17＜a ＜20)＝20－1725－15＝310.3．有一杯2 L 的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从水中取0.1 L 水，则小杯水中含有这个细菌的概率为( C )A ．0.01B ．0.02C ．0.05D ．0.1 解析 因为取水是随机的，而细菌在2 L 水中的任何位置是等可能的，则小杯水中含有这个细菌的概率为P ＝0.12＝0.05.4．已知x 是[－4,4]上的一个随机数，则使x 知足x 2＋x －2＜0的概率为( B ) A ．12 B ．38 C ．58D ．0解析 x 2＋x －2＜0⇒－2＜x ＜1，则P ＝1－(－2)4－(－4)＝38.5．某路公共汽车每5 min 发车一次，某乘客到搭车点时刻是随机的，则他候车时间不超过3 min 的概率是( A )A ．35 B ．45 C ．25D ．15解析 此题可以看成向区间[0,5]内均匀投点，求点落入[2,5]内的概率．设A ＝{某乘客候车时间不超过3 min}，则P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果构成的区域长度＝35.一 与长度、角度有关的几何概型(1)设线段l 是线段L 的一部份，向线段L 上任投一点，点落在线段l 的概率为P ＝l 的长度L 的长度.(2)当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域气宇来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的气宇手腕．【例1】 (1)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( B )A ．34 B ．12 C ．13D ．35(2)(2021·江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的概念域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是__ 59__.(3)甲、乙两个人玩一转盘游戏(转盘如图①，C 为弧AB 的中点)，任意转动转盘一次，指针指向圆弧AC 时甲胜，指向圆弧BC 时乙胜．后来转盘损坏如图②，甲提议连接AD ，取AD 中点E ，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE 时甲胜，指向线段ED 时乙胜．然后继续游戏，你感觉此时游戏__不公平__(填公平或不公平)，因为P 甲__＜__P 乙(填“<”“>”或“＝”)．解析 (1)作等腰直角△AOC 和△AMO ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC ︵上运动时，弦长|AB |＞2R ， ∴P ＝MmC ︵圆的周长＝12.(2)由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率为3－(－2)5－(－4)＝59.(3)连接OE ，在Rt △AOD 中，∠AOE ＝π6，∠DOE ＝π3，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE 的概率是P 甲＝π6÷π2＝13，指针指向线段ED 的概率是P 乙＝π3÷π2＝23，所以P 甲<P乙，所以乙胜的概率大，即这个游戏不公平．二 与面积有关的几何概型与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 组成的平面区域形状的判断及面积的计算，大体方式是数形结合．【例2】 (1)如图，已知圆的半径为10，其内接△ABC 的内角A ，B 别离为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在△ABC 内的概率为( B )A ．2＋316πB ．3＋34πC ．4π3＋3D ．16π3＋3(2)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__ 932__(用数字作答)． 解析 (1)由正弦定理BCsin A＝ACsin B＝2R (R为圆的半径)⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝20sin 60°，AC ＝20sin 45°⇒⎩⎨⎧BC ＝103，AC ＝10 2.那么S △ABC ＝12×103×102×sin 75°＝12×103×102×6＋24＝25(3＋3)．于是，豆子落在三角形ABC 内的概率为S △ABC圆的面积＝25(3＋3)102π＝3＋34π.(2)设小张与小王的到校时间别离为7：00后第x 分钟、第y 分钟．按照题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ＝{(x ，y )|y －x ≥5，30≤x ≤50，30≤y ≤50}，如图中阴影部份所示，阴影部份所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝932.三 与体积有关的几何概型对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的整体积(总空间)和事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【例3】 (1)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为__1－π12__.(2)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是__23__.解析 (1)正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为1－23π8＝1－π12.(2)由题意知V S －APC V S －ABC ＞13，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 别离为△APC 与△ABC 的高，所以V S －APC V S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝APAB ，所以AP AB ＞13，故所求的概率为23(即为长度之比)．1．把半径为2的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内，此刻往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为( A )A ．4π－1 B ．2π C ．4π－12D ．12解析 这是一道几何概型概率计算问题．星形弧半径为2，所以点落在星形内的概率为P ＝π·22－⎝ ⎛⎭⎪⎫π·224－12×2×2×2×4π·22＝4π－1.故选A ． 2．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，使cos πx 2的值介于0到12之间的概率为( A )A ．13 B ．2π C ．12D ．23解析 在区间[－1,1]上随机取一个数x ，实验的全数结果组成的区域长度为2. ∵－1≤x ≤1，∴－π2≤π2x ≤π2.由0≤cos π2x ≤12，得π3≤π2x ≤π2或－π2≤π2x ≤－π3，∴23≤x ≤1或－1≤x ≤－23. 设事件A 为“cos π2x 的值介于0到12之间”，则事件A 发生对应的区域长度为23.∴P (A )＝232＝13.3．在区间[－2,2]上随机取一个数x ，使||x ＋1－||x －1≤1成立的概率为__58__.解析 在区间[－2,2]上随机取一个数x ，则－2≤x ≤2，而知足不等式|x ＋1|－|x －1|≤1的x 的取值为x ≤12.又因为－2≤x ≤2，故－2≤x ≤12，所以使不等式成立的概率为P＝12－(－2)2－(－2)＝58. 4．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部份，据此估量阴影部份的面积为__0.18__.解析 由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.易错点 几何概型概念不清错因分析：对事件中的几何元素熟悉不清楚，致使解题错误．【例1】 (1)在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM ＜AC 的概率为______. (2)在等腰Rt △ABC 中，过直角极点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为______.解析 (1)这是一个与长度有关的几何概型问题，在AB 上截取AC ′＝AC ，于是P (AM ＜AC )＝P (AM ＜AC ′)＝AC ′AB ＝AC AB ＝22.(2)这是一个与角度有关的几何概型问题，在AB 上截取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°，而∠ACB ＝90°，于是P (AM ＜AC )＝P (AM ＜AC ′)＝67.590＝34. 答案 (1)22 (2)34【跟踪训练1】 在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( D )A ．p 1＜p 2＜12B ．p 2＜12＜p 1C ．12＜p 2＜p 1 D ．p 1＜12＜p 2解析 (x ，y )组成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中知足x ＋y ≤12的区域如图(1)中阴影部份所示，所以p 1＝12×12×121×1＝18，知足xy ≤12的区域如图(2)中阴影部份所示，所以p 2＝S 1＋S 21×1＝12＋S 21＞12，所以p 1＜12＜p 2.故选D.课时达标 第52讲[解密考纲]几何概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( B ) A ．45 B ．35 C ．25D ．15解析 区间[－2,3]的长度为3－(－2)＝5，[－2,1]的长度为1－(－2)＝3，故知足条件的概率P ＝35.2．设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( C ) A ．15 B ．25 C ．35D ．45解析 方程有实根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．所以所求概率为5－25－0＝35. 3．在区间[0,2π]上任取一个数x ，则使得2sin x >1的概率为( C ) A ．16 B ．14 C ．13D ．23解析 ∵2sin x >1，x ∈[0,2π]，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴P ＝5π6－π62π＝13.故选C ．4．(2021·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部份和白色部份关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部份的概率是( B )A ．14 B ．π8C ．12D ．π4解析 设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形内切圆的面积为π，按照对称性可知，黑色部份的面积是正方形内切圆的面积的一半，所以黑色部份的面积为π2.按照几何概型的概率公式，得所求概率P ＝π24＝π8.故选B.5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ≤4，y ≥－2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( D )A ．413 B ．513 C ．825D ．925解析 作出平面区域可知平面区域D 是以A (4,3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为极点的三角形区域，当点在△AED 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2.P ＝S △AED S △ABC ＝12×6×312×10×5＝925.故选D.6．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )知足条件⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12，f (－2)≤4为事件A ，则事件A 发生的概率为( C )A ．14 B ．38 C ．12D ．58解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4＋2b ＋c ≤12，4－2b ＋c ≤4，0≤b ≤4，0≤c ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －8≤0，2b －c ≥0，0≤b ≤4，0≤c ≤4表示的区域如图中阴影部份所示，可知阴影部份的面积为8，所以所求概率为12.故选C ．二、填空题7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为__ 12__.解析 当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，则点M 到底面ABCD 的距离小于12，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12. 8．记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域别离为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为__ 12π __.解析 作圆O ：x 2＋y 2＝4，区域Ω1就是圆O 内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为24π＝12π. 9．在区间(0,1)内随机地掏出两个数，则两数之和小于65的概率是__ 1725__. 解析 设随机掏出的两个数别离为x ，y ，则0<x <1,0<y <1，依题意有x ＋y <65，由几何概型知，所求概率为P ＝12－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1512＝1725. 三、解答题10．设事件A 表示“关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根”，其中a ，b 为实常数．(1)若a 为区间[0,5]上的整数值随机数，b 为区间[0,2]上的整数值随机数，求事件A 发生的概率；(2)若a 为区间[0,5]上的均匀随机数，b 为区间[0,2]上的均匀随机数，求事件A 发生的概率．解析 (1)当a ∈{0,1,2,3,4,5}，b ∈{0,1,2}时，共可以产生6×3＝18个一元二次方程．若事件A 发生，则a 2－4b 2≥0，即|a |≥2|b |.又a ≥0，b ≥0，所以a ≥2b .从而数对(a ，b )的取值为(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(5,0)，(5,1)，(5,2)，共12组值，所以P (A )＝1218＝23. (2)据题意，实验的全数结果所组成的区域为D ＝{(a ，b )|0≤a ≤5,0≤b ≤2}，组成事件A 的区域B ＝{(a ，b )|0≤a ≤5,0≤b ≤2，a ≥2b }．在平面直角坐标系中画出区域B ，D ，如图．其中区域D 为矩形，其面积S (D )＝5×2＝10，区域B 为直角梯形，其面积S (B )＝1＋52×2＝6. 所以P (A )＝S (B )S (D )＝610＝35. 11．已知袋子中放有大小和形状相同但颜色互异的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12. (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次掏出的小球标号为a ，第二次掏出的小球标号为b .①记“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．解析 (1)由题意共有小球n ＋2个，标号为2的小球n 个．从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是nn ＋2＝12，解得n ＝2. (2)①从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次掏出的小球标号为a ，第二次掏出的小球标号为b ，则掏出2个小球的可能情况共有12种结果，令知足“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，则事件A 共有8种结果，故P (A )＝812＝23. ②由①可知(a －b )2≤4，故x 2＋y 2>4，(x ，y )可以看成平面中点的坐标，则全数结果组成的区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，由几何概型可得概率为P ＝4－14π·224＝1－π4. 12．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部份(图中四个阴影部份均为扇形，且每一个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，若是摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解析 若是顾客去甲商场，实验的全数结果组成的区域为圆盘，面积为πR 2(R 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR 2360＝πR 26. 所以在甲商场中奖的概率为P 1＝πR26πR 2＝16. 若是顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3 )，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3 )，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种，摸到的2个球都是红球有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)共3个，所以在乙商场中奖的概率为P 2＝315＝15，又P 1<P 2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．。
数学建模之计算机模拟随机过程
计算机模拟
后勤工程学院数学教研室
实验目的
学习计算机模拟的基本过程与方法。
实验内容
1、模拟的概念。 2、产生随机数的计算机命令。 3、计算机模拟实例。
4、实验作业。
计算机模拟实例
离散系统模拟实例: 排队问题
连续系统模拟实例: 追逐问题 用蒙特卡洛法解非线性规划问题
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模拟的概念
对于排队服务系统, 顾客常常注意排队的人是否太多, 等候的时间是否 长, 而服务员则关心他空闲的时间是否太短. 于是人们常用排队的长度、等 待的时间及服务利用率等指标来衡量系统的性能.
单服务员的排队模型：在某商店有一个售货员，顾客陆续来到，
6. 结果比较
理论计算和模拟结果的比较
分类 项目 模 拟 理 论
无效射击 ０．６５ ０．７５
有效射击 ０．３５ ０．２５
平均值 ０．５ ０．３３
虽然模拟结果与理论计算不完全一致，但它却能更加真实地表 达实际战斗动态过程．
用蒙特卡洛方法进行计算机模拟的步骤：
[1] 设计一个逻辑框图，即模拟模型．这个框图要正确反映系统各部 分运行时的逻辑关系。 [2] 模拟随机现象．可通过具有各种概率分布的模拟随机数来模拟随 机现象．
分析： 这是一个概率问题，可以通过理论计算得到相应的 概率和期望值.但这样只能给出作战行动的最终静态结果，而 显示不出作战行动的动态过程.
为了能显示我方20次射击的过程，现采用模拟的方式。
1. 问题分析
需要模拟出以下两件事： [1] 观察所对目标的指示正确与否
模拟试验有两种结果，每一种结果出现的概率都是1/2．
返回
产生模拟随机数的计算机命令
在Matlab软件中，可以直接产生满足各种分布的随机数， 命令如下：
计算机模拟在数学问题求解中的应用与案例研究
计算机模拟在数学问题求解中的应用与案例研究随着计算机技术的飞速发展，计算机模拟在各个领域中的应用也越来越广泛。
数学作为一门基础学科，也不例外。
计算机模拟在数学问题求解中起到了重要的作用，不仅能够加速计算过程，还能够帮助数学家们发现问题的规律和解决方法。
本文将通过几个具体的案例，探讨计算机模拟在数学问题求解中的应用。
首先，我们来看一个经典的案例：著名的费马大定理。
费马大定理是数学史上一个备受争议的问题，它声称对于大于2的任何整数n，方程x^n+y^n=z^n没有正整数解。
这个问题困扰了数学家们长达几个世纪，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才给出了一个完美的证明。
而在怀尔斯证明之前，许多数学家通过计算机模拟来验证这个定理在某些特殊情况下成立。
通过计算机模拟，数学家们可以将费马大定理中的方程转化为计算机程序，并通过不断迭代计算来寻找可能的解。
虽然这种方法并不能给出完整的证明，但它能够帮助数学家们找到一些特殊情况下的解，从而为证明提供了一定的线索。
除了费马大定理，计算机模拟在数学问题求解中的应用还涉及到了许多其他领域。
比如在几何学中，计算机模拟可以帮助数学家们研究各种形状的性质和变化规律。
通过构建几何模型，并利用计算机程序进行模拟，数学家们能够更好地理解几何学中的一些难题，如黎曼猜想和四色定理。
此外，计算机模拟还在概率论和统计学中发挥着重要的作用。
在概率论中，计算机模拟可以用来估计随机事件的概率。
通过生成大量的随机样本，并进行统计分析，数学家们可以得到对概率的近似估计。
这种方法在金融风险评估、天气预测等领域中得到了广泛应用。
总的来说，计算机模拟在数学问题求解中的应用是多样且重要的。
它能够加速计算过程，帮助数学家们发现问题的规律和解决方法。
通过几个具体的案例，我们可以看到计算机模拟在费马大定理、几何学、概率论和统计学中的应用。
随着计算机技术的不断进步，相信计算机模拟在数学问题求解中的应用还将有更广阔的前景。
原创1：3.3.2均匀随机数的产生
试验的总次数
.
思考2 设X、Y为[0，1]上的均匀随机数，6.5＋X表示送 报人到达你家的时间，7＋Y表示父亲离开家的时间， 若事件A发生，则X、Y应满足什么关系？ 7＋Y >6.5＋X，即Y>X－0.5.
思考3：如何利用计算机做100次模拟试验，计算事件A发 生的频率，从而估计事件A发生的概率？ （1）在A1～A100，B1～B100产生两组[0，1]上的均匀随机 数；
a1=RAND,b1=RAND; （2）经平移和伸缩变换， a=(a1-0.5)﹡2; （3）数出落在阴影内的样本点数N1,用几何概型计 算阴影部分的面积. 例如做1000次试验，即N=1000,模拟得到N1=698, 所以 S 2N1 1.396.
N
根据几何概型计算概率的公式，概率等于面
积之比，如果概率用频率近似表示，在不规则 的图形外套上一个规则图形，则不规则图形的 面积近似等于规则图形的面积乘频率.
（2）选定D1格，键入“=A1-B1”，按Enter键. 再选定D1格， 拖动至D100，则在D1～D100的数为Y-X的值； （3）选定E1格，键入“=FREQUENCY（D1：D100， 0.5）”，统计D列中小于0.5的数的频数；
对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找 出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题 转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.
记“两人会面”为事件A.
阴影（红色）部分的面积
P( A)
正方形的面积
25 2 1 42
=
2
=
9
.
25
25
y
5
y=x+1
4
y=x-1
3
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2020年新人教版高二数学必修第一章重点解析整理
2020年新人教版高二数学必修3第一章重点解析整理【篇一：几何概型】【考点分析】在段考中，多以选择题和填空题的形式考查几何概型的计算公式等知识点，也会以解答题的形式考查。
在高考中有时会以选择题和填空题的形式考查几何概型的计算公式，有时也不考，一般属于中档题。
【知识点误区】求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答。
一般与线性规划知识有联系。
【同步练习题】1.已知函数f(x)=log2x，若在[1，8]上任取一个实数x0，则不等式1≤f(x0)≤2成立的概率是.解析：区间[1，8]的长度为7，满足不等式1≤f(x0)≤2即不等式1≤log2x0≤2，解答2≤x0≤4，对应区间[2，4]长度为2，由几何概型公式可得使不等式1≤f(x0)≤2成立的概率是27.点评：本题考查了几何概型问题，其与线段上的区间长度及函数被不等式的解法问题相交汇，使此类问题具有一定的灵活性，关键是明确集合测度，本题利用区间长度的比求几何概型的概率.2.在区间[-3，5]上随机取一个数a，则使函数f(x)=x2+2ax+4无零点的概率是.解析：由已知区间[-3，5]长度为8，使函数f(x)=x2+2ax+4无零点即判别式Δ=4a2-16<0，解得-2点评：本题属于几何概型，只要求出区间长度以及满足条件的区间长度，由几何概型公式解答.【篇二：古典概型】古典概型的基本概念1.基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件;2.等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件;3.古典概型：满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型①所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等;4.古典概型的概率：如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为nP(A)?m.n知识点一：古典概型的基本概念例1：从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件?思路分析：题意分析：本试题考查一次试验中用列举法列出所有基本事件的结果，而画树状图是列举法的基本方法.解题思路：为了了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来.或者利用树状图将它们之间的关系列出来.解答过程：解法一：所求的基本事件共有6个：A?{a,b},B?{a,c},C?{a,d}D?{b,c},E?{b,d},F?{c,d}解法二：树状图解题后的思考：用树状图求解一次试验中的基本事件数比较直观、形象，可做到不重不漏.掌握列举法，学会用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题.例2：(1)向一个圆面内随机地投射一个点，如该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么?(2)如图，某同学随机地向一靶心射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环??命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么?思路分析：题意分析：本题考查古典概型的概念.应明确什么是古典概型及其应具备什么样的条件.解题思路：结合古典概型的两个基本特征可进行判定解决.解答过程：答：(1)不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件.(2)不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环??命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.解题后的思考：判定是不是古典概型，主要看两个方面，一是实验结果是不是有限的;另一个就是每个事件是不是等可能的.例3：单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择正确的答案.假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少?思路分析：题意分析：本题考查古典概型概率的求解运算.解题思路：解本题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果考生掌握了全部或部分考查内容，这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可将此问题看作古典概型.解答过程：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案是选择A，B，C，D的可能性是相等的.从而由古典概型的概率计算公式得：P(答对\答对所包含的基本事件的个数1==0.25基本事件的总数4解题后的思考：运用古典概型的概率公式求概率时，一定要先判定该试题是不是古典概型，然后明确试验的总的基本事件数，和事件A发生的基本事件数，再借助于概率公式运算.小结：本知识点的例题主要考查对古典概型及其概率概念的基本理解.把握古典概型的两个特征是解决概率问题的第一个关键点;理解一次试验中的所有基本事件数，和事件A发生的基本事件数，是解决概率问题的第二个关键点.知识点二：古典概型的运用例4：同时掷两个骰子，计算：(1)一共有多少种不同的结果?(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?(3)向上的点数之和是5的概率是多少?(4)为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记号会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?思路分析：题意分析：本题考查了古典概型的基本运算问题.解题思路：先分析“同时掷两个骰子的所有事件数”，然后分析事件A：向上的点数之和为5的基本事件数，最后结合概率公式运算.同时可以运用举一反三的思想自行设问、解答.解答过程：解：(1)掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的结果都可与2号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果(如表)，其中第一个数表示掷1号骰子的结果，第二个数表示掷2号骰子的结果.(可由列表法得到)1号骰子2号骰子1(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5)(5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)123456由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种.(2)在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，分别为：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)(3)由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得P(A)=A所包含的基本事件的个数41==基本事件的总数369(4)如果不标上记号，类似于(1，2)和(2，1)的结果将没有区别.这时，所有可能的结果将是：(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)(4，4)(4，5)(4，6)(5，5)(5，6)(6，6)共有21种，和是5的结果有2个，它们是(1，4)(2，3)，则所求的概率为P(A)=A所包含的基本事件的个数2=基本事件的总数21这就需要我们考察两种解法是否满足古典概型的要求了.可以通过展示两个不同的骰子所抛掷出来的点，感受第二种方法构造的基本事件不是等可能事件.解题后的思考：考查同学们运用古典概型的概率计算公式时应注意验证所构造的基本事件是否满足古典概型的第二个条件.对于同时抛掷的问题，我们要将骰子编号，因为这样就能反映出所有的情况，不至于把(1，2)和(2，1)看作相同的情况，保证基本事件的等可能性.我们也可将此试验通过先后抛掷来解决，这样就有顺序了，则基本事件的出现也是等可能的.例5：从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.思路分析：题意分析：本题考查的是不放回抽样的古典概型概率的运用解题思路：首先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明白一次试验指的是“不放回的，连续的取两次”.先列举出试验中的所有基本事件数，然后求事件A的基本事件数，利用概率公式求解.解答过程：解法1：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A=[(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)]事件A由4个基本事件组成，因而P(A)=42=63解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序(x，y)记录结果，则x有3种可能，y有2种可能，但(x，y)，(y，x)是相同的，所以试验的所有结果有3×2÷2=3种，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为2×1÷1=2，因此P(B)=23解题后的思考：关于不放回抽样，计算基本事件的个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但无论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.例6：从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.思路分析：题意分析：本题考查放回抽样的概率问题.解题思路：首先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明白一次试验指的是“有放回的，连续的取两次”.解答过程：每次取出一个后放回，连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有9个，即(a1，a1)，(a1，a2)和(a1，b1)(a2，a1)，(a2，b1)和(a2，a2)(b1，a1)，(b1，a2)和(b1，b1)其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A=[(b1，a1)，(b1，a2)，(a2，b1)，(a1，b1)]事件A由4个基本事件组成，因此P(A)=4.9解题后的思考：对于有放回抽样的概率问题我们要理解每次取的时候，总数是不变的，且同一个体可被重复抽取，同时，在求基本事件数时，要做到不重不漏.小结：(1)古典概型概率的计算公式是非常重要的一个公式，要深刻体会古典概型的概念及其概率公式的运用，为我们学好概率奠定基础.(2)体会求解不放回和有放回概率的题型.知识点三：随机数产生的方法及随机模拟试验的步骤例7：某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少?思路分析：题意分析：本题考查的是近似计算非古典概型的概率.解题思路：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%.解答过程：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产0到9之间的取整数值的随机数.我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%.因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组.例如：产生20组随机数：812，932，569，683，271，989，730，537，925，488907，113，966，191，431，257，393，027，556，458这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为解题后的思考：(1)利用计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决非古典概型的概率的求解问题.(2)对于上述试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间.(3)随机函数(RANDBETWEEN)(a，b)产生从整数a到整数b的取整数值的随机数.小结：能够简单的体会模拟试验求解非古典概型概率的方法和步骤.高考对这部分内容不作更多的要求，了解即可.5=25%.20【篇三：随机事件】一、确定事件必然发生的事件：当A是必然发生的事件时，P(A)=1不可能发生的事件：当A是不可能发生的事件时，P(A)=0二、随机事件：当A是可能发生的事件时，发生的频率mn 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
随机模拟在几何概型中的应用说课稿
随机模拟在几何概型中的应用说课稿一、教材与学情1.教材位置：几何概型是必修三第三章第三节的内容，是计算事情发作概率的一个重要模型。
在传统授课中，都着重用概率模型计算公式来计算概率。
但在理想生活中，很多随机事情很难用公式求得准确结果，于是在概率章节中，也浸透着用随机模拟来求概率近似值这一重要思想。
也就是〝随着实验次数的添加，事情发作的频率会越来越接近概率〞！但是这一思想时常被教员、先生所疏忽。
故下面将以课本第137页例2为例，采用数学实验的教学战略，让先生体验随机模拟求概率的全进程。
2.先生学情：本节课教学对象是高二先生，已学习概率的定义，了解随着实验次数的添加，频率会越来越接近概率，也学习了几何概型的计算方法。
但对随机模拟接触较少，入手才干较弱。
3.教学重难点：教学重点：学习用实物或用计算器发生平均随机数的普通方法；用随机模拟的方法处置例2的送报纸效果。
教学难点：随机模拟实验的设计进程。
4.教学目的：经过本课的学习，希望先生能到达以下三个层次的目的知识目的：了解平均随机数的特点；熟练掌握用实物或用计算机发生平均随机数方法。
才干目的：提升数据处置才干，实际操作才干和归结总结才干思想目的：稳固和深化频率估量概率的随机模拟思想。
二、实验进程课本第137页例２：假定你家订了一份报纸，邮递员能够在早上6:30-7:30之间把报纸送到你家，你父亲分开家去任务的时间在早上7:00-8:00之间，问你父亲在分开家前能失掉报纸〔称为事情A〕的概率是多少？剖析：这个效果由于邮递员送报纸的时间和父亲分开家的时间都具有随机性，属于典型的几何概率模型。
在设计实验进程中，最重要的就是可以表达这种随机性！〔1〕实物模拟实验步骤如下：1. 区分将自行车的两个轮胎上标志时间，一个作为邮递员送报纸的时间，一个作为父亲分开家的时间；2. 区分让两个先生随机的转动两个车轮，记载下相应的时间，进而知道父亲分开家能否失掉报纸；3. 重复以上的实验20次，统计下能失掉的报纸的次数，然后除以总次数20次，失掉了事情A 发作的频率，进而可以估量出事情A 发作的概率。
高中数学实验随机模拟教案
高中数学实验随机模拟教案
实验目的：
1. 了解随机模拟在数学中的应用；
2. 学习如何使用随机模拟进行数据分析；
3. 提高学生的数学建模能力和数据处理能力。
实验材料：
1. 计算机或平板电脑；
2. 随机模拟软件（如Excel、Python等）；
3. 实验数据表格。
实验步骤：
1. 学生将随机模拟软件打开，并导入实验数据表格。
2. 学生分析实验数据，并确定需要进行的随机模拟操作。
3. 学生根据所选取的随机模拟操作，设置随机模拟参数，并进行模拟运算。
4. 学生将模拟结果进行统计分析，并与实际数据进行比较。
5. 学生总结实验结果，并撰写实验报告。
实验内容：
1. 使用随机模拟软件模拟掷骰子的情况，统计各面出现的频率，并与理论概率进行比较。
2. 使用随机模拟软件模拟投硬币的情况，统计正反面出现的频率，并与理论概率进行比较。
3. 使用随机模拟软件模拟抽取彩票的情况，统计各种奖项中奖的频率，并分析中奖概率。
4. 使用随机模拟软件模拟生日悖论实验，统计在一群人中至少有两人生日相同的概率。
实验评价：
通过本实验，学生可以提高对随机模拟的理解和应用能力，培养数据分析和建模的能力。
同时，学生在实验过程中可以锻炼团队合作能力和逻辑思维能力。
贝特朗悖论与随机模拟方法
两个端 点在单 位圆周上 的位置为
ｘ Ｙ ａ ｙ ， 如 图１ ， 则事＂ ｌ ｅ Ａ等价 于 ：
随机模拟方法是利用计算 机或者计算器模 拟试验 从 而计算事件发生概率 的一种方法 ． 在模拟试验过程 中我们 会重复产生 随机数模拟事件是否发生 ． 利用事件发生的频 率作 为事件 发生概率 的近似估计 ． 这里的随机数是在一定
（ １ ） 产 生一组０ ～ １ 区 间的均匀 随机数 （ 共 有Ⅳ 个） ， ＝
ＲＡＮＤ ， ｙ ｌ ＝ ＲＡＮＤ ；
任一弦长度 的取值范 围为 （ ０ ， ２ ］ ． 那 么事件“ 弦的长度大于
圆的 内接正三角形边长” （ 记为事４ ￣ Ａ） 发生 的概率是不是 为
Ｚ
（ ２ ） 经伸 缩变换 ： １ × ２ １ Ｔ ， ｙ ＝ ｙ ｌ ｘ ２ ＂ ｒ ｒ ；
率．
试 验 次数 为 １ ０ ０ ０ ０ 时 模 拟事
．
二、 问题 转化 考虑用 计算机或者计算器模 拟这个 试验 ：从单位 圆
件发生 的概率 近似值为０ ． ３ ３ ７ ３ ．
情形２ 弦由它 的中点确定
１ ． 设 弦的 中点 等可能地 出现
在单位 圆周 内．而事件Ａ等 价 于 图３
会诊， 并给 出相应 的一些 对策． 从 而期 望能 够达 到改变我 们 的教学方 法 ， 提 高课 堂教 学效 率 ， 启迪 学生 的数 学思
维， 最终达到优化 学生思维 品质 的 目的．
“ 弦 的中点位于半径 为 １的 圆内” （ 如 图３ 所示 ） ，因此事
计算 器或计 算机模 拟步骤 如下 ：
题 中的体现． 在本文中我们用随机模 拟方法来讨论几何 概
型 问题 ．
2010高三数学高考复习必备精品教案：几何概型及随机模拟
几何概型及随机模拟一．【课标要求】1．了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义；2．通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程二．【命题走向】本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使新加内容，考试涉及的可能性较大预测2010年高考：（1）题目类型多以选择题、填空题形式出现，；（2）本建考试的重点内容几何概型的求值问题，我们要善于将实际问题转化为概率模型处理。
三．【要点精讲】1．随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。
2．随机数的产生方法（1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；（2）在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数。
3．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；4．几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。
5．几种常见的几何概型（1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积（3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积四．【典例解析】题型1：线长问题例1． （09山东11）在区间[]1,1-上随机取一个数x ,cos 2xπ的值介于0到12之间的概率为 （ ）A ．13 B ．2π C ． 12 D ． 23【解析】在区间[-1，1]上随机取一个数x,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2xπ的值介于0到21之间,需使223xπππ-≤≤-或322xπππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32，由几何概型知cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232=.故选A.答案 A例2．（2009辽宁卷文）ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ）A ．4πB ．14π-C ．8π D ．18π-【解析】长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为2π 因此取到的点到O 的距离小于1的概率为2π÷2＝4π 取到的点到O 的距离大于1的概率为14π- 答案 B例3．假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？ 解：以两班车出发间隔 ( 0，10 ) 区间作为样本空间 S ，乘客随机地到达，即在这个长度是 10 的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。
随机模拟方法在《几何画板》中的算法实现
随机模拟方法在!几何画板"中的算法实现张志勇#江苏省常州市第五中学$%&’’’(随机模拟方法是一种基于)随机数*的计算方法+!几何画板"具有独特的面对对象的优势+是信息技术与数学学科整合的理想平台,本文介绍用!几何画板"进行随机模拟的两种基本方法+即自由动画实现随机模拟-带参数的迭代实现随机模拟,我们将看到+在!几何画板"中进行随机模拟不仅方法灵活+而且所见即所得+将抽象的结论直观展现+能够呈现模拟的结果随着试验次数的增加而稳定的过程,方法%自由动画实现随机模拟如图%+在路径./上有一个点0+创建该点的动画按钮+在弹出的属性对话框中+有一个)方向*的选项+如果我们选择了)自由*+那么动画按钮将使该点在路径上作随机运动#如图%(+这就是我们用动画模拟随机性过程的基础,事实上+如果运动参数时将动画属性方向设置为)自由*+也会有同样的效果,图%案例1抛掷硬币+既可能出现正面-也可能出现反面+假如硬币质量均匀+则当抛掷次数很多时+出现正面的频率应接近于2’3+试用计算机模拟抛掷硬币的试验,构造步骤#%(构造线段./+射线445+665,#$(构造线段./上一点0+先后选中点.+/+0度量比值.0./7选中点0+设置0点在./上的)动画*+其按钮方向属性设置为)自由*+选中)只播放一次*+动画标签改为)随机*,#&(计算89:;<#.0./=’>2(+度量值标签改为?,#@(射线445上构造点A+先后选中点4+A 标记为向量#实质上B 4A 为单位向量(7构造射线上点C +将点C 按标记向量平移得到点C 57先后选中点C +C 5设置移动按钮+其按钮移动属性设置为)移动到初始的目的地*+标签修改为)增加实验次数*7先后选中点C +4设置移动按钮+标签修改为)实验次数复位*7先后选中点4+A +C 度量比值4C 4A+度量值标签改为)实验次数*,#2(射线665上构造点D +选中度量值?#见步骤&(标记为比值+双击点6标记为中心+选中点D 按标记比值缩放得到点E #?值为’时点E 与点6重合+?值为%时点E 与点D 重合+选择点E 时须注意(7先后选中点6+E 标记为向量7构造射线上点F+选中点GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG F 科学生可能永远不知道什么是异面直线和二面角+而这恰恰是日常生活中最常见的现象+这不能不说是一个重大的缺失,第二+不学习异面直线所成的角和二面角+线面垂直-面面垂直的定义则变得比较困难,例如+北师大版关于直线和平面垂直的定义+在逻辑上不严密+而人教社#H 版(关于面面垂直的定义与传统定义相比+要别扭得多,新课程实施的情况表明+新学课程取得了初步的成功+但也存在一些问题需要解决,本文的几点意见+仅为引玉之砖+盼与老师们进一步探讨,I$%I 中学数学月刊$’’J 年第%$期按标记向量平移得到点!"#先后选中点!$!"设置移动按钮$其按钮移动属性设置为%移动到初始的目的地&$标签修改为%正面次数增加&#先后选中点!$’设置移动按钮$标签修改为%正面次数复位&#度量比值’!’($度量值标签改为%正面向上次数&)*+,选择按钮%随机&-%增加实验次数&-%正面次数增加&$设置系列按钮$标签改%实验&#选择按钮%实验次数复位&-%正面次数复位&$设置系列按钮$标签改为%复位&)构造详解*.,当点/在路径01上自由动画时$相应的度量值2345678*0/019:;<,3.$0/=/1$>:$0/?/1$便可间接产生:@.间的随机数)本题构造时借用.表示硬币正面向上$用:表示硬币反面向上$从而将如图A 的构造稍做修饰即可实现抛掷硬币的计算机模拟)图A*A ,上述构造方法的难点在于所得结果的累计接受$实际上步骤*B ,和*<,的作用主要就是实现实验次数和正面向上次数的累计)可见上述方法尽管易操作$但模拟过程较死板$各次模拟结果的比较不很清楚$交互性也不太理想)方法A 带参数的迭代实现随机模拟C几何画板D 中带有迭代功能$利用这一功能即可实现循环结构)值得注意的是$在迭代的结构属性中有两种选择E %到与初始对象上点相对类似的位置&-%到所在对象的随机位置&$选中后一选项即可实现随机模拟)案例F 在正形中随机撒一大把豆子$计算落在正形内切圆中的豆子与落在正方形中的豆子数之比$由此估计圆周率的值$并初步体会几何概型的意义)试用计算机模拟这一实验过程)构造步骤*.,构造一正方形*其边长假定为.,及其内切圆GH #在正方形相邻线段上分别取两点1$/$并过两点构造相应线段的垂线$两垂线交点为0)*A ,度量点0到圆心的距离0H 及圆半径I $计算.J K L 7*0HJ I ,A $并将其标签改为2*计算.J K L 7*0HJ I ,A的目的是对点0的位置进行判断$当点0位于圆内时$度量值的结果为.#反之为:,)*M ,新建参数N $O $其初值分别赋予:$.::#计算N 92#新建参数P $其初值赋予A $绘制点’*P $N 92,*参数O 用以控制循环深度$参数N 则用以计算$绘制点’*P $N 92,的目的是为步骤*<,计算迭代中数值N 92的累计结果以统计点落在圆中的个数作准备,)*B ,先后选中点1$/$度量值N $O $按住K Q R S 4键$单击T 变换U V T 带参数的迭代U *不按K Q R S 4键T 变换U 菜单中只会出现T 迭代U 命令$按住K Q R S 4键则会出现T 带参数的迭代U $默认选中的最后一个参数为迭代深度$本题中为O ,$作1W 1$/W /$N W N 92的迭代$其中%结构&属性选择%到所在对象的随机位置&$去除%生成迭代数据表&选项*如图M ,)图M*<,选中点’的迭代象*本题中点0$’XM .X A ::+年第.A期中学数学月刊均与迭代规则有关!因此均会产生迭代象!前者的迭代象在正方形内!后者则在点"的正上方#$单击%变换&’%终点&得到点"的迭代象终点(!度量点(的纵坐标)(!计算)(*+!将度量值标签改为,-,的值为迭代后落在圆内点的累计计数结果!计算)(*+的目的是去除初始点.的影响#$-/#计算,0!其结果即为圆面积的近似值-假定正方形的边长为1#2计算34,0!其结果即为5的近似模拟值$-6#将参数0!,的标签分别改为7总点数897圆内点数8!将度量值,0!34,0的标签修改为7圆面积8及7:82隐藏其他度量值及参数!隐藏相应的点及点"的迭代象$-;#选中参数7总点数8设置动画按钮!其标签属性改为7投掷8!动画属性中的方向设置为7递增8!选中7不连续8选项!速度设置为每1秒1<单位!范围从<到=<<<2再次选中参数7总点数8设置动画按钮!其标签属性改为7归零8!动画属性中的方向设置为7自由8!选中7只播放一次8选项及7不连续8选项!范围为从<到<><<<1$经过修饰后的实验平台如图3所示$图3构造详解-1#?几何画板@没有相应的条件判断语句!因此条件判断需借助于符号函数加以实现$符号函的解析式为A B C -D #E*1!DF <!G1!DH <!上述步骤-=#中的+E1*A B C -.I*J #=即可分解为+E1!.IF J !G<!.IH J $-=#上述操作过程中步骤-3#9-K #是关键$在步骤3中因为选中了7到所在对象的随机位置8!这样的结果是点L 9点M 在相应线段上随机运动!从而确保点.在正方形内随机运动!这是本题的构造基础$与方法1相类似的!随机运动比较容易实现!但随机结果却难存储!步骤-N #中绘制点"-D !O P +#9步骤-K #中计算点"迭代象的终点纵坐标!便是为统计相应落在圆内的点数即存储随机结果的$-N #迭代中的显示属性有7完整迭代897最终迭代8两种选择!前者可以输出迭代中的全部结果!后者只能输出迭代的最后结果2构造属性中可以复选7生成迭代数据表8!借助于迭代数据表可以非常清楚地分析算法$选中迭代象按7Q 8号进行初始化!可以在其他条件不变的情况下得到不同的结果!从而帮助学生很好地体会随机性$-3#步骤-;#中7投掷8按钮速度设置为每1秒1<单位与每<$1秒1单位从速度上看是一样的!但前者更能方便学生观察2范围的最大值设置为=<<<与画板参数有关!如果将画板7高级参数选项8中的最大迭代样本数量改大的话!相应值也可变大2选中7不连续8选项使得参数值的变化以整数形式呈现$考虑到<$<<<1近似为<!这样7归零8按钮范围设置为从<到<$<<<1-不能两个值都设为<#!从而确保了按一次按钮参数回复为<$-K #为方便学生观察!可以在步骤-=#中增加对点.设置颜色参数!使得当点.在圆内时为红色!在圆外时为蓝色!这样点.的迭代象也具有相应的变化$具体实现式是R 同时选中点.及参+!单击%显示&’%颜色&’%参&!在弹出的对话框中将7参范围8设置为S 1到1$T31T 中学数学月刊=<</年第1=期。
几何概型和随机模拟方法
几何概型与随机模拟方法孙老师目录1几何概型2 2随机模拟方法31几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)=S AS,其中S A=构成事件A的区域长度(面积或体积)，S=试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).例1.1在区间[−1,1]上任取一个数x，则cosπ2x的值在区间[0,12]的概率为.解.这是一个典型的几何概型.0≤cos π2x≤12⇒−23≤x≤23所以S A=43,显然S=2.P=S AS=23.练习：假如你买了一件东西，快递员可能在早上6:30−−7: 30之间把快递送到你家，你离开家出去的时间在早上7:00−−8:00之间，那么你在离开家前能拿到快递(称为事件A)的概率是多少？2随机模拟方法随机模拟方法，也称为Monte Carlo方法，是一种基于“随机数”的计算方法。
这一方法源于美国在第二次世界大战期间进行的研制原子弹的“曼哈顿计划”。
该计划的主持人之一数学家冯·诺依曼用驰名世界的赌城–摩纳哥的Monte Carlo 来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
冯·诺依曼是公理化方法和计算机体系的领袖人物，MonteCarlo方法也是他的重要贡献。
事实上，Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。
早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来近似事件的“概率”。
18世纪下半叶，法国学者Buffon （蒲丰）提出用投针试验的方法来确定圆周率π的值。
这个著名的Buffon试验是Montc Carlo方法的最早尝试。
例2.1如图，正方形的边长为2，在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估计圆周率的值.图1解.随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积成正比.因此这是一个典型的几何概型.豆子落在圆内的概率P=S1S，其中S1是圆的面积，S是正方形的面积.而豆子落在圆内的概率可以由豆子落在圆内的频率来近似.所以P=S1S=π4≈落在圆中的豆子数/落在正方形中的豆子数.这样就得到了π的近似值.我们用计算机模拟上述过程，步骤如下：(1)用Excel的RAND函数产生两组[0,1]之间的均匀随机数a,b;(2)经平移和伸缩变换，x=2(a−0.5),y=2(b−0.5),此时x,y 是区间[−1,1]之间的随机数；(3)计算出落在圆内(x2+y2<1)的点(x,y)的个数N1，计算π≈4N1N(N代表试验次数).如下表，可以发现，随着试验次数的增加，得到的π的近似值的精度会越来越高.图2例2.2利用随机模拟方法计算图2中阴影部分（x ∈[0,π],y =sin x 和x 轴所围成的部分）的面积.图3解.在坐标系中画出矩形(x =0,x =π,y =0,y =1所围成的部分),用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值.具体步骤如下：(1)用Excel 的RAND 函数产生两组[0,1]之间的均匀随机数a ,b ；(2)经平移和伸缩变换，x =π·a ,y =b ,此时(x ,y )是矩形区域上的一个随机点；(3)计算出落在阴影内(y <sin x )的点(x ,y )的个数N 1，计算S ≈N 1N·π(其中N 是落在矩形区域的点的个数).如下表，可以发现，随着试验次数的增加，得到的S 的近似值的精度会越来越高(由定积分理论可以准确计算出S =2).图4练习：利用随机模拟方法近似计算图形的面积：y=x2+1和y=6所围区域的面积.图5。
随机模拟方法
小结
了解随机数和均匀随机数的产生,体会用 随机模拟方法近似计算概率及不规则图形的 面积.
2、区域是平面图形的几何概型问题
设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的 4 边长都是6.现用直径为2的硬币投掷到此网格 上,求硬币落下后与格线没有公共点的概率. 9 变形1:求硬币落下后与格线有公共点的概率. 变形2: 设有一个正方形网格,现用直径为2的 硬币投掷到此网格上,方格边长要多少才能 使硬币与格线没有公共点的概率大于0.04. 提示: 边长大于2.5
(2)每10个数作为一组,数出其中至少有2个数 相同的组数m及试验总次数n; (3)求得概率的近似值m/n.
例3.在正方形内随机撒一把豆子,用随机模拟 方法估计圆周率的值. Y 分析:随机撒一把豆子,每个豆 子落在正方形内任一点是等可 能的,落在每个区域的豆子数 与这个区域的面积近似成正比,
-1 O 1 X
解 : (1)用计算机产生两组0 ~ 1之间的 均匀随机数,a1 RAND, b1 RAND; (2)进行平移和伸缩变换,a (a 1 0.5) 2, b (b1 0.5) 2; (3)数出落在圆内的样本点数m及试验的 总次数n; 4m (4)计算 . n
例4.用随机模拟方法近似计算图形: y x 1与y 6所围成区域的面积.
随机模拟方法
小知识
用计算机或计算器模拟试验的方法称为 随机模拟方法,也称为蒙特卡罗方法.该方法 是在第二次世界大战期间兴起和发展起来的, 它的奠基人是冯.诺伊曼.
例1.天气预报说,在今后的3天中,每一天下雨 的概率均为0.4.求这3天中恰有2天下雨的概率. 分析:试验的结果有有限个,但每个结果出现 的可能性不同,因此不能用古典概率计算.
2、区域是平面图形的几何概型问题
湖南省邵阳市隆回二中高一数学导学案：第三章 概率 3.3.1 几何概型(2) (新人教A版必修3)[ 高考]
![湖南省邵阳市隆回二中高一数学导学案：第三章 概率 3.3.1 几何概型(2) (新人教A版必修3)[ 高考]](https://img.taocdn.com/s3/m/726d72a8998fcc22bcd10d94.png)
班级组别组号姓名【学习目标】（1）了解均匀随机数的概念；（2）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（3）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．【自主学习】：阅读教材P137—139，独立完成下列问题任务1问题1:（回顾（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P（A）=（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．任务2问题1：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7:00～8:00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，（1）那么事件A是哪种类型的事件？（2）怎样求事件A的概率？问题2：设送报人到达你家的时间为x，父亲离开家的时间为y，若事件A发生，则x、y应满足什么关系？问题3：你能画出上述不等式组表示的平面区域吗？问题4：根据几何概型的概率计算公式，事件A发生的概率为多少？【合作探究】利用随机模拟方法计算由y=1和y=x2 所围成的图形的面积.让学生操作,再演示试验. 分析：见P140小结1.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作方法要通过上机实习才能掌握.【目标检测】1 甲乙两人相约上午8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去，求甲乙两人能会面的概率.2. 将一长为18cm的线段随机地分成三段，则这三段能够组成一三角形的概率是多少？学习反思：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些没学懂？。
几何概型及随机模拟
专题 21 几何概型及随机模拟(B3 三)一．课标要求：1．了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义；2．通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
二．命题走向本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使新加内容，考试涉及的可能性较大。
预测高考：（1）题目类型多以选择题、填空题形式出现，；（2）本建考试的重点内容几何概型的求值问题，我们要善于将实际问题转化为概率模型处理。
三．要点精讲1．随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。
2．随机数的产生方法（ 1）利用函数计算器可以得到0~1 之间的随机数；（ 2）在 Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1 或 a~b 之间的随机数。
3．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；4．几何概型的概率公式：构成事件 A的区域长度（面积或体积）P（A ）=试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体5．几种常见的几何概型。
积）（ 1）设线段 l 是线段 L 的一部分 , 向线段 L 上任投一点 . 若落在线段 l 上的点数与线段 L 的长度成正比 , 而与线段 l 在线段 l 上的相对位置无关 , 则点落在线段 l 上的概率为：P=l 的长度 /L 的长度（ 2）设平面区域g 是平面区域G的一部分 , 向区域 G上任投一点 , 若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比 , 而与区域g 在区域 G上的相对位置无关, 则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积 /G 的面积（ 3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分 , 向区域 V 上任投一点 . 若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比, 而与区域v 在区域 v 上的相对位置无关, 则点落在区域V 上的概率为：P=v 的体积 /V 的体积四．典例解析题型 1：线长问题例 1．一个实验是这样做的，将一条 5 米长的绳子随机地切断成两条，事件T 表示所切两段绳子都不短于 1 米的事件，考虑事件T 发生的概率。
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课例：几何概型中利用计算机随机模拟试验广东省清远市清城区第一中学数学组冯国柱一、教材分析：本课选自人民教育出版社（数学必修3）A版第三章《概率》中“几何概型”的第二课时《3.3.2均匀随机数的产生》。
本小节是在学生已经掌握几何概型的基础上，是解决几何概型问题的又一方法，学习本节对全面系统地理解掌握概率知识，对于培养学生自觉动手、动脑的习惯，对于学生辩证思想的进一步形成，具有良好的作用。
二、教学目标：1、知识与技能目标：（1）了解均匀随机数的概念；（2）掌握利用计算机产生均匀随机数的方法；（3）会利用均匀随机数解决具体的有关几何概型概率的问题。
2、过程与方法目标：通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时可以培养学生勤学严谨的学习习惯。
三、重点与难点：重点：利用计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中；难点：把实际问题中事件对应的区域转化为随机数的范围。
四、学法分析：通过对本节例题的模拟试验，认识用计算机模拟试验解决概率问题的方法，体会到用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识。
五、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学。
六、教学过程设计：1、复习回顾：（复习几何概型的概念、公式和特点为以下分析解答例题提供理论基础。
）【教师活动】复习提问：（1）什么是几何概型？（2）几何概型的概率公式是怎样的？（3）几何概型的特点是？【学生活动】回答老师提问：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．2、问题提出：（通过一系列设问，引起学生思考，提高学生参与解决问题的兴趣，） 我们在古典概型中我们可以利用（整数值）随机数来模拟古典概型的问题，那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能够我们如何产生随机数？又如何利用随机数来模拟几何概型的试验呢？3、例题分析：（通过亲自实践，引起学生思考，增强学生参与解决问题的兴趣，让学生掌握利用计算机进行随机试验的方法，培养学生动手能力）【教师活动】例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为电台每小时报时一次,他在0到60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)=605060 =61，即此人等车时间不多于10分钟的概率为61． 例题小结：在本例中，打开收音机的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X 服从[0,60]上的均匀分布，X 为[0,60]上的均匀随机数．均匀随机数的概念：如果X 是区间[a ，b]上的任何一点，且是等可能的，那么我们称X 服从[a ，b]上的均匀分布，X 称为[a ，b]上的均匀随机数。
根据以上均匀随机数的概念和对例题的小结，我们可以在计算机上产生一列[0,60]上的均匀随机数，当随机数在[50,60]之间时，就是事件A 发生了，统计出[0,60]上的均匀随机数在[50,60]之间的数的个数，再除以随机数的个数，就可以得到这次试验中A 事件发生的频率。
根据以上分析我们可以利用计算机对以上例题进行试验解题（1）利用计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a 1=RAND （）．（2）经过伸缩变换，a=a 1*60，可以得到a 为[0，60]内随机数．（3）统计出[0，60]内随机数的个数N 和[50，60] 内随机数的个数N 1．（4）计算频率f n (A)=NN 1． （5）经过多次试验我们可以得出概率P （A ）的近似值．【学生活动】：学生按步骤亲自到讲台操作，体会随机试验结果的不确定性，理解频率与概率的联系与区别。
【学生活动】：让学生独立完成设计试验步骤，并把设计出来的步骤付之实践，得出题目的解答。
练习1：利用计算机随机模拟试验，求在两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，灯与两端距离都大于2m 的概率的近似值．解：（1）利用计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a 1=RAND （）．（2）经过伸缩变换，a=a 1*6，可以得到a 为[0，6]内随机数．（3）统计出[0，6]内随机数的个数N 和[2，4] 内随机数的个数N 1．（4）计算频率f n (A)=NN 1． （5）经过多次试验我们可以得出概率P （A ）的近似值．【学生活动】：让学生独立完成试验步骤的设计，加深对随机试验法的理解。
练习2：（1）设计计算机随机模拟试验的步骤，求取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率的近似值？（2）设计计算机随机模拟试验的步骤，求在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率的近似值．分析：（1）在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。
因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段长都不小于1m 。
这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A 发生的概率。
（2）正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm 长的线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率．解（1）：（1）利用计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a 1=RAND （）．（2）经过伸缩变换，a=a 1*3．（3）统计出[1，2]内随机数的个数N 1和[0，3] 内随机数的个数N ．（4）计算频率f n (A)=NN 1． （5）经过多次试验我们可以得出概率P （A ）的近似值．解（2）：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数a 1=RAND （）．（2）经过伸缩变换，a=a 1*12得到[0，12]内的均匀随机数．（3）统计试验总次数N 和[6，9]内随机数个数N 1（4）记事件A={面积介于36cm 2 与81cm 2之间}={长度介于6cm 与9cm 之间}，计算频率f n (A)=NN 1． （5）经过多次试验我们可以得出概率P （A ）的近似值．【教师活动】根据学生设计的步骤教师可以在讲台上演示，以验证学生所设计的步骤。
以上例题和练习都是产生一组均匀随机数对问题进行试验，事实上我们针对不同的问题，还可以利用计算机产生两组随机数来对问题进行模拟试验。
如下例：例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少？分析：用计算机产生随机数模拟试验，我们可以利用计算机产生0～1之间的均匀随机数，利用计算机产生X 是0～1的均匀随机数，则送报人送报到家的时间为X ＋6.5，利用计算机产生Y 是0～1的均匀随机数，则父亲离家的时间为Y ＋7，如果Y ＋7＞X ＋6.5，即Y ＞X －0.5时，事件A ＝{父亲离家前能得到报纸}发生，所以试验的总次数的次数父亲在离家前能到报纸)(A P解：（1）用计算机产生两组[0，1]内均匀随机数X=RAND （），Y=RAND （）．（2）经过伸缩变换，X ＋6.5得到[6.5，7.5]内的均匀随机数和Y ＋7得到[7，8]内的均匀随机数．（3）统计试验总次数N 和符合Y ＞X －0.5的随机数对个数N 1（4）计算频率f n (A)=NN 1． （5）经过多次试验我们可以得出概率P （A ）的近似值．例3 在如图的正方形中随机撒一把豆子，用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值。
分析：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似值成正比，即落在正方形中的豆子数落在圆中的豆子数正方形的面积圆的面积≈， 假设正方形的边长为2，则4π＝正方形的面积圆的面积，由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以4⨯≈落在正方形中的豆子数落在圆中的豆子数π，这样就得到了π的近似值。
解：（1）用计算机产生两组[0，1]内均匀随机数a 1=RAND （），b 1=RAND （）．（2）经过平移和伸缩变换，a=(a 1-0.5)*2，b=(b 1-0.5)*2．（3）数出落在圆内122<+y x 的点（a ，b ）的个数N 1 ，计算NN 14=π（N 代表落在正方形中的点（a ，b ）的个数。
【学生活动】：让学生独立完成对实际问题转化为数学模型，并设计试验步骤，把设计出来的步骤付之实践，得出题目的解答。
练习3：利用随机模拟方法计算如图中阴影部分（y ＝1和y ＝x 2所围成的部分）的面积。
分析：在坐标系中画出矩形（x ＝1，x ＝－1，y ＝1和y ＝－1所围成的部分），利用模拟的方法根据落在阴影部分的“豆子”数和落在矩形的“豆子”数的比之值，等于阴影面积与矩形面积的比值。
解答：（1）用计算机产生两组[0，1]内均匀随机数a 1=RAND（），b=RAND （）．（2）经过平移和伸缩变换，a=(a 1-0.5)*2．（3）数出落在阴影内（即满足0<b<1且b －a 2>0）的样本点数N 1 ，计算N N 12S =阴影（N 代表落在矩形中的点（a ，b ）的个数）。
4、课堂小结：【教师活动】：（提问小结，分小组对以下问题进行讨论，总结。
）（1）我们这节课学了什么内容？（2）要解决这节课的问题关键是什么？（3）用计算机来模拟几何概型的问题有何优点？【学生活动】：（通过学生分小组讨论总结这节课所学的内容，加深对随机模拟试验的认识，通过小组讨论培养学生的合作精神，在知识上能取长补短。