第2章-电磁场基本方程

相互独立的。但是时变的电场和磁场之间是相互关联的。这首先 由英国法拉第在1831年的实验中发现。
法拉第电磁感应定律： ε = − dΨm dt
∫ ε = E ⋅ dl 回路所感应的电动势 l
ψ m = ∫SB ⋅ dS 回路所交链的磁通量
Michael Faraday （1791－1867）
电场强度沿任一闭合路径的线积分等于该路径所交链的磁通量时间变化率的负值
二、位移电流和全电流定律
现有方程： 静态电场： ∇ × Eq = 0
∇ ⋅ Dq = ρv
静态磁场： ∇ × Hq = J ∇ ⋅ Bq = 0
时变电场：
∇×
Ei
=
−
∂Bi ∂t
电荷守恒定律
∫SJ
⋅
ds
=
−
dQ dt
∫ ∫ ∫ 用散度定理，将上式两端用体积分表示
∇ ⋅ Jdv = − ∂
V
∂t
V
ρ v dv
4π ε0 R3
单位为V/m(伏/米)
∫ E(r ) = 1 (r − r ′) ρ(r ′)dV ′
4π ε0 V | r − r ′ |3
4
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
8. 静电场的通量、散度与高斯定理
∫ E ⋅ dS = q
S0
ε0
→
∇ ⋅ E(r ) = ρ(r ) ε0
∇ × E(r ) = 0
b) 全电流连续性原理
将(b)两端取散度并用散度定理
∫S (Jc + Jv + Jd ) ⋅ ds = 0
穿过任一封闭面的各类电流之和恒为0 Ic + Iv + Id = 0
21
§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
作业：2.1-4，2.2-1
例2.2
已知平板电容器的面积为 A0 , 相距为d，介质的介电常数 ε，极板间电
G Id D
G B
G
∂D ∂t
>
0
G Id D
G B
G
∂D ∂t
<
0
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§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
对(b)两端作面积分，并用Stokes定理将左边的面积分化为线积分，得到积分
形式的全电流定律。
v∫l H ⋅ dl
= ∫s (J
+ ∂D ) ⋅ ds ∂t
磁场强度沿任意闭合路径的线积分，等于该路径所包围曲面上的全电流。
轴对称的。应用高斯定理，取半径 ρ长1 的同轴圆柱为高斯面。
作为封闭面，还应加上前后圆盘底面，但是它们与D 相平行，因而没有通量穿
过，不必考虑。
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§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
∫ 于是
D
s
⋅
ds
=
D
⋅
ρˆ 2πρl
=
ρll
得
D = ρˆ ρl , 2πρ
E = D = ρˆ ρl ε 2περ
( ) D = Di + Dq, ∇ ⋅ Di = ρvi = 0
磁场：
∇⋅B = 0
∇×H = J
( ) (d)
B = Bi + Bq ,∇ ⋅ Bi = 0见P.44
（a）→ ∂∇ ⋅ Bi = 0 ∂t
(b 0 ) (?)
∇ ⋅ (b0 ): ∇ ⋅ (∇ × H ) = 0
= ∇ ⋅ J不符合(e)(除非 ∂ρv
•电通(量)密度 D (C / m2 )：D = εE (简单媒质）
•磁场强度 H (A m)
•磁通(量)密度 B (Wb / m2 )：B = μH (简单媒质）
( ) 体电荷密度 ρv C m3
( ) 体电流密度 J A m2 (不是 A m3!)
9
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
例2.1 如图，同轴线的内外导体半径分别为a和b。在内外
3
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
5. 电荷守恒定律与电流连续性方程
∫ ∫ ∫ J • dS = − ∂ρ dV → (∇ ⋅ J + ∂ρ )dV = 0 → ∇ ⋅ J = − ∂ρ
S
V ∂t
V
∂t
∂t
6. 库仑定律 F = qq0 R
4π ε0 R3
7. 电场强度
E=F q0
=
q R
静电场的基本性质 （1）静电场是由通量源、不是由旋涡源产生的场； （2）静电场是有散、无旋场。
5
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
9. 磁场力、磁通密度和毕奥-萨伐定律
∫ ∫ F = μ0 Idl × (I'dl' × aR )
4π l l '
R2
毕奥-萨伐定律
∫ B = μ0 I 'dl' × aR
第2章 电磁场基本方程
Fundamental Equations of Electromagnetic Fields
主要内容
• 静态电磁场的基本定律 • 法拉第电磁感应定律和全电流定律 • Maxwell方程组 • 电磁场的边界条件 • 坡印廷定律和坡印廷矢量 • 惟一性定律
1
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
=
−
V
∂ρv
∂t
dv
得电流连续性方程： ∇ ⋅ J = − ∂ρv
(e)
∂t
目标：总结出既适合静态场又适合时变场的普遍方程
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§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
电场：
∇ × E = − ∂B (a)
∂t
∇ ⋅ D = ρv (c)
(E
=
Ei
+ Eq,∇ × Eq
= 0, ∂Bq ∂t
= 0)
∂t
=
0
—
静态场)
∇ ⋅ J = − ∂ρv (e)
∂t
电流连续性方程
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§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
Maxwell提出，应保证(e)成立，即取
∇ ⋅(∇× H ) = 0 = ∇ ⋅ J＋∂ρv ∂t
( ) 利用(c) ∇⋅ D = ρv , 则
∇⋅ ∇×H
=
∇
⋅ ⎜⎜⎝⎛ J
+
∂D ∂t
U ln
b a
)2
(ln
b a
− 1)
=
0
得
lnb =1
b =e
a
a
故 a = b = 1.8 = 0.662cm e 2.718
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§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
高斯定理解题步骤：
（1）分析电场是否具有对称性。 （2）取合适的高斯面(封闭面)，即取在E相等的曲面上。 （3）E相等的面不构成闭合面时，另选法线 nˆ ⊥ E 的面，使其成为闭合面。
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§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
三、全电流连续性原理
a) 各个电流特点如下 1、传导电流：在导体中，由自由电子的定向运动形成： Jc = σE 2、运流电流：在真空和气体中，带电粒子的定向运动形成：Jv = ρvv
3、位移电流：电通密度的时间变化率
Jd
=
∂D ∂t
传导电流、运流电流和位移电流之和称为全电流： Jt = Jc + Jv + Jd＝J + Jd
定义 H = B
μ
单位为A/m
静磁场的基本性质 （1）静磁场不是由通量源，而是由旋涡源产生的； （2）静磁场是无散、有旋场。
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§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
基本定律
积分形式
微分形式
∫ (1) E ⋅ dl = 0 l
即∫s(∇ × E)⋅ds = 0 ⇒ ∇ × E = 0
静电场： ——静电场的环路定律
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§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
引起磁通变化的原因分为二类：
•
回路不变，磁场随时间变化
ε＝－dΨ
dt
=
−∫s
∂B ∂t
⋅
ds
感生电动势，如变压器
∫ ( ) • 磁场不变，回路切割磁力线有变
ε＝－dΨ = v × B ⋅ dl
dt l
动生电动势，如发电机
应用Stokes定理，如果回路是静止的，则
Fundamental Laws and Basic Vectors of Static EM Fields
1．电荷
微粒物质构成的带电体所带电量的多少称为电荷量，其值为电子电荷的
整数倍，−e = −1.602 × 10−19 C（库仑）。自然界存在两种电荷:正电荷和
负电荷。
2．体电荷密度
ρ (r ) = lim Δq = dq
——磁通连续性原理
or
∇×H = J
∇⋅B = 0 ∇⋅H =0
特点 无旋场（保守场，位场） 有散场，通量源是电荷
有旋场，旋涡源是电流 无散场（管形场）
静电场有散无旋，其通量源是静止电荷；恒定磁场有旋无散，其旋涡源是电
流。它们互不相关。
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§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
基本场矢量
•电场强度 E (V / m)
§2.3 Maxwell方程组
2.电流连续性方程： ∇ ⋅ J = − ∂ρv (e) ∂t
∫sJ
⋅
ds
=
−
dQ dt
(e′)
初始场源 ρ v 和 J 是相关的，两者只有一个是独立的。
3.只有(a)(b)是独立方程，(c)(d)可由之导出：
a< ρ <b
∫ ∫ b)
U = E ⋅ dl = b ρ l dρ = ρ l ln b
l
a 2περ
2πε a
故 E = ρˆ U
ρ
ln
b a
同轴线内最大电场强度EM发生于内导体表面处： EM
=
U
a
ln
b a
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§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
c) EM最大值发生于
dEM da
=
(a
（4）分别求出
∫ D ⋅ ds
s ，从而求得 D 及 E 。
∑ qi
S内
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§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
Faraday’s Law of Electromagnetic Induction and the Total Current Law
一、法拉第电磁感应定律
问题引入： 静电场和静磁场的场源分别是静电荷和等速运动的电荷，它们是
∫ ∫ ∫ (2) D⋅ds = Q S
即
∇⋅ Ddv=
v
vρvdv
⇒
∇ ⋅D = ρv
——高斯定理
or ∇⋅E=ρv ε
∫ (1) H ⋅dl = I l
即 ∫s(∇×H)⋅ds = ∫sJ⋅ds ⇒
恒定电流 ——安培环路定律
的磁场：
∫ (2) B ⋅ d s = 0 S
即 ∫v∇ ⋅ Bdv = 0 ⇒
因S是任意的，从而有
∇ × E = − ∂B ∂t
∫S
(∇
×
E)
⋅
ds
=
−∫S
∂B ∂t
⋅
ds
意义：随时间变化的磁场将激发电场
∂B
该感应电场是非保守场，其电力线呈闭合曲线。变化的磁场 ∂t 是产生感应电场 的涡旋源。由此，变化的磁场产生电场，那么变化的电场是否会产生磁场呢？
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§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
导体间加电压U，则内导体通过的电流为I，外导体 返回的电流为-I。 a)设内外导体上单位长度的带电量分别为 ρl和 − ρl ， 求内外导体间的 D及E ； b)用电压U来表示，则 E =？其最大值EM=？ c)若给定b=1.8cm，应如何选择a以使同轴线承受的耐 压最大？
[解] a) 介质层中的电场都沿径向 ρˆ ，垂直于内外导体表面，其大小沿圆周方向是
ΔV ′→ 0 Δ V ′ dV ′
2
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
3．电流：电荷作定向运动，形成电流，其大小用电流强度来表示。单
位为A(安培)。 I = lim Δ q = d q Δt→0 Δt d t
4．体电流密度
J = aˆ lim ΔI = aˆ dI Δs′→0 ΔS ′ dS ′
⎟⎟⎠⎞
由此得 ∇ × H = J + ∂D (b)
∂t
定义
Jd
=
∂D ∂t
位移电流密度，单位A/m2
James Clerk Maxwell （1831－1879）
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§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
位移电流的性质：
1）实质是变化电场，不产生焦耳热！
2）在激发磁场方面与I等效 3）激发的磁场B与其成右手螺旋关系：
平板电容器
源自文库22
§2.3 麦克斯韦方程组
Maxwell’s Equations
一、Maxwell方程组及电流连续性方程
∇ × E = − ∂B （a） ∂t
∇ × H = J + ∂D （b） ∂t
∇ ⋅ D = ρ v （c）
∇ ⋅ B = 0 （d）
∫l E
⋅
dl
=
−∫s
∂B ∂t
⋅
ds
(a′)
∫l H
⋅
dl
=
∫s(J
+
∂D ∂t
)
⋅
ds
(b′)
∫sD ⋅ ds = Q
(c′)
∫sB ⋅ ds = 0
(d ′)
1.四个方程的简称及物理意义
（a）法拉弟定律：时变磁场将激发电场； （b）全电流定律：电流和时变电场都将激发磁场； （c）高斯定理：穿过任一封闭面的电通量等于该面所包围的自由电荷电量； （d）磁通连续性原理：穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。
4π l ' R2
磁通密度的单位为Wb(韦伯)/m2或T(特斯拉)
考虑到 J dV ′ = I d l′
∫ B(r ) = μ0 J (r') × (r − r')dV ′
4π V | r − r' |3
6
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
10. 磁通连续性原理和磁场强度
∫ B ⋅ dS = 0 → ∇ ⋅ B(r ) = 0 S0
压为U，试推导电容器的电流与电压的关系。
[解] 忽略极板的边缘效应:
电场
E=U , d
D = ε E = ε U(t) d
位移电流密度
Jd
=
∂D ∂t
=
ε
d
( dU dt
)
位移电流
∫ Id =
S Jd
dS
=
ε A0 ( dU ) = C d dt
dU dt
=I
C = ε A0
d
二平板间位移电流等于电路的传导电流