22-2第二型曲面积分

2 2
z2
1 x y ,
2 2
数学分析电子教案


xyzdxdy
xy

2

2
xyzdxdy
2


1
xyzdxdy
2 2


D xy
1 x y dxdy 1 x y dxdy
2 2

D xy
xy ( 1 x y ) dxdy
2 xy
D xy
D xy
如果 由 x x ( y , z ) 给出 , 则有
P ( x , y , z )dydz P[ x( y , z ), y , z ]dydz
D yz
如果 由 y y ( z , x ) 给出 , 则有
Q( x , y , z )dzdx Q[ x , y( z , x ), z ]dzdx
流量

A
0 n
A v cos 0 Av n v A
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(2) 设 稳 定 流 动 的 不 可 压 缩 流 体 (假 定 密 度 为 1) 的速度场由
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z )k
该点处曲面Σ 的单位法向量
0 n i cos i i cos i j cos i k ,
通 过 si 流 向 指 定 侧 的 流 量 的 近 似 值 为
vi ni Si
( i 1, 2, , n).
n
2. 求和 通 过 Σ 流 向 指 定 侧 的 流 量 vi ni Si
(Si ) xy ,( i , i , i ) 是 Si 上任意取定的一点,如
果当各小块曲面的直径的最大值 0 时,
lim R( i , i , i )( Si ) xy 存在,
0
i 1 n
则称此极限为函数 R( x , y , z ) 在有向曲面Σ 上对 坐标 x, y 的曲面积分(也称第二类曲面积分)
i 1 n
n
Q ( x , y, z )dzdx lim Q ( i , i , i )( Si ) zx 0
i 1
数学分析电子教案 存在条件:
当 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在 有 向 光 滑 曲 面 Σ 上 连 续 时 ,对 坐 标 的 曲 面 积 分 存 在 .
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记作 R( x , y , z )dxdy ,即

R( x , y, z )dxdy lim R( i , i , i )( Si ) xy 0
i 1
n
积分曲面
被积函数
类似可定义
P ( x , y, z )dydz lim P ( i , i , i )( Si ) yz 0

D xy
2
2

x y R
2 2
R
2
x
2
y dxdy
2
R
3
综上,
3
4 3

3

( x y ) dydz ( y z ) dzdx ( z 3 x ) dxdy
3
R 4 R
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五、两类曲面积分之间的联系
设 有 向 曲 面 Σ 是 由 方 程 z z( x , y ) 给 出 ,Σ 在

Q ( x , y , z ) dzdx



R ( x , y , z ) dxdy R ( x , y , z ) dxdy

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四、计算法
设积分曲面Σ 是由 方 程 z z( x , y )所 给 出 的 曲 面 上 侧 ,Σ 在
z
z f ( x, y)
2 2 2
D xy : x y
2
2
2
R
2
2
;
2
下
R
2
x
2
y ,
D xy :
x
下
y
R
2
因此,


D xy

R
2
( z 3 x )dxdy = 上
2
x
y
2
3 x dxdy


4 3
+
R

2
=
2
x
y
2
3 x dxdy
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§2 第二型曲面积分
一、基本概念
二、概念的引入
三、概念及性质 四、计算法 五、两类曲面积分之间的联系
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一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
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曲面的分类: 1.双侧曲面;
典 型 双 侧 曲 面
2.单侧曲面.
n
前
+

后
=
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D yz

( x y ) dydz
R
2
=
y
2
z
2
y dydz

前
+

后
=
R y z y d yd z
2 2 2

D yz

2
2

y z R
2 2
R y z dydz 8 d


D zx
R z x
z dzdx

2
2

x z R
2 2
R
2
z x dzdx
2 2
4 3
R
3
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对积分 ( z 3 x )dxdy , 分别用 上 和 下 记上 半球面和下半球面的外侧, 则有

上
:
:
z
x

R x y ,
i 1
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[ P ( i , i , i ) cos i Q ( i , i , i ) cos i
i 1
n
R( i , i , i ) cos i ]Si
[ P ( i , i , i )( Si ) yz Q ( i , i , i )( Si ) xz
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右
:
y R z x ,
2 2 2
D zx : x z R ;
2 2 2
2
左
:
y R z x ,
2 2
D zx : x z
2
2
R
=
2
因此,


2

2
( y z ) dydz
2

2
右
2
+
2
左

D zx
R z x
z dzdx
2 2 2 2 0
y r cos , z r sin


R
R r
2
2
rdr
0
3 1 2 2 2 2 4 R r 2 3
rR r0

4 3
R
3
对积分

( y z ) dz dx
, 分别用 右 和 左 记右半
球面和左半球面的外侧, 则有
2

取外侧. y ) dydz , 分别用 前 和
后 记前半球面和后半球面的外侧, 则有
前
:
x
R
2
y
2
2
z ,
2
D yz : y
2
z
2
2
R
2
2
后 :
x R y z ,
2 2
D yz : y z
R .
2
因此,


( x y ) dydz
=
性质:
1.
1 2

Pdydz Qdzdx Rdxdy

1
Pdydz Qdzdx Rdxdy

2
Pdydz Qdzdx Rdxdy
2.


P ( x , y , z ) dydz P ( x , y , z ) dydz

Q ( x , y , z ) dzdx
i 1
n
取上侧 , cos 0 , 又 i z ( i , i )
( S i ) xy ( ) xy ,
lim R( i , i , i )( Si ) xy
0
i 1
n
lim R( i , i , z ( i , i ))( i ) xy
( S ) xy
其中 ( ) xy 表示投影区域的面积
.
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二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量.
(1) 流 速 场 为 常 向 量 v ,有 向 平 面 区 域 A , 求 单 位 时 间 流 过 A 的 流 体 的 质 量 ( 假 定 密 度 为 1).
v

xoy 面 上 的 投 影 区 域 为 D xy , 函 数 z z ( x , y ) 在 D xy 上 具
有一阶连续偏导数, 被 积 函 数 R( x, y, z)在 Σ 上连续.
x o
Dxy
y
(s) xy
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R( x , y, z )dxdy lim R( i , i , i )( Si ) xy 0
xoy 面 上 的 投 影 区 域 为 D xy , 函 数 z z ( x , y ) 在 D xy
上具有一阶连续偏导数, R( x, y, z) 在Σ 上连续.
0
i 1
n
即
R( x , y, z )dxdy R[ x , y, z ( x , y)]dxdy
D xy
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若 取下侧 , cos 0 , ( S i ) xy ( ) xy ,
R( x , y, z )dxdy R[ x , y, z ( x , y)]dxdy
给 出 ,Σ 是 速 度 场 中 的 一 片 有 向 曲 面 , 函 数
P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z )
都在Σ 上连续, 求在单位 时间内流向Σ 指定侧的流 体的质量 .
xBaidu Nhomakorabea

z
o
y
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1. 分割 把 曲 面 Σ 分 成n 小 块 s i ( s i 同 时 也 代 表 第 i 小 块 曲 面 的 面 积 ), vi 在 si 上 任 取 一 点 z S ni i ( i , i , i )
Dzx
注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
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例 1 计算 xyzdxdy

z

2
其中Σ 是球面
x y z 1 外侧
2 2 2
y
在 x 0, y 0 的部分.
x
1

解
把 分成 1 和 2 两部分
1 : 2 : z1 1 x y ;
( i , i , i ) ,
则该点流速为 v i . 法向量为 n i .


o
y
x
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v i v ( i , i , i ) P ( i , i , i ) i Q ( i , i , i ) j R ( i , i , i ) k ,
i 1 n
R( i , i , i )( Si ) xy
3.取极限
0 取极限得到流量的精确值.
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三、概念及性质
定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有 界,把Σ分成n 块小曲面Si ( Si 同时又表示第
i 块小曲面的面积), Si 在xoy 面上的投影为
组合形式:
P ( x , y , z )dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy

物理意义:

P ( x , y , z )dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy

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2
2 r sin cos
D xy
1 r rdrd
2
2 15
.
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例2 计算积分


( x y ) dydz ( y z ) dzdx ( z 3 x ) dxdy
2 2 2
为球面 x y z 解 对积分
R
(x
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典型单侧曲面: 莫比乌斯带
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曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: 在有向曲面Σ 上取一小块
曲 面 S, S在xoy面上的投影 (S) xy 为
当 cos 0 时 ( ) xy ( ) xy 当 cos 0 时. 当 cos 0 时 0