离散数学形考任务4各章综合练习答案

离散数学形成性考核作业4

离散数学综合练习书面作业

要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：

1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．

2. 在线提交word文档．

3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．

一、公式翻译题

1．请将语句“小王去上课，小李也去上课．”翻译成命题公式．

答：

设P :小王去上课。

Q :小李去上课。

则命题公式P ∧Q

2．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．

答：

设P:他去旅游。

Q:他有时间。

则命题公式P→Q

3．请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式．

答：

设A(x):x是人

B(x):去工作

则谓词公式∃x(A(x) ∧⌝B(x))

4．请将语句“所有人都努力学习．”翻译成谓词公式．

答：

设A(x):x是人

B(x):努力学习

则谓词公式∀x(A(x) ∧B(x))

二、计算题

1．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算

（1）(A-B)；（2）(A∩B)；（3）A×B．

解:(1)A -B ={{1},{2}}

ο ο

ο ο a b c d ο ο ο g e f h ο (2)A ∩B ={1,2}

(3)A×B={<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2}>,

<1,1>,<1,2>,<1, {1,2}>,<2,1>,<2,2>,<2, {1,2}>}

2．设A ={1，2，3，4，5}，R ={|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤4}，S ={|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，试求R ，S ，R •S ，S •R ，R -1，S -1，r (S )，s (R )．

解:

R ={<1,1>,<1,2>,<1,3><2,1><2,2><3,1>}

S =空集

R •S =空集

S •R =空集

R -1={<1,1>,<2,1><3,1><1,2><2,2><1,3>}

S -1=空集

r (S )={<1,1><2,2><3,3><4,4><5,5>}

s (R )={<1,1><1,2><1,3><2,1><2,2><3,1>}

3．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}．

(1) 写出关系R 的表示式； (2) 画出关系R 的哈斯图；

(3) 求出集合B 的最大元、最小元．

答： (1)R={<1,1><1,2><1,3><1,4><1,5><1,6><1,7><1,8>

<2,2><2,4><2,6><2,8><3,3><3,6><4,4><4,8><5,5><6,6><7,7><8,8>}

(2)R 的哈斯图为

(3)集合B 没有最大元,最小元是2

4．设G =，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试

(1) 给出G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；

(3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形．

解：(1)

(2) 邻接矩阵为

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛01100101101101101100

00100 (3) v 1结点度数为1，v 2结点度数为2，v 3结点度数为3，v 4结点度数为2，v 5结点度数为2

(4) 补图图形为

5．图G =，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试

（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵；

（3）求出G 权最小的生成树及其权值．

解：（1）G 的图形如下：

ο ο ο ο v 1 ο

v 5 v 2 v 3 v 4

（2）写出G的邻接矩阵

（3）G权最小的生成树及其权值

6．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．

权为 2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=131

7． 求P →Q ∨R 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．

答：

P →Q ∨R ⌝ P ∨Q ∨R

析取范式、合取范式、主合取范式都为⌝ P ∨Q ∨R

主析取范式为（⌝ P ∧⌝ Q ∧⌝ R ）∨（⌝ P ∧⌝ Q ∧ R ）∨（⌝ P ∧Q ∧⌝ R ）∨ （⌝ P ∧ Q ∧ R ）∨（P ∧⌝ Q ∧R ）∨（P ∧Q ∧⌝ R ）∨（ P ∧Q ∧ R ）

8．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)x P x y z Q y x z y R y z ∃→∀∧∀．

（1）试写出量词的辖域；

（2）指出该公式的自由变元和约束变元．

答：

（1） 量词 x 的辖域为

量词 z 的辖域为Q(y,x,z)

3 5 2 5

17

17

31

136