高二数学 双基限时练12
人教A版选修2-2双基限时练12.docx
双基限时练(十二)1．下列各式中，正确的是( ) A .⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a )B.⎠⎛a b F ′(x)d x ＝F ′(a)－F ′(b)C .⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F (b )－F (a ) D.⎠⎛ab F ′(x)d x ＝F(a)－F(b)答案 C2．∫π20( sin x －cos x)d x ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D .π2解析 ∫π20(sin x －cos x)d x ＝∫π20sin x d x －∫π20cos x d x ＝(－cos x)⎪⎪⎪ π20－(sin x)⎪⎪⎪ π2＝1－1＝0. 答案 A3．若∫a 1(2x ＋1x )d x ＝3＋ln 2(a>1)，则a 的值为( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．2解析 ∵⎠⎛1a (2x ＋1x )d x＝(x 2＋ln x)⎪⎪⎪ a 1＝a 2＋ln a －1， 又⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝3＋ln 2，∴a ＝2. 答案 D4.⎠⎛π－πcos x d x 等于( )A ．2πB ．πC ．0D ．1解析 ⎠⎛π－πcos x d x ＝sin x⎪⎪⎪ π－π＝sinπ－sin (－π)＝0. 答案 C5．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(0≤x<1)，2－x (1<x ≤2)，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A .34 B .45 C .56D ．不存在解析 ⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x＝13＋2－32＝56. 答案 C6．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )A .⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x答案 C7．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02 sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析 ∵a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x4⎪⎪⎪ 20＝4，⎠0∴b >a >c . 答案 b >a >c8．计算⎠⎛2－2( sin x ＋2)d x ＝________.解析 ⎠⎛2－2(sin x ＋2)d x ＝⎠⎛2－2sin x d x ＋⎠⎛2－22d x＝(－cos x ) ⎪⎪⎪ 2－2＋2x⎪⎪⎪ 2－2 ＝－cos2＋cos(－2)＋2×2－2×(－2) ＝8. 答案 89．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若0≤x 0≤1.且⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，则x 0＝________.解析 ∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋cx ⎪⎪10＝a3＋c ， 又⎠⎛1f (x )d x ＝f (x 0)，∴ax 20＋c ＝a 3＋c .∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 答案 3310．计算下列定积分：(1)⎠⎛14x －x 2x ＋x d x ；(2)⎠⎛02(2－|1－x |)d x ；(3)∫π2－π2(sin x －cos x )d x .解 (1)⎠⎛14x －x 2x ＋x d x ＝⎠⎛14(x ＋x )(x －x )x ＋x d x ＝⎠⎛14(x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪41＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×432－12×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＝163－8－23＋12＝－176.(2)∵y ＝2－|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，0≤x ≤1，3－x ，1<x ≤2.∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫3x －12x 2⎪⎪⎪21＝32＋4－52＝3. (3)∫π2－π2(sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x )⎪⎪⎪π2－π2＝－1－1＝－2.11．f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 由⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176， 得⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝(12ax 2＋bx )⎪⎪⎪10＝12a ＋b ， ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝(13ax 3＋12bx 2)⎪⎪⎪ 10＝13a ＋12b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝5，13a ＋b 2＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.12．求f (a )＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x 的最小值．解 f (a )＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝⎠⎛016x 2d x ＋⎠⎛014ax d x ＋⎠⎛01a 2d x＝2x 3 ⎪⎪⎪ 10＋2ax 2⎪⎪⎪ 10＋a 2x⎪⎪⎪ 10 ＝2＋2a ＋a 2 ＝(a ＋1)2＋1.∴当a ＝－1时，f (a )的最小值为1. 13．设F (x )＝⎠⎛0x (t 2＋2t －8)d t .(1)求F (x )的单调区间； (2)求F (x )在[1,3]上的最值．解 F (x )＝⎠⎛0x (t 2＋2t －8)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3＋t 2－8t ⎪⎪⎪x＝13x 3＋x 2－8x ，定义域是(0，＋∞)．(1)F ′(x )＝x 2＋2x －8＝(x ＋4)(x －2)， ∵当x <－4或x >2时，F ′(x )>0； 当－4<x <2时，F ′(x )<0.又∵x >0，∴函数的增区间为(2，＋∞)，减区间为(0,2)． (2)令F ′(x )＝0，得x ＝2(x ＝－4舍去)．又F (1)＝－203，F (2)＝－283，F (3)＝－6， ∴F (x )在[1,3]上的最大值为－6，最小值是－283.。
高中数学 第一章 立体几何初步双基限时练12(含解析)新人教B版必修2
双基限时练(十二)基础强化1．已知直线l⊥平面α，直线m⊂α，则( )A．l⊥m B．l可能和m平行C．l与m相交D．无法确定解析直线l⊥平面α，则l垂直于平面α内任意一条直线，∵m⊂α，故l⊥m.答案 A2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面( )A．有且只有一个B．可能有一个，也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在解析当a与b垂直时，过a且与b垂直的平面有且只有1个；当a与b不垂直时，过a且与b垂直的平面不存在．答案 B3．已知空间两个不同的直线m、n和两个不同的平面α、β，则下列命题中正确的是( )A．若m∥α，n⊂α，则m∥nB．若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n解析A选项中m与n可能异面；B选项中n与α可能平行或在α内；C选项中m与n 的位置关系不确定，故A、B、C均错误，D是线面平行的性质定理，D成立．答案 D4．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为( ) A．相交但不垂直B．垂直但不相交C．不相交也不垂直D．无法判断答案 B5.如图，PA⊥平面ABC，△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形有( )A．4个B．3个C．2个D．1个解析∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥BC，PA⊥AB.∵BC⊥AC，AC∩PA＝A，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，∴△PAC、△PAB、△ABC、△PBC均是直角三角形．答案 A6．在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB中点，且∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离为( )A.125B.95C.65D.35解析如图，过A 作AE ⊥SB 交SB 于E ， ∵SA ⊥面ABC ，∴SA ⊥BC . ∵AB ⊥BC ，SA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ，∴BC ⊥AE . ∵SB ∩BC ＝B ，∴AE ⊥平面SBC .∵D 是AB 中点，∴D 到平面SBC 的距离为12AE .在Rt △SAB 中，SA ＝4，AB ＝3， ∴AE ＝125，∴D 到平面SBC 的距离为65.答案 C能 力 提 升7．如图所示，P 、Q 、R 分别是正方体的棱AB 、BB 1、BC 的中点，则BD 1与平面PQR 的位置关系是__________．答案垂直8．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝5 cm，AC＝2 cm，则B到平面PAC的距离为________．解析连接BC.∵C为圆周上的一点，AB为直径，∴BC⊥AC.又∵PA⊥平面⊙O，BC⊂平面⊙O，∴PA⊥BC.又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，C为垂足，∴BC即为B到平面PAC的距离．在Rt△ABC中，BC＝AB2－AC2＝52－22＝21(cm)．答案21 cm9．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，又∵PQ⊥QD，∴QD⊥平面PAQ.∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2.答案 210.如图，已知矩形ABCD ，过A 作SA ⊥平面ABCD ，再过A 作AE ⊥SB 于E ，过E 作EF ⊥SC 于F .求证：SC ⊥平面AEF .证明 ∵SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥BC . 又∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC . ∴BC ⊥平面SAB .∵AE ⊂平面SAB ，∴BC ⊥AE .又∵AE ⊥SB ，∴AE ⊥平面SBC .∴AE ⊥SC . 又∵EF ⊥SC ，∴SC ⊥平面AEF .11．如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC .(1)求证：BE ∥平面PDA ；(2)若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB . 证明 (1)∵EC ∥PD ，PD ⊂平面PAD ，EC ⊄平面PDA ， ∴EC ∥平面 PDA ，同理可得BC ∥平面PDA . ∵EC ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC 且EC ∩BC ＝C ， ∴平面EBC ∥平面PDA .又∵BE ⊂平面EBC ，∴BE ∥平面PDA . (2)取BD 中点M ，连接MC ，MN ， ∵N 是PB 中点，∴MN ∥PD ，且MN ＝12PD .∵EC ∥PD 且PD ＝2EC ，∴EC ∥MN 且EC ＝MN . ∴四边形MNEC 是平行四边形， ∴NE ∥MC .∵M是BD中点，且四边形ABCD是正方形，∴CM⊥BD.∵PD⊥平面ABCD，且MC⊂平面ABCD，∴PD⊥MC.∵BD∩PD＝D，∴MC⊥平面PDB，∴NE⊥平面PDB.12．如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E 作EF⊥SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.证明(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF.∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面A EF，∴SC⊥AG.∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.品味高考13．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.答案 D。
人教B版高中数学必修二双基限时练23.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(二十三)基础强化1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)．答案 D2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1 B．1C．3 D．－3解析圆x2＋y2＋2x－4y＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，可得圆心(－1,2)．∵直线过圆心，∴将(－1,2)代入直线3x＋y＋a＝0，可得a＝1.答案 B3．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是()A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 解析 方程可化为(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆．答案 A4．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 圆心(a ，－32b )，∵圆心位于第三象限，则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，k ＝－1a >0，－b a >0.∴直线不经过第四象限．答案 D5．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22 D.3－22解析 直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322. ∴C 到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC 的最小值为12×|AB |×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝3－2.答案 A6．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为() A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0解析当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0，故选A.答案 A7．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB 的方程是________．解析直线AB与点P和圆心所确定的直线垂直，由点斜式可得．答案x＋y－4＝08．如果直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．解析直线l经过圆心(1,2)，由于直线l不经过第四象限，故直线绕点(1,2)在直线l1与l2之间转动，如图所示，∵l1的斜率为2，l2的斜率为0，故直线l的斜率的取值范围为[0,2]．答案[0,2]能力提升9．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________.解析该圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，∴F＝4.答案 410．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2,3)．(1)若点P(m，m＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)若点P为圆C上任意一点，求|PQ|的最大值和最小值．解(1)∵点P在圆C上，∴m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，整理得(m－4)2＝0，∴m＝4，∴点P(4,5)，∴|PQ|＝(－2－4)2＋(3－5)2＝210.k PQ＝5－34＋2＝26＝13.(2)圆C 的圆心C 为(2,7)，|CQ |＝(－2－2)2＋(3－7)2＝4 2.∵圆C 的半径为22，∴|PQ |的最大值为62，最小值为2 2.11．已知x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0表示一个圆．(1)求t 的取值范围；(2)若圆的直径为6，求t 的值．解 (1)∵方程表示一个圆，则有D 2＋E 2－4F ＞0，∴(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)＞0，∴23t ＞－9，即t ＞－332.(2)由条件知，圆的半径是3，∴3＝12(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2).∴23t ＋9＝36.∴t ＝932＞－332.即t ＝932.12．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝9，求过点A (1,2)的圆的弦的中点P 的轨迹．解 设动点P 的坐标为(x ，y )，根据题意可知AP ⊥OP .当AP 垂直于x 轴时，P 的坐标为(1,0)．当x ＝0时，y ＝0.当x ≠1且x ≠0时，k AP ·k OP ＝－1.∵k AP ＝y －2x －1，k OP ＝y x ，∴y －2x －1×y x＝－1， 即x 2＋y 2－x －2y ＝0(x ≠0，且x ≠1)．点(1,0)，(0,0)适合上式．综上所述，P 点的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1为圆心，以52为半径的圆． 品 味 高 考13．若点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，则圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C ′的方程为________．答案 (x －2)2＋(y －2)2＝10。
高考数学复习双基统一测试试题及参考答案
高考数学复习双基统一测试试题本试卷分第I 卷（选择题）和II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k次的概率P n （k ）=kn k k n P P C --)1(球的体积公式：334R V π=（其中R 表示球的半径） 球的表面积公式S=4πR 2（其中R 表示球的半径）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
.1．已知全集},,{},,{},,,,,{e b a B c b A e d c b a U ===集合，则（ ）∩B= （ ）A ．{e a ,}B ．},,{d c bC ．},,{e c aD ．}{c2．过点P （－2，4）作圆25)1()2(:22=-+-y x C 的切线l ，直线03:=-y ax m 与直线l 平行，则a 的值是（ ）A ．2B ．58 C ．512 D ．43．若关于x 的不等式042≥--a x x ，对任意]1,0(∈x 恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．4-≥aB ．3-≥aC ．03≤<-aD ．3-≤a4．已知向量a =（λ，－2），b =（－3，5），且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A ．),56()56,310(+∞⋃- B ．)310(∞+-C ．)310,(--∞D ．]310,(--∞5．如图，都不是正四面体的表面展开图的是（ ）A ．①⑥B ．④⑤C ．②③D ．④⑥6．已知a >b >c >0，t 是方程02=++c bx ax 的实根，则t 的取值范围是（ ）A ．（－∞，－1）B ．（－1，0）C ．（0，1）D ．（1，+∞）7．正方体的八个顶点中，有四个顶点恰好是正四面体的顶点，则这个正方体的表面积与正四面体的表面积之比是 （ ）A ．2:3B ．1:2C ．1:3D ．3:2 8．要得到函数)42cos(π-=xy 的图象，只需将y=sin2x的图象（ ）A ．向左平移2π B ．向右平移2π C ．向左平移4πD ．向右平移4π 9．已知点P 在曲线323+-=x x y 上移动，若经过点P 的曲线的切线的倾斜角为α，则a 的取值范围是（ ）A ．),43[)2,0[πππ⋃ B ．),65[)2,0[πππ⋃C ．),43[ππD ．]43,0[π10．数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+…+2n －1），…的前n 项和等于 （ ）A ．2nB ．2n －nC ．2n+1 －n －2D ．n·2n11．（理科答）甲、乙两名篮球队员轮流投篮至某人投中为止。
高一高二数学同步单元双基双测“AB”卷选修12测试卷01
班级姓名学号分数《选修1-2测试卷一》（B卷）（测试时刻：120分钟满分：150分）第I卷（选择题共60分）一，选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.）1.【改编】在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( )．A．预报变量在x轴上，解释变量在y轴上 B．解释变量在x轴上，预报变量在y轴上C．能够选择两个变量中任意一个在x轴上 D．能够选择两个变量中任意一个在y轴上【解析】y＝bx＋a＋e线性回归模型中，a和b为模型的未知参数，e称为随机误差，x称为解释变量，y称为预报变量，选B．2．若事件A与B彼此独立，则下列不必然彼此独立的事件为( ).A．B与B与B C．A与B与B【答案】A.考点：彼此独立的概念.3．【2014高考上海卷文第16题】已知互异的复数,a b 知足0ab ≠，集合{,}a b ={2a ,2b },则a b += （ ）.（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1- 【答案】D【解析】由题意22a ab b⎧=⎪⎨=⎪⎩或22a b b a⎧=⎪⎨=⎪⎩，因为a b ≠，0ab ≠，13221322a i b i⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩13221322b ia i ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩或，因此1a b +=-．选D.【考点】集合的相等，解复数方程．4．【2014高考湖北卷文第6题】按照如下样本数据：x3 4 56 78y5.0-0.2-0.3-取得的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ）. A.0a > ,0<b B.0a > ,0>b C.0a < ,0<b D.0a < ,0>b 【答案】A考点：按照已知样本数判断线性回归方程中的b 与a 的符号，容易题.5．在“由于任何数的平方都是非负数，所以(2i)2≥0”这一推理中，产生错误的原因是( ).A ．推理的形式不符合三段论要求B ．大前提错误C ．小前提错误D ．推理的结果错误 【答案】B. 【解析】试题分析：大前提“由于任何数的平方都是非负数”是错误的，如i 2＝－1＜0. 考点：三段论.6．（改编）图(1)是个某县参加2014年高考的学生身高的条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10(如A 2表示身高(单位：cm)在下面的(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图．(1)数一数，每一个平面图各有多少个极点？多少条边？它们别离围成了多少个区域？请将结果填入下表(按填好的例子做)．顶点数边数区域数(a) 4 6 3(b)(c)(d)(2)观察上表，推断一个平面图的极点数、边数、区域数之间有什么关系？(3)现已知某个平面图有2014个极点，且围成了2014个区域，试按照以上关系肯定那个平面图的边数．【答案】(1)顶点数边数区域数(a) 4 6 3(b) 8 12 5(c) 6 9 4(d) 10 15 6；（2）极点数＋区域数－边数＝1；(3)4027由此，咱们能够推断：任何平面图的极点数、边数及区域数之间，都有下述关系：极点数＋区域数－边数＝1.(3)由(2)中所得出的关系，可知所求平面图的边数为：边数＝极点数＋区域数－1＝2014＋2014－1＝4027.考点：归纳推理.。
人教版高中数学全套试题双基限时练1
双基限时练(一)1．下列命题中正确的是()A．终边在x轴负半轴上的角是零角B．第二象限角一定是钝角C．第四象限角一定是负角D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α与β终边相同解析易知A、B、C均错，D正确．答案 D2．若α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是()A．第一象限B．第一、二象限C．第一、三象限D．第一、四象限解析取特殊值验证．当k＝0时，知终边在第一象限；当k＝1，α＝30°时，知终边在第三象限．答案 C3．下列各角中，与角330°的终边相同的是()A．150°B．－390°C．510°D．－150°解析330°＝360°－30°，而－390°＝－360°－30°，∴330°与－390°终边相同．答案 B4．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析方法一由270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z得：－90°－k·360°>180°－α>－180°－k·360°，终边在(－180°，－90°)之间，即180°－α角的终边在第三象限，故选C.方法二数形结合，先画出α角的终边，由对称得－α角的终边，再把－α角的终边关于原点对称得180°－α角的终边，如图知180°－α角的终边在第三象限，故选C.答案 C5．把－1125°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是() A．－3×360°＋45°B．－3×360°－315°C．－9×180°－45°D．－4×360°＋315°解析－1125°＝－4×360°＋315°.答案 D6．设集合A＝{x|x＝k·180°＋(－1)k·90°，k∈Z}，B＝{x|x＝k·360°＋90°，k∈Z}，则集合A，B的关系是()A．A B B．A BC．A＝B D．A∩B＝∅解析集合A表示终边在y轴非负半轴上的角，集合B也表示终边在y 轴非负半轴上的角．∴A ＝B .答案 C 7.如图，射线OA 绕顶点O 逆时针旋转45°到OB 位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC 位置，则∠AOC 的度数为________．解析 解法一 根据角的定义，只看终边相对于始边的位置，顺时针方向，大小为75°，故∠AOC ＝－75°.解法二 由角的定义知，∠AOB ＝45°，∠BOC ＝－120°，所以∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝45°－120°＝－75°.答案 －75°8．在(－720°，720°)内与100°终边相同的角的集合是________． 解析 与100°终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋100°，k ∈Z }令k ＝－2，－1,0,1，得α＝－620°，－260°，100°，460°.答案 {－620°，－260°，100°，460°}9．若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．解析 ∵2小时40分＝223小时，∴－360°×223＝－960°.答案 －960°10．若2α与20°角的终边相同，则所有这样的角α的集合是__________．解析 2α＝k ·360°＋20°，所以α＝k ·180°＋10°，k ∈Z . 答案 {α|k ·180°＋10°，k ∈Z }11．角α满足180°<α<360°，角5α与α的始边相同，且又有相同的终边，求角α.解 由题意得5α＝k ·360°＋α(k ∈Z )，∴α＝k ·90°(k ∈Z )．∵180°<α<360°，∴180°<k ·90°<360°.∴2<k <4，又k ∈Z ，∴k ＝3.∴α＝3×90°＝270°. 12.如图所示，角α的终边在图中阴影部分，试指出角α的范围． 解 ∵与30°角的终边所在直线相同的角的集合为： {β|β＝30°＋k ·180°，k ∈Z }．与180°－65°＝115°角的终边所在直线相同的角的集合为：{β|β＝115°＋k ·180°，k ∈Z }．因此，图中阴影部分的角α的范围为：{α|30°＋k·180°≤α<115°＋k·180°，k∈Z}．13．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不同的角？(2)写出区间(－180°，180°)内的角？(3)写出第二象限的角的一般表示法．解(1)在α＝k·90°＋45°中，令k＝0,1,2,3知，α＝45°，135°，225°，315°.∴在给定的角的集合中，终边不同的角共有4种．(2)由－180°<k·90°＋45°<180°，得－52<k<32.又k∈Z，故k＝－2，－1,0,1.∴在区间(－180°，180°)内的角有－135°，－45°，45°，135°.(3)其中第二象限的角可表示为k·360°＋135°，k∈Z.。
人教新课标版数学高二-数学(A)选修1-2双基练 综合测试1
本册综合测试(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数21－i等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析 21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i.答案 A2．下列推理正确的是( )A ．如果不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你一定中奖B ．因为a >b ，a >c ，所以a －b >a －cC ．若a >0，b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a >0，b <0，则a b ＋ba ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＋－b a ≤ －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－2 答案 D3．a ＝0是复数a ＋b i(a 、b ∈R )为纯虚数的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B^ 4．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为y ＝60＋90x，下列判断正确的是()A．劳动生产率为1000元时，工资为50元B．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元C．劳动生产率提高1000元时，工资提高90元D．劳动生产率为1000元时，工资为90元答案 C5．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是()A．①—综合法，②—分析法B．①—分析法，②—综合法C．①—综合法，②—反证法D．①—分析法，②—反证法答案 A6．学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是()答案 A7．已知复数z ＝－3＋2i(i 为虚数单位)是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为实数)的一个根，则p ＋q 的值为( )A ．22B ．36C ．38D ．42解析 把x ＝－3＋2i 代入方程2x 2＋px ＋q ＝0，得2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0，整理得(10－3p ＋q )＋(2p －24)i ＝0.∵p ，q ∈R ，∴⎩⎨⎧10－3p ＋q ＝0，2p －24＝0，解得⎩⎨⎧p ＝12，q ＝26.∴p ＋q ＝38. 答案 C8．阅读下面的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写()A．i<3B．i<4C．i<5D．i<6解析i＝1，s＝2；s＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；s＝1－3＝－2，i＝3＋2＝5；s＝－2－5＝－7，i＝5＋2＝7.因输出s的值为－7，循环终止，故判断框内应填“i<6”．答案 D9．在流程图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的连接用() A．连接点B．判断框C．流程线D．处理框答案 C10．“金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是()A．完全归纳推理B．归纳推理C．类比推理 D．演绎推理答案 B11．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2·a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4猜想a n等于()A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.2 2n－1解析∵a1＝1，S n＝n2·a n，∴a1＋a2＝22·a2，⇒a2＝13；由a1＋a2＋a3＝32·a3，得a3＝16；由a1＋a2＋a3＋a4＝42·a4，得a4＝110…，猜想a n＝2n(n＋1).答案 B12．满足条件|z－i|＝|3－4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是()A．一条直线 B．两条直线C．圆 D．椭圆解析|z－i|＝|3－4i|＝5，∴复数z对应点到定点(0,1)的距离等于5，故轨迹是个圆．答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)之间满足y i＝a ＋bx i＋e i(i＝1,2，…，n)，若e i恒为0，则R2等于________．解析由于e i恒为0，即解释变量与预报变量成函数关系，此时两变量间的相关指数R2＝1.答案 114．某地联通公司推出10011电话服务，其中话费查询业务流程如下：如果某人用手机查询该机卡上余额，该如何操作？__________.答案该人用手机拨通10011电话，按1号键，再按2号键，便可查询该手机卡上的余额15．若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，(a ，b ∈N )，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋f (8)f (7)＋f (10)f (9)＝________. 解析 由f (a ＋b )＝f (a )·f (b )可知，对∀n ∈N 有f (n ＋1)＝f (n )f (1)＝f (n )·2，∴f (n ＋1)f (n )＝2，∴f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋f (8)f (7)＋f (10)f (9)＝10. 答案 1016．观察下列不等式： 1＋122<32. 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …照此规律，第五个不等式为________．解析 观察各不等式的特点，易写出第四个不等式为1＋122＋132＋142＋152<95，第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<116三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知：x ∈R ，a ＝x 2－1，b ＝2x ＋2. 求证：a ，b 中至少有一个不小于0. 证明 假设a ，b 都小于0， 即a <0，b <0，则a ＋b <0.又a ＋b ＝x 2－1＋2x ＋2＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥0， 这与假设所得a ＋b <0矛盾，故假设不成立． ∴a ，b 中至少有一个不小于0.18．(12分)某大型企业人力资源部为研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：解 由K 2公式得K 2＝189×(54×63－40×32)294×95×86×103≈10.759因为10.759>7.879所以有99.5%的把握说：员工“工作积极”与“积极支持企业改革”是有关的，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作的积极性是有关的．19．(12分)用综合法或分析法证明： (1)如果a >0，b >0，那么lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2； (2)设x >0，y >0，求证：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.证明 (1)综合法：∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab ， ∴lg a ＋b2≥lg ab ，又lg ab ＝12lg ab ＝lg a ＋lg b 2， ∴lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2. 分析法：∵a >0，b >0，∴a ＋b >0，要证lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2， 只需证2lg a ＋b2≥lg ab ， 即证lg(a ＋b2)2≥lg ab ， 只需证(a ＋b2)2≥ab ， 即证(a ＋b )2≥4ab ， 即证(a －b )2≥0.而(a－b)2≥0恒成立．故原不等式成立．(2)∵x>0，y>0，∴要证明(x2＋y2)13＋y3)13，2>(x只需证明(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即证x2y2(3x2－2xy＋3y2)>0，只需证3x2－2xy＋3y2>0.∵3x2－2xy＋3y2＝3(x－y2＋83y2>0成立，3)∴原式成立．20．(12分)高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩有误，可以在规定的时间申请查分．(1)本人填写《查分登记表》交县(区)招办申请查分，县(区)呈交市招办，再报省招办；(2)省招办复查，无误，则查分工作结束后通知；有误，则再具体认定，并改正，也在查分工作结束后通知；(3)市招办接通知，再由县(区)招办通知考生．试画出该事件的流程图．解流程图如下：21．(12分)先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题： 已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1. 求证：a 21＋a 22≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2，则f (x )＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22 ＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22.因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0， 所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0.从而得a 21＋a 22≥12.(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，试写出上述结论的推广式；(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明． 解 (1) 若a 1，a 2，…，a n ∈R ， a 1＋a 2＋…＋a n ＝1.求证：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n .(2) 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n .因为对∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0，从而得：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2n＝1n . 22．(12分)某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)(2)求回归直线方程；(3)试预测广告支出为10百万元时，销售额多大？(注：b ＝∑i ＝1n x i y i －n x －y－∑i ＝1n x 2i －n x－2，a ＝y －－b x －)．解 (1) 根据表中所列数据可得散点图如下：(2) 列出下表，并用科学计算器进行有关计算i 1 2 3 4 5 x i 2 4 5 6 8 y i3040605070x i y i 60 160 300 300 560因此，x ＝255＝5，y ＝2505＝50∑i ＝15x 2i ＝145，∑i ＝15y 2i ＝13500，∑i ＝15x i y i ＝1380，于是可得b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5；a ＝y －b x ＝50－6.5×5＝17.5.因此，所求回归直线方程为y ^＝6.5x ＋17.5.(3) 据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，y ^＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)即这种产品的销售收入大约为82.5百万元．。
人教B版高中数学必修二双基限时练20.docx
双基限时练(二十)基 础 强 化1．经过点(3，a )，(－2,0)的直线与直线x －2y ＋3＝0垂直，则a 的值为( )A.52 B.25 C. 10 D ．－10解析a －03－(－2)＝－2，∴a ＝－10.答案 D2．已知A (2,4)与B (3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y －6＝0D ．x －y ＋1＝0解析 k AB ＝4－32－3＝－1，AB 中点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72，∴直线l 的斜率为1，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72，∴y －72＝x －52，即x －y ＋1＝0.答案 D3．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 的值为( )A ．24B ．20C ．0D ．－4解析 2m －20＝0，∴m ＝10. ∴10＋4p －2＝0，∴p ＝－2.∴2＋10＋n ＝0，∴n ＝－12. ∴m －n ＋p ＝20. 答案 B4．△ABC 的顶点是A (3,6)，B (2,3)，C (－2,4)，则AB 边上的高线所在直线方程为( )A ．x ＋3y －10＝0B ．x ＋3y ＋10＝0C ．3x ＋y ＋2＝0D ．3x －y ＋2＝0解析 k AB ＝6－33－2＝3，∴k 高＝－13.∴高线所在直线：y －4＝－13(x ＋2)，即x ＋3y －10＝0.答案 A5．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(－2，－3)B ．(2,1)C ．(2,3)D ．(－2，－1)解析 k MN ＝2，∴l MN ：y ＝2x －1.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2x －1， ∴x ＝2，y ＝3，∴N (2,3)．答案 C6．入射光线在直线l 1：2x －y －3＝0上，经过x 轴反射后所在直线为l 2，再经过y 轴反射后所在直线为l 3，则直线l 3的方程为( )A ．x －2y ＋3＝0B ．2x －y ＋3＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．2x －y ＋6＝0解析 根据光的反射原理，l 1与l 2关于x 轴对称，l 2与l 3关于y 轴对称，∴直线l 1与l 3关于原点对称．∵l 1：2x －y －3＝0，∴l 3：2x －y ＋3＝0. 答案 B7．过点(1,3)且与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线方程为_________________________________________________________．解析 直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，故所求直线的斜率为2，∴y －3＝2(x －1)， 即2x －y ＋1＝0. 答案 2x －y ＋1＝08．若直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直，则m ＝________.解析 由(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，得 (m ＋2)·(4m －2)＝0，∴m ＝－2或12.答案 －2或12能 力 提 升9．M (－1,0)关于直线x ＋2y －1＝0的对称点M ′的坐标为________．解析 设M ′的坐标为(x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 0－12＋y 02×2－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－15，y 0＝85.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，85.答案 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，8510．求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．解 方法一 先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1与l 2的交点(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.方法二 ∵l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1与l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1，故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.方法三 ∵l 过l 1与l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0.其斜率为－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.11．已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标．解 设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k DA ＝yx －1.∵AB ⊥CD ，AD ∥BC ，∴k AB ·k CD ＝－1，k DA ＝k BC .∴⎩⎪⎨⎪⎧1×y －4x＝－1，y x －1＝－23.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6，即D (10，－6)．12．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求： (1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程； (3)直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．解 (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)， 则线段PP ′的中点M 在直线l 上，且PP ′⊥l .∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋1x 0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 0－22＋2×y 0－12－2＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝25，y 0＝195，即P ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195.(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P 1(x ，y )关于l 的对称点P 1′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x ＋x ′2＋2×y ＋y ′2－2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －4y ＋45，y ′＝－4x －3y ＋85.把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理，得7x －y －14＝0，即直线l 2的方程为7x －y －14＝0.(3)设直线l 关于点A (1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P 2′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝2－y .将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得，x ＋2y －4＝0， 即直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.品 味 高 考13.如图，△ABC 的顶点B (3,4)，AB 边上的高CE 所在直线方程为2x ＋3y －16＝0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x －3y ＋1＝0，求边AC 的长．解 设点A ，C 的坐标分别为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． ∵AB ⊥CE ，k CE ＝－23，∴k AB ＝－1k EC ＝32.∴直线AB 的方程为3x －2y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－2y 1－1＝0，2x 1－3y 1＋1＝0，得A (1,1)．∵D 是BC 的中点，∴D ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋32，y 2＋42. 而点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋3y 2－16＝0，2·x 2＋32－3·y 2＋42＋1＝0.∴C(5,2)．|AC|＝(5－1)2＋(2－1)2＝17.。
北师大版高中数学必修二双基限时练12
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）双基限时练(十二)一、选择题1．下列说法中错误的是()A．如果α⊥β，那么α内的所有直线都垂直βB．如果一条直线垂直于一个平面，那么此直线必垂直于这个平面内的所有直线C．如果一个平面通过另一个平面的垂线，那么两个平面互相垂直D．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在垂直于β的直线解析根据两平面垂直的性质定理，可知A不对，故选A.答案A2．若l，m，n是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是()A．若α∥β，lα，nβ，则l∥nB．若α⊥β，lα，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析由l⊥α，l∥β，知在β内一定能找到一条直线l′使得l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，故α⊥β，故D正确．答案D3.在空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是()A．平面ABD⊥平面BDCB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BED解析∵AB＝BC，E为AC的中点，∴AC⊥BE，同理AC⊥ED，又BE∩ED＝E，∴AC⊥面BED，又AC面ABC，∴面ABC⊥面BED.答案D4．在正三棱锥P－ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，有下列三个论断：①面APC⊥面PBD；②AC∥面PDE；③AB⊥面PDC，其中正确论断的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析①不正确，②③正确．答案C5．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B—PA—C的平面角是()A．90°B．60°C．45°D．30°解析∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC.∴∠BAC为二面角B—PA—C的平面角，又∠BAC＝90°，故答案为A.答案A6．在△ABC所在平面α外一点P满足PA＝PB＝PC，则点P在α内的射影是△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心解析设O为点P在平面α内的射影，∴PO⊥AO，PO⊥OC，PO⊥OB.又PA＝PB＝PC，∴OB＝OC＝OA，∴O为△ABC的外心．答案C二、填空题7．如图，四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，则平面PBD 与面PAC的关系是________．解析∵PA⊥面ABCD，BD面ABCD，∴BD⊥AP.又ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又AC∩AP＝A，∴BD⊥面PAC，而BD面PBD，∴面PBD⊥面PAC.答案面PBD⊥面PAC8．设直线l和平面α，β且lα，lβ，给出下列三个论断：①l⊥α；②α⊥β；③l∥β，从中任取两个作为条件，其余一个作为结论，在构成的各命题中，写出你认为正确的一个命题________．答案①③⇒②9．AB是圆O的直径，C是圆上异于A，B的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中共有________个直角三角形．解析∵PA⊥面ABC，∴△PAB，△PAC均为直角三角形，又AB为直径，∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形，且BC⊥面PAC，∴△PBC为直角三角形．答案 4三、解答题10．如图四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥面ABCD，E 在棱PB上，求证：面AEC⊥面PBD.证明∵PD⊥面ABCD，AC面ABCD，∴AC⊥PD.又ABCD为正方形，∴AC⊥BD.又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD.又AC面AEC，∴面AEC⊥面PBD.11．如图，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥DB，点F在DC上，求证：平面DBC⊥平面AEF.证明∵DA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴DA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.∵DA∩AB＝A，∴BC⊥平面DAB.∵AE平面DAB，∴BC⊥AE.又∵AE⊥DB，DB∩BC＝B，∴AE⊥平面DBC.又∵AE平面AEF，∴平面DBC⊥平面AEF.12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC，D是AC的中点．(1)求证：B1C∥面A1BD；(2)求证：面A1BD⊥面ACC1A1.证明(1)设AB1与A1B相交于点E，连接DE，则E为AB1的中点．在△AB1C中，D为AC的中点，E为AB1的中点，∴DE∥B1C.又∵DE平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥面A1BD.(2)在△ABC中，AB＝BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC.∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD.又∵AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1.又BD 平面A 1BD ，∴面A 1BD ⊥面ACC 1A 1.思 维 探 究13．如图所示，已知在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD ＝λ(0<λ<1)．求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC.证明 ∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD. ∵CD ⊥BC 且AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC.又∵AE AC ＝AFAD ＝λ(0<λ<1)，∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ， ∴EF ⊥平面ABC.又EF 平面BEF ， ∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC.。
2023大连市12月高三双基测试-数学答案
1 / 172023年大连市高三双基测试参考答案与评分标准数学说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．第Ⅰ卷一.单项选择题1.（C ）；2.（A ）；3. （B ）；4. （C ）；5. （B ）；6.（C ）；7．（A ）；8．（D ） 部分试题解答： 5. 答案：A解析：由题意可知当1x =时，6(1)64a +=，解得1a =，二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()66212661C C rr r rr r r T x x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭⋅， 令630r -=，解得2r =，所以展开式中的常数项为26315T C ==.故选A.2 / 176. 答案C整理，得2tan 4tan 30αα-+=，解得tan 3α=或tan 1α=．所以tan 3α=.故选C ．7．解：44ln ln ln 4ln 232,,4232eea b c e e=====构造函数2ln 1ln (),'()0,x xf x f x x e x x -====，故()f x 在(0,)e +单调递增，在(,)e +∞单调递减，max1()f f e e ==，而428,232e e <<，故4()(2)32ef f <，故选A.8.解：因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=-，()()()()46222510f f f +++=-⨯=-.因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =，因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以3 / 17()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑K K .二.多项选择题9.（A ）（B ）（C ）;10.（A ）（C ）；11.（B ）（C ）（D ）；12.（A ）（C ）（D ） 10．解：对于A ，()()2410.770.23P P ξξ≤-=≥=-=，故A 正确； 对于B ，()122010339D X =⨯⨯=，所以()220313209D X -=⨯=，故B 不正确； 对于C ，回归直线方程经过点(),x y ，将4x =，50y =代入求得9.8b =，故C 正确；对于D ，设丢失的数据为x ，则这组数据的平均数为317x+，众数为3，当3x ≤时，中位数为3，此时36731x ++=，解得10x =-；当35x <<时，中位数为x ，此时23137x x+=+，解得4x =；当5x ≥时，中位数为5，此时113073x+=+，解得18x =.所以所有可能x 的值和为1041812-++=11. 答案BCD解：∵CC 1与AF 不垂直，而DD 1∥CC 1，∴AF 与DD 1不垂直，故（A ）错误；取B 1C 1的中点N ，连接A 1N ，GN ，可得平面A 1GN ∥平面AEF ，则直线A 1G ∥平面AEF ，故（B ）正确；把截面AEF 补形为四边形AEFD 1，由四边形AEFD 1为等腰梯形，可得平面AEF 截正方体所得的截面面积S ＝98，故（C ）正确；显然点A 1与点D 到平面AEFD 1的距离相等，故（D ）正确．故选BCD12.【答案】ACD对于A ，由题可知，设直线CD 的方程为：1=+x my ，4 / 17联立241⎧=⎨=+⎩y x x my ，消x 得：2440--=y my ，设1122(,),(,)C x y D x y ，则124=-y y ，则221212144=⋅=y y x x 所以1212143OC OD x x y y ⋅=+=-=-，故A 正确； 对于B ，又因为2124(1)=-===+CD y y m同理：214(1)=+AB m， 222211114(1)4(1)8(2)32(1)22当且仅当时取等==⋅+⋅+=++≥=ACBD S AB CD m m m m m故B 错误；对于C ，22211114(1)4(1)4+=+=++m AB CD m m ，故C 正确； 对于D ，设直线AB 的方程为：1=+x ky ，联立241⎧=⎨=+⎩y x x my ，消x 得：2440--=y my ，设3344(,),(,)A x y B x y ，则344=-y y ，又34,,==AF BF5 / 17所以2234(1)4(1)16=+=+=AF BF k y y k，解得：23,==k k所以直线CD的斜率为D 正确. 故选：ACD ．第Ⅱ卷三.填空题13.—1; 14. 2; 15.12；9π 14.解：设切点0001,ln x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，其中00x >，()211f x x x '=+，()020011f x x x '=+， 所以过点0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线方程为()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即020001121ln y x x x x x ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭，因为切线为3y ax =-故20011a x x =+， 00231ln x x -=--+，01,2x a ∴== 15. 解：设),,(00y x P 由G 为21PF F ∆的重心得：G 的坐标为),3,3(00y x G 再由且GM ∥12F F ，所以M 点的纵坐标为3y ，在21PF F ∆中，c F F a PF PF 2,22121==+，所以21PF F ∆的面积为02121y F F S =，又因为M 为21PF F ∆的内心，所以M 点的纵坐标即为内切圆的半径，所以6 / 173)(2102211y PF F F PF S ⨯++=，所以021*******321y F F y PF F F PF =⨯++）（，即0022132221y c y c a =⨯+）（，所以c a 2=，所以椭圆C 的离心率21=e . 16.解：因为23ADC π∠=且四边形ABCD 为菱形， 所以CBD △，A BD '△均为等边三角形，取CBD △，A BD '△的重心为,M N ，过,M N作平面CBD 、平面A BD '的垂线，且垂线交于一点O ， 此时O 即为三棱锥A BCD '-的外接球球心，如下图所示：记AC BD O '=，连接,CO OO '，因为二面角A BD C '--的大小为23π， 且A O BD ''⊥，CO BD '⊥，所以二面角A BD C '--的平面角为23A O C π''∠=， 因为O M O N ''=，所以cos cos MO O NO O ''∠=∠，所以3MO O NO O π''∠=∠=，又因为6BC =，所以6sin3CO A O π'''===，所以MO NO ''==所以tan33OM O M π'==，又23CM CO '==，所以OC ==三棱锥A BCD '-．当截面面积取最小值时，此时OE'⊥截面，又因为截面是个圆，设圆的半径为r，外接球的半径为R，又因为13NE A O'''==3ON OM==，所以OE'==所以3r==，所以此时截面面积为9Sπ=．四.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)解：（I）选择①：设等差数列{}n a的公差为d，则0d>，由题意可得2428S S S=，即()()()2462828d d d+=++，2d=，因此()1121na a n d n=+-=-.选择②：设等差数列{}n a的公差为d，则0d>，由251072a a a-=得2(14)(19)(16)2d d d++-+=，解得2d=，因此()1121na a n d n=+-=-. ………………………………… 5分（II）由（I）可得()()111111212122121nn nba a n n n n+⎛⎫===-⎪-+-+⎝⎭，所以11111111112335212122121nnTn n n n⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭.…………………… 10分18.(本小题满分12分)解：（I）由()(sin sin)()sinb c B C a c A+-=-，根据正弦定理可得()()()b c b c a c a+-=-，………………………………………………… 2分即222b ac ac=+-，222ac a c b=+-由余弦定理2222cosb ac ac B=+-，得2221cos22a c bBac+-==，…………………………………………………………………… 4分7 / 178 / 17由于0B π<<，所以3B π=.………………………………………………………………… 6分（II ）因为ABC ∆，所以1sin 2ac B ==，即4ac =，………………………………………………… 8分 因为2224b a c ac =+-=，所以228a c +=，………………………………………………10分所以4a c +==，所以ABC ∆周长为6. ………………………………… 12分 19.（本小题满分12分）解：（I ）因为//DE AF ，又因为DE ⊄平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以//DE 平面ABF ． …………………………………………………… 2分因为底面ABCD 是正方形，所以//CD AB ， 又因为CD ⊄平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，所以//CD 平面ABF ． ……………………………………………………4分 因为CD ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，CDDE D =，所以平面CDE ∥平面ABF ．因为CE ⊂平面CDE ，所以CE ∥平面ABF ． …………………………………………………………6分 （II ）以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AF 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系．由4AB AD AF ===得，(000)A ，，，(400)B ，，，(440)C ，，，(002)F ，，，(040)D ，，，(04)E m ，，．设平面BCF 的法向量为1111()x y z =，，n ，由已知得，(402)FB =-，，，(442)FC =，，-， 由1100.FB FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 得111114204420.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，不妨取11x =，则1102y z ==，，从而平面BCF 的一个法向量为1(102)=，，n ．………………………………………………… 8分9 / 17设平面ECF 的法向量为2222()x y z =，，n ，又(40)CE m =-，，，由2200CE FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 得22222404420.x mz x y z -+=⎧⎨+-=⎩，不妨取24z =，则222x m y m ==-，， 所以平面ECF 的一个法向量为2(24)m m =-，，n ． ………………………………………………… 10分所以12|cos ||cos ,|10α=<>=n n ． 化简得2417130m m -+=，解得1m =或134m =, 因为DE AF <，所以1DE =. ………………………………………………… 12分20.（本小题满分12分）解：（I ）X 的可能值为1和1k +，()1k P X p ==，()11kP X k p =+=-， 所以随机变量X 的分布列为：所以11(1)1EX p k p k kp =⨯++⨯-=+-.……………………………………………3分z yx A BDEF10 / 17（II ）①设方案二总费用的数学期望为E Y （），方案一总费用的数学期望为Z ，则1620Y X =+，所以方案二总费用的数学期望为：()()162016(1)20kE Y E X k kp =+=+-+，又5k =，所以()516(620)5E Y p =-+589116p =-+，又方案一的总费用的数学期望为80Z =，所以()5916(5)4Z E Y p -=-，当p >59120p <<，59110544p <-<， 所以()Z E Y >，所以该单位选择方案二合理. …………………………………………………7分②由①知方案二总费用的数学期望()()162016()120kE Y E X k kp =+=+-+，当p =时，() 16120k E Y k k k =+-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦79164k k ke -⎛⎫ ⎪⎝=+⎭-，又方案一的总费用为16Z k =，令()E Y Z <得：7916164k k ke k -⎛⎫ ⎪⎭<⎝+-，所以794kke->，即79ln ln 4k ke -⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以9ln ln 074k k -->，………9分设()[)9ln ln ,2,74x f x x x =--∈+∞，所以()[)117,2,77xf x x x x-'=-=∈+∞， 令()0f x '>得27x ≤<，()0f x '<得7x >，11 / 17所以()f x 在区间[)2,7上单调递增，在区间()7,+∞上单调递减，……………………………10分 ()()()max 7ln 712ln 3ln 20.10f x f ==---=>，()()88883ln 22ln 3ln 25ln 22ln 3 1.30777f =---=--=->， ()()99992ln 32ln 3ln 22ln 2701.477f =---=-=->，()()1010ln102ln 3ln 2 1.507710f =---=->， ()()111111ln112ln 3ln 2 1.6077f =---=->， ()()12121212ln122ln 3ln 24ln 2ln 3 1.70777f =---=--=-<， 所以k 的最大值为11. ………………………………………………………………12分 21.（本小题满分12分）（1）由题可知2=a ，解得2=a 所以双曲线Q 的标准方程为2214-=x y . ………………………………………………………2分 （II ）方法一：由题可知,直线AB 、AC 斜率存在且不为0. 因为AB AC ⊥ 所以1⋅=-AB AC k k ，即1211211-⋅=--y y y x x x .12 / 17又点,A C 在双曲线Q 右支上221122221414⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩x y x y ，作差得：211221124()-+=-+y y x x x x y y ，则212112121114()4+-===-+-BC y y x x yk x x y y x ， ……………………………………………………4分又1111131224--==--BD y y y k x x 所以=BC BD k k .又BC 、BD 有公共点，所以、、B C D 三点共线. …………………………………………6分 方法二：由题可知,直线AB 、AC 斜率存在且不为0. 因为AB AC ⊥ 所以1⋅=-AB AC k k ，即1211211-⋅=--y y y x x x .① 又因为2221212122212121BC ACy y y y y y k k x x x x x x +--⋅==+--，又因为222212121,1,44x x y y -=-= 所以22212221111444BC ACx x k k x x --+⋅=-.② 由①②得4AB BCk k =-，所以1114BC yk x =-，……………………………………………………4分13 / 171111131224--==--BD y y y k x x ,所以=BC BDk k .又BC 、BD 有公共点，所以、、B C D 三点共线. …………………………………………6分 （III ）设直线AC 的方程为1111()-=--y y y x x x ， 联立方程组111122()14⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩y y y x x x x y ，化简得22222221111112221114()()(1)8440++-+⋅-⋅-=x x x y x x y x y y y 22111222111112222111218()8()4410⎧+⎪+⎪+=-=⎪-⎨-⎪⎪∆>⎪⎩x x y y x x y x x x x y y ， 因为11215()22∆=⋅⋅+ABC S y x x ， 所以22111122118(152)24∆+=⋅-⋅ABCS y x x y x y ， 所以221112211110()4∆+=-ABCy x x y x y S ， ………………………………………………………………8分 又221114-=x y ，所以221144-=x y14 / 172222221111111112222222222111111111111111331111422411111111221110()10()440()4(4)(4)(4)(4)40()40()4174))4(4(17∆++⋅+==--⋅--⋅-++ ==-++-=ABCy y y S y y y y y x x y x x y x x y x y x y x y x y x y x x x y x x x x y y x ……………10分令11=y k x ，则22140()48174)4(17∆+==+-ABC k k k S k，令1=+t k k ,整理得：224351500--=t t .因为0t >，所以103=t ， 所以231030-+=k k ,解得：133或==k k ， 又因为双曲线C 的渐近线为12=±y x ，所以13=k . 所以直线l 的方程为13=y x . ………………………………………………………………12分 方法二：直线l 的方程为=y kx ，则直线AC 的方程为11()-=--y y k x x ，联立11221()14⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩y y x x k x y ，化简得221111241(1)8()4()40-+⋅+-⋅+-=x x x y x y k k k k ，15 / 17111228()40+⎧+=-⎪∴-⎨⎪∆>⎩x ky x x k 因为11215()22∆=⋅⋅+ABC S y x x ， 所以11211528(42)∆=⋅⋅+-ABC S y x ky k， ()()232322111111112221210108()10)1522(4444∆++++===----=⋅⋅ABCkx k x k k x x ky x y ky k k k y k S ……………8分 联立2214=⎧⎪⎨-=⎪⎩y kxx y ，消y 得：22414x k =-， 所以()()332321222422411040()1040()1414441744()17∆++++-====---++-ABC k k k k kxk k k k kkk k k kS ………10分 令1=+t k k ,240484257∆==-ABC t S t ，整理得：224351500--=t t .因为0t >，所以103=t ，所以231030-+=k k ,解得：133或==k k ， 又因为双曲线C 的渐近线为12=±y x ，所以13=k . 所以直线l 的方程为13=y x . ………………………………………………………………12分16 / 1722.（本小题满分12分）），又k ()∴f x 在(0,)+∞单调递减，又()10=f ，∴函数()f x 的只有一个零点。
人教版高中数学全套试题双基限时练10(2)
双基限时练(十)1．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析 a 1＝1，a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝14， ∴d ＝2，∴S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝100. ∴n ＝10. 答案 B2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝35，则a 4＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5解析 S 7＝a 1＋a 72×7＝35，∴a 1＋a 7＝10，∴a 4＝a 1＋a 72＝5. 答案 D3．设数列{a n }是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝12，a 1·a 2·a 3＝48，∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 2＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 3＝8，a 1·a 3＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a 3＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，a 3＝2.∵{a n }是递增数列，∴a 1＝2. 答案 B4．若数列{a n }为等差数列，公差为12，且S 100＝145，则a 2＋a 4＋…＋a 100的值为( )A ．60B ．85 C.1452D ．其他值解析 设a 1＋a 3＋…＋a 99＝S 1， 则a 2＋a 4＋…＋a 100＝S 1＋50d . 依题意，有S 1＋S 1＋50d ＝145. 又d ＝12，∴S 1＝60.∴a 2＋a 4＋…＋a 100＝60＋25＝85. 答案 B5．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．7 解析 由题意，有a 1＋a 2＝4，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝20， ∴a 3＋a 4＝16. ∴a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝16. ∴4d ＝12，d ＝3. 答案 B6．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．663解析 被7除余2的自然数，构成等差数列，其首项a 1＝2，公差d ＝7.最大的a n ＝93，由2＋(n －1)×7＝93得n ＝14.∴这些数的和为S ＝2＋932×14＝665.答案 B7．在数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，(n ∈N *)，其中a ，b 为常数，则ab ＝________.解析 ∵a n ＝4n －52，∴a 1＝32. 又知{a n }为等差数列，且d ＝4， ∴an 2＋bn ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝32n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－12n . ∴a ＝2，b ＝－12，∴ab ＝－1. 答案 －18．在等差数列{a n }中，S 4＝6，S 8＝20，则S 16＝________. 解析 S 4＝6，S 8＝S 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝20， ∴a 1＋…＋a 4＝6，a 5＋…＋a 8＝14. ∴a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝22， a 13＋…＋a 16＝30，∴S 16＝72. 答案 729．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)，且a 5＝12，则a 3＝________.解析 由a n ＋1＝2a n 2＋a n ，得1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为12的等差数列，故1a 3＝1a 5－2d ＝2－2×12＝1，即a 3＝1.答案 110．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .解 (1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242，可得方程 12n ＋n (n －1)2×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)，∴n ＝11.11．已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值． 解 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5. (2)S n ＝na 1＋n (n －1)2d＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以，当n ＝2时，S n 取得最大值4.12．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 3＝7，a 5＋a 7＝26，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .即a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，∴b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14×1n (n ＋1)＝14×⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴T n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).。
高二数学 双基限时练2
双基限时练(二)1．当自变量x由x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数()A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x1处的导数C．在区间[x0，x1]上的导数D．在x处的平均变化率解析由平均变化率的定义知选A.答案A2．对于函数f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)为()A．0B．1C．c D．不存在解析f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→0c－cΔx＝0.答案A3．y＝x2在x＝1处的导数为()A．2x B．2C．2＋Δx D．1解析∵Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，∴ΔyΔx＝2＋Δx.∴f′(1)＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.答案B4．在导数的定义中，自变量的增量Δx满足() A．Δx<0 B．Δx>0C．Δx＝0 D．Δx≠0解析Δx可正、可负，就是不能为0，因此选D.答案D5．一物体运动满足曲线方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是()A．物体5秒内共走过42米B．物体每5秒钟运动42米C．物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒D．物体以t＝5秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为42米解析由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5秒时的瞬时速度．故选D.答案D6．如果质点A按规律s＝3t2运动，那么在t＝3时的瞬时速度为________．解析∵Δy＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，∴s′(3)＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(18＋3Δt)＝18.答案187．设函数f(x)满足limx→0f(1)－f(1－x)x＝－1，则f′(1)＝________.解析∵limx→0f(1)－f(1－x)x＝limx→0f(1－x)－f(1)－x＝f′(1)＝－1.答案－18．函数f(x)＝x2＋1在x＝1处可导，在求f′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx，则函数的增量Δy＝________.解析Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2.答案 2Δx ＋(Δx )29．已知f (x )＝ax 2＋2，若f ′(1)＝4，求a 的值．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋2－(a ×12＋2)＝2a ·Δx ＋a (Δx )2，∴f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a ·Δx )＝2a ＝4.∴a ＝2.10．已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值． 解 Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝[13－8(x 0＋Δx )＋ 2 (x 0＋Δx )2]－(13－8x 0＋2x 20)＝－8Δx ＋22x 0Δx ＋2(Δx )2.f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(－8＋22x 0＋2Δx )＝－8＋22x 0，又∵f ′(x 0)＝4，∴－8＋22x 0＝4，∴x 0＝3 2.11．在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t 存在关系s (t )＝10t ＋5t 2(s 的单位是m ，t 的单位是s)．(1)求t ＝20，Δt ＝0.1时的Δs 与Δs Δt ；(2)求t ＝20时的速度．解 (1)当t ＝20，Δt ＝0.1时，Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－(10×20＋5×202)＝1＋20＋5×0.01＝21.05.∴Δs Δt ＝21.050.1＝210.5.(2)由导数的定义知，t ＝20时的速度即为v ＝lim Δt →0Δs Δt＝lim Δt →010(t ＋Δt )＋5(t ＋Δt )2－10t －5t 2Δt ＝lim Δt →05(Δt )2＋10Δt ＋10tΔt Δt ＝lim Δt →0(5Δt ＋10＋10t )＝10＋10t＝10＋10×20＝210(m/s)．12．若一物体运动方程如下(位移：m ，时间：s)．s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，t ≥3，29＋3(t －3)2，0≤t <3. 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度为v 0，即求物体在t ＝0时瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均速度为Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3(0＋Δt －3)2－29－3(0－3)2Δt＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时速度为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18(m/s)．即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均速度变化为Δs Δt ＝29＋3(1＋Δt －3)2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt －12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12(m/s)．即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.新课标第一网系列资料 。
高二数学下学期课堂强化训练12(答案含解析)
(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是()A．分层抽样 B．抽签抽样C．随机抽样D．系统抽样答案：D2．下列各选项中的两个变量具有相关关系的是()A．长方体的体积与边长B．大气压强与水的沸点C．人们着装越鲜艳，经济越景气D．球的半径与表面积解析：A、B、D均为函数关系，C是相关关系．答案：C3．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民．这2 500名城镇居民的寿命的全体是()A．总体B．个体C．样本D．样本容量答案：C4．已知总体容量为106，若用随机数表法抽取一个容量为10的样本．下面对总体的编号最方便的是()A．1,2，…，106 B．0,1,2，…，105C．00,01，…，105 D．000,001，…，105解析：由随机数抽取原则可知选D.答案：D5．(2011·湖北高考)有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为()A．18 B．36C．54 D．72解析：易得样本数据在区间[10,12)内的频率为0.18，则样本数据在区间[10,12)内的频数为36.答案：B6．对一组数据x i(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为x i＋c(i＝1,2,3，…，n)，其中c≠0，则下面结论中正确的是()A．平均数与方差均不变B．平均数变了，而方差保持不变C．平均数不变，而方差变了D．平均数与方差均发生了变化解析：设原来数据的平均数为x－，将它们改变为x i＋c后平均数为x′，则x′＝x－＋c，而方差s′2＝1n[(x1＋c－x－－c)2＋…＋(x n＋c－x－－c)2]＝s2.答案：B7.如果是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知()A ．甲运动员的成绩好于乙运动员B ．乙运动员的成绩好于甲运动员C ．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异D ．甲运动员的最低得分为0分解析：从这个茎叶图可以看出运动员得分大致对称，平均得分及中位数都是30多分；乙运动员的得分除一个52外，也大致对称，平均得分及中位数都是20多分，因此，甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好． 答案：A8．(2011·江西高考)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为( ) A.y ^＝x －1B.y ^＝x ＋1C.y ^＝88＋12xD.y ^＝176解析：设y 对x 的线性回归方程为y ^＝bx ＋a ，因为b ＝－2×(－1)＋0×(－1)＋0×0＋0×1＋2×1(－2)2＋22＝12，a ＝176－12×176＝88，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝12x ＋88.答案：C9．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的个数为()①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，②也正确；乙队平均每场进球数为1.8，所以乙队几乎每场都进球，③正确；由于s甲＝3，s乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，④正确．答案：D10．已知数据：①18,32，－6,14,8,12；②21,4,7,14，－3,11；③5,4,6,5,7,3；④－1,3,1,0,0，－3.各组数据中平均数和中位数相等的是()A．①B．②C．③D．①②③④解析：运用计算公式x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)，可知四组数据的平均数分别为13,9,5,0.根据中位数的定义：把每组数据从小到大排列，取中间一位数(或两位的平均数)即为该组数据的中位数，可知四组数据的中位数分别为13,9,5,0.故每组数据的平均数和中位数均对应相等．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)11．(2012·银川模拟)将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．解析：由题意，应从C中抽取100×25＋3＋2＝20个个体．答案：2012．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．解析：因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.03.由直方图可知三个区域的学生总数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140,150]内的学生人数为10，所以从身高在[140,150]内抽取的学生人数为1860×10＝3.答案：0.03 313．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投蓝练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班6 7 6 7 9则以上两组数据的方差中较小的一个为s 2＝________.解析：甲班的平均数为7，方差s ？＝15[(6－7) 2＋02＋02＋(8－7)2＋02]＝25；乙班的平均数为7，方差s 2＝2(6－7)2＋2(7－7)2＋(9－7)25＝65.答案：2514．某班12位学生父母年龄的茎叶图如图所示，则12位同学母亲的年龄的中位数是________，父亲的平均年龄比母亲的平均年龄多________岁.解析：由41＋432＝42，得中位数是42.母亲平均年龄＝42.5， 父亲平均年龄为45.5，因而父亲平均年龄比母亲平均年龄多3岁． 答案：42 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：[107,109)3株；[109,111)9株；[111,113)13株；[113,115)16株；[115,117)26株；[117,119)20株；[119,121)7株；[121,123)4株；[123,125]2株．(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)据上述图表，估计数据在[109,121)范围内的可能性是百分之几？解：(2)频率分布直方图如下：(3)由上述图表可知数据落在[109,121)范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在[109,121)范围内的可能性是91%. 16．(12分)(2012·福建六校联考)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲8281797895889384乙9295807583809085(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？解：(1)作出茎叶图如下：(2)x甲＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x乙＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.2 s 甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85) 2＋(93－85) 2＋(95－85) 2]＝35.5，2s 乙＝18[(75－85) 2＋(80－85) 2＋(80－85) 2＋(83－85) 2＋(85－85) 2＋(90－85) 2＋(92－85) 2＋(95－85) 2]＝41， ∵x 甲＝x 乙，2s 甲< 2s 乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．17．(12分)某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这些服装件数x 之间有如下一组数据：已知∑i ＝17x 2i ＝280，∑i ＝17x i y i ＝3 487， (1)求x ，y ；(2)求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程； (3)每天多销售1件，纯利y 增加多少元？ 解：(1)x ＝17(3＋4＋5＋…＋9)＝6，y ＝17(66＋69＋…＋91)≈79.86.(2)设回归直线方程为y ^＝a ^＋b ^x ，则b ^＝∑i ＝17x i y i －7x － y－∑i ＝17x 2i －7x 2＝3 487－7×6×79.86280－7×6？≈4.75.a ^＝y －b x －≈79.86－4.75×6＝51.36.∴所求的回归直线方程为y^＝51.36＋4.75x.(3)由回归直线方程知，每天多销售1件，纯利增加4.75元．18．(14分)某地统计局就该地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用]分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽多少人？解：(1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0.000 3×(3 500－3 000)＝0.15.(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2，0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25，0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.∴样本数据的中位数为2 000＋0.5－(0.1＋0.2)0.000 5＝2 000＋400＝2400(元)．(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×(3 000－2 500)＝0.25，所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)．再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500,3000)的这段应抽取100×2 50010 000＝25人．。
人教版高中数学全套试题双基限时练2(2)
双基限时练(二)1．在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2，则这个三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析 由a 2＋b 2<c 2，知cos C ＝a 2＋b 2－c22ab <0，又0<C <π，∴C 为钝角．故△ABC 为钝角三角形． 答案 B2．在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，则C ＝( ) A ．60° B ．120° C ．30°D ．45°或135°解析 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， 又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案 A3．在△ABC 中，a ：b ：c ＝3：5：7，则△ABC 的最大角是( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析 由a ：b ：c ＝3：5：7，知最大边为c ，∴最大角为C ，设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0°<C <180°，∴C ＝120°.答案 D4．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．直角三角形解析 由b 2＝ac 及余弦定理，得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos60°， 即ac ＝a 2＋c 2－ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 答案 B5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19解析 由余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－CA 22·AB ·BC ＝72＋52－622·7·5＝1935.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝7×5×⎝⎛⎭⎪⎫－1935＝－19.答案 D6．在△ABC 中，已知a ，b 是方程x 2－5x ＋2＝0的两根，C ＝120°，则边c ＝____________.解析 由韦达定理，得a ＋b ＝5，ab ＝2. 由(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ， 得a 2＋b 2＝52－2×2＝21. ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝23. ∴c ＝23. 答案237．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值为____________．解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×1314＝9.∴c ＝3，因此最大角为B ，由余弦定理，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－17. 答案 －178．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝__________.解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32，∴B ＝5π6.答案 5π69．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，则角C ＝________.解析 由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ， 得(a ＋b )2－c 2＝ab ，即 a 2＋b 2－c 2＝－ab . 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∴c ＝2π3. 答案 2π310．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断△ABC 的形状．解 由余弦定理，知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝72＋62－1022×7×6＝－528.在△ABC 中，0°<B <180°，∴90°<B <180°. ∴△ABC 为钝角三角形．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．解 (1)根据正弦定理及2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ， 得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)根据余弦定理得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ， ∵b ＋c ＝4，∴bc ＝3.12．在△ABC 中，m ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos C 2，sin C 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，－sin C 2，且m 与n 的夹角为π3.(1)求C ；(2)已知c ＝72，三角形面积S ＝332，求a ＋b . 解 (1)∵m ＝(cos C 2，sin C2)， n ＝(cos C 2，－sin C2)，∴m ·n ＝cos 2C 2－sin 2C2＝cos C . 又m ·n ＝|m |·|n |cos π3＝12， ∴cos C ＝12.又0<C <π， ∴C ＝π3.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝72， ∴494＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab . ∵S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ， 而S ＝332，∴ab ＝6.∴(a ＋b )2＝494＋3ab ＝494＋18＝1214.∴a ＋b ＝112.。
2022-2021学年高二数学同步单元双基双测“AB”卷(必修2)月考02 第二章综合测试(A卷)
（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.不相交答案:B2.如图,α∩β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是()A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC解析:∵D∈l,l⊂β,∴D∈β.又C∈β,∴CD⊂β;同理,CD⊂平面ABC,∴平面ABC∩平面β=CD.故选C.答案:C3.异面直线a,b分别在平面α,β内,若α∩β=l,则直线l必定()A.分别与a,b相交B.与a,b都不相交C.至少与a,b中一条相交D.至多与a,b中一条相交解析:假设a∥l,b∥l,则a∥b,这与a,b异面冲突.又a与l共面,b与l共面,所以l至少与a,b中的一条相交.答案:C 4.BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥平面ABC,PD⊥BC于点D,则图中共有直角三角形的个数是()A.8B.7C.6D.5答案:A5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四周体ABCD,则在四周体ABCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC解析:易知:在△BCD中,在∠DBC=45°,∴∠BDC=90°.又平面ABD⊥平面BCD,而CD⊥BD,∴CD⊥平面ABD,∴AB⊥CD,而AB⊥AD,∴AB⊥平面ACD,∴平面ABC⊥平面ACD.答案:D6.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为()A.30°B.60°C.90°D.120°解析:答案:C7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,则二面角C-BB1-D1的正切值为()A. B. C. D.解析:∵DB⊥BB1,BC⊥BB1,∴由二面角的平面角的定义知,∠DBC就是二面角C-BB1-D1的平面角.又∠BCD=90°,∴tan∠DBC=.答案:D8.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是()A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥αB.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥βC.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥βD.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α解析:选项A的已知条件中加上m⊂β,那么命题就是正确的,也就是面面垂直的性质定理.选项B错误,简洁知道两个平面内分别有一条直线平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项C错误,由于两个平面各有一条与其平行的直线,假如这两条直线垂直,并不能保证这两个平面垂直.选项D正确,由n⊥α,n⊥β可得α∥β,又由于m⊥β,所以m⊥α.答案:D9.已知:平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和平面β内,且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,则CD的长度为()A.13 B .C.12D.15答案:A10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是()1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE,B1C1为异面直线,且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E解析:由已知AC=AB,E为BC中点,则AE⊥BC.∵BC∥B1C1,∴AE⊥B1C1,故C正确.答案:C11.如图,在正四棱锥S-ABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中,E是BC的中点,点P在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的()解析:所以AC⊥GF,所以点P在直线GF上.答案:A12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()A. B. C. D.解析:在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线,垂足为E,连接BE.⇒C1E⊥平面BDD1B1,∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值.∵BC1=,C1E=,∴sin∠C1BE=.答案:D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD= .答案:914.如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱垂直于底面,当四边形A1B1C1D1满足条件时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种状况即可,不必考虑全部可能的状况).解析:由题意可知CC1⊥平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1,要使得B1D1⊥A1C,只要B1D1⊥平面A1CC1.所以只要B1D1⊥A1C1.此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件.答案:B1D1⊥A1C1(或A1B1C1D1是正方形等,答案不唯一)15.已知在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD将△ABD折起使二面角A-BD-C为120°,则点A到△BCD 所在平面的距离为.解析:设AC∩BD=O,则翻折后AO⊥BD,CO⊥BD,即∠AOC即为二面角的平面角,所以∠AOC=120°,且AO=1,故d=1×sin 60°=.答案:16.如图,正方体ABCD-A1B1C1D 1的棱长为1,P为BC 的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出全部正确命题的编号).①当0<CQ<时,S为四边形②当CQ=时,S 为等腰梯形③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=④当<CQ<1时,S为六边形⑤当CQ=1时,S的面积为解析:当CQ=时,D1Q2=D 1+C1Q2,AP2=AB2+BP2,所以D1Q=AP.又由于AD1∥PQ,AD1=2PQ,所以②正确;当0<CQ<时,图②如图③所示,当CQ=1时,截面为APC1E.可知AC1=,EP=且APC1E为菱形,,故⑤正确.当<CQ<1时,截面为五边形APQMF.所以④错误.图③答案:①②③⑤三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分10分)(2022安徽宿州高二期中)如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,EP⊥平面ABCD.(1)求证:AQ∥平面CEP;(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.∴AQ⊥EP.∵AB=2BC,P为AB中点,∴AP=AD.连接PQ,ADQP为正方形.∴AQ⊥DP.又EP∩DP=P,∴AQ⊥平面DEP.∵AQ⊂平面AEQ.∴平面AEQ⊥平面DEP.18.(本小题满分12分)(2022宁夏石嘴山高一期末)已知直三棱柱ABC-A'B'C'满足∠BAC=90°,AB=AC=AA'=2,点M,N分别为A'B,B'C'的中点. (1)求证:MN∥平面A'ACC';(2)求证:A'N⊥平面BCN.(3)求三棱锥C-MNB的体积.(1)证明:如图,连接AB',AC'.(2)证明:∵A'B'=A'C',点N为B'C'的中点,∴A'N⊥B'C'.∴S△BCN =×2×4=4.∵A'B'=A'C'=2,∠B'A'C'=90°,点N为B'C'的中点,∴A'N=,∴M到平面BCN 的距离为,∴V C-MNB=V M-BCN =×4.19.(本小题满分12分)(2022山西临汾高二期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,CD=AD=2AB=2AP.(1)求证:平面PCD⊥平面PAD;(2)在侧棱PC上是否存在点E,使得BE∥平面PAD,若存在,确定点E位置;若不存在,说明理由.(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD. ①又AB⊥AD,AB∥CD,∴CD⊥AD. ②由①②可得CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD,∴平面PCD⊥平面PAD.(2)解:当点E是PC的中点时,BE∥平面PAD.∴BE∥AF.又BE⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD.20.(本小题满分12分)(2021浙江台州高二期末)如图,已知AE⊥平面CDE,四边形ABCD为正方形,M,N分别是线段BE,DE的中点.(1)求证:MN∥平面ABCD;(2)若,求EC与平面ADE所成角的正弦值.(1)证明:连接线段BD.在△BDE中,∵M,N分别是线段BE,DE的中点,∴MN为中位线,则MN∥BD.又MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴MN∥平面ABCD.21.(本小题满分12分)(2022河北唐山高二期中)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,侧棱AA1⊥底面ABC,且AA1=2,E是BC的中点.(1)求异面直线AE与A1C所成角的余弦值;(2)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值.解:(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,取C1B1的中点H,连A1H与HC.∵E是BC的中点,∴A1H∥AE,∠CA1H是异面直线AE与A1C所成角.∵底面ABC是等腰直角三角形,E是BC的中点,∴AE⊥BC,∴A1H⊥BC.∵侧棱AA'⊥底面ABC,∴侧棱B1B⊥A1H,∴A1H⊥平面BCC1B1,∴A1H⊥HC.在Rt△A1HC中,cos∠CA1H=.(2)由(1)知A1H⊥平面BCC1B1,A1C在平面BCC1B1上的射影是HC,∴∠A1CH是直线A1C与平面BCC1B1所成角,在Rt△A1HC中,tan∠A1CH=.22. (本小题满分12分)(2021山东临沂高一期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=2,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)求证:平面PAB∥平面EFG;(3)在线段PB上确定一点M,使PC⊥平面ADM,并给出证明.(1)解:∵PD⊥平面ABCD,∴V P-ABCD =×S ABCD ×PD=×2×2×2=.取PB中点M,连接DE,EM,AM ,。
双新双基课课练数学电子版
双新双基课课练数学电子版1、45．下列运算正确的是（）[单选题] *A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16(正确答案)D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝4ab2﹣n22、12．下列说法正确的是（）[单选题] *A．一个数前面加上“–”号这个数就是负数B．非负数就是正数C．0既不是正数，也不是负数(正确答案)D．正数和负数统称为有理数3、6.若x是- 3的相反数，|y| = 5，则x + y的值为（）[单选题] *A.2B.8C. - 8或2D.8或- 2(正确答案)4、直线2x-y=1的斜率为（）[单选题] *A、1B、2(正确答案)C、3D、45、12. 在平面直角坐标系中，一只电子狗从原点O出发，按向上→向右→向下→向下→向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示，则A3020的坐标为（）[单选题] *A、(1007，1)(正确答案)B、(1007，-1)C、(504，1)D、(504，-1)6、计算(－a)?·a的结果是( ) [单选题] *A. －a?B. a?(正确答案)C. －a?D. a?7、在0°~360°范围中，与645°终边相同的角是（）[单选题] *285°(正确答案)-75°295°75°8、7．把点平移到点，平移方式正确的为（）[单选题] * A．先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度B．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度(正确答案) 9、二次函数y=3x2-4x+5的一次项系数是（）。
[单选题] *34(正确答案)5110、8. 估计√13?的值在() [单选题] *A、1和2之间B、2和3之间C、3和4之间(正确答案)D、4和5之间11、x3可以表示为（）[单选题] *A. 3xB. x+x+xC. x·x·x(正确答案)D. x+312、下列计算正确的是( ) [单选题] *A. (－a)·(－a)2·(－a)3＝－a?B. (－a)·(－a)3·(－a)?＝－a?C. (－a)·(－a)2·(－a)?＝a?D. (－a)·(－a)?·a＝－a?(正确答案)13、函数y=cosx与y=arcsinx都是（）[单选题] *A、有界函数(正确答案)B、有界函数C、奇函数D、单调函数14、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B 、33C、16D、415、1．如果点M（a＋3，a＋1）在直角坐标系的x轴上，那么点M的坐标为（）[单选题] *A．（0，－2）B．（2，0）(正确答案)C．（4，0）D．（0，－4）16、下列各角中，是界限角的是（）[单选题] *A. 1200°B. -1140°C. -1350°(正确答案)D. 1850°17、下列计算正确是（）[单选题] *A. 3x﹣2x=1B. 3x+2x=5x2C. 3x?2x=6xD. 3x﹣2x=x(正确答案)18、两数之和为负数，则这两个数可能是? [单选题] *A.都是负数B.0和负数(正确答案)C.一个正数与一个负数D.一正一负或同为负数或0和负数19、21.|x|>3表示的区间是（）[单选题] *A.（-∞，3）B.(-3,3)C. [-3,3]D. （-∞，-3）∪（3，+ ∞）(正确答案)20、计算的结果是( ) [单选题] *A. -p2?(正确答案)B. p2?C. -p1?D. p1?21、4．已知第二象限的点P(－4，1)，那么点P到x轴的距离为( ) [单选题] *A．1(正确答案)B．4C．－3D．322、下列各式：①(x-2y)(2y+x)；②(x-2y)(-x-2y)；③(-x-2y)(x+2y)；④(x-2y)(-x+2y).其中能用平方差公式计算的是（）[单选题] *A. ①②(正确答案)B. ①③C. ②③D. ②④23、已知二次函数f（x）=2x2-x+2，那么f（2）的值为（）。
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双基限时练(十二)
1．下列各式中，正确的是( ) A .⎠⎛a
b F ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a )
B.⎠⎛a b F ′(x)d x ＝F ′(a)－F ′(b)
C .⎠⎛a
b F ′(x )d x ＝F (b )－F (a ) D.⎠⎛a
b F ′(x)d x ＝F(a)－F(b)
答案 C
2．∫π
20( sin x －cos x)d x ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D .π
2
解析 ∫π
20(sin x －cos x)d x ＝∫π20sin x d x －∫π
20cos x d x ＝(－cos x)
⎪⎪⎪ π20－(sin x)
⎪⎪⎪ π20 ＝1－1＝0. 答案 A
3．若∫a 1(2x ＋1
x )d x ＝3＋ln 2(a>1)，则a 的值为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 解析 ∵⎠⎛1
a (2x ＋1
x )d x
＝(x 2
＋ln x)
⎪
⎪⎪ a 1＝a 2＋ln a －1， 又⎠⎛
1
a (2x ＋
1
x )d x ＝3＋ln 2，
∴a ＝2. 答案 D
4.⎠
⎛π－πcos x d x 等于( )
A ．2π
B ．π
C ．0
D ．1
解析 ⎠
⎛π－πcos x d x ＝sin x
⎪
⎪⎪ π－π＝sinπ－sin (－π)＝0. 答案 C
5．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2 (0≤x<1)，
2－x (1<x ≤2)，
则⎠⎛02f(x)d x 等于( )
A .34
B .4
5 C .5
6 D ．不存在
解析 ⎠⎛0
2f(x)d x ＝⎠⎛0
1x 2d x ＋⎠⎛1
2(2－x)d x
＝13x 3 ⎪⎪⎪ 10＋(2x －12x 2)
⎪⎪⎪ 2
1 ＝13＋2－32＝5
6. 答案 C
6．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )
A .⎠⎛0
2(x 2－1)d x
B ．|⎠⎛0
2(x 2－1)d x |
C.⎠⎛0
2|x 2－1|d x
D .⎠⎛0
1(x 2－1)d x ＋⎠⎛1
2(x 2－1)d x
答案 C
7．若a ＝⎠⎛0
2x 2d x ，b ＝⎠⎛0
2x 3d x ，c ＝⎠⎛0
2 sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关
系是________．
解析 ∵a ＝⎠⎛
2x 2d x ＝
13x 3
⎪
⎪⎪ 20＝8
3， b ＝⎠⎛
2x 3d x ＝
14x 4
⎪
⎪⎪ 2
0＝4， c ＝⎠⎛0
2
sin x d x ＝(－cos x )
⎪
⎪⎪ 2
0＝－cos2＋1<2. ∴b >a >c . 答案 b >a >c
8．计算⎠
⎛2－2( sin x ＋2)d x ＝________.
解析 ⎠⎛2－2(sin x ＋2)d x ＝⎠⎛2－2sin x d x ＋⎠
⎛2－22d x
＝(－cos x )
⎪
⎪⎪ 2－2＋2x
⎪
⎪⎪ 2
－2 ＝－cos2＋cos(－2)＋2×2－2×(－2) ＝8. 答案 8
9．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若0≤x 0≤1.且
⎠⎛0
1f (x )d x ＝f (x 0)，则x 0＝________.
解析 ∵⎠⎛
1f (x )d x ＝⎠⎛0
1(ax 2＋c )d x ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫a 3x 3＋cx ⎪⎪
10＝a
3＋c ， 又⎠⎛0
1f (x )d x ＝f (x 0)，∴ax 20
＋c ＝a
3＋c .
∵a ≠0，∴x 2
0＝13， 又0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 答案 3
3
10．计算下列定积分：
(1)⎠⎛14x －x 2x ＋x
d x ； (2)⎠⎛0
2(2－|1－x |)d x ；
(3)∫π2－π
2(sin x －cos x )d x .
解 (1)⎠⎛14x －x 2x ＋x d x ＝⎠⎛14(x ＋x )(x －x )x ＋x d x ＝ ⎠⎛
1
4(
x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪
⎪
⎪
4
1＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫23×432－12×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＝163
－8－23＋12＝－176.
(2)∵y ＝2－|1－x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋x ，0≤x ≤1，3－x ，1<x ≤2.
∴⎠⎛
2 (2－|1－x |)d x ＝
⎠⎛0
1 (1＋x )d x ＋
⎠⎛
1
2 (3－x )d x ＝⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋
12x 2⎪
⎪⎪
10＋
⎝
⎛
⎭⎪⎫3x －12x 2⎪⎪
⎪
2
1＝
32＋4－52＝3.
(3)∫π2－π
2 (sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x )⎪
⎪
⎪
π2－π
2＝－1－1＝－
2.
11．f (x )是一次函数，且⎠⎛0
1f (x )d x ＝5，⎠⎛0
1xf (x )d x ＝
17
6，求f (x )的解析
式．
解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 由⎠⎛0
1f (x )d x ＝5，⎠⎛0
1xf (x )d x ＝17
6，
得⎠⎛
1(ax ＋b )d x ＝(
12ax 2
＋bx )⎪
⎪
⎪
10＝
1
2a ＋b ，
⎠⎛0
1x (ax ＋b )d x ＝(
13ax 3＋12bx 2)
⎪
⎪⎪ 10＝13a ＋1
2b ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
12a ＋b ＝5，13a ＋b 2＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝4，
b ＝3.
∴f (x )＝4x ＋3.
12．求f (a )＝⎠⎛0
1(6x 2＋4ax ＋a 2)d x 的最小值．
解 f (a )＝⎠⎛0
1(6x 2＋4ax ＋a 2)d x
＝⎠⎛0
16x 2d x ＋⎠⎛0
14ax d x ＋⎠⎛0
1a 2d x
＝2x 3 ⎪
⎪⎪ 10＋2ax 2
⎪
⎪⎪ 10
＋a 2x
⎪
⎪⎪ 1
0 ＝2＋2a ＋a 2 ＝(a ＋1)2＋1.
∴当a ＝－1时，f (a )的最小值为1. 13．设F (x )＝⎠⎛0
x (t 2＋2t －8)d t .
(1)求F (x )的单调区间； (2)求F (x )在[1,3]上的最值． 解 F (x )＝⎠⎛
x (t 2＋2t －8)d t ＝⎝
⎛⎭⎪⎫13t 3＋t 2－8t ⎪
⎪⎪
x
0＝
13x
x 3＋x 2
－8x ，定义域是(0，＋∞)．
(1)F ′(x )＝x 2＋2x －8＝(x ＋4)(x －2)， ∵当x <－4或x >2时，F ′(x )>0； 当－4<x <2时，F ′(x )<0.
又∵x >0，∴函数的增区间为(2，＋∞)，减区间为(0,2)． (2)令F ′(x )＝0，得x ＝2(x ＝－4舍去)．
又F (1)＝－203，F (2)＝－28
3，F (3)＝－6， ∴F (x )在[1,3]上的最大值为－6，最小值是－28
3.
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