高二数学 双基限时练12

双基限时练(十二)

1．下列各式中，正确的是( ) A .⎠⎛a

b F ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a )

B.⎠⎛a b F ′(x)d x ＝F ′(a)－F ′(b)

C .⎠⎛a

b F ′(x )d x ＝F (b )－F (a ) D.⎠⎛a

b F ′(x)d x ＝F(a)－F(b)

答案 C

2．∫π

20( sin x －cos x)d x ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D .π

2

解析 ∫π

20(sin x －cos x)d x ＝∫π20sin x d x －∫π

20cos x d x ＝(－cos x)

⎪⎪⎪ π20－(sin x)

⎪⎪⎪ π20 ＝1－1＝0. 答案 A

3．若∫a 1(2x ＋1

x )d x ＝3＋ln 2(a>1)，则a 的值为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 解析 ∵⎠⎛1

a (2x ＋1

x )d x

＝(x 2

＋ln x)

⎪

⎪⎪ a 1＝a 2＋ln a －1， 又⎠⎛

1

a (2x ＋

1

x )d x ＝3＋ln 2，

∴a ＝2. 答案 D

4.⎠

⎛π－πcos x d x 等于( )

A ．2π

B ．π

C ．0

D ．1

解析 ⎠

⎛π－πcos x d x ＝sin x

⎪

⎪⎪ π－π＝sinπ－sin (－π)＝0. 答案 C

5．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2 (0≤x<1)，

2－x (1

则⎠⎛02f(x)d x 等于( )

A .34

B .4

5 C .5

6 D ．不存在

解析 ⎠⎛0

2f(x)d x ＝⎠⎛0

1x 2d x ＋⎠⎛1

2(2－x)d x

＝13x 3 ⎪⎪⎪ 10＋(2x －12x 2)

⎪⎪⎪ 2

1 ＝13＋2－32＝5

6. 答案 C

6．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )

A .⎠⎛0

2(x 2－1)d x

B ．|⎠⎛0

2(x 2－1)d x |

C.⎠⎛0

2|x 2－1|d x

D .⎠⎛0

1(x 2－1)d x ＋⎠⎛1

2(x 2－1)d x

答案 C

7．若a ＝⎠⎛0

2x 2d x ，b ＝⎠⎛0

2x 3d x ，c ＝⎠⎛0

2 sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关

系是________．

解析 ∵a ＝⎠⎛

2x 2d x ＝

13x 3

⎪

⎪⎪ 20＝8

3， b ＝⎠⎛

2x 3d x ＝

14x 4

⎪

⎪⎪ 2

0＝4， c ＝⎠⎛0

2

sin x d x ＝(－cos x )

⎪

⎪⎪ 2

0＝－cos2＋1<2. ∴b >a >c . 答案 b >a >c

8．计算⎠

⎛2－2( sin x ＋2)d x ＝________.

解析 ⎠⎛2－2(sin x ＋2)d x ＝⎠⎛2－2sin x d x ＋⎠

⎛2－22d x

＝(－cos x )

⎪

⎪⎪ 2－2＋2x

⎪

⎪⎪ 2

－2 ＝－cos2＋cos(－2)＋2×2－2×(－2) ＝8. 答案 8

9．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若0≤x 0≤1.且

⎠⎛0

1f (x )d x ＝f (x 0)，则x 0＝________.

解析 ∵⎠⎛

1f (x )d x ＝⎠⎛0

1(ax 2＋c )d x ＝⎝

⎛⎭

⎪⎫a 3x 3＋cx ⎪⎪

10＝a

3＋c ， 又⎠⎛0

1f (x )d x ＝f (x 0)，∴ax 20

＋c ＝a

3＋c .

∵a ≠0，∴x 2

0＝13， 又0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 答案 3

3

10．计算下列定积分：

(1)⎠⎛14x －x 2x ＋x

d x ； (2)⎠⎛0

2(2－|1－x |)d x ；

(3)∫π2－π

2(sin x －cos x )d x .

解 (1)⎠⎛14x －x 2x ＋x d x ＝⎠⎛14(x ＋x )(x －x )x ＋x d x ＝ ⎠⎛

1

4(

x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪

⎪

⎪

4

1＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫23×432－12×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＝163

－8－23＋12＝－176.

(2)∵y ＝2－|1－x |＝⎩

⎪⎨⎪⎧

1＋x ，0≤x ≤1，3－x ，1

∴⎠⎛

2 (2－|1－x |)d x ＝

⎠⎛0

1 (1＋x )d x ＋

⎠⎛

1

2 (3－x )d x ＝⎝

⎛

⎭⎪⎫x ＋

12x 2⎪

⎪⎪

10＋

⎝

⎛

⎭⎪⎫3x －12x 2⎪⎪

⎪

2

1＝

32＋4－52＝3.

(3)∫π2－π

2 (sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x )⎪

⎪

⎪

π2－π

2＝－1－1＝－

2.

11．f (x )是一次函数，且⎠⎛0

1f (x )d x ＝5，⎠⎛0

1xf (x )d x ＝

17

6，求f (x )的解析

式．

解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 由⎠⎛0

1f (x )d x ＝5，⎠⎛0

1xf (x )d x ＝17

6，

得⎠⎛

1(ax ＋b )d x ＝(

12ax 2

＋bx )⎪

⎪

⎪

10＝

1

2a ＋b ，

⎠⎛0

1x (ax ＋b )d x ＝(

13ax 3＋12bx 2)

⎪

⎪⎪ 10＝13a ＋1

2b ，