高一第1讲 集合概念与运算(教师)

第1讲 集合概念与运算（教师版）一． 学习目标（1）了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合．（2）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．（3）理解并会求并集、交集、补集；能用Venn 图表达集合的关系与运算.二．重点难点重点：（1）理解集合、子集，空集的概念（2）了解属于、包含、相等关系的意义（3）掌握集合的有关术语和符号（4）理解集合的交、并、补运算的概念及性质（5）会用Venn 图及数轴解有关集合问题难点：子集与真子集、属于与包含关系、交集与并集之间的区别与联系．三．知识梳理1．集合的基本概念:(1)集合的概念： 具有某种公共属性的一类事物的全体形成一个集合。

；(2)集合中元素的三个特性： 确定性，互异性，无序性。

；(3)集合的三种表示方法： 描述法，列举法，图示法。

2．集合的运算(1)子集：若 集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则A ⊆B ；真子集：若A ⊆B ，且 B 中至少有一个元素不在A 中 ，则A ⊂B ；∅是 任何 集合的子集，是 任何非空 集合的真子集．(2)交集：A ∩B ＝{|x x A B ∈∈且x }；(3)并集：A ∪B ＝{|x x A B ∈∈或x }．（4）补集：若U 为全集，A ⊆U ，则u C A ＝{|x x U A ∈∉且x }，3．集合的常用运算性质(1)A ∩φ＝φ；A ∩A ＝A ；(2)A ∪φ＝A ；A ∪A ＝A ；(3) A ∩(u C A )＝ φ ；A ∪(u C A )＝ U ；u C (u C A )＝ A ；(4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝ A ,A ∪B ＝ B ；(5)()u C A B ＝()()u u C A C B ；()u C A B ＝()()u u C A C B ；(6)card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－()card A B四．典例剖析题型一 集合的基本概念例1 考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2013年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)2012年度诺贝尔文学奖获得者．思路探索： 紧扣集合的概念，根据集合元素的确定性逐一分析，作出判断．解 (1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20或x <0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)2012年度诺贝尔文学奖获得者是中国作家莫言，是确定的，能构成集合．综上：(1)，(2)不能构成集合；(3)，(4)能构成集合．教师点评：1.判断元素能否构成集合，关键在于是否有一个明确的客观标准来衡量这些对象，即看这些元素是否具有确定性，如果条件满足就可以断定这些元素可以组成集合，否则就不能构成集合．2．注意集合元素的互异性，相同的元素在集合中只能出现一次．例2 (1) 若所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z)的数组成集合A ，判断6-22是不是集合A 中的元素．解：根据元素与集合的关系判断，可令a＝2，b＝－2.所以6-2 2是集合A中的元素．（2）已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，求实数2 013a的值；思路探索：(1)1∈A，则a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3可以分别为1，但又要注意它们互不相同．(2)从集合元素互异性的特点分析，它们必须具备两两不等．解：(1)当a＋2＝1，即a＝－1时，(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1与a＋2相同，∴不符合题意．当(a＋1)2＝1，即a＝0或a＝－2时，①a＝0符合要求．②a＝－2时，a2＋3a＋3＝1与(a ＋1)2相同，不符合题意．当a2＋3a＋3＝1，即a＝－2或a＝－1.①当a＝－2时，a2＋3a ＋3＝(a＋1)2＝1，不符合题意．②当a＝－1时，a2＋3a＋3＝a＋2＝1，不符合题意．综上所述，a＝0.∴2 013a＝1.教师点评：1.(1)判断一个元素是不是某个集合的元素关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R、Q、Z、N、N*表示什么数集．(2)加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．(3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．例3 用适当的方法表示下列集合：(1)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}；(2)平面直角坐标系中所有第二象限的点．解(1)∵x∈N*，y∈N*，∴x＝1，y＝3或x＝2，y＝2或x＝3，y＝1，∴A＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．(2){(x，y)|x＜0，y＞0}．教师点评：表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．课堂练习1：(1)下列各组对象可以组成集合的是( )A．数学必修1课本中所有的难题.B．方程x2－9＝0在实数范围内的解C．直角坐标平面内第一象限的一些点.D.3的近似值的全体解析A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B中只有两个元素3与－3，是确定的，B 能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．答案 B(2)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R ；②3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N *.A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数， ∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2..答案 B(3)（2013年高考江西卷（文））若集合A ={x ∈R|ax 2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=A ．4B ．2C ．0D ．0或4【答案】A 题型二 集合间的基本关系例4（1）（2012年高考大纲文）已知集合{}|A x x =是平行四边形,{}|B x x =是矩形,{}|C x x =是正方形,{}|D x x =是菱形,则 （ ）A ．A B ⊆B ．C B ⊆ C ．D C ⊆ D ．A D ⊆解析：B （2）、(2011·新课标全国)已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个解析 P ＝M ∩N ＝{1,3}，故P 的子集有22＝4个．*（3）(2011 年高考安徽)设集合 A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7}，则满足 S ⊆A 且 S ∩B ≠∅的集合 S 的个数为( )（A ）57 （B ）56 （C ）49 （D ）8【答案】B教师点评：1.写有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集：∅和自身；其次按含一个元素的子集，含两个元素的子集…依次写出，以免重复或遗漏．2．若集合A 含n 个元素，那么它子集个数为2n ；真子集个数为2n －1，非空真子集个数为2n －2.例5 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围．[思路探索] 借助数轴分析，注意B 是否为空集．解 ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m ＜2，综上得m ≥－1.课堂练习2：(2011·北京高考改编)已知集合P ＝{x|x 2≤1}，M ＝{x|－a ＋2≤x ≤2a －7}， 若P ∪M ＝P ，求实数a 的取值范围．【解析】 由P ∪M ＝P ，知M ⊆P ，(1)若－a ＋2＞2a －7，即a ＜3时，M ＝∅，满足P ∪M ＝P.(2)当a ≥3时，M ≠∅，由M ⊆P ，得⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a －7≤1.解之得a ≤3，∴a ＝3. 综合(1)、(2)可知，若P ∪M ＝P ，实数a 的取值范围是a ≤3.,教师点评：在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论． 题型三 集合的基本运算例6 （1）（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则A B = A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2}【答案】A（2）设集合 A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，则 A ∪B ＝( )A ．∅B ．{x |3<x <4}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x >1}【答案】D（3）（2013年高考陕西卷（理））设全集为R ,函数()f x M , 则C M R 为(A) [-1,1] (B) (-1,1) (C) ,1][1,)(∞-⋃+∞- (D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-【答案】D（4）（2013年高考安徽（文））已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ⋂=A ．{}2,1--B ．{}2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1 【答案】A 例7 设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}．若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围．[思路探索] 由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，由子集的定义建立关于a 的方程或不等式求解． 解 由已知得A ＝{－4,0}，且A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，则B ＝ϕ，{－4}，{0}，{－4,0}．①若B ＝ϕ，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝8(a ＋1)＜0，得a ＜－1.②若B ＝{－4}，则方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ －42＋2a ＋1·－4＋a 2－1＝0，Δ＝8a ＋1＝0，方程组无解． ③若B ＝{0}，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，Δ＝8a ＋1＝0，∴a ＝－1. ④若B ＝{－4,0}，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，Δ＝8a ＋1＞0.解得a ＝1.综上可知，a ＝1或a ≤－1.教师点评：1.在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理．2．当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时要考虑B ＝∅的情况，切不可漏掉．课堂练习3：（1）已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .，若B ＝∅时，2a >a ＋3，即a >3；若B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≥－2，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得：－1≤a ≤2，综上所述，a 的取值范围是{a |－1≤a ≤2或a >3}．*（2）（2013年上海高考数学试题（文科））设常数a ∈R ,集合()(){}|10A x x x a =--≥, {}|1B x x a =≥-.若A B =R ,则a 的取值范围为 A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】B 题型四 用韦恩图解题例8 (1) 已知全集 U ＝R ，则正确表示集合 M ＝{－1,0,1}和 N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )答：B ．(2) （2013年上海市春季高考数学试卷）设全集U R =,下列集合运算结果为R 的是( )(A)u Z N ð (B)u N N ð (C)()u u ∅痧 (D){0}u ð【答案】A (3)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ∩B ＝{2}，(∁U A )∩B ＝{4}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5}，求集合A 和B .解：由Venn 图，可知A ＝{2,3}，B ＝{2,4}．教师点评：Venn 图直观形象地反映了元素、集合之间的关系.在解题中将隐性的关系显性化，利用韦恩图易于找到元素与元素、元素与集合、集合与集合之间的联系.例9．向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人。