虚功原理

Fxδx B + Q yδy c = 0
θ θ
其中力和虚位移都是代数值， 正向为正 虚功方程
x 、y
θ θ
Fδx B − QδyC = 0 1 Q = Ftgθ 2
写出B点和C点的坐标
x B = −l cosϑ yC = 2l sin ϑ
对坐标变分
θ
δx B = l sin ϑδθ δyC = 2l cosθδϑ
实位移与虚位移的广义坐标表达式
r r ri = ri ( q1 , q2 , L , q s , t )
r r ∂ri ∂ri r d ri = ∑ ⋅ dqα + ⋅ dt ∂t α =1 ∂ qα
s
r r r s ∂ri ∂ri ∂ri r δ ri = ∑ ⋅ δ qα + ⋅δ t = ∑ ⋅ δ qα ∂t α =1 ∂ qα α =1 ∂ qα
r r r F Ri = Fi + R i
在该力作用下此质点有一个小的位移， 在该力作用下此质点有一个小的位移，稳定约束情况下 r r δ ri = dri r r r r r δ W i = FRi ⋅ δ ri = ( Fi + Ri ) ⋅ δ ri > 0
，又已知
虚功原理的证明（充分性） 充分性）
s
i =1 , 2 , L , n
（2）理想约束 ）
如果在任何时刻， 如果在任何时刻，对于系统的任何 虚位移，约束力所作的虚功之和等于零， 虚位移，约束力所作的虚功之和等于零， 则系统受到的约束是理想约束。 则系统受到的约束是理想约束。
∑ Rδ x
i =1 i
3n
i
=0
r r ∑ Ri ⋅ δ ri = 0
1
基本概念
（1）虚位移 ）
想象中可能发生的无限小的位移， 想象中可能发生的无限小的位移，而 不是实际发生的。 不是实际发生的。它只决定于质点在此时 刻的位置和加在它上面的约束， 刻的位置和加在它上面的约束，时间没有
r 改变（δt =0）， 表示为 δ r ） 。
关于虚位移的说明 的变分 • 虚位移一般情况不止一个
利用虚功原理解决问题的优点
利用虚功原理解理想约束的力学 体系的平衡问题时，由于约束反力自 体系的平衡问题时， 动消去， 动消去，故可很简单地用它去求主动 力在平衡时所应满足的条件， 力在平衡时所应满足的条件，即所谓 平衡条件。 平衡条件。
作
业
1、请证明虚功原理的充分性和必要性。 请证明虚功原理的充分性和必要性。 2、试用虚位移原理推导刚体平面力系的平衡方程。 试用虚位移原理推导刚体平面力系的平衡方程。
δ W = P1δ y 1 + P2 δ y 2 + F δ x 3 = 0
自由度 s = 2，选 α 和 β 为两个广义坐标。
l y1 = 1 sin α 2 l2 y 2 = l1 sin α + sin β 2 x3 = l1 cos α + l 2 cos β
实位移
为约束所允许
1）实际发生 ） 2) 具有唯一性 3）可大可小 ） 4）遵循力学规律，与初始条 ）遵循力学规律， 件有关 5） d t ≠ 0 ）
不同点
表示方法
用变分符号表示， 用变分符号表示，如
用微分符号表示， 用微分符号表示，如
相互关系
在稳定的完整约束条件下，实位移是虚位移中的一个， 在稳定的完整约束条件下，实位移是虚位移中的一个，非稳定 完整约束条件下实位移一般不是虚位移中的一个。 完整约束条件下实位移一般不是虚位移中的一个。
∑
n
n
i =1
r r Fi ⋅ δ r +
∑
n
i =1
r r R i ⋅ δ ri = 0
Baidu Nhomakorabea
又因为体系所受约束是理想约束， 又因为体系所受约束是理想约束，于是有
∑
i =1
r r Fi ⋅ δ ri = 0
虚功原理的另一种表述
受有理想约束的力学体系平衡的充要 条件是：力学体系的诸主动力在任意虚位 条件是： 移中所做的元功之和等于零， 移中所做的元功之和等于零，也叫虚位移 原理。 原理。
( P1
l1 l cos α + P2 l1 cos α − Fl 1 sin α )δα + ( P2 2 cos β − Fl 2 sin β )δβ = 0 2 2
Qα = P 1
l1 cos α + P2l1 cos α − Fl1 sin α = 0 2
Qβ = P2
l2 cos β − Fl2 sin β = 0 2
r r r r r δ W = ∑ δ W i = ∑ FRi ⋅ δ r i = ∑ ( Fi + Ri ) ⋅ δ r i > 0
对于理想约束有 即 又已知
r r ∑ Ri ⋅ δ r i = 0
r r Fi ⋅ δ r i > 0 ∑
r r Fi ⋅ δ r i = 0 ∑
故与条件矛盾，即假设不成立。 故与条件矛盾，即假设不成立。故质点系不可能 由静止状态进入运动状态，必须保持平衡。 由静止状态进入运动状态，必须保持平衡。
重物。 重物。设 A 点的顶角为 2α ，试用虚功原理求 绳中的张力。 绳中的张力。
作业 图示曲柄式压榨机的销钉上作用有水平力F ，此力位 于平面 ABC内。作用线平分 ∠ABC 。设AB = BC ， ∠ABC = 2θ， 各处摩擦及杆重不计，求对物体的压缩力。 解：取机构为研究对象，受力如图 建立图示坐标系，以 θ 角为自变量 δ 如两点的虚位移为 δ x B ， y C 根据虚 位移原理，有
r r • δ r 称为 r
• 虚位移与可能位移
稳定约束下实位移是许多虚位移中一个 不稳定约束下实位移一般不是虚位移中一个
• 虚位移与实位移 虚位移
共同点 为约束所允许
1）不是实际发生的 ） 2）可有多个或无穷多个 ） 3）无限微量 ） 4）与力学规律和初始条件无关 ） 5） δ t = 0 ）
l δy1 = 1 cos α ⋅ δα 2 l2 δy 2 = l1 cos α ⋅ δα + cos β ⋅ δβ 2 δx3 = −l1 sin α ⋅ δα − l 2 sin β ⋅ δβ
P1 (
l1 l cos α ⋅ δα ) + P2 ( l1 cos α ⋅ δα + 2 cos β ⋅ δβ ) − F ( l1 sin α ⋅ δα + l 2 sin β ⋅ δβ ) = 0 2 2
n i =1
几种典型的理想约束
• 质点沿光滑的曲面运动； 质点沿光滑的曲面运动； • 质量可忽略的刚性杆所连接的两个质点； 质量可忽略的刚性杆所连接的两个质点； • 两个刚体以光滑的表面接触； 两个刚体以光滑的表面接触； • 两个物体以完全粗糙的表面接触（无滑动）； 两个物体以完全粗糙的表面接触（无滑动）； • 两个质点以柔软的且不可伸长的绳子相连接。 两个质点以柔软的且不可伸长的绳子相连接。
虚功原理的证明
必要性
设质点系处于静力平衡状态， 设质点系处于静力平衡状态，证明作用于质点系所 有主动力所做虚功之和为 0。 。 r r Fi + Ri = 0 已知 设该体系有一虚位移， 设该体系有一虚位移，则对其中某一质点有
r r r ( Fi + R i ) ⋅ δ ri = 0
∑
n
i =1
r r r ( Fi + R i ) ⋅ δ ri =
3
虚功原理
设一个完整的由n 个质点组成的力学 系统， 系统，在k 个理想约束条件下处于静平衡 状态。 状态。其中第i 个质点受到的主动力为 F 则该体系静力平衡条件为： 约束力为 R ，则该体系静力平衡条件为：
i i
∑
n
i=1
uu r u r F i .δ r i = 0
虚功原理的证明
充分性
设作用于质点系所有主动力中所做虚功之和为 0， ， 证明该质点系处于静力平衡。用反证法。 证明该质点系处于静力平衡。用反证法。 设质点系在所有力作用下不平衡，则其中某些质点 设质点系在所有力作用下不平衡， 将从静止进入运动状态，于是对质点系内任意质点上有 将从静止进入运动状态，
（4）用所选常规坐标列出虚功方程； ）用所选常规坐标列出虚功方程； （5）用广义坐标代入上述方程求解。 ）用广义坐标代入上述方程求解。
例：椭圆规是平面结构，如图。曲柄轴为O ，向滑块 椭圆规是平面结构，如图。 A 施加一竖直向下的力会使曲柄向右运动，OC = 施加一竖直向下的力会使曲柄向右运动， 各处摩擦不计，所有接触面光滑。 CB = AC = l ，各处摩擦不计，所有接触面光滑。 上的力矩。 求在图示位置平衡后作用于 OC 上的力矩。
虚功原理的分量表达式
n uu u r r δ W = ∑ Fi .δ ri = ∑ ( Fixδ xi + Fiy δ yi + Fizδ zi ) = 0 n i =1 i =1
问题： 问题：什么情况下上式成立的条件是
Fix = Fiy = Fiz = 0
虚功原理的广义坐标表达式
广义座标表示的虚功原理： 广义座标表示的虚功原理：受理 想约束的体系处于平衡状态的充要条 件是 Q = 0 ，其中
α
Q
α
= ,
∑
n
i = 1
u r uu r ∂ ri Fi ⋅ ∂ qα , L , s
α
= 1
2
例： 均匀杆OA，重P1 ，长为l1 ，能在竖直平面内绕固 定铰链O 转动，此杆的A 端用铰链连另一重P2 、 转动， 长为l2 的均匀杆AB ，在AB 杆的B 端加以水平力 F ，要使此物体系保持平衡它们之间应该满足什 么条件（平衡时两杆与水平方向的夹角）？ 么条件（平衡时两杆与水平方向的夹角）？
uu r 3、图示曲柄式压榨机的销钉上作用有水平力 F ，
此力位于平面 ABC 内。作用线平分 ∠ABC ， 各处摩擦及杆重不计， 设 AB = BC , ∠ABC = 2θ ，各处摩擦及杆重不计， 求对物体的压缩力。 求对物体的压缩力。
l
4、如图长度同为l 的四根轻棒光滑的联成一菱形 AD ABCD 。 AB、 两边支于同一水平线上相距为 C 2a 的两个光滑的钉子上， 点系一重量为 W 的 的两个光滑的钉子上，
代入虚功方程得
θ
Fl sin θδθ − 2Ql cos δθ = 0 1 Q = Ftgθ 2
2 解：取机构为研究对象，受力如图，建立图示坐标系，以
θ
角为自变量，
δxB
如B 、C两点有虚位移
δyB
，由虚功原理有
、
F xδ x B + Q yδ y c = 0
期中力和虚位移都是代数值，故有
θ
θ
F δx B − Q δy C = 0
10δr1 − RDδrD + 8δr2 = 0
如何求虚位移间的关系 由几何关系
δr1 1 = δrD 2
δr2 3 = δrD 4
2
对于静力平衡条件的回顾和引伸
（1）力的平衡 ）
r ∑F = 0 ⇒
∑F δx
ix
i
=0
（2）力矩平衡 ）
uu r ∑M = 0 ⇒
∑F δ y
iy
i
=0
结
论
牛顿力学中的平衡条件在分析 力学中只要一个条件即可表达， 力学中只要一个条件即可表达，即 主动力所作虚功之和为零。 主动力所作虚功之和为零。
写出B、C点的坐标并求变分
x B = − l cos θ
δx B = l sin θδθ yC = 2l sin θ
δy C = 2l cos θδθ
代入虚功方程可求得
Fl sin θδθ − 2 Ql cos θδθ = 0
Q=
1 Ftg θ 2
例3：多跨静定梁所受荷载如图所示。试求链杆D的约束反力。 图中长度单位为米。 解：去除D点的约束，用 约束反力 RD代替，将 RD作 为主动力 给系统一虚位移，则 虚功方程
例题：一个不可伸长的绳子穿过固定的小 例题： 环，绳子两端分别连着两个质点 A 、 B ，绳子作用于两质点的张力大小相 方向却并不相反， 等，方向却并不相反，这一对力对质 所作虚功为零，试证明之。 点 A、B 所作虚功为零，试证明之。
作业：图示的力学体系中两个质点以柔 作业： 软的且不可伸长的绳子相连接， 软的且不可伸长的绳子相连接， 试证明此约束为理想约束。 试证明此约束为理想约束。
tgα =
P1 + 2 P2 2F
tgβ =
P2 2F
4
虚功原理求解问题的步骤
（1）确定研究对象； ）确定研究对象； （2）分析作用于研究对象上的作用力（主动力）； ）分析作用于研究对象上的作用力（主动力）；
含一般坐标和广义坐标.选 （3）建立适当的坐标 含一般坐标和广义坐标 选 ）建立适当的坐标,含一般坐标和广义坐标 取广义坐标时必须进行自由度分析； 取广义坐标时必须进行自由度分析；