2011高一数学学案：3.1.1《实数指数幂及其运算》(第一课时)(新人教B版必修一)
人教B版数学高一版必修1学案实数指数幂及其运算(1)
数学人教B 必修1第三章3.1.1 实数指数幂及其运算1．理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有关计算． 2．通过具体实例了解实数指数幂的意义．3．通过本节的学习，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，可以利用计算器或计算机实际操作，感受“逼近”的过程．1．整数指数幂(1)正整指数幂的定义：______＝n a a a a ⋅⋅⋅⋅个(n ∈N ＋)． (2)正整指数幂的运算法则： ①a m ·a n ＝______； ②(a m )n ＝______；③a m ÷a n ＝____________(m ＞n ，a ≠0)； ④(ab )n ＝________； ⑤⎝⎛⎭⎫a b n ＝a n bn (b ≠0)．在上述法则③中，限定m ＞n ，如果取消这种限制，则正整指数幂就推广到了整数指数幂．但要规定a 0＝1(a ≠0)．a －n ＝1an (a ≠0，n ∈N ＋)．这样一来，上面的五条运算法则就可以归纳为三条：①a m ·a n ＝______； ②(ab )n ＝______； ③(a m )n ＝______.同时，将指数的范围扩大到了整数．【做一做1】已知a ＞0，m ，n 为整数，则下列各式中正确的有( ) A ．a m÷a n＝m naB ．a n ·a m ＝a m ·nC ．(a n )m ＝a m ＋nD ．1÷a n ＝a 0－n 2．根式(1)根式的定义：式子______叫做根式，这里n 叫做________，a 叫做________．(2)n 次方根的定义：如果存在实数x ，使得______(a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则____叫做____的n 次方根．(3)n 次方根的性质：①在实数范围内，正数的奇次方根是一个______，负数的奇次方根是一个______，零的奇次方根是____．设a ∈R ，n 是大于1的奇数，则a 的n 次方根是________．②在实数范围内，正数的偶次方根是________________的数，零的偶次方根是______，负数的偶次方根________．设a ≥0，n 是大于1的偶数，则a 的n 次方根是________．其中________叫做a 的n 次算术根．(4)根式的性质：①(na )n ＝____(n ＞1，且n ∈N ＋)；②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧，当n 为奇数时， ，当n 为偶数时.正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零．【做一做2】计算3(－8)3＋4(3－2)4－(2－3)2＝________. 3．分数指数幂(1)如不特别说明，我们约定底数a ＞0.于是，正分数指数幂可定义为1na =________(a ＞0)；m na =________(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数)．负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，同样可定义为m na-=________(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn为既约分数)．(2)有理指数幂的运算法则：①a αa β＝a α＋β(a ＞0，α，β∈Q )； ②(a α)β＝a αβ(a ＞0，α，β∈Q )；③(ab )α＝a αb α(a ＞0，b ＞0，α∈Q )．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义，有理指数幂的三条运算法则实际上可推广到实数指数幂．【做一做3－1】把根式a a 化成分数指数幂是( )A ．32()a - B ．32()a -- C ．32a - D ．32a【做一做3－2】计算：23×31.5×612. 4．无理指数幂教材中通过实例利用______的思想理解无理指数幂的意义． 一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数． 另外，我们要熟记经常要用的公式：(1)a －b ＝(a －b )(a ＋b )(a ＞0，b ＞0)； (2)a ±2ab ＋b ＝(a ±b )2(a ＞0，b ＞0)． 【做一做4】判断正误： (1)23是一个有理数．( )(2)23不是一个确定的数，而是一个近似值．( ) (3)23没有意义．( ) (4)23是一个实数．( )一、辨析(n a )n 和na n剖析：(na )n 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶性来决定： ①当n 为大于1的奇数时，a ∈R .例如，(327)3＝27，(5－32)5＝－32，(70)7＝0； ②当n 为大于1的偶数时，a ≥0.例如，(427)4＝27，(3)2＝3，(60)6＝0；若a ＜0，式子(na )n 无意义，例如，(－2)2，(4－54)4均无意义．由此只要(n a )n 有意义，其值恒等于a ，即(na )n ＝a .na n 是实数a n 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶性限制，a ∈R .但是这个式子的值受n 的奇偶性限制：①当n 为大于1的奇数时，其值为a ，即n a n ＝a ，例如，3(－2)3＝－2，56.15＝6.1； ②当n 为大于1的偶数时，其值为|a |，即n a n ＝|a |.例如，434＝3，(－3)2＝|－3|＝3.由此n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝2k －1，k ∈N ＋，且k >1，|a |，n ＝2k ，k ∈N ＋.二、根式与分数指数幂互化的条件探究剖析：(1)引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即na ＝1na ，这时被开方数a 即是分数指数幂的底数，根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数，显然1na 是m na 当m ＝1时的特例．(2)分数指数幂的意义来源于根式，而要使na m 对任意的n ∈N ＋且n ＞1都有意义，必须限定a ＞0，否则，当a ＝0时，若m ＝0或mn 为分母是偶数的负分数，mn a 没有意义；当a ＜0时，若m 为奇数，n 为偶数，m na 没有意义．(3)我们可以从一实例看看为什么会加上这个限制条件，如：－3＝3－27＝1236(27)(27)-=-6(－27)2＝6729＝3.为什么会出现－3＝3这种情况？看看错在了哪里？因为这里的－3＜0，在1236(27)(27)-=-中发生了错误，分数的分子、分母扩大相同的倍数分数值不变，有这个性质，必须限制条件“a ＞0”或“a ＞0，b ＞0”．在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，且尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的性质进行化简、求值、计算，以利于运算，达到化繁为简的目的．对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一般用分数指数幂的形式来表示．如果有特殊要求，则按要求给出结果，但结果中不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既含有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式．题型一 简单的指数幂运算 【例1】计算：(1)2312527-⎛⎫⎪⎝⎭； (2)230.008-； (3)34812401-⎛⎫⎪⎝⎭； (4)(2a ＋1)0； (5)⎣⎡⎦⎤56－⎝⎛⎭⎫35－1－1.分析：在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时(如(1)(2)(3))，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便．在幂的运算中，对于形如m 0的式子，要注意对底数m 是否为零进行讨论，因为只有在m ≠0时，m 0才有意义；而对于形如⎝⎛⎭⎫b a －n的式子，我们一般是先变形为⎝⎛⎭⎫a b n ，然后再进行运算．反思：在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则．熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键．题型二 利用根式的性质化简根式 【例2】化简下列各式： (1)3a 3； (2)2 010(x －4)2 010； (3)a 6； (4)2 011(x －7)2 011.分析：根据n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数来化简．反思：通过对本题的解答，大家一定要注意区分好n a n 与(na )n 的形式，并且要建立分类讨论的思想意识．题型三 根式与分数指数幂的互化【例3】(1)把2112 011-化为根式为__________；(2)把1(x ≠0)化为分数指数幂的形式为__________；(3)b ＞0)化为分数指数幂的形式为__________．反思：通过本例题，我们能得到如下结论：(1)分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，分数指数幂与根式可以相互转化．(2)当所求根式含有多重根号时，由里向外用分数指数幂形式写出，然后再用性质进行化简．题型四 整体代入法求值 【例4】已知11223a a-+=，求a ＋a －1，a 2＋a －2的值．分析：本题主要考查分数指数幂及其应用．观察到11221a a -=，对已知等式两边平方即可求解．反思：本题是已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”．解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点，常以整体代入来求值．【例5】已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x ＜y ，求11221122x y x y-+的值．分析：此题不宜采用直接求值的方法，要考虑把x ＋y 及xy 整体代入求值．反思：整体代入法在条件求值中非常重要，也是高中数学中一种重要的解题方法．在此题的解题过程中，不宜求出x ，y 后再代入，而应考虑把x ＋y 及xy 整体代入求值．1下列等式中一定成立的有( ) ①36a 3＝2a ；②3－2＝6(－2)2；③－342＝4(－3)4×2.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果为( ) A ．2x －5 B ．－2x －1 C ．－1 D ．5－2x 3求下列各式的值：(1)(325－125)÷45；(2)a 3a ·5a 3(a ＞0)．答案： 基础知识·梳理1．(1)a n (2)①a m ＋n ②a mn ③a m －n ④a n b n ①a m ＋n ②a n b n ③a mn【做一做1】D 只有选项D 是按照幂的运算法则进行的．选项A 应为a m －n ，选项B 应为a m ＋n ，选项C 应为a mn .2．(1)n a 根指数 被开方数 (2)x n ＝a x a (3)①正数 负数 零 n a ②两个绝对值相等符号相反 零 没有意义 ±n a na (4)①a ②a |a |【做一做2】－8 原式＝－8＋|3－2|－(2－3)＝－8＋2－3－2＋3＝－8.3．(1)n a n a m 1m na【做一做3－1】D【做一做3－2】解：23×31.5×612＝1113262323(32)2⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭＝1111113323623236-+++⨯=⨯=. 4．逼近【做一做4】(1)× (2)× (3)× (4)√ 典型例题·领悟【例1】解：(1)2233331255273--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝5－23－2＝3252＝925. (2)2223223310.008(0.2)0.25255----⎛⎫===== ⎪⎝⎭.(3) 33444481324017--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝3－37－3＝7333＝34327. (4)(2a ＋1)0＝⎩⎨⎧1， a ≠－12，无意义， a ＝－12.(5)⎣⎡⎦⎤56－⎝⎛⎭⎫35－1－1＝⎝⎛⎭⎫56－53－1 ＝⎝⎛⎭⎫－56－1＝－65. 【例2】解：(1)3a 3＝a . (2)2 010(x －4)2 010＝|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥4，4－x ，x <4.(3)a 6＝(a 3)2＝|a 3|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，a ≥0，－a 3，a <0.(4)2 011(x －7)2 011＝x －7.【例3】(1)1112 0112(2)35x-(3)19b利用m na=a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数)和1m nmna a-=(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数)转化即可．(1)原式＝12 011211＝1112 0112；(2)==＝3591353511()x x x-==.(3)原式＝2221211()3334394[()]b bb ---⨯⨯-==.【例4】解：∵11223a a-+=，∴211229a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴a ＋2＋a －1＝9.∴a ＋a －1＝7.∴(a ＋a －1)2＝49，∴a 2＋2＋a －2＝49.∴a 2＋a －2＝47.【例5】解：211221122111111 222222x yx yx y x y x y⎛⎫-⎪-⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++-⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝12 ()2()x y xyx y+--.①∵x＋y＝12，xy＝9，②∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. ∵x＜y，∴x－y＝－6 3.③将式②③代入式①，得11122211229x yx y-==+随堂练习·巩固1．A 36a3＝36·a≠2a；3－2＜0，而6(－2)2＞0；－342＜0，而4(－3)4×2＞0.2．C由2－x有意义，得x≤2，∴原式＝(x－2)2－(x－3)2＝|x－2|－|x－3|＝2－x－(3－x)＝－1.3．解：(1)原式＝23 23132 3241455 (55)55--÷=＝213155 3424124 5555 ---=-.(2)原式＝1319 3325103152aa aa a--==⋅.。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的性质。
2. 掌握实数指数幂的运算法则，能够熟练进行相关计算。
3. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：实数指数幂的概念，有理数指数幂的性质，实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：实数指数幂的运算法则的应用。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解实数指数幂的概念、性质和运算法则。
2. 利用例题解析，让学生掌握实数指数幂的运算方法。
3. 开展小组讨论，引导学生探索实数指数幂的运算法则的应用。
四、教学内容1. 实数指数幂的概念2. 有理数指数幂的性质3. 实数指数幂的运算法则4. 实数指数幂的运算法则在实际问题中的应用五、教学安排1. 第一课时：实数指数幂的概念、有理数指数幂的性质2. 第二课时：实数指数幂的运算法则、例题解析3. 第三课时：实数指数幂的运算法则的应用、小组讨论4. 第四课时：课堂小结、作业布置5. 第五课时：作业批改与讲解、课后辅导六、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引出实数指数幂的运算法则。
2. 讲解实数指数幂的运算法则：引导学生通过观察、分析、归纳实数指数幂的运算法则。
3. 例题解析：讲解典型例题，让学生掌握实数指数幂的运算方法。
4. 小组讨论：让学生探讨实数指数幂的运算法则的应用，分享解题心得。
5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调实数指数幂的运算法则的重要性。
七、课后作业1. 复习实数指数幂的运算法则。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考实际问题，运用实数指数幂的运算法则解决问题。
八、作业批改与讲解1. 及时批改学生作业，了解学生掌握情况。
2. 针对学生作业中出现的问题，进行讲解和辅导。
3. 鼓励学生提问，解答学生心中的疑惑。
九、课后辅导1. 针对学习有困难的学生，进行个别辅导。
2. 组织课后讨论小组，帮助学生巩固实数指数幂的运算法则。
高中数学人教B版必修一学案：3.1.1 实数指数幂及其运算
3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算[学习目标] 1.理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幂的意义.[知识链接]1.4的平方根为±2，8的立方根为2. 2.23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，2523＝4. [预习导引] 1.基本概念a n＝a 0＝1(a ≠0) a －n＝1an (a ≠0)(1)(na )n ＝a (n ＞1且n ∈N ＋)；(2)na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (n 为奇数且n ＞1，n ∈N ＋)，|a | (n 为偶数且n ＞1，n ∈N ＋).3.有理指数幂的运算法则若a >0，b >0，则有任意有理数α，β有如下运算法则： (1)a αa β＝a α＋β；(2)(a α)β＝a α·β； (3)(ab )α＝a α·b α. 解决学生疑难点要点一 根式的运算 例1 求下列各式的值： (1) 3(－2)3；(2)4(－3)2；(3)8(3－π)8；(4)x 2－2x ＋1－ x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3)解 (1) 3(－2)3＝－2.(2) 4(－3)2＝432＝ 3. (3)8(3－π)8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.2.开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.跟踪演练1 化简下列各式： (1)5(－2)5；(2) 4(－10)4；(3)4(a －b )4.解 (1) 5(－2)5＝－2.(2) 4(－10)4＝|－10|＝10. (3)4(a －b )4＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b (a ≥b )，b －a (a ＜b ).要点二 根式与分数指数幂的互化 例2 将下列根式化成分数指数幂形式： (1)3a ·4a ； (2)a a a ；(3)3a 2·a 3； (4)(3a )2·ab 3. 解 (1)3a ·4a ＝31a ·41a ＝127a ；(2)原式＝a ·21a ＝a ·21a ·41a ＝21a ·41a ·＝87a ；(3)原式＝32a ·23a ＝613a ； (4)原式＝(31a )2·21a ·23b ＝23b .规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：nma ＝na m 和＝1nma ＝1n a m，其中字母a 要使式子有意义.跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式： (1) 3a ·6－a (a ＜0)； (2)3ab 2(ab )3(a ，b ＞0)；(3)(b ＜0)； (4)13x (5x 2)2(x ≠0).解 (1)原式＝31a ·＝－·＝－(a ＜0)；(2)原式＝323232b a ab ⋅＝＝(a ，b ＞0)； (3)原式＝＝＝(b ＜0)；18b 76a -m na23)16()-a 13()-a 16()-a 12()-a 157322()⋅a b 56a 76b 23)212343()⨯⨯-b 19()-b(4)原式＝3154311⨯⋅xx ＝531x＝.要点三 分数指数幂的运算例3 (1)计算：－⎝⎛⎭⎫－780＋＋16－0.75＋|－0.01|；(2)化简：3329-a aa ＞0).解 (1)原式＝(0.43)31-－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝[]÷[]＝613676369-+-a＝a 0＝1.规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 跟踪演练3 计算或化简：(1)⎝⎛⎭⎫－33832-＋(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)323a ·a －3·(a －5)21-·(a21-)13.解 (1)原式＝(－1)32-⎝⎛⎭⎫33832-＋⎝⎛⎭⎫150021-－105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫27832-＋(500)21－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.(2)原式＝(23a ·)31·[(a －5)21-·(a21-)13]21＝(a 0)31·(·)21＝(a －4)21＝a －2.35-x130.064-433[(2)]--121219133232⨯⨯⋅（-）a a171132323⨯⨯⋅（-）（）aa32-a 52a 132-a1.下列各式正确的是( ) A.(3a )3＝a B.(47)4＝－7 C.(5a )5＝|a | D.6a 6＝a答案 A解析 (47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |. 2.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( ) A.0B.2(a －b )C.0或2(a －b )D.a －b答案 C解析 当a －b ≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )； 当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0. 3.计算[(－2)2]21的结果是( ) A. 2 B.－2 C.22D.－22答案 A解析 [(－2)2]21＝[(2)2]21＝ 2. 4.下列各式运算错误的是( ) A.(－a 2b )2·(－ab 2)3＝－a 7b 8 B.(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3 C.(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6 D.[－(a 3)2·(－b 2)3]3＝a 18b 18. 答案 C解析 直接运用指数幂的运算法则分别计算后选择.对于A ，(－a 2b )2·(－ab 2)3＝a 4b 2·(－a )3b 6＝－a 7·b 8，故正确.对于B ，(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝－a 6b 9÷(－a 3b 6)＝a 6－3b 9－6＝a 3b 3，故正确.对于C ，(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6·(－b 6)＝－a 6b 6，故C 项错误.对于D ，易知正确，故选C.5.221-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·＝________.答案 22－3 解析 原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3.1.掌握两个公式：(1)(n a )n ＝a ；(2)n 为奇数，n a n ＝a ，n 为偶数，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0).2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.238。
2011高一数学学案：3.1.1《实数指数幂及其运算》(第二课时)(新人教B版必修一)
3.1.1实数指数幂及其运算（2）【学习目标要求】要求学生理解分数指数幂的概念和性质，根式和分数指数幂的互化，实数指数幂的概念和性质，并会进行相关运算。
【知识再现】1 ① 当n =；② 当n a ⎧==⎨⎩（要注意分清n 是偶数还是奇数)2 整数数指数幂的性质（1） ，（2） ，（3） 。
（4） 。
3 如果存在实数x ，使得(,1,)n x a a R n n N +=∈>∈，则x 叫作 。
求a 的n 次方根，叫作把a 开n 次方，称作 。
4规定正分数指数幂的定义是：（1） （2） 。
规定负分数指数幂的定义是： 。
规定0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂和0次幂 。
规定了分数指数幂以后，指数的概念也就从整数指数扩展到了 指数。
5 有理指数幂的运算性质有：（1） （2）（3） 。
【概念探究】阅读教材86页88页例题1以前，思考并完成以下问题1分数指数幂是根式的另一种表示，根式的运算可利用 之间的关系转化为分数指数幂的运算．对于问题计算化简的结果，不强求统一用何种形式来表示．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．2 为什么有理指数幂可以扩展到无理指数幂？例题例1 化简：332b a a b ba练习：（1例2：已知：22121=+-a a 求下列各式的值（1）22-+a a ；（2）33-+a a ；（3）44-+a a .练习：已知12,9x y xy +==，且x y <，求11221122x yx y -+的值。
【课堂检测】1 下列运算正确的是（ ）A 2332()()a a -=-B 235()a a -=-C 235()a a -=D 236()a a -=- 2 下列说法正确的是（ ）A -2是16的四次方根B 正数的n 次方根有两个C a 的nD a =3 下列各式成立的是（ ） A 7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B= C34()x y =+ D=4. （1）4325)12525(÷-（22a＞0）5. 化简2115113366221()(3)()3a b a b a b-÷，(0)b≠6. 0=，求x y。
高中数学3.1实数指数幂教案新人教B版必修1
3.1.1实数指数幂及其运算（课课前预习案）一．教学目标：1 理解分数指数幂的概念及有理指数幂的意义；2 掌握有理指数幂的运算性质。
二．学习重点难点:1 重点：分数指数幂的概念及分数指数幂的运算性质；2 难点：根式的概念及分数指数的概念。
三．课前自学: 知识梳理学点一 整数指数正整数指数幂的运算法则（1）m na a = ， （2）()m n a = ， （3）mn a a= ， （4）()m ab = 。
学点二 分数指数幂1．n 次方根的概念 .2．n 次算术根的概念 .3．根式的概念 .4．正分数指数幂的定义 1n a = ； m n a= . 5．负分数指数幂运算法则mn a -= .6．有理指数幂运算法则a a αβ= ；()a αβ= ；()ab α=学点三 无理指数幂1． 一般地，当a>0，α为任意实数时，实数指数幂都是有意义的。
2． 无理指数幂的运算性质同有理指数幂运算法则。
3.1.1实数指数幂及其运算（课堂教学案）【题型一】 整数指数幂的运算例1 求值：① 08= ，②()08-= ，③当()0a b a b ≠-时，= ,④310-= ，⑤612-⎛⎫- ⎪⎝⎭= ， ⑥()32x -= , ⑦232x r -⎛⎫ ⎪⎝⎭= ，⑧0.0001= ， ⑨22a b c = ,【题型二】根式的运算例2求值： ①33)8(-=_________； ②2)10(-= _____ _______； ③44)3(π-= ____________；④)()(2b a b a >-= ___________ .【题型三】分数指数幂的运算例3用分数指数幂的形式表示下列各式：33______,_____a a === (式中a ＞0)【变式】求值：3255(1)88⨯= ，23(2)8= ，= ， 32134(4)a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭= ，11112222(5)a b a b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭= ，21122(6)a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= .【题型四】指数幂的综合运算例4 化简下列各式：（1）213211113625;1546x y x y x y ---⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2)111222.m m m m --+++变式：计算下列各式：2230);x a y >【当堂检测】1．填空（1 ， （2= ，（3）()32(3)x x --= ， （4）221()(5)5x x -= ，（5）2327= ， （6）321(6)4= .（8=___ ________2．化简：)()(41412121y x y x -÷-实数指数幂及其运算（课后拓展案）１．下列运算中，正确的是（ ）（A ）5552a a a ⋅= （B ）56a a a +=（C ）5525a a a ⋅= （D ）5315()a a -=-２．下列根式与分数指数幂的互化中．正确的是（ ）（A ）12()(0)x x =-> （B 13(0)y y =<（C ）340)x x -=> （D ）130)x x -=≠3．式子a 化简正确的是（ ）()A 111144a b ()B 111142a b ()C 114a ()D 114b4． 42的值是（ ）A. 24aB. 10aC. 113a D. 2a5．化简（1）131121373222[()()()]a b ab b ---⋅⋅⋅= ．（2） 21131133344()()x y z x y z ---⋅⋅⋅⋅⋅= ．（3)20a >= ．6．若103,104x y ==，则10x y -= ．7．求值： 341681⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12100-， 314-⎛⎫⎪⎝⎭8．求值：()10.523312570.0272279⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9、（1）已知331122222223,3x x x x x x ---+++=++求的值（选做题）(2)求a 3x＋a －3xa x ＋a －x 的值，其中a x＝5.教后反思（学后反思）精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
《实数指数幂及其运算》(第1课时) 示范公开课教学设计
《实数指数幂及其运算》教学设计◆教学目标（1）理解有理指数幂的含义，能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化；提升学生的数学抽象素养；（2）了解实数指数幂的意义,体会有理指数幂向无理指数幂逼近的过程.提升学生的直观想象素养．（3）掌握有理数指数幂的运算性质，能运用性质进行化简计算，提升学生的数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：分数指数幂的概念及分数指数的运算性质．教学难点：分数指数概念，对非整数指数幂意义的了解，特别是对无理指数幂意义的了解．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第2页，回答下列问题：（1）本章将要研究哪类问题？（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容.预设的答案：（1）本章将要研究指数函数、对数函数、幂函数这三类基本初等函数的性质与图像.（2）本章是继上一章学习函数及其性质的基础上继续深入学习的一部分，是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生获得较为系统的函数知识，并初步了解函数的一般方法，培养函数应用的意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感性上升到理性，因此，这一章起到了承前启后的重要作用.（3）起点是分数指数幂和根式的概念，目标是通过研究分数指数幂和根式使学生对指数函数及对数函数等基本初等函数的图像及其性质有更加理性的认知，对掌握基础的数学语言有不可或缺的作用.设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、问题导入问题2：国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%.你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长幸，并以2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？师生活动：考虑到学生可能对平均增长率不太熟悉，在课堂上可以先不要求进行相关计算，但是用利用本节将要学习的内容解决相关问题.相关的计算和预测数据等，在本节最后将会呈现.设计意图：从学生熟悉的现实生活中常见的但又不知如何解决此类问题的情境导入，制造一种熟悉又陌生的感觉，激起学生的疑惑，激发学生的兴趣.引语：为了解决类似情境中的问题，我们需要对指数运算有更多的了解.（板书：实数指数幂及其运算）【新知探究】1．把初中学过的知识作为实例，感知指数幂，分析出有理指数幂的概念，并逐步引到实数指数幂的研究上.初中我们已经学习了整数指数幂的知识，例如25=2×2×2×2×2=32， 30=师生活动：问题1 整数指数幂a n (n ∈N ＋)的意义是什么？a n 、a 、n 分别叫做什么？一般地，a n 中的a 称为底数，n 称为指数①．==-53153追问1：正整指数幂有哪些运算法则？整数指数幂运算的运算法则有a m a n=a m+n，（a m）n=a mn，（ab）m=a mb m.追问2：对于幂指数0，是否满足上述法则？（让学生自由发挥，分组讨论，一起判断，教师点评.）预设的答案：（1）非零实数的0次幂等于1；（2）0的0次幂无意义.2、初中我们还学习了平方根和立方根：（1）如果x2=a，则称x为a的平方根（或二次方根）：当a>0时，a有两个平方根，它们互为相反数，负的平方根记为当a=0时，a只有一个平方根，=；当a＜0时，a在实数范围内没有平方根．例如，=二次根式的运算法则有2a===（2）如果x3=a，则x称为a的立方根（或三次方根），在实数范围内，任意实数a有且只例如，=问题3：类比二次方根和三次方根，给出四次方根和五次方根的定义？预设的答案：（1）如果,4ax=则x称为a的四次方根：当a>0时，a有两个四次方根，它们互为相反数，正的四次方根记作4a，负的四次方根记作a=0时，a只有一个四次方根，记作04=；当a<0时，a在实数范围内没有四次方根.（2）如果,5ax=则x称为a的五次方根：在实数范围内，任意实数a有且只有一个五次方根，记作5a.师生活动：问题4：通过上述问题的探讨，请同学们自行归纳出n次方根的概念938预设的答案：一般地，给定大于1的正整数n 和实数a ，如果存在实数x ，使得 x n =a ，则x 称为a 的n 次方根．总结：本章中，所有字母的取值范围均默认为使式子有意义的取值范围．例如，因为方程x 4=81的实数解为3与-3，因此3与-3都是81的4次方根：因为25=32，而且x 5=32只有一个实数解，所以32的5次方根为2 根据方程x n =a 解的情况不难看出：（1）0的任意正整数次方根均为0，记为000=.（2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a 的n 次算术根，记为n a ，负的方根记为-n a ；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a ＜0且n 为偶数时，n a 在实数范围内没有意义．（3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为n a ．而且正数的奇数数次方根是一个正数，负数的奇数数次方根是一个负数.当n a 有意义的时候，n a 称为根式，n 称为根指数，a 称为被开方数. 一般地，根式具有以下性质： （1）a a nn =)(（2）当n 为奇数时，a a n n=；当n 为偶数时，||a a n n =强调：（1）n a 一般读作“n 次根号a ”（2）当a <0且n 为偶数时，n a 在实数范围内没有意义；（3）当n a 有意义时，n a 是一个实数，而且它的n 次方等于a ，即a a nn =）（预设的答案：（1）2- （2）23） 4- （4）2 （5）｜a −b ｜ (6)2)(b a - 设计意图：通过让学生自行归纳n 次方根的概念，培养学生利用类比等方式学习新知识的能力，通过特殊情况归纳得到一般情况是本书反复强调的一点，符合学生的认知习惯.问题5：对于n a ，当n 是正整数时的意义我们已经知道，那么这里的n 能不能是分数呢？当n 是分数时，n a 的意义又是什么呢？预设的答案：n 可以是分数，比如215，215应该满足555)5(1221221===⨯，这表示215应该是5的平方跟，但是5的平方根有两个，即5和5-，为了方便起见，我们规定5521=.当n 是分数时，na 的意义是如果n 是正整数，那么：当n a 有意义时，规定n na a =1设计意图：通过让学生对具体实例的理解，快速的理解一般情况的事实.总结：对于一般的正分数nm ，也可作类似规定，即 nm m n n ma a a ==)(但值得注意的是，这个式子在nm不是既约分数（即m ，n 有大于1的公约数）时可能会有歧义.追问：当0≠a 且m 与n 都是正整数时，n mnm a a=，那么此时该如何理解nm a-呢？预设的答案：可以从运算法则的角度来理解，即nmnm nm aaa10==--.设计意图：培养学生分析和归纳的能力.因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： （1）（2） （3）(0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈()(0,,)r S rsa a a r s Q =>∈()(0,0,)rr ra b a b Q b r Q ⋅=>>∈本资源展现分数指数幂的意义，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．本资源适用于分数指数幂的意义的教学，供教师备课和授课时参考．若需使用，请插入微课【知识点解析】分数指数幂的意义问题6：求证：如果a >b >0，n 是大于1的自然数，那么11nna b > 证明 假设nnb a 11<或nnb a 11=根据不等式的性质与根式的性质，得a <b 或a =b ． 这都与a >b 矛盾，因此假设不成立，从而nnb a 11> 利用上述结论，可以证明（留作练习）： （1）如果a >s >0，s 是正有理数，那么a s >b s ； （2）如果a >1，s 是正有理数，那么a s >1，a -s <1； （3）如果a >1，s >t >0，且s 与t 均为有理数，那么a s >a t问题7：若＞0，P 是一个无理数，则该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本6页.a (0,)pa a p >是一个无理数此图片是动画缩略图，本资源通过数轴上近似值逼近的方法认识无理数指数幂，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率. ，本资源适用于认识无理数指数幂的教学，供教师备课和授课使用..若需使用，请插入【数学探究】认识无理数指数幂 .预设的答案：一般来说，无理数指数幂是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,)pa a p >是一个无理数(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈()(0,)r r r ab a b a r R ⋅=>∈本资源展现无理数指数幂的意义，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．本资源适用于无理数指数幂的意义的教学，供教师备课和授课时参考．若需使用，请插入图片【知识点解析】无理数指数幂的意义 例1.求值:①8;②25③()－5;④().师生活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23，25写成52，写成2－1，写成()4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①8=(23)=2=22=4; ②25=(52)=5=5－1=; ③()－5=(2－1)－5=2－1×(－5)=32; ④()=()=()－3=.设计意图：本例主要考查幂值运算，要按规定来解.在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如8===4.3221-21811643-218116323232323⨯21-21-)21(2-⨯5121811643-32)43(4-⨯3282732328364例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·;a 2·;(a >0).师生活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结. 解：a 3·=a 3·a =a=a ;a 2·=a 2·a =a=a ;=(a ·a )=(a )=a .设计意图：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数. 例3计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a b )(－6a b )÷(－3a b ); （2）(m n)8.师生活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤. 解：（1）原式=［2×(－6)÷(－3)］a b=4ab 0=4a ;（2）(m n)8=(m )8(n)8=mn =m 2n －3=. 设计意图：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法.有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用.a 32a 3a a a 21213+2732a 32232+383a a 31213421323221213161654183-612132-+653121-+4183-4183-841⨯883⨯-32n m设计意图：巩固集合的概念，元素与集合之间的关系．关键是要搞清每个集合中的元素是什么，进而确定给定的元素与集合之间的关系．【课堂小结】1．板书设计：4.1指数与指数函数1．有理指数幂例12．有理指数幂的性质例23．实数指数幂例3练习与作业：教科书第8页练习A1，2题；教科书第8页练习B 1，4题．2．总结概括：问题8：(1)无理指数幂的意义是什么？.(2)实数指数幂的运算性质有哪些？(3)逼近的思想，体会无限接近的含义.师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1一般地，无理数指数幂aα（a>0，α是无理数）是一个确定的实数.（2）对任意的实数r，s，均有下面的运算性质:①a r·a s=a r+s(a>0，r，s∈R).②(a r)s=a rs(a>0，r，s∈R).③(a·b)r=a r b r(a>0，b>0，r∈R).设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确指数幂的有关知识．布置作业：教科书第8页练习B 1-4题．【目标检测】1.下列说法中:①16的4次方根是2; ②416的运算结果是±2; ③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义;④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义.其中正确的是()A.①③④B.②③④C.②③D.③④设计意图：考查学生对指数幂的掌握程度．2.2.已知x5＝6，则x等于()A. 6B.56 C.－56 D.±56设计意图：考查学生对根式的理解．3．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是()A.4m2 B.3m C.6m D.5－m 设计意图：考查学生对根式的理解及运算的素养．参考答案:1、①错，∵(±2)4＝16，∴16的4次方根是±2; ②错，416＝2，而±416＝±2. ③④正确. 答案D2、由根式的定义知，x5＝6，则x＝56，故选B.3、要使6m有意义，m≥0.。
高中数学 实数指数幂及其运算学案 新人教B版必修1
实数指数幂及其运算学案 新人教B 版必修1一、三维目标：1.掌握实数指数幂的拓展过程过程中的不变性质。
2.掌握根式和有理数指数幂的意义3.注意指数幂的拓展过程中的底数的约束条件 二、学习重、难点：重点：实数指数幂的运算和底数的限制条件；难点：实数指数幂的运算；一、正整数指数幂（复习）：1．()n a n N +∈的意义： n na a a a =⋅2．()n a n N +∈的运算： （1）mnm na a a+⋅= （2）()m n m n a a ⋅=（3）(,0)m m n n a a m n a a-=>≠ （4）()m m ma b a b ⋅=⋅二、负整数指数幂（拓展）：规定： 01(0)a a =≠ 1(0)nna a a -=≠ 三、分数指数：1．复习：问题： 2x a = 3x a = 则x 的取值是什么？ 2．拓展：如果存在实数x ，使得nx a =(,1,)a R n n N +∈>∈，则x 叫做a 的n 次方根；求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算， 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根。
n 叫做根指数。
3．根式性质：(1) (1,)n a n n N +=>∈a n a n ⎧=⎨-⎩，当为正奇数时，当为正偶数时4．分数指数幂（有理指数幂）： （1）正分数指数幂：10)n a a =>0,,,)m nma a n m N n+=>∈且为既约分数 （2）负分数指数幂：1(0,,,)m nm nmaa n m N na-+=>∈且为既约分数 5、有理指数幂运算法则：0,0a b >>，,αβ是有理数 (1) aa a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅四、无理指数幂：1、0,0a b >>，,αβ是无理数 (1) aa a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅2、实数指数幂： 0,0a b >>，,αβ是实数(1) aa a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅一、典型例题：例1、化简下列各式：（1）()03.14π- （2）512-⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）()42x - （4）13()()a ab b -（5）()32212339a b a b a b -----⋅⋅-例2、（根式）求下列各式的值： （1） 21.53(0.027)-； （2（3（4（52 （6（7）)0(322>⋅a aa a例3、计算下列各式：（1）1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⋅-（2）141030.753327(0.064)()[(2)]16|0.01|8-----+-+--例4、根据条件求值 1、 已知32121=+-aa ，求下列各式的值。
人教新课标版数学高一人教B版必修1学案 实数指数幂及其运算(1)
3．1．1实数指数幂及其运算（1）学习目标：1理解根式和分数指数幂的概念及它们的运算性质．了解实数指数幂的意义。
2 会进行简单的运算。
教学重点：分数指幂的意义及其运算性质及依运算性质进行计算求值【知识再现】 1相同因数相乘个n a aaa ⋅⋅⋅记作na ，读作 ，a 叫做幂的 ，n 叫做幂的 。
其中n 是正整数。
2 正整数指数幂的性质：（1） （2）（3） （3）【概念探究】阅读教材85页到88页例1，完成下列各题。
1 指数概念的扩充：n a 中的n 可以扩展为整数。
整数指数幂的性质为：（1）（2） （3） 。
2 0a = ，n a -=3零指数幂和负整数指数幂都要求 。
4 如果存在实数x ，使得(,1,)n x a a R n n N +=∈>∈，则x 叫作 。
求a 的n 次方根，叫作把a 开n 次方，称作 。
① 当n a =；② 当n ,0,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ （要注意分清n 是偶数还是奇数)○3根式的运算经常要转化为分数指数幂来运算。
○4注意：零的负分数指数幂和零次幂没有意义5规定正分数指数幂的定义是：（1） （2） 。
规定负分数指数幂的定义是： 。
规定0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂和0次幂 。
规定了分数指数幂以后，指数的概念也就从整数指数扩展到了 指数。
6 有理指数幂的运算性质有：（1） （2）（3） 。
例题例1 在同一个代数式中，按字母依次进行幂指数的运算。
（1）213211113225;1546x yx y x y---⋅⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）111222m mm m--+++例2 完成下列练习，注意体会有理数指数幂的的运算法则：（1）111113216842 (12)(12)(12)(12)(12)-----+++++=（2）计算13203 1()(1.03)(42--+⋅-【课堂练习】1 化简，注意体会指数的运算性质：（1）222520432()()()a b a b a b --⋅÷ （2）340.10.01-- （3）322123(3)9a b a b a b ------ （4）33420()()(0,0)()()a b a b a b a b a b a b --⎡⎤+-+≠-≠⎢⎥-+⎣⎦完成教材89页1题2. 求值，注意体会分数指数幂与根式的转换：（1） 2 1.53(0.027)-； （2 （3（4)a b < （5完成教材89页2题。
高中数学《3.1.1 实数指数幂及其运算》教案 新人教B版必修1
河南省开封市十七中高一数学《3.1.1 实数指数幂及其运算》教案（必修一）【 预 习 】阅读教材第85～90页，试回答下列问题1、a 的n 次方根的定义2、根式的定义3、分数指数幂的意义4、无理指数幂的意义第二部分 走进课堂【 复 习 】1、初中指数幂的定义2、初中指数幂的运算律问题：当指数n m 、是有理数和实数时，初中那些指数运算律还成立吗？【探索新知】1、a 的n 次方根的定义在初中，的平方根是424)2(2±⇔=±， 的立方根是2732733⇔= 的立方根是644-64-)-4(3⇔=， 的平方根是00002⇔=于是：的四次方根是16216)2(4±⇔=± 的七次方根是128212827⇔= 的五次方根是2433-243)3-(5⇔=于是我们得到a 的n 次方根的定义：①当n 是正奇数时，a 的n 次方根记作n a ，例如：21287=，52435-=- ②当n 是正偶数时，a x n=是非负数，a 的n 次方根记作)0(≥a a n 例如：23529=，67296= 新课 标 第 一 网 其中，)0(≥a a n 是a 的非负n 次方根。
特别地，（1）00=n ，（2） 负数没有偶次方根。
再如：16的四次方根为：2164±=±，009=，37296±=±2、根式的定义 式子n a 叫做根式，例如：327-，34，n 0，3，327-，57等都是根式。
①当n 是正奇数时，n a 是a 的n 次方根 例如：327-是27-的三次方根，57是7的五次方根。
②当n 是正偶数时，a x n =是非负数，)0(≥a a n 是a 的n 次非负方根，一个正数a 正的方根n a 叫做正数a n 次算术根。
例如：2164=是16的四次算数根，5是5的二次算数根（算术平方根）37是7的三次算数根 显然有公式：a a n n =)(（1,>∈*n N n ）当n 是正偶数时，R a ∈当n 是正偶数时，0≥a 例如：2)2(33=，27)27(55-=- 问题：a a n n =吗？ 例子：计算2)3(-，442，33)3(-，552于是可以得到结论：再计算：33)8(-，2)10(-，2)3(π-，)()(2b a b a <-练习：当0>a 时，求下列各式的值（1）510a （2）312a （3）728a3、分数指数幂的意义上面的练习说明： ①当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。
高一数学人教B版必修1教学教案：实数指数幂及其运算含解析
3.1.1实数指数幂及其运算（教学设计）【教学设计理念：】新课标、高中数学课程标准中的数学学科核心素养1、新课程理念——“倡导开放互动的教学方式和合作探究性的学习方式”2、高中数学课程标准中的数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析．本节课的设计思想：是尊重学生的思维，让学生的思维得到最大限度的肯定和优化，创建积极的课堂互动环境，关注发展学生数学素养。
【内容分析：】《指数与指数幂的运算》是基本初等函数的起始课，它除了需要对本章节的内容进行一个简单的介绍外，还需要通过实际的例子感受学习指数函数、对数函数、幂函数这三类重要且常用的基本初等函数的必要性。
本节课的主要内容是：通过实际问题引出分数指数幂，说明扩张指数取值范围的必要性，并由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念。
在本节课的基础上，后面的课时还将进一步探究分数指数幂及其运算性质，最后通过有理数指数幂逼近无理数指数幂，将指数范围扩充到实数。
由此可见，本节课有承上启下的作用，既联系了初中已学的数的平方、开方、二次根式的概念以及整数指数幂及运算法则，同时为后面学习分数指数幂的进一步扩充及指数函数打下基础。
【学情分析：】学生在学习第一章《集合与函数》后，对研究函数的方法，有了初步的认知，知道函数的研究共性，如研究函数的三要素、函数的图像、函数的性质，以及函数的应用等等，加上初中对一次函数、二次函数、反比例函数等函数有了一定的学习基础，因此，要进一步引导学生用函数的共性去学习基本初等函数，这样，学生的学习方向会进一步明确，知识的生成也变得自然，便于学生的理解掌握。
函数是高中数学的难点内容，学生在学习过程中难免会出现困难，通过课堂中的新旧知识互动、师生互动、生生互动，加强学生在探究问题的能力和合作交流的意识，可以增强学生的数学自信.【教学目标：】1、通过具体的情境了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性；2、通过对平方根、立方根及其运算性质的推广，理解n次方根和n次根式的概念，通过类比、辨析，培养学生自主探究意识，感受分类讨论的思想；3、理解根式和分数指数幂的概念及分数指数幂的运算性质，培养学生观察分析、抽象的能力【教学重点：】根式的概念及n次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质.突破策略：类比整数指数幂等学生已学的知识，在学生的最近发展区域延伸.【教学难点：】根式及分数指数幂概念的理解.突破策略：通过实际具体例子，帮助学生理解.【教学工具：】多媒体课件PPT.新知问题：什么叫实数？正整数指数幂及运算性质可以推广吗？教学环节教学内容设计意图互动方式二、自主探索获得新知（二）根式1、平方根若2x a=，那么x叫做a的平方根. (a±)如：4的平方根为2±.注：非负数才有平方根，正数的平方根有两个.2、立方根若3x a=，那么x叫做a的立方根. (3a)如：8的平方根为. 8-的立方根为.注：任意实数都有立方根，每个数的立方根只有一个.3. n次方根定义：若*(1,)nx a n n N=>∈且，则x叫做a的n次方根.负数没有偶数方根.式子n a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数.例1.求下列各式的值.33(8);（1）-2(2)(10);-44(3)(3);π-2(4)()().a b a b->提出问题：n nn na a a=探究：一定成立吗？等于什么？性质：()(n na naa n⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数时为偶数时）例如，16的四次方根为，416=，44(2)-=.学生独立思考，教师请学生解答并说明理由，进一步理解n 次方根的意义和性质。
人教版高中必修1(B版)3.1.1实数指数幂及其运算教学设计
人教版高中必修1(B版)3.1.1实数指数幂及其运算教学设计一、教学目标•掌握实数指数幂的概念•熟练掌握实数指数幂的运算方法•能够解决实际问题中的运算问题二、教学重难点教学重点•实数指数幂的概念•实数指数幂的运算方法教学难点•运用实数指数幂解决实际问题三、教学内容1.实数指数幂的概念2.实数指数幂的运算方法四、教学步骤第一步：引入实数指数幂通过引入一道具体问题，引导学生了解实数指数幂的概念。
例如：一张面积为1平方米的圆形纸片折成相等的两半，再将其中一个部分继续折成相等的两半，不断折下去，直到最后纸片的面积只剩下了1/1024平方米，问这张纸片折了几次？学生根据已知条件推理出实数指数幂的概念。
第二步：讲解实数指数幂的概念通过引入具体案例，对实数指数幂的概念进行详细讲解。
例如：若正整数a>1，x为实数，则a的x次方就是x个a相乘得到的积，记作a^x。
第三步：讲解实数指数幂的运算方法引入具体运算方式，对实数指数幂的运算方法进行讲解。
例如：a^x*a y=a(x+y)a x/a y=a^(x-y)(a x)y=a^(xy)第四步：举例操作通过实例展示具体的运算过程，引导学生应用实数指数幂的运算方法。
例如：计算2^3*2^(-1)2^3*2(-1)=2(3-1)=2^2=4第五步：练习巩固让学生进行相关的练习和巩固，加深对实数指数幂的理解。
例如：计算下面的值：(1)5^(-2)*10^(3)(2)(1/3)^2*(2/3)^(-3)五、教学方法案例法通过实例引导学生了解实数指数幂的概念。
讲解法让学生了解实数指数幂的运算方法。
实践操作让学生通过练习和操作巩固所学内容。
六、教学时长本次教学所需时间约为2个课时。
七、教学评价针对学生的学习情况，进行适时的小结和评价。
例如：通过课堂互动和练习，学生对实数指数幂的概念和运算方法进行了深入的了解和掌握，课堂效果良好。
2011年高一数学教案3.1.1《实数指数幂及其运算》(新人教B版必修1)
例：对于正整数 和非零实数 ，若 ， ，求 的值。
4. ，求
解：
课堂练习
教师打印的习题
课后作业
复习课上所讲习题、教材完全解读相应习题
课后记
本节课教学计划完成情况：照常完成□提前完成□延后完成□照常完成
学生接受程度：完全能接受□部分能接受□不能接受□部分能接受
学生的课堂表现：很积极□比较积极□一般□不积极□比较积极
教学过程
教师活动
学生活动
一、简单回顾上节课知识内容，并检查作业
二、讲授新课
（一）整数指数、分数指数幂
有理指数幂的运算性质：
； ； （ ）
例1：计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（式子中的 ）
（1）
（2）
例2：化简下列各式
（1） （2） （3）
（4）
(二)带有附加条件的求值问题
例1：（1） （常数）， 的值。
学生上次作业完成情况：数量70%完成质量70分存在问题忘记解题思路
配合需求：家长督促学生认真复习，督促学生及时完成作业，课下多做习题。
学管师督促学生认真复习，督促学生及时完成作业，课下多做习题。
备注
一、回顾上节课知识，检查作业
二、学习新课
三、练习
1.化简
解： =
2. ，化简
解：
3. 有意义，化简 。
解：因为 有意义，
所以 。
教学过程
教师活动
学生活动
（2） ，且 ，求 的值。
例2：已知函数 。
（1）求 的值；
（2）设 ，求 的值。
（三）幂的综合问题
解决幂的综合问题时，首先要善于观察、分析，并对它进行适当地加工、处理、变形，以创造运用公式和幂的有关性质和条件，然后再进行化简、求值即可；其次，要注意方程思想、整体思想、
人教B版高中数学必修一教案-3.1.1 实数指数幂及其运算1
实数指数幂及其运算一、教学分析在初中时学生已经学习了整数指数幂的概念和运算性质，从本节课开始我们将学习由正整数指数幂推广到实数指数幂。
通过取消正整数指数幂的运算性质中n m >的条件，正整数指数幂推广到整数指数幂。
在回顾平方根和立方根的基础上，类比出n 次方根的概念与性质，从而把整数指数幂推广到分数指数幂，进而推广到有理数指数幂。
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想等。
同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值。
根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持。
二、教学目标1、知识与技能：通过实际背景认识分数指数幂，理解分数指数幂的含义。
掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理指数幂的运算性质，会求简单的有理数指数幂的值以及化简。
2、过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质，培养学生观察分析、抽象类比的能力。
情感态度与价值观：通过训练及点评，让学生能熟练掌握指数幂的运算性质。
三、教学重点难点教学重点：根式与分数指数幂互化教学难点：运用有理指数幂运算性质进行化简、求值 四、教学过程设计 一、温故知新牛顿是大家所熟悉的大物理学家，他在1676年6月写给大数学家莱布尼茨的信中说：“因为数学家将aa ，aaa ,aaaa ,…写成,,,432a a a …，所以可将,a,,32a a 写成 ,,,232221a a a 将 ,1,1,1aaaaa a 写成 ,,,321---a a a ”这是牛顿首次使用任意实数指数。
设计意图：生活实例引入新知识，使学生对本课的新知识产生浓厚的兴趣，激发学生的学习兴趣。
二、新知识探究在同学们进行了课前预习的基础上，复习正整数指数幂与运算性质。
1、正整数指数幂：()n a n N +∈的意义： n na a aa =⋅， n a 叫做a ，a 叫做幂的 ，n 叫做幂的 .（1）m n m n a a a +⋅= （2）()m n m n a a ⋅=（3）(,0)mm n n a a m n a a-=>≠ （4）()m m m a b a b ⋅=⋅练习1：=75x x =-233）（x =⎪⎭⎫⎝⎛-3221x ()=-73x =--322）（）（x x()=⎪⎭⎫ ⎝⎛-22551x x 教师设问：若取消(,0)mm n n a a m n a a-=>≠式中的n m >的限制条件，则能得到什么结论？ 2、负整数指数幂规定： 01(0)a a =≠ 1(0)n na a a -=≠ 例1：=08 =08-）（ =-0）（b a ）（b a ≠ =⎪⎭⎫ ⎝⎛6-21 =-32）（x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-223r x=0001.0 =cb a 22=3-10设计意图：学生通过课前预习复习初中所学的正整指数幂，以及推广到整数指数幂。
高一数学高效课堂资料教案、学案：3.1.1实数指数幂及其运算
高一数学高效课堂资料3.1.1实数指数幂及其运算编写人：刘存良教学目标：知识与技能: (1）掌握根式的概念；(2）规定分数指数幂的意义；(3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化； (4）理解有理指数幂的含义及其运算性质； (5）了解无理数指数幂的意义过程与方法: 通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．情感态度与价值观: 通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质．重点难点：教学重点：分数指数幂的概念分数指数的性质 教学难点：根式的概念，分数指数的概念 教学方法：类比迁移,诱思探究 教学过程： 一、导入新课（1）0a =1（非零数的零次方等于1）1n n a a-=（一个非零数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数）（2m na （根式与分数指数幂的互化）练习：1.将下列各根式写成分数指数幂的形式：（1； （22.将下列各分数指数幂写成根式的形式：（1）323； （2）258-二、形成概念∙=3，即123∙123=11223+；4=9，即142(3)=23=1423⨯；……猜想：有理数指数幂的运算法则与整数指数幂的运算法则完全相同．可以证明对有理数指数幂，原整数指数幂的运算法则保持不变，即 (1)rsr sa a a +=（a>0,r,s ∈Q ）;同底数幂相乘，底数不变，指数相加.(2) ()r srsa a =（a>0,r,s ∈Q ）; 幂的乘方，底数不变，指数相乘. (3) ()rr rab a b =（a>0,b>0,r ∈Q ）;积的乘方，等于把积的各个因式分别乘方.显然，整数指数幂的运算法则是有理数指数幂运算法则的特殊情况. 三、概念深化 根式（1）平方根与立方根如果a x =2，那么________；如果a x =3，那么____________. （2）n 次方根如果a x n =，那么___________，其中1>n ，且*N ∈n .若n 是奇数，任意实数a 的n 次方根有 1个，正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数. 若n 是偶数， 负数 没有偶次方根，而正数的n 次方根有 2 个，它们互为相反数. 无论n 是奇数还是偶数，0的n 次方根为0 .【感悟】结合平方根，学习根式，理解根指数，被开方数等概念，会掌握的更快. 若n n a x =，则x 可以用根式表示为nn a .当n 为奇数时，=x a ；当n 为偶数时，=x a ±. 【感悟】结合平方根，学习根式，理解根指数，被开方数等概念，会掌握的更快. 例１求下列各式的值：（1）238； （2）348116⎛⎫⎪⎝⎭； （3）3416-； （4）3∙∙∙解：分析 先将根式转化为分数指数幂，在计算会更简便快捷. （1）238=233(2)=2332⨯=22=4；（2）348116⎛⎫ ⎪⎝⎭=34432⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=34432⨯⎛⎫⎪⎝⎭=332⎛⎫ ⎪⎝⎭=278；（3）3416-=344(2)-=34()42⨯-=32-=18；（4）3∙∙∙=（4）13∙123∙133∙163=11112363+++=23=9.练一练求值：（1）120.01；（2）1232-；（3）1264121-⎛⎫⎪⎝⎭；（4）2327.解：（1）120.01=()1220.1⎡⎤⎣⎦=1220.1⨯=0.1；（2）1532-=155(2)-=15()52⨯-=12-=12；（3）1264121-⎛⎫⎪⎝⎭=122811-⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=12()2811⨯-⎛⎫⎪⎝⎭=1811-⎛⎫⎪⎝⎭=118；（4）2327=233(3)=2333⨯=23=9.四、应用例2计算下列各式(a>0,b>0):（1；（2）2133215(3)a b a b-÷.解：分析系数与系数做运算；同底的幂按法则进行运算；不同底的幂不进行运算.（1=213a a-=213a-=13a-；(2)2133215(3)a b a b-÷=12233153a ba b-=121(3)235a b---=1465a b-.无理指数幂的含义：如32，它是一个确定的实数，可以看成由以3的一串不足近似值和相应的一串过剩近似值为指数的有理数幂的值的结果.五、随堂练习练一练化简下列各式（a>0）：（1∙（2∙解：（1∙=1134a a∙=1134a+=712a；（2∙2332a a∙=2332a+=496a+=136a.实际上，当底数大于0时，我们可以将指数的取值范围由有理数推广到实数.有理数指数幂和无理数指数幂统称为实数指数幂.有理数指数幂的运算法则同样适用于无理数指数幂.六、课堂小结（1）实数指数幂的运算法则r s r sa a a+=（a>0,r,s∈Q）;()r s rsa a=（a>0,r,s∈Q）;()r r rab a b=（a>0,b>0,r∈Q）;（2）1．理解好方根的概念，是进行根式的计算和化简的关a na n⎧=⎨-⎩，当为正奇数时，当为正偶数时2．将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键．3．正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用，只是底数的范围缩小为a>0.(想一想，为什么？)七、作业练习4.1.2 1、2《实数指数幂及其运算》导学案编写人：刘存良学习目标：1.理解根式和分数指数幂的概念及它们的运算性质．了解实数指数幂的意义。
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3．1．1实数指数幂及其运算（1）
学习目标：1理解根式和分数指数幂的概念及它们的运算性质．了解实数指数幂的意义。
2 会进行简单的运算。
教学重点：分数指幂的意义及其运算性质及依运算性质进行计算求值
【知识再现】 1相同因数相乘
个
n a aaa ⋅⋅⋅记作n a ，读作 ，a 叫做幂的 ，n 叫做幂的 。
其中n 是正整数。
2 正整数指数幂的性质：（1） （2）
（3） （3）
【概念探究】阅读教材85页到88页例1，完成下列各题。
1 指数概念的扩充：n a 中的n 可以扩展为整数。
整数指数幂的性质为：（1）
（2） （3） 。
2 0a = ，n a -=
3零指数幂和负整数指数幂都要求 。
4 如果存在实数x ，使得(,1,)n x a a R n n N +=∈>∈，则x 叫作 。
求a 的n 次方根，叫作把a 开n 次方，称作 。
① 当n a =；
② 当n ,0,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
（要注意分清n 是偶数还是奇数)
○3根式的运算经常要转化为分数指数幂来运算。
○4注意：零的负分数指数幂和零次幂没有意义
5规定正分数指数幂的定义是：（1） （2） 。
规定负分数指数幂的定义是： 。
规定0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂和0次幂 。
规定了分数指数幂以后，指数的概念也就从整数指数扩展到了 指数。
6 有理指数幂的运算性质有：（1） （2）
（3） 。
例题
例1 在同一个代数式中，按字母依次进行幂指数的运算。
（1） 2132
11113225;1546x y x y x y ---⋅⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）
111222m m m m --+++
例2 完成下列练习，注意体会有理数指数幂的的运算法则：
（1） 111113216842(12
)(12)(12)(12)(12)-----+++++=
（2）计算
13
2031
()(1.03)(42--+⋅-
【课堂练习】
1 化简，注意体会指数的运算性质：
（1）222520432
()()()a b a b a b --⋅÷ （2）3
40.10.01
-- （3）322123
(3)9a b a b a b ------ （4）33420()()(0,0)()()a b a b a b a b a b a b --⎡⎤+-+≠-≠⎢⎥-+⎣⎦
完成教材89页1题
2. 求值，注意体会分数指数幂与根式的转换：
（1） 2 1.53(0.027)
-； （2 （3
（4)a b < （5
完成教材89页2题。