三角函数复习教学反思

课题：两角和与差的余弦公式

案例撰写：黎宁北京市陈经纶中学

评析：袁京生北京市朝阳区教研中心

丁益祥北京市陈经纶中学

【导语】

自主探究学习既是对学生主体地位的尊重，又使学生获得亲历知识生成与发展过程的体验，是培养学生参与意识和探索发现能力的有效方式。黎宁老师在教学中重视引导学生探究并发现求两角差的余弦的方法，让学生经历用向量知识获得公式的过程，从而体会向量的工具作用及应用价值，同时引导学生利用换元与转化思想得到两角和的余弦公式，树立对立统一的思想观点。本节课的教学重点是对获得公式的方法与过程进行探究，对公式结构特征的探究无须占用过多时间。

【教学设计】

《两角和与差的余弦公式》安排在第二章《平面向量》之后，同时又是这一章《三角恒等变换》的起始内容，它具有承前启后的作用．三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，是发展学生的推理能力和运算能力的重要内容．这一章的知识内容形成了一条结构紧密的知识链条：以两角差的余弦为基础，推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、正切，再到二倍角的正弦、余弦、正切等．本节内容安排在平面向量之后，利用向量的数量积推导两角差的余弦公式，使得证明过程简明易懂，也让学生进一步体会向量方法的应用．同时，本节教学内容是提高学生的逻辑推理能力、分析解决问题的能力以及运算能力的良好素材．本课时教学内容还能让学生进一步体会数学知识不同分支之间的联系，感受数学的整体性．

本节课的授课对象是我校高一（1）班，该班是我校的直升班，教学进度快于年级其他班级，学生知识基础相对较好，有一定的研究能力．但逻辑思维能力尚属经验型，运算能力也有待于提高．

根据以上的分析，确立了如下的教学目标：

1．使学生理解两角和与差的余弦公式,并能初步应用它们解决简单的三角函数求值与恒等变换问题；

2．通过教学，使学生经历从探索两角差的余弦公式结构到证明两角差的余弦公式，再由此推导两角和的余弦公式的过程,简单体会特殊与一般的思想，数形结合的思想，换元的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用，培养学生观察、联想、归纳、证明的推理能力；

3．通过教学，形成学生严谨的治学态度和锲而不舍的钻研精神．

为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习，我将采用“教师适时引导和学生自主探究相结合”的教学方式．在课堂教学过程中，我要贯彻“教师、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过创设问题情景，使学生们都能充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程，力求把新的知识和思想纳入到学生原有的认知结构中去．通过深入挖掘具体知识中所蕴涵的数学思想方法，为提高学生的合情推理能力、逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力创造条件．

本节课我选择计算机辅助教学．利用PowerPoint制作幻灯片，增大课堂容量，提高课堂效率．利用几何画板课件演示，揭示与向量夹角之间的关系，增强三角函数的几何形式的直观性，使信息技术真正为教学服务．

【教学实录】

第一阶段：创设情景，引入新课

（教师面带自信的微笑看着同学们，作回忆状）

师：同学们在学习第一章三角函数时曾经提过这样的两个问题，问题1：函数的最大值是多少？

（这是学生学习第一章三角函数时曾经提过的问题，将此问题在这里提出，目的在于说明学习本节知识的必要性，同时激发学生学习本节知识的兴趣．）（教室里一片寂静，同学们在思考）

师：函数与的最大值都是1，那么的最大值是不是2呢？

（同学们纷纷肯定地小声儿说“不是”，为了明确结论，我请一位同学表述观点）

生：不是，当取得最大值1时，等于0．

师：若能把转化成一个角的一个三角函数的形式就好了！

（留下一个“悬念”，继续提问）

师：同学们知道等于多少？

师：15°=45-30°，我们知道45°与30°的三角函数值，能否求出的值呢？

是否有=成立呢？

师：=是否恒成立？

（凭直觉得出=是学生容易出现的错误，通过讨论弄清结论，使学生明确“恒等”的含义，同时为进一步明确本节课的探索目标奠定了基础，使得教学过程自然流畅．）

第二阶段：引导探究，掌握新知

（教师引导学生探索两角差的余弦公式的结构）

（1）研究（90°-30°）与90°、90°、30°、30°之间的关系；

（2）研究（120°-60°）与120°、120°、60°、60°之间的关系；

（3）研究（135°-45°）与135°、135°、45°、45°之间的关系；

（学生观察特例，发现规律）

生：=+

（通过学生熟悉的特殊角的三角函数值来探索公式的结构是比较自然的．在学生对公式的结构特性有了直观感知和基本了解的基础上，激发学生猜想，探求公式的欲望．）师：能否证明=+？

（学生思考，教师巡视，引导学生利用向量的有关知识解决问题，板书证明过程）

如图，作单位圆O，以O为始边作角、，它们的终边与单位圆O交于点A，B．则

=(,),=(,)

∴=+

（1）当时，向量与的夹角就是，由向量数量积的定义，有=

=

∴=+

（在考虑的情形时，教师利用几何画板课件演示动态图形，帮助学生弄清与的关系，得出此时仍有

=的结论．）

（2）当时，设与夹角为，有=．

因此，对于任意角，有

=+（）

（板书课题：两角和与差的余弦公式）

（让学生经历用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量的工具作用及应用价值．）

师：有了公式，我们只要知道角、的正、余弦就可以求的值了．

第三阶段：应用举例，巩固新知

完成例1（本节课开始时的疑问2）利用差角公式求的值．

（学生顺利地完成了）

解：=(45°-30°)

= 45°30°+45°30°

=

=

师：能否用角、的正、余弦来表示呢？

（学生自主研究，请两位同学口头叙述了两种思路：只要将公式中的换成即可得到．也可以将看成，利用公式证明．）

=-（）