常用信号的傅里叶变换

∴
f (t ) = e
αt
ε(t ) * e
则
1 ε (t ) = ∫ δ (τ ) d τ + π 1 δ (ω ) jω ∞
' (t) f
例 2:三角脉冲的 F ( j ω )
A
东南大学 信息科学与工程学院
∴
ωτ G ( j ω ) = ASa ( ) e 2
jω
τ 2
ωτ ASa ( ) e 2
jω
τ 2
ωτ ωτ = ASa ( ) 2 j sin 2 2
而
1 1 lim ≠ α→0 α + jω jω
东南大学 信息科学与工程学院
由
α ω α 1 F ( jω) = lim{ 2 } = lim 2 + j 2 2 2 2 α →0 α + ω α →0 α + ω jω α +ω
∞, ω = 0 α = = Aδ(ω) , 其中: lim 2 2 α →0 α + ω 0, ω ≠ 0
∴
G (0) = 0
1 2 ωτ ) F ( jω ) = G ( j ω ) = A τ Sa ( 2 jω
∴
东南大学 信息科学与工程学院
d n F ( jω ) ( jt ) n f ( t ) 7. 频域微分性质: dω n dF ( j ω ) tf ( t ) j 特别: n = 1 时, dω
东南大学 信息科学与工程学院
8. 周期信号
An jnΩt 2π fT (t ) = ∑ e , Ω = T n=∞ 2
+∞
+∞ +∞
An FT ( jω) = ∑ 2πδ(ω nΩ) = π ∑ An δ(ω nΩ) 则 n=∞ 2 n=∞
东南大学 信息科学与工程学院
9. 周期性冲激序列
f (t ) = =
例:已知 f (t ) F ( jω) 实偶,求 (1 t ) f (1 t ) 的 F.T.
dF ( jω) 解:令 tf (t ) = g (t ) , 则 G ( jω) = j d ω
1 ω G ( j )e (1 t ) f (1 t ) = g (1 t ) a |a|
a = 1 t0 = 1
j
ω
a
t0
=
dF ( j ω ) j ω dF ( j ω ) j e = e dω dω
j (ω +
π
2
)
东南大学 信息科学与工程学院
8. 卷积定理 (1) 时域卷积定理: f1 (t ) * f 2 (t ) F1 ( jω) F2 ( jω)
1 (2) 频域卷积: f 1 (t ) f 2 (t ) 2 π F1 ( jω) * F2 ( jω)
t
df (t ) F[ ] +∞ dt + π( df ( τ) dτ)δ(ω) + 2πf ( ∞ )δ(ω) 则 F ( jω) = ∫∞ dτ jω
df (t ) F[ ] dt + π[ f ( +∞ ) + f ( ∞ )]δ (ω) = jω
东南大学 信息科学与工程学院
例 1:由
t
δ(t ) 1
而
α A = lim ∫ 2 dω = π 2 α →0 ∞ α + ω
+∞
1 ε ( t ) πδ ( ω ) + jω
东南大学 信息科学与工程学院
3.直流 A ?
F ( jω ) =
+∞
由
∞
∫ Ae
jω t
dt = 2π A δ (ω )
A 2πAδ(ω)
注:
直流 2 π A π An = F ( jω ) → → 2π A δ (ω ) dω dω
5. 互易(对称)性质: 若 f ( t ) F ( j ω ) ,则 F ( jt ) 2 π f ( ω )
若 f ( t ) 实偶 F ( j ω ) = F (ω ) 也是实偶 , 则 F ( t ) 2 π f (ω )
或 由 得
常用
F [ F (t )] = 2πf (ω) ,
东南大学 信息科学与工程学院
例:
τ τ f (t ) = A[ε(t + ) ε(t )] 门函数 2 2
jω τ 2
1 ∴ F ( jω) = A[πδ(ω) + jω]e
1 A[πδ(ω) + ]e jω
jω
τ 2
2A ωτ ωτ = sin( ) = A τSa ( ) 2 2 ω
东南大学 信息科学与工程学院
2
得
∴ B = 2πA F ( jω) 如图
东南大学 信息科学与工程学院
例 3:求原信号
f (t )
.
2ω1ω ) = 2πf (ω) 解: F (t ) 2ω1 Sa( 2
ω1 1 Sa (ω 1t ) {= F [F (t )] |ω=t } 则 f (t ) = π 2π
东南大学 信息科学与工程学院
∑ A δ (ω nΩ )
n n = ∞
+∞
∴
2π = T
∑ δ (ω nΩ ) = Ω ∑ δ (ω nΩ )
n = ∞
+∞
+∞
东南大学 信息科学与工程学院
注:关于常用信号傅里叶变换的计算: (1)有F.T.的表可查; (2)常用F.T.性质求.
东南大学 信息科学与工程学院
§3-8 傅里叶变换的基本性质 信号时域波形与频域频谱的关系
东南大学 信息科学与工程学院
f (t t0 )=g1 (t )
f (t) 解:
→ F( jω)e
jωt0
g1 (at)
ω 1 → F( j )e | a| a
ω j t0 a
f ( at )= g2 (t )
或
f (t )
→
ω ω 1 1 F( j ) → F ( j )e |a| a |a| a
例 1:
∞
∫ g(τ )dτ = g(t) *ε (t)
G( jω) 1 = G( jω)[πδ(ω) + ] = πG(0)δ (ω) + jω jω
东南大学 信息科学与工程学院
t
f (t )e 例 2:
jωct
1 F ( jω) * 2πδ(ω ωc ) = F ( jω jωc ) 2π
前提: 设 f i (t ) Fi ( jω ) =| Fi ( jω ) | e
ji (ω )
1.
∑a f (t) ∑a F ( jω) 线性性质:
i i i i i i
f (t t0 ) F ( jω )e
2. 延时特性:
jω t0 j [ Φ ( ω ) ω t 0 ]
=| F ( jω ) | e
解法二: 调制) (
ω1 Sa (ω 1t ) 2 cos ω c t f 5 ( t ) = f ( t ) 2 cos ω c t = π
东南大学 信息科学与工程学院
若再有 6 (ω ) = (ω ωc )t1
f 6 (t ) = f 5 (t t1 )
则
若又有 7
=
2ω1
π
Sa [ω1 (t t1 )] cos[ ω c (t t1 )]
+∞
广义定义
东南大学 信息科学与工程学院
2. ε (t )
?
+∞
F ( jω) =
∞
∫ ε (t ) e
αt
jω t
+∞
dt =
∫e
0
jω t
dt
=
?
令
ε(t ) = lim e
α →0
1 ε(t ) ,则 F( jω) = lim α→0 α + jω
( ε(t ) 非奇函数)
π 4ω = {δ(ω+ ωc ) + δ(ω ωc )}+ 2 2 2 j(ω ωc )
东南大学 信息科学与工程学院
东南大学 信息科学与工程学院
4. 尺度变换(比例)性质:
1 ω f ( at ) F( j ) |a | a , a ≠ 0
< Bτ = 常数 >
例:
f ( at t 0 ) ?
t g2 (t 0 ) a
ω j t0 a
东南大学 信息科学与工程学院
例:已知 f (t ) 的带宽为 B ,求 f (3t 6) 的带宽.
解: f (3t 6) 的带宽与 f (3t ) 的带宽相等 ( ∵ 延时不改变幅频 )
∴ f (3t 6) 的带宽为 3B .
东南大学 信息科学与工程学院
G ( jω) ∫∞ g (τ)dτ jω + πG (0)δ(ω) ,
+∞
则
其中
G ( 0) =
∞
∫ g (t )dt ;
东南大学 信息科学与工程学院
df ( t ) ] F[ dt + π[ f ( +∞ ) + f ( ∞ )] δ ( ω ) f (t ) (3) jω
df ( τ ) 证:由(2) f ( t ) = ∫ d τ d τ + f ( ∞ ) ∞
n = ∞
∑ ∑
+∞
δ T (t )
δ ( t nT ) =
An e 2
jn Ω t
n = ∞
∑
+∞
1 e T
jn Ω t
+ ∞
n = ∞
2π ,Ω = T
2 2 其中, An = T F ( j ω ) ω = n Ω = T , n = 0 , ± 1, ± 2
FT ( jω ) = π
n = ∞
例 4:求 f 4 (t ) .注: F ( jω ) = F ( jω ) e φ ω
( )
解:与上例相比,
ω1 f 4 (t ) = f (t ) | t = t t0 = Sa [ ω 1 ( t t 0 )] π
东南大学 信息科学与工程学院
例 5: 求 f 5 ( t ) .
解法一:直接用互易定理.
3. 调制(移频)性质: f (t)e
jωct
F( jω) |ω=ωωc
(仅是 ω频移,而非 jω) .
1 f (t ) cosωct [ F ( jω jωc ) + F ( jω + jωc )] 2 或 f (t ) sin ω t 1 [ F ( jω jω ) F ( jω + jω )] c c c 2j
e
5.虚指数信号
6. 余弦
7.正弦
jω c t jω c t
2 πδ(ω ω c ) 2πδ(ω + ω c )
e
cos ω c t π[ δ ( ω + ω c ) + δ ( ω ω c )]
sin ωc t jπ [δ (ω ωc ) δ (ω + ωc )] = jπ [δ (ω + ωc ) δ (ω ωc )]
东南大学 信息科学与工程学院
4. 符号函数
1, t > 0 sgn(t) = = ε (t ) ε (t ) = 2ε (t) 1 1, t < 0
1 2 sgn(t ) 2[πδ(ω) + ] 2πδ(ω) = jω jω
东南大学 信息科学与工程学院
§3-7 周期信号的广义傅里叶变换
1 f (t ) = 2π
[ F (t )] | ω= t F
东南大学 信息科学与工程学院
例 1:由 δ (t ) 1 ,则 1 2πδ (ω ) A A 2πδ (ω )
2
τt 例 2:求信号频谱,如 f ( t ) = A τ Sa ( 2 ) ,
求 F ( jω)
由
τω 2 τω F (t ) BτSa ( ) = 2πAτSa ( ) 2 2
例:已知:1 2πδ(ω) ,则 e
jωct
2πδ(ω + ωc )
东南大学 信息科学与工程学院
例:求 cos(ω c t )ε (t ) 的频谱 F1 ( jω ) .
1 1 1 1 } } + {πδ(ω ωc ) + F1( jω) = {πδ(ω + ωc ) + 2 j(ω + ωc ) 2 j(ω ωc )
(ω ) = ω t 2 ,
f 7 (t ) = 2 f 4 (t ) cos ω c t
则
=
2ω1
π
Sa [ω1 (t t 2 )] cos( ω c t )
东南大学 信息科学与工程学院
6. 时域微积分性质
d f (t ) n (1) dt n ( jω) F ( jω) ;
(2)设
t
n
来自百度文库
g (t ) G ( jω) ,
§3-6
常用信号的傅里叶变换 (广义F.T. 广义谱)
+∞
1. δ ( t ) ?
由
F ( jω) = ∫ δ(t )e
∞
+∞
jωt
dt = 1
,
而
Δ Δ 1 jωt f (t) = 1 e dω = δ (t ) 广义定义 = ? ∫ 2π ∞
∴
δ(t) 1
东南大学 信息科学与工程学院
± jω t d ω = 2 πδ ( t ) 或 ∫ e ∞ +∞ 或 e ± jω t dt = 2 πδ ( ω ) ∫ ∞
例 3:已知 f 1 (t ) 的带宽为 B1 , f 2 (t ) 的带宽为 B 2 ,求
f 1 (t ) f 2 (t ) 的带宽.
解:
B=B1+ B2
东南大学 信息科学与工程学院
例
1 4:已知 F ( jω) = (α + jω) 2
,求 f (t ) .
1 1 解法一: F ( jω) = (α + jω) (α + jω) ,