第1章习题解答

m = −∞ n
∑ ax(m) = a
n
n
m = −∞
∑ x ( m)
2
n
= a T[x(n)]
且T[ax1(n)+bx2(n)] = a 以该系统是线性系统。 又因为 T[x(n-k)]=
m = −∞
∑ x1 (m) +b
m = −∞
∑ x ( m)
= a T[x1(n)] + b T[x2(n)]
(３)利用 z 变换的性质：
Z [ nx(n) ] = − z
现在令 则
X 1 ( x) = Z [ nx(n)]
⎡ n 2 x ( n) ⎦ ⎤ = −z Z⎣
dX 1 ( x) ∞ 2 n − n d ⎛ dX ( x) ⎞ = ∑ n a z = −z ⎜ −z ⎟ dz dz ⎝ dz ⎠ n=0 z >a
4
（５） h( n) =
1 u ( n) n!
解： （1）系统的因果性取决于 g(n)的因果性。该系统为非线性系统，输出 y(n)是输入 x(n)与系 统响应 g(n)的乘积。由于 g(n)有界，所以|g(n)|≤M（M 为一个有限的正数） ，|y(n)| = |g(n)||x(n)| ≤ M|x(n)|,因而系统是稳定的。 设 g ( n) ≤M1，当x(n)为有界输入时，即 x ( n) ≤M2，则 y ( n) ≤ g ( n) x ( n) ≤M1 M2，所 以该系统是稳定的。 任取一时刻n0,则y(n0) = g(n0)x(n0) ， 系统的输出只取决于此刻的输入， 所以该系统是因果的。 （3）如果n0≥0, 则系统是因果的；否则系统是非因果的。y(n)取决于x(n-n0)，系统是稳定 的。 若 x(n)有界，则 y(n)有界，所以该系统是稳定的。 （5）由于有 h(n)≡0,n≥0，根据系统是因果的充要条件，可以判断该系统是因果的。 由于 1.17
数 N 为 5。也可以用以下方法证明该序列的周期是 5： 设 sin ⎜
⎛ 16 π(n + N 1) ⎞ ⎛ 16πn ⎞ ⎛ 16πn ⎞ ⎟ =sin sin ⎜ ⎟ 为周期序列，周期为N1，则 sin ⎜ ⎟ ，即 5 ⎝ ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎛ 16 πn 16πN 1 ⎞ ⎛ 16πn ⎞ + sin ⎜ ⎟ = sin ⎜ ⎟ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎝ 5 ⎠ 16πN 1 =2 πm （m 为整数） 5
= −z
−1
d ⎡1 − z − ( N +1) ⎤ z − ( N +1) (1 − z − N ) d ⎛ 1− z−N ⎞ + 2 N + z ⎜ ⎟ −1 ⎥ dz ⎢ 1 − z −1 dz ⎝ 1 − z −1 ⎠ ⎣ 1− z ⎦
2
⎛ 1− z−N ⎞ =z ⎜ , z >0 −1 ⎟ ⎝ 1− z ⎠
第1章
1.1 试画出正弦序列 sin ⎜
习题
⎛ 16 ⎞ πn ⎟ 的波形，它是不是一个周期序列？若是，其周期长度是 ⎝ 5 ⎠
1 0.8 0.6 0.4 0.2 x(n) 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
多少？ 分析：根据周期性，序列可以分为周期性序列和非 周期序列。本题属于序列周期性的判断问题。大部分处 理的实际信号为非周期信号，经过分解或变换后，非周 期信号往往可以表示为不同周期信号的线性组合，可见 对周期性信号的研究是很重要的。 对于正弦序列 sin(ω0 n +ϕ ) 的周期性可以通过以下 的方法判别：如果 T = 整数；如果 T 为真分数
= ay1(n)+by2(n), 所
m = −∞
∑ x(m) = y(n-k)，所以该系统是时不变系统。
n−k
1.12
试用直接计算法求下面两个序列的线性卷积y(n) = x1(n)*x2(n),并画出卷积过程图：
n
（２） x1 (n) = 0.5 u (n) , x 2 (n) = R5 (n) 解： （2） y ( n) =
ω ω ω ω j j( + π) j j ⎤ 1 1 1⎡ X (e 2 ) + X (e 2 ) = ⎢ X (e 2 ) + X (−e 2 ) ⎥ 2 2 2⎣ ⎦
1.6
利用 z 变换的性质，求以下序列的 z 变换：
⎧ n ⎪ （１） x( n) = ⎨2 N − n ⎪ 0 ⎩
（２） na u ( n) 解： （1）
2π
ω0
为整数，则序列的周期为该
0
1
2
3
4
5 n
6
7
8
9
10
P ，则周期为 P；否则如果 T 为 Q ⎛ 16 ⎞ π n ⎟ ，如图 1.3 所示，可知该序列 ⎝ 5 ⎠
无理数，则序列为非周期序列。 解： （1）画出波形：将 n = …-2,-1,0,1,2,…带入 sin ⎜ 是周期为 5 的序列。 （ 2 ） 本 题 ω0 =
（２）
X ( z ) = ∑ na n z − n = − z
n =0
∞
d ∞ d ⎛ 1 ⎞ (az −1 ) n = − z ⎜ ∑ ⎟ dz n =0 dz ⎝ 1 − az −1 ⎠ z >a dX ( x) dz
= −z
−az −2 az −1 = , (1 − az −1 ) 2 (1 − az −1 ) 2
*
∞ * − jω n
*
（3）DTFT[x(2n)] =
∞
n =−∞
∑ x(2n)e
∞
− jω n
=
n' = 偶数
∑
x(n′)e − jω n′/2
=
=
1 1 ∞ 1 ∞ − jω n / 2 − jω n /2 n ⎡ ⎤ ( )+(-1) ( ) e ( )e x n x n = x n + x(n)e− j(ω /2+ π ) n ∑ ∑ ∑ ⎣ ⎦ 2 n =−∞ 2 n =−∞ n =−∞ 2
为满足上式，应有
则N1=
5 m 。当m取 8 时，该波形有最小周期长度 5。 8
1.3 试画出如下序列的波形。 （1）x(n) = 3δ(n+3) + δ(n+2) + 2δ(n+1) - 4δ(n-1) + 2δ(n-2) - 3δ(n-3) （2）x(n) = 0.5nR10(n) 分析：可以根据序列的表达式直接画出波形，也可用 MATLAB 描述波形，更加方便、准确。 解：序列波形如图所示。
−1
1.11
下列系统中， y(n)表示输出， x(n)表示输入， 试确定是否是线性系统？是否是时不变系统？ （3） y (n) =
（1） y(n) = 2x(n)+5
m = −∞
∑ x ( m)
=
n
解： （1）x1(n)->y1(n), x2(n)->y2(n), 而 ax1(n)+bx2(n) -> 2×[ax1(n)+bx2(n)]+ 5 a[2x1(n)+5]+b[x2(n)]+ 5]-5 a -5b+5 = ay1(n)+by2(n) -5 a -5b+5 ≠, ay1(n)+by2(n), 所以不是线性系统 简单地看，系统不满足尺度性质。因为 T[ax(n)] = 2ax(n)+5，而 aT[x(n)]=2ax(n)+5ª，可 见 T[ax(n)]≠aT[x(n)]，该系统不是线性系统。 又因为 T[x(n-k)] = 2x(n-k)+5 = y(n-k)，所以该系统是时不变系统。 （2） 因为 T[ax(n)] =
1.19 试证 x(-n)的频谱为 X (e
∞
− jω
)。 =
证明：x(-n)的频谱为
n =−∞
∑ x(−n)e
− jω n
n =−∞
∑ x(n)e ω
∞
j n
= X (e− jω )
5
n = −∞
∑ | h(n) | = e ，有界，根据系统是稳定的充要条件，可以判断该系统是稳定的。
分别用直接卷积和 z 变换求 f(n) = x(n)*y(n)
n
∞
（３） x( n) = a u (n),
y ( n) = R N ( n) , 0 < a < 1
⎧1 − a n +1 0 ≤ n ≤ N −1 ⎪ ⎪ 1− a 解： f ( n) = ⎨ n ⎪ a − ( N −1) + n 1 − a n≥N ⎪ 1− a ⎩
k =−∞
∑ x (k )x (n-k ) = ∑ 0.5 u(k ) R (n − k )
k
1 2
∞
∞
k =−∞
5
n ⎧ ⎪ y (n) = 2 − 0.5 得⎨ n−4 4 ⎪ ⎩ y (n) = 0.5 （2-0.5 ）
0≤n≤4 n≥5
1.14 确定下列系统的因果性与稳定性： （１）y(n)=g(n)x(n), g(n)有界 （３） y ( n) = x( n − n0 )
n 2
0≤n≤ N N + 1 ≤ n ≤ 2N 其他n
n
(３) n a u ( n)
2
X ( z ) = ∑ nz − n +
n =0
N
n = N +1
∑
2N
(2 N − n) z − n = − z
2N d N −n d 2 N −n z +2N ∑ z −n + z ∑ ∑z dz n =0 dz n = N +1 n = N +1
16 2π 5 π ，则 T = = ，周期为 5。事实上，周期长度 N 应保证： 5 ω0 8
⎡16 ⎤ ⎛ 16 ⎞ ⎛ 16 ⎞ sin ⎢ π(n + N ) ⎥ = sin ⎜ πn ⎟ 。令 n=0，则 sin ⎜ πN ⎟ = 0 ，使上述方程成立的最小非零整 ⎣5 ⎦ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠
z >a
1.8
以下函数的逆 z 变换：
（２）
z −5 , (1 − 0.5 z −1 )(1 − 0.5 z )
0.5 < z < 2
解： （2）-6×0.5nu(n)- 4×2nu(-n-1)
3
1.9 (1) 设序列 x(n)和 y(n)的 z 变换分别为 X(z)和 Y(z)，试求 Y(z)与 X(z)的关系。 （1）y(n) = cnx(n) 解：(1) X (c z )
1
（a）波形 1 序列波形
（b）波形 2
1.4 令 x(n)和 X (e ) 表示一个序列及其 DTFT， 并且 x(n)为实因果序列， 利用 X (e ) 求下面 各序列的 DTFT。 （1）x*(n)（新） （2）nx(n)（新） （3）x(2n) 分析：本题对 x(n)进行适当变换后，再求其 DTFT。第一步仍然是利用序列的 DTFT 公式，后 面需要利用一些有用的性质，如共轭性质、微分性质、尺度变换性质，得出最终结果。
(1 − az )
az −1
−1 2
az −2
−1 2
+ z2
−2az −3 (1 − az −1 ) − az −2 ⋅ 2 (1 − az −1 )( az −2 )
2
(1 − az )
−1 4
(1 − az ) (1 − az ) (1 − az )
−1 3
−
2az −1
=
az −1
−1 2
2 ⎞ ⎛ , ⎜1 − −1 ⎟ ⎝ 1 − az ⎠
jω
jω
⎛ ∞ ⎞ 解： （1）DTFT[ x (n) ] = ∑ x ( n)e = ⎜ ∑ x(n)e jω n ⎟ = X * (e − jω ) n =−∞ ⎝ n =−∞ ⎠ ∞ ∞ 1 de-jω n dX (e jω ) − jω n = = x ( n ) j （2）DTFT[n x( n) ] = ∑ nx (n)e ∑ (-j) n =−∞ dω dω n =−∞
⎡ dX ( x) d 2 X ( x) ⎤ dX ( x) 2 d 2 X ( x) z , = − z ⎢− −z = +z dz dz 2 ⎥ dz dz 2 ⎣ ⎦ 1 现x(n) = anu(n), X ( x) = , z >a 1 − a1 ⎞⎤ 2 n ⎤ = − − − Z⎡ n a u ( n ) z z ⎜ ⎜ ⎟⎥ ⎢ −1 ⎟ ⎣ ⎦ dz 2 ⎝ 1 − az −1 ⎠ ⎦ ⎣ dz ⎝ 1 − az ⎠ =z =