经济数学基础积分学部分综合练习及参考答案

C (x) 3 x(万元 )，其中 x 为产量， 单位： 百吨． 销 2x （万元 /百吨），求：
(1) 利润最大时的产量； (2) 在利润最大时的产量的基础上再生产
1 百吨，利润会发生什么变化？
试题答案
一、 单 项选择题
1. A 11. D
2．A 3. D 12. C
4. D
5. B
6. C
7. B
15．解 在微分方程 y 2x y 中， P( x) 1, Q(x) 2x
由通解公式 y
dx
dx
e ( 2xe dx
c)
e x ( 2 xex dx
c)
e x ( 2xex 2 exdx c) e x (2xex 2ex c)
( 2x 2 ce x )
16．解：因为 P ( x) 1 ， Q(x) sin x ，由通解公式得 x
产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低
.
2．已知某产品的边际成本 C (x)=2（元 /件），固定成本为 0，边际收益 R (x)=12 - 0.02x，
问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产
50 件，利润将会发生什么变
化？
3．生产某产品的边际成本为 C (x)=8x(万元 /百台 )，边际收入为 R (x)=100 - 2x（万元 /
x
x
B． 1 e e dx
12
D． (x 2 sin x)dx
9．下列无穷积分中收敛的是（
）．
A ． ln xdx B． exdx
1
0
1
C．
1
x 2 dx
1
D．
dx
1 3x
10．设 R (q)=100 - 4q ，若销售量由 10 单位减少到 5 单位，则收入 R 的改变量是（
）．
A ． -550
B． -350
7
的特解．
4 3 的特解．
12．求微分方程 13．求微分方程
y
y
x
ln x 满足
y x1
1 的特解 .
y tan x y ln y 的通解．
14．求微分方程 xy y 15．求微分方程 y 2x
x
的通解 .
ln x y 的通解．
16．求微分方程 xy y x sin x 的通解．
2
四、应用题
1．投产某产品的固定成本为 36(万元 )，且边际成本为 C ( x) =2 x + 40( 万元 / 百台 ). 试求
百台），其中 x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产
2 百台，
利润有什么变化？
4．已知某产品的边际成本为 C ( x) 4 x 3 (万元 / 百台 )， x 为产量 (百台 )，固定成本为
18(万元 )，求最低平均成本 . 5．设生产某产品的总成本函数为
售 x 百吨时的边际收入为 R ( x) 15
8. A
9. C
10. B
二、填空题
1. e x2 dx
2. - 1 cos2x + c ( c 是任意常数 ) 3. 2
0 6. 0 7. 收敛的
3
8. 2 +
q
2
9. 2
2(x 1) 4. F (e x ) c 5. 10. y x3 c
3
三、计算题
⒈解 2．解
sin 1 x 2 x dx
11 sin d( )
1 cos
c
xx
x
2 x dx 2 2 x d( x ) 2 2 x c
x
ln 2
3．解 x sin xdx x cosx cosxdx x cos x sin x c
4．解
(x
1 1)ln xdx = ( x
1) 2 ln x
1
(x
1) 2 dx
2
2x
= 1 ( x2 2 x)ln x x2 x c
e2
1
e2
1
e2
dx =
d(1 ln x) = 2 1 ln x = 2( 3 1)
1 x 1 ln x
1 1 ln x
1
8．解
1
21
1
21
2 x cos2xdx = xsin 2x - 2 sin 2xdx = cos2x =
0
2
0 20
4
0
2
9．解法一
e1
ln( x 1)dx
0
x ln( x
1)
x
A ． f (x)dx F ( x) a
x
B． f (x)dx F ( x) F (a) a
b
C． F (x)dx f (b) f (a) a
b
D ． f ( x)dx F (b) F ( a) a
8．下列定积分中积分值为
x
x
A ． 1 e e dx
12
C． ( x3 cos x)dx
0 的是（
）．
500
500
即利润将减少 25 元 .
3. 解 L (x) = R (x) - C (x) = (100 –2x) –8x =100 –10x
令 L (x)=0, 得 x = 10（百台）
又 x = 10 是 L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故 量为 10（百台）时，利润最大 .
x = 10 是 L(x)的最大值点，即当产
等式两端积分得
1 y2 e
2
1 3x e
c
3
将初始条件 y( 1) 3 代入，得 所以，特解为： 3e y 2 2e3x e 3
13 e
2
13 e
c，c =
13 e
3
6
12．解：方程两端乘以 1 ，得 x
4
y y ln x
x x2
x
即
( y ) ln x
x
x
两边求积分，得
通解为： y
y ln x
dx
7．无穷积分
0
(x
1 1) 2
dx
是
. ． ．（判别其敛散性）
8．设边际收入函数为 R (q) = 2 + 3 q，且 R (0) = 0 ，则平均收入函数为
．
9. ( y ) 3 e 2x y 0 是
阶微分方程 .
10．微分方程 y x 2 的通解是
．
三、计算题
1
sin
⒈
x x2
dx
3． x sin xdx
2 x dx
2．
x
4． ( x 1)ln xdx
5． ln 3 ex (1 ex ) 2dx 0
e2
1
7．
dx
1 x 1 ln x
e1
9． ln( x 1)dx 0
e ln x
6．
dx
1x
π
8． 2 x cos2xdx 0
10．求微分方程 y 11．求微分方程 y
y x2 x ey2 3 x
y
1满足初始条件 y(1) 0 满足初始条件 y( 1)
e 0
1
e1 x dx = e 1
0x1
e1
(1
0
=e
1
[x
ln( x
1)]
e 0
1
＝
ln
e =1
1 )dx
x1
解法二
令 u x 1，则
e1
e
ln( x 1)dx ln udu
0
1
u
ln
u
e 1
e1 u du = e 1u
u
e 1
ee1 1
10．解
因为
P( x)
1 ， Q( x)
x2 1
x
用公式
1
1
令 L (x) 0 ，得 x = 7
由该题实际意义可知， x = 7 为利润函数 L(x)的极大值点， 也是最大值点 . 因此， 当产量为 7 百吨时利润最大 .
(2) 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时，利润改变量为
L
8
(14
2x)dx
(14x
x 2) 8 =112 –64 –98 + 49
= - 1 （万元）
1
1
dx
dx
y e x ( sin xe x dx c)
= e ln x ( sin xeln x dx
c)
1 =(
x sin xdx
c)
x
1 = ( x cos x sin x c)
x
四、应用题 1．解 当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为
5
又 C( x) 令 C( x)
C
6
(2x
令 L ( x) = 0，得 x = 500
. 所以产量为 6 百台时可
x = 500 是惟一驻点，而该问题确实存在最大值 . 所以，当产量为 500 件时，利润最大 .
当产量由 500 件增加至 550 件时，利润改变量为
550
2 550
L
(10 0.02x)dx (10 x 0.01x ) =500 - 525 = - 25 （元）
x
x
A ． e dx d(e )
1
C．
dx d x
2x
x
4．若 f ( x)dx e 2
）．
B． sinxdx d(cosx) 1
D ． ln xdx d( ) x
c ，则 f ( x) =（
）.
）． D．y = 4 x
D． 1 2
x
A. e 2
x
B.
1 e
2
2
5. xd(e x ) （
）．
x
C.
1 e
C(x)= 2x 2 3x 18
又平均成本函数为
C( x)
18
A( x)
2x 3
x
x
令 A ( x)
18 2 x2
0 ， 解得 x = 3 (百台 )
该题确实存在使平均成本最低的产量 . 所以当 x = 3 时，平均成本最低 . 最底平均成本为
18
A(3) 2 3 3
9 (万元 /百台 )
3
5．解： (1) 因为边际成本为 C (x) 1，边际利润 L ( x) R ( x) C (x) = 14 –2x
7
7
即利润将减少 1 万元 .
6
x
x
x ln 2 x cx
2
由 y x 1 1，得 c 1
所以，满足初始条件的特解为：
ln xd(ln x) ln 2 x c 2
2
y x ln x x 2
13．解 将原方程分离变量
dy cot xdx
y ln y
两端积分得 lnln y = ln C sinx
通解为
y = eC sinx
14. 解 将原方程化为： y
1
1
y
，它是一阶线性微分方程，
x ln x
P( x)
1 ， Q(x) 1
x
ln x
用公式
P ( x )dx
P( x)d x
ye
[ Q (x)e dx c]
1 dx
ex [
1
1
e
dx
x dx
c]
ln x
eln x[ 1 e ln xdx c] ln x
x(ln ln x c)
x[ 1 dx c] x ln x
dx
dx
y e x [ (x 2 1)e x dx c] e ln x[ (x 2 1)eln xdx c]
1 x4 x2
x3 x c
[
c]
x4 2
4 2x
由
13 1 c 7
y(1)
，得 c 1
4 21 4
所以，特解为
x3 x 1 y
4 2x
11．解 将方程分离变量： ye y 2 dy e3xdx
C． 350
D ．以上都不对
11．下列微分方程中，（
2
A ． yx ln y y
）是线性微分方程．
2
x
B ． y y xy e
yபைடு நூலகம்
C． y xy e
x
D ． y sin x y e
12．微分方程 ( y ) 2 y ( y ) 3 xy4 0 的阶是（
）.
y ln x
1
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
40)dx = ( x2
6
40x) = 100（万元）
4
4
x
C ( x)dx c0
0
x 2 40 x 36
36
=
= x 40
x
x
x
36 1 x2
0 ， 解得 x
6.
x = 6 是惟一的驻点， 而该问题确实存在使平均成本达到最小的值
使平均成本达到最小 .
2．解 因为边际利润
L ( x) R ( x) C ( x) =12- 0.02x –2 = 10 - 0.02x
12
又 L L ( x)dx
12
(100 10x)dx
(100 x
5x 2 ) 12
20
10
10
10
即从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润将减少
4．解：因为总成本函数为
C (x) (4x 3) dx = 2 x2 3x c
20 万元 .
当 x = 0 时， C(0) = 18 ，得 c =18
即
2
4
x
D.
1 e
2
4
A ． xe x c
B． xe x e x c
C． xe x c
1
1
6. 若 f ( x) ex dx ex c ，则 f ( x) =（
）．
D ． xe x e x c
A． 1 x
1
B．-
x
C． 1 x2
D．- 1 x2
7. 若 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则下列等式成立的是 ( )．
二、 填空题
1． d e x 2 dx
．
2．函数 f (x) sin 2 x 的原函数是 3．若 f ( x)dx ( x 1) 2 c ，则 f ( x)
． .
4．若 f ( x) dx F (x) c ，则 e x f (e x )dx =
.
5． d
e
ln(
x
2
1)dx
dx 1
1
x
6． 1 ( x2 1)2 dx
经济数学基础综合练习及参考答案
一、 单项选择题
第二部分 积分学
1．在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（ 1, 4）的曲线为（
A ． y = x2 + 3
B． y = x2 + 4
C． y = 2 x + 2
1
2. 若 (2x k)dx = 2 ，则 k =（
）．
0
A．1
B．- 1
C． 0
3．下列等式不成立的是（
2
4
3
5．解 6．解
7．解
ln 3 ex (1
ex ) 2dx =
ln 3
(1
ex ) 2 d(1
ex )
=
1 (1
ex)3
ln 3
=
56
0
0
3
03
e ln x dx
1x
e
e
ln xd(2 x ) 2 x ln x
1
1
e
2 xd(ln x)
1
2e
e2
e
dx 2 e 4 x
1x
1
2e
e 2 dx 4 2 e 1x