高中数学人教版选修导数及其应用知识点总结
人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用复习优质
3.利用导数研究函数的极值和最值
1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3) 检 验 f′(x) ＝ 0 的 根 的 两 侧 f′(x) 的 符 号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点．
(2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x2 0＋1， ∴直线 l 的方程为 3 y＝(3x2 ＋ 1)( x － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 又∵直线 l 过点(0,0)， 3 ∴0＝(3x2 ＋ 1)( － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 3 整理得，x0＝－8， ∴x0＝－2.
解之得，x0＝－2， 3 ∴y0＝(－2) ＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x， 切点坐标为(－2， －26)． x (3)∵切线与直线 y＝－ ＋3 垂直， 4 ∴切线的斜率 k＝4. 设切点坐标为(x0， y0)，则 f′ (x0)＝ 3x2 0＋ 1＝ 4， ∴ x0＝ ± 1， x0＝1 x0＝－1， ∴ 或 y0＝－ 14 y0＝－ 18. 即切点为 (1，－ 14)或 (－ 1，－ 18)． 切线方程为 y＝4(x－ 1)－14 或 y＝ 4(x＋ 1)－18. 即 y＝4x－ 18 或 y＝4x－ 14.
例 3： 已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋bx， 在区间(－2,1) 2 内，当 x＝－1 时取极小值，当 x＝ 时取极大值． 3 (1)求函数 y＝f(x)在 x＝－2 时的对应点的切线方程； (2)求函数 y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．
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数学选修 2-2 数系的扩充和复数的概念知识点必记
30.复数的概念是什么？ 答：形如 a．+．b．i．的数叫做复数，其中 i 叫虚数单位， a 叫实部， b 叫虚部，数集
C = a + bi | a,b R 叫做复数集。
规定：a + bi = c + di a．=．c．且．b．=．d．，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相
和综合法常结合使用，不要将它们：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的
否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤是什么？
答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
22.什么是综合法？
答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条
件，直至推出要证的结论。
23.什么是分析法？
答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者
一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法
个是最小值。 注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？
答：分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限 （“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质有哪些？ 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质 1
b
1dx = b − a
a
性质 5
若 f (x) 0,
特别地：
b
kf (x)dx = k
a
b f (x)dx(k为常数)
a
(完整版)导数知识点总结及应用
《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。
函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。
5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。
_高中数学第一章导数及其应用2
f(x)＝1x
f ′(x)＝－x12＝－x－2
f(x)＝ x
f ′(x)＝21 x＝12x－12
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
结论：若f(x)＝xα(α为有理数)，则f′(x)＝αxα－1.
1．y＝c表示平行于x轴的直线，或与x轴重合的直线， 其斜率为0，故y＝c上任一点处的导数值为____0____， 直线y＝x的斜率为1，故直线y＝x上任一点处的导数值 为___1_____.
[分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．
[解析]
设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝2
1 x0
.
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2 x0，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在曲线y＝ x上，∴y0＝ x0.
在直线l2的方程中令y＝0，则－ x0＝－2 x0(x－x0)．
2．当y＝c表示路程关于时间的函数时，常数c表明路 程不变化，因此一直处于__静__止____状态，故瞬时速度 为___0_____，因此y′＝____0____；
当y＝x表示路程关于时间的函数时，路程的改变量等 于时间的改变量，因此物体做匀速直线运动，瞬时速 度为___1_____，故y′＝____1____.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
数学选修导数知识点总结
数学选修导数知识点总结导数是微积分的重要概念之一，对于理解和解决数学中的许多问题都起着至关重要的作用。
在这篇文章中，我们将对导数的基本概念、性质和计算方法进行总结，并通过一些例题来加深对导数的理解。
一、导数的基本概念1. 导数的定义导数是函数在某一点处的变化率。
如果函数y=f(x)在x点附近有定义，在这个点的邻域内存在，则称函数在x点处可导。
如果这个极限存在，那么这个极限的值就是函数在x处的导数，通常用f'(x)或者dy/dx来表示。
2. 几何意义导数反映了函数在某一点处的切线斜率。
在直角坐标系中，如果函数在x处可导，则函数在该点的切线斜率即为该点的导数值。
3. 物理意义导数还有着物理意义，例如速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。
二、导数的性质1. 可导必连续如果函数在某一点可导，则该点也是连续的，反之则不一定成立。
2. 导数的运算法则- 常数的导数为0：(k)'=0- 幂函数的导数：(x^n)'=nx^(n-1)- 一次函数的导数：(kx+b)'=k- 指数函数的导数：(a^x)'=a^x*lna- 对数函数的导数：(loga x)'=1/(xlna)- 三角函数的导数：(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx，(tanx)'=sec^2x3. 乘法法则如果函数u(x)和v(x)在x点可导，则它们的乘积在该点可导，且有(uv)'=u'v+uv'4. 除法法则如果函数u(x)和v(x)在x点可导，且v(x)≠0，则它们的商在该点可导，且有(u/v)'=(u'v-uv')/(v^2)5. 复合函数的导数如果y=f(u), u=g(x)，且f(u)和g(x)在对应的点可导，则复合函数y=f(g(x))在x点可导，且有(y)'=f'(g(x))*g'(x)三、导数的计算方法1. 利用基本导数公式计算利用已知的基本导数公式，根据要求计算函数的导数值。
_高中数学第一章导数及其应用2
[提示] ΔΔyx＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx
＝2x－x22.
Байду номын сангаас
[问题3] F(x)的导数与f(x)、g(x)的导数有何关系？ [提示] F(x)的导数等于f(x)、g(x)导数和．
[问题 4] 试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． [提示] 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
(3)y′＝(2x2＋3)′·(3x－2)＋(2x2＋3)·(3x－2)′
＝4x·(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9.
(4)y′＝xl＋n x1′－(2x)′
＝1xx＋x＋1－ 12ln
x －2xln
2
＝1＋x1x＋－1ln2
x －2xln
2.
二. 复合函数的导数
例题 2 求下列函数的导数：
(1)y＝1－12x3；
(2)y＝cos x2；
(3)y＝sin3x－π4； (4)y＝lg(2x2＋3x＋1)．
• [思路点拨] 解答本题可先分析复合函数的复合过 程，然后运用复合函数的求导法则求解．
解析： (1)设 y＝u13，u＝1－2x， 则 y′x＝y′u·u′x ＝u13′·(1－2x)′ ＝－3u－4·(－2) ＝1－62x4. (2)设 y＝cos u，u＝x2， 则 y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(x2)′ ＝－sin u·2x ＝－2x·sin x2.
(4)开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟 练后中间步骤可省略．
特别提醒：只要求会求形如f(ax＋b)的复合函数的导 数．
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
(完整版)高中数学导数知识点归纳总结
§14. 导 数 知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x yx ∆∆→∆0lim不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x fx x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)(φx f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)(φx f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)(πx f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin xx -=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2'11)(arccos xx --=II. x x 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x x x x e e =')( a a a x x ln )('= 11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y xx x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.导数知识点总结复习经典例题剖析 考点一：求导公式。
最新人教版高中数学选修导数及其应用复习小结ppt课件
函数的单调性与导数
(1) f ( x) 0 f ( x)为单调递增函数 f ( x)为单调递增函数 f ( x) 0
(2) f ( x) 0 f ( x)为单调递减函数 f ( x)为单调递减函数 f ( x) 0
(3) x0为极值点 f ( x0 ) 0 （前提导数存在）
+ n = n(n + 1) 2
+ n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6
+ n3 = 轾 犏 犏 臌n(n2+ 1) 2
定积分的概念
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
b f (x)dx，即 b
a
a
n
f (x)dx lim 0 i 1
注意：导数等于零的点不一定是极值点．
极值的判断
(1) f (由x)正变负,那么 是极大x值0点;
(2) f (由x)负变正,那么 是极小x值0点; (3) f (不x)变号,那么 不是极x0值点。
y
y
o
x0
x
左正右负极大
o
x0
x
左负右正极小
y
o
x0
x
左右同号无极值
导数求极值的步骤
x x0
x0
x
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作
f’(xo)或y’|x=x0，即
f
'( x0
)
lim
x0
y x
lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
2023年高中数学人教版选修导数及其应用知识点总结
数学选修2-2导数及其应用知识点必记1. 函数旳平均变化率是什么？答: 平均变化率为注1：其中是自变量旳变化量, 可正, 可负, 可零。
注2: 函数旳平均变化率可以看作是物体运动旳平均速度。
2.导函数旳概念是什么？答：函数在处旳瞬时变化率是, 则称函数在点处可导, 并把这个极限叫做在处旳导数, 记作或, 即= .3.平均变化率和导数旳几何意义是什么？答: 函数旳平均变化率旳几何意义是割线旳斜率；函数旳导数旳几何意义是切线旳斜率。
4导数旳背景是什么？答: （1）切线旳斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
6.用导数求函数单调区间旳环节是什么？答: ①求函数f(x)旳导数②令>0,解不等式, 得x旳范围就是递增区间.③令<0,解不等式, 得x旳范围, 就是递减区间；注: 求单调区间之前一定要先看原函数旳定义域。
7.求可导函数f(x)旳极值旳环节是什么？ 答: (1)确定函数旳定义域。
(2) 求函数f(x)旳导数 (3)求方程'()f x =0旳根(4) 用函数旳导数为0旳点, 顺次将函数旳定义区间提成若干小开区间, 并列成表格, 检查 在方程根左右旳值旳符号, 假如左正右负, 那么f(x)在这个根处获得极大值；假如左负右正, 那么f(x)在这个根处获得极小值；假如左右不变化符号, 那么f(x)在这个根处无极值8.运用导数求函数旳最值旳环节是什么？ 答: 求 在 上旳最大值与最小值旳环节如下: ⑴求)(x f 在[]b a ,上旳极值；⑵将 旳各极值与 比较, 其中最大旳一种是最大值, 最小旳一种是最小值。
注: 实际问题旳开区间唯一极值点就是所求旳最值点； 9. 求曲边梯形旳思想和环节是什么？答: 分割 近似替代 求和 取极限 （“以直代曲”旳思想） 10.定积分旳性质有哪些？根据定积分旳定义, 不难得出定积分旳如下性质： 性质1a b dx ba-=⎰1性质5 若 , 则 ①推广:②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰11定积分旳取值状况有哪几种？答: 定积分旳值也许取正值, 也也许取负值, 还也许是0. ( l ）当对应旳曲边梯形位于 x 轴上方时, 定积分旳值取正值, 且等于x 轴上方旳图形面积；（2）当对应旳曲边梯形位于 x 轴下方时, 定积分旳值取负值, 且等于x 轴上方图形面积旳相反数；（3）当位于x 轴上方旳曲边梯形面积等于位于x 轴下方旳曲边梯形面积时, 定积分旳值为0, 且等于x轴上方图形旳面积减去下方旳图形旳面积.12. 物理中常用旳微积分知识有哪些？答：（1）位移旳导数为速度, 速度旳导数为加速度。
高中数学人教版选修2-2导数与其应用知识点总结
导数及其应用知识点必记1．函数的平均变化率为y f f (x2 ) f ( x1 ) f ( x1x) f ( x1 ) x x x2x1x注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2 、导函数的概念 : 函数y f (x)在 x x0处的瞬时变化率是lim y lim f ( x0x) f ( x0 ) ，则称函数y f (x) 在点 x 0处可导，并把这个极限叫x 0x x 0x做 y f ( x) 在x0处的导数，记作f'( x0)或y'| x x03.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4 导数的背景（ 1）切线的斜率；（ 2）瞬时速度；5、常见的函数导数和积分公式函数导函数定积分y c————————y x n n N *y a x a0, a 1y e xy log a x a 0,a 1,x 0————————y ln xy sin xy cos x常见的导数和定积分运算公式:若 f x ， g x 均可导（可积），则有：和差的导数运算积的导数运算商的导数运算复合函数的导数微积分基本定理和差的积分运算积分的区间可加性6.用导数求函数单调区间的步骤 :①求函数f(x)的导数 f '( x) ②令 f '( x) >0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间 .③令 f '( x) <0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间； [注 ]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数 f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。
(2) 求函数 f(x)的导数f '(x) (3)求方程 f '( x) =0 的根 (4) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f / ( x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤 :求 f ( x) 在 a, b 上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求 f ( x) 在 a,b 上的极值；⑵将f (x) 的各极值与 f ( a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
(完整版)高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结,推荐文档
19 反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否 定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确， 即所求证命题正确。反证法的思维方法:正难则反。矛盾（1）与已知条件矛盾: （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾． 20 常见的“结论词”与“反义词”
常见的导数和定积分运算公式:若 f x， g x均可导（可积），则有：
和差的导数运算 积的导数运算 商的导数运算 复合函数的导数 微积分基本定理
和差的积分运算
积分的区间可加性
-1-
六安一中东校区高二数学选修 2-x)的导数 f '(x) ②令 f '(x) >0,解不等
证明当 n=k+1 时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数
n
都正确
新疆 王新敞
[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
b
f (x)dx
a
a
c1
ck
11 定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，
也可能取负值，还可能是 0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，
定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时， 定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的 相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于 位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值 为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图 形的面积．
原结论词
反义词
高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《第三章 导数及其应用》归纳整合
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2．曲线的切线方程 利用导数求曲线过点 P 的切线方程时应注意： (1)判断 P 点是否在曲线上； (2)如果曲线 y＝f(x)在 P(x0， f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数 不存在)，可得方程为 x＝x0；P 点坐标适合切线方程，P 点处的 切线斜率为 f′(x0)． 3． 利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数， 熟记 基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会 给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变 形是优化解题过程的关键．
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(2)由 f(x)＝x3－3x2＋2 得，f′(x)＝3x2－6x. 由 f′(x)＝0 得，x＝0 或 x＝2. ①当 0<t≤2 时， 在区间(0， t)上 f′(x)<0， f(x)在[0， t]上是减函数， 所以 f(x)max＝f(0)＝2， f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2. ②当 2<t<3 时，当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
(x1，x2) －
x2 0 极小值
(x2，＋∞) ＋
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此时
a－ f(x)在0，
a2－8 上单调递增， 2
a－ 在 a＋ 在
a2－8 a＋ a2－8 ， 上单调递减， 2 2
a2－8 ，＋∞ 上单调递增． 2
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4．判断函数的单调性 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义 域，解决问题的过程只能在函数的定义域内进行，通过讨论导 数的符号，来判断函数的单调区间； (2)注意在某一区间内 f′(x)＞0(或 f′(x)＜0)是函数 f(x)在该区间上 为增(或减)函数的充分条件．
人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用章末小结
【金版教案】2015-2016高中数学第一章导数及其应用章末小结新人教 A 版选修 2-2知识点一导数的观点与几何意义求曲线的切线的方法求曲线的切线分两种状况(1)求点P(x0， y0)处的切线，该点在曲线上，且点是切点，切线斜率k＝ y′|x＝x0.(2)求过点P(x1， y1)的切线方程，此点在切线上不必定是切点，需设出切点(x0， y0)，求出切线斜率k＝ y′ |x＝ x0，利用点斜式方程写出切线方程，再依据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程．已知函数 y＝ x3－ x，求函数图象(1)在点 (1， 0)处的切线方程；(2)过点 (1， 0)的切线方程．分析： (1)函数 y＝ x3－ x 的图象在点 (1， 0)处的切线斜率为k＝ y′|＝＝ (3x2－ 1)| ＝＝ 2，x 1x 1所以函数的图象在点(1， 0)处的切线方程为y＝ 2x－ 2.(2)设函数 y＝ x3－x 图象上切点的坐标为P(x0， x03－ x0)，则切线斜率为 k＝y′|x＝ x0＝ 3x02－1，切线方程为 y－ (x03－ x0)＝ (3x02－ 1)(x－x0)，因为切线经过点 (1，0)，32所以 0－ (x0－x0)＝(3x0－ 1)(1－ x0)，3232整理，得 2x0－ 3x0＋ 1＝0，即 2(x0－ 1)－ 3(x0－ 1)＝ 0，所以 (x0－ 1)2(2 x0＋ 1)＝ 0，1解得 x0＝ 1 或 x0＝－2.所以 P(1， 0)或 P －12，38，1 1所以切线方程为 y＝ 2x－ 2 或 y＝－ x＋4.4知识点二导数与函数的单一性求函数 f(x)的单一区间的方法步骤(1)确立函数 f(x)的定义域；(2)计算函数 f(x)的导数 f ′(x)；(3)解不等式 f ′(x)>0 ，获取函数 f(x)的递加区间；解不等式 f ′(x)<0 ，获取函数 f(x)的递减区间．提示：求函数单一区间必定要先确立函数定义域，常常因忽略函数定义域而致使错误．(2014 ·高考纲领卷 )函数 f(x)＝ ax 3＋ 3x 2＋ 3x(a ≠0)．(1)议论函数 f(x)的单一性；(2)若函数 f(x)在区间 (1， 2)是增函数，求 a 的取值范围．分析： (1)因为函数 f(x) ＝ax 3＋ 3x 2＋ 3x ，所以 f ′(x)＝ 3ax 2＋6x ＋ 3.令 f ′(x)＝ 0，即 3ax 2＋ 6x ＋ 3＝ 0，则 ＝ 36(1 － a)。
高二数学学习：高二数学选修1导数及其应用知识点总结
高二数学学习：高二数学选修1导数及其应用知识点总结你还在为高中数学学习而苦恼吗?别担心，看了高二数学学习：高二数学选修1导数及其应用以后你会有很大的收获：高二数学学习：高二数学选修1导数及其应用第三章：导数及其应用知识点：1、若某个问题中的函数关系用表示，问题中的变化率用式子表示，则式子称为函数从到的平均变化率．2、函数在处的瞬时变化率是，则称它为函数在处的导数，记作或，即．3、函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．曲线在点处的切线的斜率是，切线的方程为．若函数在处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为．4、若当变化时，是的函数，则称它为的导函数（导数），记作或，即．5、基本初等函数的导数公式：若，则；若，则；若，则；若，则；若，则；若，则；若，则；若，则．6、导数运算法则：；；．7、对于两个函数和，若通过变量，可以表示成的函数，则称这个函数为函数和的复合函数，记作．复合函数的导数与函数，的导数间的关系是．8、在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；若，则函数在这个区间内单调递减．9、点称为函数的极小值点，称为函数的极小值；点称为函数的极大值点，称为函数的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 10、求函数的极值的方法是：解方程．当时：如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．11、求函数在上的最大值与最小值的步骤是：求函数在内的极值；将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用典型例题1.（05全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，则=（）A．2 B. 3 C. 4 D.52．函数在[0,3]上的最大值与最小值分别是（）A.5 , - 15B.5 , 4C.- 4 , - 15D.5 , - 163.（根据____年天津卷文21改编）已知函数是R上的奇函数，当时取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求的单调区间和极大值；4.（根据山东____年文21改编）设函数，已知为的极值点。
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案
导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。
高二数学选修一导数知识点
高二数学选修一导数知识点一、导数的概念与求法导数是数学中用于描述函数变化率的概念。
导数的求法有三种常见方法，分别是极限法、速度法和微分法。
1.1 极限法极限法是最基础的求导方法之一。
对于函数f(x)，其在某一点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h->0) [f(a+h) - f(a)] / h1.2 速度法速度法是通过对物体运动过程中的位移和时间进行观察，并计算其平均速度逐渐趋近于瞬时速度的方法。
1.3 微分法微分法是求导数的一种常用方法，使用微分运算符号d/dx表示。
对于函数y=f(x)，其导数可以表示为dy/dx或f'(x)。
二、导数的基本性质导数具有一些基本的性质，包括线性性、指数性、常数性和乘法性。
2.1 线性性质对于两个可导函数f(x)和g(x)以及任意常数a，有以下性质成立：(a*f(x) ± g(x))' = a*f'(x) ± g'(x)(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)2.2 指数性质对于指数函数和对数函数，其导数具有特殊的性质：(e^x)' = e^x(ln x)' = 1/x2.3 常数性质对于常数c，有以下性质成立：(c)' = 02.4 乘法性质对于可导函数f(x)和g(x)，有以下性质成立：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)三、常用函数的导数公式在数学中，有一些常用的函数的导数公式，掌握这些公式可以简化导数的计算过程。
3.1 幂函数的导数幂函数的导数公式可以通过常用的导数公式推导得到。
对于函数y = x^n，其中n为常数，导数公式如下：dy/dx = n * x^(n-1)3.2 指数函数的导数指数函数的导数公式中，以自然常数e为底的指数函数具有特殊形式，其导数公式为：d(e^x) / dx = e^x3.3 对数函数的导数对数函数的导数公式中，以自然对数为底的对数函数具有特殊形式，其导数公式为：d(ln x) / dx = 1 / x3.4 三角函数的导数常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的导数公式如下：d(sin x) / dx = cos xd(cos x) / dx = -sin xd(tan x) / dx = sec^2 x3.5 反三角函数的导数反三角函数是三角函数的反函数，以下是反三角函数的导数公式：d(arcsin x) / dx = 1 / √(1 - x^2)d(arccos x) / dx = -1 / √(1 - x^2)d(arctan x) / dx = 1 / (1 + x^2)四、导数的应用导数在数学中有广泛的应用，包括极值问题、函数图像的研究和曲线的切线问题等。
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数学选修2-2导数及其应用知识点必记1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些？6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 答：若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？ 答：①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； 注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f (x )的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f (x )的导数'()f x(3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？（“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质有哪些？根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1a b dx ba-=⎰1性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥⎰b adx x f①推广：1212[()()()]()()()b b b bm m aaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰L L②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰L11定积分的取值情况有哪几种？答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x 轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x 轴上方图形面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．12．物理中常用的微积分知识有哪些？答：（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。
（2）力的积分为功。
数学选修2-2推理与证明知识点必记13.归纳推理的定义是什么？答：从个别事实．．．．中推演出一般性．．．的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
归纳推理是由部分到整体．．，由个别到一般．．的推理。
14.归纳推理的思维过程是什么？ 答：大致如图：15.归纳推理的特点有哪些？答： ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义是什么？答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。
类比推理是由特殊．．到特殊．．的推理。
17.类比推理的思维过程是什么？ 答：18.演绎推理的定义是什么？答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
演绎推理是由一般．．到特殊．．的推理。
19．演绎推理的主要形式是什么？答：三段论 20.“三段论”可以表示为什么？答： ①大前题：M 是P ②小前提：S 是M ③结论：S 是P 。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
21.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？答：直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。
直接证明包括综合法和分析法。
22.什么是综合法？答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
23.什么是分析法？答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。
24什么是间接证明？答：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤是什么？答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。
．．．26常见的“结论词”与“反义词”有哪些？27.反证法的思维方法是什么？答：正难则反．．．． 28.如何归缪矛盾？答：（1）与已知条件．．．．矛盾；（2）与已有公理、定理、定义．．．．．．．．．．矛盾； （3）自相．．矛盾．29．数学归纳法（只能证明与正整数．．．有关的数学命题）的步骤是什么？ 答：(1)证明：当n 取第一个值．．．．()00n n N *∈时命题成立； (2)假设当n=k (k ∈N *，且k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1．．．．．时命题也成立. 由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
数学选修2-2数系的扩充和复数的概念知识点必记30.复数的概念是什么？答：形如a+bi ．．．．的数叫做复数，其中i 叫虚数单位，a 叫实部， b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。
规定：a bi c di +=+⇔a=c ．．．且．b=d ．．．，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。
31．数集的关系有哪些？答：0000b Z a b a =⎧⎪≠⎧⎨⎪≠⎨⎪=⎪⎩⎩实数 ()复数一般虚数()虚数 ()纯虚数()32.复数的几何意义是什么？答：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
33.什么是复平面？答：根据复数相等的定义，任何一个复数bi a z +=，都可以由一个有序实数对),(b a 唯一确定。
由于有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
34.如何求复数的模(绝对值)？答：与复数z 对应的向量OZ 的模r 叫做复数bi a z +=的模(也叫绝对值)记作bi a z +或。
由模的定义可知：22b a bi a z +=+=35.复数的加、减法运算及几何意义是什么？答：①复数的加、减法法则：12z a bi c di =+=+与z ，则12()z z a c b d i ±=±+±。
注：复数的加、减法运算也可以按向量．．的加、减法来进行。
②复数的乘法法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++。
③复数的除法法则：2222()()()()a bi a bi c di ac bd bc adi c di c di c di c d c d ++-+-==+++-++ 其中c di -叫做实数化因子 36.什么是共轭复数？答：两复数a bi a bi +-与互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律(1);(2)2,2;z z z z a z z bi =+=-=2222(3);(4);(5)z z z z a b z z z z z R ⋅===+==⇔∈41424344(6),1,,1;n n n n i i i i i i ++++==-=-=()2211(7)1;(8),,11i i i i i i i i i +-±=±==-=±-+ )9(设231i +-=ω是1的立方虚根，则012=++ωω，1,,332313===+++n n n ωωωωω。