二倍角公式公开课
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
(1) sin 15 c os15
1 (2sin15cos15) 2
tan 22.5 (3) 1 tan2 22.5
1 2
2 1
tan 22.5 tan2 22.5
1 sin 30 1 1
2
22
1 4
1 tan 45 2
1 2
例15. 已知sin 2 5 , ，
13 4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4的值.
4
8
88
5 5 25
cos
cos(2 ) cos2 sin2
( 4)2 ( 3)2
7
,
4
8
885ຫໍສະໝຸດ 5 25tan 4
sin
4
cos
24
25 7
24 . 7
4 25
练习：课本135页 2
解：∵sin( ) sin 3 , sin 3 ,sin2 9
5
5
25
cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 ,
3
3
9
全优77页基础夯实
例6、在△ABC中，cos A 4 , tan B 2,求 tan（2A 2B）的值。 5
解法1 在△ABC中， 由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
所以tan A sin A 3 5 3 . cos A 5 4 4
3
3
9
sin 2 2sin cos 2 ( 2 2 ) 1 4 2 ,
33 9
cos(2 ) cos2 cos sin 2 sin
4
4
4
7 2 4 2 2 7 2 8.
二倍角公式公开课课件
二倍角公式的推广到多倍角公式
推广一
将二倍角公式中的角度值替换为多倍角度值 ，如将 $2A$ 替换为 $nA$，得到多倍角公 式 $sin nA = nsinfrac{A}{n}cos^{n1}frac{A}{n}$。
推广二
利用二倍角公式推导出的多倍角公式，如 $cos nA = cos^n A - S_nsin^n A$，其中 $S_n$ 是二项式系数。
应用举例
已知cos(x) = 1/3，求cos(2x)的值。利用二倍角公式cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， 可以快速得出结果为-7/9。
在解三角函数方程中的应用
总结词
通过二倍角公式将三角函数方程转化为更易于求解的形式。
应用举例
求解sin(x) = 1/2的解。利用二倍角公式，将方程转化为2sin(x/2)cos(x/2) = 1/2，进 一步得到sin(x/2) = 1/2或cos(x/2) = 1/2，从而求得x的解。
利用诱导公式化简。
04
进阶习题2答案与解析：cos(π/3 - 2α) = 4√5/5。解 析：利用二倍角公式，将cos(π/6 + α)转化为sin，再 利用诱导公式化简。
感谢观看
THANKS
详细描述
二倍角公式的几何意义在于，它描述了一个角经过旋转其度数两倍后，新位置与原位置之间的正弦或余弦关系。 具体来说，当一个角绕着原点旋转到其两倍角度数的新位置时，该角所对应的正弦或余弦值可以通过二倍角公式 计算得到。
二倍角公式的应用场景
总结词
二倍角公式在解决三角函数问题中具有广泛的应用，例如在解三角形、求三角函数值、证明三角恒等 式等方面。
二倍角的正弦、余弦、正切公式优质课课件
引例
等腰三角形ABC的顶角是A，底角是B，C，
cosB= 3
5
，求顶角A的正弦、余弦、正切值.
二 倍 角 公 式：
sin 2 2sin cos
R
cos 2 cos2 sin 2 R
2cos2 1 1 2sin2
tan 2
2 tan 1 tan 2
k 2
,且 4
k 2
，k Z
倍角的相对性
(1)sin 4 2sin_ cos_ (2) cos cos2_ sin2_ 2 cos2_1
1 2sin2_
(3) tan
2
2 tan_ 1 tan2_
四、典例剖析
例1.已知sin 4 , ＜＜，
52
求sin 2, cos 2, tan 2的值.
练习：1.解决引例提出的问题. 在ABC中，B=C,cos B 3 ,求sin A, cos A, tan A.
5
2.灵活应用公式.
(1) cos2 75 sin2 75 2 tan 22.5
(2) 1 tan2 22.5 (3) sin15 cos15
(4)4 cos 75 cos15
5
课堂小结
• 1.倍角公式（推导、熟记、灵活应用）。 • 2.公式的特征、成立的条件、倍角的相
对性。
• 3.转化与化归的数学思想。 • 4.算法的合理性。
作业
在ABC中,sin A 3 , tan B 2, 5
求 tan 2A 2B的值.
谢谢大家！
知识与方法总结重要。
例2.在ABC中, cos A 4 , tan B 2, 5
求 tan 2 A B的值.
公开课二倍角公式
二倍角公式
sin2α 2sinαcosα根据公式口答下列各题：
cos2α cos2α sin2α (1)2sin15 cos15
=2 cos2 1 1 2sin2
(2)cos2π sin2π
6
6
tan2α
2tanα 1 tan2α
(3)
1
2tan30 tan230
1 2
1 2
3
小结：二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的 形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两 倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所 有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理 解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是 β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以 应用二倍角公式。
若m n 1 cos(A B),则C
已知点M (1+ cos 2x,1), N(1, 3 sin 2x a) (x R, a R, a是常数），设y=OM ON (O为坐标原点)。 （1）求y关于x的函数关系式y=f(x),并求f(x)最小
正周期
（2）若x[0, ]时，f(x)的最大值为4，求a的值，
利用sin 2 cos2 1变形为
cos 2 2 cos2 1 cos 2 1 2sin 2
sin sin cos cos sin 令： sin 2 2sin cos
tan
tan tan 1 tan tan
令：
tan
2
2 tan 1 tan 2
注:
2
k
且
k k Z
一、复习两角和的三角公式
S() sinαβ sinαcosβ cosαsinβ
C() cosαβ cos cos sin sin
《二倍角公式》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】
第四章 三角恒等变换4.3.1二倍角公式1．理解二倍角公式与两角和公式之间的联系，能利用两角和公式探索二倍角公式及相关变形式，并能进行简单的应用．2．让学生经历二倍角公式的推导及变形过程，获得解决与倍角相关的化简、求值、证明等问题的技能．3．在公式生成与应用过程中，体会由一般到特殊、由特殊到一般的数学思想，理解二倍角中“倍”的含义，了解研究问题的过程与方法．重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式． 难点：二倍角的理解及其灵活运用．一、新课导入相关著名历史人物：比鲁尼(973～1048)是波斯著名科学家、史学家、哲学家．青年时曾到朱尔占师从艾布·纳斯尔·曼苏尔等著名学者．他博览群书，广交学者，学识渊博，富有创造性，对史学、地理、天文、数学和医学均有很深的造诣．比鲁尼的著作《马苏德规律》在三角学方面有创造性的贡献，他给出一种测量地球半径的方法．比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式．二、新知探究问题1：将两角和（βα+）的正弦、余弦和正切公式中的β换成α，会得到什么结果？ 答案： 因为两角和的正弦公式为：sin （βα+）＝sin αcos β＋cos αsin β，将公式中的β换成α可得sin （αα+）＝sin αcos α＋cos αsin α，化简得sin 2α=2sin αcos α (S 2α)．同理可得：cos 2α＝cos 2α－sin 2α (C 2α)；tan 2α＝2tan α1－tan 2α(T 2α)（α、2α 均不等于π2＋k π，k ∈Z ．） 追问1：根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答案：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；◆教学目标◆教学重难点◆教学过程或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α． 追问2：tan 2α公式还可以怎么推导？追问3：倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？答案：倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为α2的二倍，3α作为3α2的二倍，α＋β作为α＋β2的二倍等情况．追问4：sin 3α用二倍角公式展开是什么？答案：sin 3α＝2sin 3α2cos 3α2．问题2：余弦的二倍角公式还可以做哪些变形？答案：升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2．总结：以上这些问题，通过回顾所学两角和的正弦、余弦、正切公式，令β=α，经过三角恒等变换推导出二倍角公式及相关的变形公式．设计意图：让学生经历二倍角公式的推导及变形过程，了解两角和的三角函数公式和二倍角公式的内在联系，还可以交流tan 2α的不同推导过程．让学生深刻领会从一般到特殊的数学思想．【公式巩固】1．sin π8cos π8的值为________．【解析】sin π8cos π8＝12sin π4＝24．【答案】24． 2．计算cos 215°－sin 215°结果等于( ) A ．12B ．22 C ．33 D ．32【解析】cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32． 【答案】D3．已知α为第三象限角，cos α＝－35，则tan 2α＝________．【解析】因为α为第三象限角，cos α＝－35，所以sin α＝－45，所以tan α＝43，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247．【答案】－247．三、应用举例（一）二倍角公式的直接运用例1 已知角α是第二象限角，cos α=－53，sin 2α，cos 2α和tan 2α的值． 解： 因为角α是第二象限角，所以sin α>0，可得sin α=54cos 12=-α．由二倍角公式，有sin 2α=2sin αcos α=2524-，cos 2α＝2cos 2α－1=2×253⎪⎭⎫⎝⎛-－1=257-，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2572524--＝724．设计意图：通过例题，对二倍角公式进行练习，掌握二倍角公式的运用，逐步灵活应用．方法总结：结合同角三角函数的基本关系式对已知条件进行转化，直接运用二倍角公式直接求值．（二）二倍角公式的间接运用例2 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，则sin 2α的值为( ) A ．－89 B ．89 C ．－79 D ．79解： ∵2α＝2⎝⎛⎭⎫α＋π4－π2，∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π4－π2＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－⎝⎛⎭⎫1－2×19＝－79．故答案选：C ．设计意图：通过此例，观察寻找角之间关系，通过恒等变形，使其适合二倍角公式，达到解题目的．方法总结：(1)解决此类问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．(2)注意几种公式的灵活应用，如：①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ．②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ．（三）二倍角公式在实际问题中的应用例3 在ABC 中，已知AB =AC = 2BC ，求角A 的正弦值．解：如图，过点A 作BC 的垂线，垂足为D ．设∠BAD =θ，则∠BAC =2θ． 因为BD =12BC =14AB ，所以sin θ=BDAB =14．因为0<2θ<π，所以 0<θ<π2，于是cos θ=√1−(14)2=√154．故sin∠BAC ＝sin2θ＝2sin θcos θ＝2×14×√154＝√158．例4 如图，要把以点O 为圆心，半径为R 的半圆形木料截成矩形ABCD ，应怎么样截取，才能使矩形ABCD 的面积最大？解：连接OB ，如图所示，设∠AOB ＝θ，则AB ＝R sin θ，OA ＝R cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2．因为A ，D 关于点O 对称， 所以AD ＝2OA ＝2R cos θ．设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AD ·AB ＝2R cos θ·R sin θ＝2R sin 2θ． 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2θ∈(0，π)， 所以当sin 2θ＝1，即θ＝π4时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是2R ．设计意图：三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角恒等变换来解决，此题反应三角公式的解决实际问题的应用．方法总结：此类实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用三角函数模型结合公式解决实际的优化问题．四、课堂练习1．下列各式中，值为32的是( )． A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°2．若sin α2＝33，则cos α等于( )．A ．－23B ．－13C ．13D ．233．若sin 2α＝－13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4的值为( )． A ．－23 B ．－13 C ．23 D ．134．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 5．1＋cos 100°sin 20°cos 20°＝________．参考答案： 1．答案 B解析 2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32；2sin 215°＝1－cos 30°＝1－32；sin 215°＋cos 215°＝1，故选 B ．2．答案 C解析 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13．3．答案 D解析 cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos 2⎝⎛⎭⎫α－π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝1－132＝13．4．答案3解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α．由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π知sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝2π3，∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝3．5.答案 22 解析 原式＝1＋2cos 250°－112sin 40°＝2cos 50°12sin 40°＝22．五、课堂小结1.牢记3组公式：(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α，其中(1)、(2)中α为任意角；(3)中α、2α均不等于π2＋k π，k ∈Z ．2.注意公式的变形和转化思想的应用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式： ①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2．六、布置作业教材第155页练习题．。
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(经典公开课)
+
= +
+
-
+ - .
因为 θ 是第二象限角,
即 2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,所以 kπ+ < <kπ+,k∈Z.
所以原式=
, + < < + (∈),
解析:∵tan α=,∴tan 2α=- =
答案:
.
.
二、二倍角的余弦公式的变形
【问题思考】
1.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α
或cos α表示cos 2α?
提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;
.
-
=2sin
=2× × = ,
,
+
的值”.
反思感悟
三角函数的条件求值问题常有两种解题途径
(1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、
函数名靠拢;
(2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、
函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
sin215°+cos215°=1,选项 D 不对.
答案:B
2.sin
4
《二倍角正弦、余弦、正切公式》市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
R
倍 角
cos 2 cos2 sin2
R
公 式：
tan 2
1
2
tan tan2
k
2
4
,且
k
2
，k Z
对于C2 能否有其他表达形式？
cos 2 2cos2 1
cos 2 1 2sin2
公式中旳角是否为任意角？ 3
注意：
①二倍角公式旳作用在于用单角旳三角函数来体现二倍角 旳三角函数，它合用于二倍角与单角旳三角函数之间旳互 化问题。
2 tan150 (3) 1 tan2 150 ;
(4)1 2sin2 750.
(5)8sin cos cos cos
48 48 24 12
6
练习 同类题 (1) sin cos 44
(2) sin4 cos4
2
2
1 tan2 3
(3)
2
tan 3
2
(4) sin( ) cos( )
13
4
例1
已知cos
12 ,
(
, )，求sin，
2 13 2 2
cos ，tan 的值。
已知sin 2 5 , ( , )，求sin 4，
13
42
cos 4，tan 4的值。
5
例2 求下列各式旳值：
(1) sin 22.50 cos 22.50; (2) cos2 sin2 ;
8
8
4
4
(5)、cos cos 5
12 12
(6)、cos 36 cos 72
7
引申：公式变形：
1 sin 2 (sin cos )2
1 cos 2 2cos2
3.1.3公开课二倍角公式
高中 数学导学案 必修四 第三章 三角恒等变换 主编：李玲 审核：数学组 编号：使用时间：2015 年 4月 23 日 班级：106, 107 小组： 姓名： 组内评价： 教师评价：高一 数学 再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。
- 1 -3.1.3 二倍角的正弦，余弦和正切公式【学习目标】1．会利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式 2．能记住二倍角公式及相关变形 3．能用二倍角公式进行化简，求值【复习回顾】两角和的正弦、余弦、正切公式)(βα+S ：()=+βαsin ____________________________； )(βα+C ：()=+βαcos ____________________________；)(βα+T ：()=+βαtan ____________________________。
【探究新课】探究1：在公式)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 中，当βα=时，能否由此得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式？=α2sin ____________________________； =α2cos ____________________________； =α2tan ____________________________。
探究2：利用平方关系能否把上述关于cos 2α的式子变成只含有sin α或cos α的式子呢？=α2cos ____________________________=____________________________。
【基础训练】 化简求值(1)015cos 15sin (2) cos 8sin 822ππ-(3)0205.22tan 15.22tan - (4) 15.22cos 202-【例题分析】例 ：已知1352sin =α ，,42ππα<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值．【课堂练习】课本P 135 2, 3【归纳小结】本节我们学习了二倍角的正弦，余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用。
二倍角公式公开课课件
课程名称：二倍角公式公开课 本课程将带您深入了解二倍角公式的概念和应用，通过图像、实例和技巧的 讲解，助您轻松掌握二倍角公式。
引言
二倍角公式是什么？为什么学习它？在本节课中，我们将回答这些问题，为您介绍二倍角公式的基本概念和重 要性。
基本概念Biblioteka 角度学习角的定义和计量单位，为后续学习打下基础。
详细讲解二倍角公式的推导过程，帮助理解其原理。
5
解题技巧与注意事项
分享解题的技巧和注意事项，让学习更加高效。
应用举例
二倍角公式在三角形中 的应用
了解如何利用二倍角公式解 决三角形相关问题。
二倍角公式在电路中的 应用
探索二倍角公式在电路分析 中的应用场景。
二倍角公式在工程问题 中的应用
学习如何利用二倍角公式解 决实际工程中的角度计算问 题。
结
通过本次课程，您将全面了解二倍角公式的重要性，并获得掌握二倍角公式的有效方法。继续学习和实践，您 将能够灵活应用二倍角公式解决各种问题。
参考资料
以下是推荐的相关书籍、视频、网站等资源，供您进一步学习与深入研究。
弧度
了解弧度的概念及其与角度的转换关系。
正弦、余弦、正切
掌握三角函数的定义和常用性质。
三角函数 & 二倍角公式
1
三角函数的图像
通过图像展示正弦、余弦、正切函数的特点。
2
复习三角函数公式
回顾三角函数的基本公式，为学习二倍角公式打下基础。
3
什么是二倍角公式？
深入解释二倍角公式的概念和用途。
4
二倍角公式的推导过程
《二倍角公式》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
余弦的二倍角公式还有哪些变形？
由cos 2α＝2cos2α－1 升幂变形得: 1＋cos 2α＝2cos2α
升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α 1－cos 2α＝2sin2α
观察一下二倍角余弦公式中项的次数，可以做怎样变形？
相应的，我们也可对其作降幂变形：
由cos 2α＝1－2sin2α 升幂变形得：1－cos 2α＝2sin2α
解：2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝ ；
cos215°－sin215°＝cos 30°＝ ；
2sin215°＝1－cos 30°＝1－ ；
sin215°＋cos215°＝1，
故选 B .
பைடு நூலகம்
B
解： ．
故选 C．
若则．
C
解：
故选 D．
若，则值为（ ）
D
解： ，
．故答案为： ．
设 ，则 的值是________．
解：已知角α是第二象限角，所以sinα＞0．
由二倍角公式，有 ，
同理： ， ．
(寻找角与角之间关系)
(二倍角余弦公式)
(诱导公式)
认真观察题目，已知角和所求角有什么关系？
二倍角公式
第四章 三角恒等变换
相关著名历史人物
两角和的三角函数公式
比鲁尼 (973～1048)是波斯著名科学家、史学家、哲学家．青年时曾到朱尔占师从艾布·纳斯尔·曼苏尔等著名学者．他博览群书，广交学者，学识渊博，富有创造性，对史学、地理、天文、数学和医学均有很深的造诣．比鲁尼的著作《马苏德规律》在三角学方面有创造性的贡献，他给出一种测量地球半径的方法．比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式．
已知 ，则sin2α的值为多少？
二倍角公式的应用名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
sin 2x cos 2x 1
2 sin(2x ) 1
4
所以函数 f (x)旳最小正周期 T 2 .
(II)由(I)知,当 x k
2x 2k
4
2
2
,即
(k Z )时，f (x)取最大值
.
8
2 1.
应用公式处理问题时应注意旳几种问题：
1. 转化思想是实施三角变换旳主导思想,变换包 括:函数各称变换、角旳变换、常数旳变换、 和积变换、幂旳升降变换等等.
2
即 (cos sin )(cos sin ) 2 ,
2 (sin cos )
2
2 cos
sin
1
.
2
3.已知函数 f (x) sin 2x 2sin2 x.
．
(I)求函数 f (x) 旳最小正周期;
(II)求函数 f (x)旳最大值及 f (x)
取最大值时x旳集合.
解析(：I)因为 f (x) sin 2x (1 cos 2x)
正切：tan 2 2 tan 1 tan2
二倍角公式旳变形
降幂公式：sin2 1 cos2 , cos2 1 cos2 ,
2
2
tan2 1 cos2 .
1 cos2
升幂公式：1 cos2 2sin2 ,
1 cos2 2cos2.
(1 2sin cos ) (sin cos )2
1.已知 sin( x)sin( x) 1 , x ( , ), 求sin 4x.
4
4
62
2.已知
cos
sin(
2
)
2 ,求cos sin 旳值.
2
4
3.已知函数 f (x) sin 2x 2sin2 x.
二倍角公式公开课
记忆公式。 2、能够利用公式进行简单三角函数运算 和证明。
六、课后作业
完成练习卷对应题目
2
三、例题 (公式正用)
4 例1 已知sin , , , 求 sin 2 ,cos 2 , tan 2的值. 5 2
4 解 因为sin = , , , 所以 5 2
cos 1 sin 1
2
4 3 24 sin 2 2sin cos 2 , 5 5 25 2
4 5
2
3 5
sin 2 24 tan 2 25 . 7 cos 2 7 25
4 cos 2 1 2sin 1 2 5 24
cos 2 1 2 sin 2
tan tan tan 1 tan tan
令 tan tan tan
1 tan tan
2 tan tan 2 2 1 tan
注意定义域:
2
7 25
四、例题教学(公式变形)
例2 求下列各式的值 ⑴ ⑵
sin 22.5 cos 22.5;
1 2sin 275;
tan 22.5 1 tan 2 22.5
⑶
详细解析
解1 sin 22.5 cos22.5
1 2sin 22.5 cos 22.5 2
sin 2 2 sin cos
cos cos cos sin sin 令
2
cos cos cos sin sin
二倍角公式公开课ppt课件
解 已 求 出 cos3， sin224
5
25
所以
2
ctoasn2 2scinos2142 ，5 3再用1二倍275角的正切公式
cos 3
可求得tan2=12ttaann2精选1ppt2课件202431432
24 7
10
三、例题教学(公式正用)
例 1 已 知 s in 5 4 , 2 , ,求 s in 2 ,c o s 2 ,ta n 2 的 值 .
观察式子的结构特点，对公式有一个整体感知， 将公式进行等价变形。
精选ppt课件2021
16
四、例题教学(公式变形用)
例 3.化 简 11 -ccooss22 ssiinn22
解
1cos2sin2
1cos2sin2
二倍角余弦公式 应用技巧：
22csoins2222ssiinnccooss
2sinsincos 2coscossin
思维小结：
(1) 本题求出 cosα 的值是关键,要注意象限定号；
（2）在求 tan2α 时，直接用切化弦 tan2 sin2， cos2
也可先求出 tanα＝csoinsαα，再求 tan2α＝1－2tatannα2α的值.
公式正用技巧从：条件出发，顺着问题的线索，
以展开公式的方法使用。
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12 2 2
si2 n 2 sin c os
2 4
精选ppt课件2021
13
四、例题教学(公式变形用)
3.
⑵ 12sin275;
cos150
cos18030
cos30 3 2
解题点拨：对比公式
cos212sin2
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公式正用技巧：
从条件出发，顺着问题的线索，以展开公式的方法使用。
四、例题教学(公式变形用)
例(21.)s.in3 2'0 2 cos3 2'0 2
(2)sin2πco2 sπ
8
8
(3)
tan22.5 1t an2 22.5
四、例题教学(公式变形用)
解 ： (1)s.in2 32 0 'cos3 20 '2
3
解题方法：
解 :
tan2
2 tan 1 tan 2
应用正切的
1 , 二倍角公式
3
6 tan 1 tan 2 ，
tan 2 6 tan 1 0,
tan 6 6 2 4 1 ( 1)
21
3 10
六、高考接触
已知函f 数 (x) (coxssinx)(coxssinx)
(2)sin2πco2 sπ
8
8
(3)
tan22.5 1t an2 22.5
公式变形用技巧：
观察式子的结构特点，对公式有一个整体感知，将公式进行等价变形。
五、练习深化
1 、已s知 in - ()3,求 co 2 s的值
5
2已 、t知 an 23 1,求 tan的。 值
3、已 知 函 f(x)数 (c oxssinx)(c oxssinx) 求 函f(数 x)的 最 小 正 。(2周 01年 期 2 广 州 二)模
1tan tan
二、二倍角公式的推导
问题 ： 由一般 的 ，到特殊的两，个角 即： ，你得到什？ 么 有启 什示 么？ 发
cos？ sin ？
tan？
二、二倍角公式的推导
co s cc o o s ss i sn i 令n co 2sco 2s si 2 n
利用公式 si2nco2s1变形为： cos2 2cos21
2
2
四、例题教学(公式变形用)
(3).
tan22.5 1tan2 22.5
2 21 1 ttaann22222 ..55
1 tan 2 22 . 5
2 1 tan 45
2 1
2
利用公式
tan2α 12ttaann2α α
四、例题教学(公式变形用)
例(21.)s.in3 2'0 2 cos3 2'0 2
已 求 s in1 α 53，co s α 1 13 2
方1法 cos2 12 α si2 α n 12 1 5 3 21 16 19 9
方 2法 co sc2 o 2 α α s si 2 α n 1 1 3 2 2 1 5 3 2 1 16 1
(1) 求函数 f (x)的最小正周 。 期
(2) 若0
三、例题教学(公式正用)
例 已 1 知 .5 , α (s ,) i.n 求 siα n c2 o 2α tα as n2α、 的 、 、 132
， ， ， 已 s求 i n 1 53 α 出 co 1 1 s3 2 α sin 1 1 2 2 6 α c0 9 o s 1 12 6 1
方1法 切化 弦 tan s2in α 2α 1 16 29 0120
cos2α 119 119
方 可 2 法 ：求 先得 t求 an ： α c1 st 2ioat tn aasn n n2 215 α 2 1， 2再 (1 (5 615用 )2 9 )2二 112 1倍 90 角的
12
2tanα tan2α 1tan2α
2co2sα1
12sin2α
二倍角的含义： “二倍角” 是一种相对的数量关系。 如：２α是α的二倍角；α是 的二倍角。
2
三、例题教学(公式正用)
例 已 1.知 5,α s i(n ,α ).求 sin2α、 cos2α α
13 2
解 ： sinα 5 α (，)是第二象限角
三、例题教学(公式正用)
例 已 1.知 5 s,iα n (α ,).求 sin2α α 、 、 ctoasn
13 思维小结： 2
(1) 本题求出 cosα 的值是关键,要注意象限定号；
（2）在求 tan2α 时，直接用切化弦 tan2 sin2， cos2
也可先求出 tanα＝csoinsαα，再求 tan2α＝1－2tatannα2α的值.
13
2
cosα 1sin 2 1(5)2 14412
13 169 13
sin2s α in α 2 1 5 c 3 ( o 1 1)s 2 3 α 1 12 60 9
三、例题教学(公式正用)
例 已 1.知 5,sα in (, α ).求 si2 n、 α cos2α、 tan2
13 2
1 2 sin3 2'c 0 2 os32 '02
2
1 sin45
解题点拨：对比公式
2
12
22
si2 n 2 sin c os
2 4
四、例题教学(公式变形用) 3.
(2)sin2πcos2π
8
8
( co2sπsin2π )
88
解题点拨：对比公式
cos π 4
co sc2o 2 α α ssi2 α n
五、练习深化
1 、已s知 in -()3,求 co2 s的 值
5
解：sin( ) sin( ) sin( ) sin 3,
5
cos2 12sin 2 12( 3) 2
5
解题方法： 用诱导公式 化简函数,再用二倍角公式
7
25
五、练习深化
2已 、t知 an 21,求 tan的。 值
二倍角公式公开课
1
教学目标:
1、掌握二倍角公式的推导，能够正确运用公式. 2、通过公式推导,培养学生的逻辑推理能力。 3、引导学生发现数学规律，激发学习兴趣，提高综合分析、应用数学的能力。
一、复习两角和的三角公式
cosco cso ssin sin sinsin co sco ssin
tan tan tan
cos2 12sin2
s i n s i cn o c s s o i 令s n si2n2sin co
tan 1tat n a nttaann 令 tan212ttaann 2
注意定义域:
2 k
2
即 k k Z
42
二、二倍角公式的推导
sin2α2sincos
cosα2cos2αsin2α