最新特殊的平行四边形复习课课件ppt课件
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平行四边形复习课件
证明线段相等的方法有哪些？
E A
B
D
C F
综合运用
一．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过 O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线 于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
1. 探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明； 2. 当点O在边AC上运动时， 四边形AECF是
矩形？ 二．证明你的结论。
∴ 四边形BFDE是平行四边形
产品品鉴会活 动方案
汇报人姓名
A
D
O
边 矩形对边平行且相等；B
C
角 矩形的四个角都是直角；
对角线 矩形的对角线相等且互相平分；
对称性 既是中心对称图形又是轴对称图形
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形的判定方法 A
D
O
B
C
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
A
B
•9
4.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， BC=10cm，则DE=_5__c_m__.
5. △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，
∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____.60°
A
A
D
E
B (4)
C
D
E
B
(5)
C
6. 如图，在周长为20cm的 ABCD中，
AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD
6.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm, P为AB上任意一点,PE⊥AC,PF⊥BD, E、F为垂足,则PE+PF=5cm 。
综合运用
已知：如图，E、F为 ABCD的对角线AC所在直线 上的两点，AE=CF，求证： BE=DF．
E A
B
D
C F
综合运用
一．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过 O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线 于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
1. 探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明； 2. 当点O在边AC上运动时， 四边形AECF是
矩形？ 二．证明你的结论。
∴ 四边形BFDE是平行四边形
产品品鉴会活 动方案
汇报人姓名
A
D
O
边 矩形对边平行且相等；B
C
角 矩形的四个角都是直角；
对角线 矩形的对角线相等且互相平分；
对称性 既是中心对称图形又是轴对称图形
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形的判定方法 A
D
O
B
C
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
A
B
•9
4.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， BC=10cm，则DE=_5__c_m__.
5. △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，
∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____.60°
A
A
D
E
B (4)
C
D
E
B
(5)
C
6. 如图，在周长为20cm的 ABCD中，
AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD
6.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm, P为AB上任意一点,PE⊥AC,PF⊥BD, E、F为垂足,则PE+PF=5cm 。
综合运用
已知：如图，E、F为 ABCD的对角线AC所在直线 上的两点，AE=CF，求证： BE=DF．
平行四边形的性质复习课件ppt
分成面积相等的两部分
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
1、 通过本节课的学习，你有什么收获？ 2、 平行四边形的性质共有哪些？
边 角 对角线
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠
合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉，将一个
平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么?
A
B
O
D
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
结论
●1. ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这 时我们说 ABCD是 中心对称图形，点O叫对称中心。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
猜一猜 你能证明
根据刚才的旋转，你知道平行四边形的对 它吗?
由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩
子，他是这样分的：
老大
老二
老四
老三
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地 少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
《特殊的平行四边形》公开课教学PPT课件
到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是
菱形.
A
E
D
F
G
B
G
C
如图:将菱形ABCD沿AC方向平移至A1B1C1D1，
A1D1交CD于E，A1B1交BC于F，请问四边形
A1FCE是不是菱形？为什么？
D
D1
A
A1形
四条边都相等
菱形
平行四边 形
矩形的性质
边的性质： 矩形的对边平行且相等.
角的性质： 矩形的四个角都是直角.
对角线的性质： 矩形的对角线相等，且互相平分.
想一想
由矩形的对角线性质，我们可以得到直 角三角形的一个性质：直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半.
思考：矩形的两条对角线把矩形分成四个什么三
角形？它们之间有什么关系？
已知：在 ABCD 中，AC ⊥ BD 求证： ABCD 是菱形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
A
∴OA=OC 又∵ AC ⊥ BD；
B
O
D
∴BA=BC
C
∴ ABCD是菱形
菱形常用的判定方法
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 有四条边相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例题讲解： 例2 如图，点P是正方形ABCD的对角线 BD上的一点PM⊥BC，PN⊥CD，垂足 分别为点M，N.求证：AP=MN.
一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形平行四边形边对角线角菱形的定义菱形的性质菱形的性质菱形菱形的两条对角线互相平分菱形的两组对边平行菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平分每一条对角线平分一组对角
6.3特殊的平行四边形
平行四边形和特殊平行四边形PPT教学课件
“沙场秋点兵”。 秋天在沙场上检阅军队，阵 容威武雄壮秋高马肥，把杀气腾腾的气氛渲染 得符合实际 。
八百里：指牛。晋王恺有良牛，名“八百里駮”，后世 诗词多以八百里称牛。 麾下：指军营里。
五十弦：原指瑟，这里泛指各种乐器。 翻：奏。
意：
。
上片描述军旅生活。看宝剑，听号角，分 麾下炙，听塞外声，沙场点兵，这都是作者热 爱的生活和抹不掉的记忆，它说明作者仍十分 企羡军中生活，渴望再有机会从军杀敌，建功 立业。
（１）四边形AEDF是菱形吗？为什么？ （２）连结EF交AD于Ｏ，若AE＝10，AD＝16，求EF （３） △ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形， 并说明理由。
解：（1）是菱形；∵ DE ∥AC,DF ∥AB∴AEDF是平行 四边形； 又∵ＡＤ平分∠BAC， ∠EAD＝ ∠FAD 又∵ AC ∥DE ∴ ∠FAD ＝ ∠EDA ∴ED=EA ∴AEDF是菱形
什么图形?
(1)如果分别连结矩形,菱形,正方形各边中点呢?
(2)从以上问题中你可以得到什么样的结论?
解:
B
E
A
F
H
平行四边形EFGH
C
G
D
连结任意四边形各边中点可以得到一个平 行四边形， 连结矩形各边中点可以得到一个菱形， 连结菱形各边中点可以得到一个矩形 连结正方形各边中点可以得到一个正方形
例二．在△ABC中, DE ∥AC,DF ∥AB,AD平分∠BAC
背景材料
这首词写于淳熙十五年(1188)左右，辛 弃疾退居江西上饶时。辛弃疾不只是词人， 还是一位爱国武将，他积极主张抗金北伐， 在任职期间坚持练兵备战，因而不断遭受主 和派的排斥、诬陷。
淳熙八年(1181)，辛弃疾在两浙西路提 点刑狱公事任上，被人弹劾罢官。他不得已 而在上饶带湖赋闲家居。陈同甫，名亮，也 是主张北伐的爱国志士，与辛弃疾是志同道 合的朋友，二人经常有书信往来，诗词唱和。 这首词就是寄给陈亮的。
八百里：指牛。晋王恺有良牛，名“八百里駮”，后世 诗词多以八百里称牛。 麾下：指军营里。
五十弦：原指瑟，这里泛指各种乐器。 翻：奏。
意：
。
上片描述军旅生活。看宝剑，听号角，分 麾下炙，听塞外声，沙场点兵，这都是作者热 爱的生活和抹不掉的记忆，它说明作者仍十分 企羡军中生活，渴望再有机会从军杀敌，建功 立业。
（１）四边形AEDF是菱形吗？为什么？ （２）连结EF交AD于Ｏ，若AE＝10，AD＝16，求EF （３） △ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形， 并说明理由。
解：（1）是菱形；∵ DE ∥AC,DF ∥AB∴AEDF是平行 四边形； 又∵ＡＤ平分∠BAC， ∠EAD＝ ∠FAD 又∵ AC ∥DE ∴ ∠FAD ＝ ∠EDA ∴ED=EA ∴AEDF是菱形
什么图形?
(1)如果分别连结矩形,菱形,正方形各边中点呢?
(2)从以上问题中你可以得到什么样的结论?
解:
B
E
A
F
H
平行四边形EFGH
C
G
D
连结任意四边形各边中点可以得到一个平 行四边形， 连结矩形各边中点可以得到一个菱形， 连结菱形各边中点可以得到一个矩形 连结正方形各边中点可以得到一个正方形
例二．在△ABC中, DE ∥AC,DF ∥AB,AD平分∠BAC
背景材料
这首词写于淳熙十五年(1188)左右，辛 弃疾退居江西上饶时。辛弃疾不只是词人， 还是一位爱国武将，他积极主张抗金北伐， 在任职期间坚持练兵备战，因而不断遭受主 和派的排斥、诬陷。
淳熙八年(1181)，辛弃疾在两浙西路提 点刑狱公事任上，被人弹劾罢官。他不得已 而在上饶带湖赋闲家居。陈同甫，名亮，也 是主张北伐的爱国志士，与辛弃疾是志同道 合的朋友，二人经常有书信往来，诗词唱和。 这首词就是寄给陈亮的。
八下第六章《特殊平行四边形复习课》ppt课件-(共42张PPT)-(1)
的有 _______________________（组合序号）
4.若平行四边形一边长为8cm，一条对角线长为6cm，则另一条
对角线长X的取值范围是_____________
5.M为□ABCD 的边AD上一点，若▲MBC的面积为8cm2，□ABCD
的面积为_______
A
D
6.如图，□ABCD中，AE⊥BC,AF⊥CD，E，
(1)求证：EO=FO (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是 矩形?并证明你的结论．
A
M E
B
O FN
D C
(1)证明 ∵ CE 平分∠ ACB ∴ ∠ ACE= ∠ ECB ∵ MN // BC ∴ ∠ ECB= ∠ OEC ∴ ∠ OEC= ∠ ECO ∴ OE=OC
同理OF=OC ∴ OE=OF
A、对角相等
B、对角线相 C、对边相等 D、对角线互相平分
2、菱形有而一般的平行四边形不具有的性质是( )
A、对角相等 B、对角线互相平分C、对边平行且相等 D、对角线互相垂直
3.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
(A)对角相等
(B)邻角互补 (C )对角互补
(D)内角和是360°
(4).下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（ ）。
(B)两条对角线互相平分。
(C )两条对角线互相垂直。 (D)一对邻角的和为180°。
5.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ） (A) AB =CD, AD =BC。(B) BC // AD。 (C ) AB//DC, AD//BC。 (D) AB =CD，AD//BC。
1、矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是( )
O
《特殊的平行四边形》_优秀课件
2 1
2
= 2 AC(BO+DO)
= 1 AC·BD.
2
C 你有什么发现
？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
【获奖课件ppt】《特殊的平行四边形 》_优 秀课件1 -课件 分析下 载
典例精讲
【获奖课件ppt】《特殊的平行四边形 》_优 秀课件1 -课件 分析下 载
例4 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝ 12.求菱形ABCD两对边的距离h.
A.18
B.16
C.15
D.14
【获奖课件ppt】《特殊的平行四边形 》_优 秀课件1 -课件 分析下 载
随堂检测
【获奖课件ppt】《特殊的平行四边形 》_优 秀课件1 -课件 分析下 载
3.根据下图填一填： （1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长是 __3_c_m__. （2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝ __3_0_°___. （3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm， 则菱形的边长是__5_c_m___.
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随堂检测
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1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（C ）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于 （ B ）
平行四边形
邻边相等
菱形
归纳总结 定义：有一组邻边相等的平行四边形. 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形.
特殊的平行四边形复习课PPT优秀课件
6
考考你
3、检查一个门框是矩形的方法是（ B）
A、测量两条对角线是否相等.
B、测量有三个角是直角.
C
、 测量两条对角线是否互相平分.
D
、 测量两条对角线是否互相垂直.
4、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ B）
A、矩形 B、菱形 C、梯形 D、正方形
7
二、填空：
你准行
1、菱形的对角线长为6和8，则菱形的边
连结CP，试判断四边形CODP的形状.
D
B
O C
如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应P
变为什么？
如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又
应变为什么？
A
B
A
B
O
O
D
C
P
图一
D
C
P
图二
17
3.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四 边形ADFE是平行四边形.
（1）当∠BAC等于 60° 时，平行四边形ADFE不存在； （2）当∠BAC等于 150°时，四边形ADFE是矩形；
CE交AB于点F，求AF的长.
点拨：对于折叠 D
C
问题，可以从折叠前
后的两个图形是全等 图形入手进行分析.
A
B
F
E
14
2、现将一张矩形的纸对折后再对折，然后沿着图中的虚 线剪下，打开，得到的是（ ） A、平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形
变式：如上图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪 下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的 角的度数为： A、60° B、30° C、45° D、90°
1、定义：两组对边分别平行 3、一组对边平行且相等 5、两组对角分别相等
考考你
3、检查一个门框是矩形的方法是（ B）
A、测量两条对角线是否相等.
B、测量有三个角是直角.
C
、 测量两条对角线是否互相平分.
D
、 测量两条对角线是否互相垂直.
4、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ B）
A、矩形 B、菱形 C、梯形 D、正方形
7
二、填空：
你准行
1、菱形的对角线长为6和8，则菱形的边
连结CP，试判断四边形CODP的形状.
D
B
O C
如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应P
变为什么？
如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又
应变为什么？
A
B
A
B
O
O
D
C
P
图一
D
C
P
图二
17
3.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四 边形ADFE是平行四边形.
（1）当∠BAC等于 60° 时，平行四边形ADFE不存在； （2）当∠BAC等于 150°时，四边形ADFE是矩形；
CE交AB于点F，求AF的长.
点拨：对于折叠 D
C
问题，可以从折叠前
后的两个图形是全等 图形入手进行分析.
A
B
F
E
14
2、现将一张矩形的纸对折后再对折，然后沿着图中的虚 线剪下，打开，得到的是（ ） A、平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形
变式：如上图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪 下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的 角的度数为： A、60° B、30° C、45° D、90°
1、定义：两组对边分别平行 3、一组对边平行且相等 5、两组对角分别相等
特殊的平行四边形课件
线相等且互相平分的性质。
02
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形也是一种特殊的平行四边
形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有四条边都相等、对角
线互相垂直且平分每一组对角的性质。
03
正方形
有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形是一
种特殊的菱形和矩形，它同时具有菱形和矩形的所有性质。
特殊的平行四边形课件
目录
• 平行四边形基础回顾 • 矩形特性及其应用 • 菱形特性及其应用 • 正方形特性及其应用 • 特殊平行四边形之间的转换关系 • 解题思路与技巧分享
01
平行四边形基础回顾
平行四边形的定义与性质
定义
两组对边分别平行的四边形叫做 平行四边形。
性质
对边相等，对角相等，对角线互 相平分。
04
正方形特性及其应用
正方形的定义与性质
定义
四边相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
性质
正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
正方形在实际生活中的应用举例
建筑
许多古代和现代建筑中都使用了 正方形，如埃及金字塔、希腊神 庙等。正方形的设计使得建筑更
02
矩形特性及其应用
矩形的定义与性质
定义
两组对边分别相等且两组对角都是直 角的四边形叫做矩形。
性质
矩形的四个角都是直角；矩形的对角 线相等且互相平分；矩形是轴对称图 形，对称轴是两条对角线所在的直线 。
矩形在实际生活中的应用举例
01
02
03
建筑
矩形的稳定性和易于计算 的性质使其成为建筑设计 中常用的形状，如门窗、 梁柱等。
特殊平行四边形综合复习PPT课件
选择题1：下列关于平行四边形的性质中，正确的是 ( ) A. 对角线相等
B. 对角线互相平分
选择题与解析
C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等且互相平分
解析：平行四边形的性质包括对角线互相平分，因此选项B正确。
选择题与解析
选择题2：下列命题 中，真命题是 ( )
B. 对角线互相垂直的 平行四边形是正方形
四边相等的四边形是菱形
如果一个四边形的四条边长度都相等，则该四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
在平行四边形中，如果两条对角线互相垂直且相交于中点，则该平行四边形是菱形。
两条对角线分别平分两组对角的四边形是菱形
如果一个四边形的两条对角线分别平分两组对角，则该四边形是菱形。
正方形判定方法
既是矩形又是菱形的四边形是正方形
工程领域应用
机械工程
汽车工程
在机械设计中，特殊平行四边形可用 于机构的设计，实现特定的运动轨迹 和动力传递。
在汽车设计中，特殊平行四边形可用 于车身线条的设计，提高汽车的美感 和空气动力学性能。
航空航天
在航空航天领域，特殊平行四边形可 用于飞机、火箭等飞行器的翼面设计， 提高飞行性能和稳定性。
其他领域应用
特殊平行四边形的定义和性质
特殊平行四边形的判定
包括矩形、菱形、正方形等特殊平行四边 形的定义、性质及其相互关系。
掌握各种特殊平行四边形的判定方法，如 两组对边分别平行且相等、对角线互相平 分等。
特殊平行四边形的面积计算
特殊平行四边形在生活中的应用
熟悉特殊平行四边形面积的计算公式，并 能够运用公式解决实际问题。
面积推导
菱形可以被划分成两个等 面积的三角形，每个三角 形的面积等于对角线长度 之积的一半。
B. 对角线互相平分
选择题与解析
C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等且互相平分
解析：平行四边形的性质包括对角线互相平分，因此选项B正确。
选择题与解析
选择题2：下列命题 中，真命题是 ( )
B. 对角线互相垂直的 平行四边形是正方形
四边相等的四边形是菱形
如果一个四边形的四条边长度都相等，则该四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
在平行四边形中，如果两条对角线互相垂直且相交于中点，则该平行四边形是菱形。
两条对角线分别平分两组对角的四边形是菱形
如果一个四边形的两条对角线分别平分两组对角，则该四边形是菱形。
正方形判定方法
既是矩形又是菱形的四边形是正方形
工程领域应用
机械工程
汽车工程
在机械设计中，特殊平行四边形可用 于机构的设计，实现特定的运动轨迹 和动力传递。
在汽车设计中，特殊平行四边形可用 于车身线条的设计，提高汽车的美感 和空气动力学性能。
航空航天
在航空航天领域，特殊平行四边形可 用于飞机、火箭等飞行器的翼面设计， 提高飞行性能和稳定性。
其他领域应用
特殊平行四边形的定义和性质
特殊平行四边形的判定
包括矩形、菱形、正方形等特殊平行四边 形的定义、性质及其相互关系。
掌握各种特殊平行四边形的判定方法，如 两组对边分别平行且相等、对角线互相平 分等。
特殊平行四边形的面积计算
特殊平行四边形在生活中的应用
熟悉特殊平行四边形面积的计算公式，并 能够运用公式解决实际问题。
面积推导
菱形可以被划分成两个等 面积的三角形，每个三角 形的面积等于对角线长度 之积的一半。
北师大版九年级数学上册第一章 特殊平行四边形复习课件(共64张PPT)
第一章
特殊平行四边形
章末复习
第一章 特殊平行四边形
章末复习
知识框架
归纳整合
素养提升
中考链接
第一章 特殊平行四边形
知识框架
菱形
正方形
矩形
菱形、矩形、正
方形之间的关系
特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
知识框架
定义
有一组邻边相等的平行
四边形叫作菱形
四条边相等
性质
对角线互相垂直
菱形
对称性
既是轴对称图形, 又是中心对称图形
第一章 特殊平行四边形
归纳整合
相关题1-2
如图1-Z-4, 在菱形ABCD中, 对角线AC, BD相
交于 点O, 过点D作对角线BD的 垂线交BA的
延长线于点E. (1)求证：四边形ACDE是 平行
四边形；(2) 若 AC = 8 ,
△ADE的周长.
BD = 6 ,
求
第一章 特殊平行四边形
归纳整合
分析
①
√
∵正方形ABCD的边长为6, CE=2DE, ∴DE=2, CE=4.
又∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置,
∴AF=AD=AB=6, ∠AFE=∠D=∠B=90°, 又AG=AG,故Rt△ABG和Rt△AFG
全等, ∴BG=GF
②
√
设 BG=x, 则GF=x, CG=BC-BG=6-x, 在Rt△CGE中, GE=x+2, EC=4,
过点H作PQ∥EF, 分别交AB, CD于点P, Q, 得到四边形MNQP, 此
时, 他猜想四边形MNQP是菱形, 请在图1-Z-2的框中补全他的证明
思路．
第一章 特殊平行四边形
特殊平行四边形
章末复习
第一章 特殊平行四边形
章末复习
知识框架
归纳整合
素养提升
中考链接
第一章 特殊平行四边形
知识框架
菱形
正方形
矩形
菱形、矩形、正
方形之间的关系
特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
知识框架
定义
有一组邻边相等的平行
四边形叫作菱形
四条边相等
性质
对角线互相垂直
菱形
对称性
既是轴对称图形, 又是中心对称图形
第一章 特殊平行四边形
归纳整合
相关题1-2
如图1-Z-4, 在菱形ABCD中, 对角线AC, BD相
交于 点O, 过点D作对角线BD的 垂线交BA的
延长线于点E. (1)求证：四边形ACDE是 平行
四边形；(2) 若 AC = 8 ,
△ADE的周长.
BD = 6 ,
求
第一章 特殊平行四边形
归纳整合
分析
①
√
∵正方形ABCD的边长为6, CE=2DE, ∴DE=2, CE=4.
又∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置,
∴AF=AD=AB=6, ∠AFE=∠D=∠B=90°, 又AG=AG,故Rt△ABG和Rt△AFG
全等, ∴BG=GF
②
√
设 BG=x, 则GF=x, CG=BC-BG=6-x, 在Rt△CGE中, GE=x+2, EC=4,
过点H作PQ∥EF, 分别交AB, CD于点P, Q, 得到四边形MNQP, 此
时, 他猜想四边形MNQP是菱形, 请在图1-Z-2的框中补全他的证明
思路．
第一章 特殊平行四边形
人教版八年级数学下册《特殊的平行四边形》复习课件
AE的长为（
A.4
）
B. 3
C.10
D.12
A
D
F
G
B
E
C
例
如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别
在正方形ABCD的边上，且AH=2，连接CF.
（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH是正方形。
（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积。
D
G
C
F
H
A
A
C
O
B
N
）
矩形的探究性问题
A
例 如图，在△ABC中，DE分别是AB，
AC的中点，连接DE并延长至点F，使
E F = D E ， 连 接 C F.
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形。
（2）探究：当△ABC满足什么条件时，
B
四边形ADCF是矩形，并说明理由。
D
E
F
C
N
A
B
如图，已知AD//BC，AB//CD，∠B=∠BCD.
4、正方形既是矩形，又是菱形；
5、理解矩形、菱形、正方形的关系。
框架
矩形
正方形
平行四边形
菱形
定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。（特殊在角）
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。（特殊在边）
正方形：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形。
点PQ分别在BD，AD上，则PA+PQ的最小值为_______。
Q
A
D
P
E
B
C
CD在∠MON的内部，顶点A,B分别在射
A.4
）
B. 3
C.10
D.12
A
D
F
G
B
E
C
例
如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别
在正方形ABCD的边上，且AH=2，连接CF.
（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH是正方形。
（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积。
D
G
C
F
H
A
A
C
O
B
N
）
矩形的探究性问题
A
例 如图，在△ABC中，DE分别是AB，
AC的中点，连接DE并延长至点F，使
E F = D E ， 连 接 C F.
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形。
（2）探究：当△ABC满足什么条件时，
B
四边形ADCF是矩形，并说明理由。
D
E
F
C
N
A
B
如图，已知AD//BC，AB//CD，∠B=∠BCD.
4、正方形既是矩形，又是菱形；
5、理解矩形、菱形、正方形的关系。
框架
矩形
正方形
平行四边形
菱形
定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。（特殊在角）
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。（特殊在边）
正方形：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形。
点PQ分别在BD，AD上，则PA+PQ的最小值为_______。
Q
A
D
P
E
B
C
CD在∠MON的内部，顶点A,B分别在射
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状.
解:四边形CODP是菱形
A
∵ DP∥OC, DP=OC
D
∴ 四边形CODP是平行四边形
∵四边形ABCD是矩形
∴CO=DO
∴四边形CODP是菱形
B O
C
P
7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交 A 于点O，过点D作DP∥OC，且 DP=OC，
连结CP，试判断四边形CODP的形状.
D
B
O C
如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应P
大爷想把鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼
塘周围的面积足够大）.又不想把树挖掉（四棵大
树要在新建鱼塘的边沿上）.
(1)若按圆形设计,请画出你设计的示意图,并求出圆
形鱼塘的面积;(2)若按正方形设计,请画出你设计的
示意图.
A
D
B
C
A
D
(1)若按圆形设计, 请画出你设计的
O
示意图,并求出圆
形鱼塘的面积;
C
考考你
1、检查一个门框是矩形的方法是（ B）
A、测量两条对角线是否相等. B、测量有三个角是直角.
测量两条对角线是否互相平分. 测量两条对角线是否互相垂直.
C、 D、
2、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ B）
A、矩形 B、菱形 C、梯形 D、正方形
3、菱形的周长等于高的8倍，则其最大内角
等于（ D）
特殊的平行四边形复习课 课件
四边形
矩形
平行四边形
正方形
菱形
抢 答：
我说我所想
要使 ABCD成为矩形，需增加的条件是______ 要使 ABCD成为菱形，需增加的条件是______ 要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是____ 要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是____ 要使四边形ABCD成为正方形，需增加的条件是 ______
（3）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.
解:（3) AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形。
AB=AC且∠BAC=150°时，平行四边形ADFE是正方形。
F D
A
E
60°
60°
B
C
如图1:正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E 是AC上的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足M ，AM交BD于点F
我发现：
顺次连接任意的四边形各边中点得 平行四边形； 顺次连接对角线相等的四边形各边中点得菱形； 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点得
矩形； 顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边 中点得 正方形.
6.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作
DP∥OC，且 DP=OC，连结CP，试判断四边形CODP的形
（1）求证OE=OF
（2）如图2所示，若点E在AC的延长线上，AM⊥EB
的延长线于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都
不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出
证明；如果不成立，请说明理由
A
A
D
D
O
O
FE
M
M
C
B
C
FB
E
A P
Q
已知：△ABC中 AB=AC=a，M为底边BC 上任意一点，过点M分别 作AB、AC的平行线交 AC于P，交AB于Q.
相信自己，学好数 学并不难！
思考
在矩形ABCD中，AB=16，BC=8.将
矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且
CE交AB于点F，求AF的长.
D
C
点拨：对于折叠
问题，可以从折叠前
后的两个图形是全等 图形入手进行分析.
A
B F
E
合作探究
李大爷有一个边长为a的正方形鱼塘，鱼塘四
个角的顶点A、B、C、D上各有一棵大树，现在李
变为什么？
如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又
应变为什么？
A
B
A
B
O
O
D
C
P
图一
D
C
P
图二
8.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四 边形ADFE是平行四边形.
（1）当∠BAC等于 60° 时，平行四边形ADFE不存在； （2）当∠BAC等于 150°时，四边形ADFE是矩形；
3.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，ห้องสมุดไป่ตู้AOB=2∠BOC， 若 对角线 AC=6cm，则你能求什么？角？ 边？周长？面积？
D
C
O
A
B
A B
D
O C
4.如图，菱形ABCD的边长为8㎝，∠BAD=120°，你可以求什么？
我想到：菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半. 我发现：当矩形对角线夹角为60°时，以等边三角形为突破口；
B
C
你知道吗？
C DE
当直角三角
形的斜边一定 A 时,两直角边
∟
O
B
满足什么条件
时直角三角形
的面积最大？
A
D
(2)若按正
方形设计,
请画出你
设计的示
意图.
B
C
(3)你在(2)所设计的正方形鱼塘中, 有无最大面积？为什么？
第二章 国际商事组织法
第一节 概述
（1）线段QM、PM、AB 之间有什么关系？
（2）图中的三角形之间有 什么关系？
BM
C
A Q
B
M
已知：△ABC中
AB=AC=a，M为底边BC
上任意一点，过点M分别
作AB、AC的平行线交AC
于P，交AB于Q.
探究:当M位于BC的什么
位置时, 四边形AQMP是
P
菱形？并说明你的理由.
当△ABC满足什么条件菱 形AQMP是正方形？
60° B、90°
D
C A、
C、
120° D、150° A
∟
EB
4、矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC
的三等分点，则△BEF的面积A是（ ）
A、8 B、12 C、16 DD、24
C
F
E
A B
5、在正方形ABCD中，E在BC上， BE=2，CE=1，P在BD上，则PE和 PC的长度之和最小可达到
_____________
A
D
P
F
G
B
EC
如何设计花坛？
在一块正方形花坛上，欲修建两条直的小 路，使得两条直的小路将花坛分成全等的四 部分（不考虑道路宽度），你有几种方法？ （至少说出三种）
课堂小结
通过本 节课的学习，你
有哪些收获？
课堂小结
1、请理解并熟记特殊平行四边形的性质和 判定.
2、在解题时，首先，应有战胜困难的决心 和信心；其次，抓住图形中的位置关系 与条件中的数量关系；再次，注意每一 个判断都应有充分的理由 和依据. 送给同学们一句话：
当菱形有一个内角为60°时，以等边三角形为突破口.
5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、 BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，并说明理由。
解：添加的条件__A_C_＝__B__D__
A H D
E G
B
F
C
我想到：三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于 第三边的一半.
解:四边形CODP是菱形
A
∵ DP∥OC, DP=OC
D
∴ 四边形CODP是平行四边形
∵四边形ABCD是矩形
∴CO=DO
∴四边形CODP是菱形
B O
C
P
7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交 A 于点O，过点D作DP∥OC，且 DP=OC，
连结CP，试判断四边形CODP的形状.
D
B
O C
如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应P
大爷想把鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼
塘周围的面积足够大）.又不想把树挖掉（四棵大
树要在新建鱼塘的边沿上）.
(1)若按圆形设计,请画出你设计的示意图,并求出圆
形鱼塘的面积;(2)若按正方形设计,请画出你设计的
示意图.
A
D
B
C
A
D
(1)若按圆形设计, 请画出你设计的
O
示意图,并求出圆
形鱼塘的面积;
C
考考你
1、检查一个门框是矩形的方法是（ B）
A、测量两条对角线是否相等. B、测量有三个角是直角.
测量两条对角线是否互相平分. 测量两条对角线是否互相垂直.
C、 D、
2、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ B）
A、矩形 B、菱形 C、梯形 D、正方形
3、菱形的周长等于高的8倍，则其最大内角
等于（ D）
特殊的平行四边形复习课 课件
四边形
矩形
平行四边形
正方形
菱形
抢 答：
我说我所想
要使 ABCD成为矩形，需增加的条件是______ 要使 ABCD成为菱形，需增加的条件是______ 要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是____ 要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是____ 要使四边形ABCD成为正方形，需增加的条件是 ______
（3）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.
解:（3) AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形。
AB=AC且∠BAC=150°时，平行四边形ADFE是正方形。
F D
A
E
60°
60°
B
C
如图1:正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E 是AC上的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足M ，AM交BD于点F
我发现：
顺次连接任意的四边形各边中点得 平行四边形； 顺次连接对角线相等的四边形各边中点得菱形； 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点得
矩形； 顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边 中点得 正方形.
6.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作
DP∥OC，且 DP=OC，连结CP，试判断四边形CODP的形
（1）求证OE=OF
（2）如图2所示，若点E在AC的延长线上，AM⊥EB
的延长线于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都
不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出
证明；如果不成立，请说明理由
A
A
D
D
O
O
FE
M
M
C
B
C
FB
E
A P
Q
已知：△ABC中 AB=AC=a，M为底边BC 上任意一点，过点M分别 作AB、AC的平行线交 AC于P，交AB于Q.
相信自己，学好数 学并不难！
思考
在矩形ABCD中，AB=16，BC=8.将
矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且
CE交AB于点F，求AF的长.
D
C
点拨：对于折叠
问题，可以从折叠前
后的两个图形是全等 图形入手进行分析.
A
B F
E
合作探究
李大爷有一个边长为a的正方形鱼塘，鱼塘四
个角的顶点A、B、C、D上各有一棵大树，现在李
变为什么？
如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又
应变为什么？
A
B
A
B
O
O
D
C
P
图一
D
C
P
图二
8.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四 边形ADFE是平行四边形.
（1）当∠BAC等于 60° 时，平行四边形ADFE不存在； （2）当∠BAC等于 150°时，四边形ADFE是矩形；
3.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，ห้องสมุดไป่ตู้AOB=2∠BOC， 若 对角线 AC=6cm，则你能求什么？角？ 边？周长？面积？
D
C
O
A
B
A B
D
O C
4.如图，菱形ABCD的边长为8㎝，∠BAD=120°，你可以求什么？
我想到：菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半. 我发现：当矩形对角线夹角为60°时，以等边三角形为突破口；
B
C
你知道吗？
C DE
当直角三角
形的斜边一定 A 时,两直角边
∟
O
B
满足什么条件
时直角三角形
的面积最大？
A
D
(2)若按正
方形设计,
请画出你
设计的示
意图.
B
C
(3)你在(2)所设计的正方形鱼塘中, 有无最大面积？为什么？
第二章 国际商事组织法
第一节 概述
（1）线段QM、PM、AB 之间有什么关系？
（2）图中的三角形之间有 什么关系？
BM
C
A Q
B
M
已知：△ABC中
AB=AC=a，M为底边BC
上任意一点，过点M分别
作AB、AC的平行线交AC
于P，交AB于Q.
探究:当M位于BC的什么
位置时, 四边形AQMP是
P
菱形？并说明你的理由.
当△ABC满足什么条件菱 形AQMP是正方形？
60° B、90°
D
C A、
C、
120° D、150° A
∟
EB
4、矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC
的三等分点，则△BEF的面积A是（ ）
A、8 B、12 C、16 DD、24
C
F
E
A B
5、在正方形ABCD中，E在BC上， BE=2，CE=1，P在BD上，则PE和 PC的长度之和最小可达到
_____________
A
D
P
F
G
B
EC
如何设计花坛？
在一块正方形花坛上，欲修建两条直的小 路，使得两条直的小路将花坛分成全等的四 部分（不考虑道路宽度），你有几种方法？ （至少说出三种）
课堂小结
通过本 节课的学习，你
有哪些收获？
课堂小结
1、请理解并熟记特殊平行四边形的性质和 判定.
2、在解题时，首先，应有战胜困难的决心 和信心；其次，抓住图形中的位置关系 与条件中的数量关系；再次，注意每一 个判断都应有充分的理由 和依据. 送给同学们一句话：
当菱形有一个内角为60°时，以等边三角形为突破口.
5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、 BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，并说明理由。
解：添加的条件__A_C_＝__B__D__
A H D
E G
B
F
C
我想到：三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于 第三边的一半.