高等数学说课稿《数列极限》
数列的极限说课稿
数列的极限说课稿枝江一中李强各位评委、老师们：你们好！我说课的题目是《数列的极限》第一课时，我将说课分为教材分析、目标分析、学 法分析、过程分析四个方面进行说课。
一、 教材分析在教材中的地位与作用：数列的极限安排在高中数学第三册第二章《极限》第二节， 从知识体系上看是数列知识的延续，从数学思想上看，渗透极限思想，对后续知识的学 习起着至关重要的作用.教学重点：数列极限的概念和一些简单数列极限的判断 .教学难点：从变化趋势的角度理解数列极限的概念 二、 目标分析知识目标：能从数列的变化趋势理解数列极限的概念，会判断一些简单数列的极限 能力目标：培养学生观察、比较、分析、概括的能力和在探索问题中由静态到动态， 由有限到无限的辩证观点，体验“从具体到抽象” 、“从特殊到一般再到特殊”的认识过程.情感目标：通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主 义情感教育，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解.三、 学法分析本节课采用由直观到抽象的思维策略，以引导发现法，问题教学法和练习巩固法相 结合的教学方式。
借助多媒体技术直观显示及动态过程，按照的模式展开.四、过程分析：（一） 结合实际，动画导入导入1战国时代，哲学家庄周所著的《庄子•天子篇》引用过一句话： 日取其半，万世不竭.”导入2 :刘徽割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，则与圆合 体，而无所失矣.” ［教学设想］通过介绍我国古代数学家对数列极限思想所做的贡献， 激发民族自尊心和爱国主义情感，唤取求知欲，借助课件动态演示， 加深学生对“变化趋势” “趋近于” “极限”等概念的认识，激发学习兴趣.（二） 归纳总结，形成概念分层练习 巩固创新“一尺之棰,1.［提出问题］观察思考：考察以下数列的变化趋势1 1 1 1 …1 ... 2,4,8,16, ,2n ，2.［分析问题］分析当n 无限增大时，下列数列的项 a n 的变化趋势及共同特征€十耳，…摆动一无叫0［教学设想］通过对数列的项 a n 的观察分析，归纳出共同的特性，即无论这些变化趋势如何，随着项数n 的无限增大，数列的项 a n 无限地趋近于常数a ，从而突出重点，突破难点.3.［解决问题］概念形成：揭示共同规律，形成概念，数列极限的定义：如果当项数n 无限增大时，无穷数列｛a n ｝的项无限趋近于某个常数 a ，就称a 为数列｛aj 的极限，记作lim an Y.n —4.［概念巩固］ 课堂练习（三）例题分析、深化概念例1.考察下面的数列，写出它们的极限(1) 1丄,丄…丄•…8 275⑺ 6.5, 6.95,6.995，，，7一药，…;(1)1 1 1…10,102,103,1 2 3…丿 2，3，4，，n +1,1n ，…递减一 无艮竺T 0 10n…递增_ 无艮竺T 1(1) 1 1 1数列丄,4,4，…10 102 103数列1, ,3,…，丿,，记作，记作数列-1，1^…，宁,…的极限是记作1i nm(3) -11」…丄2,4，8， (-2)n［教学设想］观察数列各项无限趋近过程，引导学生思考 ［探究问题1］是否每个无穷数列都有极限 ①2、4、6、8、，， 2n ,, ②—1,-2,—3,…，—n,"［教学设想］从定性角度研究各项的变化规律，判定数列是否有极限 .1［探究问题2］考察数列0.9, 0.99, 0.999, , ,1 -r ,,各项与1的距离.10［教学设想］:从定量角度进行分析探究，加深数列极限的概念理解 （四）分层练习，巩固创新 1.巩固性练习：考察以下数列的极限2 .开放性练习：试说出满足n ma n =2的几个数列a n =2」 n= ^（1）n23 .提高性练习(1)10,20,30，… (2) 2 3 3 2 49 9 48，…(2)n，… 27 327…Z 3 \ n … —,(―)，8 2 a na n卩(n <10)若a n =《4则数列-(n >10)A .无极限 C .有极限0［教学设想］在教学过程中，通过不同层次练习，实施因教实施，及时反馈教学信息， 调整教学措施，完成教学目标 .［结束语］总之，作为极限概念这部分的教学应使学生初步体会到极限思想是从有限中 认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想，充分发挥学生主体 意识，在老师引导下自主地获取知识，体验数学概念形成的过程.{a n }B .有极限 D .有极限。
高等数学说课稿《数列极限》（精选5篇）
高等数学说课稿《数列极限》（精选5篇）第一篇：高等数学说课稿《数列极限》《数列极限》说课稿袁勋这次我说课的内容是由盛祥耀主编的《高等数学》（上册）第一章第二节极限概念中的数列极限。
这部分内容在课本第18页至20页。
下面我把对本节课的教学目的、过程、方法、工具等方面的简单认识作一个说明。
一、关于教学目的的确定：众所周知，对极限这个概念的理解是高等数学的学习基础，但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。
1．在知识上，使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；2．在能力上，培养学生观察、分析、概括的能力和在探索问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。
体验‚从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊‛的认识过程；3．在情感上，通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。
二、关于教学过程的设计：为了达到以上教学目的，根据两节。
在具体教学中，根据‚循序渐进原则‛，我把这次课分为三个阶段：‚概念探索阶段‛；‚概念建立阶段‛；‚概念巩固阶段‛。
下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。
（一）‚概念探索阶段‛ 1.这一阶段要解决的主要问题在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；②使学生形成对数列极限的初步认识；③使学生了解学习数列极限概念的必要性。
2．本阶段教学安排我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。
高中数学数列极限教案
高中数学数列极限教案
教学内容：数列极限
教学目标：学生能够理解数列极限的概念，掌握求解数列极限的方法，并能够应用数列极限解决实际问题。
教学重点和难点：数列极限的定义和求解方法。
教学步骤：
一、引入问题（10分钟）
1. 介绍数列的概念，引出数列极限的概念。
2. 提出一个简单的数列极限问题，并引导学生讨论。
二、概念解释（15分钟）
1. 讲解数列极限的定义和性质。
2. 举例说明数列极限的计算方法。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 解决几个简单的数列极限计算问题。
2. 练习讨论中出现的疑惑和困惑。
四、拓展应用（15分钟）
1. 提出一些数列极限在实际问题中的应用。
2. 引导学生思考如何将数列极限应用到实际问题的解决中。
五、总结与课堂小结（10分钟）
1. 总结数列极限的概念、性质和求解方法。
2. 完成本节课的课堂小结。
教学方法：讲授结合练习，引导学生主动探究。
课后作业：完成课后练习题，巩固数列极限的计算方法。
教学反思：本节课主要以数列极限的概念和求解方法为主线，通过引入问题、概念解释、练习与讨论、拓展应用等环节，引导学生深入理解数列极限的概念和性质，提高学生的数
学解决问题的能力。
同时，注重引导学生思考和应用，帮助学生将数学知识与实际问题相结合，培养学生的数学思维能力和创新能力。
《数列极限》说课稿（附教案）
《数列极限》说课稿一、教材分析1．教材的地位和作用（1）在数学中的地位和作用众所周知，对数列极限这个概念的理解是学习导数所必备的知识.另外,极限也是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变,在重点考察思维方法的高考命题中是最好的命题素材之一.（2）在全章中的地位和作用《数列的极限》安排在高中数学第三册（选修2）第二章、第二节，是数列极限的起始课。
这部分内容在课本第73页至76页。
是全章内容的起点，重点。
2．本节内容的课标要求从数列的变化趋势来理解极限的概念；能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；体会极限思想。
3．教学重点、难点、关键的确定教学重点：数列极限的概念教学难点：如何从变化趋势的角度, 来正确理解数列极限的概念教学关键：教学中启发学生在分析问题时抓住问题的本质（即定义）确立依据：这样确定重难点及教学关键，主要是基于课标要求和对本节课全面分析。
二、教学目标分析根据我对教材的分析以及对新课程的教学理念的认识，确定教学目标如下：（1）知识目标：使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；（2）能力目标：1、通过设置问题情境、数列变化趋势的分析，使学生理解数列极限的定义，学会数学语言的表述，培养学生观察、分析、概括的能力。
2、通过分层练习，使学生的基础知识得到进一步的巩固，进而学会数列极限的分析方法，体会在探索问题中由静态到动态、由有限到无限的辨证观点和“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程。
（3）情感态度与价值观目标：1、通过介绍我国古代思想家庄周和数学家刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感。
2、通过介绍生活中的极限运动和极限精神，激发提高学生的学习积极性，优化学生的思维品质。
确立依据：基于对教材、教学大纲和教学内容的分析，制定相应的教学目标。
数学教学的最终目的是通过思想方法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到发展．三、教学分析1、对学习者特征分析本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解和高三学生学习表现而做出的。
高二数学说课稿：数列极限说课稿
高二数学说课稿：数列极限说课稿
对于教师来说，上好一堂课很重要，所以说课稿就成了很重要的课前准备，看了高二数学说课稿：数列极限说课稿以后你会有很大的收获：
高二数学说课稿：数列极限说课稿
各位评委、老师们：你们好！
我是北大附中的数学教师李宁。
北大附中是北京市重点中学。
有机会能参加这次教学研讨活动，向全国各省的数学老师们学习，我深感荣幸。
这次我说课的内容是高中代数课本（下册）第六章第二部分6.4 节数列极限的起始课。
这部分内容在课本第60 页至65 页。
下面由我根据自己编写的教案，把我对本节课的教学目的、过程、方法、工具等方面的简单认识作一个说明。
希望专家们、老师们对我说课的内容多提宝贵意见。
一、关于教学目的的确定：
众所周知，对数列极限这个概念的理解可为今后高等数学的学习奠定基础，但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、。
大学高数教案范文极限
一、教学目标1. 理解数列极限和函数极限的基本概念。
2. 掌握数列极限和函数极限的基本性质。
3. 熟悉并运用极限的四则运算和复合函数的极限运算法则。
4. 能够运用极限知识解决实际问题。
二、教学内容1. 数列极限的定义与收敛性。
2. 函数极限的定义与存在性判别法。
3. 极限的性质和运算法则。
4. 常见极限的计算。
三、教学重点与难点重点：1. 数列极限和函数极限的定义。
2. 极限的性质和运算法则。
难点：1. 极限存在性的判别。
2. 复合函数极限的计算。
四、教学过程第一课时：数列极限1. 导入：通过实例引入数列的概念，引导学生思考数列的极限问题。
2. 讲解：- 数列极限的定义：给定数列{xn}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|xn - A| < ε，则称数列{xn}的极限为A。
- 收敛数列的性质：唯一性、有界性、局部保号性、子列收敛性。
3. 练习：让学生举例说明收敛数列的性质，并计算一些数列的极限。
4. 总结：强调数列极限的定义和收敛数列的性质，为后续学习函数极限打下基础。
第二课时：函数极限1. 导入：通过数列极限的概念引入函数极限的概念。
2. 讲解：- 函数极限的定义：给定函数f(x)，如果当x趋向于x0时，f(x)的极限为A，则称f(x)在x=x0处的极限为A。
- 函数极限存在判别法：海涅定理、充要条件、柯西准则。
3. 练习：让学生举例说明函数极限存在判别法，并计算一些函数的极限。
4. 总结：强调函数极限的定义和存在判别法，为后续学习极限的性质和运算法则打下基础。
第三课时：极限的性质和运算法则1. 导入：通过函数极限的概念引入极限的性质和运算法则。
2. 讲解：- 极限的性质：唯一性、有界性、局部保号性、子列收敛性。
- 极限的运算法则：四则运算、复合函数的极限运算法则。
3. 练习：让学生运用极限的性质和运算法则计算一些极限。
4. 总结：强调极限的性质和运算法则，为后续学习常见极限的计算打下基础。
《数列的极限》说课槁
《数列的极限》说课槁《数列的极限》说课槁【一、教材分析】1、教材的地位和作用：数列的极限是中学数学与高等数学一个衔接点，它同时也是中学数学教学的难点之一。
在中学阶段渗透近代数学的基础知识，是课程教材改革的要求之一。
教材把极限作为高中阶段的必修内容，意图是在中学阶段渗透极限思想，使学生初步接触用有限刻画无限，由已知认识未知，由近似描述精确的数学方法，使学生对变量、变化过程有更深的认识，这对于提高学生数学素质有积极意义。
2、教学目标及确立的依据：教学目标：（1）教学知识目标：通过趣闻故事和割圆术使学生对“无限趋近”有感性的认识；从数列的变化趋势理解数列极限的概念；会判断一些简单数列的极限（2）能力训练目标：观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辨证关系，提高学生的数学概括能力和抽象思维能力。
（3）德育渗透目标：通过教学提高学生学习数学的兴趣和数学审美能力，培养学生的主动探索精神和创新意识。
教学目标确立的依据：《全日制中学数学教学大纲》中明确规定，要从数列的变化趋势理解数列的极限，针对这样的情况，我依照《大纲》的要求制定了符合实际的教学目标，并在教学过程中把重点放在对数列极限的概念意义的准确把握和理解上。
为了更好的达到教学目标，我设计一些形象、直观、准确的计算机演示程序，分散教学难点。
3、教学重点及难点确立的依据：教学重点：数列极限的意义教学难点：数列极限的概念理解教学重点与难点确立的依据：数列极限的定义抽象性比较强，它有诸多的定义方式，我们教材是采用描述性方法定义数列的极限。
数列极限的定义过程，重点是剖析“数列无限趋近于常数”的含义。
所以要求学生的理性认识能力较高，所以本节课的重点难点就必然落在对数列极限概念的理解上。
【二、教材的处理】由于极限的概念中关系到“无限”，而高中学生以往的数学学习中主要接触的是“有限”的问题，很少涉及“无限”的问题。
因此，对极限概念如何从变化趋势的角度来正确理解成为本章的难点。
《数列的极限》教学设计精品
《数列的极限》教学设计精品《数列的极限》教学设计南海市桂城中学邝满榆(一)教材分析数列和极限是初等数学和高等数学衔接与联系最紧密的内容之一，是学习高等数学的基础，微积分中所有重要概念，如导数、定积分等，都是建立在极限概念的基础上，极限的概念是微积分的重要概念和重点，本节数列的极限是极限的一类，与函数极限形式不同，但它们的思想是完全相同的，通过数列极限(ε－N定义)概念的教学，使学生初步理解极限的思想方法，为学习高等数学打下基础。
(二)教学对象学生在初中已知道：当圆的内接正多边形的边数不断的成倍增加时，多边形的周长Pn 不断增大，并越来越接近于圆的周长C。
在高一立几推导球的表面积公式时也接触过极限的思想。
这些都为学生理解数列极限的定义打下基础。
但因为学生以前接触的代数运算都是有限运算，而极限概念中含有“无限”，比较抽象，又要将“无限”定量描述出来，即用ε－N的语言叙述出来更困难了，所以这一课是数列极限这一章中学生最难听得懂，教师也最难讲得好的一课。
讲好的关键是结合数列的图象和表格讲清“无限”的几何意义，使学生对数列极限有较丰富的感性认识并讲清“无限趋近”和“无限增大”的意义和二者之间的联系。
(三)教学媒体：投影仪 (四)教学目标⑴掌握数列极限的定义。
⑵应用定义求证简单数列的极限，或从数列的变化趋势找到简单数列的极限。
⑶通过数列极限定义的教学对学生进行爱国主义和辩证唯物主义的教育。
(五)重点、难点理解数列的概念及定义中一些字母和记号的特性。
(六)教学方法：启发分析，讲练结合。
(七)教学过程一、定义的引进 1. 复习提问⑴ |a| 的几何意义：表示数a的点与原点的距离。
⑵ |x-A| 的几何意义：表示数x 的点及数A的点之间的距离。
⑶设ε>0，解不等式 |x-A|A-ε A A+ε X2. 启发引导：当学生按照上述结果回答完问题后，指出满不等式 |x-A|3. 定义的引进本节课的课题是“数列的极限”(板书)，极限的思想在我国古代早有出现，公元前四世纪，我国古代重要的哲学家和思想家庄子就指出了“一尺之棰，日取某半，万世不竭”，我们把每天取去一半后所余的尺数用现代熟悉的表达方式可以得到一个数列：1111 ,,,......,n,......;这是一个无穷数列(\万世不竭\)2482把上述数列的前几项分别在数轴上表示出来：①11111 0 32 16842 1从图形容易看出，不论项数n怎样大， 2 n永不为0，只是0 1?的近似值，但当n无限增大时，数列 2 n ? 的项就无限趋近于0。
高等数学 第二节 数列的极限
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a
数学分析-数列极限讲稿
第二章 数列极限引 言为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势．例如有这么一个变量，它开始是１，然后为1111,,,,,234n如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零．我们就说，这个变量的极限为０．在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等），并且在实际问题中极限也占有重要的地位．例如求圆的面积和圆周长（已知：2,2S r l r ππ==），但这两个公式从何而来？要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度．然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破．问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以把它分解为许多三角形．而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面．在这里我们面临着“曲”与“直”这样一对矛盾．在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即彼，辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化．恩格斯深刻提出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定的条件下直线和曲线应当是一回事”．整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直的；就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧．执照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成n 个等长的小段，代替圆而先考虑其内接正n 边形．易知，正n 边形周长为2sinn l nR nπ=显然，这个n l 不会等于l ．然而，从几何直观上可以看出，只要正n 边形的边数不断增加．这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长．N 越大，近似程度越高．但是，不论n 多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长．无论如何它只是周长的近似值，而不是精确值．问题并没有最后解决．为了从近似值过渡到精确值，我们自然让n 无限地增大，记为n →∞．直观上很明显，当n →∞时，n l l →，记成lim n n l l →∞=．——极限思想．即圆周长是其内接正多边形周长的极限．这种方法是我国刘微（张晋）早在第３世纪就提出来了，称为“割圆术”．其方法就是——无限分割．以直代曲；其思想在于“极限”．除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想．所以，我们有必要对极限作深入研究．§１ 数列极限的概念教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题． 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念．．深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念．会应用数列极限的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述．教学重点：数列极限的概念．教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用．教学方法：讲授为主． 教学程序：一 什么是数列１ 数列的定义数列就是“一列数”，但这“一列数”并不是任意的一列数，而是有一定的规律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下；若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→为数列．注：１）根据函数的记号，数列也可记为(),f n n N +∈；２）记()n f n a =，则数列()f n 就可写作为：12,,,,n a a a ，简记为{}n a ，即{}{}()|n f n n N a +∈=；３）不严格的说法：说()f n 是一个数列．２ 数列的例子（1）(1)111:1,,,,234n n ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭；（2）11111:2,1,1,1,435n ⎧⎫++++⎨⎬⎩⎭（3）{}2:1,4,9,16,25,n ；（4）{}11(1):2,0,2,0,2,n ++-二、什么是数列极限１．引言对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：第１天截下12， 第２天截下2111222⋅=，第３天截下23111222⋅=，第n 天截下1111222n n -⋅=，得到一个数列：231111,,,,,2222n不难看出，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零． 一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列．据此可以说，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是收敛数列，０是它的极限．数列{}{}21,1(1)n n ++-都是发散的数列．需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来．还有待进一步分析．以11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为例，可观察出该数列具以下特性： 随着n 的无限增大，11n a n=+无限地接近于1→随着n 的无限增大，11n +与１的距离无限减少→随着n 的无限增大，1|11|n +-无限减少→1|11|n +-会任意小，只要n 充分大．如：要使1|11|0.1n +-<，只要10n >即可；要使1|11|0.01n+-<，只要100n >即可；任给无论多么小的正数ε，都会存在数列的一项N a ，从该项之后()n N >，1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．即0,N ε∀>∃，当n N >时，1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：1n ε>，取1[]1N ε=+即可．这样0,ε∀>当n N >时，111|11|n n N ε⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭．综上所述，数列11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项11n +随n 的无限增大，11n+无限接近于１，即是对任意给定正数ε，总存在正整数Ｎ，当n N >时，有1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．此即11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭以１为极限的精确定义，记作1lim 11n n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或1,11n n →∞+→． 2.数列极限的定义定义1 设{}n a 为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总存在正整数N,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞.(读作:当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a 趋于a)． 由于n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞.若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列． [问题]：如何表述{}n a 没有极限？ ３．举例说明如何用N ε-定义来验证数列极限 要证,lim a a n n =∞→关键是：对任正数ε，解不等式ε<-a a n 找出n 的范围，进而确定． （1） 直接解不等式 ε<-a a n例１ 证明1(1)lim 0(0)n n n αα+→∞-=> 同理可证：12(1)lim0n n n +→∞-=，13(1)lim 0,n n n +→∞-= .（2）适当放大),)((k n nAn a a =≤-ϕ转化为解不等式εϕ<)(n ． 例２ 证明 lim 0(||1)nn q q →∞=<．同理可证：1lim 02n n →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，12lim 0,lim(1)0,,23n nn n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例３．证明 321lim097n n n →∞-=+.例４．证明 223lim 33n n n →∞=-.例５．证明 1n =，其中0a >.４ 关于数列的极限的N ε-定义的几点说明（１） 关于ε：① ε的任意性．定义１中的正数ε的作用在于衡量数列通项n a 与常数a 的接近程度，ε越小，表示接近得越好；而正数ε可以任意小，说明n a 与常数a 可以接近到任何程度；②ε的暂时固定性．尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出Ｎ；③ε的多值性．ε既是任意小的正数，那么2,3,2εεε等等，同样也是任意小的正数，因此定义１中的不等式||n a a ε-<中的ε可用2,3,2εεε等来代替．从而“||n a a ε-<”可用“||n a a ε-≤”代替；④正由于ε是任意小正数，我们可以限定ε小于一个确定的正数．（２） 关于Ｎ：① 相应性，一般地，Ｎ随ε的变小而变大，因此常把Ｎ定作()N ε，来强调Ｎ是依赖于ε的；ε一经给定，就可以找到一个Ｎ；②Ｎ多值性．Ｎ的相应性并不意味着Ｎ是由ε唯一确定的，因为对给定的ε，若100N =时能使得当n N >时,有||n a a ε-<,则101N =或更大的数时此不等式自然成立．所以Ｎ不是唯一的．事实上，在许多场合下，最重要的是Ｎ的存在性，而不是它的值有多大．基于此，在实际使用中的Ｎ也不必限于自然数，只要Ｎ是正数即可；而且把“n N >”改为“n N ≥”也无妨．（３）数列极限的几何理解：在定义１中，“当n N >时有||n a a ε-<”⇔“当n N >时有n a a a εε-<<+” ⇔“当n N >时有(),(;)n a a a U a εεε∈-+=” ⇔所有下标大于Ｎ的项n a 都落在邻域(;)U a ε内；而在(;)U a ε之外，数列{}n a 中的项至多只有Ｎ个（有限个）．反之，任给0ε>，若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为Ｎ，则当n N >时有(;)n a U a ε∈，即当n N >时有||n a a ε-<，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）：定义1' 任给0ε>，若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个，则称数列{}n a 收敛于极限a.由此可见：１）若存在某个00ε>，使得数列{}n a 中有无穷多个项落在0(;)U a ε之外，则{}n a 一定不以a 为极限；２）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关． 所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响．例１ 证明{}2n 和{}(1)n -都是发散数列．例２．设lim lim n n n n x y a →∞→∞==，作数列如下：{}1122:,,,,,,,n n n z x y x y x y . 证明 lim n n z a →∞=.例３．设{}n a 为给定的数列，{}n b 为对{}n a 增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列{}n b 与{}n a 同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．三、无穷小数列在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义２ 若lim 0n n a →∞=，则称{}n a 为无穷小数列．如1211(1)1,,,2n n n n n +⎧⎫-⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭都是无穷小数列． 数列{}n a 收敛于a 的充要条件：定理２.１ 数列{}n a 收敛于a 的充要条件是{}n a a -为无穷小数列． 作业 P27 2（2）（3），3（1）（4）（6），4，5（1），6。
《数列定理》说课稿
《数列定理》说课稿数列定理说课稿一、引入数列是高中数学的重要内容之一，它在数学和实际问题中的应用非常广泛。
本节课的主题是数列定理，将介绍数列极限、常用数列的性质以及数列收敛性的概念和判定方法。
二、数列极限数列极限是数列理论中的基础概念，它反映了数列在无限项之后的趋势。
我们将通过以下三个方面介绍数列极限的概念和性质：1. 数列趋于无穷：介绍当数列的绝对值逐渐增大或逐渐减小时，数列的极限是无穷大或无穷小的情况。
2. 数列趋于有界：介绍当数列的绝对值是有界的时候，数列的极限存在的情况。
3. 数列的收敛性：介绍数列收敛和发散的概念，以及数列收敛的判定方法。
三、常用数列的性质本节课还将介绍几种常用数列的性质，包括等差数列、等比数列和斐波那契数列。
每种数列都有其独特的特点和应用，我们将通过具体的例子和计算来展示它们的性质。
1. 等差数列：介绍等差数列的通项公式、前n项和以及求和公式等内容。
2. 等比数列：介绍等比数列的通项公式、前n项和以及求和公式等内容。
3. 斐波那契数列：介绍斐波那契数列的定义和特征，以及它在自然和科学问题中的应用。
四、数列收敛性的判定方法最后，我们将介绍数列收敛性的判定方法，包括夹逼定理、单调有界数列的收敛性判定以及数列极限与数列子数列的关系等内容。
这些方法可以帮助我们判断一个数列是否收敛，并求出其极限值。
五、课堂互动与练在课堂中，我们将通过举例讨论和实际计算来加深对数列定理的理解。
同时，提供一些练题供同学们进行巩固。
六、总结数列定理是数学中的重要概念，它帮助我们理解数列的趋势和性质，以及数列是否收敛的问题。
通过本节课的研究，同学们将能够掌握数列极限、常用数列的性质以及数列收敛性的判定方法，为进一步深入研究数学奠定坚实基础。
希望本节课能够在激发同学们对数学的兴趣和能力提升上起到积极的作用！。
数列极限教案
数列极限教案第一篇：数列极限教案数列的极限教案授课人：###一、教材分析极限思想是高等数学的重要思想。
极限概念是从初等数学向高等数学过渡所必须牢固掌握的内容。
二、教学重点和难点教学重点：数列极限概念的理解及数列极限ε-N语言的刻画。
教学难点：数列极限概念的理解及数列极限ε-N语言的刻画，简单数列的极限进行证明。
三、教学目标1、通过学习数列以及数列极限的概念，明白极限的思想。
2、通过学习概念，发现不同学科知识的融会贯通，从哲学的量变到质变的思想的角度来看待数列极限概念。
四、授课过程1、概念引入例子一：(割圆术)刘徽的割圆术来计算圆的面积。
.........内接正六边形的面积为A1，内接正十二边形的面积为A2......内接正6⨯2n-1形的面积为An.A1,A2,A3......An......→圆的面积S.用圆的内接正六n边形来趋近，随着n的不断增加，内接正六n边形的面积不断1接近圆的面积。
例子二：庄子曰“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。
第一天的长度1第二天的剩余长度第二天的剩余长度第四天的剩余长度 8.....第n天的剩余长度n-1. (2)随着天数的增加，木杆剩余的长度越来越短，越来越接近0。
这里蕴含的就是极限的概念。
总结：极限是变量变化趋势结果的预测。
例一中，内接正六n边形的边数不断增加，多边形的面积无限接近圆面积；例二中，随着天数的不断增加，木杆的剩余长度无限接近0.在介绍概念之前看几个具体的数列：111⎧1⎫（1）⎨⎬: 1，,......； 23n⎩n⎭⎧(-1)n⎫1111:-1，-，-,......；（2）⎨⎬n2345⎩⎭（3）n2:1,4,9,16,......；（4）(-1):-1,1,-1,1,......,(-1),......； nn{}{}我们接下来讨论一种数列{xn}，在它的变化过程中，当n趋近于+∞时，xn不断接近于某一个常数a。
如随着n的增大，（1），（2）中的数列越来越接近0；（3）（4）中的数列却没有这样的特征。
《数列的极限》说课稿
《数列的极限》说课稿
高三数学说课：《数列的极限》说课稿
极限是数学中极其重要的概念之一,极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石。
下面我从这三个方面来阐述我对这节课的理解和设计.
一、教材分析与处理
（一）教材分析
数列的极限是全日制普通高级中学教科书（试验修订本）第三册第二章的内
容,极限的概念是本章内容的基础,也是导数,积分的基础,它对高等数学的学习起承上启下的作用.新教材的教学参考书对极限的定义不作严格要求,只要求从数列的变化趋势来理解、体会极限思想。
新的课改理念，更加注重潜移默化的素质教育，而本节课对学生辩证唯物主义世界观的形成具有非常重要的作用，因此，在尊重教材的基础上我对本节知识进行了重组，着重在培养、提高学生的素质上下功夫。
（二）学情分析及对策
由于面对的是高三的学生，虽然很多数学能力已形成，并都能求出数
列的通项，但由于学生个体间有差异，未必都能由通项看出项的变化趋势；另外学生的辩证唯物主义世界观还没有完全形成，对概念的理解还有困难。
针对这两点我采取加强直观教学，改善学生状况。
因此根据大纲，并结合学生的实际情况,我设计了以下的教学目标。
（三）教学目标
1、知识与技能：理解数列极限的概念,会求简单数列的极限；从中。
比赛课件(说课授课)：数列的极限
问卷调查结果分析
7
数列的极限——说课
▪物理学、物理应用 ▪ 教学目标 ▪接触过描述性定义
▪ 萌芽 发展
▪ 产生 完善
教材 分析
学情 分析
教法 分析
教学 过程
▪ 地位与作用 ▪ 重点与难点
▪ 演示法、探究法 ▪ 新
▪ 讲解法
8
教学过程
萌芽——截杖问题
推陈出新
发现并提出问题
产生——描述性定义
温故知新
• 发现 问题的观察能力 • 分析 问题的思考能力 • 解决 问题的实践能力
• 理解 极限的“e -N ”定义
• 会 判断简单数列的极限
4
数列的极限——说课
▪物理学、物理应用 ▪ 教学目标 ▪接触过描述性定义
教材 分析
学情 分析
教法 分析
教学 过程
▪ 地位与作用 ▪ 重点与难点
5
问卷调查结果分析
n>N时，恒有|xn-a|<e 成立, 则称a是数列{xn}的极限，
或称{xn}收敛于a，记作:
lim
n
xn
a
否则称数列{xn}发散。
Any Exist
d
lim
n
xn
a e
0, N Z+ , 当 n
N时, 恒有
xn - a
e
18
d
lim
n
xn
a e
0, N Z+ , 当 n
N时, 恒有
lim
n
xn
a
否则称数列{xn}发散。
15
拉丁文limis（极限） 英文limit(极限) 读音
lim
n
xn
高中数学教案学习数列的极限
高中数学教案学习数列的极限高中数学教案：学习数列的极限引言：数列是数学中常见的一种数值排列形式，通过研究数列的性质和极限，我们可以深入理解数学中的许多重要概念和方法。
本教案将介绍数列的极限概念、性质以及相关的计算方法，以帮助高中学生更好地理解和掌握数列的极限。
一、数列的极限概念1.1 数列的定义数列是按照一定规律排列的一组数。
通常用{an}表示，其中n为正整数，an表示数列的第n项。
1.2 极限的定义对于数列{an}，当n趋近于无穷大时，如果数列的后项无限地接近某个确定的值L，则称L为数列{an}的极限，记作lim(n→∞)an = L。
二、数列的极限性质2.1 极限唯一性数列的极限如果存在，则是唯一的。
2.2 条件收敛性如果一个数列的极限存在，那么这个数列必定是有界的。
2.3 等价无穷小替换如果数列{an}的极限是L，则an-L就是等价无穷小。
三、数列极限的计算方法3.1 常用数列的极限3.1.1 级数的极限1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n = 1 (n→∞)3.1.2 几何数列的极限a + ar + ar^2 + ... + ar^n = a/(1-r) (n→∞,|r|<1)3.1.3 斐波那契数列的极限Fn = F(n-1) + F(n-2) (n≥3)当n趋近于无穷大时，Fn/F(n-1)的极限为黄金分割比例φ = (1 + sqrt(5))/23.2 极限的性质运算法则3.2.1 极限的四则运算法则：若lim(n→∞)an = a，lim(n→∞)bn = b，则有：lim(n→∞)(an ± bn) = a ± blim(n→∞)(an × bn) = a × blim(n→∞)(an / bn) = a / b (b ≠ 0)3.2.2 极限的乘法法则：若lim(n→∞)an = a，lim(n→∞)bn = b，则有：lim(n→∞)(an)^k = a^k (k为常数)lim(n→∞)(an)^bn = a^b (特殊情况)3.2.3 极限的夹逼定理：若数列{an}，{bn}，{cn}满足an≤bn≤cn，且lim(n→∞)an =lim(n→∞)cn = a，则lim(n→∞)bn = a。
数列极限说课
3、一个数列的极限是否存在及极限的值是什 么与数列的前几项有关系吗？
1、教法设计应符合学生的认 知规律； 2、学生是课堂学习的主体； 3、重视教材资源的重新整合。
从０右侧无限趋 近于０
an 0 无限趋近 于０
1 2 3 n 数列2： ， ， ， , 2 3 4 n 1 n 1
一般地，如果当项数n无限增 限的趋近于某个常数 a •
• •
大时，无穷数列an 的项an无
初步理解数列的极限的概 念，并会独立判断一些简单数 列的极限。
教
知 识 与 技 能 目标
过 程 与 方 法 目标
情感、态度与价值观目标
学 目
标
重 点: 对数列的极限的概 念的归纳和理解 难 点: 理解数列的极限的 概念
1 1 1 1 , , ,, , n 2 4 8 2
项号
1 2
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
A． 1
B．
8/9
Ｃ． 0.89
D．不存在
0 0 0 ３．数列1 ， 2 ， 3 ， , n , 的极限等于（
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
）
解答题
A组：已知数列
1 1 1 1, 2 , 2 ,, 2 , 2 3 n
1 2 的极限． n
项
1/2 1/4
这一项与0的差的绝对值
|1/2-0|=1/2 |1/4-0|=1/4
3 4 5
．．．
1/8 1/16 1/32
．．．
|1/8-0|=1/8 | 1/16-0|=1/16 |1/32-0|=1/32
．．．
y
1
•
0
1
• • • •
高数讲稿(数列极限)1
xn − a <
ε
2M
,
同时 ∃N 2 ∈ N, ∀n > N2 , 有
yn − b <
证明：对任意的 G>0, |xn|=|2n|>G , nlog22 >log2G, 即 n> log2G, 取 N=[ log2G]+1 所以 当 n>N 时，有 2n>G
lim 2 n = +∞ 故
n→∞
∴ n>N=[ log2G]+1, ∵ 2n>2N>2[logG]>G
数列极限的性质 定理 1（唯一性）若数列 {xn } 的极限存在，则极限值是唯一的。 证 设数列 {xn } 有两个不相等的极限值 a、b，则对应于
1 1 a − , a + 内。但这是不可能的，因为 n 3 3
→ ∞ 时， xn 无休
止地一再反复取得 1 和-1 这两个数， 而这两个数不可能同时属
2 1 1 a − , a + 内。因此这数列发散。 于长度为 3 的开区间 3 3
定理 2（有界性）若数列 {x n } 有极限，则 {xn } 有界。即
xn 落在以 a 为中心ε为半径的开区间(a-ε, a+ε) 内, 这就意味着 a-ε< xn < a+ε，即不等式|xn-a|<ε成立. 因此 |xn-a|<ε〈≡〉 xn 落在以 a 为中心ε为半径的 开区间(a-ε, a+ε)内
我们先从最简单的例子入手，从中找出它们共有的 特性，然后引出数列{xn}极限的严格描述。 请看下面的例子 设数列的一般项为
高数数列的极限宣讲
（2）截丈问题
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为
X1
1; 2
第二天截下的杖长总和 为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为
Xn
1 2
1 22
1 2n
;
1
Xn 1 2n
1
2 数列旳定义
定义 按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有
xn 1 成立.
定义 设{ xn}为一数列，对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正数 N ,使得当n N
时,不等式 xn a 都成立,那末就称常数a 是 数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛于a ,记为
, 只要
1
n 1
,
即
n
1 1.
取
N
[ 1 1] ,
则当
nN
时, 就有
xn 0 ,
故
lim
n
xn
lim
n
(1)n (n 1)2
0
也可由
xn 0
1 (n1)2
阐明: N 与 有关, 但不唯一. 取
N
1
1
x不n 一 0定取n1最1 小1n旳, 故N 也. 可取
N
[
1
]
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《数列极限》说课稿袁勋这次我说课的内容是由盛祥耀主编的《高等数学》（上册）第一章第二节极限概念中的数列极限。
这部分内容在课本第18页至20页。
下面我把对本节课的教学目的、过程、方法、工具等方面的简单认识作一个说明。
一、关于教学目的的确定：众所周知，对极限这个概念的理解是高等数学的学习基础，但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。
1．在知识上，使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；2．在能力上，培养学生观察、分析、概括的能力和在探索问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。
体验“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程；3．在情感上，通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。
二、关于教学过程的设计：为了达到以上教学目的，根据两节。
在具体教学中，根据“循序渐进原则”，我把这次课分为三个阶段：“概念探索阶段”；“概念建立阶段”；“概念巩固阶段”。
下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。
（一）“概念探索阶段”1.这一阶段要解决的主要问题在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；②使学生形成对数列极限的初步认识；③使学生了解学习数列极限概念的必要性。
2．本阶段教学安排我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。
① 温故知新由于研究数列极限首先应对数列知识有一个清晰的了解，因此在具体教学中通过对教案中5个具体数列通项公式的思考让学生对数列通项公式这个概念产生回忆，指出以前研究数列都是研究的有限项的问题，现在开始研究无限项的问题。
然后引导学生回忆数列是自变量为自然数的函数，通项公式就是以n 为自变量的、定义域为自然数集的函数n a 的解析式。
再引导学生回忆研究函数，实际上研究的就是自变量变化过程中，函数值变化的情况和变化的趋势，并以第[2]的数列121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n a 为例说明：当n=2、3、4、5 时，对应的21=n a 、41、81、161 就说明自变量由2增加到5时，对应的函数值就由21减小到161这种变化情况。
若问自然数n 一直增加下去，函数n a 应怎样变化下去，这就是研究变化的趋势。
这样利用通项公式就可把数列变化趋势问题与函数值变化趋势问题有机地结合起来，引导学生从函数值变化趋势的角度来看待例题中五个数列的变换趋势。
通过这种讨论，在对变化趋势这个概念的理解上发挥心理学上所提“无意注意”的作用，使学生对进一步讨论的数列变换趋势问题不至于太陌生。
②推陈出新在对5个数列变化趋势的分析过程中，通过引导，由学生讨论得到数列（2）、（3）、（5）的共同特征，近而向学生说明：“具有类似于数列（2）、（3）、（5）共性的数列称为有极限的数列，共性中的“趋近于一个确定的常数”称它为有极限数列的极限”。
并进一步和学生讨论如何给数列的极限下定义，此时我根据学生情况给予提示，给出数列极限概念的描述性说明：当项数无限增加时，数列的项无限趋近于某一个确定的常数的数列称为有极限的数列，这个确定的常数称为数列极限。
③刘徽及其《割圆术》的介绍学生对数列极限概念有了一定的认识，为了使学生认识到这个概念并不是突然产生的，是和他们已有的知识结构密切相关的，为此在第一阶段我设计了这一部分教学。
我一方面介绍了我国古代数学家对数列极限思想所做的贡献，如“在世界数学史上，刘徽是最早运用这种数列极限的思想解决数学问题的大数学家。
用这种指导思想计算圆面积的方法，就称为刘徽割圆术.用类似刘徽割圆术的方法求出圆周率的近似值，虽然在公元前3世纪的古希腊数学家阿基米德也算出过，但所用的方法却比刘徽所用的方法繁杂的多。
”在另一方面重点结合计算机模拟刘徽割圆术，介绍这种算法的指导思想：“割之弥细，所失弥少。
割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。
通过课件动态演示，进一步在“无意注意”作用的发挥上下文章，加深学生对“变化趋势”、“趋近于”、“极限”等概念的认识，为下一阶段极限概念的教学提供对这个概念感性认识的基础。
（二）“概念建立阶段”1．这一阶段要解决的任务由于数列极限概念及其定义的数学语言表述具有高度的概括性、抽象性，学生初次接触很困难。
具体讲，在ε-N 语言中，学生搞不清ε的两重性——绝对的任意性、相对的确定性；学生搞不清“N ”，不太理解N 的实质是表示项数n 无限增大过程中的某一时刻，从这一时刻起，所有a n (n>N)，都聚集在以极限值A 为中心，ε为半径的邻域中，N 是否存在是证明数列极限存在的关键。
因此在这一阶段的教学中，我采取“启发式谈话法”与“启发式讲解法”， 注意不“一次到位”，这样在本阶段我设计解决的几个主要问题是：①建立、理解数列极限的定义；②认识定义中反映出的静与动的辨证关系；③初步学习论证数列极限的方法。
2． 本阶段教学安排本阶段教学安排分三个步骤进行。
① 问题的提出在教学安排上，我根据学生形成对数列极限的初步认识，以数列 “ ,1,,54,43,32,21+n n ” 为例，提出一个学生形成极限概念时不好回答的问题：根据数列极限定义直观描述，这个数列的极限是1，即当项数n 无限增大时，这个数列的项无限地趋近于1，问题是为什么不说这个数列的项无限地趋近于1.1，从而使学生发现问题在于自己已获得的数列极限概念中“无限趋近于”这一描述，这种描述比较含混，感到有必要对极限定义做进一步精确描述。
② 问题的解决具体讲，由于数轴上两点的距离及其解析表示对学生来说是很熟悉的，故我在教学中利用数轴引导学生先得出结论：“趋近于”是距离概念，距离的解析表示是绝对值，“无限趋近于”就可用距离要多小有多小来表示。
即数列项与确定常数差的绝对值要多小有多小。
然后让学生通过具体计算如：“思考已知数列中是否有到1.1的距离为0.01的项？”使学生知道已知数列的项不能与1.1的距离要多小有多小，即1.1不是已知数列的极限，从而使学生对“要多小有多小”这一概念有了进一步认识，并为量化|a n -1|当项数无限增加时要多小有多小打下基础。
③数列极限定义的得出在“检验‘1’是否满足：已知数列的项与1的差的绝对值是否要多小有多小”的教学过程中，我采取“给距离找项数”的方法。
具体讲让学生考虑已知数列中有哪些项与1的差的绝对值小于0.1、0.05、0.0011、0.0001，让学生把用计算器计算的结果在黑板上列表写出并解释所得的结果，如提示学生得出结论：“已知数列中第908项以后各项与1的差的绝对值小于0.0011。
”这种讨论的目的是使学生感受到“N ”是项数n 无限增大的过程中的一个标志，进而说明对于给定的每一个正数，可找到N ，当n>N 时，|a n -1|小于这个正数。
进而让学生注意无论表示距离的正数取的多么小，也不能说成“要多小有多小”，而把具体值改为ε后即可解决这个问题。
这样通过讨论，在我的引导下，使学生得到结论：“数列： ,1,,54,43,32,21+n n 当项数无限增大时，它的项越来越趋近于1”，也就是数列：,1,,54,43,32,21+n n 的极限为1，并进一步让学生总结出一般数列的极限的准确定义。
（三）“概念巩固阶段”1． 本阶段的教学计划在这一阶段的教学中我计划做两件事情：①说明N 、ε、|a n -A |<ε在讨论数列极限时所起的作用;②是习题训练。
2． 本阶段的教学过程根据上述说明，这一阶段分为两个步骤。
① 定义说明除了对极限概念予以说明外为了加深学生对数列极限概念中N 、ε、|a n -A |<ε的认识，我让学生讨论问题“任意有极限的无穷数列能否使极限值为数列中的项”及“常数列是否有极限”，当学生有困难时，可通过举数列“ ,2sin 21,,161,0,41,0,11πn n --” 并提示其根据定义考虑问题。
这样使学生进一步体会由特殊到一般再到特殊的认识规律。
② 习题训练在学生对数列极限定义的初步掌握的基础上，为巩固学生所学，我让学生作课本例1，练习这道题目的在于总结上一阶段得到数列极限的过程，同时让学生熟悉数列极限定义的应用步骤；在此基础上结合北大附中学生的特点我安排了例2，让学生作这道题目的在于通过对这道题的证明与讨论可让学生对等比数列{1，q ，q 2，…q n ，…}收敛、发散性有一个清楚的了解。
在例2的处理手法上我让学生先各抒己见，然后采用几何画板演示，验证同学猜想，从而激发学生的求知欲望。
由于{1，q ，q 2，…q n ，…}和{ ,1,31,21,1n }是今后学习过程中的常用数列，因此我觉得学生对例1、例2的掌握的好坏将对后面的学习产生直接影响。
③ 补充说明对于较好的班级，还可考虑用直角坐标系来代替数轴。
由于数列是以自然数集子集为定义域的特殊函数，其图象是离散的点.这使得数列的项与点(n,f(n))，即点(n,a n)对应起来.当数列{a n}有极限A时，在直角坐标平面内的几何意义为：任给正数ε，存在一个以直线y=A+ε和y=A-ε为边界的条形区域，存在一个N，当n>N时，所有的点（n, a n）都落在这个条形区域内。
换句话说数列的项在坐标平面内对应的点，只有有限个点落在条形区域外。
利用这种方式教授这节课，形象直观，并为今后函数极限的教学打下基础。
三、关于教学用具的说明：这节课的教学目的之一是使学生通过对极限概念形成过程的了解，较为自然地接受极限的定义，以利于加深对概念的理解和掌握。
因此在本节课中主要使用的是计算器和计算机课件演示。
计算器的作用在于使学生理解“ε”和“N”内在关系；计算机课件演示目的有三：其一是通过史料的简单介绍对学生进行爱国主义教育；其二是在概念形成阶段，为学生提供感性认识的基础；其三可对学生所得的结论验证、完善，加深对问题的理解，巩固所学的概念。
总之“恰当使用现代化教学手段，充分发挥其快捷、生动、形象的辅助作用，最大限度地使学生获得并掌握所学的知识，”是我选择和使用教学用具的根据。
四、结束语：总之，作为极限概念这部分的教学，应使学生初步体会到极限思想是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想。
充分发挥学生主体意识，在老师引导下自主地获得知识。