中考数学专题一最值问题

2015年中考数学专题训练（最值问题）

尖刀班专用资料

【几何基本模型】

条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于 点P ，则PA PB A B '+=的值最小

一、填空

1、如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。

2、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．

3、 如图，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，则PQR △周长的最小值为_________．

4、已知⊙O 的直径CD 为4，∠AOD 的度数为60°，点B 是AD ︵

的中点，在直径CD 上找一点P ，使BP+AP 的值最小，并求BP+AP 的最小值．

5、如图，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，连接CD ，交OA 于M ，交OB 于N ，若CD ＝18cm ，则△PMN 的周长为________。

6有一底面半径为3，高为4的圆锥如下图，A 、B 在同一母线上，B 为AO 的中点，试求以A 为起点，以B 为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线长为________．

7已知抛物线y=x 2

-2x-3,与x 轴相交于点A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴相较于点C ，P 为抛物线 对称轴上的一点，则△OPC 的周长的最小值是 。

8、如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．

A

B

A '

′

P

l

O

A

B P R

Q

P

O A B C

x

y

9、如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为_______

10、如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE，那么DE 长的最小值是 ．

11．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=l ，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是________

12．如图，AB 是半圆的直径，线段CA 上AB 于点A ，线段DB 上AB 于点B ，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上

的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是___________

13.已知关于x 的方程x 2

+（1﹣m ）x +

=0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是 ．

14.已知01x ≤≤.若62=-y x ，则y 的最小值是 ;

二、解答题

1、如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．

（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE=CF ；

（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

2、如图，在△ABC 中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△AB C 不动，△DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 、始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点．

1）求证：△ABE∽△ECM；

2）探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能请说明理由； 3）当线段AM 最短时，求重叠部分的面积．

3、阅读材料：

例：说明代数式 22x 1(x 3)4++-＋的几何意义，并求它的最小值．

解： 222222x 1(x 3) 4 (x 0)1(x 3)2++-+=-++-+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则22(x 0)1-+可以看成点P 与点A （0，1）的距离，22(x 3)2-+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA ＋PB 的最小值． 设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA ＋PB 的最小值，只需求PA′＋PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′＋PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=32，即原式的最小值为32。 根据以上阅读材料，解答下列问题：

（1）代数式22(x 1)1(x 2)9-++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B 的距离之和．（填写点B 的坐标）

（2）代数式 22x 49x 12x 37++-+的最小值为

4．如图1，抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中点E 的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线PQ 上的一动点，则x 轴上师范存在一点H ，使D 、G 、H 、F 四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 轴的垂线，垂足为点M ，过点M 作MN∥BD，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM∽△BMD。若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。

图1

A

B

x

y

O

D

C

图2 A

B

y

O

D C

P Q

E

F 图3

A

B

y

O

D

C