112弧度制和弧度制与角度制的换算

270o
360o
弧 3 度4
5
6

3 2
2
思考6：在弧度制下，角的集合与实数集R之间可
以建立一个一一对应关系，这个对应关系 是如何理解的？
正角
对应角的
正实数 弧度数
零角 负角
零 负实数
角的弧度数
实数集R
角度制与弧度制的比较
①、弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度， 角度制是以“度”为单位度量角的制度；
将圆周分成360等份，每一段圆弧所 对的圆心角就是1°的角.
思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所
对的圆弧长如何计算？ l 2r n
360
用度作单位来度量角的制度叫做角度 制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
设 n0，OM1 r1，OM 2 r2
⑶终边相同的角有无数个
S | k 360 , k Z
2).坐标轴上的角的集合
角
终边在x轴上的角: S 终边在y轴上的角: S
| k 180 , k Z | k 180 90 , k Z
S 1lr 1 r2
2
2
其中l是扇形弧长，r是圆的半径
典例解析
例2:在半径为R的圆中，240º的圆心角
所对的弧长为
，面积为2R2的
扇形的圆心角等于
弧度。
解:(1)240º= 4 ，根据l=αR，得 l 4 R
3
3
(2)根据S= 1 lR= 1αR2，且S=2R2
22
4
典例解析
例3：已知扇形的周长为8cm，圆心角为2 弧度，求该扇形的面积.
解：设扇形的半径为r，弧长为l，则有
C
L=2r
2r l l 2r
,
8,
解得rl

2 4
故扇形的面积为S 1 rl 4(cm2 ). 2
2rad
A O
课堂检测
1、在已知圆内，1rad的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆
形面积是________________.
使用弧度制，写出各象限角的集合:
第一象限角的集合:
{ | 2k


2k
,k Z}
第二象限角的集合: 2
{ | 2k 2k , k Z}
2
第三象限角的集合:
{ | 2k


3

2k
,k
180
n
n0 __1_80__ rad
巩固练习
今后用弧度制表示角时，“弧度”二字 或“rad”通常略去不写，而只写该角所 对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角.
课本P11 A 2
角度制与弧度制互换:
(2)将弧度化为角度：
2 360 180
1rad (180) 57.30 5718'


终边在坐标轴上的角:
S

| k 90 ,
kZ
3).象限角的集合
90


S
| k 360
k 360
90 ,
kZ
2).第二象限角 90 180

S | k 360 90 k 360 180 , k Z 角3).第三象限角 180 270
1
心角所对的弧长为 2.半径为10的圆中,
4
s in 1
的圆心2角所对的弧长( A
)
3
A. 40
3
B. 20
3
C . 200
3
D. 400
3
3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的
边长, 则其圆心角的弧度数为( C )
A.
3
B. 2
3
C. 3
D.2
4.圆的半径是6, 则15的圆心角与圆弧围成的扇
半径OA，绕圆心顺时针旋转到
OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB
的大小为多少弧度？
2r A
－2rad.
r
B
O
角度制与弧度制互换:
(1)将角度化为弧度：
因为半径为 r的圆周长为 2r,所以周角的 弧度数是 2r 2
r
360 2 rad 180 rad
1 rad 0.01745

180n
n _____ 0
巩固练习
课本P11 A 3
典例解析
例1 填空:
(1) 100 0
(2) 600 0
(3) 17
12
(4) 5
8
特殊角的弧度:
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
0

6

4
2
323
角 度
135o
150o
180o
Z}
第四象限角的集合:
2
{ | 3 2k 2 2k , k Z}
2
如图,已知角的终边区域, 求出角的范围.
y

0 (1)
4
x

|
2


4
2
2
y

( )

0 4x
(2)


|


4




2
( )



S

| k 360
180
k 360
270 ,
kZ
4).第四象限角 270 360

S | k 360 270 k 360 360 , k Z

提出问题： 思考1：在平面几何中，1°的角是怎样 定义的？
弧M
1
N1和M
2
N
的
2
长
分别为l1和l2
因为：l n 2r nr
360 180
所以：l1 l2 n
r1 r2 180
这就启示我们： 可以用圆的半径作单位去度量弧
思考3：如图，我们规定：把长度等于半
径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角， 记作1rad，读作1弧度. 那么，1弧度圆 心角的大小与所在圆的半径的大小是否


|
2


2


2
( )

8、第二象限内的角；


|
2


2



2

( )

9、第三象限内的角；


| 2



2

3
2
( )

10、第四象限内的角；


|
2

3
2
2 2
( )
②、1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角
的大小1， 而 是圆1的 所对的圆心角的大小；
360
③、不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．
弧度与角度不能混用．
弧长及扇形面积公式:
(1)弧长公式： l r
看课本例4,做 A 5
(2)扇形面积公式: 看课本例5
150018002100 2250 24002700 3000 3300
5 7 5 4 3 5 11
6
6
4
32 36
例3 写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：
1、 终边与X轴正半轴重合； | 2 ( )
2、 终边与X轴负半轴重合；
| 2 ( )
(1)理解弧度制的概念; (2)熟练进行角度制与弧度制的换算; (3)能应用弧长公式与扇形面积公式解 决有关问题.
复习回顾
1、角的分类:
正角--- 逆时针方向旋转所成角
角 零角--- 不作任何旋转所成角

负角--- 顺时针方向旋转所成角
2、角的表示:
注意：⑴k∈ Z ⑵α任意
1)终边相同的角的集合
有关？为什么？
l = 2pr ?n 360
r
A
B
1rad r
O
思考4：如果半径为r的圆的圆心角α 所 对的弧长为l，那么，角α 的弧度数的绝 对值如何计算？
l
r
l r (弧长计算公式)
思考5：约定：正角的弧度数为正数，负角
的弧度数为负数，零角的弧度数
为0.如果将半径为r的圆的一条
3、 终边与X轴重合； | ( )
4、
终边与Y轴正半轴重合；
|
2

2
( )

5、 终边与Y轴负半轴重合；


|


2

3
2
( )

6、 终边与Y轴重合；


|





2
( )

7、第一象限内的角；

【总一总★成竹在胸】
1. 什么叫1弧度角? 2. “角度制”与“弧度制”的联系与区 别． 3、角度制与弧度制互化。 4.能应用弧长公式与扇形面积公式解决 有关问题.
150 300 450 600 750 900 1200 1350
5 2 3
12 6 4 3 12 2 3 4