基本不等式复习课
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答案：
1.B 2.A 3.B 4.D 5.B 6.B 7.y ≥4 8. 3+2 2 9.(1)x=1时取最小值为9，（2）y的最大值为 1 10.（1）最大值为 2 2 （2）最小值为 3+2 2 12 11. 长为100米，宽为 200 米
批改情况
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
当且仅当x 1= 4 即x 1时等号成立y取最小值为9 x 1
若0<x<1则f(x)=x3 3x 取得最大值时x的值为B
( A) 1 2
(C) 3 4
(B) 1 2
(D) 2 3
已知x, y为正实数，且 1 1 1,求2x y的最小值. xy
3+2 2 方法指导：利用均值不等式求最值时，注意一正二 定三相等，和定积最大，积定和最小。
2
2
a b ab 1 lg a lg b lg a *lg b
2
2
Βιβλιοθήκη Baidu
a b等号取不到
R>Q>P
答案：B
利用基本不等式求最值
[例 2]（学案 3）
若a,b R，且a+b=3,则2a +2b的最小值是（）
A6
B4 2
C2 2
D2 6
解析：因2a 0,2b 02a +2b 2 2a *2b 2* 2 2 4 2 答案B
人 3 2 15 11 18 10 2 4 22 10 26 数
利用基本不等式比较大小
[例 1]．（学案 5）
若a b 1, P
A R P Q
lg a *lg b,Q 1 lg a lg b, R lg a b ,则
2
2
BP Q R
CQ P R
D P R Q
解析：由题意知P lg a *lg b，Q 1 lg a lg b lg ab, R lg a b
4.利用均值定理求最值
ab (a b)2 2
(1)如果两个正数的积是定值，那么它们的
_和___有最小值（简记：积为定值和有最小值）
(2)如果两个正数的和是定值，那么它们的积
有最__大__ 值（简记：和为定值积有最大值 ）
注意： “一_正___，二_定____，三相__等_____”
四、课前自测
延伸·拓展
（2011重庆）已经a>0,b>0,a+b=2,则y= 1 + 4的最小值是(C ) ab
(A)7
B4
2
C 9
D5
2
(2009天津)设x,y R,a>1,b>1,若ax =by =3,a+b=2 3,则 1 1 的最大值为( C ) xy
A2
B 3
2
C 1
D 1
2
五、小结
变形：
ab 2
例3 (学案9)
(1)已知0<x< 1 ,求函数y=x 1-3x的最大值.
3
(2)求函数y x 5 x 2 (x 1)的最小值，并求出相应的x值
x 1
解析 :1、y=x 1-3x = 1 *3x 1-3x 因0<x< 1 0<3x<1 1-3x>0
3
3
y 1 (3x 1 3x)2 1
基本不等式
高二文科数学组
一、考纲点击
1.了解均值不等式的证明过程；
2．会用基本不等式解决简单的最大（小）值 问题；
考情分析：基本不等式是历年高考必考内容 之一，主要是选择题、填空题的形式出现， 难度为中低档题，若出现证明题难度也不会 太大。
二、命题方向
1.利用基本不等式比较大小 ； 2.利用基本不等式求最值； 3.基本不等式的实际应用; 重点：利用基本不等式求最值。 难点：基本不等式的实际应用。
常用方法：拆、凑、拼、代换、平方
基本不等式的实际应用
[例 4]（学案 11） 某学校拟建一块周长为 400 米的操场，操 场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区 域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和 宽？
解：设长为x宽为y
2x+ y=400
0<x<200
a b 2 ab
ab (a 0,b 0)
ab (a b)2 2
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足 的三个条件：一正二定三相等． “一正”就是各项必须为正数． “二定”就是要求和的最小值，积必须为定 值；要求积的最大值，和必须为定值． “三相等”当且仅当a=b时等号成立.
作业
1、《高中课程新学案》P72自我测评 2、《五年高考三年模拟》相关题目（选作）
三、知识回顾
1.重要不等式：对于a,b R,有a2 +b2
2ab,
(当且仅当 a b时，等号成立。)
2.基本不等式：如果 a 0,b 0 ，那么a b
ab
2
(当且仅当a b 时，等号成立。)
3.公式变形:
如果a 0，b 0,那么a b ab 2
变形： a b 2 ab
0<y< 400
矩形面积为S=xy
因x 0, y 0
2
S
2x
2
y
2
S 20000 当且仅当2x= y即长为100米，宽为 200 米时
做操区域最大为 20000 平方米
规律方法：均值不等式实际应用的特点：
❖（1）认真阅读，从中提炼出有用信息，建 立数学模型，转化为数学问题求解。
❖ （2）当运用均值不等式求最值时，若等号成 立的自变量不在定义域时，就不能使用均值 不等式求解，此时可根据变量的范围用对应 函数的单调性求解。
32
12
当且仅当3x 1 3x即x 1 时等号成立 y的最大值为 1
6
12
2、y x 5 x 2 x2 x 6x 6 4 x 6 4 x 1 4 5
x 1
x 1
x 1
x 1
因x 1 x 1 0, 4 0 x 1
y 2 (x 1)( 4 ) 5=4+5 9 x 1
1.B 2.A 3.B 4.D 5.B 6.B 7.y ≥4 8. 3+2 2 9.(1)x=1时取最小值为9，（2）y的最大值为 1 10.（1）最大值为 2 2 （2）最小值为 3+2 2 12 11. 长为100米，宽为 200 米
批改情况
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
当且仅当x 1= 4 即x 1时等号成立y取最小值为9 x 1
若0<x<1则f(x)=x3 3x 取得最大值时x的值为B
( A) 1 2
(C) 3 4
(B) 1 2
(D) 2 3
已知x, y为正实数，且 1 1 1,求2x y的最小值. xy
3+2 2 方法指导：利用均值不等式求最值时，注意一正二 定三相等，和定积最大，积定和最小。
2
2
a b ab 1 lg a lg b lg a *lg b
2
2
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a b等号取不到
R>Q>P
答案：B
利用基本不等式求最值
[例 2]（学案 3）
若a,b R，且a+b=3,则2a +2b的最小值是（）
A6
B4 2
C2 2
D2 6
解析：因2a 0,2b 02a +2b 2 2a *2b 2* 2 2 4 2 答案B
人 3 2 15 11 18 10 2 4 22 10 26 数
利用基本不等式比较大小
[例 1]．（学案 5）
若a b 1, P
A R P Q
lg a *lg b,Q 1 lg a lg b, R lg a b ,则
2
2
BP Q R
CQ P R
D P R Q
解析：由题意知P lg a *lg b，Q 1 lg a lg b lg ab, R lg a b
4.利用均值定理求最值
ab (a b)2 2
(1)如果两个正数的积是定值，那么它们的
_和___有最小值（简记：积为定值和有最小值）
(2)如果两个正数的和是定值，那么它们的积
有最__大__ 值（简记：和为定值积有最大值 ）
注意： “一_正___，二_定____，三相__等_____”
四、课前自测
延伸·拓展
（2011重庆）已经a>0,b>0,a+b=2,则y= 1 + 4的最小值是(C ) ab
(A)7
B4
2
C 9
D5
2
(2009天津)设x,y R,a>1,b>1,若ax =by =3,a+b=2 3,则 1 1 的最大值为( C ) xy
A2
B 3
2
C 1
D 1
2
五、小结
变形：
ab 2
例3 (学案9)
(1)已知0<x< 1 ,求函数y=x 1-3x的最大值.
3
(2)求函数y x 5 x 2 (x 1)的最小值，并求出相应的x值
x 1
解析 :1、y=x 1-3x = 1 *3x 1-3x 因0<x< 1 0<3x<1 1-3x>0
3
3
y 1 (3x 1 3x)2 1
基本不等式
高二文科数学组
一、考纲点击
1.了解均值不等式的证明过程；
2．会用基本不等式解决简单的最大（小）值 问题；
考情分析：基本不等式是历年高考必考内容 之一，主要是选择题、填空题的形式出现， 难度为中低档题，若出现证明题难度也不会 太大。
二、命题方向
1.利用基本不等式比较大小 ； 2.利用基本不等式求最值； 3.基本不等式的实际应用; 重点：利用基本不等式求最值。 难点：基本不等式的实际应用。
常用方法：拆、凑、拼、代换、平方
基本不等式的实际应用
[例 4]（学案 11） 某学校拟建一块周长为 400 米的操场，操 场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区 域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和 宽？
解：设长为x宽为y
2x+ y=400
0<x<200
a b 2 ab
ab (a 0,b 0)
ab (a b)2 2
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足 的三个条件：一正二定三相等． “一正”就是各项必须为正数． “二定”就是要求和的最小值，积必须为定 值；要求积的最大值，和必须为定值． “三相等”当且仅当a=b时等号成立.
作业
1、《高中课程新学案》P72自我测评 2、《五年高考三年模拟》相关题目（选作）
三、知识回顾
1.重要不等式：对于a,b R,有a2 +b2
2ab,
(当且仅当 a b时，等号成立。)
2.基本不等式：如果 a 0,b 0 ，那么a b
ab
2
(当且仅当a b 时，等号成立。)
3.公式变形:
如果a 0，b 0,那么a b ab 2
变形： a b 2 ab
0<y< 400
矩形面积为S=xy
因x 0, y 0
2
S
2x
2
y
2
S 20000 当且仅当2x= y即长为100米，宽为 200 米时
做操区域最大为 20000 平方米
规律方法：均值不等式实际应用的特点：
❖（1）认真阅读，从中提炼出有用信息，建 立数学模型，转化为数学问题求解。
❖ （2）当运用均值不等式求最值时，若等号成 立的自变量不在定义域时，就不能使用均值 不等式求解，此时可根据变量的范围用对应 函数的单调性求解。
32
12
当且仅当3x 1 3x即x 1 时等号成立 y的最大值为 1
6
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2、y x 5 x 2 x2 x 6x 6 4 x 6 4 x 1 4 5
x 1
x 1
x 1
x 1
因x 1 x 1 0, 4 0 x 1
y 2 (x 1)( 4 ) 5=4+5 9 x 1