有理数的概念--教案+例题+习题

有理数的概念

一、目标认知

学习目标：

了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数表示相反意义的量。掌握一个数的相反数的求法和性质，学习使用数轴，借助数轴理解相反数的几何意义，会借助数轴比较有理数的大小。掌握一个数的绝对值的求法和性质，进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义。

重点：

有理数的概念及其分类，相反数的概念及求法，绝对值的概念及求法，数轴的概念及应用；有理数比较大小

难点：

绝对值的概念及求法，尤其是用字母表示的时候的意义。运用数轴理解绝对值的几何意义。有理数比较大小的方法的掌握。

二、知识要点梳理

知识点一：负数的引入

要点诠释：

正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6℃和零下6℃等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。

用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

知识点二：正数和负数的概念

要点诠释：

（1）像3、1.5、、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。

（2）像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。负数比0小。

（3）零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。

注意：

（1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号，

例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋。

（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。

例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数，

若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0；

当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。

知识点三：有理数的有关概念

要点诠释：

1、有理数：整数和分数统称为有理数。

注：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。

但是本节中的分数不包括分母是1的分数。

（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。

（3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。

2、整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、

3、0、－1、－2、－3等等。

3、分数包括正分数和负分数，例如：、、0.6、－、－、－0.6等等。

知识点四：有理数的分类

要点诠释：

1、按整数、分数的关系分类：

2、按正数、负数与0的关系分类：

注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a＞0表明a是正数；a＜0表明a是负数；a0表明a是非负数；a0表明a是非正数。

知识点五：数轴的概念

要点诠释：

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴

数轴的定义包含三层含义：（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；（2）数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；（3）原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。

知识点六：数轴的画法

要点诠释：

1、画一条直线（一般画成水平的直线）。

2、在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。

3、确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。

4、选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3……

注：（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；

（2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点，从原点向右，依次表示为2，4，6，……；从原点向左，依次表示为－2，－4，－6，……；

知识点七：数轴上的点与有理数的关系

所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，反过来，不能说数轴上所有的点都表示

有理数。

要点诠释：

正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。

知识点八：利用数轴比较有理数的大小

要点诠释：

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。

知识点九：相反数的概念

1、相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

2、相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

要点诠释：

（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同；（2）相反数是数，不是量；（3）相反数是成对出现的。

知识点十：相反数的表示方法

要点诠释：一般地，数a的相反数是－a。这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数、或者0。

知识点十一：多重符号的化简

把多重符号化成单一符号，如果是正号，则可以省略不写，实际上，多重符号的化简是由“-”的个数来定，若“-”个数为偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若“-”个数为奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 。

要点诠释：

1、在一个数的前面添上一个“＋”号，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。

2、在一个数的前面添上一个“－”号，就成为原数的相反数。如－(－3)就是－3的相反数，因此，－(－3)＝3。

知识点十二：绝对值的概念

要点诠释：

1、绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作“”

2、绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即

知识点十三：两个负数大小的比较

要点诠释：

因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小。比较两个负数大小的方法是：一、先分别求出