有理数的概念--教案+例题+习题

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有理数的概念教案例题习题

有理数的概念教案例题习题

有理数的概念-教案例题习题教案章节:一、有理数的定义与分类二、有理数的加法与减法三、有理数的乘法与除法四、有理数的乘方五、有理数的混合运算一、有理数的定义与分类1. 概念讲解:有理数是可以表示为两个整数比例的数,其中分子和分母都是整数,分母不为零。

2. 案例分析:分析几个具体的有理数案例,如2/3, -5/4等,解释它们是有理数的原因。

3. 习题练习:b. 找出下列有理数的相反数:2/5, -7/8二、有理数的加法与减法1. 概念讲解:有理数的加法是将两个有理数的分子相加,分母保持不变;有理数的减法则是将减数的分子取相反数后相加。

2. 案例分析:分析几个具体的有理数加法和减法案例,如2/3 + 1/4, -5/6 2/3等,解释运算过程。

3. 习题练习:三、有理数的乘法与除法1. 概念讲解:有理数的乘法是将两个有理数的分子相乘,分母相乘;有理数的除法则是将除数的分子乘以倒数,再与被除数的分子相乘,分母相乘。

2. 案例分析:分析几个具体的有理数乘法和除法案例,如2/3 ×4/5, -5/6 ÷2/3等,解释运算过程。

3. 习题练习:四、有理数的乘方1. 概念讲解:有理数的乘方是指将一个有理数自乘若干次,其中指数表示自乘的次数。

2. 案例分析:分析几个具体的有理数乘方案例,如2^3, (-3/4)^2等,解释运算过程。

3. 习题练习:五、有理数的混合运算1. 概念讲解:有理数的混合运算是指在一个表达式中包含有理数的加减乘除和乘方等运算。

2. 案例分析:分析几个具体的混合运算案例,如2/3 + 1/2 ×3/4, -5/6 ÷(-2/3) ×(-1/2)^2等,解释运算过程。

3. 习题练习:六、有理数的应用-比例与比例尺1. 概念讲解:比例是两个有理数的比较,比例尺是地图上距离与实际距离的比。

2. 案例分析:通过实际案例,如购物时打折的比例计算,地图上的距离与实际距离的换算等,解释比例和比例尺的计算方法。

有理数的概念教案例题习题

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有理数的概念-教案例题习题第一章:有理数的概念与分类1.1 教学目标:了解有理数的定义及特点掌握有理数的分类方法能够正确识别各种有理数1.2 教学内容:有理数的定义及特点有理数的分类:整数、分数整数的分类:正整数、零、负整数分数的分类:正分数、负分数1.3 教学方法:采用讲解、案例分析、小组讨论等方式进行教学1.4 教学步骤:1. 引入话题:讨论日常生活中遇到的数,如身高、体重、温度等,引出有理数的概念2. 讲解有理数的定义及特点,如有限小数、无限循环小数等3. 讲解有理数的分类方法,并通过案例分析让学生理解并掌握4. 进行小组讨论,让学生分享自己对有理数的理解和分类方法5. 通过习题练习,巩固学生对有理数概念的理解1.5 教学评价:通过课堂提问、习题练习等方式评估学生对有理数概念的理解程度第二章:有理数的运算2.1 教学目标:掌握有理数的加、减、乘、除运算方法能够正确进行有理数的混合运算2.2 教学内容:有理数的加法、减法、乘法、除法运算方法有理数的混合运算顺序及运算法则2.3 教学方法:采用讲解、案例分析、小组讨论等方式进行教学2.4 教学步骤:1. 复习有理数的概念和分类,引出有理数的运算2. 讲解有理数的加、减、乘、除运算方法,并通过案例分析让学生理解并掌握3. 讲解有理数的混合运算顺序及运算法则,并通过案例分析让学生理解并掌握4. 进行小组讨论,让学生分享自己对有理数运算的理解和方法5. 通过习题练习,巩固学生对有理数运算的掌握程度2.5 教学评价:通过课堂提问、习题练习等方式评估学生对有理数运算的理解程度第三章:有理数的性质3.1 教学目标:掌握有理数的性质,如相反数、倒数、绝对值等能够运用有理数的性质解决实际问题3.2 教学内容:有理数的性质:相反数、倒数、绝对值、乘方等3.3 教学方法:采用讲解、案例分析、小组讨论等方式进行教学3.4 教学步骤:1. 复习有理数的概念、分类和运算,引出有理数的性质2. 讲解有理数的相反数、倒数、绝对值等性质,并通过案例分析让学生理解并掌握3. 讲解有理数的乘方运算方法,并通过案例分析让学生理解并掌握4. 进行小组讨论,让学生分享自己对有理数性质的理解和运用方法5. 通过习题练习,巩固学生对有理数性质的掌握程度3.5 教学评价:通过课堂提问、习题练习等方式评估学生对有理数性质的理解程度第四章:有理数的应用4.1 教学目标:能够运用有理数解决实际问题,如长度、面积、体积等计算能够运用有理数进行简单的金融计算,如利息、折扣等4.2 教学内容:有理数在实际问题中的应用,如长度、面积、体积等计算有理数在金融计算中的应用,如利息、折扣等计算4.3 教学方法:采用讲解、案例分析、小组讨论等方式进行教学4.4 教学步骤:1. 复习有理数的概念、分类、运算和性质,引出有理数的应用2. 讲解有理数在实际问题中的应用方法,如长度、面积、体积等计算,并通过案例分析让学生理解并掌握3. 讲解有理数在金融计算中的应用方法,如利息、折扣等计算,并通过案例分析让学生理解并掌握4. 进行小组讨论,让学生分享自己对有理数应用的理解和运用方法5. 通过习题练习,巩固学生对有理数应用的掌握程度4.5 教学评价:通过课堂提问、习第五章:有理数的综合练习5.1 教学目标:巩固对有理数的概念、分类、运算、性质的理解提高解决实际问题的能力5.2 教学内容:综合练习题,涵盖有理数的概念、分类、运算、性质等知识点5.3 教学方法:采用讲解、案例分析、小组讨论等方式进行教学5.4 教学步骤:1. 复习有理数的概念、分类、运算、性质,强调重点和难点2. 发放综合练习题,让学生独立完成3. 讲解练习题,解答学生的疑问4. 进行小组讨论,让学生分享自己的解题思路和方法5. 通过习题练习,巩固学生对有理数的综合掌握程度5.5 教学评价:通过课堂提问、习题练习等方式评估学生对有理数的综合理解程度第六章:有理数与无理数的区别6.1 教学目标:理解有理数和无理数的概念掌握有理数和无理数的区别6.2 教学内容:有理数和无理数的定义有理数和无理数的性质有理数和无理数的区别6.3 教学方法:采用讲解、案例分析、小组讨论等方式进行教学6.4 教学步骤:1. 引入有理数和无理数的概念,让学生了解它们的存在2. 讲解有理数和无理数的性质,并通过案例分析让学生理解并掌握3. 讲解有理数和无理数的区别,并通过案例分析让学生理解并掌握4. 进行小组讨论,让学生分享自己对有理数和无理数区别的理解5. 通过习题练习,巩固学生对有理数和无理数的掌握程度6.5 教学评价:通过课堂提问、习题练习等方式评估学生对有理数和无理数的理解程度第七章:无理数的概念与性质理解无理数的概念掌握无理数的性质7.2 教学内容:无理数的定义无理数的性质无理数的应用7.3 教学方法:采用讲解、案例分析、小组讨论等方式进行教学7.4 教学步骤:1. 引入无理数的概念,让学生了解无理数的存在2. 讲解无理数的性质,并通过案例分析让学生理解并掌握3. 讲解无理数的应用,如圆的周长、面积等,并通过案例分析让学生理解并掌握4. 进行小组讨论,让学生分享自己对无理数性质的理解和运用方法5. 通过习题练习,巩固学生对无理数的掌握程度7.5 教学评价:通过课堂提问、习题练习等方式评估学生对无理数的理解程度第八章:无理数的运算8.1 教学目标:掌握无理数的运算方法能够正确进行无理数的混合运算无理数的加法、减法、乘法、除法运算方法无理数的混合运算顺序及运算法则8.3 教学方法:采用讲解、案例分析、小组讨论等方式进行教学8.4 教学步骤:1. 复习无理数的概念和性质,引出无理数的运算2. 讲解无理数的加法、减法、乘法、除法运算方法,并通过案例分析让学生理解并掌握3. 讲解无理数的混合运算顺序及运算法则,并通过案例分析让学生理解并掌握4. 进行小组讨论,让学生分享自己对无理数运算的理解和方法5. 通过习题练习,巩固学生对无理数运算的掌握程度8.5 教学评价:通过课堂提问、习题练习等方式评估学生对无理数运算的理解程度第九章:无理数在实际中的应用9.1 教学目标:能够运用无理数解决实际问题,如圆的周长、面积等计算9.2 教学内容:无理数在实际问题中的应用,如圆的周长、面积等计算9.3 教学方法:采用讲解、案例分析、小组讨论等方式进行教学9.4 教学步骤:1. 复习无理数的概念和性质重点和难点解析1. 有理数的概念与分类:理解有理数的定义及特点,掌握有理数的分类方法。

有理数的概念期中复习教学案例和课后练习

有理数的概念期中复习教学案例和课后练习

期中复习 第二章 有理数 1.有理数的概念班级:____________ 姓名:____________ 学号:____________ 评价:________【随堂练习】1、收入200元记作+200,那么-100表示_____________________2、2、)2(--, 3.5 , 54, -.35, 5.2-- , 22-,0 这些数中 正数有________________ 负数有___________分数有__________________整数有_______________________非正整数____________________,非负整数有_________________3、下面给出四条数轴,有错误的有 ( )4, 221, -|-4|, 0,3.55、 在数轴上,原点右边的点表示______,左边的点表示______.6、正数的绝对值是________,负数的绝对值是______,零的绝对值是_____绝对值最小的数是_______绝对值等于本身的是______绝对值是其相反数的是_______ 2-的相反数是____ 若x =5,那么x=_____7、用“﹤”“﹥”或“=”填空:-6 6,-1 -10 ,-︱-0.4︱ (-4) 8、=--)3( , 3--= ,2)3(-= , 23-=2)32(= 322= 2)32(-= 10科学记数法表示250 200 000 00011、把101022.1⨯还原成原数为 .12、若2-x +2)5(-y =0,求2y【课后巩固】1、检查商店出售的袋装白糖,白糖加袋按规定重g 503,一袋白糖重g 502,就记作g 1-,如果一袋白糖重g 506,应记作 。

2、地图上标有甲、乙、丙三地的海拔高度分别为米米、米、2003001886--+, 其中最低处是 地,最高处是 地,它们相差 。

3、在数轴上表示5-的点与表示的点的距离是 ,表示5-的点与表示1的点的距离是 ,原点与表示 点的距离是2.5。

1-1有理数及相关概念、测试

1-1有理数及相关概念、测试

有理数及其相关概念一、有理数的定义和性质(一)有理数的定义1、整数和分数统称为有理数。

有理数的分类:2、能够表示成一个既约分数mn (m 、n 都是整数,且m 、n 互质)的数叫有理数(有理数又叫可比数);(二)有理数的性质1、有序性:任意两个有理数a 、b ,在,,a b a b a b >=<三种关系中,有且只有一个成立 。

2、封闭性:任何两个有理数的和、差、积、商(0不是除数)还是有理数。

3、稠密性:任何两个有理数之间都有无数个有理数。

例1、将下列循环小数化成分数。

(1)0.2 (2)0.6- (3)0.25 (4)0.34- (5)321.0 -例2、说明:边长为1的正方形的对角线不是有理数。

二、有理数的相关概念(一)数轴:(二)相反数:(三)绝对值:数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值,记做a . 正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。

例3、(1)指出数轴上A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数.(2)已知点A 在数轴上对应的有理数为a ,将A 向左移4个单位长度后,再向右移动1个单位长度得到点B ,点B 对应的数为5.3-,则有理数=a ________.例4、化简下列各数:(1))];([a --- (2))]};([{m +-+- (3))];([y x --- (4))].([b a +-+例5、如果a 是一个不等于1-的负整数,试用“<”连接a 、a 1、a -、a1-这几个数.例6、(1)已知2=a ,5=b ,且b a >,试求a ,b 的值.(2)若032=-++y y x ,试求y x 32+的值.例7、设a 、b 为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件?(1)||||||b a b a +=+;(2)||||||b a ab =;(3)||||a b b a -=-;(4)若b a =||,则b a =;(5)若||||b a <,则b a <;(6)若b a >,则||||b a >。

有理数知识点及典型例题

有理数知识点及典型例题

第1章:有理数知识点及典型例题(一)数的分类(强化记忆)⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数负整数负有理数负实数负分数负无理数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (按符号分) (按定义分、按性质分)注意点:(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数,都是有理数 (2)正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.(3)0即不是正数,也不是负数。

0是正数与负数的分界;0不仅表示没有,还表示某种量的基准。

如0不能理解为没有温度。

(4)初中范围内 数是指实数 正数是指正实数 负数是指负实数(5)对于正数和负数,不能简单理解为带“+”号的数是正数,带“—”号的数是负数误认为凡带正号的数就是正数,误认为凡带负号的数就是负数例-a 不一定是负数,+a 也不一定是正数;(6)π不是有理数,而是无理数;(7)非负整数应理解成“非负的整数”,不能理解成“‘非'负整数”,即正整数与零。

{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数例1、把下列各数填在相应的集合里5,-2,4.6,,0,-2.25,1,+0.34,+13,-3.1416,整数集合{ 5,-2,0,+13,…}非负整数集合{5,0,+13,… }负分数集合{,-2.25, -3.1416,…}正有理数集合{5, 4.6,1,+0.34,+13,}例2:一种商品的标准价格是200元,但是随着季节的变化商品的价格可浮动±10%,(1)±10%的含义是什么?(2)请你计算出该商品的最高价格和最低价格。

81.期末复习(有理数的概念).doc

81.期末复习(有理数的概念).doc

115,(1),1,( 3.5),22------+-1.2 有理数【目标导航】1.进一步加深对有理数的理解、并将有理数分类.2.会画数轴、并正确使用数轴。

3.理解相反数、绝对值的意义。

【要点梳理】知识点一:有理数的概念、及其分类;⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 知识点二:数轴及其应用;知识点三:相反数的意义; 知识点四:绝对值的意义。

【例题讲解】例1把下列各数填在相应的大括号里。

+8,0.275,-|-2|,0,-1.04,-(-10),0.1010010001…,-(-2)2,722,-31,+43,∙1.0正整数集合{ +8, -(-10), ……}整数集合{ +8,-|-2|,0, -(-10), -(-2)2, …} 负整数集合{ -|-2|, -(-2)2 …}正分数集合{ 0.275, 722,43,∙1.0 ……}例2.把下列各数及它们的相反数表示在数轴上。

解:例3.(1)如果一个数的平方等于它的倒数,那么这个是 1 ;(2)若a ,b 两数互为倒数,c,d 两数互为相反数,则2(c +d )2-3ab = -1 . (3)数轴上一对相反数所表示的两点之间的距离是8,它们到表示-2的点的距离各是 2或6 .(4)在足球循环赛中,红队胜黄队4:1,黄 队胜蓝队1:0,蓝队胜红队1:0,则黄队的净 胜球数为_____-2_______. (5)比较大小:)43(--<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-)54(,722- < -3.14. 例4 已知有理数a,b,c 在数轴上对应点如图化简||||2||a b c a a ++---。

解:a <0, b < 0, c>0原式= a +2(a-c )-(b+a), =b-2c例5若x y y x -=-||,且4||=x ,3||=y ,求2009)(y x +的值。

初一有理数的有关概念(含答案)

初一有理数的有关概念(含答案)

有理数的有关概念教学目的:1、了解正负数的概念和学习正负数的意义;2、掌握有理数的概念,会对有理数按一定标准进行分类,培养分类能力,了解分类的标准与集合的含义;3、掌握数轴概念,理解数轴上的点和有理数的对应关系、会正确地画出数轴,利用数轴上的点表示有理数;4、理解、掌握相反数的意义,掌握求一个已知数的相反数方法;5、理解、掌握绝对值概念.体会绝对值的作用与意义;掌握求一个已知数的绝对值和有理数大小比较的方法.教学重点:有理数的分类;相反数;绝对值。

教学难点:对负数概念的理解;绝对值的几何意义。

一、复习提问我们知道,数是人们在实际生产和生活需要中产生并不断扩充的.人们在数物体的个数时,用正整数1、2、3…表示,为表示没有物体或记数缺位而使用了“0”.测量和计算时不能得到整数的结果,为此出现了分数和小数.请同学们回忆一下:1.小学算术里我们还学过哪几种数?2.看下面例子里的数量,你能用算术中的数表示吗?本市某一天的最高温度是零上5℃,最低温度是零下5℃.总结:显然用算术中的数是不能正确表示上面题目中的数量.而像上面题目中虽然是同一种量,但意义相反的量在现实中大量存在.如盈余与亏损,前进与后退,上升与下降等.为此,我们要对学过的数进行扩充.二、新课讲解(一)正数与负数为了用数表示具有相反意义的量,我们把某种量的一种意义,如零上温度、前进、收入、上升、高出海平面等规定为正的,而把与它相反的一种意义,如零下温度、后退、支出、下降、低于海平面等规定为负的.正的量用算术里学过的数表示,负的量用算术里学过的数前面放上“-”(读作负)号来表示.如:零上5℃记作5℃(读作正5摄氏度).零下5℃记作-5℃(读作负5摄氏度).0既不是正数,也不是负数.几点说明:1、0既不是正数也不是负数,0是正数与负数的分界。

这样0不仅可以用来表示没有,也可以表示一个确定的量,例如0℃就不是没有温度的意思,0℃是一个确定的温度,海拔0表示海平面的平均高度,0的意义已不仅仅是表示没有。

有理数的概念教案教学设计

有理数的概念教案教学设计

《1.2.1 有理数的概念》教学设计教学内容分析本节课的内容是有理数的概念,是对所学习过的数的范围的一次扩充,并且是以后学习数轴、相反数、绝对值以及有理数运算的基础,因此在初中数学知识体系中,有理数就显得很重要。

学习者分析学生在此之前已经有自然数、整数、分数、小数、正数、负数的概念,引入有理数的概念,只是进一步加深学生对之间各类数的学习,从而对数有了一个更广扩的认识。

教学目标 1.理解有理数的意义;2.掌握有理数的分类。

教学重点理解有理数的概念。

教学难点掌握有理数的分类。

学习活动设计教师活动学生活动环节一:学习目标教师活动1:师出示学习目标:1.理解有理数的意义;2.掌握有理数的分类。

学生活动1:学生齐声读本课的学习目标活动意图说明:明确本节课的学习目标,使教师的教和学生的学有效结合在一起,激发学生的学习动力,提高学生课堂参与的兴趣与积极性。

环节二:新知导入教师活动2:问题1:正数是大于_______的数;负数是正数前加上符号_______的数;0既______正数,也______负数.答案:0,“-”(负),不是,不是问题2:有时,为了明确表达与负数的相反意义,在正数的前面也加上符号_____________号.学生活动2:学生积极回答老师出示的问题答案:“+”(正)问题3:如果一个问题中出现具有相反意义的量,就可以用____________分别表示它们. 答案:正数和负数活动意图说明:通过复习,引导学生巩固上节课所学习的知识,并为有理数的引入做好铺垫. 环节三:新知讲解 教师活动3:思考:在小学阶段和上一节中,我们认识了很多数。

回想一下,到目前为止,我们认识了哪些数? 预设1:正整数:如1,2,3,… 零:0负整数:如-1,-2,-3,…; 指出:正整数、零、负整数统称为整数预设2:正分数:如 12,23,157,0.1,5.32,0.3… 负分数:如-52,-23,-17, -0.5, -150.5,…引导:0.1=110,-0.5=−12, 0.3 = 13 ,事实上,有限小数和无限循环小数都可以化为分数,因此它们也可以看成分数。

有理数的概念知识点归纳及练习题

有理数的概念知识点归纳及练习题

有理数的概念知识梳理有理数的概念一、目标认知学习目标:了解正数、负数、有理数的概念,会用正数和负数表示相反意义的量;掌握一个数的相反数的求法和性质,学习使用数轴,借助数轴理解相反数的几何意义,会借助数轴比较有理数的大小;掌握一个数的绝对值的求法和性质,进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义;重点:有理数的概念及其分类,相反数的概念及求法,绝对值的概念及求法,数轴的概念及应用;有理数比较大小难点:绝对值的概念及求法,尤其是用字母表示的时候的意义;运用数轴理解绝对值的几何意义;有理数比较大小的方法的掌握;二、知识要点梳理知识点一:负数的引入要点诠释:正数和负数是根据实际需要而产生的,随着社会的发展,小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要,比如一些有相反意义的量:收入200元和支出100元、零上6℃和零下6℃等等,它们不但意义相反,而且表示一定的数量,怎样表示它们呢我们把一种意义的量规定为正的,把另一种和它意义相反的的量规定为负的,这样就产生了正数和负数;用正数和负数表示具有相反意义的量时,哪种意义为正,是可以任意选择的,但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正,而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负;知识点二:正数和负数的概念要点诠释:1 像3、1.5、、584等大于0的数,叫做正数,在小学学过的数,除0以外都是正数,正数比0大;2 像-3、-1.5、、-584等在正数前面加“-”读作负号的数,叫做负数;负数比0小;3 零既不是正数也不是负数,零是正数和负数的分界;注意:1为了强调,正数前面有时也可以加上“+”读作正号,例如:3、1.5、也可以写作+3、+1.5、+ ;2对于正数和负数的概念,不能简单理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数;例如:-a一定是负数吗答案是不一定;因为字母a可以表示任意的数,若a表示的是正数,则-a是负数;若a表示的是0,则-a仍是0;当a表示负数时,-a就不是负数了此时-a是正数;知识点三:有理数的有关概念要点诠释:1、有理数:整数和分数统称为有理数;注:1有时为了研究的需要,整数也可以看作是分母为1的数,这时的分数包括整数;但是本节中的分数不包括分母是1的分数;2因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化,上述小数都可以用分数来表示,所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数;3“0”即不是正数,也不是负数,但“0”是整数;2、整数包括正整数、零、负整数;例如:1、2、3、0、-1、-2、-3等等;3、分数包括正分数和负分数,例如:、、0.6、-、-、-0.6等等;知识点四:有理数的分类要点诠释:1、按整数、分数的关系分类:2、按正数、负数与0的关系分类:注:通常把正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数,正整数和0称为非负整数也叫做自然数,负整数和0统称为非正整数;如果用字母表示数,则a>0表明a是正数;a<0表明a是负数;a 0表明a是非负数;a 0表明a是非正数;知识点五:数轴的概念要点诠释:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴数轴的定义包含三层含义:1数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;2数轴有三要素——原点、正方向、单位长度,三者缺一不可;3原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是根据实际需要“规定”的通常取向右为正方向;知识点六:数轴的画法要点诠释:1、画一条直线一般画成水平的直线;2、在直线上选取一点为原点,并用这点表示零在原点下面标上“0”;3、确定正方向一般规定向右为正,用箭头表示出来;4、选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1,2,3……;从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为-1,-2,-3……注:1原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取;2确定单位长度时,根据实际情况,有时也可以每隔两个或更多的单位长度取一点,从原点向右,依次表示为2,4,6,……;从原点向左,依次表示为-2,-4,-6,……;知识点七:数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,反过来,不能说数轴上所有的点都表示有理数;要点诠释:正有理数可以用原点右边的点表示,负有理数可以用原点左边的点表示,零用原点表示;知识点八:利用数轴比较有理数的大小要点诠释:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数;知识点九:相反数的概念1、相反数的几何定义:在数轴上原点的两旁,到原点距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反数;2、相反数的代数定义:只有符号不同的两个数除了符号不同以外完全相同,我们说其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0;要点诠释:1“只”字是说仅仅是符号不同,其它部分完全相同;2相反数是数,不是量;3相反数是成对出现的;知识点十:相反数的表示方法要点诠释:一般地,数a的相反数是-a;这里a表示任意的一个数,可以是正数、负数、或者0;知识点十一:多重符号的化简把多重符号化成单一符号,如果是正号,则可以省略不写,实际上,多重符号的化简是由“-”的个数来定,若“-”个数为偶数个时,化简结果为正,如-{---4}=4 ;若“-”个数为奇数个时,化简结果为负,如-{+--4}=-4 ;要点诠释:1、在一个数的前面添上一个“+”号,仍然与原数相同,如+5=5,+-5=-5;2、在一个数的前面添上一个“-”号,就成为原数的相反数;如--3就是-3的相反数,因此,--3=3;知识点十二:绝对值的概念要点诠释:1、绝对值的几何定义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,数a的绝对值记作“ ”2、绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0;即知识点十三:两个负数大小的比较要点诠释:因为两个负数在数轴上的位置关系是:绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边,所以,两个负数,绝对值大的反而小;比较两个负数大小的方法是:一、先分别求出这两个负数的绝对值;二、比较这两个绝对值的大小;三、根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断;知识点十四:有理数大小的比较法则要点诠释:正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小;三、规律方法指导有理数与小学所学的数,主要区别在于负数;有理数可以用数轴上的点来表示,任何一个有理数都能在数轴上找到表示它的位置,而是唯一确定的点;数轴上的点可以表示三类数;在数轴上表示零的点称做原点,以这个点为界,正有理数正整数、正分数用原点右边的点来表示;负有理数负整数、负分数用原点左边的点来表示,这就说明,数轴是有方向的;由于数轴规定了方向,因而在数轴上排列着的数就是有顺序的;从左到右一个数比一个数大;即数轴上表示的数,右边的总比左边的大;在数轴上,原点左、右两边距离原点等远的点所表示的有理数,它们只有符号不同,这样的一对数称为互为相反数;如果数轴上的点只考虑它到原点的距离,而不考虑它的正、负方向的数,则表示这个有理数的绝对值;经典例题透析类型一:有理数分类的问题例1:请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里;1, 0.0708, -700, -3.88, 0,3.14159265, , .正整数集合:{ …} 负整数集合:{ …}整数集合:{ …}正分数集合:{ …}负分数集合:{ …}分数集合:{ …}思路点拨:这种关于有理数的分类问题,关键是要掌握各种数的概念;小学时所学的自然数就是正整数和零,进入中学,出现了负整数,而整数的范围就扩大到了正整数、零和负整数;有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式,因此,它们都是分数;解析:正整数:1;负整数:-700;整数:1,0,-700;正分数:0.0708,3.14159265, ;负分数:-3.88, ;分数:0.0708,3.14159265, ,-3.88,总结升华:有理数包括整数和分数,分数包含有限小数和无限循环小数,但须注意的是,不是所有的小数都是分数,比如π等;所以,我们也不能说小学学过的所有数都是有理数,还有一部分数不是有理数,那么这部分数我们将在今后学习研究;举一反三:变式1在数-100, 70.8, -7, π, -3.8, 0, , , 中,不是分数的是___________________;不是小数的是_____________;不是有理数的是______________;变式2下列四种说法,正确的是 .A所有的正数都是整数B不是正数的数一定是负数C正有理数包括整数和分数 D0不是最小的有理数类型二:正负数的概念例2:若把向北走7km记为-7km,则+10km表示的含义是A.向北走10kmB.向西走10kmC.向东走10kmD.向南走10km思路点拨:“正”和“负”相对,-7km表示向北走7km,则+10km表示向南走10 km.答案:D总结升华:在一对具有相反意义的量中,若先规定一个为正,则另一个就用负表示;若先规定一个为负,则另一个就用正表示;举一反三:变式1如果收入300元记作+300元,那么支出500元用___________ 表示,0元表示__________ . 2若购进50本书,用-50本表示,则盈利30元如何表示类型三:与数轴相关的问题例3: 数轴上有一点到原点的距离是5.5,那么这个点表示的数是 _________.思路点拨:到原点的距离等于5.5 的点既可以在原点左边,也可以在原点右边,因此这样的点有两个;解析:5.5或-5.5总结升华:与数轴相关的问题还有数轴的画法以及借助数轴来比较有理数的大小;例4:如右图所示,数轴的一部分被墨水污染了,被污染的部分内含有的整数为 _________.思路点拨:数轴上的点表示的数右边的比左边的大;因此,被污染的部分的数大于-1.3,小于2.6,再考虑这一范围内的整数即可;解析:-1,0,1,2总结升华:利用数轴解决问题是数形结合数学思想的的一个重要应用,要能由“形”看出“量”的一些关系;举一反三:变式1实数在数轴上表示如图所示,则下列结论错误的是A. B. C. D.变式2一个点从数轴的原点开始,先向右移动3个单位长度,再向左移动5个单位长度,则终点表示的数是______.变式3数轴上点A对应的数为-3,那么与A相距1个长度的点B所对应的数是_________.类型四:与相反数相关的问题例5:1 的相反数是_________,-3与_________互为相反数2 的相反数是________, 的相反数是________,的相反数是________.30的相反数是_________.4已知那么的相反数是________.已知 ,则a的相反数是________.思路点拨:1代数意义:只有符号不同的两个数互为相反数,特别地,O的相反数是0.相反数必须成对出现,不能单独存在.例如+5和-5互为相反数,或者说+5是-5的相反数,-5是+5的相反数,而单独的一个数不能说是相反数.另外,定义中的“只有”指除符号以外,两个数完全相同,注意应与“只要符号不同”区分开.例如+3与-3互为相反数,而+3与-2虽然符号不同,但它们不是相反数.2几何意义:一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧,并且到原点的距离相等.这两点是关于原点对称的.3求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“一”号即可.一般地,数a的相反数是-a;这里以a表示任意一个数,可以为正数、0、负数,也可以是任意一个代数式.注意-a 不一定是负数.注意:当a>O时,-a<0正数的相反数是负数;当a=O时,-a=O0的相反数是0;当a<0时, a>O 负数的相反数是正数.4互为相反数的两个数的和为零,即若a与b互为相反数,则a+b=0,反之,若a+b=O,则a与b 互为相反数.5多重符号的化简:一个正数前面不管有多少个“+”号,都可以全部去掉;一个正数前面有偶数个“-”号,也可以把“-”号全部去掉;一个正数前面有奇数个“-”号,则化简后只保留一个“-”号,既“奇负偶正”其中“奇偶”是指正数前面的“-”号的个数的奇偶数,“负正”是指化简的最后结果的符号.解析:1 ,3; 2m,--m+1,-m+1; 3 0 4 -9, 9总结升华:求相反数时,要紧紧抓住“只有符号不同”这一条件,即“符号不同而数字相同”的两个数;举一反三:变式11 一个数的相反数的倒数是-4,这个数是__________.2 如果与-3互为相反数,那么等于A. 3B. -3C.D.类型五:与绝对值相关的问题例6:的绝对值是________.思路点拨:1取绝对值也是一种运算,这个运算符号是“ ”,求一个数的绝对值,就是根据性质去掉绝对值符号.2绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0.3任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝对值,如:-5,符号是负号,绝对值是5.解析:总结升华:绝对值符号具有括号的功能,根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可举一反三:变式1已知∣x∣=4,∣y∣=6,求代数式∣x+y∣的值.有理数的概念课后练习一、选择题:1.若一个数的绝对值大于零,这个数一定是A正数 B任意有理数 C非零数 D负数2.在有理数中,下面说法正确的是A有最小的数 B有最大的数C没有最小的数,也没有最大的数 D以上答案都不对3.下面四句话中错误的是A负分数一定是负有理数 B分数中除正分数就是负分数Ca的相反数是-a D有理数中除了正数就是负数4.下列说法正确的是A带有“-”的数是负数 B任何数的绝对值都是正C任何负数都小于它的相反数D一个数的相反数一定是负数5.一个数的绝对值一定是A正数B负数C非正数D非负数6.有理数a,b,c在数轴上的位置如图,下列结论错误的是Ac<b<a Ba-b>0Cb<0,c<0 Dc>b7、下列说法中,正确的是A、一个数不是正数就是负数;B、正有理数和负有理数组成全体有理数;C、零是最小的有理数;D、零既不是正数,也不是负数,但零是整数8、下列说法中,正确的是A、非负有理数就是正有理数;B、零表示没有,不是有理数;C、正整数和负整数统称为整数;D、整数和分数统称为有理数9、下面两个数互为相反数的是A、12和0.2 B、13和-0.333 C、-2.75和324 D、9和--910、一个数的绝对值大于它本身,那么这个数是A、正有理数B、负有理数C、零D、不可能11、a是一个有理数,那么-aA、负数;B、正数;C、零;D、以上都可能;12、已知数轴上表示-2和-101的两个点分别为A,B,那么A,B两点间的距离等于A99 B100 C102 D10313、数轴上原点及左边的点表示的数是A、负数;B、正数;C、非负数;D、非正数;14、“互为相反数”是指A、一个正数,一个负数;B、一个数前面添加上“-”号所得的数;C、数轴上原点两旁的两个点所表示的两个数;D、只有符号不同的两个数,且0的相反数是0;15、如果a+b=0,那么一定有A、a=0且b=0 ;B、a=0或b=0 ;C、a、b异号;D、a、b互为相反数;16、以下四个推理中,正确的是A、如果|a|=|b|,那么a=b;B、如果|a|=b, 那么a=b;C、如果a=-b,那么|a|=|b|;D、如果|a|=b,那么a=-b;二.填空题:1.-2.5的相反数是______________,绝对值是______________;2.最小的正整数是____________,最大的负整数是____________,绝对值最小的数是____________;3.在有理数-3,0, , ,3.1416,--7, , 中,属于负数集的是________,属于正分数集的是______________,属于整数集的是______________4.|-7|=______________, | |=π;5.化简---2002= ____________,--3.14=____________, __________;6.a的相反数是-11,那么______________;若3是x的相反数,那么x=______________, 3×-x=__________;7.相反数大于-4的正整数是__________,绝对值不大于2的整数是__________8.一个数的绝对值与它的相反数相等,这个数为__________,一个数的相反数大于它的本身, 这个数为__________;9.若两个数的绝对值相等,这两个数可能是__________;10.若一个数的相反数不小于零,那么这个数为__________;10.若|-m|=--0.3,那么m=__________;11.在数轴上点B表示数-3,那么与B点相距4个单位长度的点表示的数是__________;12、仪表的指针顺时针方向旋转90°记作-90°,那么逆时针旋转180°应记作 .13、说明下面一段话的意义:汽车先前进+50米,再前进-30米,即 ;14、数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离是6,则这两个数为__________15、简化下列各数的符号:1--5= 3---4=16、L市在冬季的某一天最高温度为4℃,最低温度为-1℃,这天温差是℃.17、如果|x|=3.5,那么x= ;如果|-x|=|-2 1|,那么x= 18、数轴上离开原点2个单位长度的点表示的数是____________19、绝对值最小的有理数是________;绝对值等于3的数是______;绝对值等于本身的数是_______;绝对值等于相反数的数是___________数;20、绝对值不大于3的非负整数有21、观察下面一列数,根据规律写出横线上的数,-11;21;-31;41;;;……;第2006个数是 ;三.解答题:1.把下列各数填在相应的大括号内:10,-0.082,-30 1/2,3.14,-2,0,-98,-3 1/2 –21/8,1,3/5整数集合: { }分数集合: { }正分数集合:{ }负分数集合:{ }非负数集合:{ }非正数集合:{ }2.把下列各数表示在数轴上,并比较他们5的大小;-3 , 1/2,0.,3,. -2.53、1写出绝对值大于3而小于8的所有有理数;4、计算:1|-15|-|-6| 2|0.24|+|-5.06|5已知|a|=3,|b|=2,求|a+b|的值;6、比较大小:114-15-;22(3--113-;3+-4.21 (4)3 --7.求下列各数的相反数和绝对值1102 20 314-43248.一个病人每天下午要测量一次血压,下表是该病人星期一至星期五血压变化情况,该病人上个星期日的血压为160单位,血压的变化与前一天比较:请算出星期五该病人的血压9、出租车司机小李某天下午运营全是在东西走向的人民大道上进行的,如果规定向东为正,向西为负,这天下午他的行车里程单位:千米如下:+15,-2,+5,-1,+10,-3,-2,+12,+4,-5,+61将最后一名乘客送到目的地时,小李距下午出车时的出发点多远2若汽车耗油量为3升/千米,这天下午小李共耗油多少升。

有理数知识点及习题

有理数知识点及习题

第一章有理数一、有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。

理解:只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。

注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数0 正有理数负整数正分数有理数有理数0 (0不能忽视)正分数负整数分数负有理数负分数负分数二、数轴⒈数轴的概念规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。

数轴的作用:所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。

注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素;⑶同一数轴上的单位长度要统一;(4)所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。

3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上点的移动规律根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。

三、相反数⒈相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。

注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;⑶0的相反数是它本身。

2.相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数,且只有一个;(2)互为相反数的两数和为0,即a,b互为相反数,则a+b=03.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数。

说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。

数学人教版(2024)版七年级初一上册 1.2.1 有理数的概念 教案03

数学人教版(2024)版七年级初一上册 1.2.1 有理数的概念 教案03

第一章有理数1.2.1 有理数的概念备课时间:上课时间:回想一下,目前为止我们学过哪些数?你所知道的数可以分成哪些种类,你是按照什么划分的?学生回答,并相互补充:有小学学过的整数、0、分数,也有负整数、负分数。

这就是全部的分数分类吗?小数呢?事实上,有限小数和无限循环小数都可以化为分数,因此它们也可以看成分数。

进一步地,我们还发现整数又可以写成分数的形式。

二、思考探究,获取新知【教学说明】我们把可以写成分数形式的数称为有理数。

知识点1 有理数的分类根据整数和分数来分类。

【教学说明】可加以引导,有理数可分为整数和分数两大类,那么整数又包含哪些数?分数呢?以上按整数和分数来分,那可不可以按性质(正数、负数)来分呢?我们把所有正数组成的集合,叫做正数集合;所有负整数组成的集合,叫做负数集合。

三、典例精析,掌握新知例1 指出下列各数中的正有理数、负有理数,并分别指出其中的正整数、负整数:跟踪训练:所有正有理数组成正有理数集合,所有负有理数组成负有理数集合,把下面的有理数填入它们属于的集合内。

15,-1/9,-5,7,0。

5,-80,12,-4。

2,2。

3。

正有理数集合:{ ⋯}。

负有理数集合:{ ⋯}。

知识点2 小数与有理数的联系按照定义,能够写成分数形式的数是有理数,那不能写成分数的数就不是有理数。

思考“不能写成分数的数”是哪些数呢?如2/3,−1/2,⋯这些分数是可以化成有限小数或无限循环小数。

同样地,有限小数和无限循环小数都能化为分数,也是有理数。

无限不循环小数(如π)不能化成分数,因此就不是有理数。

例2 :在-1.2,10%,0,+0.33 ̇,7.01001001…(每两个1之间0的个数逐次增加1)中,有理数共有()A.2个B.3个C.4个D.5个四、运用新知,深化理解1.在数0,2,-3,-1.2 中,属于负整数的是()A.0 B.2 C.-3 D.-1.22.-0.5不属于()A.负数B.分数C.负分数D.整数3.下列说法不正确的是()A.-0.5不是分数B.0是整数C. −1/5不是整数D.-2既是负数又是整数4.下列说法错误的是()A.负整数和负分数统称为负有理数B.正整数、负整数和0统称为整数C.正有理数和负有理数统称为有理数D.0是整数,但不是分数5.把下列各数分别填入相应的集合里.-2,0,0.314,25% ,11,0.3 ̇,+12/3.整数集合:{⋯}.分数集合:{⋯}.自然数集合:{⋯}.非正数集合:{⋯}.四、课堂小结填数集的两种方法(1)由数到集合:逐一分析每一个数,看这个数属于哪个集合,然后填入它所属的集合内.(2)由集合到数:逐一分析每个集合,然后从给出的数中找出属于这个集合的数填入.注意:同一个数可能分属于不同的集合.1.2.1 有理数1.整数和分数统称为有理数;2.有理数的分类:(1)按符号分(2)按照整数和分数来分。

有理数的概念(教师教案)

有理数的概念(教师教案)

有理数的概念(教师教案)【开课】今天的内容主要包括以下几部分:一.有理数的基本概念[课程目标]1理解有理数的基本概念,知道有理数的分类,有理数在数轴上的表示,理解相反数、倒数以及绝对值的概念并解决实际问题;[课程安排]老师先将第一段练习发给每一位学生,学生做题时老师必须巡视,了解学生做题情况。

学生完成练习后,老师讲解。

【教师讲课要求】教师简要介绍本次课程的关键点,同学做题,然后教师讲解(第一段例题)。

老师总结,学生做综合练习(第二段),然后老师讲解。

[知识点总结]1正数和负数正数就是带有正号的数(正号可以省略不写),是大于零的数;而负数是带有负号的数,是比零小的数。

2有理数:整数和分数统称有理数。

⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数(2) 而按照正、负数来分又有如下分类:⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数3数轴是这样的东西:规定了零点,正方向,单位长度的直线叫做数轴.4只有符号不同的两个数,叫做互为相反数。

5如果两个数的乘积为1,那么这两个数互为倒数.6相反数的数轴表现:在数轴上,位于原点两边,并且到原点的距离相等的数互为相反数;7一个数在数轴上所对应的点与原点的距离,叫做这个数的绝对值。

用符号∣а∣表示数a 的绝对值。

||00||0aa aa a a a a a a a >⎧≥⎧⎪===⎨⎨-<⎩⎪-<⎩或者说第一段典型例题第一部分【课程目标】:理解有理数的基本概念,知道有理数的分类,有理数在数轴上的表示,理解相反数、倒数以及绝对值的概念并解决实际问题【教师讲课要求】范例1.(1)最大的负整数是;最小的正整数是;(2)既不是整数,也不是正数的有理数是;(3)所有的小数都能化成分数吗?。

答案:(1)负整数是小于零的整数,所以最大的负整数是-1,同样可以得到最小的正整数是l(2)不是整数的数是分数,不是正数的数是负数和零,从而既不是整数也不是正数的有理数是负分数;(3)只有有限小数和循环小数可以化为分数.而无限不循环小数是不能化为分数的,例如,我们知道著名的圆周率 就不能化为分数.[教师总结知识点]有限小数和循环小数可以化为分数,他们是有理数.范例2 已知A在数轴上表示-2的点,在数轴上标出与点A的距离是2个长度单位的点,并读出这样的点所表示的数答案:(1)先在数轴上找到表示-2的点A;(2)在数轴上距离点A 2个长度单位的点有左右两个,一个在A的右侧,一个在A的左侧;(3)从A出发往右走两步得到的就是零点O,而往左走两步得到的是-4,就是图中的B点,从而图中的O和B就是我们要找的点,同时这两个数分别是0和-4.[教师总结知识点]利用数轴我们可以方便的找到一些我们要找的数.范例3 判断下列直线[图4-2(1)]是否是数轴?(1)-2 -1 0 1 2(2)图4-2(1)答案: (1)缺少正方向(2)缺少单位长度;有理数的概念(教师教案)Page 3 of 8(3)缺少原点.范例4 若3a +的相反数是-8,则a 的相反数是多少?解 因为 8的相反数是-8,根据题意,得3a +=8.解方程,得a =5.所以a 的相反数是-5.范例5 若一个数与这个数的相反数的差为2,那么这个数是多少呢?答案:(1)设这个数是a,那么a 的相反数是-a ;(2)原问题转化为“a 与-a 的差为2,求a 的值”;(3)列出方程:a -(-a)=2,也就是a +a =2;(4)最后得到以a =1.范例6已知以a<0,计算l+2a+∣1-2a ∣的值.分析: 还是要判断绝对值之中数的符号,也就是要判断l -2a 的符号.答案:(1)因为a <0,所以2a <0,从而1—2a 必然大于0,从而|1-2a|=1-2a (2)1+2a+ |1-2a|=1+2a +1—2a =2.范例7 已知|2x +5|+|x -y|=0,试求x,y 的值.答案:(1)由于|2x +5|,|x -y|都是非负数,而它们的和又是0,所以只有2x +5=x -y =0;(2)由2x +5=0得到x =-,又由x -y =0得到y =x =-;5252(3)从而x ,y 的值都是-.52范例8 如果a ≠0,则有可能取什么样的值呢?||aa 答案: 我们知道∣a ∣有可能等于a 也有可能等于-a ,从而有可能等于1和-1;||aa [教师总结知识点]一个非零数和它的绝对值的商为1或者-1范例9 把下列各数,按从小到大的次序,用“<”号连接起来:+2,-2,+3,-3,0,+,-.21143分析:比较几个有理数的大小,可以先用数轴上的点来表示这些数(如果题目没有特别要求,只要画一个大致的草图即可),然后按照数轴上左边的数较小,右边的数较大的原理把这些数按从小到大的次序用“<”连接起来.答案:把题中的各数表示在轴上,得到有理数的概念(教师教案)Page 4 of 8-<-3<-2<0<+<+2<+3.14321[教师总结知识点] 数轴上的点从左到右的排列次序与有理数大小的排列顺序是一致的.解这类习题时,特别要注意审题清楚,即这些数的比较是按从小到大次序排列还是按从大到小的次序排列.范例10.比较-和-0.28的大小;27分折:比较两个负数的大小,可先比较这两个负数的绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”下结论.解 (1)方法一:∣-∣==, ∣-0.28∣===.2727501752810072549175∵>, ∴-<-0.28 .501754917527方法二:∣-∣==, ∣-0.28∣==.27271449281001450∵>, ∴-<-0.28 .1449145027方法三:∣-∣==0.281…, ∣-0.28∣=0.28.2727∵0.281…>0.28,∴-<-0.28 .27[教师总结知识点] 解本题的三种方法都是应用同一条法则进行比较的,区别在于比较绝对值大小的方法不同.方法一是化作分母相同的分数进行经较;方法二是变成分子相同的分数进行比较;方法三则是把分数化成小数,再按小数大小比较的法则进行的(实际比较时,分数化小数,只要取比已知小数多保留一位的近似值即可).范例11.已知:|a|=3,|b|=2,且a >b ,求a+b 的值..分析:由绝对值的含义可知:a =±3,b =±2.又a >b ,所以a =-3不能取,只能取3,又±2<3,所以b 可以取±2.答案: 解 由|a|=3得到a =±3,由|b|=2得到b =±2,因为a >b ,所以a =3,b =±2,即a+b=5或a+b=1.[教师总结知识点] 一个数的绝对值等于一个正数,这个数应该是这个正数或它的相反数,在本题中另外要注意的是题目听“a >b ”这个条件,不能盲目地得出a =±3,必须排除a =-3这一可能性.范例12.(1)已知:|x|=x ,求x 的取值范围;(2)已知,求x 的取值范围.1||xx =-分析 : 第(1)小题由“一个正数的绝对值是它本身”和“零的绝对值是零”可知:一个数的绝对值等于这个数,这个数就是正数或零.第(2)小题中|x|= -x 时,(但这里的x ≠0),由“一个负数的绝对值是它的相反1||xx =-数”可知:这里的x 只能取负数.答案:解 (1)x 的取值范围为正数或零,即x ≥0.(2)x 的取值范围为负数,即x <0.[教师总结知识点]在第(1)题中应注意零和正数的绝对值就是它们本身,不能忽视了“零”;第(2)小题中应注意零与负数的绝对值就是它们的相反数,因为零不能为除数,所以这里的x 不能为零,如果是单纯的|x|= -x ,那么x 的取值应是x ≤0.范例13.已知三个有理数a 、b 、c ,b 是a 的相反数,c 是b 的倒数,比较a b +和ac 的大小?并简要说明理由.解:∵a 、互为相反数,∴a+b =0.∵c 是b 的倒数, c 是a -的倒数.∴()1c a ⋅-=,那ac =1.∵0>-1, ∴a b +>ac .[中考链接]1请你在数轴上用“.”表示出比1小2的数.(2006 吉林)-3 -2 -1 0 1 22若m,n 互为相反数,则m+n= (2006 江西)答案:03若x 的相反数是3,∣y ∣=5,则x+y 的值是( ) (2006 哈尔滨)(A)-8 (B)2 (C)8或-2 (D)-8或2答案:D第二段一.填空题1.满足b≤3的整数b 是 ___________________答案: -3,-2,-1,0,1,2,32.规定了 , , 的直线叫做数轴.答案: 原点 、正方向 、单位长度.3.如果0a <,那么a--=答案:a4.如果2m +与-3互为相反数,那么m =答案:15.如果0a b >>,那么a b--=答案: a b + .6.与互为相反数,与互为倒数.1313答案: -, 3137.比较大小:10(1)-101-.(填“>”、“<”或“=”号)答案: >二、判断题.1.互为相反数的两个数的绝对值的和一定大于零.2.所有的有理数都能在数轴上找到与它对应的点.3.对于任意有理数0x <,0y <,都有x y x y+=+.4.1-的n 次方与1-的1n +次方互为相反数.答案:1( × )2( √ )3 ( × )4( √ )三、选择题:1.在理数中,一个数的相反数等于它本身的有( )A.0个; B .1个; C .2个; D .无数个.答案:B2.下列说法正确的是( )A.-a 一定是负数;B .数轴上原点两旁的数是相反数;C .一个数的绝对值是正数;D ..任何有理数都有相反数.答案:D3.有a 、b 、-a 、-b 四个非零数,下列不等式不能成立的是( )有理数的概念(教师教案)Page 7 of 8A.b a a b -<-<< ;B .b a a b <<-<- ;C .a b b a <-<<-;D . a b a b -<-<<. 答案:D4.下列说法错误的是( )(A )正数的倒数是正数; (B )负数的倒数是负数; (C )0没有相反数; (D )0没有倒数.答案:C5.如果a >b ,那么下列结论正确的是( )(A )2a >2b ;(B )2a <2b ;(C )2a ≠2b ;(D )以上答案都有错误.答案:D四、比较下列每组的大小:(1)和;4534(2)0.87和;78-(3)比较和的大小.9991000-998999-(4)已知10a +<,试比较a 、-a 、1、-1的大小.  答案:(1) >; (2)0.87>;453478-(3) <; (4) 11a a ->>->.9991000-998999-五化简:(1)y x y x-++; (2)x y y x-+-;(3)121a a a-+++,其中2a <-.答案:(1)y x y x-++=2x ; (2)x y y x-+-=22x y-(3)121a a a-+++=-4a . 六综合题1.已知6a =,3b =,a b b a-=-,求a 、b 的值.答案: 6a =-、33b =-或 2.已知,求x 的取值范围.|2|2x x--有理数的概念(教师教案)Page 8 of 8答案:2x <3.一个数的绝对值的倒数等于,这个数的绝对值是多少528答案:8214.设a 、b 、c 三个有理数在数轴上对应的点A 、B 、C 的位置如图所示,请化简:a b b c c a---+-.答案:22a b-七、简答题:(1)已知甲数的绝对值大于乙数的绝对值,能断定甲数一定大于乙数吗?举例说明.答:不能,如|-5|>|-3|,但-5<-3 .(2) 已知甲数小于乙数,能断定甲数的绝对值一定小于乙数的绝对值吗?举例说明.答:不能,如-5<-3,但|-5|>|-3|.(3)如果甲乙两数的绝对值相等,甲乙两数的关系有哪几种可能?举例说明.答:两种可能:一种可能是相等(如|2|= |2|);另一种可能是互为相反数(|2|= |-2|).。

有理数的概念知识点归纳及练习题

有理数的概念知识点归纳及练习题

有理数的概念知识梳理有理数的概念一、目标认知学习目标:了解正数、负数、有理数的概念,会用正数和负数表示相反意义的量。

掌握一个数的相反数的求法和性质,学习使用数轴,借助数轴理解相反数的几何意义,会借助数轴比较有理数的大小。

掌握一个数的绝对值的求法和性质,进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义。

重点:有理数的概念及其分类,相反数的概念及求法,绝对值的概念及求法,数轴的概念及应用;有理数比较大小难点:绝对值的概念及求法,尤其是用字母表示的时候的意义。

运用数轴理解绝对值的几何意义。

有理数比较大小的方法的掌握。

二、知识要点梳理知识点一:负数的引入要点诠释:正数和负数是根据实际需要而产生的,随着社会的发展,小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要,比如一些有相反意义的量:收入200元和支出100元、零上6℃和零下6℃等等,它们不但意义相反,而且表示一定的数量,怎样表示它们呢?我们把一种意义的量规定为正的,把另一种和它意义相反的的量规定为负的,这样就产生了正数和负数。

用正数和负数表示具有相反意义的量时,哪种意义为正,是可以任意选择的,但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正,而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

知识点二:正数和负数的概念要点诠释:(1)像3、1.5、、584等大于0的数,叫做正数,在小学学过的数,除0以外都是正数,正数比0大。

(2)像-3、-1.5、、-584等在正数前面加“-”(读作负)号的数,叫做负数。

负数比0小。

(3)零既不是正数也不是负数,零是正数和负数的分界。

注意:(1)为了强调,正数前面有时也可以加上“+”(读作正)号,例如:3、1.5、也可以写作+3、+1.5、+。

(2)对于正数和负数的概念,不能简单理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数。

例如:-a一定是负数吗?答案是不一定。

因为字母a可以表示任意的数,若a表示的是正数,则-a是负数;若a表示的是0,则-a仍是0;当a表示负数时,-a就不是负数了(此时-a 是正数)。

有理数的概念及分类经典练习题

有理数的概念及分类经典练习题

【知识点1】有理数的概念知识要点:正整数、0、负整数统称为 ;正分数、负分数统称为 ; 和 统称为有理数.【典型例题】1.下列既是分数又是正有理数的是( )A .2B .-35C .0D .2.017 2.下列说法错误的是( )A .-2是负有理数B .0不是整数 C.25是正有理数 D .-0.31是负分数 3.在-15,15,-5,5这四个数中,是正整数的是( ) A .-15 B.15C .-5D .5 4.对-3.14,下面说法正确的是( )A .是负数,不是分数B .是负数,也是分数C .是分数,不是有理数D .不是分数,是有理数5.下列说法中,正确的是( )A .正分数和负分数统称为分数B .0既是整数也是负整数C .正整数、负整数统称为整数D .正数和负数统称为有理数6.请按要求填出相应的2个有理数:(1)既是正数也是分数 ;(2)既不是负数也不是分数 ;(3)既不是分数也不是非负数: .7.最大的负整数是 ;最小的正正数是 .【知识点2】有理数的分类知识要点:有理数可按正、负性质分类,也可按整数、分数分类:(1)按正、负性质分类: (2)按整数、分数分类:有理数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数0负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数 有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数 【典型例题】1.在数0,2,-7,-1.2中,属于负整数的是( )A .0B .2C .-7D .-1.22.在+1,27,0,-5,-313这几个数中,是整数的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个3.下列各数:3,-5,-12,0,2,0.97,-0.21,-6,9,23,85,1.其中正数有 个,负数有 个,正分数有 个,负分数有 个.4.把下列各数填在相应的大括号里:2 017,1,-1,-2 018,0.5,110,-13,-0.75,0,20%.(1)整数:{ …};(2)正分数:{ …};(3)负分数:{ …};(4)正数:{ …};(5)负数:{ …}.5.把下面的有理数填在相应的大括号里:15,-38,0,-30,0.15,-128,225,+20,-2.6.(1)非负数:{ …};(2)负数:{ …};(3)正整数:{ …};(4)负分数:{ …}.。

有理数的概念教案例题习题

有理数的概念教案例题习题

有理数的概念-教案例题习题教案章节:第一章有理数的概念一、教学目标:1. 让学生理解有理数的定义及分类。

2. 让学生掌握有理数的性质,如加法、减法、乘法、除法。

3. 培养学生解决实际问题的能力。

二、教学内容:1. 有理数的定义:有理数是整数和分数的统称,包括正有理数、负有理数和零。

2. 有理数的分类:整数(正整数、负整数和零)、分数(正分数、负分数)。

3. 有理数的性质:加法、减法、乘法、除法。

三、教学重点与难点:1. 重点:有理数的定义、分类和性质。

2. 难点:有理数的乘除法运算。

四、教学方法:1. 采用讲解法,让学生掌握有理数的定义、分类和性质。

2. 采用练习法,让学生通过例题和习题巩固有理数的运算。

3. 采用问题解决法,培养学生解决实际问题的能力。

五、教学过程:1. 导入:引导学生复习整数和分数的知识,为新课的学习打下基础。

2. 讲解:讲解有理数的定义、分类和性质,让学生理解和掌握。

3. 例题:讲解有理数的加减乘除法例题,让学生通过例题巩固知识。

4. 练习:布置有理数运算的习题,让学生独立完成,检查学习效果。

5. 总结:对本章知识进行总结,强调重点和难点。

6. 作业:布置课后作业,巩固所学知识。

六、课后反思:教师在课后要对本节课的教学效果进行反思,了解学生的学习情况,针对存在的问题进行调整教学方法,以提高教学效果。

有理数的概念-教案例题习题教案章节:第二章有理数的加法六、教学目标:1. 让学生掌握有理数加法的运算方法。

2. 培养学生解决实际问题的能力。

七、教学内容:1. 有理数加法的定义:两个有理数相加,称为它们的和。

2. 有理数加法的运算方法:同号相加,异号相减。

八、教学重点与难点:1. 重点:有理数加法的运算方法。

2. 难点:不同符号有理数加法的运算。

九、教学方法:1. 采用讲解法,让学生掌握有理数加法的运算方法。

2. 采用练习法,让学生通过例题和习题巩固有理数加法。

3. 采用问题解决法,培养学生解决实际问题的能力。

人教版七年级数学上册第一章有理数的概念(教案)

人教版七年级数学上册第一章有理数的概念(教案)
4.有理数的应用
-解决实际问题
-判断有理数的大小关系
-有理数的混合运算
5.练习题与例题
-各类有理数运算的练习题
-涉及实际应用的有理数问题
-提高学生对有理数概念的理解和应用能力例题解析
二、核心素养目标
1.培养学生数学抽象能力:通过有理数的概念学习,使学生能够抽象出数的本质属性,理解数的分类及其意义,形成数学的抽象思维。
-举例:应用有理数解决温度变化、方向位移等问题。
2.教学难点
(1)有理数概念的理解:学生容易混淆有理数与整数、分数的关系,难以把握有理数的本质。
-突破方法:通过具体例子,让学生感受到有理数包含整数和分数,理解有理数的无限性和可表示性。
(2)相反数和绝对值的概念:学生难以理解相反数的意义,以及绝对值表示的实际意义。
其次,在新课讲授环节,我注意到有些学生在理解有理数概念和性质时显得有些吃力。在讲解过程中,我尽量使用简洁明了的语言,并通过举例来阐述。然而,可能由于讲解速度过快,部分学生还没来得及消化吸收就进入了下一个环节。针对这个问题,我计划在今后的教学中适当放慢讲解速度,增加课堂互动,让学生有更多机会提问和思考。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了有理数的基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对有理数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
2.提升逻辑推理素养:引导学生掌握有理数的运算规律,学会运用逻辑推理解决问题,培养严谨的数学逻辑思维。
3.增强数学建模意识:通过实际问题的引入和解决,让学生学会运用有理数知识建立数学模型,提高解决实际问题的能力。

有理数及其运算教案

有理数及其运算教案

有理数及其运算教案教学目标:1. 理解有理数的概念及其性质。

2. 掌握有理数的四则运算规则。

3. 能够灵活运用有理数的运算解决实际问题。

教学重点:1. 有理数的概念及其性质。

2. 有理数的四则运算规则。

教学难点:1. 表示有理数的运算和运算法则。

2. 运用有理数解决实际问题。

教学准备:1. 教学课件。

2. 教学PPT。

3. 课堂练习与练习题。

教学过程:一、导入(10分钟)1. 针对学生已学过的整数的概念,介绍有理数的概念。

2. 通过给出一些例子,帮助学生理解有理数的概念。

二、讲授(20分钟)1. 介绍有理数的性质,包括有理数的正负性、有理数的相反数、有理数的大小比较等。

2. 讲解有理数的加法与减法运算法则,包括同号相加减、异号相加减等。

3. 介绍有理数的乘法与除法运算法则,包括正数乘(除)正数、负数乘(除)负数等。

三、练习与讲评(30分钟)1. 给学生一些运算练习题,巩固所学的加减乘除法则。

2. 讲解并解答学生在练习中出现的问题。

3. 出示一些运用有理数解决实际问题的题目,引导学生运用所学知识解答问题。

四、拓展与应用(15分钟)1. 给学生一些拓展题,要求运用有理数的运算法则解答。

2. 引导学生思考并讨论如何将已学的知识应用到实际生活中解决一些实际问题。

五、总结(5分钟)1. 对本节课的主要内容进行复习和总结。

2. 强调有理数的重要性及其在实际生活中的应用。

教学反思:本节课针对有理数及其运算的内容进行了系统的讲解和练习,学生在课堂上能够较好地掌握和运用有理数的性质和运算法则。

在讲解有理数的运算时,应注重引导学生理解运算的规律和思路,培养学生的运算能力和解决实际问题的能力。

在教学过程中,还可以通过一些实际例子和练习题,增加教学的趣味性和实用性。

有理数的概念教案

有理数的概念教案

有理数的概念教案教案标题:有理数的概念教案教案目标:1. 理解有理数的概念和特点。

2. 能够区分有理数和无理数。

3. 掌握有理数的表示方法和运算规则。

教学准备:1. 教学课件或黑板、白板。

2. 学生练习册或工作纸。

3. 有理数的示例和练习题。

教学过程:引入活动:1. 利用日常生活中的例子引导学生思考:什么是有理数?为什么有理数在我们的生活中很重要?2. 引导学生讨论有理数的特点:有理数可以表示为分数或整数的形式,可以是正数、负数或零。

概念讲解:1. 使用教学课件或黑板、白板展示有理数的定义和符号表示。

2. 解释有理数的概念:有理数是可以表示为两个整数的比值的数,其中分母不为零。

3. 强调有理数的特点:有理数可以用分数或整数的形式表示,并且可以是正数、负数或零。

示例和练习:1. 给出一些有理数的示例,如-3,2/5,0,7等,让学生判断它们是否属于有理数。

2. 配发练习册或工作纸,让学生完成一些有理数的练习题,以加深对有理数的理解。

区分有理数和无理数:1. 解释无理数的概念:无理数是不能表示为两个整数的比值的数,如根号2、圆周率π等。

2. 引导学生理解有理数和无理数之间的区别,以及它们在数轴上的位置。

有理数的运算规则:1. 介绍有理数的四则运算规则,包括加法、减法、乘法和除法。

2. 使用示例和练习题演示有理数的运算过程,帮助学生掌握运算规则。

总结与反思:1. 对本节课所学内容进行总结,强调有理数的概念和特点。

2. 鼓励学生提出问题和疑惑,并对他们的学习进行反思和评价。

教学延伸:1. 给学生更多的有理数练习题,以提高他们的运算能力和理解能力。

2. 引导学生探索无理数的概念和特点,并与有理数进行比较。

教学评估:1. 教师观察学生在课堂上的参与和理解情况。

2. 检查学生完成的练习册或工作纸,评估他们对有理数的掌握程度。

教学反馈:1. 针对学生在学习过程中出现的问题和困难,进行个别或集体辅导。

2. 鼓励学生积极参与课堂讨论和提问,加深对有理数概念的理解。

第一讲有理数 (2)

第一讲有理数 (2)

第一讲 有 理 数一、有理数的概念及分类。

二、有理数的计算:1、善于观察数字特征;2、灵活运用运算法则;3、掌握常用运算技巧(凑整法、分拆法等)。

三、例题示范1、数轴与大小例1、已知数轴上有A、B两点,A、B之间的距离为1,点A与原点O 的距离为3,那么满足条件的点B与原点O的距离之和等于多少?满足条件的点B有多少个?例2、将这四个数按由小到大的顺序,用“”连结起来。

提示1:四个数都加上1不改变大小顺序;提示2:先考虑其相反数的大小顺序;提示3:考虑其倒数的大小顺序。

例3、观察图中的数轴,用字母a、b、c依次表示点A、B、C对应的数。

试确定三个数的大小关系。

分析:由点B在A右边,知b-a0,而A、B都在原点左边,故ab0,又c10,故要比较的大小关系,只要比较分母的大小关系。

例4、在有理数a与b(ba)之间找出无数个有理数。

提示:P=(n为大于是的自然数)注:P的表示方法不是唯一的。

2、符号和括号在代数运算中,添上(或去掉)括号可以改变运算的次序,从而使复杂的问题变得简单。

例5、在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?提示:造零:n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注:造零的基本技巧:两个相反数的代数和为零。

3、算对与算巧例6、计算 123 (200020012002)提示:1、逆序相加法。

2、求和公式:S=(首项+末项)项数2。

例7、计算 1+234+5+678+9+…2000+2001+2002提示:仿例5,造零。

结论:2003。

例8、计算提示1:凑整法,并运用技巧:199…9=10n+99…9,99…9=10n 1。

例9、计算提示:字母代数,整体化:令,则例10、计算(1);(2)提示:裂项相消。

常用裂项关系式:(1);(2);(3);(4)。

例11 计算(n为自然数)例12、计算 1+2+22+23+…+22000提示:1、裂项相消:2n=2n+12n;2、错项相减:令S=1+2+22+23+…+22000,则S=2SS=220011。

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有理数的概念一、目标认知学习目标:了解正数、负数、有理数的概念,会用正数和负数表示相反意义的量。

掌握一个数的相反数的求法和性质,学习使用数轴,借助数轴理解相反数的几何意义,会借助数轴比较有理数的大小。

掌握一个数的绝对值的求法和性质,进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义。

重点:有理数的概念及其分类,相反数的概念及求法,绝对值的概念及求法,数轴的概念及应用;有理数比较大小难点:绝对值的概念及求法,尤其是用字母表示的时候的意义。

运用数轴理解绝对值的几何意义。

有理数比较大小的方法的掌握。

二、知识要点梳理知识点一:负数的引入要点诠释:正数和负数是根据实际需要而产生的,随着社会的发展,小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要,比如一些有相反意义的量:收入200元和支出100元、零上6℃和零下6℃等等,它们不但意义相反,而且表示一定的数量,怎样表示它们呢?我们把一种意义的量规定为正的,把另一种和它意义相反的的量规定为负的,这样就产生了正数和负数。

用正数和负数表示具有相反意义的量时,哪种意义为正,是可以任意选择的,但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正,而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

知识点二:正数和负数的概念要点诠释:(1)像3、1.5、、584等大于0的数,叫做正数,在小学学过的数,除0以外都是正数,正数比0大。

(2)像-3、-1.5、、-584等在正数前面加“-”(读作负)号的数,叫做负数。

负数比0小。

(3)零既不是正数也不是负数,零是正数和负数的分界。

注意:(1)为了强调,正数前面有时也可以加上“+”(读作正)号,例如:3、1.5、也可以写作+3、+1.5、+。

(2)对于正数和负数的概念,不能简单理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数。

例如:-a一定是负数吗?答案是不一定。

因为字母a可以表示任意的数,若a表示的是正数,则-a是负数;若a表示的是0,则-a仍是0;当a表示负数时,-a就不是负数了(此时-a是正数)。

知识点三:有理数的有关概念要点诠释:1、有理数:整数和分数统称为有理数。

注:(1)有时为了研究的需要,整数也可以看作是分母为1的数,这时的分数包括整数。

但是本节中的分数不包括分母是1的分数。

(2)因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化,上述小数都可以用分数来表示,所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。

(3)“0”即不是正数,也不是负数,但“0”是整数。

2、整数包括正整数、零、负整数。

例如:1、2、3、0、-1、-2、-3等等。

3、分数包括正分数和负分数,例如:、、0.6、-、-、-0.6等等。

知识点四:有理数的分类要点诠释:1、按整数、分数的关系分类:2、按正数、负数与0的关系分类:注:通常把正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数,正整数和0称为非负整数(也叫做自然数),负整数和0统称为非正整数。

如果用字母表示数,则a>0表明a是正数;a<0表明a是负数;a0表明a是非负数;a0表明a是非正数。

知识点五:数轴的概念要点诠释:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴数轴的定义包含三层含义:(1)数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;(2)数轴有三要素——原点、正方向、单位长度,三者缺一不可;(3)原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是根据实际需要“规定”的(通常取向右为正方向)。

知识点六:数轴的画法要点诠释:1、画一条直线(一般画成水平的直线)。

2、在直线上选取一点为原点,并用这点表示零(在原点下面标上“0”)。

3、确定正方向(一般规定向右为正),用箭头表示出来。

4、选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1,2,3……;从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为-1,-2,-3……注:(1)原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取;(2)确定单位长度时,根据实际情况,有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点,从原点向右,依次表示为2,4,6,……;从原点向左,依次表示为-2,-4,-6,……;知识点七:数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,反过来,不能说数轴上所有的点都表示有理数。

要点诠释:正有理数可以用原点右边的点表示,负有理数可以用原点左边的点表示,零用原点表示。

知识点八:利用数轴比较有理数的大小要点诠释:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。

正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数。

知识点九:相反数的概念1、相反数的几何定义:在数轴上原点的两旁,到原点距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反数。

2、相反数的代数定义:只有符号不同的两个数(除了符号不同以外完全相同),我们说其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。

要点诠释:(1)“只”字是说仅仅是符号不同,其它部分完全相同;(2)相反数是数,不是量;(3)相反数是成对出现的。

知识点十:相反数的表示方法要点诠释:一般地,数a的相反数是-a。

这里a表示任意的一个数,可以是正数、负数、或者0。

知识点十一:多重符号的化简把多重符号化成单一符号,如果是正号,则可以省略不写,实际上,多重符号的化简是由“-”的个数来定,若“-”个数为偶数个时,化简结果为正,如-{-[-(-4)]}=4 ;若“-”个数为奇数个时,化简结果为负,如-{+[-(-4)]}=-4 。

要点诠释:1、在一个数的前面添上一个“+”号,仍然与原数相同,如+5=5,+(-5)=-5。

2、在一个数的前面添上一个“-”号,就成为原数的相反数。

如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3)=3。

知识点十二:绝对值的概念要点诠释:1、绝对值的几何定义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,数a的绝对值记作“”2、绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。

即知识点十三:两个负数大小的比较要点诠释:因为两个负数在数轴上的位置关系是:绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边,所以,两个负数,绝对值大的反而小。

比较两个负数大小的方法是:一、先分别求出这两个负数的绝对值;二、比较这两个绝对值的大小;三、根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断。

知识点十四:有理数大小的比较法则要点诠释:正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。

三、规律方法指导有理数与小学所学的数,主要区别在于负数。

有理数可以用数轴上的点来表示,任何一个有理数都能在数轴上找到表示它的位置,而是唯一确定的点。

数轴上的点可以表示三类数。

在数轴上表示零的点称做原点,以这个点为界,正有理数(正整数、正分数)用原点右边的点来表示;负有理数(负整数、负分数)用原点左边的点来表示,这就说明,数轴是有方向的。

由于数轴规定了方向,因而在数轴上排列着的数就是有顺序的。

从左到右一个数比一个数大。

即数轴上表示的数,右边的总比左边的大。

在数轴上,原点左、右两边距离原点等远的点所表示的有理数,它们只有符号不同,这样的一对数称为互为相反数。

如果数轴上的点只考虑它到原点的距离,而不考虑它的正、负方向的数,则表示这个有理数的绝对值。

经典例题透析类型一:有理数分类的问题例1:请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里。

1, 0.0708, -700, -3.88, 0,3.14159265, , .正整数集合:{ …} 负整数集合:{ …} 整数集合:{ …}正分数集合:{ …}负分数集合:{ …}分数集合:{ …}思路点拨:这种关于有理数的分类问题,关键是要掌握各种数的概念。

小学时所学的自然数就是正整数和零,进入中学,出现了负整数,而整数的范围就扩大到了正整数、零和负整数。

有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式,因此,它们都是分数。

解析:正整数:1;负整数:-700;整数:1,0,-700;正分数:0.0708,3.14159265,;负分数:-3.88,;分数:0.0708,3.14159265,,-3.88,总结升华:有理数包括整数和分数,分数包含有限小数和无限循环小数,但须注意的是,不是所有的小数都是分数,比如π等。

所以,我们也不能说小学学过的所有数都是有理数,还有一部分数不是有理数,那么这部分数我们将在今后学习研究。

举一反三:【变式1】在数-100, 70.8, -7, π, -3.8, 0, , , 中,不是分数的是___________________;不是小数的是_____________;不是有理数的是______________。

【变式2】下列四种说法,正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数类型二:正负数的概念例2:若把向北走7km记为-7km,则+10km表示的含义是()A.向北走10kmB.向西走10kmC.向东走10kmD.向南走10km思路点拨:“正”和“负”相对,-7km表示向北走7km,则+10km表示向南走10 km.答案:D总结升华:在一对具有相反意义的量中,若先规定一个为正,则另一个就用负表示;若先规定一个为负,则另一个就用正表示。

举一反三:【变式】(1)如果收入300元记作+300元,那么支出500元用___________ 表示,0元表示__________ .(2)若购进50本书,用-50本表示,则盈利30元如何表示?类型三:与数轴相关的问题例3: 数轴上有一点到原点的距离是5.5,那么这个点表示的数是 _________.思路点拨:到原点的距离等于5.5 的点既可以在原点左边,也可以在原点右边,因此这样的点有两个。

解析:5.5或-5.5总结升华:与数轴相关的问题还有数轴的画法以及借助数轴来比较有理数的大小。

例4:如右图所示,数轴的一部分被墨水污染了,被污染的部分内含有的整数为 _________.思路点拨:数轴上的点表示的数右边的比左边的大。

因此,被污染的部分的数大于-1.3,小于2.6,再考虑这一范围内的整数即可。

解析:-1,0,1,2总结升华:利用数轴解决问题是数形结合数学思想的的一个重要应用,要能由“形”看出“量”的一些关系。

举一反三:【变式1】实数在数轴上表示如图所示,则下列结论错误的是()A. B. C. D.【变式2】一个点从数轴的原点开始,先向右移动3个单位长度,再向左移动5个单位长度,则终点表示的数是______.【变式3】数轴上点A对应的数为-3,那么与A相距1个长度的点B所对应的数是_________.类型四:与相反数相关的问题例5:(1)的相反数是_________,-3与_________互为相反数(2)的相反数是________,的相反数是________,的相反数是________.(3)0的相反数是_________.(4)已知那么的相反数是________.已知,则a的相反数是________.思路点拨:(1)代数意义:只有符号不同的两个数互为相反数,特别地,O的相反数是0.相反数必须成对出现,不能单独存在.例如+5和-5互为相反数,或者说+5是-5的相反数,-5是+5的相反数,而单独的一个数不能说是相反数.另外,定义中的“只有”指除符号以外,两个数完全相同,注意应与“只要符号不同”区分开.例如+3与-3互为相反数,而+3与-2虽然符号不同,但它们不是相反数.(2)几何意义:一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧,并且到原点的距离相等.这两点是关于原点对称的.(3)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“一”号即可.一般地,数a的相反数是-a;这里以a表示任意一个数,可以为正数、0、负数,也可以是任意一个代数式.注意-a不一定是负数.注意:当a>O时,-a<0(正数的相反数是负数);当a=O时,-a=O(0的相反数是0);当a<0时,a>O (负数的相反数是正数).(4)互为相反数的两个数的和为零,即若a与b互为相反数,则a+b=0,反之,若a+b=O,则a与b互为相反数.(5)多重符号的化简:一个正数前面不管有多少个“+”号,都可以全部去掉;一个正数前面有偶数个“-”号,也可以把“-”号全部去掉;一个正数前面有奇数个“-”号,则化简后只保留一个“-”号,既“奇负偶正”(其中“奇偶”是指正数前面的“-”号的个数的奇偶数,“负正”是指化简的最后结果的符号).解析:(1),3;(2)m,-(-m+1),-(m+1); (3) 0 (4) -9, 9总结升华:求相反数时,要紧紧抓住“只有符号不同”这一条件,即“符号不同而数字相同”的两个数。

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