高中数学(人教A版)选修1练习221椭圆及其标准方程]

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椭圆及其标准方程+学案- 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程（第一课时）【学习目标】1.能通过实际绘制椭圆的过程,认识椭圆上点的几何特征，给出椭圆的定义；2.能通过建立适当的坐标系，根据椭圆上的点满足的几何条件推导出椭圆的标准方程；3.会求给定条件的椭圆方程.【学习重点】椭圆的标准方程的推导及求解【学习难点】椭圆的标准方程的推导【学习过程】【活动1】探究:椭圆的定义实验材料：两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，一把直尺.方法步骤：1.细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2；2.套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖；3.画出轨迹，测量并记录绳子的长度以及F1，F2两定点间的距离.讨论：问题1：画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足什么条件？问题2：如果改变F1，F2两点间的距离，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？问题3：你能类比圆的定义用精确的数学语言给出椭圆、焦点、焦距的定义吗？<学以致用1>（1）若两定点A、B间的距离为6，动点M到A、B的距离之和为10，则动点M的轨迹是_________;（2）若两定点A、B间的距离为10，动点P到A、B的距离之和为10，动点P的轨迹是_________;（3）若两定点A、B间的距离为6，动点Q到A、B的距离之和为4，动点Q的轨迹是_________.【活动2】推导椭圆的标准方程．问题4：类比利用圆的标准方程的建立过程，你能根据椭圆的几何特征选择适当的坐标系，求出它的方程吗？提示(1)建系：如图所示，以F1F2所在直线x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点；(3)列式；(4)化简；(5)得出椭圆的标准方程.问题5：椭圆方程中参数a，b，c之间的关系是什么？几何意义分别是什么？问题6：椭圆的标准方程是如何定义的？(焦点在x轴上？焦点在y轴上？)<合作学习1>围绕问题4，小组研讨，展示评析：建立椭圆的标准方程步骤与关键点．<学以致用2>写出下列椭圆的a,b,c 及焦点坐标: （1）x 25+y 23=1 （2）x 29+y 225=1<合作学习2>围绕练习运用2，小组研讨，展示评析：如何判断椭圆焦点在哪个轴上【活动3】求椭圆的标准方程 <学以致用3>椭圆的两个焦点坐标分别是)0,2(),0,2(-，并且经过点)23,25(-，求它的标准方程．<合作学习3> 围绕练习运用2，独立思考后，同桌交流，展示评析：确立椭圆的标准方程的方法．【活动4】求与椭圆有关的轨迹问题<典例分析4>在圆422=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？<学以致用4>1.若把上题中的“求线段PD 的中点M 的轨迹是什么？”改为“求线段PD 的三等分点M （靠近点P ）的轨迹是什么？”结果会是怎样？2.如图，DP ⊥x 轴，垂足为D ，点M 在DP 的延长线上，且|DM ||DP |=32.当点P 在圆422=+y x 上运动时，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状.yxMOBA<典例分析5>如图，设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49-，求点M 的轨迹方程．<合作学习>针对例题，围绕以下问题，进行小组研讨：1.一个动点与两个定点的连线的斜率之积是-1，则动点的轨迹是什么？2.一个动点与两个定点的连线的斜率之积是不为-1的负常数，则动点的轨迹是什么？(椭圆的第三定义)<学以致用5>设A，B的坐标分别为(-1,0)，(1,0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率的商是2，求点M的轨迹方程．二、课后作业：1．动点P 到两定点)0,4(),0,4(21F F -的距离之和是8，则动点P 的轨迹是（） A 、椭圆 B 、线段21F F C 、直线21F F D 、不确定2.命题甲:动点P 到两定点A,B 的距离和a PB PA 2=+(a a 且,0>为常数). 命题乙:动点P 的轨迹是椭圆.则甲是乙的( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3.“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若方程3x 2＋ky 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的可能取值为( ) A.1 B.3 C.0 D.－25.已知椭圆x 29＋y 25＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则P 到另一个焦点的距离为( )A.1B.4C.3D.25－26.设α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为( )A.(0，π4]B.(π4，π2)C.(0，π4)D.[π4，π2)7.设B (－4，0)，C (4，0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 216＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0)8.已知圆122=+y x ，从这个圆的任意一点P 向y 轴作垂线'PP ，则线段'PP 的中点M 的轨迹方程（）A. 1422=+y xB. 1422=+y xC. 1422=+y xD. 1422=+x y9.已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.10.若椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________.11.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为(0,-4),(0,4),a =5； (2)a+c=10，a -c=4.12.求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程.13.已知P 是椭圆14522=+y x 上的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标.14.设A ，B 的坐标分别为(-1,0)，(1,0)．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率的商是2，求点M 的轨迹方程．15.如图，DP ⊥x 轴，垂足为D ，点M 在DP 的延长线上，且|DM ||DP |=32.当点P 在圆422=+y x 上运动时，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状.。

人教新课标版(A)高二选修1-1 2.1.1椭圆及其标准方程(一)同步练习题

人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.1.1 椭圆及其标准方程（一）同步练习题【基础演练】题型一：椭圆的定义平面内与两个定点1F 、2F 距离的和等于常数（大于|F F |21）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，请根据以上知识解决以下1~4题。

1. 到两定点1F （-2，0）和2F （2，0）的距离之和为4的点M 的轨迹是A. 椭圆B. 线段C. 圆D. 以上都不对2. 椭圆125y 9x 22=+的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则△2ABF 的周长是A. 20B. 12C. 10D. 6 3. 椭圆1y 25x 22=+上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为A. 5B. 6C. 7D. 84. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和()为常数且a ,0a a 2|PB ||PA |>=+；命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分又不必要条件题型二：椭圆的标准方程椭圆的两种标准方程1b y a x 2222=+，1bx a y 2222=+中都有：（1）0b a >>；（2）222b a c -=或222c b a +=；（3）焦点坐标（c ±，0）或（0，c ±）；（4）2x 与2y 所对应的分母，哪个大，焦点就在哪个轴上，请用以上知识解决以下5~8题。

5. 椭圆116y 32x 22=+的焦距等于A. 312B. 8C. 6D. 46. 若方程1a y ax 222=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值范围是A. 0a <B. 0a 1<<-C. 1a <D. 无法确定7. 椭圆0ab by ax 22=++（0b a <<）的焦点坐标是A. ()0,b a -±B. ()0,a b -±C. ()b a ,0-±D. ()a b ,0-±8. 椭圆112y 13x 22=+上一点到两个焦点的距离和为A. 26B. 24C.134D. 132题型三：椭圆的标准方程的应用紧扣标准方程的两种方式，焦点位置取决于两个分母哪个大，特别注意看似非标准形式的标准形式，如11k y kx 222=--，这说明01k <-，另外注意c 2|PF ||PF |21>+的约束条件，请用以上知识解决以下9~10题。

20212022高中数学人教版选修21作业221椭圆及其标准方程系列一.docx

2. 2. 1椭圆及其标准方程基础巩固—、选择题1-椭圆2^ + 3/=12的两焦点之间的距离是( )A.2拆B. y［\0C. «D. 2^2［答案］D［详细分析］椭圆方程2^ + 3/=12可化为：f+ f =1,a2 = 6,胪=4, <? = 6-4 = 2, ：.2c = 2\fi.2.(2015-广东文)已知椭圆§ + 4=l(m>0)的左焦点为丹(-4,0),则〃7 =()A. 2B. 3C. 4D. 9［答案】B［详细分析］..•椭圆|| + 5=1(^>0)的左焦点为乩(-4,。

)，:.c = 4 = yl25-m2, :.m2 =9,m = 3,选B .3.(2015•海南中学期中考试)已知Fi,形是椭圆+ f =1的两个焦点，过点儿的直线交椭圆于点A, B,若|AB| = 5,则|时i| + |BFi| = ()A. 11B. 10C. 9D. 16［答案〕A［详细分析］由方程知«2=16,...2a = 8,由椭圆定义知，|*肝|奶| = 8, \BF!\ + \BF2\ =8, .\|AFi| + |AF2| + |BFi| + \BF2\ = |AFi| + |BFi| + \AB\ = 16,.•.|AFi| + |BFi|=ll,故选A.4.设定点Fi(0, - 3), F2(0,3),动点F满足条件|职| + |华| =。

+戋?>0),则点F的轨迹是()A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段［答案］D9［详细分析］I« + ->6, AlPFil + \PF2\>6 =|F I F2|,.••选D.5.设P是椭圆法+书=1上一点,P到两焦点F5 的距离之差为2,则△尸皿是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形［答案］B［详细分析］由椭圆定义，知|PF I|+|PF2|=2“=8.又|PF I|-|PF2|=2,...|PF I|=5,\PF2\ = 3.又|HF2| = 2c = 2 寸16 - 12 = 4,△PF1F2为直角三角形.6.已知椭圆的两个焦点分别是Fi、F2, P是椭圆上的一个动点，如果延长FiP到Q, 使得\PQ\ = \PF2\,那么动点。

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册全册各章节课后练习题含解析

选择性必修第一册全册课后练习题本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -第一章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0，即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →，从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1，由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1，则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14，所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]，所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ，所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)，则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )，又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )，所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32. ∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→，AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.(2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →，故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.] 14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z－(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )，则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )，因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0，所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)，所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )。

高中数学 2.2.1 椭圆及其标准方程试题新人教A版选修21

2.2.1椭圆及其标准方程一、选择题1．【题文】已知椭圆221102x y m m +=--，焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（） A ．4 B ．5 C ．7 D ．82．【题文】已知椭圆221416x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（）A ．2B ．3C ．5D ．73．【题文】设()14,0F -，()24,0F 为定点，动点M 满足128MF MF +=，则动点M 的轨迹是（）A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段4．【题文】已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长l 是（）A ．．6 C ．．125．【题文】如果椭圆2218125x y +=上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是坐标原点，则ON 的长为 ( )A ．2B ．4C ．8D ．326．【题文】已知椭圆()22:1,2,04x C y A +=，点P 在椭圆C 上，且OP PA ⊥，其中O 为坐标原点，则点P 的坐标为（）A ．2,33⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭ B ．2,33⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．2,33⎛-± ⎝⎭D ．233⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭7．【题文】若△ABC 顶点B ，C 的坐标分别为()4,0-，()4,0，AC ，AB 边上的中线长之和为30，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为 ( )A.()221010036x y y +=≠ B.()221010084x y y +=≠ C.()221010036x y x +=≠ D.()221010084x y x +=≠8．【题文】已知12,F F 为椭圆22:14x C y +=的左，右焦点，点P 在C 上，123PF PF =，则12cos F PF ∠等于（） A ．34 B ．13- C ．35- D ．45二、填空题9．【题文】椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为 .10．【题文】已知方程2213+2x y k k+=-表示椭圆，则k 的取值范围为 .11．【题文】椭圆221259x y +=的左焦点为1F ，P 为椭圆上的动点，M 是圆 (221x y +-=上的动点，则1PM PF +的最大值是 .三、解答题12．【题文】已知椭圆的中心在原点，两焦点1F ，2F 在x 轴上，且过点()4,3A -．若12F A F A ⊥，求椭圆的标准方程．13．【题文】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点()2,0和点()0,1；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为()0,10P -，P 到距它较近的一个焦点的距离等于2.14．【题文】已知定点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆C ：22142x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭上的一个动点，线段AB 的垂直平分线交BC 于M 点，求动点M 的轨迹方程．2.2.1椭圆及其标准方程参考答案及解析1. 【答案】D【解析】因为焦点在y 轴上，所以2100m m ->->，即610m <<，又 ()()22102m m ---=，所以8m =，故选D. 考点：椭圆的标准方程．【题型】选择题【难度】一般 2. 【答案】B【解析】设所求距离为d ，由题意得4a =．根据椭圆的定义得25253a d d a =+⇒=-=，故选B ．考点：椭圆的定义．【题型】选择题【难度】较易 3. 【答案】D【解析】动点M 满足128MF MF +=，128F F =，故动点M 的轨迹是线段12F F .考点：椭圆的定义. 【题型】选择题【难度】一般 4. 【答案】C【解析】如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，由椭圆的方程知a =ABC 的周长()()4l AB AC BC AB BF AC CF a =++=+++==．考点：椭圆的定义及其应用．【题型】选择题【难度】一般 5. 【答案】C【解析】∵椭圆方程为2218125x y +=，∴9a =，根据椭圆的定义得2=18216MF -=，而ON 是△12MF F 的中位线，∴216822MF ON ===，故选C ．考点：椭圆的定义．【题型】选择题【难度】一般 6. 【答案】A【解析】设(),P x y ，由OP PA ⊥，得OP PA ⊥，所以()()()2,2,20OP PA x y x y x x y ⋅=⋅--=--=，与椭圆方程2214x y +=联立，解得23x =（2x =舍去），此时3y =±，即点P 的坐标为2,33⎛± ⎝⎭，故选A.考点：椭圆上点的坐标. 【题型】选择题【难度】一般 7. 【答案】B【解析】设AC 、AB 边上的中线分别为BD 、CE ，∵23BG BD =，23CG CE =， ∴()22302033BG CG BD CE +=+=⨯=（定值）. 因此，重心G 的轨迹为以B 、C 为焦点的椭圆，220a =，4c =，∴10a =，b =，可得椭圆的方程为22110084x y +=.∵当G 点在x 轴上时，A 、B 、C 三点共线，不能构成△ABC ，∴G 的纵坐标不能是0，可得△ABC 的重心G 的轨迹方程为()221010084x y y +=≠，故选B. 考点：椭圆的定义及标准方程. 【题型】选择题【难度】较难 8. 【答案】B【解析】由题意可知，12F F ==12222344PF PF PF PF PF +=+==，211,3PF PF ∴==，(22222212121212311cos 22313PF PF F F F PF PF PF +-+-∴∠===-⋅⨯⨯，故选B ．考点：椭圆的定义，余弦定理．【题型】选择题【难度】较难 9. 【答案】2.5【解析】由椭圆方程可知22216,7,9,3a b c c ==∴=∴=，右焦点为()3,0，将2x =代入椭圆方程得2214y =，所以两点间距离为2.5d ==. 考点：椭圆的定义.【题型】填空题【难度】一般10. 【答案】132,2k k k ⎧⎫-<<≠-⎨⎬⎩⎭且【解析】由椭圆的定义知30,20,32,k k k k +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩解得132,2k k k ⎧⎫-<<≠-⎨⎬⎩⎭且. 考点：椭圆的定义. 【题型】填空题【难度】一般 11. 【答案】17【解析】圆(221x y +-=的圆心为(0,C ，半径为1.由椭圆方程221259x y +=可知2225,9a b ==，所以5a =，左焦点为()14,0F -，右焦点为()24,0F .122221010PC PF PC a PF PC PF CF +=+-=+-≤+=，()()11maxmax 117PM PF PC PF +=++=.考点：椭圆的定义. 【题型】填空题【难度】较难12. 【答案】2214015x y += 【解析】设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，焦点()1,0F c -，()2,0F c ．∵12F A F A ⊥，∴120F A F A ⋅=，而()14,3FA c =-+， ()24,3F A c =--， ∴()()24430c c -+--+=，∴225c =，即5c =.∴()15,0F -，()25,0F ．∵122a AF AF =+==∴a=，∴(22222515b a c =-=-=.∴所求椭圆的标准方程为2214015x y +=.考点：椭圆的标准方程. 【题型】解答题【难度】一般13. 【答案】(1)2214x y +=(2)22110036y x += 【解析】(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为()222210x y a b a b+=>>. ∵椭圆经过点()2,0和()0,1，∴224,1a b ==，故所求椭圆的标准方程为2214x y +=. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为()222210y x a b a b+=>>，∵()0,10P -在椭圆上，∴10a =.又∵P 到距它较近的一个焦点的距离等于2， ∴()102c ---=，故8c =，∴22236b a c =-=.∴所求椭圆的标准方程是22110036y x +=. 考点：椭圆的定义，椭圆的标准方程. 【题型】解答题【难度】一般14. 【答案】22413y x += 【解析】∵线段AB 的垂直平分线交BC 于M 点，∴MB MA =，又∵2MB MC +=， ∴2MA MC AC +=>，点M 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，此时122,2a c ==，∴1,a =234b =, ∴所求的点M 的轨迹方程是22413y x +=. 考点：椭圆的定义及动点的轨迹方程. 【题型】解答题【难度】一般。

人教版A版高中数学选修1-1：椭圆及其标准方程_图文

y2 a2

x2 b2
1
焦点为(0,-c)，(0,c)焦距为2c。
练一练：（口答）
知
1、如果椭圆 x 2 y 2 1 上一点P到焦点F1的距离等于
识应
100 36
用
6，则点P到另一个焦点F2的距离是。
技
2、动点P（x,y)，若满足 (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 10 则P点的轨迹方程是。
y2 a2

x2 b2
1
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y
设M(x, y)是椭圆上任意一
M
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .
a2 cx a (x c)2 y2 两边再平方，得 a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
由椭圆定义可知 2a 2c,即a c, 所以
a2 c2 0,设a2 c2 b2 (b 0),
所得方程： x2 y2 1 25 9
2、（1）若│F1F2│=7，且│MF1│+│MF2│=9。依照
上面结论不计算过程直接说出M的轨迹方程。
（2）若│F1F2│=10，且│MF1│+│MF2│=26。
3、用符号语言表达出椭圆的定义，猜想椭圆的标准方程。
观
察定义：已知平面内两个定点F1，F2，│F1F2│＝2C，

人教A版高中数学选修第一册同步练习3.1.1 椭圆及其标准方程-A基础练(详细解析版)

3.1.1椭圆及其标准方程 -A 基础练一、选择题1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（） A ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆 D ．到点12(4,0),(4,0)F F -距离相等的点的轨迹是椭圆【正确答案】C【详细解析】对于选项A ,128F F =,故到点12,F F 的距离之和等于8的点的轨迹是线段12F F ,所以该选项错误;对于选项B ,到点1,2,F F 的距离之和等于6的点的轨迹不存在,所以该选项错误;对于选项C ,根据椭圆的定义,知该轨迹是椭圆,所以该选项正确;对于选项D ,点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线,所以该选项错误．故选:C2．（2020·沙坪坝·重庆一中月考）若椭圆22:184x y C +=的右焦点为F ,过左焦点F '作倾斜角为60︒的直线交椭圆C 于P ,Q 两点,则PQF △的周长为（） A．B．C ．6D ．8【正确答案】B【详细解析】由椭圆方程可知28a a =⇒= 根据椭圆的定义可知'2PF PF a +=,'2QF QF a +=,PQF △的周长为''4PQ PF QF PF QF PF QF a ++=+++==3.（2020·天津一中期中）若椭圆2a 2x 2-ay 2=2的一个焦点是(-2,0),则a =（） ABCD【正确答案】C【详细解析】由原方程可得222y 112x a a -=,因为椭圆焦点是(-2,0),所以2124a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,解得a =,因为20a ->,即0a <,所以a =,故选:C 4.（2020·浙江丽水高二月考）已知△ABC 的周长为20,且顶点B （0,﹣4）,C （0,4）,则顶点A 的轨迹方程是（）A ．2213620x y +=（x≠0）B ．2212036x y +=（x≠0）C ．221620x y +=（x≠0）D ．221206x y +=（x≠0）【正确答案】B【详细解析】∵△ABC 的周长为20,顶点B （0,﹣4）,C （0,4）,∴BC ＝8,AB +AC ＝20﹣8＝12,∵12＞8,∴点A 到两个定点的距离之和等于定值,∴点A 的轨迹是椭圆,∵a ＝6,c ＝4,∴b 2＝20,∴椭圆的方程是()22102036x y x +=≠,故选B ．5．（多选题）已知椭圆22:13620x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ,定点(1,4)A ,若点P 是椭圆E 上的动点,则1||PA PF +的值可能为（） A ．7B ．10C ．17D ．19【正确答案】ABC【详细解析】由题意可得2(4,0)F ,则25AF ==,故22|||5PA PF AF -=|．因为点P 在椭圆E 上,所以12212PF PF a +==,所以1212F PF P =-,故1||12||PA PF PA +=+2PF -,由于25||5PA PF --,所以17||17PA PF +,故1||PA PF +的可能取值为7,10,17．6．（多选题）（2020全国高二课时练习）已知P 是椭圆2214x y +=上一点,12,F F 是其两个焦点,则12F PF ∠的大小可能为（）A ．34π B ．23π C ．2π D ．4π 【正确答案】BCD【详细解析】设12,PF m PF n ==,则0,0m n >>,且24m n a +==,在12FPF △中,由余弦定理可得2221212()2122cos 122m n m n mn F PF mn mn mn +-+--∠===-,因为242m n mn +⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以121cos 2F PF ∠-,当且仅当m n =时取等号,故12F PF ∠的最大值为23π,所以12F PF ∠的大小可能为2,,324πππ．故选:BCD 二、填空题7.（2020全国高二课时练）已知椭圆的焦点在y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2√15,则此椭圆的标准方程为 . 【正确答案】y 216+x 2=1【详细解析】由已知2a=8,2c=2√15,所以a=4,c=√15,所以b 2=a 2-c 2=16-15=1.又椭圆的焦点在y 轴上,所以椭圆的标准方程为y 216+x 2=1. 8.椭圆x 212+y 23=1的一个焦点为F 1,点P 在椭圆上,若线段PF 1的中点M 在y 轴上,则点M 的纵坐标为.【正确答案】±√34【详细解析】∵线段PF 1的中点M 在y 轴上且O 是线段F 1F 2的中点,∴OM 为△PF 1F 2的中位线,∴PF 2⊥x 轴,∴点P 的横坐标是3或-3,∵点P 在椭圆上,∴912+y 23=1,即y 2=34,∴y=±√32.∴点M 的纵坐标为±√34.9．（2020河北石家庄二中高二月考）已知椭圆()222:1024x y C b b +=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ,P 为椭圆上一点,13PF =,123F PF π∠=,则b =______．【正确答案】32【详细解析】根据椭圆的定义:2231PF a =-=,在焦点12PF F △中,由余弦定理可得:222212121242cos73c F F PF PF PF PF π==+-⋅=,274c ∴=,则22279444b ac =-=-=,所以,32b =.10．（2020·江西南昌二中高二月考）如图所示,12F F 分别为椭圆2222x y 1a b+=的左右焦点,点P 在椭圆上,2POF ,则2b 的值为 .【正确答案】【详细解析】2POF ,2=解得2c =．(P ∴代入椭圆方程可得:22131a b+=,与224a b =+联立解得:2b = 三、解答题11．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y 轴上,焦距是4,且经过点M (3,2);(2)c ∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 【详细解析】 (1)由焦距是4可得c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a=√32+(2+2)2+√32+(2-2)2=8, 所以a=4,所以b 2=a 2-c 2=16-4=12.又焦点在y 轴上,所以椭圆的标准方程为y 216+x 212=1. (2)由题意知,2a=26,即a=13,又c ∶a=5∶13,所以c=5, 所以b 2=a 2-c 2=132-52=144,因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为x 2169+y 2144=1或y 2169+x 2144=1.12. （2020·富平县富平中学高二月考）已知某椭圆C,它的中心在坐标原点,左焦点为F （﹣,0）,且过点D （2,0）．（1）求椭圆C 的标准方程;（2）若已知点A（1,）,当点P在椭圆C上变动时,求出线段PA中点M的轨迹方程．【详细解析】（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上,∵椭圆经过点D（2,0）,左焦点为F（﹣,0）,∴a=2,c=,可得b=1因此,椭圆的标准方程为．（2）设点P的坐标是（x0,y0）,线段PA的中点为M（x,y）,由根据中点坐标公式,可得,∵点P（x0,y0）在椭圆上,∴可得,化简整理得,∴线段PA中点M的轨迹方程是．。

2013-2014学年高中数学人教A版选修1-1 第二章 2.1.1(一)椭圆及其标准方程(一)

在△PF1F2 中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4.
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|.
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2.1.1（一）
本讲栏目开关
3 从而有(4－|PF1|) ＝|PF1| ＋4.解得|PF1|＝ . 2
标准方程焦点 a、b、c 的关系
y2 x2 ＋＝1 (a>b>0) a2 b2
(0，－c)(0，c)
(－c,0)(c,0) c2＝a2－b2
c2＝a2－b2
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.1（一）
引言
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在生活中，我们对椭圆并不陌生.油罐汽车的贮油罐横
截面的外轮廓线、天体中一些行星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光斜照在圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形的.在学习中，椭圆其实比圆更加让我们熟知，无论是数学中的 0，还是字母中的 O，我们都能看到椭圆的踪影. 那么椭圆是怎样定义的呢？
k－4>0，点在 x 轴上的椭圆，则10－k>0， k－4>10－k，
小结
(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式.
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2.1.1（一）
m>0， x y (2) ＋＝1 表示椭圆的条件是n>0， m n m≠n；
2 2
表示焦点在 x 轴
本讲栏目开关
m>0，上的椭圆的条件是n>0， m>n； m>0，件是n>0， n>m .
表示焦点在 y 轴上的椭圆的条

【同步练习】《椭圆及其标准方程》(人教A版)-1-2

221椭圆及其标准方程同步练习1 •椭圆X2 + 4y 2= 1的离心率为（）A 並B3A' 2 B.4 cdD.2 2 32 22•已知（4,2）是直线I 被椭圆36+ y 9= 1所截得的线段的中点，贝Ul 的方程是（）A. x — 2y = 0 B • x + 2y -4= 0 C. 2x + 3y + 4 = 0D . x + 2y — 8= 02 2 3. 过椭圆＞4 + y 2 = 1的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于 A B 两点，已知双曲线的焦点在 x 轴A-2 B'♦填空题2 24. 椭圆+ + 2 = 1的焦点为F 1, F 2,点P 在椭圆上，若| PF | = 4,则| P 冋= _____________ ，/ RPR 的大小为 _________2 2x y5. 已知F 1、F 2是椭圆孑+ £= 1的左、右焦点，点角平分线的垂线，交 F 2P 的延长线于 M 则点M 的轨迹方程是 ___________ .26. （2011 •浙江高考）设F 1, F 2分别为椭圆x 3 + y 2= 1的左，右焦点，点A , B 在椭圆上，若F 1A =5F 2B,则点A 的坐标是 ___________7. （2011 •全国课标卷）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1, H 在x轴上，离心率为过R 的直线l 交C 于A , B 两点，且△ ABF 的周长为16,那么C 的方程为 ____________ .上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A B 两点，则双曲线的离心率e 为（）P 是椭圆上任意一点，从 R 引/ RPF 的外♦解答题& (10分)(2010 •天津高考)已知椭圆£+ y2 = 1(a>b>0)的离心率e=¥，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线I与椭圆相交于不同的两点A, B.已知点A的坐标为(一a, 0)，点Q0, y o)在线段AB的垂直平分线上，且QA- Q B= 4，求y o的值.9、设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于，两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为;(1)求椭圆的焦距；2)如果，求椭圆的方程.答案和解析♦选择题」1、解析：•/ a = 1, b = f ，二 c = a 2- b 2 =¥，二 e =£=#，故选 A. 答案：A2 22、解析：设I 与椭圆的两交点分别为(X i , y i )、(X 2, y 2)，则得y 2一 =-—，所以y -X i — X 2 36 X i — X 21 ―2.1故方程为 y — 2= — ^(X — 4)，即 x + 2y — 8= 0. 答案：D=± b x ，因为A 、B 在渐近线上，所以a=~2'答案：C♦填空题k _________ ___________ )4、解析：由椭圆的定义知| PF | + | PF | = 2a = 2X 3 = 6，因为| PF | = 4,所以| PF 2| = 2. •••/ FFF = 120° 答案：2120 °5、解析：由题意知| MP = | F 1P | , • | PF | +1 PR| = | MF = 2a . •••点M 到点F 2的距离为定值2a .•••点M 的轨迹是以点 F 2为圆心，以2a 为半径的圆，其方程为(x — a 2— b 2)2+ y 2= 4a 2. 答案：(x — , a 2— b 2)2+ y 2= 4a 216、解析：设 A (X 1, y" , B (X 2, y 2)，由 F( — 2, 0) , F 2( .2, 0)且％= 5冃B 得 X 2= "5(X 1解析: A 2, 1) , B ( 2,— 1)，设双曲线为X —2 a y—卩二1(a >0, b >0)，渐近线方程为 1=! 2,在厶PFF 2中, cos / FPF 2=| PF | 2+ | PF | 2—| 冃冋 2= 2| PF || PF = 12.b 2 c—— e — a 2， a答案：(0 ,± i) 由于△ ABF 的周长为 | AE | + | BF 2| + | AF 2| = | AIF | + | AF 2| + | BF | + | BF 2| = 4a = i6,故 a = 4. ••• b 2= 8.2 2•椭圆C 的方程为1~6+鲁=1.2 2答案箱+鲁=1♦解答题8、解:(1)由 e =£=¥，得 3a? = 4c 〔a 2 再由 c 2= a 2—b 2, 得 a = 2b . i由题意可知x 2a x 2b = 4,即ab = 2.a = 2b , 解方程组得a = 2, b = 1.|ab = 2,2 X 2所以椭圆的方程为-+ y 2= 1.⑵由⑴可知A — 2,0）.设B 点的坐标为（x i , y i ），直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y = k （x + 2）.y = k x + 2!于是A, B 两点的坐标满足方程组 x 2 217+y = j由方程组消去y 并整理，得2 2 2 2(1 + 4k )x + 16kx + (16k — 4) = 0.1+ 6 2） , y 2= 5『i .又A B 两点在椭圆上，故有2X i2 ,3 + yi =1,x i + 6〔75消去y i—X i 25=iX i + 6 .-2 2— x 2324,有X i = 0，从而y i =± i ，故点A 的坐标为（0,i ）和（0，—1).7、解析b 2 i故厂2设椭圆方程为 a 2 + 右=i(a >b >0)，由 e = #知£=¥，24k从而 yi = i +k 2. 设线段AB 的中点为M……… 8 k 2 2k 则M 的坐标为（一 2, 2）.1 + 4k 1 + 4k 以下分两种情况：① 当k = 0时，点B 的坐标为（2,0），线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA =（ y o ） , QB= （2，一 y o ）.由 QA- QB= 4，得 y o =± 2 2.② 当k z 0时，线段AB 的垂直平分线方程为 22k 1 8ky —=一 k （X + 1+^?）.由一2x i =16k — 4 1 +得X i =2— 8k 2 1 + 4k 2.—2,—令x = 0,解得y o = —6k 1 + 4k 2.2由QA= ( —2，—y o) , QB= (X1, y1 —y o). S A- 3B=—2X1 —y o(y1 —y o)2_ —2 2—8k 6k 4k 6k= 1 + 4k2 +1 + 4k2 (1+ 4k2 + 1 + 4k2)4 24 16k + 15k —1=4,整理得7k= 2，故k=±今.所以yo=±書综上，y o=± 2 .2或y o =± 2_1459、解：（1）设焦距为，由已知可得到直线的距离，故, 所以椭圆的焦距为4;（2）设，由题意知直线的方程为联立得，解得，因为，所以即得，又，故故椭圆的方程为•1 + 4k。

高二数学人教A版选修1-1学案第二章2-12-1-1椭圆及其标准方程Word版含答案

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第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程1.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}．定义中的常数不满足2a>|F1F2|时点的轨迹是什么？提示：(1)当|PF1|＋|PF2|＝2a<|F1F2|时，P的轨迹不存在.(2)当|PF1|＋|PF2|＝2a＝|F1F2|时，P的轨迹为以F1，F2为端点的线段．2．椭圆的标准方程椭圆标准方程的两种形式焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x轴上x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)F1(－c，0)，F2(c，0)2c焦点在y轴上y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)F1(0，－c)，F2(0，c)2c(1)从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．(2)在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？提示：不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．()提示：(1)×.因为2a＝|F1F2|＝8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆．(2)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．( )提示：(2)×.2a<|F 1F 2|，动点的轨迹不存在．(3)平面内到点F 1(－4，0)，F 2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆．( ) 提示：(3)√.符合椭圆的定义．(4)平面内到点F 1(－4，0)，F 2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．( ) 提示：(4)×.平面内到点F 1(－4，0)，F 2(4，0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．2．椭圆x 216 ＋y 225 ＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若||PF 1 ＝2，则||PF 2 ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】选D.由题意a ＝5，||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ，所以||PF 2 ＝2a －||PF 1 ＝10－2＝8.3．(教材二次开发：例题改编)设F 1，F 2为定点，||F 1F 2 ＝6，动点M 满足||MF 1 ＋||MF 2 ＝10，则动点M 的轨迹是________．(从以下选择：椭圆．直线．圆.线段)【解析】动点M 满足||MF 1 ＋||MF 2 ＝10>6＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆．答案：椭圆类型一求椭圆的标准方程(数学运算)1．(2021·昆明高二检测)已知椭圆的两个焦点是⎝⎛⎭⎫－3，0 ，⎝⎛⎭⎫3，0 ，且点⎝⎛⎭⎫0，2 在椭圆上，则椭圆的标准方程是( )A ．x 213 ＋y 24 ＝1 B ．x 29 ＋y 24 ＝1 C ．x 24 ＋y 213 ＝1D ．x 213 －y 24 ＝1【解析】选A.由题意，因为椭圆的两个焦点是(－3，0)，(3，0)，所以c ＝3，且焦点在x 轴上，又因为椭圆过点⎝⎛⎭⎫0，2 ，所以b ＝2，根据a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝13 ，故椭圆的标准方程为x213＋y 24 ＝1.2．已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的左焦点为F(－ 3 ，0)，且椭圆C 上的点与长轴两端点构成的三角形面积最大值为3 2 ，则椭圆C 的方程为( ) A ．x 23 ＋y 2＝1 B ．x 24 ＋y 2＝1 C ．x 26 ＋y 23 ＝1D ．x 29 ＋y 26 ＝1【解析】选C.因为椭圆C 的左焦点为F(－ 3 ，0)，所以c ＝ 3 ，又因为椭圆C 上的点与长轴两端点构成的三角形面积的最大值为3 2 ，即12 ×2a×b ＝ab ＝3 2 ①又因为a 2＝b 2＋c 2，即a 2＝b 2＋3② 由①②解得：a ＝ 6 ，b ＝ 3 ，椭圆C 的方程为x 26 ＋y 23 ＝1.3．求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12的椭圆的标准方程．【解析】方法一：(1)当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0).依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14．由a>b>0，知不合题意，故舍去．(2)当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2 ＋x 2b 2 ＝1(a>b>0).依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15．所以所求椭圆的标准方程为y 214 ＋x 215＝1.方法二：设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0，m≠n).则⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132n ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1，故椭圆的标准方程为y 214 ＋x 215＝1.1．求曲线方程首先考虑比较简单的定义法，也可以用待定系数法． 2．待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是在两个坐标轴上都有可能． (2)设方程．①依据上述判断设方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)或y 2a 2 ＋x 2b 2 ＝1(a>b>0)； ②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0且m≠n).(3)找关系：依据已知条件，建立关于a ，b 或m ，n 的方程组．(4)得方程：解方程组，将a ，b 或m ，n 代入所设方程即为所求．提醒：焦点所在坐标轴不同，其标准方程的形式也不同．类型二椭圆中的焦点三角形问题(数学运算)【典例】(1)椭圆x 29 ＋y 22 ＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，求∠F 1PF 2的大小．(2)已知椭圆x 24 ＋y 23 ＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．【思路导引】【解析】(1)由x 29 ＋y 22 ＝1，知a ＝3，b ＝ 2 ，所以c ＝7 ，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2| ＝－12 ，所以∠F 1PF 2＝120°.(2)由x 24 ＋y 23 ＝1，知a ＝2，b ＝ 3 ，所以c ＝a 2－b 2 ＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.① 由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4.② 由①②联立得|PF 1|＝65 .所以12PFF S ＝12 |PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2 ＝12 ×65 ×2×32 ＝335 .1．椭圆定义的应用(1)实现椭圆上的点与两个焦点连线长度之间的相互转化． (2)将椭圆上的点与两焦点连线的和看成一个整体，求解定值问题． 2．椭圆定义解题的整体思想对于椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2构成的△F 1PF 2，如果已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12 |PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出|PF 1|和|PF 2|，这样可以减少运算量．1．已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，离心率为33 ，过点F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为4 3 ，则C 的方程为________．【解析】由题意及椭圆的定义知4a ＝4 3 ，则a ＝ 3 .又c a ＝c 3 ＝33 ，所以c ＝1.所以b 2＝2. 所以C 的方程为x 23 ＋y 22 ＝1. 答案：x 23 ＋y 22 ＝12．已知P 是椭圆y 25 ＋x 24 ＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点且∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积是________．【解析】由椭圆方程知a ＝5 ，b ＝2，所以c ＝a 2－b 2 ＝1，所以|F 1F 2|＝2，又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5 . 在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－ 2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°，即4＝20－(2＋ 3 )|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝16(2－ 3 )，12PFF S＝12 |PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12 ×16(2－ 3 )×12 ＝8－43 . 答案：8－4 3【拓展延伸】椭圆中的焦点三角形：椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．【拓展训练】在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝α，点P 的坐标为(x 0，y 0)，求证：△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝c|y 0|＝b 2tan α2 .【证明】12PFF SS △PF 1F 2＝12 |F 1F 2||y 0|＝c|y 0|.在△PF 1F 2中，根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a. 两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.① 根据余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2| cos α＝4c 2.②， ①－②，得(1＋cos α)|PF 1||PF 2|＝2b 2，所以|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos α.根据三角形的面积公式得12PFF S ＝12 |PF 1||PF 2|sin α ＝12 ·2b 21＋cos α ·sin α＝b 2·sin α1＋cos α. 又因为sin α1＋cos α ＝2sin α2cos α22cos 2α2 ＝sin α2cos α2＝tan α2 ，所以12PFF S ＝b 2tan α2 . 类型三与椭圆有关的轨迹问题(直观想象、数学运算)定义法【典例】一个动圆与圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．【思路导引】由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．【解析】由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q 1(－3，0)，R 1＝1；Q 2(3，0)，R 2＝9.设动圆圆心为M(x ，y)，半径为R ，如图．由题设有|MQ 1|＝1＋R ，|MQ 2|＝9－R ，所以|MQ 1|＋|MQ 2|＝10>|Q 1Q 2|＝6.由椭圆的定义知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3. 所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.若将“圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1”改为“圆Q1：(x＋3)2＋y2＝9”，试求这个动圆圆心的轨迹方程．【解析】由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，R1＝3；Q2(3，0)，R2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R.由题设有|MQ1|＝3＋R，|MQ2|＝9－R，所以|MQ1|＋|MQ2|＝12>|Q1Q2|＝6.由椭圆的定义知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝6，c＝3.所以b2＝a2－c2＝36－9＝27，椭圆方程为x236＋y227＝1，又当M在点(－6，0)时，不存在圆符合题意，所以x≠－6，故动圆圆心的轨迹方程为x236＋y227＝1(x≠－6).代入法(相关点法)【典例】已知P是椭圆x24＋y28＝1上一动点；O为坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程为________．【思路导引】点Q为OP的中点⇒点Q与点P的坐标关系⇒代入法求解．【解析】设Q(x ，y)，P(x 0，y 0)，由点Q 是线段OP 的中点知x 0＝2x ，y 0＝2y ，又x 20 4 ＋y 20 8 ＝1，所以（2x ）24 ＋（2y ）28 ＝1，即x 2＋y 22 ＝1.答案：x 2＋y 22 ＝11．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．2．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x ，y)与另一个已知曲线C ：F(x ，y)＝0上的动点Q(x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程 F(x ，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法).1．已知动圆M 过定点A(－3，0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解析】设动圆M 的半径为r ，则|MA|＝r ，|MB|＝8－r ，所以|MA|＋|MB|＝8，且8>|AB|＝6，所以动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(－3，0)，B(3，0)，且2a ＝8，所以a ＝4，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.所以所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216 ＋y 27 ＝1.2．(2021·洛阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且||F 1F 2 是||PF 1 与||PF 2 的等差中项．(1)求此椭圆方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．【解析】(1)设所求椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)，根据已知可得||F 1F 2 ＝2，所以||PF 1 ＋||PF 2 ＝4＝2a ，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，所以此椭圆方程为x 24 ＋y 23 ＝1；(2)在△PF 1F 2中，设||PF 1 ＝m ，||PF 2 ＝n ，由余弦定理得4＝m 2＋n 2－2mn·cos 60°，所以4＝(m ＋n)2－2mn －2mn·cos 60°＝16－3mn ，mn ＝4，所以12PFF S S △PF 1F 2＝12 mn·sin 60°＝12 ×4×32 ＝3 .1．若方程x 220＋a ＋y 24－a ＝1表示椭圆，则实数a 的取值范围是() A ．⎝⎛⎭⎫－20，4B ．⎝⎛⎭⎫－20，－8 ∪⎝⎛⎭⎫－8，4C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－20 ∪⎝⎛⎭⎫4，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－20 ∪⎝⎛⎭⎫－8，＋∞【解析】选B.因为方程x 220＋a ＋y 24－a＝1表示椭圆，所以有⎩⎪⎨⎪⎧20＋a>0，4－a>0，20＋a≠4－a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a>－20，a<4，a≠－8⇒－20<a<－8或－8<a<4.2．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A ．x 2100 ＋y 236 ＝1B ．y 2400 ＋x 2336 ＝1C ．y 2100 ＋x 236 ＝1D ．y 220 ＋x 212 ＝1【解析】选C.由已知c ＝8，2a ＝20，所以a ＝10，b 2＝a 2－c 2＝36，故椭圆的方程为y 2100 ＋x 236 ＝1. 3．若方程x 2m ＋y 21－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为________．【解析】由题可知，方程x 2m ＋y 21－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得1－m>m>0，解得：0<m<12 ，所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，12 . 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 4．如果方程x 2a 2 ＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．【解析】由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎨⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎨⎧（a ＋2）（a －3）>0，a>－6. 解得a>3或－6<a<－2. 答案：(3，＋∞)∪(－6，－2)关闭Word 文档返回原板块。

2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：2.1.1椭圆及其标准方程 Word版含答案

►基础梳理1．椭圆的定义及标准方程．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程(请同学们自己填写表中空白的内容)：焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)焦点 (±c ，0) (0，±c )a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 22.只有当||PF 1＋||PF 2＝2a >||F 1F 2时，点P 的轨迹才是椭圆；当||PF 1＋||PF 2＝2a ＝||F 1F 2时，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当||PF 1＋||PF 2＝2a <||F 1F 2时，点P 的轨迹不存在． 3．正确理解椭圆的两种标准形式． (1)要熟记a ，b ，c 三个量的关系．椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离和的一半，正数a ，b ，c 恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c ，且a 2＝b 2＋c 2，其中c 是焦距的一半，叫做半焦距．(2)通过标准方程可以推断焦点的位置，其方法是：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．4．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作推断：依据条件推断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述推断设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或x 2b 2＋y 2a2＝1．②在不能确定焦点位置的状况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，依据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求．,►自测自评1．到两定点F 1(－4，0)和F 2(4，0)的距离之和为8的点M 的轨迹是线段F 1F 2．2．椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1． 3．已知a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为x 27＋y 216＝1．4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)．1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是(C ) A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是(D ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 解析：由题意知，所求椭圆的焦点在x 轴上，可以排解A 、B ；再把点⎝⎛⎭⎫52，－32代入方程，可知应选D. 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．答案：2 24．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a ＝4，b ＝3焦点在x 轴上； (2)a ＝5，c ＝2焦点在y 轴上；(3)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点⎝⎛⎭⎫63，3和点⎝⎛⎭⎫223，1.答案：(1)x 216＋y 29＝1；(2)y 225＋x 221＝1；(3)x 2＋y 29＝1.5．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1，(a ＞b ＞0)的左右两焦点，若椭圆C上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1、F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程及焦点坐标．解析：椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上， ∴122＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，解得b 2＝3. ∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F (±1，0)．。

人教版A版高中数学选修1-1：椭圆及其标准方程

y2 b2
1 ，（a b 0）.
焦点在y轴 :
y2 a2

x2 b2
1 ，（a b 0）.
例1 练习例2 小结
课后练习：
①推导椭圆焦点在y轴上的标准方程 ②习题8.1 3. ⑴ , ⑷
谢谢大家！
代入相应的标准形式…
思路二：待定系数法
判断出焦点所在坐标轴，设出相应方程… 列方程组，求a、b的值…
例1 练习例2 小结
课堂小结：
1. 椭圆定义
平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于|F1F2|) 的点的集合．
P={M | |MF1|＋|MF2|=2a }． 2.两种标准方程
焦点在x轴
： x2 a2
∴ a2＝25，c2＝16．∴ b2=a2－c2=9．
∴ 所求椭圆的标准方程为
例1 练习例2 小结
练习：
动点M到两个定点A（0，- 6）、B（0，6）的距离的和是20，求动点M的轨迹方程。
解： M到两焦点距离的和等于20 ，也就是2a=20
又由两个焦点的坐标得c= 6
∴ a2＝100，c2＝36． ∴ b2=a2－c2=64．
y2 x2
∴ 所求椭圆的标准方程为
1
100 64
例1 练习例2 小结
(2)两个焦点的坐标分Байду номын сангаас是A(0,－2)、B(0,2)，并且椭
圆经过点C (- 3 ,5 )的椭圆方程.
22
y
思路一：直接法
已知A、B、C三点坐标，
2B C
2a=|AC|+|BC|=…
C=2
O
x
b2 =a2－c2…
-2 A

人教新课标版(A)高二选修1-1 2.1.2椭圆及其标准方程(二)同步练习题

人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.1.2 椭圆及其标准方程（二）同步练习题【基础演练】题型一：椭圆中的基本运算在椭圆中，a 2|PF ||PF |21=+，0b a >>，222c b a +=等都存在相互的关系，从方程的角度分析，可得方程（组）去求解，注意，在标准形式下，哪个表示a （或2a ），哪个表示b （或2b ），请用以上知识解决以下1~4题。

1. 已知椭圆的方程是125y ax 222=+（5a >），它的两个焦点分别为1F 、2F ，且8|F F |21=，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为A. 10B. 20C. 412D. 4142. 点P 是椭圆19y 25x 22=+上一点，以点P 以及焦点1F 、2F 为顶点的三角形的面积等于4，则P 点的坐标是A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±3210,1B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±±3210,1C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛±±1,3210D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,3210 3. “2k >”是方程“1k5y 2k x 22=-+-”表示的曲线是椭圆的 A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 椭圆115y m x 22=+的焦距等于2，则m 的值是 A. 5或3 B. 16或14 C. 5 D. 16题型二：求椭圆的方程求椭圆的方程的常用方法有：待定系数法、直译法、定义法、相关点法、几何法等，请根据以上知识解决以下5~9题。

5. 已知椭圆过点P ⎪⎭⎫⎝⎛-4,53和点Q （3,54-），则此椭圆的标准方程是A. 1x 25y 22=+B. 1y 25x 22=+ C. 1y 25x 22=+或125y x 22=+ D. 以上都不对6. 椭圆的两焦点为（-2，0）和（2，0），且椭圆过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,25，则椭圆的方程是A. 14x 8y 22=+ B.16x 10y 22=+ C. 18x 4y 22=+D.16y 10x 22=+ 7. 已知A 、B 两点的坐标分别为（0，-5）和（0，5），直线MA 与MB 的斜率之积为94-，则M 的轨迹方程是A. 19100y 25x 22=+B. ()5x 19100y 25x 22±≠=+C. 125y 4225x 22=+D. ()0x 125y 4225x 22≠=+8. 与椭圆4y 4x 22=+有公共的焦点，且经过点A （2，1）的椭圆的方程为_________。

高中数学人教A版选修(1-1) 2.1 教学课件《2.1.1 椭圆及其标准方程》(人民教育出版社)

人民教育出版社高二年级|选修1-1
【自主解答】 (1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于 F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.
(2)由椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF1|＝2a， ∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝ 20， ∴△ABF1的周长为20. 【答案】 (1)线段F1F2 (2)20
(1)已知 F1(－4,0)，F2(4,0)，则到 F1、F2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是________；
(2)椭圆1x62 ＋2y52 ＝1 的两焦点分别为 F1、F2，过 F2 的直线交椭圆于 A、B 两点，则△ABF1 的周长为________．
【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆的定义求△ABF1的周长？
【解】设P(x0，y0)，AP的中点M(x，y)，则
x＝x0－2 5， y＝y20，
即xy00＝＝22xy＋，5，代入椭圆方程2x52 ＋1y62 ＝1，
得2x2＋552＋y42＝1，所以AP中点M的轨迹方程是2x2＋552＋y42＝1.
人民教育出版社高二年级|选修1-1
人民教育出版社高二年级|选修1-1
【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)， ∴2a＝ 5＋42＋ 5－42＝10， ∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9，故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
人民教育出版社高二年级|选修1-1
人民教育出版社高二年级|选修1-1
1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆的定义可知，集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0， c＞0，且 a、c 为常数．

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第二章 2.2 第1课时一、选择题1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段[答案] D[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是( )A ．5B ．3或8C ．3或5D ．20 [答案] C[解析] 2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝1或4－m ＝1， ∴m ＝5或m ＝3，故选C.3．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( ) A ．(±a －b ，0) B ．(±b －a ，0) C ．(0，±a －b ) D ．(0，±b －a ) [答案] D [解析]ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a＝1，∵a <b <0，∴－a >－b >0， ∴焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b ＝b －a ，∴焦点坐标为(0，±b －a )．4．(2014·长春市高二期末调研)中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( )A.x 281＋y 245＝1 B ．x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 272＝1 D ．x 281＋y 236＝1[答案] C[解析] 由长轴长为18知a ＝9，∵两个焦点将长轴长三等分，∴2c ＝13(2a )＝6，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72，故选C.5．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A ．95B ．3C ．977D ．94[答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7. ∵△PF 1F 2为直角三角形．且b ＝3>7＝c . ∴F 1或F 2为直角三角形的直角顶点， ∴点P 的横坐标为±7，设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94.6．(2014·洛阳市期末)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1 C.x 220＋y 25＝1 D ．x 25＋y 220＝1[答案] C[解析] 由椭圆过点(2,2)，排除A 、B 、D ，选C. 二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.8．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________________.[答案] 2 3[解析] 由题意S △POF 2＝34c 2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋4. ∴点P 坐标为(1，3)，把x ＝1，y ＝3代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1中得，1b 2＋4＋3b 2＝1，解得b 2＝2 3. 三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b 2＝1，又a ＝3b ，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2＝1. 当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x 29＝1. 故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2＝1.10．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2， ∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |，∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆， ∴a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1.一、选择题11．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <2D ．m <－1或1<m <32[答案] D[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1>0，2－m >0，2－m >|m |－1.即⎩⎪⎨⎪⎧m >1或m <－1，m <2，m <32.∴1<m <32或m <－1，故选D.[点评] 解答本题应注意，方程表示椭圆，分母应取正值，焦点在y 轴上，含y 2项的分母较大，二者缺一不可．12．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0)C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0)[答案] D[解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D.13．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线[答案] A[解析] ∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PQ |＋|PF 1|＝2a ，又∵F 1、P 、Q 三点共线， ∴|PF 1|＋|PQ |＝|F 1Q |，∴|F 1Q |＝2a .即Q 在以F 1为圆心，以2a 为半径的圆上．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (0，－2)和C (0,2)，顶点B 在椭圆y 212＋x 28＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值是( ) A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4 [答案] A[解析] 由椭圆定义得|BA |＋|BC |＝43，又∵sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝434＝3，故选A.二、填空题15．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，若|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程是________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析] 由题意得2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|， ∴4c ＝2a ，∵c ＝1，∴a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.16．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.[答案] 35[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知， |P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35.[点评] 对椭圆的定义要正确理解、熟练运用，解决与焦点有关的问题时，要结合图形看能否运用定义．三、解答题17．(2013·四川省绵阳中学月考)求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)a c ＝135，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析] (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又a c ＝135，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.[点评] 用待定系数法求椭圆的标准方程时，要首先进行“定位”，即确定焦点的位置；其次是进行“定量”，即求a 、b 的大小，a 、b 、c 满足的关系有：①a 2＝b 2＋c 2；②a >b >0；③a >c >0.若不能确定焦点的位置，可进行分类讨论或设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)的形式．18．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 根据椭圆定义有m ＋n ＝20，又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144， ∴mn ＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.。