高中数学(人教A版)选修1练习221椭圆及其标准方程]

第二章 2.2 第1课时

一、选择题

1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段

[答案] D

[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.

2．椭圆x 2m ＋y 2

4＝1的焦距是2，则m 的值是( )

A ．5

B ．3或8

C ．3或5

D ．20 [答案] C

[解析] 2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝1或4－m ＝1， ∴m ＝5或m ＝3，故选C.

3．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a

ax 2＋by 2＋ab ＝0

可化为x 2－b ＋y 2

－a

＝1，

∵a －b >0， ∴焦点在y 轴上，c ＝

－a ＋b ＝

b －a ，

∴焦点坐标为(0，±b －a )．

4．(2014·长春市高二期末调研)中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( )

A.x 281＋y 2

45

＝1 B ．x 281＋y 2

9

＝1

C.x 281＋y 2

72＝1 D ．x 281＋y 2

36

＝1

[答案] C

[解析] 由长轴长为18知a ＝9，∵两个焦点将长轴长三等分，∴2c ＝1

3(2a )＝6，∴c ＝3，

∴b 2＝a 2－c 2＝72，故选C.

5．已知椭圆x 216＋y 2

9＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是

一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )

A ．95

B ．3

C ．977

D ．94

[答案] D

[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7. ∵△PF 1F 2为直角三角形．且b ＝3>7＝c . ∴F 1或F 2为直角三角形的直角顶点， ∴点P 的横坐标为±7，

设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝9

4

.

6．(2014·洛阳市期末)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )

A.x 2

16＋y 2＝1 B ．x 2＋

y 2

16

＝1 C.x 220＋y 2

5＝1 D ．x 25＋y 2

20

＝1

[答案] C

[解析] 由椭圆过点(2,2)，排除A 、B 、D ，选C. 二、填空题

7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．

[答案] x 24＋y 2

3

＝1

[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝2，

c ＝1.

故b 2

＝a 2

－c 2

＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 2

3

＝1.

8．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆

上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________________.

[答案] 2 3

[解析] 由题意S △POF 2＝

34

c 2

＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋4. ∴点P 坐标为(1，3)，把x ＝1，y ＝3代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2

b 2＝1中得，

1b 2＋4＋3b 2＝1，解得b 2＝2 3. 三、解答题

9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．

[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋

0b 2＝1，又a ＝3b ，解得b 2＝1，a 2

＝9，故椭圆的方程为x 29

＋y 2

＝1. 当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a >b >0)．

由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9

b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程

为y 281＋x 2

9

＝1. 故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29

＋y 2

＝1.

10．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －1

2) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直

平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．

[解析] 如图所示，由题意知，

|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2， ∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |，