均值不等式练习题

均值不等式知识点:

二、习题讲解：

例1： (1)求y = x+Z(x>O)的最小值

(2)求y = x + 2(x ≥ 2)的最小值

X

(3)己知x>2,求y = x+ —的最小值x-2

变式训练：

4

1.已知x>o,求y = 2- X -一的最大值

X

2.当x>-l时，求f(x)= x+ —的最小值

x + 1

3•已知xv-∙求函数y=4x-2+—-一的最上值

4 4x-5

4•己知JU b. c ∈ R »求证：a2 +b2 + c2≥ ab+bc+ ac

y= 2-3x--(x>0)的最大值是2-4石

5・X

6.y = ZxH—-—,x>3

x-3

7.y = 2sinx÷-—,xu(O,τr)

Sin X

例2： (1)已知OVXV丄，求y =ZX(I-2x)的最衣值

2 2

(2)已知：a、b都是正数，Ka + b = l, α=a÷i, β = b+-f求a+β的最小值a b

变式训练：

1.己知OVXV 求函数y =x(l - 3x)的最大值

2.当0 Cx <4时，求y =χ(8 - 2x)的最人值。

3.设0

4已知Ovxvl,求函数y =Jx(I-X)的最大值.：

o

5. 3

6若x+2y = l,则2x + 4y的最小值是_______

7.已知x,yeRJ且满足- + ∑ = 1,则Xy的绘大值为__________

2.设x ∈f θ,-1,则函数y = 2血x + 1的最小值为

2 丿 sin2x

5 Z X Y - — 4x+ S

3.己知Xnz 则f(x)=-~~ 的最小值

2 2x-4 y=手宀的最小值是

4. √X 2 + 2

IK X 2 + 7x+10 “ 一… 求y= (x>-l)的值域。

χ- + 5

6求函数y =-==的值域。

7•设x ，y,z 为正实数.且满足x-2y+3z = 0 •则的最小值

例 4：己知a,b,cwR+,且a + b+c = l∙求证：丄 + —+ - ≥9

变式训练：

1 4

1.己知a >0,b >0,a +b= 2 >则y = — +二的最小值是 2正数x 5y 满足X +2y = l,求l∕x+l∕ y 的最小值。

例3：求函数y = X - +3x+3 x+1

(x>-l)的1⅛小值 变式训

练:

3.设a >0,b>0.若是3'与扌的等比中项，则的瑕小值为( ).

a b

1

A . 8

B . 4 C. 1 D∙ —

4

1 9

4 B⅛x>O,y>0 ,且一 + —= 1,求x+ y 的最小值。

X Y

5a⅛a,b,χ,y∈R+且仝+2 = 1,求χ+y的最小值

X y

例6：若a >0,b>0,则A=J^+b^,B = ^≥,C = √^b, D = -^-的大小顺序为:

V 2 2 1 丄1

—十—

a b

1.若函数χ,y满足X? + y2 + Xy = It则x+ y的Ai大值是:

2.函数y= y∣3χ + Vl - 3x的最人值是

3.若正数a,b满足ab-(a +b)= 1,则ab的最小值为

综合练习：

i ■+ 4十b+ C- a c+a-b a + b — c_

己知a,b,cwR ,求证： ---------- + --------- + -------- ≥3

a b C

已a,b,c G R+,求证：—+ — + ≥ a + b + c

a b C

g2 I)2 ς2

己知a,b,cwR∖求证：一+— + —≥a +b+ c

b Ca

判断卜•列命题：

(1)•・• a,b ∈ R+,.∙.- + - ≥ 2 J- • - = 2

a b Yab

(2)vx,y∈ R+,.*.lgx+lgy≥2λ∕lgx∙lgy

(3)va∈R,a≠0,.∙.- + a≥2

a