行程问题解题技巧

行程问题解题技巧

走走停停的要点及解题技巧

一、行程问题里走走停停的题目应该怎么做

1.画出速度和路程的图。

2.要学会读图。

3.每一个加速减速、匀速要分清楚，这有利于你的解题思路。

4.要注意每一个行程之间的联系。

二、学好行程问题的要诀

行程问题可以说是难度最大的奥数专题。

类型多：行程分类细，变化多，工程抓住工作效率和比例关系，而行程每个类型重点不一，因此没有一个关键点可以抓

题目难：理解题目、动态演绎推理——静态知识容易学，动态分析需要较高的理解能力、逻辑分析和概括能力

跨度大：从三年级到六年级都要学行程——四年的跨度，需要不断的复习巩固来加深理解、夯实基础

那么想要学好行程问题，需要掌握哪些要诀呢？

要诀一：大部分题目有规律可依，要诀是"学透"基本公式

要诀二：无规律的题目有"攻略"，一画（画图法）二抓（比例法、方程法）

竞赛考试中的行程题涉及到很多中数学方法和思想（比如：假设法、比例、方程）等的熟练运用，而这些方法和思想，都是小学奥数中最为经典并能考察孩子思维的专项。

例1.甲乙两人同时从一条800环形跑道同向行驶，甲100米/分，乙80米/分，两人每跑200米休息1分钟，甲需多久第一次追上乙？

【解答】这样的题有三种情况：在乙休息结束时被追上、在休息过程中被追上和在行进中被追上。很显然首先考虑在休息结束时的时间最少，如果不行再考虑在休息过程中被追上，最后考虑行进中被追上。其中在休息结束时或者休息过程中被追上的情况必须考虑是否是在休息点追上的。

由此首先考虑休息800÷200－1＝3分钟的情况。甲就要比乙多休息3分钟，就相当于甲要追乙800＋80×3＝1040米，需要1040÷（100－80）＝52分钟，52分钟甲行了52×100＝5200米，刚好是在休息点追上的满足条件。行5200米要休息5200÷200－1＝25分钟。

因此甲需要52＋25＝77分钟第一次追上乙。

例2.在400米环形跑道上，A、B两点的跑道相距200米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他们每人跑100米都停5秒．那么，甲追上乙需要多少秒？

【解答】这是传说中的“走走停停”的行程问题。

这里分三种情况讨论休息的时间，第一、如果在行进中追上，甲比乙多休息10秒，第二，如果在乙休息结束的时候追上，甲比乙多休息5秒，第三，如果在休息过程中且又没有休息结束，那么甲比乙多休息的时间，就在这5～10秒之间。显然我们考虑的顺序是首先看是否在结束时追上，又是否在休息中追上，最后考虑在行进中追上。

有了以上的分析，我们就可以来解答这个题了。我们假设在同一个地点，甲比乙晚出发的时间在200/7＋5＝235/7和200/7＋10＝270/7的之间，在以后的行程中，甲就要比乙少用这么多时间，由于甲行100米比乙少用100/5－100/7＝40/7秒。

继续讨论，因为270/7÷40/7不是整数，说明第一次追上不是在乙休息结束的时候追

上的。因为在这个范围内有240/7÷40/7＝6是整数，说明在乙休息的中追上的。即甲共行了6×100＋200＝800米，休息了7次，计算出时间就是800/7＋7×5＝149又2/7秒。注：这种方法不适于休息点不同的题，具有片面性。

例1、快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？

【解答】画一张示意图：

设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位.

有了上面"取单位"准备后，下面很易计算了.

慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时.此时快车在何处呢？去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时，共行驶3×7=21（单位）.从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1＝14（单位）.

现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是

14÷（2＋3）＝2.8（小时）.

慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了

7.5＋0.5＋2.8＝10.8（小时）.

答：从第一相遇到再相遇共需10小时48分。

例2、小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？

【解答】先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.

此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此

所用时间=9÷6＝1.5（小时）.

小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是

面包车速度是54-6＝48（千米/小时）.

城门离学校的距离是

48×1.5＝72（千米）.

答：学校到城门的距离是72千米.

简单相遇的要点及解题技巧

一、简单相遇问题的特点：

（1）两个运动物体一般同时不同地（或不同时不同地）出发作相向运动．

（2）在一定时间内，两个运动物体相遇。

（3）相遇问题的解题要点：相遇所需时间=总路程÷速度和。

解答相遇问题必须紧紧抓住"速度和"这个关键条件．主要数量关系是：

二：简单相遇问题与追及问题的共同点：

（1）是否同时出发

（2）是否同地出发

（3）方向：同向、背向、相向

（4）方法：画图

三、简单相遇在解题时的入手点及需要注意的地方

相遇问题与速度和、路程和有关

（1）是否同时出发

（2）是否有返回条件

（3）是否和中点有关：判断相遇点位置

（4）是否是多次返回：按倍数关系走。

（5）一般条件下，入手点从"和"入手，但当条件与"差"有关时，就从差入手，

再分析出时间，由此再得所需结果

例1.两列对开的列车相遇，第一列车的车速为10米/秒，第二列车的车速为12.5米/秒，第二列车的旅客发现第一列车在旁边开过时用了6秒，则第一列车的长度为多少米？

A.60米

B.75

C.80米

D.135米

【解答】D。解析：这里A，B两地的距离就为第一列车的长度，那么第一列车的长度为（10+12.5）×6=135米。

例2.甲、乙二人同时从相距60千米的两地同时相向而行，6小时相遇。如果二人每小时各多行1千米，那么他们相遇的地点距前次相遇点1千米。又知甲的速度比乙的速度快，乙原来的速度为（）

A.3千米/时

B.4千米/时

C.5千米/时

D.6千米/时

【解答】B。解析：原来两人速度和为60÷6=10千米/时，现在两人相遇时间为60÷（10+2）=5小时，设原来乙的速度为X千米/时且乙的速度较慢，则5（X+1）=6X+1，解得X=4。注意：在解决这种问题的时候一定要先判断谁的速度快。

例3.每天早上李刚定时离家上班，张大爷定时出家门散步，他们每天都相向而行且准时在途中相遇。有一天李刚因有事提早离家出门，所以他比平时早7分钟与张大爷相遇。已知李刚每分钟行70米，张大爷每分钟行40米，那么这一天李刚比平时早出门（）分钟。

A.7

B.9

C.10

D.11

【答案】D。解析：设每天李刚走X分钟，张大爷走Y分钟相遇，李刚今天提前Z分钟离家出门，可列方程为70X+40Y=70×（X+Z－7）+40×（Y－7），解得Z=11，故应选择D。抓住了，两地距离不变，列方程。

例1.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中有在距A地42千米处相遇。求两次相遇地点的距离。【解答】设两次相遇地点的距离为x千米

根据他们相遇时用的时间是相等的

在距B地54千米处相遇时有：

（42+x）/V甲=54/V乙

在距A地42千米处相遇时有：

（54*2+x）/V甲=（x+42*2）/V乙

则（42+x）/54=（108+x）/（x+84）

x2+72x-2304=0

（x-24）（x+96）=0

解得x=24，x=-96（舍去）