正方形基础知识精讲及同步练习(1)
1.3 正方形的性质与判定 第1课时 北师大版数学九年级上册同步练习
3 正方形的性质与判定第1课时微点拨1．(1)正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．(2)正方形既是矩形又是菱形．(3)正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形．2．(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有基本性质．(2)一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°.两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．基础必会1．对角线相等且互相垂直的四边形一定是(D)A．矩形B．菱形C．正方形D．A，B，C答案都不对2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB 相等的角的个数是(C)A.1 B．2 C．3 D．43．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是(C)A．(1，1) B．(－1，－1)C．(1，－1) D．(－1，1)4．如图所示，E是正方形ABCD的BC边的延长线上一点，若CE＝CA，AE交CD 于F，则∠FAC＝__22.5__度．5．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝__75__度．6．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝4，AE＝CF＝1，则四边形BEDF的周长是__45__．7．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F.(1)求证：△ABE≌△CBE；(2)若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．解析:(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝∠ADB＝12×90°＝45°，在△ABE和△CBE中，{AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(SAS).(2)∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，又∵∠AEC＝140°，∴∠CEB＝70°，∵∠DEC＋∠CEB＝180°，∴∠DEC＝180°－∠CEB＝110°，∵∠DFE＋∠ADB＝∠DEC，∴∠DFE＝∠DEC－∠ADB＝110°－45°＝65°.能力提升1．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BEC为(D)A．10° B．15° C．20° D．30°2．如图，点E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF 相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF，其中正确的有(C)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC，AE平分∠CAD交BC延长线于点E，过点A作AF⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为____．4．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝6，点Q 为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__12__．5．如图，将边长为5的正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的横坐标为3，求点A的坐标．解析:如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点D作DE⊥x轴于E，∵四边形OACD是正方形，∴OA＝OD，∠AOD＝90°，∴∠DOE＋∠AOB＝90°，又∵∠OAB＋∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠DOE，在△AOB和△ODE中，{∠ABO＝∠OED＝90°，∠OAB＝∠DOEAO＝OD∴△AOB≌△ODE(AAS)，∴AB＝OE，OB＝DE，∵点D的横坐标为3，AO＝OD＝5，∴DE＝52－32＝4，∴AB＝3，OB＝4，∴点A的坐标为(－4，3).。
北师大版九年级数学上1.3 第1课时 正方形及其性质 同步练习(含答案)
3 正方形的性质与判定第1课时正方形及其性质1．如图1，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是()图1A．45°B．22.5°C．67.5°D．75°2．正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是()A．8 B．4 2 C．8 2 D．163．如图2，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.图24．如图，在正方形ABCD 的外侧作等边三角形ADE ，AC ，BE交于点F ，则∠BFC 的度数为( )A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC ＝2AE ，Rt △FEG 的两直角边EF ，EG 分别交BC ，DC 于点M ，N .若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为( )A.23a 2B.14a 2C.59a 2D.49a 26.如图5，正方形ABCD 的边长为3，连接AC ，AE 平分∠CAD ，交BC 的延长线于点E ，F A ⊥AE ，交CB 的延长线于点F ，则EF 的长为________．图57．如图6，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE ＝BF ，EF 与BC 相交于点G ，连接AE ，CF .(1)求证：AE ＝CF ；(2)若∠ABE ＝55°，求∠EGC 的大小．图68．如图7，正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°与正方形AEFG重合，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，正方形ABCD的边长为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为()图7A．4 2－4 B．4 2＋4 C．8－4 2 D.2＋19．如图8，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG 绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′＋CG′＝()图8A.2＋ 6B.3＋1C.3＋ 2D.3＋610．如图9，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．图911．如图10所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且∠EBF＝45°.(1)求证：EF＝FC＋AE；(2)若AB＝2，求△DEF的周长．图1012．如图11，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长相等，则在点E，F移动的过程中：(1)∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；(2)△ECF的周长是否发生变化？请说明理由．图1113．如图12，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，B4，…在射线OM上……依此类推，则第n个正方形的周长C n＝________．图1214．如图13①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请做出判断并给予证明；(3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．参考答案1．B2．A3．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.4．C5．D6．6 2[解析]7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°.∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∴△ABE≌△CBF，∴AE＝CF.(2)∵BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BEF＝45°.∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，∴∠GBE＝35°，∴∠EGC＝∠GBE＋∠BEF＝80°.8．A9．A10．3211．解：(1)证明：将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，则BA ＝BC ，AE ＝CM ，BE ＝BM ，∠ABE ＝∠CBM ，∠A ＝∠BCM .∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠ABC ＝∠BCD ＝90°， ∴F ，C ，M 三点共线，∠EBM ＝90°. ∵∠EBF ＝45°，∴∠FBM ＝45°.在△BEF 与△BMF 中，BE ＝BM ，∠EBF ＝∠MBF ，BF ＝BF ， ∴△BEF ≌△BMF ，∴EF ＝FM ＝FC ＋CM ＝FC ＋AE . (2)由(1)知EF ＝FC ＋AE ，∴△DEF 的周长＝DE ＋DF ＋EF ＝DE ＋DF ＋AE ＋CF ＝AD ＋CD ＝2AB ＝4. 12．解：(1)∠EAF 的大小不发生变化．理由如下：根据题意，知AB ＝AH ，∠B ＝∠AHE ＝90°. 又∵AE ＝AE ，∴Rt △BAE ≌Rt △HAE ， ∴∠BAE ＝∠HAE .同理，Rt △HAF ≌Rt △DAF ， ∴∠HAF ＝∠DAF ，∴∠EAF ＝12∠BAH ＋12∠HAD ＝12(∠BAH ＋∠HAD )＝12∠BAD .又∵∠BAD ＝90°，∴∠EAF ＝45°， ∴∠EAF 的大小不发生变化．(2)△ECF 的周长不发生变化．理由如下： C △ECF ＝EF ＋EC ＋FC .由(1)，得Rt △BAE ≌Rt △HAE ， ∴EB ＝HE .同理，HF ＝DF .∴C △ECF ＝EF ＋EC ＋FC ＝EB ＋DF ＋EC ＋FC ＝2BC ，∴△ECF的周长不发生变化．13．2n＋114．解：(1)相等互相平行(2)成立．证明：如图，过点G作GH⊥CB交其延长线于点H.∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°.∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE.在△HGE与△CED中，∠GHE＝∠DCE＝90°，∠HGE＝∠DEC，EG＝DE，∴△HGE≌△CED，∴GH＝CE，HE＝CD.∵CE＝BF，∴GH＝BF.又∵GH∥BF且∠GHE＝90°，∴四边形GHBF是矩形，∴FG＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE.∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝CE，∴FG＝CE.(3)成立．FG＝CE，FG∥CE.。
中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.正方形的性质：①具有平行四边形的一切性质。
②具有矩形与菱形的一切性质。
所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。
正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。
练习题1．（2022•黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，2）【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB＝2，再由旋转的性质得B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，即可得出结论．【解答】解：如图，连接OB，∵正方形OABC的边长为，∴OC＝BC＝，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，∴OB＝＝＝2，∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置，∴B 1在y 轴正半轴上，且OB 1＝OB ＝2，∴点B 1的坐标为（0，2），故选：D ．2．（2022•广州）如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 在边CD 上，且CE ＝1，∠ABE 的平分线交AD 于点F ，点M ，N 分别是BE ，BF 的中点，则MN 的长为（ ）A ．26B ．23C ．2﹣3D ．226− 【分析】连接EF ，由正方形ABCD 的面积为3，CE ＝1，可得DE ＝﹣1，tan ∠EBC ＝＝＝，即得∠EBC ＝30°，又AF 平分∠ABE ，可得∠ABF ＝∠ABE ＝30°，故AF ＝＝1，DF ＝AD ﹣AF ＝﹣1，可知EF ＝DE ＝×（﹣1）＝﹣，而M ，N 分别是BE ，BF 的中点，即得MN ＝EF ＝． 【解答】解：连接EF ，如图：∵正方形ABCD 的面积为3，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝，∵CE ＝1，∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，∵AF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠ABE＝30°，在Rt△ABF中，AF＝＝1，∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，∵M，N分别是BE，BF的中点，∴MN是△BEF的中位线，∴MN＝EF＝．故选：D．3．（2022•贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（）A．4B．8C．12D．16【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长．【解答】解：由题意可得，小正方形的边长为3﹣1＝2，∴小正方形的周长为2×4＝8，故选：B．4．（2022•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE 的长度为（ ）A ．26B ．6C ．22D ．23【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC ，然后利用等边三角形的性质可求出OE ．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝2，∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝2，AO ＝，∴OE ＝×＝． 故选：B ．5．（2022•泰州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 为一边作正方形DEFG ．设DE ＝d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2、d 3，则d 1+d 2+d 3的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．4【分析】连接AE ，那么，AE ＝CG ，所以这三个d 的和就是AE +EF +FC ，所以大于等于AC ，故当AEFC 四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE ，∵四边形DEFG 是正方形，∴∠EDG ＝90°，EF ＝DE ＝DG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴AE ＝CG ，∴d 1+d 2+d 3＝EF +CF +AE ，∴点A ，E ，F ，C 在同一条线上时，EF +CF +AE 最小，即d 1+d 2+d 3最小，连接AC ，∴d 1+d 2+d 3最小值为AC ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB ＝2，∴d 1+d 2+d 3最小＝AC ＝2， 故选：C ．6．（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC 的外侧作正方形ABED ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF 的长为（ ）A ．23+2B ．5﹣33C ．3﹣3D ．3+1【分析】方法一：如图，延长DA 、BC 交于点G ，利用正方形性质和等边三角形性质可得：∠BAG ＝90°，AB ＝2，∠ABC ＝60°，运用解直角三角形可得AG ＝2，DG ＝2+2，再求得∠G ＝30°，根据直角三角形性质得出答案．方法二：过点E 作EG ⊥DF 于点G ，作EH ⊥BC 于点H ，利用解直角三角形可得EH ＝1，BH ＝，再证明△BEH ≌△DEG ，可得DG ＝BH ＝，即可求得答案．【解答】解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故选D．方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故选：D．7．（2022•随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（）①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．A．只有①B．①②C．①③D．②③【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；②利用①的结论可以证明OM≠MP解决问题；③如图，过M作MG⊥BC于G，设AB＝BC＝x，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出BE和MG即可判定是否正确．【解答】解：①如图，∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴EF∥BD，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∵四边形ABCD为正方形，∴A、O、P、C在同一条直线上，∴△ABC、△ACD、△ABD、△BCD、△OAB、△OAD、△OBC、△OCD、△EFC都是等腰直角三角形，∵M，N分别为BO，DO的中点，∴MP∥BC，NF∥OC，∴△DNF、△OMP也是等腰直角三角形．故①正确；②根据①得OM＝BM＝PM，∴BM≠PM∴四边形MPEB不可能是菱形．故②错误；③∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF∥BD，EF＝BD，∵四边形ABCD是正方形，且设AB＝BC＝x，∴BD＝x，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∴BO＝OD，∴点P在AC上，∴PE＝EF，∴PE＝BM，∴四边形BMPE是平行四边形，∴BO＝BD，∵M为BO的中点，∴BM＝BD＝x，∵E为BC的中点，∴BE＝BC＝x，过M作MG⊥BC于G，∴MG＝BM＝x，∴四边形BMPE的面积＝BE•MG＝x2，∴四边形BMPE的面积占正方形ABCD面积的．∵E、F是BC，CD的中点，∴S△CEF＝S△CBD＝S四边形ABCD，∴四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的（1﹣﹣﹣）＝．故③正确．故选：C．8．（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积B．四边形EFGH的面积C．△BEF的面积D．△AEH的面积【分析】根据题意设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得AP＝x+y，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图形四个选项的面积，可得出正确的选项．【解答】解：设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，∴2AP+2（x﹣y）＝4x，∴AP＝x+y，∵图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣2△ADH﹣2S△AEB＝（2x+y）（2x﹣y）﹣2ו（x﹣y）（2x+y）﹣2ו（2x﹣y）•x＝4x2﹣y2﹣（2x2+xy﹣2xy﹣y2）﹣（2x2﹣xy）＝4x2﹣y2﹣2x2+xy+y2﹣2x2+xy＝2xy，A、正方形纸片的面积＝x2，故A不符合题意；B、四边形EFGH的面积＝y2，故B不符合题意；C、△BEF的面积＝•EF•BQ＝xy，故C符合题意；D、△AEH的面积＝•EH•AM＝y（x﹣y）＝xy﹣y2，故D不符合题意；故选：C．9．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（）A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，，△DAF≌△ABE（SAS），∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，故选：C．10．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠F AO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF ≌△BOE （SAS ）．∴∠F AO ＝∠EBO ＝20°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠CBE ＝∠EBO +∠OBC ＝65°．故选：C ．11．（2022•益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD 沿其对角线AC 平移，使A 的对应点A ′满足AA ′＝31AC ，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 ．【分析】由正方形边长为3，可求AC ＝3，则AA ′＝AC ＝，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．【解答】解：∵正方形ABCD 的边长为3，∴AC ＝3，∴AA ′＝AC ＝， ∴A ′C ＝2，由题意可得重叠部分是正方形，且边长为2，∴S 重叠部分＝4．故答案为：4．12．（2022•海南）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE ＝AF ，∠EAF ＝30°，则∠AEB ＝ °；若△AEF 的面积等于1，则AB 的值是 ．【分析】利用“HL”先说明△ABE与△ADF全等，得结论∠BAE＝∠DAF，再利用角的和差关系及三角形的内角和定理求出∠AEB；先利用三角形的面积求出AE，再利用直角三角形的边角间关系求出AB．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．∴∠BAE＝∠DAF．∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）＝（90°﹣30°）＝30°．∴∠AEB＝60°．故答案为：60．过点F作FG⊥AE，垂足为G．∵sin∠EAF＝，∴FG＝sin∠EAF×AF．∵S△AEF＝×AE×FG＝×AE×AF×sin∠EAF＝1，∴×AE2×sin30°＝1．即×AE2×＝1．∴AE＝2．在Rt△ABE中，∵cos∠BAE＝，∴AB＝cos30°×AE＝×2＝．故答案为：．13．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝42，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据翻折的性质得△EGH'≌△EGH，所以△EGH′的周长＝△EGH的周长，接下来计算△EGH的三边即可；证明△BME≌△FNE（ASA）和△BEO≌△EFP（AAS），得OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，利用三角函数和勾股定理分别计算EG，GH和EH的长，相加可得结论．【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接GH，∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′，∴△EGH'≌△EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，∵F是CD的中点，∴CF＝CD＝2，∴CP＝PF＝2，OB＝BD＝4，∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠BME＝∠FNE，∴△BME≌△FNE（ASA），∴EB＝EF，∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，∴∠BEO＝∠EFP，∵∠BOE＝∠EPF＝90°，∴△BEO≌△EFP（AAS），∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，∵tan∠OEG＝＝，即＝，∴OG＝1，∴EG＝＝，∵OB∥FP，∴∠OBH＝∠PFH，∴tan∠OBH＝tan∠PFH，∴＝，∴＝＝2，∴OH＝2PH，∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，∴OH＝×2＝，在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝＝，∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝2+++＝5+．故答案为：5+．14．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE 且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝．【分析】设CG＝x，则BG＝8﹣x，根据勾股定理可得AB2+BG2＝CE2+CG2，可求得x 的值，进而求出BG的长．【解答】解：连接AG，EG，∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝4，设CG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得AB2+BG2＝CE2+CG2，即82+（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝7，∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1．故答案是：1．15．（2022•江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为．【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，则长方形的对角线长＝＝．故答案为：．。
八年级数学下册.3正方形第1课时同步练习新版浙教版1
5.3 正方形（第1课时）课堂笔记有一组相等，并且有一个角是的平行四边形叫做正方形；有一组邻边相等的是正方形. 有一个角是直角的是正方形.课时训练A组基础训练1. 下列命题错误的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形B．有一组邻边相等的矩形是正方形C．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形D．有一个角是直角的菱形是正方形2. 如图，四边形EFGH是菱形，要使四边形EFGH是正方形. 则（）A. BD=ACB. BD⊥ACC. ∠HEF=90°D. AB=CD3. （威海中考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A. BC=ACB. CF⊥BFC. BD=DFD. AC=BF4. 顺次连结四边形ABCD各边中点所组成的四边形是正方形，则四边形ABCD的对角线（）A．互相垂直但不相等 B．相等且互相垂直C．相等但不互相垂直 D．互相平分5. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）A． 22.5°角 B． 30°角C． 45°角 D． 60°角6. 如图是甲，乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以7．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是 .8. 如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是 .9. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是 .10. 菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是（只填一个条件即可）.11. 如图所示，在Rt△ABC中，CF为∠ACB的平分线，FD⊥AC于D，FE⊥BC于点E，试说明四边形CDFE是正方形.12. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连结DO并延长到点E，使OE=OD，连结AE，BE.（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形.B组自主提高13. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE. 连结DE，DF，EF. 在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8. 其中正确的结论是（）A. ①②③B. ①④⑤C. ①③④D. ③④⑤14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一动点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连结CD、BE.（1）求证：CE＝AD；（2）当D运动到AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D运动到AB中点，则∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由.参考答案5.3 正方形（第1课时）【课堂笔记】邻边直角矩形菱形【课时训练】1—5. ACDBC 6. A7. 正方形8. 有一组邻边相等的矩形是正方形9. 答案不唯一. 如AB=BC等10. 答案不唯一. 如AC=BD等11. ∵∠FEC=∠ECD=∠CDF=90°，∴四边形ECDF是矩形. ∵CF平分∠ACB，FD⊥AC，FE⊥BC，∴EF=DF，∴四边形ECDF是正方形.12. （1）∵AO=BO，DO=EO，∴四边形ADBE是平行四边形. ∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，∴ADBE是矩形.（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形.13. B 【点拨】此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连结CF，由SAS 定理可证△CFE和△AFD全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形，DE=2DF，当DF与AC垂直，即DF最小时，DE取最小值42，故③错误，△CDE的最大面积等于四边形CDFE的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．14. （1）∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE ∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴四边形BECD是菱形；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形.。
正方形的性质与判定例题精讲和练习题及答案---侯老师
第三讲正方形的性质与判定、知识要点1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：1 边的性质：对边平行，四条边都相等．2 角的性质：四个角都是直角．3 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，? 每条对角线平分一组对角．4 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定1：对角线相等的菱形是正方形2：对角线互相垂直的矩形是正方形, 正方形是一种特殊的矩形3：四边相等, 有一个角是直角的四边形是正方形4：一组邻边相等的矩形是正方形5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形典型例题例 1 如图12-2-14 ，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥ BC于E，作PF⊥CD于F．试说明AP＝EF．分析：由PE⊥BC，PF⊥CD知，四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需证AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分知AP＝CP．解：连结AC、PC，∵四边形ABCD为正方形，∴ BD垂直平分AC，∴ AP＝CP．∵ PE⊥BC，PF⊥CD，∠ BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴ PC＝EF，∴ AP＝EF．注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等．②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中．思考：由上述条件是否可以得到AP⊥ EF．提示：可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠ NPE＝∠ BAN．又∠ BAN＝∠ BCP，而∠ BCP＝∠ PFE，故∠ NPE＝∠ PFE，而∠ PFE＋∠ PEF＝90°，所以∠ NPE＋∠ PEF＝90°，则AP⊥ EF．例 2 如图12-2-15 ，△ ABC中，∠ ABC＝90°，BD平分∠ ABC，DE⊥ BC，DF⊥ AB，试说明四边形BEDF是正方形．解：∵∠ ABC＝90°，DE⊥BC，∴ DE∥AB，同理，DF∥BC，∴BEDF是平行四边形．∵ BD平分∠ ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴ DE＝DF．又∵∠ ABC＝90°，BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是正方形．思考：还有没有其他方法？提示：（有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE为菱形，后证一个角为90°可得）注意：灵活选择正方形的识别方法．例 3 如图12-2-16 所示，四边形ABCD是正方形，△ ADE是等边三角形，求∠ BEC的大小．分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算．在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系．在(1) 图中，△ABE 和△ DCE都是等腰三角形，顶角都是150°，可得底角∠ AEB与∠ DEC都是15°，则∠ BEC 为30°．而在(2) 图中，等边三角形在正方形内部，△ ABE和△ DCE是等腰三角形，顶角是30°，可得底角∠ AEB和∠ DEC为75°，再利用周角可求得∠ BEC＝150 °．解：(1) 当等边△ ADE在正方形ABCD外部时，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠ AEB＝15°．同理可得∠ DEC＝15°，则∠ BEC＝60°－15°－15°＝30°．(2) 当等边△ ADE在正方形ABCD内部时，AB＝AE，∠ BAE＝90°－60°＝30°，所以∠ AEB＝75°．同理可得∠ DEC＝75°，则∠ BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°．【中考考点】会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形．命题方向】本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现．正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现．【常见错误分析】已知如图12-2-18 ，△ ABC中，∠C＝90°，分别以AC 和BC为边向外作正方形ACFH 和正方形BCED，HM⊥BA的延长线于M，DK⊥AB的延长线于K．试说明AB＝DK＋HM．错解：延长DK到S，使KS＝HM，连结SB．∵∠ 2＝∠ 3，∠ 2＋∠ 4＝90°，∴∠ 3＋∠ 4＝90°．在△ ABC和△ SDB中，∵∠ ACB＝∠ SBD＝90°，BC＝BD，∠2＝90°－∠ 4＝∠ 5∴△ ABC与△ SDB重合，∴ AB＝SD＝SK＋DK，即AB＝HM＋DK．分析指导：由于S、B、C三点共线未经证明，所以∠ 2＝∠3 的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误．正解：如图12-2-18 ，延长DK交CB延长线于S，下面证KS＝MH．在△ ACB和△ SBD中，∵ BD＝BC，∠ SBD＝∠ ACB＝90°，又∠ 2＝∠ 3＝∠ 5，∴△ ACB与△ SBD重合，∴AB＝DS，BS＝AC＝AH．在△ BKS和△ AMH中，∵∠1＝∠ 2＝∠ 3，∠ AMH＝∠ SKB＝90°，BS＝AH，∴△ BKS与△ AMH重合，∴ KS＝HM，∴ AB＝DK＋HM．【学习方法指导】正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆．故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分．三、作业正方形的判定．选择题（共8 小题）1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从① AB=BC，②∠ ABC=90°，③ AC=BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①② B ．选②③ C ．选①③ D ．选②④2．下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直3．下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ ABC=90°时，它是矩形；④ 当AC=BD时，它是正方形．A． 1 组 B ． 2 组 C ．3 组 D ． 4 组5．四边形ABCD的对角线AC=BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、 D 作对角线的平行线，所成的 四边形 EFMN 是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．任意四边形6．如果要证明平行四边形 ABCD 为正方形，那么我们需要在四边形 ABCD 是平行四边形的基 础上，进一步证明（ ）A ．AB=AD 且 AC ⊥BDB ． AB=AD 且 AC=BDC ．∠A=∠B 且 AC=BD D ．AC 和 BD 互相垂直 平分7．下列命题中，真命题是（）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形8．如图，在△ ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D ，交 AB 于点 E ，且 BE=BF ， 添加一个条件，仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是（ ）A ． BC=ACB ．CF ⊥BFC ． BD=DFD ． AC=BF二．填空题（共 6 小题）9．能使平行四边形 ABCD 为正方形的条件是 __________ （填上一个符合题目要求的条件 即可）．10．如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分 AC ，DF ⊥BC ，当△ ABC 满足条件 ____ 时，四边形 DECF是正方形．要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）11．如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O ，请你添加一个条件： __________ ，使得该菱 形为正方形．12．如图，在四边形 ABCD 中， AB=BC=CD=D ，A 对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，若不增加任何字 母与辅助线，要使四边形 ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是 ____ ．13．已知四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90°， 若添加一个条件即可判定该四边形是正方形， 那么这个条件可以是 __________ ．14．要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为 ____________ ．三．解答题（共 8 小题）15．已知：如图，△ ABC 中，∠ ABC=90°， BD 是∠ABC 的平分线， DE ⊥AB 于点 E ，DF ⊥BC 于点 F ．求证：四边形 DEBF 是正方形．16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ ABC，P是BD上一点，过点P 作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ ADB=∠ CDB；（2）若∠ ADC=9°0 ，求证：四边形MPND是正方形．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．18．如图，在△ ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ ADE绕点E旋转180°得到△CFE．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．2）当△ ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．19．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N 两点，连接MN，交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC 于点F．（1）求证：△ AED≌△ BFD；（2）若AB=2，当CD的值为 ________ 时，四边形DECF是正方形．20．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．1）求证：∠ CAB=∠ DAB；2）若∠ CAD=9°0 ，求证：四边形AEMF是正方形．21．如图，△ ABC 中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ ACB的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O 运动到何处时，且△ ABC 满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE ________ 是菱形吗？（填“可能”或“不可能”）22．已知：如图，△ ABC 中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥AC，设MN交∠ BCA 的平分线于点E，交∠ BCA的外角∠ ACG的平分线于点F，连接AE、AF．1）求证：∠ ECF=90°；2）当点O 运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；（3）在（2）的条件下，△ ABC 应该满足条件：_________ ，就能使矩形AECF变为正方形．（直接添加条件，无需证明）参考答案与试题解析一．选择题（共8 小题）1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从① AB=BC，②∠ ABC=90°，③ AC=BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④考点：正方形的判定；平行四边形的性质．分析：要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．解答：解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．故选：B．点评：本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1 或 2 进行判定．2．下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直考点：正方形的判定；对顶角、邻补角；平行四边形的性质；矩形的性质．分析：根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选项错误．故选：C．点评：本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质，对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解题的关键．3．下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．专题：证明题．分析：做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答．解答：解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（平行四边形判定定理）；正确．B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，错误．C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；D、一组邻边相等的矩形是正方形，正确．故选B．点评：本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ ABC=90°时，它是矩形；④ 当AC=BD时，它是正方形．A． 1 组B．2 组C．3组D．4 组考点：正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．分析：根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确；根据所给条件可以证出邻边相等，可判断②正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③正确；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④错误．解答：解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形正确；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=O，D∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故②正确；③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③正确；故不正确的有 1 个．故选： A ．点评： 此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是熟练掌握 三种特殊平行四边形的判定定理．5．四边形 ABCD 的对角线 AC=BD ，AC ⊥BD ，分别过 A 、B 、C 、 D 作对角线的平行线，所成的 四边形 EFMN 是（ ） A． 正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ． 任意四边形考点：正方形的判定． 分析：根据平行线的性质和判定得出∠ NAO ∠= AOD ∠= N=90°， EN=NM=FM=E ，F 进而 判断即可．解答： 证明：如图所示：∵分别过 A 、B 、 C 、D 作对角线的平行线，∴AC ∥MN ∥EF ，EN ∥BD ∥MF ，∵对角线 AC=BD ，AC ⊥BD ，∴∠ NAO ∠= AOD ∠= N=90°， EN=NM=FM=，EF∴四边形 EFMN 是正方形．故选： A ．④ 根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当 AC=BD 时，它是矩形， 不是正方形， 故④错误；点评：此题主要考查了正方形的判定以及平行线的性质和判定等知识，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BD C ．∠A=∠B且AC=BD D．AC 和BD互相垂直平分考点：正方形的判定．分析：根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．解答：解：A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形．故选B．点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．7．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理．分析：A、根据矩形的定义作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．解答：解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；故选C．点评：本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．8．如图，在△ ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质． 分析： 根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有 BE=EC ， BF=FC 进而得出四边形 BECF 是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分 别分析得出即可．解答： 解：∵EF 垂直平分 BC ，∴BE=EC ， BF=CF ，∵BF=BE ，∴BE=EC=CF=B ，F∴四边形 BECF 是菱形；当 BC=AC 时，∵∠ACB=90°，则∠ A=45°时，菱形 BECF 是正方形．∵∠A=45°，∠ ACB=90°，∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°∴菱形 BECF 是正方形．故选项 A 正确，但不符合题意； 当 CF ⊥BF 时，利用正方形的判定得出， 菱形 BECF 是正方形， 故选项 B正确，但不符合题意；B ．CF ⊥BFC ． BD=DFD ． AC=BFA ． BC=AC当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项 D 错误，符合题意．故选：D．点评：本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．二．填空题（共 6 小题）9．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是AC=BD且AC⊥BD （填上一个符合题目要求的条件即可）．考点：正方形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，矩形和菱形的结合体是正方形．解答：解：可添加对角线相等且对角线垂直或对角线相等，且一组邻边相等；或对角线垂直，有一个内角是90°．答案不唯一，此处填：AC=BD且AC⊥BD．点评：本题考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的结合．10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ ABC 满足条件AC=BC 时，四边形DECF是正方形．要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）考点：正方形的判定．专题：计算题；开放型．分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF是正方形推出．解答：解：设AC=BC，即△ ABC为等腰直角三角形，∵∠ C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，DF= AC=CE，DE= BC=CF，∴DF=CE=DE=C，F∴四边形DECF是正方形，故答案为：AC=BC．点评：此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ ABC满足的条件．11．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：AC=BD或AB⊥BC ，使得该菱形为正方形．考点：正方形的判定；菱形的性质．专题：压轴题．分析：根据正方形判定定理进行分析．解答：解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；故添加的条件为：AC=BD或AB⊥BC．点评：本题答案不唯一，根据菱形与正方形的关系求解．12．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=D，A对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC=BD或AB⊥BC ．考点：正方形的判定；菱形的判定．专题：开放型．分析：根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．解答：解：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．13．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是AB=AD或AC⊥BD 等．考点：正方形的判定；矩形的判定与性质．专题：开放型．分析：由已知可得四边形ABCD是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．解答：解：由∠ A=∠B=∠C=90°可知四边形ABCD是矩形，根据根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB=AD或AC⊥BD 等．故答案为：AB=AD或AC⊥BD 等．点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．14．要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为有一个角是直角或对角线相等．考点：正方形的判定；菱形的性质．专题：开放型．分析：根据菱形的性质及正方形的判定进行分析，从而得到最后答案．解答：解：要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为：有一个角是直角或对角线相等．点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形．三．解答题（共8 小题）15．已知：如图，△ ABC 中，∠ ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥BC 于点F．求证：四边形DEBF是正方形．考点：正方形的判定．专题：证明题．分析：由DE⊥AB，DF⊥BC，∠ ABC=90°，先证明四边形DEBF是矩形，再由BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥BC 于点F得出DE=DF判定四边形DEBF是正方形．解答：解：∵ DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB=∠DFB=90°，又∵∠ ABC=90°，∴四边形BEDF为矩形，∵BD是∠ ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=D，F∴矩形BEDF为正方形．点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ ABC，P是BD上一点，过点P 作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．1）求证：∠ ADB=∠ CDB；2）若∠ ADC=9°0 ，求证：四边形MPND是正方形．考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△ CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ ADB=∠ CDB；（2）若∠ ADC=9°0 ，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．解答：证明：（1）∵对角线BD平分∠ ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△ CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠ PMD∠= PND=9°0 ，∵∠ ADC=9°0 ，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45° ∴PM=M，D∴四边形MPND是正方形．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．专题：几何综合题．分析：（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠ CDB=9°0 ，再根据正方形的判定推出即可．解答：（1）证明：∵ DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D 为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=C，E∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°， D 为AB中点，∴CD=B，D∴四边形BECD是菱形；（3）当∠ A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ ACB=90°，∠ A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠ CDB=9°0 ，∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，即当∠ A=45°时，四边形BECD是正方形．点评：本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．18．如图，在△ ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ ADE绕点E旋转180°得到△CFE．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．（2）当△ ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．考点：正方形的判定；平行四边形的判定．分析：（1）利用旋转的性质得出点A、E、C三点共线，点D、E、F 三点共线，且AE=CD，DE=FE，即可得出答案；（2）首先得出CD⊥AB，即∠ ADC=9°0 ，由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，故四边形ADCF是矩形．进而求出CD=AD即可得出答案．解答：（1）证明：∵△ CFE 是由△ ADE绕点E旋转180°得到，∴点A、E、C三点共线，点D、E、F 三点共线，且AE=CE，DE=FE，故四边形ADCF是平行四边形．（2）解：当∠ ACB=90°，AC=BC时，四边形ADCF是正方形．理由如下：在△ABC中，∵ AC=BC，AD=BD，∴CD⊥AB，即∠ ADC=9°0 ．而由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形．又∵∠ ACB=90°，∴，故四边形ADCF是正方形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，得出四边形ADCF是矩形是解题关键．19．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N。
正方形基础知识精讲及同步练习(1)
学科: 数学 年级：初二正方形【基础知识精讲】1.什么叫正方形有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.可以看成： (1)有一组邻边相等的矩形(如下图)(2)有一个角是直角的菱形(如下图)(3)一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形2.正方形的性质由于正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身.因此，正方形具有以下性质：(1)两组对边分别平行(2)四个角都是直角，四条边都相等(3)两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 (4)两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的包含关系(如下图)4.关于正方形的判定(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形(一组邻边相等的矩形)(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形(有一个角是直角的菱形)(3)还可以先判定它是平行四边形，再用(1)或(2)进行判定.【重点难点解析】本节重点是正方形的定义，说明正方形与矩形、菱形的关系，是本节学习的难点，因为它们之间的关系重叠交错，容易混淆.例1 下列命题中，真命题是( )A.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D.四条边相等的四边形是正方形分析本题主要考查考生应用平行四边形、矩形、菱形、正方形定义解题的能力.命题B、C、D均易找到反例判断它们是假命题.对于命题A，对照平行四边形的定义及平行四边形的四条判定定理，都不相同，只好自己来证明这个命题了.已知四边形ABCD是AD∥BC，∠B＝∠D(如图)，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵AD∥BC(已知)∴∠A+∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠B＝∠D(已知)∴∠A+∠D＝180°(等量代换)∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形定义)例2 如图，正方形ABCD对角线相交于O，E是OA上任一点，CF⊥BE于F.CF交OB于G，求证：OE＝OG.分析本题是考查正方形的性质、同角的余角相等关系及全等三角形的判定与性质.OG 和OE可分别看作是△OGC与△OEB的最短边，若能证两三角形全等，则命题得证.由正方形性质有OC＝OB，∠COG＝∠BOE＝90°而∠1和∠3为∠2的余角，于是∠1＝∠2 证明：∵ABCD是正方形∴OB＝OC ∴AC⊥BD∴∠COG＝∠BOE＝Rt∠又∵CF⊥BE ∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝Rt∠∴∠1＝∠3 ∴△COG≌△BOE ∴OE＝OG例3 下列四个命题中正确的命题是( )①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形③对角线互相垂直的四边形是菱形④四边相等且对角线相等的四边形是正方形A.①④B.①③C.②③D.③④分析因为命题①就是平行四边形的判定定理3，所以命题①正确.命题④可以理解为是菱形又是矩形的四边形必是正方形.因为四边相等的四边形是菱形，它是特殊的平行四边形，而对角线相等的平行四边形是矩形.因此命题④是正确的命题.因为矩形和菱形都是特殊的平行四边形，而四边形对角线相等或对角线互相垂直不能推出此四边形的对角线互相平分，所以此四边形连平行四边形都不是，就更不可能是矩形或菱形了.因此②、③不正确.解：A例4 如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，AE与BD相交F，求证：CF⊥DE分析本题考查正方形性质及全等三角形的判定与性质，要证CF、DE互相垂直，只需证明∠DGC＝Ｒt∠，可联想∠3与∠4互余.根据正方形性质，容易得到△ABF≌△CBF，△ABE ≌△CDE，于是有∠1＝∠2＝∠3，而∠2+∠4＝90°，可得∠3+∠4＝90°证明：∵AB＝BC，∠ABF＝∠CBF， BE＝BE∴△ABF≌△CBF ∴∠1＝∠2∵AB＝CD， BE＝CE，∠ABE＝∠DCE∴△ABE≌△DCE ∴∠1＝∠3∴∠2＝∠3 又∵∠2+∠4＝90°∴∠3+∠4＝90°∴∠DGC＝180°-(∠3+∠4)＝90°∴CF⊥DE【难题巧解点拨】例1 如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F.求证：(1)DP＝EF；(2)DP⊥EF分析本题主要考查利用正方形的性质解决实际问题的能力.延长FP交AD于G.注意到AEPG是正方形，要证DP＝EF，只要证△DPG≌△FPE.显然这两个三角形全等条件具备.延长DP交EF于H.由于△DPG≌△FPE，可得∠1＝∠2.而∠３＝∠4，这样可证∠2+∠3＝90°.从而DP⊥EF.证明：(1)延长FP交AD于G，延长DP交EF于H.∵四边形AEPG是正方形，∴PG＝PE＝AE＝AG∵正方形ABCD ∴AB＝ADAD-AG＝AB-AE＝GF-PG即 GD＝PF∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠DGP＝∠FPE＝90°∴△DPG≌△FEP ∴DP＝EF(2)∵△DPG≌△FEP ∴∠1＝∠2又∠3＝∠4，∠1+∠4＝90°∴∠2+∠3＝90°∴PH⊥EF，即DP⊥EF例2 如图，已知正方形ABCD，以对角线AC为边作菱形AEFC，BF∥AC.求证：∠ACF＝5∠F.分析 本题考查特殊平行四边形的判定、性质，四边形内角和定理，30°所对直角边的性质的逆用.由题意，要证：∠ACF ＝5∠F ，就是要证∠F ＝∠CAE ＝30°，这样就需构造Rt △.辅助线EH ⊥AC 自然作出，问题变为转证EH ＝21AE ＝21AC.由于AC ＝DB ，变为证EH ＝21BD ，即证矩形BOHE ，证明矩形时，若用四边形判定，一定要证出三个直角.证明：过E 点作EH ⊥AC 于H ，连BD∵正方形ABCD ∴BD ＝AC 且BO ＝21AC ∠BOC ＝90°＝∠DOC∵BF ∥AC ∴∠EBO ＝∠DOC ＝90° ∴四边形BEHO 为矩形 ∴EH ＝BO ＝21AC 又∵菱形AEFC ∴AC ＝AE ∴EH ＝21AE ∴∠CAE ＝30° ∵菱形AEFC ∴∠A ＝∠F ＝30° ∴∠ACF ＝∠AEF ＝(360°-2×30°)×21＝150° ∴∠ACF ＝5∠A例3 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，四边形ACDE 和CBFG 是在△ABC 外的正方形，△ABC 的高CH 所在的直线交DG 于点M ，求证：(1)DG ＝AB (2)CM ＝21DG ，DM ＝MG分析 要证DG ＝AB ，需证△DCG ≌△ACB ，要证CM ＝21DG ，只需证DM ＝MG 证明：(1)∵四边形ACDE 和CBFG 都是正方形 ∴∠DCA ＝∠GCB ＝90°， CD ＝CACG ＝CB(正方形四个角都是直角，四条边相等) 又∵∠ACB ＝90°∴∠DCG ＝360°-∠DCA-∠ACB-∠GCB ＝90°＝∠ACB∴△DCG ≌△ACB ∴DG ＝AB(2)∵△DCG ≌△ACB ∴∠DGC ＝∠ABC 又∵MH ⊥AB ∴∠HCB+∠ABC ＝90° ∴∠HCB+∠DGC ＝90°∵∠GCB ＝90° ∴∠MCG+∠BCH ＝90° ∴∠DGC ＝∠MCG ∴MC ＝MG 同理可证：∠MDC ＝∠MCD ∴MC ＝DM ∴MC ＝DM ＝MG ∴MC ＝21DG【课本难题解答】求证：矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形.(P 159 4.3 B 组) 证明：∵四边形ABCD 为矩形 ∴∠DAB ＝∠ABC ＝90° ∴∠1＝∠2＝21∠DAB ＝45° ∠3＝∠4＝21∠ABC ＝45° ∴∠QMN ＝90°同理，∠MNP ＝90°， ∠NPQ ＝90° ∴四边形MNPQ 为矩形又∵∠1＝∠3 ∴AM ＝BM ∵∠2＝∠4AD ＝BC ∴△AQD ≌△BNC ∴AQ ＝BN ∴AQ-AM ＝BN-BM即MN ＝MQ ∴四边形MNPQ 为正方形【命题趋势分析】正方形的定义集平行四边形、矩形、菱形性质于一身，且正方形又是正多边形的典型代表，利用它的这些特殊性，说明边、角相等和直线垂直的重要依据，历来为中考热点，类型多以选择、计算证明等形式出现.【典型热点考题】例1 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.对角线平分一组对角分析 本题考查应用正方形、矩形、菱形的性质及其异同点解题的能力.正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形，而且这三者又是特殊的平行四边形.弄清楚他们之间的关系就不难判定.只有C 性质正方形具有而菱形不一定具有.其余A 、B 、D 三个性质正方形和菱形都具有.解：C例2 求正方形的对角线与边长的比值分析 正方形的边长与对角线构成了等腰直角三角形，其中斜边是对角线，由勾股定理可求解.解：设正方形边长为a ，由勾股定理得，斜边之长为22a a ＝a 2 ∴对角线边长＝2a a ＝21＝22.∴比值为22例3 某同学根据菱形的面积计算公式，推导出对角线长为a 的正方形面积是S ＝21a 2，对此结论，你认为是否正确?若正确，请给予证明；若不正确，举出一个反例来证明.分析 因为正方形是特殊的菱形，所以菱形所具有的性质，正方形都具有.当然，菱形的面积计算公式同样适用于正方形.因此这个结论一定正确.证明：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ＝BD ＝a又∵正方形是菱形，而菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半， ∴S ＝21×AC ·BD ＝21a 2. 事实上，设正方形边长为x ，由勾股定理可得 a 2=x 2+x 2=2x 2代入上式，得： S ＝21×2x 2＝x 2S ＝x 2就是正方形的面积公式.本周强化练习：【同步达纲练习】一、填空1.正方形既是相等的矩形，又是有一个角是的菱形.2.正方形和菱形比较，除具有的性质外，它们具有的共同性质还有：四条边都，对角线 .3.对角线的四边形是正方形.4.正方形和矩形比较，除具有的性质外，它们还具有的共同性质还有：四个角都，对角线.5.如果一个正方形的边长恰好等于边长为m的正方形对角线的长，那么这两个正方形周长和为，面积的和为 .6.如图4.6-12，正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA上的点，并且EF＝AF+CE，∠BEF ＝∠BEC，那么∠EBF＝度.7.如图4.6-13，正方形ABCD中，E是CF上的点，四边形BEFD是菱形，那么∠BEF＝度.图4.6-12 图4.6-138.如图4.6-14，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，若EC＝AC，AE交CD于F，那么∠AFC＝度.图4.6-14 图4.6-159.如图4.6-15，将边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上一点E，若DE 为5，则折痕PQ的长为 .10.P是正方形ABCD内一点，△PAB为正三角形，若正方形的面积为1，则△PAB的面积为 .二、选择题1.下列命题是真命题的是( )A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2.正方形具有而矩形不一定具有性质是( )A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直3.下列命题中，错误的是( )A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B.两组对边分别相等的四边是平行四边形C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.四个角相等的菱形是正方形4.如图，正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM是( )A.45°B.55°C.65°D.75°5.下列命题正确的是( )A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.以一条对角线所在直线为对称轴的平行四边形是菱形C.顺次连结矩形四条边中点所得的四边形仍是矩形6.下列命题中，假命题是( )A.矩形的对角线相等B.菱形的对角线互相垂直C.正方形的对角线相等且互相垂直D.梯形的对角线互相平分7.在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使AE＝AB，作EF⊥AC交BC于F，则下列关系式成立的是( )A.BF＝ECB.BF≠ECC.BF＜ECD.BF＞EC8.以正方形ABCD的边AB向外作等边三角形ABE，BD、CE交于F，则∠AFD的度数为( )A.50°B.60°C.67.5°D.75°9.在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的三等分点，则四边形EFGH 是( )A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形10.给出下列结论：(1)正方形具有平行四边形的一切性质，(2)正方形具有矩形的一切性质，(3)正方形具有菱形的一切性质，(4)正方形共有两条对称轴，(5)正方形共有四条对称轴，其中正确的结论有( )A.2B.3个C.4个D.5个三、解答题1.在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，求∠AFD 的度数?2.如图所示，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M、D在AK 的同旁，连结BK和DM，求证：BK＝DM.3.如图，已知正方形ABCD，在BC上取一点E，延长AB至F，使BF＝BE，AE的延长线交CF于G，求证AG⊥CF.4.如图，E为正方形ABCD的边AB延长线上一点，DE交AC于F，交BC于G，H为GE的中点.求证：BF⊥BH.5.如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF.【素质优化训练】如图，M 为正方形ABCD 的AB 边上的中点，MN ⊥DM ，BN 平分∠CBG.求证：DM ＝MN【生活实际运用】如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O.点O 是正方形A ′B ′C ′O 的一个顶点.如果两个正方形的边长相等，那么正方形A ′B ′C ′O 绕点O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的41，想一想这是为什么.【知识探究学习】如图，已知E 是正方形ABCD 的边BC 上的中点，F 是CD 上一点，AE 平分∠BAF ，求证：AF ＝BC+CF.参考答案一、1.邻边相等直角 2.平行四边形相等互相垂直且平分每一组对角 3.相互平分相等互相垂直 4.平行四边形是直角互相垂直 5.4(2+1)m 3m2 6.45°37.150° 8.112.5° 9.13 10.4二、1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.A 8.C 9.A 10.C三、1.67.5° 2.提示：证△MAD≌△KAB(SAS) 3.提示：证△ABE≌△CBF，再证∠AGC ＝∠ABE＝90° 4.先证△BCF≌△DCF，得：∠CDF＝∠CBF，进而证∠GBF＝∠HBG，得：∠FBG+∠GBH＝∠GBH+∠HBE＝90°，得BF⊥BH 5.提示：延长CB到G，使BG＝FD，证△ABG ≌△ADF，得：∠BAG＝∠DAF，再证△AEF≌△AEG，得EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF【素质优化训练】提示：取AD的中点E，连EM.【生活实际运用】略.【知识探究学习】提示：延长FC交AE的延长线于H.。
专题：正方形
专题：正方形（1）【板块一】正方形的简单证明和计算题型一正方形的简单证明【例1】如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD，垂足分别为M，N，连接AE．求证：（1）MN＝AE；（2）AE⊥MN．N【例2】如图1，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别在OA，OB上，且OM＝ON．（1）求证：①BM＝CN；②CN⊥BM；（2）如图2，若M，N分别在OA，OB的延长线上，则（1）中的两个结论仍成立吗？请说明理由．AN 图1 图2题型二 正方形的简单计算【例3】点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A ，B 重合），连接PD ，将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得到线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°A针对练习11.正方形ABCD 中，点E ，F 分别是对角线AC ，BD 上的两个动点，AC ，BD 相交于点O ． （1）如图1，若AE ＝DF ，求证：AF ＝BE ；（2）如图2，若点E 是OC 的中点，DF ＝13BD ，AF 与BE 的延长线交于点G ，求∠G 的度数；（3）若正方形的边长为BE AF 与BE 的夹角为45°时，则DF ＝ ．G图1 图2 图3专题：正方形（2）【板块二】正方形中的问题题型三 正方形中形如a线段关系探究【例1】如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PBAPD ≌△AEB ；②点B 到直线AEEB ⊥ED ；④S△APD＋S △APB ＝12） A ．①③④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①②④E题型四 正方形中形如 2a b=c 线段关系探究【例2】如图1，正方形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点，且BE =AB ，M ，N 分别为AE ，BC 的中点，MN 交ED 于点H .图 1NECBDA图 2ED C(1)求证:∠HEB =∠HNB ；(2)如图2，过点A 作AP ⊥ED 于点P ，连接BP ，求PE PAPB的值.针对练习21.如图，在正方形ABCD 中，E 为BD 上一点，F 为BC 上一点，且AE =EF ，求证:CF.FBA2.如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一动点(不与点C ，D 重合)，连接AE ，过点A 作AF ⊥AE ，交CB 的延长线于点F ，连结EF ，点M 为EF 的中点，连结AC ，BM .FBCD E(1)求证:AE =AF ；(2)当点E 在CD 上运动时(不与C ，D 重合)，CE CFAC的值是否发生变化？ (3)求BMCE的值.3.已知E 是正方形BC 边上一点，F 是CD 边上一点，∠EAF =45°，AE ，AF 分别交BD 于点G ，H . (1)如图1，求证:AE= BE +AB ；(2)如图2，求证:CE .图 2BA EF图 1BA EF专题：正方形（3）【板块三】正方形中线段的和差倍分关系题型五 正方形中线段的和差关系【例1】如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 上一点，EG ⊥AF 于点H ，交CD 于点G ，求证:BE +BF =CG .GBAE【例2】如图，直线MN 经过正方形ABCD 的一个顶点A (不经过顶点B ，C ，D )，过点B 作BE ⊥MN 于点E ，过点C 作CF ⊥MN 于点F .线段AF ，CF ，BE 有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想，并选择图1、图2中的一种情况给予证明.图 2BA EN K图 1BAFE图 1C CMNM题型六 正方形中线段的倍分关系【例3】正方形ABCD 中，点E 在BC 上，点F 在AB 上，且AF =BE ，DF 交AE 于点H .(1)直按写出线段AE ，DF 的位置及数量关系为____________________；(2)如图1，在HD 上取一点M ，使HM =HA ，点O 为MC 的中点，请写出线段DH 与DO 的数量关系，并证明；(3)如图2，将直线FD 沿射线AE 方向平移，交线段AB 于点N ，交AE 于点I ，交CD 于点K ，若DI =DC ，求ANDK的值.针对练习31.如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，点F 在边BC 上，∠BAE =∠AEF .ECBF(1)求证:∠FAE =45°；(2)求BFCF的值.2.如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 的中点，点F 为CD 上一点，且∠1=∠2，求证:AF =BC +CF .FECB专题：正方形（4）【板块四】正方形中的折叠问题题型七 正方形中折叠问题【例1】在正方形ABCD 中，E ，F 分别在AD ，BC 上，将正方形沿EF 折叠，使点B 落在CD 上的点H 处，点A 的对应点为点G ，CH 交AD 于点P .(1)如图1，求证，AE +CH = FH ；图 1BAGFH(2)如图2，求证:∠HBP =45°；图 2BGAFH(3)求证:PE + PG + EG =HD .【例2】已知正方形ADCD 的边长是2，点P 沿A →B →C →D 运动，到达点D 停止.(1)如图1，连接PD ，AP ，设点P 运动的距离为x ，请用x 表示△APD 的面积y (直接写出结果)；图 1B A(2)过点D 作DE ⊥AP 于点E .①如图2，点P 在线段BC 上，将△APB 沿AP 翻折得到△APB ′，连接DB ′，求∠B ′DE 的度数；图 2BA P②如图3，连接EC ，若△CDE 是等腰三角形，则DE =_____. ( 直接写出结果)图 3BAP专题：正方形（5）【板块五】 构造正方形技巧题型八 翻折或旋转三角形构成正方形【例1】如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，AB =AD ，AE ⊥CD 于点E ，若AE =10，求ABCDS 四边形.EA【例2】如图，四辺形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD =90°，AB =BC +AD ，∠DAC =45°，E 为CD 上一点，∠BAE =45°，若CD =4，求BC 的长和△ABE 的面积.EAB题型九 补全图形成正方形【例3】如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =CD ，∠ABC =90°，∠BCD =150°，求∠BAD 的度数.DC【例4】如图，四边形ABCD 是正方形，点E ，K 分別在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE =BK =AG . (1)求证：①DE =DG .②DE ⊥DG ；(2)尺规作图:以线段DE ，DG 为边作出正方形DEFG ；(要求:只保留作图痕迹，不写作法和征明) (3)连接(2)中的KF .猜想并写出四辺形CEFK 是怎样的特殊四辺形.并证明你的猜想；(4)当1CE CBn时，请直接写出ABCD S S 正方形正方形DEFG 的值.图 2图 1BBADDAEKGEKG专题：正方形（6） 【板块六】坐标系中的正方形题型十 正方形与坐标系的结合【例1】如图，A (1，0)，B (0，3)，以AB 为边作正方形ABCD ，求点C ，D 的坐标.【例2】已知A（a，0），B（b，0），C（a，b），其中a，b21025b b-=-．（1）求点C的坐标和四边形OACB的面积；（2）如图，第四象限的点P（m，n）在射线AB上，且mn＝﹣14，求OP2－OA2的值；（3）如图，D是OC上一点，ED⊥OA于点E，M是CD的中点，连接BE，EM，线段BE交OC于点N，求222ON CMMN+的值．xx（图1）（图2）（图3）针对练习41．如图，A（﹣3，4），四边形OABC为正方形，AB交y轴于点D．（1）求点B的坐标；（2）求点D的坐标．x2．如图，E（﹣2，0），A（0，4），延长EA至点D，使AD＝AE，四边形ADCB为正方形．（1）求点C的坐标；（2）求CE的长．x3．在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是正方形，且D （0，2），点E 是线段OB 延长线上的一点，点M 是线段OB 上一动点（不包括点O ，B ），过M 作MN ⊥DM ，交∠CBE 的平分线于点N ． （1）写出点C 的坐标； （2）求证：MD ＝MN ；（3）连接DN 交BC 于点F ，连接FM ．下列两个结论：①FM 的长度不变；②MN 平分∠FMB ，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明．xx（图1） （图2）。
北师大版九年级数学上同步练习1：正方形的性质 (含答案)
正方形的性质
1、下列说法中错误的是（）
A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
B、每组邻边都相等的四边形是菱形
C、四个角相等的四边形是矩形
D、对角线互相垂直的平行四边形是正方形
2、下列结论：（1）正方形具有平行四边形的一切性质；（2）正方形具有矩形的一切性质；（3）正方形具有菱形的一切性质；（4）正方形具有四边形的一切性质。
其中正确的结论有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
3、如图，已知正方形ABCD，E为BC上任意点，延长AB至F，使BF = BE，AE的延长线交CF于G，求证：AG⊥CF
4、如图，已知正方形ABCD，BE∥AC，AE＝AC，求证：CF＝CE
补：1、已知如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD = 120°，且对角线长为10cm，求AB的长
2、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，
试说明EF与DF相等
3、如图，矩形ABCD中，DF平分∠ADC，交AC于E，交BC于F，
∠BDF = 15°，求∠DOC和∠COF的度数
4、如图，矩形ABCD中，点H在对角线BD上，HC⊥BD，HC的延长线
交∠BAD的平分线于点E，试说明CE与BD的数量关系
参考答案1、D 2、D
3、略
4、略
补：
1、AB = 5cm
2、略
3、60度和75度
4、CE = BD
5、。
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【学习目标】1.掌握正方形的定义、性质和判定方法.2 •能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.3•能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明.【主体知识归纳】1.正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2•正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：(1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形的判定(1)根据正方形的定义；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形；(3)有一个角是直角的菱形是正方形；(4)既是矩形又是菱形的四边形是正方形.【基础知识精讲】1.掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：(1) 有一组邻边相等的平行四边形(菱形)正方形(2) 并且有一个角是直角的平行四边形(矩形)形正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形.2.正方形的性质可归纳如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45 °;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容.【例题精讲】［例1］如图4 —50,已知矩形ABCDK F为CD的中点，在BC上有一点E,使DC + CE AF 平分/ EAD求证：矩形ABCDI正方形.图4—50剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE= DO CE 容易想到若能证明AE= A［＞CE便可证得AD- DC由于AF平分/ EAD因此可在AE上截取AG= AD再证GE= CE就可得出要证的结论.证明：在AE上截取AG= AD连结FG FE•••四边形ABCD^矩形，•••/ D=Z C- 90°.•/ AD- AG / DAF=Z GAF AF= AF•••△ADF^A AGF •- DF- GF, / D-Z AG- 90 ° .•/ DF= CF, ••• GF= CF.•••Z FGE=Z C= 90° , FE= FE,•Rt △ GFE^ Rt △ CFE•GE= CE •- AD^ CE= AE 又DO CE= AE • AD- DC•矩形ABCD是正方形.说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角.［例2］如图4—51,已知正方形ABCD勺对角线AC BD相交于点O E是AC上一点，过点A作AGL EB,垂足为G AG交BD于点F,则0E= OF图4—51对上述命题的证明如下：••四边形ABCD^正方形，•Z BOE=Z AOF= 90° , BO= AO•Z 3+Z 2= 90° ,•/ AGLBE •Z 1 + Z 3-90°.•Z 1-Z 2 ,•△ BOE^ AOF • OE= OF问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AGL EB交EB的延长线于G AG的延长线交DB的延长线于点F,其他条件不变（如图4—52）,结论“OE= OF”还成立吗？如果成立,请给出证明；如果不成立，请说明理由.剖析：可仿上述的证明，证△ BOE^A AOF解：结论O氐OF仍然成立，证明如下：•••四边形ABCD是正方形，•••/ BOE=Z AO F 90°, BO= AQ•••/ OFA-Z FAE F 90°又••• AGL EB •••/ OE—Z EAF= 90°,• Z OE FZ OFA•••△BO^A AOF •- OE= OF［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来.图4—53剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的.2倍，而正方形的对角线是边长的.2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形.答案：如图4—53,分别过B、D作AC的平行线，分别过A C作BD的平行线，四条线分别交于A'、B'、C'、D'，则四边形A B' C D为要求的正方形.【同步达纲练习】1 •选择题(1)下列命题中，假命题的个数是( )①四边都相等的四边形是正方形②对角线互相垂直的平行四边形是正方形③四角A. 1 B . 2 C . 3 D . 4(2) 正方形具有而菱形不具有的性质是( A.对角线互相垂直平分 C.邻边相等(3) 正方形的对角线与边长之比为( )A. 1 : 1 B .2 : 1 C . 1 : 2 D . 2 : 1(4) 以等边A ABC 勺边BC 为边向外作正方形BCDE 则①/AB 9105。
数学：6.3《正方形》同步练习(浙教版八年级下)
数学：6.3《正方形》同步练习（浙教版八年级下）【知识盘点】1．我们把有一组邻边_______，并且有一个角是_______的_________的叫做正方形．2．正方形既是特殊的________，又是特殊的_________，•所以它同时具有______和________的性质．（1）正方形的四个角_______，四条边________；（2）正方形的对角线_____，并且_________，每条对角线平分_________．3．判定一个四边形是正方形除根据定义判别外，通常还有如下方法：（1）有一组邻边相等的_________是正方形；（2）有一个角是直角的________是正方形．4．若一个四边形有四条对称轴，则这个四边形是______．5．若正方形的一条对角线长为a，则这个正方形的面积是______．6．如图1所示，在正方形ABCD中，延长BC至E，使CE=CA，连结AE，则∠CAE=_____度．(1) (2) (3)【基础过关】7．正方形具有而一般菱形不具有的性质是（）A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分C．对角线相等 D．每一条对角线平分一组对角8．如图2所示，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．如图3所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，则图中等腰直角三角形有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．10个(4) (5)10．如图4所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC上任意一点，EG⊥BD•于G，EF⊥AC于F，若AC=10，则EG+EF的值为（）A．10 B．4 C．8 D．511．如图5所示，在正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP，PC•为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是（）A．2 B．4 C．6 D．8【应用拓展】12．如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC，DB相交于点O，点E是OB上的一点，DF⊥CE于F，交OC 于G，求证：OE=OG．13．如图所示，已知D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，•且BE=CF．求证：（1）△ABC是等腰三角形；（2）在什么条件下，四边形AFDE是正方形？请证明之．14．如图所示，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，•连结AP，EF，求证：AP=EF．【综合提高】15．已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1，将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB，B C，CD，DA，AB，……连续地翻转n次，使顶点．．P．最终回到原来的起始位置．（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动．图2是当k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图．请你探索：若k=1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n=_____时，•顶．点．P．第一次回到原来的起始位置．（2）若k=2，则n=_____时，顶点．．P．第一次回到原来的起始位置；若k=3，则n=_____时，顶点．．P．第一次回到原来的起始位置．（3）请你猜测：使顶点．．P．第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）．(2)答案:1．相等，直角，平行四边形2．矩形，菱形，矩形，菱形（1）都是直角，相等（2）相等，互相垂直平分，一组对角3．（2）矩形（3）菱形4．正方形 5．15a2 6．22.5•° 7．C 8．B 9．C 10．D 11．B(1)12．略 13．（1）略（2）正方形，略14．提示：•连结PC15．（1）12 （2）24，12（3）当k是3的倍数时，n=4k；当k不是3的倍数时，n=12k。
正方形(基础)知识讲解+练习
正方形（基础）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（正方形）知识要点】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2015•扬州校级一模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形=2+．其中正确的个数为（）ABCDA.1B.2C.3D.4【思路点拨】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a2=2+，∴S正方形ABCD=2+，④说法正确，∴正确的有①②④．故选C．【总结升华】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．举一反三：【变式1】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．【答案】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC＝DC ，∠BCD＝90°∵E 为BC 延长线上的点，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE ．在△BCF 和△DCE 中，BC DC BCF DCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF≌△DCE（SAS ），∴BF＝DE ．【高清课堂 特殊的平行四边形（正方形） 例1】【变式2】（2015•咸宁模拟）如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°【答案】B ；提示：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD ，∠BAF=45°，∵△ADE 是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE ，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE ， ∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°，∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；故选：B ．2、如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连接AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB＝30°，求EF的长．【思路点拨】要证明△ABE≌△DAF，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，只要证一条边对应相等即可．要求EF的长，需要求出AF和AE的长．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△DAF≌△ABE．（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB＝30°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°，∵∠1＋∠4＝∠DAB＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝180°－（∠1＋∠3）＝90°，∴DF⊥AG，∴DF＝11 2AD=∴A F＝3∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1，∴EF＝31-【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．举一反三：【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF 和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，∵AB＝2BC，即BC＝BN＝12 AB∴BN＝12BE，即N为BE的中点，∴EN＝NB＝BC，∴△FNE≌△ECB，∴FN＝EC．要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.类型二、正方形的判定3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G．∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴ DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵ DF＝DE．∴四边形CEDF是正方形．【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．举一反三：【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠CO B＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三线合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系xoy中，边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限．(1)当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB 的平分线上；【答案与解析】解：(1)当∠BAO＝45°时，∠PAO＝90°，在Rt△AOB中，OA＝22AB＝22a，在Rt△APB中，PA＝22AB＝22a．∴点P的坐标为22,22a a⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．(2)如图过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA＝∠PNB＝∠NPM＝∠BPA＝90°，∵∠BPN＋∠BPM＝∠APM＋∠BPM＝90°∴∠APM＝∠BPN，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴ PM＝PN，又∵ PN⊥ON，PM⊥OM于是，点P在∠AOB的平分线上.【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.【巩固练习】 一.选择题 1. 正方形是轴对称图形，它的对称轴共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2. （2015•漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A. 四条边相等B. 对角线互相垂直平分C. 对角线平分一组对角D. 对角线相等3. 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为( )2cm ．A.6B.8C.16D.不能确定4. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是 ( )A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形5.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME ＝MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，则DG 的长为（ ）A ．31- B.35- C.51+ D. 51-6.如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，则图中的等腰三角形有（ ）A ．4个B ．6个C ．8个D ．10个二.填空题7．若正方形的边长为a ，则其对角线长为______，若正方形ACEF 的边是正方形ABCD 的对角线，则正方形ACEF 与正方形ABCD 的面积之比等于______．8. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，对角线AC 与BD 相交于点O ，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是_________.9. 如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A B C '''，若两个三角形重叠部分的面积是12cm ，则它移动的距离AA '等于____cm .10. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是_______.11. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是______．12.（2015•长春）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为 ．三.解答题13．已知：如图，正方形ABCD 中，点E 、M 、N 分别在AB 、BC 、AD 边上，CE ＝MN ， ∠MCE ＝35°，求∠ANM 的度数．14．（2015•铁力市二模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？．15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF 交AD于H，求DH的长．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】正方形的对称轴是两对角线所在的直线，两对边中点所在的直线，对称轴共4条．2.【答案】D；【解析】正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：D．3．【答案】B；【解析】阴影部分面积为正方形面积的一半.4.【答案】A；5.【答案】D；【解析】利用勾股定理求出CM5即ME的长，有DM＝DE，所以可以求出DE51，进而得到DG的长．6.【答案】C ； 二.填空题7.【答案】2a ，2∶1 ；【解析】正方形ACEF 与正方形ABCD 的边长之比为2:1.8.【答案】AC ＝BD 或AB⊥BC；【解析】∵在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA∴四边形ABCD 是菱形∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC ＝BD 或AB⊥BC .9.【答案】1；【解析】移动距离为B C x '=，重叠部分面积为CE ×1B C '=，所以()21x x -=，得()210x -=，所以1x =.10.【答案】1；【解析】由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于三角形BOC 面积．11.【答案】21-；【解析】21D E D C ''==-，重叠部分面积为()12121212⨯⨯⨯-=-. 12.【答案】5；【解析】解：过E 作EM ⊥AB 于M ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC=CD=AB ，∴EM=AD ，BM=CE ，∵△ABE 的面积为8，∴×AB ×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案为：5．三.解答题13.【解析】解：作NF⊥BC 于F ．∵ABCD 是正方形，∴CD ＝BC ＝FN则在Rt △BEC 和Rt △FMN 中，∠B＝∠NFM＝90°，CE MN BC FN=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BEC≌Rt △FMN∴∠MNF＝∠MCE＝35°∴∠ANM＝90°－∠MNF＝55°14.【解析】解：①正确，连接PC ，可得PC=EF ，PC=PA ，∴AP=EF ；②正确；延长AP ，交EF 于点N ，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE ，可得AP ⊥EF ； ③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP ；④错误，PD=PF=CE ；⑤正确，PB 2+PD 2=2PA 2．所以正确的有3个：①②③.15.【解析】解：如图，连接CH ，∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°，∴∠BCF＝30°，则∠DCF＝60°，在Rt△CDH 和Rt△CFH 中，CH CH CD CF=⎧⎨=⎩ ∴Rt△C DH ≌Rt△CF H ， ∴∠DCH＝∠FCH＝12∠DCF＝30°， 在Rt △CDH 中，DH ＝x ，CH ＝2x ，CD ＝33x =，∴DH ＝3.。
正方形知识点总结及典型试题
5．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是。
6．如图，在边长为6√2的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH=8，则FG=。
典型试题
一．选择题
1.如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（ ）①OH=1/2BF；②∠CHF=45°；③GH=1/4BC；④DH2=HE•HB．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10）B．（-2，0）C．（2，10）或（-2，0）D（10，2）或（-2，0）
10．在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第3个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为（ ）A．5(3/2)2010B．5(9/4)2011C.5(9/4)2009D.5(3/2)4020
正方形知识点总结及典型试题
知识点一：正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形；正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形。
2023年人教版八年级下册数学_ 正方形 同步典型例题精讲课件
18.2.3 正方形
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STEP2 能力提升与素养
1
3.[2022陕西宝鸡岐山一模]如图，在正方形ABCD中
7
S△BPF.S四边形NFEM＝S四边形PFEQ，S四边形MEDA＝S四边形QEDC，∴图中阴影部
8
分的面积是正方形ABCD面积的一半，即 1 ×2×2＝2.
2
9
18.2.3 正方形
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STEP1 知识理解与运用
1
知识点二 正方形的判定
2
5.菱形ABCD添上下列哪个条件，可证明它是正方形( A )
45°＝22.5°.
8
9
18.2.3 正方形 1
STEP1 知识理解与运用
2
4.正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是对角线BD
上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，如图
3
所示，则图中阴影部分的面积之和等于 2 .
4
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5
6
解析：BD是正方形ABCD的对角线，根据对称性可知，S△BNF＝
9
18.2.3 正方形
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STEP1 知识理解与运用
1
2.一个正方形的面积为8 cm2，则它的对角线长为( C )
2
A.2 cm
3
B.2 2 cm
C.4 cm
D.3 cm
4
解析：∵正方形的面积为8 cm2，∴正方形的边长为 8＝2 2 (cm)，
5
∴正方形的对角线长为2 2 × 2 ＝4(cm).
或∠ACB＝45°能使矩形ABCD成为正方形.
7
18.2.3 正方形
STEP2 能力提升与素养
1
2.[2022贵州遵义模拟]如图，正方形ABCD中，点F
中考几何专题精讲精练专题一 正方形内的两对边上动点连线段模型及练习（教师版学生版）
2019年中考几何专题精讲精练学生版专题一正方形内的两对边上动点连线段模型及练习一、知识储备：1、两点之间线段最短2、平移与翻折性质3、平行线等分线段定理4、线段垂直平分线定理5、勾股定理6、三角形全等判定与性质7、特殊四边形性质与判定8、直角三角形斜边上中线等于斜边一半二、方法与技巧：平移构造、中点构造、化折为直、方程思想等三、基本几何模型与变式：中考原题：（2018·湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．结构探究一：如图，E,F分别是正方形ABCD边AD,CD上一动点，(1)若AF=BE时，则有A F⊥BE(2)若A F⊥BE时，则有AF=BEAE DGFB结构探究二：如图，正方形ABCD中，E,F分别是AB,CD上的动点，M,N分别是AD,BC边上的动点，连EF,MN（1）当M N ⊥EF 时，则有MN=EF （2）：当MN=EF 时，则有M N ⊥EFN MFED CBAGkNMFED CBA提炼模型：正方形内相对两边上动点连线段，如果这两条线段垂直，则必相等；反之，如果这两条线段相等，那么则一定垂直；方法总结：平移是一种重要的数学方法，利用平移构造转化，补成全等图形和平行四边形。
模型运用：跟进练习1：如图，E,F 分别是正方形ABCD 边AB,CD 边上动点，K 在BC 边上，且BK=3,连EF ，将正方形沿EF 翻折后得四边形EFGK ，D 与G 对应且A 点恰与K 重合，正方形边长为9（1）求折痕EF 长 （2）求DF 长GkF ED CBA GkMF ED CBA跟进练习2： 如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD,CD 上两个动点，满足AF=BE ．连接AF 与BE 交于点H ．若正方形的边长为6，求线段DH 长度的最小值_．HFE D CBAOGFE D CBA跟进练习3：如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为6，求线段DH 长度的最小值是_．跟进练习4：（2018·济宁）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，连接DF ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，EH 的延长线交DC 于点G ． （1）猜想DG 与CF 的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H 作MN ∥CD ，分别交AD 、BC 于点M 、N ．若正方形ABCD 的边长为10，点P 是MN上一点，求△PDC周长的最小值．跟进练习5：（2018·聊城市）如图，正方形ABCD 中， E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF.（1）求证：AE=BF.（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长.跟进练习6：(2018·常德)已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO＝NO；（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM＝AB；（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当ME⊥EC时，求证：AN2＝MC．AC 图1 图2 图3跟进练习7：在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB、AP、BD、CD分别交于点M、E、F、N．（1）若AB=9，BP=3，求线段MN的长度；（2）求证：ME+NF=EF．跟进练习8：如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP 于点E，交线段AB于M，CD于N，证明：AP=MN；如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB、AP、BD、DC于点M、E、F、N．（1）求证：EF=ME+FN；（2）若正方形ABCD的边长为2，分别求出线段EF的最小值和最大值．跟进练习9：如图，正方形ABCD 中，点P 为CD 上一点，线段AP 的垂直平分线MN 交BD 于点N ，点M 为垂足，交两边于点E 、F ，连接PN ， 求证：（1）∠DNP=∠DAP ； （2）PC=2BN ；（3）DN DC DP 为常数；（4）MN=MF+NE ．跟进练习10：如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCD 边OC 与x 轴正半轴重合，OA 边与y 轴正半轴重合，E 是线段OC 上一动点，连AE ，作E F ⊥AE 交∠DCO 外角平分线于P,(1) 求证：AE=EP(2) 若正方形边长为5，E(m,0)在y 轴上是否存在一点M ，使四边形DMEP 为平行四边形？若存在，用t 表示M 点的坐标；并判断是否存在t ，DMEP 为矩形，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由yxE PDCOA跟进练习11：在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点，连接PA，PD，点M、N 分别为BC、AP的中点，连接MN交PD于点Q．（1）如图1，当点P与点B重合时，△QPM的形状是等腰直角三角形；（2）当点P在线段CB的延长线上时，如图2．①依题意补全图2；②判断△QPM的形状并加以证明；（3）点P′于点P关于直线AB对称，且点P′在线段BC上，连接AP′，若点Q恰好在直线AP′上，正方形ABCD的边长为2，请写出求此时BP长的思路（可以不写出计算结果）．跟进练习12：(2017·宜昌)正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°．（1）当OM经过点A时，①请直接填空：ON不可能（可能，不可能）过D点；（图1仅供分析）②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD 于H，求证：四边形EFCH为正方形．（2）当OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=1．在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PK O=4S△OB G，连接GP，求四边形PKBG的最大面积．。
2024八年级数学下册专项讲与练专题18.22 正方形(知识梳理与考点分类讲解)
专题18.22 正方形（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】正方形的定义有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形【知识点二】正方形的性质1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行.2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.【知识点三】正方形的判定定义法有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形矩形+一组邻边相等有一组邻边相等的矩形是正方形判定定理矩形+对角线互相垂直对角线互相垂直的矩形是正方形菱形+一个角为直角有一个角是直角的菱形是正方形菱形+对角线相等对角线相等的菱形是正方形特别提醒：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.【知识点四】正方形的对称性1.正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线.2.正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心.特别提醒：【知识点五】四边形之间的关系1.四边形之间的关系四边形四条边都相等是菱形四边形有三个角是直角是矩形四边形只有一组对边平行是矩形矩形两腰相等是等腰梯形矩形一个角是直角是直角梯形四边形两组对边分别平行（或两组对边分别相等或一组对边平行且相等）是平行四边形四边形两条对角线互相平分是平行四边形四边形两组对角分别相等是平行四边形平行四边形有一组邻边相等（或对角线互相垂直）是菱形平行四边形有一个角是直角，有一组邻边相等是正方形平行四边形有一个角是直角（或对角线相等）是矩形菱形有一个角是直角（或对角线相等）是正方形矩形有一组邻边相等（或对角线互相垂直）是正方形2.四种特殊四边形的性质边都相等【考点目录】【正方形性质与判定的理解】【考点1】正方形性质的理解；【考点2】正方形判定的理解；【正方形性质定理】【考点3】利用正方形性质证明与求值【正方形判定定理】【考点4】利用正方形判定定理证明与求值【正方形性质定理与判定定理】【考点5】利用正方形性质定理和判定定理证明与求值【正方形性质与判定的理解】【考点1】正方形性质的理解；△是等腰三角形，理由见分析；（2）67.5°【答案】（1）ACE【分析】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定及性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，掌握正方形的性质是解题的关键．（1）根据正方形的性质可得:AD CE =CA CE =，即可解决问题；（2）利用正方形的性质及三角形外角定义求出22.5E Ð=°，然后根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题．（1）解：ACE △是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD AB BC ===，90B D Ð=Ð=°，则AC ==，∴:AD AC =，∵:AD CE =∴CA CE =，∴ACE △是等腰三角形；（2）∵AD CD AB BC ===，90B D BCD Ð=Ð=Ð=°，∴45ACB ACD Ð=Ð=°，∵CA CE =，∴CAE E Ð=Ð，∵CAE E ACB Ð+Ð=Ð，∴245E Ð=°，∴22.5E Ð=°，∵90FCE BCD Ð=Ð=°，∴9022.567.5AFD EFC Ð=Ð=°-°=°．【变式1】（2023下·辽宁大连·八年级统考期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线互相垂直D ．对角线平分对角【答案】B【分析】此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．解： A 、矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，故不符合题意；B 、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，故符合题意；C 、菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，故不符合题意；D 、菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，故不符合题意．故选B ．【变式2】（2024·全国·七年级竞赛）如图，点A 、B 、C 是正方体上的三个顶点，则ABC Ð的度数为．【答案】60°/60度【分析】本题主要考查正方体的性质，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．如图所示，连接AC ，根据正方体的性质可得AB BC AC ，，是正方形的对角线，由此即可求解．解：如图所示，连接AC ，∵点A B C 、、是正方体上的三个顶点，∴线段AB BC AC ，，是正方形的对角线，∴AB BC AC ==，∴ABC V 是等边三角形，∴60ABC Ð=°，故答案为：60°．【考点2】正方形判定的理解；【例2】（2023下·北京海淀·八年级校考期中）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CD 到E ，使DE CD =，连接AE ，OE ．（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）若4AD DE ==，求OE 的长．【答案】（1）见分析；（2）OE =【分析】（1）根据平行四边形的判定即可求出答案．（2）先证明矩形ABCD 是正方形，然后根据正方形的性质和勾股定理，即可求出答案．（1）解：Q 四边形ABCD 是矩形，AB CD \∥，AB CD =，DE CD =Q ，DE AB \=，\四边形ABDE 是平行四边形．（2）解：4AD DE ==Q ，90ADE Ð=°，AE \=，BD AE \==在Rt BAD V 中，O 为BD 中点，12AO BD \==．AD DE CD ==Q ，\矩形ABCD 是正方形，454590EAO OAD DAE \Ð=Ð+Ð=°+°=°，\==OE【点拨】本题考查矩形的性质，正方形的判定和平行四边形的判定定理，勾股定理，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及平行四边形的判定，本题属于中等题型．【变式1】（2023下·云南楚雄·八年级统考期末）下列说法正确的是（）A．对角线相等的菱形是正方形B．有一组邻边相等的平行四边形是正方形C．有一个角是直角的平行四边形是正方形D．各边都相等的四边形是正方形【答案】A解：Q菱形是特殊的平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，\对角线相等的菱形同时也是矩形，\对角线相等的菱形是正方形，故A正确；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，故C错误；根据菱形的判定定理，各边都相等的四边形是菱形，故D错误，故选：A．【变式2】（2020下·八年级课时练习）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC，BE=BC．当∠CBE：∠BCE=，求证：四边形ABCD是正方形．【答案】2：3，证明见分析．【分析】首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，可得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，可得AD=BC，利用平行四边形的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD 可得四边形ABCD 是菱形；由BE=BC 可得△BEC 为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC ，利用三角形的内角和定理可得∠CBE =45°，可得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD 是正方形．解：证明：当∠CBE ：∠BCE =2:3时，四边形ABCD 是正方形．理由如下：在△ADE 与△CDE 中，,AD CD DE DE EA EC ìïíïî＝＝＝∴∠ADE=∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE=∠CBD ，∴∠CDE=∠CBD ，∴BC=CD ，∵AD=CD ，∴BC=AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD=CD ，∴四边形ABCD 是菱形；∵BE=BC ∴∠BCE=∠BEC ，∵∠CBE ：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180×2233++=45°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD 是正方形．【点拨】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．【正方形性质定理】【考点3】利用正方形性质证明与求值【例3】（2023上·广东江门·九年级校考期中）如图，四边形ABCD 是正方形，E ，F 分别是边DC和CB 延长线上的一点，且DE BF =，连接AE AF EF ，，，（1）求证：ADE ABF V V ≌；（2）若4BC =，1CE =，求AEF △的面积．【答案】（1）见分析；（2）252【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）由题意知90ABF ADE Ð=°=Ð，证明()SAS ADE ABF ≌△△；（2）由题意得，43AD DE ==，，由勾股定理得，22225AE AD DE =+=，由()SAS ADE ABF ≌△△，可得，AE AF =，证明90EAF Ð=°，根据12AEF S AE AF =´V ，计算求解即可．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD BC CD ===，90BAD ABC ADE Ð=Ð=Ð=°，∴90ABF ADE Ð=°=Ð，∵AB AD =，ABF ADE =∠∠，BF DE =，∴()SAS ADE ABF ≌△△；（2）解：∵4BC =，1CE =，∴43AD DE ==，，由勾股定理得，22225AE AD DE =+=，∵()SAS ADE ABF ≌△△，∴AF AE BAF DAE =Ð=Ð，，∴90BAF BAE DAE BAE Ð+Ð=Ð+Ð=°，即90EAF Ð=°，∴21125222AEF S AE AF AE =´==V ，∴AEF △的面积为252．【变式1】（2024下·全国·八年级专题练习）在正方形ABCD 中，等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在边BC 和CD 上，则CEF Ð=（ ）A ．75°B ．60°C ．50°D ．45°【答案】D【分析】根据题意直接证明()Rt Rt HL ABE ADF △△≌，进而得CE CF =，根据等腰直角三角形的性质即可求解．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD BC CD ===，90B D C Ð=Ð=Ð=°，∵AEF △是等边三角形，∴AE AF =，∴()Rt Rt HL ABE ADF △△≌，∴BE DF =，∴CE CF =，∴CEF △是等腰直角三角形，∴45CEF Ð=°，故选：D ．【点拨】本题考查了HL 证明直角三角形全等，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练以上性质是解题的关键．【变式2】（2024上·山东青岛·九年级统考期末）如图，已知四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，且G 是AB 的中点，连接AE ，若4AB =，则AE 的长为 ．【答案】【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．过点E 作EM AD ^交BC 于点N ，交AD 于点M ，则4MN =，再证明BCG NEC ≌△△，得出4NE BC ==，再利用勾股定理即可解答．解：过点E 作EM AD ^交BC 于点N ，交AD 于点M ，则4MN =，Q 四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，CG CE \=，90B CNE Ð=°=Ð，90GCE Ð=°，GCB CEN \Ð=Ð，()ASA BCG NEC \V V ≌，4NE BC \==，122CN BC AB ===，8ME \=，2AM BN ==，AE \=故答案为：．【正方形判定定理】【考点4】利用正方形判定定理证明与求值【例4】（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，已知E 是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F ．（1）求证：ABE FCE ≌△△；（2）连接AC BF 、，若12AE BC =，求证：四边形ABFC 为矩形；（3）在（2）条件下，直接写出当ABC V 再满足______时，四边形ABFC 为正方形．【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）AB AC=【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定：（1）根据平行四边形的性质得出AB DC ∥，进而得出ABE FCE Ð=Ð，再根据ASA 即可证明ABE FCE ≌△△；（2）根据对角线互相平分证明四边形ABFC 为平行四边形，由12AE BC =可得AF BC =，可证四边形ABFC 为矩形；（3）AB AC =时，由等腰三角形的三线合一性质得出AE BC ^，得出四边形ABFC 是菱形，即可得出结论四边形ABFC 为正方形．解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB DC ∥，∴ABE FCE Ð=Ð，又∵E 为BC 的中点，∴BE CE =，在ABE V 和FCE △中，ABE FCEBE CEAEB FEC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ABE FCE ≌V V ；（2）证明：∵ABE FCE ≌△△，∴BE CE =，AE FE =，∴四边形ABFC 为平行四边形，又∵12AE BC =，∴AF BC =，∴四边形ABFC 为矩形；（3）解：当ABC V 为等腰三角形时，即AB AC =时，四边形ABFC 为正方形；理由如下：∵AB AC =，E 为BC 的中点，∴AE BC ^，∵四边形ABFC 为平行四边形，∴四边形ABFC 是菱形，又∵四边形ABFC 是矩形，∴四边形ABFC 为正方形，故答案为：AB AC =．【变式1】（2024下·全国·八年级专题练习）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形ABCD 是正方形的是（）A ．AB AD =且AC BD ^B ．AC BD ^且AC 和BD 互相平分C ．BAD ABC Ð=Ð且AC BD =D ．AC BD =且AB AD=【答案】D【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可．解：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ^，不能证明四边形ABCD 是正方形，不符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 和BD 互相平分，∵AC BD ^，∴四边形ABCD 是菱形，不能证明四边形ABCD 是正方形，不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =∴四边形ABCD 是矩形，∴90BAD ABC Ð=Ð=°，不能证明四边形ABCD 是正方形，不符合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =∴四边形ABCD 是矩形，又AB AD =，∴四边形ABCD 是正方形，符合题意；故选D ．【点拨】本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，是解题的关键．【变式2】（2024上·陕西榆林·九年级统考期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E ，F 同时从O 点出发在线段AC 上以1cm/s 的速度反向运动（点E ，F 分别到达A ，C 两点时停止运动），设运动时间为s t ．连接DE DF BE BF ，，，，已知ABD △是边长为6cm 的等边三角形，当t = s 时，四边形DEBF 为正方形．【答案】3【分析】由题意可知cm OE OF t ==,即2cm EF t =,由菱形的性质得OB OD AC BD =^，，所以当EF BD =时，四边形DEBF 是正方形，而ABD △是边长为6cm 的等边三角形，则6cm BD =,所以26t =据此求解即可．掌握菱形的性质以及正方形的判定是解题的关键．解：由题意得cm OE OF t ==，∴2cm EF t =，∵菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，∴OB OD AC BD =^，，∴四边形DEBF 是菱形，∴当EF BD =时，四边形DEBF 是正方形，∵ABD △是边长为6cm 的等边三角形，∴6cm BD =，∴由EF BD =得26t =，解得3t =，∴当3t s =时，四边形DEBF 是正方形，故答案为：3．【正方形性质定理与判定定理】【考点5】利用正方形性质定理和判定定理求值【例5】（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，四边形AECF 是菱形，对角线AC 、EF 交于点O ，点D 、B 是对角线EF 所在直线上两点，且DE BF =，连接AD 、AB 、CD 、CB ，45ADO Ð=°．（1）求证：四边形ABCD 是正方形：（2）若正方形ABCD 的面积为72，4BF =，求点F 到线段AE 的距离．【答案】（1）见分析；（2）点F 到线段AE 【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形ABCD 是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题；（2）由正方形的面积公式求得6BO DO CO AO ====，进而得到2OF =，由四边形ABCD 是菱形得到4EF =，AC EF ^，菱形AFCE 的面积24=，由勾股定理求得AE =得答案．解：（1）∵菱形AECF 的对角线AC 和EF 交于点O ，∴AC EF OA OC OE OF ^==,,，∵BE DF =，∴BO DO =，又∵AC BD ^，∴四边形ABCD 是菱形，∵45ADO Ð=°，∴45DAO ADO Ð=Ð=°，∴AO DO =，∴AC BD =，∴四边形ABCD 是正方形；（2）∵正方形ABCD 的面积为72，∴1722AC BD ×=，∴214722BO ´=，∴6BO =，∴6BO DO CO AO ====，∴12AC =，∵4BF =，∴2OF =，∵四边形ABCD 是菱形，∴224EF EO OF ===，AC EF ^，∴菱形AFCE 的面积1242AC EF =×=，∴12AC =，∴6AO =，在Rt AOE △中，AE ==，设点F 到线段AE 的距离为h ，∴24AE h ×=，即24=，∴h =．即点F 到线段AE 【点拨】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键．【变式1】（2024·全国·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且AE 平分BAC Ð，BE CF =，P 为线段AC 上的动点，记PD PF +的最小值为m 则2m 的值为（）A ．6-B ．8-C ．8+D ．6+【答案】B【分析】连接EG ，BP ，由题意得当点P 与点G 重合时，PD PF +的值最小=BF ，再证明ABE BCF △△≌，BAM GAM V V ≌，BAE GAE V V ≌，从而得CEG V 是等腰直角三角形，设CF =BE =GE =x ，则EC ，列方程求出x 的值，进而即可求解．解：连接EG ，BP ，∵点B 与点D 关于AC 对称，∴PD PF +=PB PF +，∴当点P 与点G 重合时，PD PF +的值最小=BF ，∵在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABE =∠BCF =90°，又∵BE CF =，∴ABE BCF △△≌，∴∠BAE =∠CBF ，∴∠BAE +∠ABM =∠CBF +∠ABM =90°，即：∠AMB =∠AMG =90°，∵AE 平分BAC Ð，∴∠BAM =∠GAM ，又∵AM =AM ，∴BAM GAM V V ≌，∴AB =AG ，又∵AE =AE ，∴BAE GAE V V ≌，∴∠AGE =∠ABE =90°，∴CEG V 是等腰直角三角形，∴设CF =BE =GE =x ，则EC ，∴x ，∴，即：m =∴2m =8-．故选：B ．【点拨】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形来求解．【变式2】（2024下·全国·八年级随堂练习）如图，点E在正方形ABCD的边BA的延长线上，连接AC，AC＝AE，CE交AD于点F，则∠ACE的度数等于．【答案】22．5°【分析】根据等边对等角的性质可得∠E＝∠ACE，由正方形的性质得出∠BAC＝45°，再由三角形的外角性质即可得出结果．解：∵AC＝AE，∴∠E＝∠ACE，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAD＝90°，∠BAC＝45°，∴∠E+∠ACE＝45°，×45°＝22．5°，∴∠ACE＝12故答案为：22．5°．【点拨】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质；熟练掌握三角形的外角性质和正方形的性质是解题的关键．【考点6】利用正方形性质定理和判定定理证明【例6】（2023上·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，在ABCV中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A 作BC 的平行线交CE 的延长线F ，且AF BD =，连接BF ．（1）求证：BD CD =；（2）如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论；（3）当ABC V 满足______时，四边形AFBD 为正方形（直接写出）．【答案】（1）见分析；（2）四边形AFBD 为矩形，证明见分析；（3）AB AC =，且90BAC Ð=°．【分析】（1）证明AEF DEC △≌△可得AF DC =，再根据条件AF BD =可利用等量代换可得BD CD =；（2）首先判定四边形AFBD 为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD BC ^，进而可得四边形AFBD 为矩形；（3）当AB AC =，且90BAC Ð=°时，四边形AFBD 为正方形，首先证明=45ABC а，45BAD Ð=°，可得AD BD =，进而可得四边形AFBD 为正方形．解：（1）证明：AF BC Q ∥，AFE ECD \Ð=Ð．E Q 是AD 的中点，DE AE \=，在AEF △与DEC V 中，AFE ECDAEF DEC AE ED Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AAS AEF DEC \V V ≌，AF DC \=，AF BD =Q ，BD CD \=；（2）解：四边形AFBD 为矩形，证明如下：AF BD =Q ，AF BD ∥，\四边形AFBD 为平行四边形，AB AC =Q ，BD DC =，AD BC \^，90BDA \Ð=°，\四边形AFBD 为矩形；（3）解：AB AC =，且90BAC Ð=°；理由如下：AB AC =Q ，且90BAC Ð=°，45ABC \Ð=°，AD BC ^Q ，45BAD \Ð=°，AD DB \=，\四边形AFBD 为正方形．故答案为：AB AC =，且90BAC Ð=°．【点拨】此题主要考查了四边形综合题，正方形的判定，矩形的判定，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握邻边相等的矩形是正方形．【变式1】（2024下·全国·八年级专题练习）如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD ，AD 上的点，且CE DF =，AE ，BF 相交于点O ，下列结论：①AE BF =；②AE BF ^；③AO OE =；④AED FBC Ð=Ð中，正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，根据四边形ABCD 是正方形及CE DF =，可证出ADE BAF △≌△，则得到：①AE BF =；可以证出90ABO BAO Ð+Ð=°，则②AE BF^一定成立,可以证出AED AFB Ð=Ð即可判断④．用反证法可证明AO OE ¹，即可判断③．解：Q 四边形ABCD 是正方形，CD AD AB \==，90BAF ADE Ð=Ð=°，CE DF =Q ，DE AF \=，在ADE V 和BAF △中，AD AB D BAF DE AF =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE BAF SAS \V V ≌，AE BF \=（故①正确）；∴AED AFBÐ=Ð∵AD BC∥∴AFB FBCÐ=ÐAED FBC Ð=Ð（故④正确）；90DAE AFB DAE DEA Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，90AFB EAF \Ð+Ð=°，AE BF \^一定成立（故②正确）；假设AO OE =，AE BF ^Q ，AB BE \=（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），在Rt BCE V 中，BE BC >，AB BC \>，这与正方形的边长AB BC =相矛盾，\假设不成立，AO OE ¹（故③错误）；故选：C ．【变式2】（2024下·全国·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，过点O 作射线OM 、ON 分别交BC 、CD 于点E 、F ，且90EOF Ð=°，OC 、EF 交于点G ．给出下列结论：①COE DOF ≌V V ；②OBE OCF △≌△；③四边形CEOF 的面积为正方形ABCD 面积的14；④222DF CE EF +=．其中正确的为 ．（将正确的序号都填入）【答案】①②③【分析】利用正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理计算判断即可．解：∵正方形ABCD ，90EOF Ð=°，∴,90OA OB OC OD BOC COD ===Ð=Ð=°，45ODF OCD OBC OCB Ð=Ð=Ð=Ð=°，∴90DOF COF COE Ð=°-Ð=Ð，90COF COE BOE Ð=°-Ð=Ð，∴,DOF COE COF BOE OD OC OC OB ODF OCE OBE OCF Ð=ÐÐ=Ðììïï==ííïïÐ=ÐÐ=Ðîî，∴COE DOF ≌V V ，OBE OCF △≌△，故①②正确；∵COE DOF ≌V V ，∴COE DOF S S =V V ，∴COE COF DOF COF S S S S +=+V V V V ，∴COD CEOF S S 四边形=V ，∵正方形ABCD ，∴14COD ABCD S S 四边形=V ，∴14CEOF ABCD S S 四边形四边形=，故③正确；∵正方形ABCD ，∴90BCD Ð=°，∴222+=CF CE EF ，无法判定=CF DF ，故④错误．故答案为：①②③．【点拨】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．。
正方形基础知识精讲及同步练习,精品系列
的四条判定定理，都不相同，只好自己来证明这个命题了
已知四边形 ABCD 是 AD ∥ BC ，∠ B＝∠ D( 如图 ) ，求证：四边形
证明：∵ AD ∥ BC(已知 ) ∴∠ A+∠ B＝ 180 ° ( 两直线平行，同旁内角互补 又∵∠ B＝∠ D( 已知 ) ∴∠ A+∠ D＝ 180 ° ( 等量代换 ) ∴ AB ∥ CD(同旁内角互补，两直线平行 ) ∴四边形 ABCD 是平行四边形 ( 平行四边形定义 ) 例 2 如图，正方形 ABCD对角线相交于 O ， E 是 OA上任一点， CF⊥ BE 于 F.CF 交 OB于 )
求证： (1)DP ＝ EF； (2)DP ⊥ EF 分析 本题主要考查利用正方形的性质解决实际问题的能力 . 延长 FP 交 AD于 G. 注意到 . 延长 AEPG是正方形，要证 从而 DP ⊥ EF. 证明： (1) 延长 FP 交 AD 于 G，延长 DP交 EF 于 H. ∵四边形 AEPG 是正方形， ∴ PG ＝ PE ＝ AE＝ AG ∵正方形 ABCD ∴ AB ＝ AD AD-AG ＝ AB-AE ＝ GF-PG 即 GD ＝ PF ∵ PE ⊥ AB ， PF⊥ BC ， ∴∠ DGP ＝∠ FPE ＝ 90° ∴△ DPG ≌△ FEP ∴ DP ＝ EF (2) ∵△ DPG ≌△ FEP ∴∠ 1＝∠ 2 又∠ 3＝∠ 4，∠ 1+∠ 4 ＝ 90° ∴∠ 2+∠ 3＝ 90° ∴ PH ⊥ EF，即 DP ⊥ EF 例 2 5∠ F. 如图，已知正方形 ABCD ，以对角线 AC 为边作菱形 AEFC ， BF∥ AC.求证：∠ ACF ＝ DP ＝ EF ，只要证△ DPG ≌△ FPE. 显然这两个三角形全等条件具备
2023学年九年级上学期数学同步精讲精练(北师大版)1-3 正方形的性质与判定(习题)(解析版)
第1讲探索勾股定理分层训练提分要义【基础题】1.下列命题正确的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】C【解析】A：对角线相等的四边形有可能是梯形，所以A选项错误；B：对角线相等的四边形有可能是梯形，所以B选项错误；C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确D：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以D选项错误；故选C【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定2.在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH 中，是正方形的有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．无穷多个【答案】D；【解析】在正方形四边上任意取点E、F、G、H，AH＝DG＝CF＝BE，能证明四边形EFGH为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．3.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图甲），测得对角线BD 的长为2．当∠B=60°时（如图乙），则对角线BD 的长为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 5【答案】B ；【解析】解：如图甲，∵AB=BC=CD=DA ，∠B=90°，∴四边形ABCD 是正方形，连接BD ，则AB 2+AD 2=BD 2，∴AB=AD=1，如图乙，∠B=60°，连接BD ，∴△ABD 为等腰三角形，∴AB=AD=1，∴BD=3故选B ． 4.如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上．四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积为S ，则 ( )A ．S ＝2B ．S ＝2.4C ．S ＝4D ．S 与BE 长度有关【答案】A ；【解析】设正方形EFGB 的边长是a ，则S ＝ABC CFG AFGB S S S +-△△梯形＝×（a ＋2）×a ＋ ×2×2－×（a ＋2）×a ＝2.5.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC=2：1，则线段CH 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】由题意设CH=xcm ，则DH=EH=（9﹣x ）cm ，∵BE ：EC=2：1，∴CE=31BC=3cm ∴在Rt △ECH 中，EH 2=EC 2+CH 2， 即（9﹣x ）2=32+x 2，解得：x=4，即CH=4cm ．6. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为1S ，2S ，则12S S +的值为( )A.16B.17C.18D.19【答案】B ；【解析】设正方形2S 的边长为x ，根据等腰直角三角形的性质知，AC 2x ，2x CD =，∴AC ＝2CD ，CD ＝623=.EC ＝22，28S =，∵1S 的边长为3，1S 的面积为3×3＝9，∴12S S +＝8＋9＝17．7．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（ ）A ．由②推出③，由③推出①B ．由①推出②，由②推出③C ．由③推出①，由①推出②D ．由①推出③，由③推出② 【答案】A【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．【解析】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③错误，故选项B ，C ，D 错误，故选：A ．8．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 的中点，F 是边BC 的中点，连结CE 、DF ．求证：CE=DF ． 【解析】证明：∵ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD ，∠EBC=∠FCD=90°，又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴BE=CF ，在△CEB 和△DFC 中，，∴△CEB ≌△DFC ，∴CE=DF ．9．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ；PF ⊥CD 于点F ，连接EF ，给出下列五个结论：①AP=EF ；②AP ⊥EF ；③∠PFE=∠BAP ；④PD=EC ；⑤PB 2+PD 2=2PA 2，正确的有几个？．【解析】解：①正确，连接PC ，可得PC=EF ，PC=PA ，∴AP=EF ；②正确；延长AP ，交EF 于点N ，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE ，可得AP ⊥EF ；③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP ；④错误，PD=2PF=2CE ；⑤正确，PB 2+PD 2=2PA 2．所以正确的有4个：①②③⑤.10．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG ，EF 交AD 于H ，求DH 的长．【解析】解：如图，连接CH ，∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°，∴∠BCF＝30°，则∠DCF＝60°，在Rt△CDH 和Rt△CFH 中，CH CH CD CF=⎧⎨=⎩∴Rt△C DH ≌Rt△CF H ，∴∠DCH＝∠FCH＝12∠DCF＝30°，在Rt△CDH中，DH＝x，CH＝2x，CD＝33x=，∴DH＝3.【中档题】11. 如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过点B作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF.（1）求证：AE=BF；（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长.【分析】（1）利用正方形的性质证明△ABE≌△BCF，进而得到对应边AE=BF；（2）借助△ABE≌△BCF，求出DF的值，然后在Rt△ADF中使用勾股定理求得的AF的值. 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，∵作BH⊥AE，垂足为点H，∴∠BAE=∠CBF.在△ABE和△BCF中，90ABC CAB BCBAE CBF∠=∠=︒=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF.（2）∵△ABE≌△BCF，∴CF=BE=2，∵正方形的边长为5，∴AD=CD=5，∴DF=CD-CF=5-2=3.在Rt△ADF中，2222AF AD DF=+=+=.5334【知识点】正方形的性质、垂直的定义、互余的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理12.如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连结EB、EA，延长BE交边AD 于点F．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）求∠AFB的度数．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC．∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝∠DCE＝60°，DE＝CE．∴∠ADE＝∠BCE＝30°．∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE．（2）∵△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE．∵∠BAE＋∠DAE＝90°，∠ABE＋∠AFB＝90°，∠BAE＝∠ABE，∴∠DAE＝∠AFB．∵AD＝CD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA．∵∠ADE＝30°，∴∠DAE＝75°，∴∠AFB＝75°．13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．(1)试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ；(2)当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的61； (3)若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形． 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，∠DAC ＝∠BAC ＝45°，AQ ＝AQ∴△ADQ ≌△ABQ （SAS ）；(2)以A 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q 作QE ⊥y 轴于点E ，QF ⊥x 轴于点F ．21AD ×QE ＝61ABCD S 正方形＝38 ∴QE ＝34∵点Q 在正方形对角线AC 上 ∴Q 点的坐标为)34,34( ∴过点D(0，4)，)34,34(Q 两点的函数关系式为：24y x =-+，当y ＝0时，x ＝2，即P 运动到AB 中点时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的61； (3)若△ADQ 是等腰三角形，则有QD ＝QA 或DA ＝DQ 或AQ ＝AD①当点P 运动到与点B 重合时，由四边形ABCD 是正方形知QD ＝QA 此时△ADQ 是等腰三角形； ②当点P 与点C 重合时，点Q 与点C 也重合，此时DA ＝DQ ，△ADQ 是等腰三角形； ③如图，设点P 在BC 边上运动到CP ＝x 时，有AD ＝AQ∵AD ∥BC ∴∠ADQ ＝∠CPQ ．又∵∠AQD ＝∠CQP ，∠ADQ ＝∠AQD ，∴∠CQP ＝∠CPQ ．∴CQ＝CP＝x．∵AC＝24，AQ＝AD＝4．∴x＝CQ＝AC－AQ＝24－4．即当CP＝24－4时，△ADQ是等腰三角形．【综合题】14.正方形ABCD的对角线交点为O，如图所示，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC＝2FO．【点拨】在平面几何中，要证明一条线段等于另一条线段的2倍或12，通常采用折半法或加倍法．而折半法又可分直接折半法和间接折半法；加倍又可分直接加倍法和间接加倍法．这就需要学生仔细研究，找到解决问题的合适方法．【解析】证法一：(间接折半法)如图①所示．∵∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6．而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°．∴∠3＝∠5，BE＝BF．取AE的中点G，连接OG，∵ AO＝OC，∴ OG 12 EC．由∠7＝∠5，∠8＝∠3，∴∠7＝∠8，∴ FO＝GO．∴ EC＝2OG＝2FO．证法二：(直接折半法)如图②所示．由证法一得BE＝BF．取EC的中点H，连接OH．∵ AO＝OC，∴ OH∥AE．∴∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO．∴ BO＝BH，∴ FO＝EH．∴ EC＝2EH＝2FO．证法三：(直接加倍法)如图③所示．由证法一得BE＝BF．在OD上截取OM＝OF，连接MC．易证Rt△AOF≌Rt△COM．∴∠OAF＝∠OCM，∴ AE∥MC．由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM，∴ FM＝EC．∴ EC＝FM＝2FO．【总结】若题目中涉及线段的倍半关系和中点问题时，要联想中位线定理，利用中点构造中位线，要注意从不同的角度进行思构，构造不同的辅助线来解决问题．15.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图①，易证EG＝CG，且EG⊥CG．(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想．(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想，并加以证明．【答案】解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．(2)EG＝CG，且EG⊥CG．证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴ MG＝12FD＝FG．∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴∠F＝45°．又FG＝DG，∠CMG＝12∠EMD＝45°，∴∠F＝∠GMC，∴△GFE≌△GMC，∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，∵ MG⊥DF，∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，∴ EG⊥CG．。
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正方形【基础知识精讲】1.什么叫正方形有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.可以看成：(1)有一组邻边相等的矩形(如下图)(2)有一个角是直角的菱形(如下图)(3)一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形2.正方形的性质由于正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身.因此，正方形具有以下性质：(1)两组对边分别平行(2)四个角都是直角，四条边都相等(3)两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角(4)两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的包含关系(如下图)4.关于正方形的判定(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形(一组邻边相等的矩形)(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形(有一个角是直角的菱形)(3)还可以先判定它是平行四边形，再用(1)或(2)进行判定.【重点难点解析】本节重点是正方形的定义，说明正方形与矩形、菱形的关系，是本节学习的难点，因为它们之间的关系重叠交错，容易混淆.例1 下列命题中，真命题是( )A.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D.四条边相等的四边形是正方形分析本题主要考查考生应用平行四边形、矩形、菱形、正方形定义解题的能力.命题B、C、D均易找到反例判断它们是假命题.对于命题A，对照平行四边形的定义及平行四边形的四条判定定理，都不相同，只好自己来证明这个命题了.已知四边形ABCD是AD∥BC，∠B＝∠D(如图)，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵AD∥BC(已知)∴∠A+∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠B＝∠D(已知)∴∠A+∠D＝180°(等量代换)∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形定义)例2 如图，正方形ABCD对角线相交于O，E是OA上任一点，CF⊥BE于F.CF交OB于G，求证：OE＝OG.分析本题是考查正方形的性质、同角的余角相等关系及全等三角形的判定与性质.OG 和OE可分别看作是△OGC与△OEB的最短边，若能证两三角形全等，则命题得证.由正方形性质有OC＝OB，∠COG＝∠BOE＝90°而∠1和∠3为∠2的余角，于是∠1＝∠2 证明：∵ABCD是正方形∴OB＝OC ∴AC⊥BD∴∠COG＝∠BOE＝Rt∠又∵CF⊥BE ∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝Rt∠∴∠1＝∠3 ∴△COG≌△BOE ∴OE＝OG例3 下列四个命题中正确的命题是( )①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形③对角线互相垂直的四边形是菱形④四边相等且对角线相等的四边形是正方形A.①④B.①③C.②③D.③④分析因为命题①就是平行四边形的判定定理3，所以命题①正确.命题④可以理解为是菱形又是矩形的四边形必是正方形.因为四边相等的四边形是菱形，它是特殊的平行四边形，而对角线相等的平行四边形是矩形.因此命题④是正确的命题.因为矩形和菱形都是特殊的平行四边形，而四边形对角线相等或对角线互相垂直不能推出此四边形的对角线互相平分，所以此四边形连平行四边形都不是，就更不可能是矩形或菱形了.因此②、③不正确.解：A例4 如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，AE与BD相交F，求证：CF⊥DE分析本题考查正方形性质及全等三角形的判定与性质，要证CF、DE互相垂直，只需证明∠DGC＝Ｒt∠，可联想∠3与∠4互余.根据正方形性质，容易得到△ABF≌△CBF，△ABE ≌△CDE，于是有∠1＝∠2＝∠3，而∠2+∠4＝90°，可得∠3+∠4＝90°证明：∵AB＝BC，∠ABF＝∠CBF， BE＝BE∴△ABF≌△CBF ∴∠1＝∠2∵AB＝CD， BE＝CE，∠ABE＝∠DCE∴△ABE≌△DCE ∴∠1＝∠3∴∠2＝∠3 又∵∠2+∠4＝90°∴∠3+∠4＝90°∴∠DGC＝180°-(∠3+∠4)＝90°∴CF⊥DE【难题巧解点拨】例1 如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F.求证：(1)DP＝EF；(2)DP⊥EF分析本题主要考查利用正方形的性质解决实际问题的能力.延长FP交AD于G.注意到AEPG是正方形，要证DP＝EF，只要证△DPG≌△FPE.显然这两个三角形全等条件具备.延长DP交EF于H.由于△DPG≌△FPE，可得∠1＝∠2.而∠３＝∠4，这样可证∠2+∠3＝90°.从而DP⊥EF.证明：(1)延长FP交AD于G，延长DP交EF于H.∵四边形AEPG是正方形，∴PG＝PE＝AE＝AG∵正方形ABCD ∴AB＝ADAD-AG＝AB-AE＝GF-PG即 GD＝PF∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠DGP＝∠FPE＝90°∴△DPG≌△FEP ∴DP＝EF(2)∵△DPG≌△FEP ∴∠1＝∠2又∠3＝∠4，∠1+∠4＝90°∴∠2+∠3＝90°∴PH⊥EF，即DP⊥EF例2 如图，已知正方形ABCD ，以对角线AC 为边作菱形AEFC ，BF ∥AC.求证：∠ACF ＝5∠F.分析 本题考查特殊平行四边形的判定、性质，四边形内角和定理，30°所对直角边的性质的逆用.由题意，要证：∠ACF ＝5∠F ，就是要证∠F ＝∠CAE ＝30°，这样就需构造Rt △.辅助线EH ⊥AC 自然作出，问题变为转证EH ＝21AE ＝21AC.由于AC ＝DB ，变为证EH ＝21BD ，即证矩形BOHE ，证明矩形时，若用四边形判定，一定要证出三个直角.证明：过E 点作EH ⊥AC 于H ，连BD∵正方形ABCD ∴BD ＝AC 且BO ＝21AC ∠BOC ＝90°＝∠DOC ∵BF ∥AC ∴∠EBO ＝∠DOC ＝90°∴四边形BEHO 为矩形 ∴EH ＝BO ＝21AC 又∵菱形AEFC ∴AC ＝AE ∴EH ＝21AE ∴∠CAE ＝30° ∵菱形AEFC ∴∠A ＝∠F ＝30°∴∠ACF ＝∠AEF ＝(360°-2×30°)×21＝150° ∴∠ACF ＝5∠A 例3 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，四边形ACDE 和CBFG 是在△ABC 外的正方形，△ABC 的高CH 所在的直线交DG 于点M ，求证：(1)DG ＝AB (2)CM ＝21DG ，DM ＝MG分析 要证DG ＝AB ，需证△DCG ≌△ACB ，要证CM ＝21DG ，只需证DM ＝MG 证明：(1)∵四边形ACDE 和CBFG 都是正方形 ∴∠DCA ＝∠GCB ＝90°， CD ＝CACG ＝CB(正方形四个角都是直角，四条边相等)又∵∠ACB ＝90°∴∠DCG ＝360°-∠DCA-∠ACB-∠GCB ＝90°＝∠ACB ∴△DCG ≌△ACB ∴DG ＝AB(2)∵△DCG ≌△ACB ∴∠DGC ＝∠ABC又∵MH ⊥AB ∴∠HCB+∠ABC ＝90°∴∠HCB+∠DGC ＝90°∵∠GCB ＝90° ∴∠MCG+∠BCH ＝90°∴∠DGC ＝∠MCG ∴MC ＝MG同理可证：∠MDC ＝∠MCD ∴MC ＝DM ∴MC ＝DM ＝MG ∴MC ＝21DG 【课本难题解答】求证：矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形.(P 159 4.3 B 组) 证明：∵四边形ABCD 为矩形∴∠DAB ＝∠ABC ＝90°∴∠1＝∠2＝21∠DAB ＝45° ∠3＝∠4＝21∠ABC ＝45°∴∠QMN ＝90° 同理，∠MNP ＝90°， ∠NPQ ＝90°∴四边形MNPQ 为矩形 又∵∠1＝∠3 ∴AM ＝BM∵∠2＝∠4 AD ＝BC ∴△AQD ≌△BNC ∴AQ ＝BN ∴AQ-AM ＝BN-BM即MN ＝MQ ∴四边形MNPQ 为正方形 【命题趋势分析】正方形的定义集平行四边形、矩形、菱形性质于一身，且正方形又是正多边形的典型代表，利用它的这些特殊性，说明边、角相等和直线垂直的重要依据，历来为中考热点，类型多以选择、计算证明等形式出现.【典型热点考题】例1 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.对角线平分一组对角分析 本题考查应用正方形、矩形、菱形的性质及其异同点解题的能力.正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形，而且这三者又是特殊的平行四边形.弄清楚他们之间的关系就不难判定.只有C 性质正方形具有而菱形不一定具有.其余A 、B 、D 三个性质正方形和菱形都具有.解：C例2 求正方形的对角线与边长的比值分析 正方形的边长与对角线构成了等腰直角三角形，其中斜边是对角线，由勾股定理可求解.解：设正方形边长为a ，由勾股定理得，斜边之长为22a a ＝a 2 ∴对角线边长＝2a a ＝21＝22.∴比值为22例3 某同学根据菱形的面积计算公式，推导出对角线长为a 的正方形面积是S ＝21a 2，对此结论，你认为是否正确?若正确，请给予证明；若不正确，举出一个反例来证明.分析 因为正方形是特殊的菱形，所以菱形所具有的性质，正方形都具有.当然，菱形的面积计算公式同样适用于正方形.因此这个结论一定正确.证明：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ＝BD ＝a又∵正方形是菱形，而菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半， ∴S ＝21×AC ·BD ＝21a 2. 事实上，设正方形边长为x ，由勾股定理可得 a 2=x 2+x 2=2x 2代入上式，得： S ＝21×2x 2＝x 2S ＝x 2就是正方形的面积公式.本周强化练习：【同步达纲练习】一、填空1.正方形既是 相等的矩形，又是有一个角是 的菱形.2.正方形和菱形比较，除具有 的性质外，它们具有的共同性质还有：四条边都 ，对角线 .3.对角线 的四边形是正方形.4.正方形和矩形比较，除具有 的性质外，它们还具有的共同性质还有：四个角都 ，对角线 .5.如果一个正方形的边长恰好等于边长为m 的正方形对角线的长，那么这两个正方形周长和为 ，面积的和为 .6.如图4.6-12，正方形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、DA 上的点，并且EF ＝AF+CE ，∠BEF ＝∠BEC ，那么∠EBF ＝ 度.7.如图4.6-13，正方形ABCD中，E是CF上的点，四边形BEFD是菱形，那么∠BEF＝度.图4.6-12 图4.6-138.如图4.6-14，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，若EC＝AC，AE交CD于F，那么∠AFC＝度.图4.6-14 图4.6-159.如图4.6-15，将边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上一点E，若DE 为5，则折痕PQ的长为 .10.P是正方形ABCD内一点，△PAB为正三角形，若正方形的面积为1，则△PAB的面积为 .二、选择题1.下列命题是真命题的是( )A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2.正方形具有而矩形不一定具有性质是( )A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直3.下列命题中，错误的是( )A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B.两组对边分别相等的四边是平行四边形C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.四个角相等的菱形是正方形4.如图，正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM是( )A.45°B.55°C.65°D.75°5.下列命题正确的是( )A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.以一条对角线所在直线为对称轴的平行四边形是菱形C.顺次连结矩形四条边中点所得的四边形仍是矩形6.下列命题中，假命题是( )A.矩形的对角线相等B.菱形的对角线互相垂直C.正方形的对角线相等且互相垂直D.梯形的对角线互相平分7.在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使AE＝AB，作EF⊥AC交BC于F，则下列关系式成立的是( )A.BF＝ECB.BF≠ECC.BF＜ECD.BF＞EC8.以正方形ABCD的边AB向外作等边三角形ABE，BD、CE交于F，则∠AFD的度数为( )A.50°B.60°C.67.5°D.75°9.在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的三等分点，则四边形EFGH 是( )A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形10.给出下列结论：(1)正方形具有平行四边形的一切性质，(2)正方形具有矩形的一切性质，(3)正方形具有菱形的一切性质，(4)正方形共有两条对称轴，(5)正方形共有四条对称轴，其中正确的结论有( )A.2B.3个C.4个D.5个三、解答题1.在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，求∠AFD 的度数?2.如图所示，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M、D在AK 的同旁，连结BK和DM，求证：BK＝DM.3.如图，已知正方形ABCD，在BC上取一点E，延长AB至F，使BF＝BE，AE的延长线交CF于G，求证AG⊥CF.4.如图，E为正方形ABCD的边AB延长线上一点，DE交AC于F，交BC于G，H为GE的中点.求证：BF⊥BH.5.如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF.【素质优化训练】如图，M 为正方形ABCD 的AB 边上的中点，MN ⊥DM ，BN 平分∠CBG. 求证：DM ＝MN【生活实际运用】如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O.点O 是正方形A ′B ′C ′O 的一个顶点.如果两个正方形的边长相等，那么正方形A ′B ′C ′O 绕点O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的41，想一想这是为什么.【知识探究学习】如图，已知E 是正方形ABCD 的边BC 上的中点，F 是CD 上一点，AE 平分∠BAF ，求证：AF ＝BC+CF.参考答案一、1.邻边相等直角 2.平行四边形相等互相垂直且平分每一组对角 3.相互平分相等互相垂直 4.平行四边形是直角互相垂直 5.4(2+1)m 3m2 6.45°37.150° 8.112.5° 9.13 10.4二、1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.A 8.C 9.A 10.C三、1.67.5° 2.提示：证△MAD≌△KAB(SAS) 3.提示：证△ABE≌△CBF，再证∠AGC ＝∠ABE＝90° 4.先证△BCF≌△DCF，得：∠CDF＝∠CBF，进而证∠GBF＝∠HBG，得：∠FBG+∠GBH＝∠GBH+∠HBE＝90°，得BF⊥BH 5.提示：延长CB到G，使BG＝FD，证△ABG ≌△ADF，得：∠BAG＝∠DAF，再证△AEF≌△AEG，得EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF【素质优化训练】提示：取AD的中点E，连EM.【生活实际运用】略.【知识探究学习】提示：延长FC交AE的延长线于H.。