量子力学概论第5章 全同粒子
量子力学第五章
pˆ12ψ (1,2) =ψ (2,1)
∴ pˆ12ψ (1,2) = λψ (1,2)
这就是交换算符的本征值方程. 且λ就是其本征值.
又有: pˆ12 pˆ12ψ (1,2) = pˆ12λψ (1,2) = λpˆ12ψ (1,2) = λ2ψ (1,2) ∴ pˆ122ψ (1,2) = λ2ψ (1,2)
问题: 量子力学中是否存在没经典对应量的力学量?
对由多个粒子组成的系统,量子力学中还有其它 新的基本假设吗?
能够举一些使用量子力学去解决实际问题的例子 吗?
§1、电子的自旋
一、实验与假设: 1) 斯特恩―盖拉赫实验 1921年，施忒恩（O.Stern）和盖拉赫（W.Gerlach）发现 一些处于S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。
∵ pˆ122ψ (1,2) = pˆ12ψ (2,1) =ψ (1,2)
∴ λ2ψ (1,2) =ψ (1,2)
λ2 =1
λ =1
λ = −1
对λ=1有: 对λ=−1有:
pˆ12ψ (1,2) =ψ (1,2)
pˆ12ψ (1,2) = −ψ (1,2)
称为对称性波函数. 称为反对称性波函数.
可以证明: 全同粒子的波函数的这种交换对称性是不随时间 改变的.
2)自旋角动量算符的本征值与自旋量子数:
① 由于电子的自旋角动量它在空间任何方向的投影只取两个值 Sz=± /2.这就是说:
Sˆx,Sˆy,Sˆz 的所有可能的测得值只有+ /2和- /2.因此, 这就是它 们所有可能的本征值
②
S2的本征值:
S
2 x
=
S
2 y
=
S
2 z
=
量子力学讲义五六章
第5章 微扰理论到现在为止，我们利用薛定谔方程求出了六大体系的本征值和本征函数 1、一维自由粒子体系：2ˆˆ2x p H m=， x p ip x x ex ⋅=πψ21)(， 22xp E m=)(∞<<-∞x p ， 1=f2、一维无限深势阱222,0ˆ200a x x d H m dx x a ⎧∞<>⎪=-+⎨≤≤⎪⎩ ， x an a n πψs i n 2=，22222n n E ma π= ,3,2,1=n ，1=f 3、一维线性谐振子体系：2222021ˆ,22d H m x dx ωμ=-+ ，)()(2221x H e N x n x n n αψα-=， m ωα=，ω )21(+=n E n ，,3,2,1,0=n ，1=f4、平面刚性转子2ˆˆ2z l H I=， ϕπϕim m e21)(=Φ， Im E m 222 =，,2,1,0±±=m ，5、空间刚性转子2ˆˆ2l HI=，ϕθϕθim nl lm lm e P N Y )(cos ),(=，Il l E l 2)1(2+=，,2,1,0=l ，l m ±±±=,,2,1,0 ，12+=l f6、氢原子与类氢原子222ˆ2ze H rμ=-∇-，),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =，242222222n z e z eE n aμμ=-=- ， ,3,2,1=n ，1,,2,1,0-=n l ，l m ±±±=,,2,1,0 ，2n f =在量子力学中，能精确求解的问题为数是有限的，要么非常特殊，要么非常简单。
我们在这章中，介绍一些常用的近似处理方法。
也就是说，当将量子力学原理用于实际问题中，我们必须进行一些近似处理，才能得到所要的结果，才能将问题解决。
微扰论是从简单问题的精确解出发来求较复杂问题的近似解。
量子力学讲义第五章
第五章 中心力场§5.1 中心力场中粒子运动的一般性质一、角动量守恒与径向方程设质量为μ的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：2ˆˆ()2p H V r μ=+ 22()2V r μ=-∇+ ，与经典力学中一样，角动量 l r p =⨯ 也是守恒量，即ˆ0l t∂=∂ˆˆ[,]0l H = 222221ˆ()22l H r V r r r r rμμ∂∂⎛⎫=-++ ⎪∂∂⎝⎭ 2,0z l l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 2ˆ,0l H ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ； ()2ˆ,,z H l l构成力学量完全集，存在共同本征态； 定态薛定谔(能量本征方程)：222221()22l r V r E r r r r ψψμμ⎡⎤∂∂⎛⎫⎢⎥-++= ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。
取ψ为 ()2,,z H l l 共同本征态，即：()()(),,,l lmr R r Y ψθϕθϕ= (),lm Y θϕ是()2,z l l共同本征态：0,1,2,...l =，0,1,2,...,m l =±±± 分离变量：()()22222120l l l E V l l d d R R R r dr dr r μ-+⎛⎫++-= ⎪⎝⎭径向方程可写为：()()22222()120l l l E V r l l dR d R R dr r dr r μ-+⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦，0,1,2,...l = (1) 为求解径向方程，引入变换：()()l l r R r rχ=；径向方程简化为：()()22222()10l l E V r l l d dr r μχχ-+⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦ (2) 不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数R l (r )或χl (r )，它们由中心势V (r )的性质决定。
一般而言，中心力场中粒子的能级是2l +1重简并的。
写出全同粒子系统的总轨道角动量lz和l2的二次量子化形式
写出全同粒子系统的总轨道角动量lz和l2的二次量子化形式1. 引言1.1 概述本文旨在探讨全同粒子系统的总轨道角动量lz和l2的二次量子化形式。
在量子力学中，全同粒子系统是一类具有相同物理性质的粒子组成的系统，它们之间没有任何区别。
而总轨道角动量lz和l2则是描述这些粒子在空间中运动时所拥有的角动量。
1.2 文章结构本文按照以下结构进行论述：首先，我们将介绍全同粒子系统总轨道角动量lz 的定义，并给出相关概念和数学表示；其次，我们将阐述lz的本征值及其对应的本征态表示；最后，我们将推导和解释lz的二次量子化表达式。
随后，我们将进行类似的分析并讨论全同粒子系统总轨道角动量l2的二次量子化形式。
1.3 目的本文旨在深入理解全同粒子系统总轨道角动量lz和l2，并通过推导和解释其二次量子化形式，进一步揭示全同粒子系统中这两个重要物理概念的内涵和意义。
这对于更好地理解多粒子体系及其特性、研究复杂体系的性质和行为具有重要的理论与实际意义。
同时，本文还将探讨相关研究的未来发展方向。
以上是“1. 引言”部分内容的详细清晰撰写。
2. 全同粒子系统总轨道角动量lz的二次量子化形式2.1 全同粒子系统总轨道角动量lz的定义在全同粒子系统中，总轨道角动量lz表示所有单个粒子的轨道角动量在z方向上的矢量和。
它是各个粒子的单个轨道角动量lz值之和。
2.2 lz的本征值和本征态表示根据量子力学理论，lz具有离散值，可用来描述全同粒子系统在z方向上的旋转运动。
其本征值为mħ，其中m为整数或半整数，ħ为约化普朗克常数。
对于N个全同粒子构成的系统，其总轨道角动量lz可以通过求解含有N个因素化项的哈密顿算符得到。
由于全同粒子系统需要满足泡利不相容原理，因此泡利原理会导致只有一部分选定组态有效。
2.3 lz的二次量子化表达式推导与解释在二次量子化中，我们使用产生算符a†和湮灭算符a来描述波函数。
这些算符与单个粒子态以及多体态之间的关系如下所示：$$\begin{align*}a^\dagger_i |0⟩ & = \text{产生一个粒子在单粒子态} |i⟩ \\a_i |0⟩ & = 0\end{align*}$$其中，$|0⟩$表示全空模式，没有任何粒子。
量子力学周世勋习题解答第五章
第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
全同粒子
对于全同粒子多体系, 任何两个粒子交换一下, 对于全同粒子多体系 任何两个粒子交换一下 其量子态是不变的, 即要求该体系的波函数对于粒 其量子态是不变的 即要求该体系的波函数对于粒 子交换具有一定的对称性. 子交换具有一定的对称性 那么, 忽略粒子相互作用的情况下, 那么 在忽略粒子相互作用的情况下 如 何去构造 构造具有完全交换对称性或反对性的波 何去构造具有完全交换对称性或反对性的波 函数? 函数 接下来我们将对这问题做一般的讨论. 接下来我们将对这问题做一般的讨论 考虑 N个全同粒子组成的多体系的情况 个全同粒子组成的多体系的情况. 个全同粒子组成的多体系的情况
1 2 N
经过
各种可能的置换P， 各种可能的置换 ，得到 P , ψ k1 ( q1 )ψ k2 ( q2 )Lψ k N ( qN ) 一共得出N！ 一共得出 ！项，即行列式展开后得出的N! 项. 即行列式展开后得出的
4.3.4 N个全同 个全同Bose子组成的体系 个全同 子组成的体系
Bose 子不受 子不受Pauli原理限制，可以有任意数目 原理限制， 原理限制 可以有任意数目 子处于相同的单粒子态 的Bose子处于相同的单粒子态 设有 ni 个Bose子 子处于相同的单粒子态. 子 N 处于 ki 态上 ( i = 1, 2,L , N ) ， n i = N ，这些 ni 中， ∑ i =1 有些可以为0，有些可以大于1.此时 此时， 有些可以为 ，有些可以大于 此时，对称的多粒 子波函数可以表示成 P ψ k1 ( q1 )Lψ k1 qn1 ⋅ψ k2 qn1 +1 Lψ k2 qn1 + n2 L ∑ 144 2444 1444 24444 4 3 4 3 P n1个 n2个
3
§5.5 全同粒子系统
既然所有Pij都是守恒量，所以其对称性不 随时间变化,即全同粒子的统计性质(Bose 或Fermi统计)是不变的。
结论：描写全同粒子系统状态的波函数只能是 5对2 称的或反对称的，它们的对称性不随时间变化。10
④全同粒子的分类 所有的基本粒子可分为两类：
玻色子Fermion和费米子Boson
1）玻色子：
凡自旋为整数倍，波函数满足交换对称，
遵从Bose-Einstein统计的粒子。 如π介子（s=0）、光子（ s=1 ）等。
52
11
引力子(Graviton)
引力子(Graviton)，又称重力子，在物理学中是一个传 递引力的假想粒子。为了传递引力，引力子必须永远 相吸、作用范围无限远及以无限多的型态出现。在量 子力学中，引力子被定义为一个自旋为2、质量为零的 玻色子。
52
16
2、两个全同粒子组成的体系 ①简介
忽略相互作用，Hamiltonian可表为
Hˆ h(q1) h(q2 )
q1 q2 Hˆ 不变
故
[P12, Hˆ ] 0
设h(q)的单粒子本征态为
k
(q)，本征能为
，
k
则有
h(q)k (q) kk (q)
其中k为力学量（包含Hˆ）的一组完备量子数
(q1, q2,, qi ,q j ,)
来描述。其中 qi (i 1,2,N) 表示第i个
粒子的全部坐标（空间和自旋）。
若Pij表示第i个粒子与第j个粒子的全部 坐标变换，即
Pij (q1, q2,, qi ,q j ,, qN )
52
(q1, q2,, q j ,qi ,, qN ) 5
量子力学第五章全同粒子
第五章：全同粒子
杨焕雄
中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@
November 25, 2019
1 / 23
双粒子体系：
单粒子量子力学体系的状态用波函数 p~r; s3; tq 描写：
p~r; s3; tq 是粒子空间位置坐标~r，自旋角动量 s3 以及
时间参数 t 的函数.
考虑 N 个全同粒子组成的多粒子体系，设其量子态用波函数
Ψpq1; ¨ ¨ ¨ ; qi; ¨ ¨ ¨ ; qj; ¨ ¨ ¨ ; qNq 描写， qi（i “ 1; 2; ¨ ¨ ¨ ; N）代表第 i 个粒子的全部坐标（例如
包括空间坐标与自旋）. 设 Pˆij 表示交换第 i 个粒子与第 j 个粒子 的全部坐标的线性算符：
PˆijΨpq1; ¨ ¨ ¨ ; qi; ¨ ¨ ¨ ; qj; ¨ ¨ ¨ ; qNq “ Ψpq1; ¨ ¨ ¨ ; qj; ¨ ¨ ¨ ; qi; ¨ ¨ ¨ ; qNq
粒子的全同性意味着 Ψ 与 PˆijΨ 描写的是同一个量子态，它们最 多可以相差一个非零的常数因子 c，
PˆijΨ “ c Ψ
8 / 23
两端再作用一次 Pˆij，得：
Ψ “ Pˆ2ijΨ “ c PˆijΨ “ c2 Ψ;
ù c2 “ 1; c “ ˘1
所以，全同粒子体系的波函数必须满足下列关系之一：或者关于 交换任意两个粒子对称：
PˆijΨ “ Ψ
或者关于交换任意两个粒子反对称：
PˆijΨ “ ´Ψ
迄今一切实验表明，全同粒子体系的波函数的交换对称性与粒子 的自旋角动量有密切的关系：
s13 ;s23
›
›
以下仅考虑有效势能不显含时间的情形. 此时，通过分离变 量可求得薛定谔方程一组完备的特解：
量子力学第五章全同粒子
Ψ
H H Hˆ
“
´
ℏ2 2m1
2 1
´
ℏ2 2m2
2 2
`
Vp~r1
;~r2;~s1;~s2
;
tq
1这里的讨论可以平庸地推广到任意多个粒子构成的量子力学体系.
3 / 23
按照波函数的统计诠释，
›
›2
››Ψp~r1;~r2; s13; s23; tq›› d3x1d3x2
›
›
是在体积元 d3x1 中发现具有自旋 s13 的粒子 1 并在 d3x2 中发 现具有自旋 s23 的粒子 2 的概率. 归一化条件因此为：
但注意到 Pˆij “ Pˆji，我们又有：Pˆ:ij “ Pˆij，即交换算符 Pˆij 既 是幺正算符，又是 Hermite 算符.
对于 N-粒子体系的波函数 Ψp1; 2; ¨; i; ¨ ¨ ¨ ; j; ¨ ¨ ¨ ; Nq 而言， PˆijΨp1; 2; ¨; i; ¨ ¨ ¨ ; j; ¨ ¨ ¨ ; Nq “ Ψp1; 2; ¨; j; ¨ ¨ ¨ ; i; ¨ ¨ ¨ ; Nq
粒子态 'ki 上（i “ 1; 2; ¨ ¨ ¨ ; N），řNi“1 ni “ N. 这些 ni 取非负
整数，它们中有些可以等于零，有些可以大于 1. 于是，体系的符 合交换对称性的波函数可以写为：
„
ȷ
' ' ' ' S
n1n2¨¨¨nN
„
ÿP
k1 pq1q ¨ ¨ ¨ k1 pqn1 q k2 pqn1`1q ¨ ¨ ¨ k2 pqn1`n2 q ¨ ¨ ¨
'k1 pq2q 'k2 pq2q 'k3 pq2q
全同粒子体系
全同粒子本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。
首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。
1. 全同粒子的基本概念1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。
例如，电子、质子，中子等。
在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。
而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。
即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。
1.2 全同性原理：由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。
这是量子力学基本原理之一。
1.3哈密顿算符∧H 的交换对称性考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r与自旋变量i S ，),(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧H 写为∑∑<++∇-=ji j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(ˆ2221μ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧H 显然是不变的，记为),,,(ˆ21t q q q q q H P Nj i ij ∧),,,(ˆ21t q q q q q H Ni j = ),,,(ˆ21t q q q q q HNji= （2） ij P ∧称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为0,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧H P ij （3）1.4 全同粒子波函数的交换对称性 （1）ij P ∧对波函数的作用设N 个全同粒子体系用波函数),,,,,(21t q q q q q N j i Φ描述，则有),,,,,(),,,,,(2121t q q q q q t q q q q q P N i j N j i ij Φ=Φ∧（4）根据全同性原理，Φ∧ij P 与Φ所描述的是同一量子态，而量子力学中描述同一量子态的波函数之间最多只能相差一个常数因子λ，即Φ=Φ∧λij P （5） 上式用ij P ∧再作用一次，相当于Φ中的交换复原，即Φ=Φ=Φ=Φ∧∧22λλij ijP P （6）由此得12=λ，所以交换算符的本征值为 1±=λ （7） （2）波函数的交换对称性当λ＝+1时，则Φ=Φ∧ij P ，表示交换两个粒子后波函数不变，这时的波函数称为对称波函数，记为S Φ 。
全同粒子
具体说明
具体说明
全同粒子的存在是客观物质世界的一项基本实验事实，也是被物理学界所普遍接受的一项基本理论信念。仍 以电子的电荷为例，虽然实验测量受到精确度的限制，而且各次测量结果在最后几位有效数字上有出入，但是当 前绝大多数物理学家仍一致相信，所有电子（包括未被测量过的电子）的电荷值应该完全相同，没有丝毫差别。 任何物理理论，尤其是量子理论，都是在这种信念的基础上建立起来的。
地位
地位
全同粒子是量子力学的基本概念之一。指内禀属性（质量、电荷、自旋等）完全相同的粒子。它们可以是基 本粒子，也可以是由基本粒子构成的复合粒子（如α粒子）。
量子力学
量子力学
量子力学是研究微观粒子运动规律的理论，是现代物理学的理论基础之一。量子力学是在本世纪20年代中期 建立起来的。19世纪末，人们发现大量的物理实验事实不能再用经典物理学中能量是完全连续性的理论来解释。 1900年，德国物理学家普朗克提出了能量子假说，用量子化即能量具有的不连续性，解释了黑体辐射能量分布问 题。1905年，爱因斯坦在此基础上提出了光量子假说，第一次揭示出光具有波粒二象性，成功地解释了光电效应 问题。1906年，爱因斯坦又用量子理论解决了低温固体比热问题。接着，丹麦物理学家玻尔提出了解释原子光谱 线的原子结构的量子论，并经德国物理学家索末菲等人所修正和推广。1924年，德国物理学家德布罗意在爱因斯 坦光量子假说启示下，提出了物质波假说，指出一切实物粒子也同光一样都具有波粒二象性。1925年，德国物理 学家海森堡和玻恩、约尔丹以矩阵的数学形式描述微观粒子的运动规律，建立了矩阵力学。接着，奥地利物理学 家薛定谔以波动方程的形式描述微观粒子的运动规律，建立了波动力学。不久，薛定谔证明，这两种力学完全等 效，这就是今天的量子力学。量子力学用波函数描写微观粒子的运动状态，以薛定谔方程确定波函数的变化规律。 应用量子力学的方法解决原子分子范围内的问题时，得出了与实验相符的结果;量子力学用于宏观物体或质量、能 量相当大的粒子时，也能得出与经典力学一样的结论。因此，量子力学的建立大大促进了原子物理、固体物理和 原子核物理学的发展，并推动了半导体、激光和超导等新技术的应用。它标志着人类认识已从宏观领域深入到微 观领域。量子力学为哲学研究的发展开辟了新的领域，它向人们提出了一系列新的哲学课题，诸如微观客体的存 在特征、微观世界是否存在因果关系、主客体在原则上是否不可分、主客体之间的互补问题等等。深入和正确地 回答这些问题，无疑将会推动马克思主义哲学的深入发展。
量子力学导论Chap5-3
P23 P31 k
( q 1 ) k 2 ( q 2 ) k 3 ( q 3 ) 1
P23 k 1 ( q 3 ) k 2 ( q 2 ) k 3 ( q 1 ) ( 1 ) ( 1 ) k 1 ( q 2 ) k 2 ( q 3 ) k 3 ( q 1 ) k 1 ( q 2 ) k 2 ( q 3 ) k 3 ( q 1 )
（5）玻色子和费米子 迄今为止的所有实验证实，全同粒子系波函数的 交换对称性与粒子的自旋有确定的关系： 凡是自旋为 ћ 整数倍(s = 0,1,2…)的粒子，波 函数对于两个粒子交换总是对称的。在统计方法 上，遵守玻色-爱因斯坦规律，这样的粒子称为玻 色子，如 介子(s = 0)，光子( s = 1)等。 凡是自旋为 ћ 半整数倍(s = 1/2, 3/2, 5/2, …)的 粒子，波函数对于两个粒子交换总是反对称的。 在统计方法上，遵守费米-狄拉克规律，这样的粒 子称为费米子，如电子(s = 1/2)、质子和中子等。
h(q
i 1
N
i
)
j 是单粒子能量
全同费米子多体系归一化完全反对称波函数 （表示成 Slater （斯莱特）行列式的形式）
k ( q1 )
1
k (q2 )
1
k (q N )
1
A k 1 , k N
1 N!
k ( q1 )
2
k (q2 )
2
k (q N )
( q 2 ) 与 k 1 ( q 2 ) k 2 ( q 1 )
。
k k
1
2
这是一种简并状态，称为交换简并，但这两个波 函数还不一定具有交换对称性。要是它们具有交 换对称性，还必须依据这两个粒子是玻色子还是 费米子来进行适当组合。
量子力学自旋与全同粒子共79页PPT
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
量子力学自旋与全同粒子
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
量子力学位形空间全同多粒子系综解释
N i 1
1 2mi
Ri（2 x1, xN）i2（x1, xN） U（x1, xN）
E（x1, xN）
（1）
式中U 和 E 是经典粒子的势能和总能量，函数 Ri 可以通过经典粒子的牛顿力学运动方程确定。如果 Ri ，上式就与量子
3
力学运动方程完全一样。差别在于 Ri 常数的量子力学运动方程是斯特姆—刘维型方程，有分立本征解。但由于 Ri 常数， 经典粒子的几率波运动方程不是斯特姆—刘维型方程，没有分立解。此外，由于宏观粒子没有全同性，其波函数也没有全 同交换对称性。
2.1 经典力学的运动方程……………………………….……………………………………...…....(7) 2.2 量子力学的基本假设和运动方程……………………………….………………………......… (8)
1
2.3 量子力学的正统解释……………………………….………………………………………..…(10) 2.4 量子力学的系综解释……………………………….………………………………………….(11)
十三 量子力学与经典力学的对应关系………………………….……………………..……..….(75)
13.1 海森堡运动方程与经典力学正则方程的关系……………………….……….…………..….(75) 13.2 位形空间系综解释与流体力学解释的关系……………………….…………...….………....(76) 13.3 费曼路径积分与位形空间的关系…………………………….………………………..….….(77) 13.4 量子场论与位形空间的关系………………………….………………………...…...……….(79)
提供一个无逻辑矛盾的合理解释。
周世勋量子力学课件第五章
( x , t ) an ( t )un ( x ) aq ( t )uq ( x )dq
n
a n ( t ) aq ( t )
un * ( x ) ( x , t )dx uq * ( x ) ( x , t )dx
归一化条件则变为：
n
an * ( t )an ( t ) aq * ( t )aq ( t )dq 1
b1 ( t ) F11 b2 ( t ) F21 bn ( t ) Fn1
第五章 态和力学量表象
本 章 要 求
1 掌握表象的概念和量子态在不同表象下的表示。
2 掌握算符用矩阵表示的概念和量子力学公式的矩阵 表述。 3 掌握不同表象之间通过幺正变换联系起来的概念。
4 掌握狄喇克符号。 5 了解一维线性谐振子问题的代数解法。 6 掌握Hellmann – Feynman 定理及应用
m m n m n
m n
n
( x)dx
am * ( t )an ( t ) um * ( x )un ( x )dx
am * ( t )an ( t ) um * ( x )un ( x )dx
am * (t )an ( t ) mn
m n
an * (t )an (t ) 1
求坐标表象中只是该矩阵的行列不是可数的而是用连续下标表示的矩阵元dx要计算此积分需要知道返回一平均值公式二本征方程三schrdinger方程的矩阵形式返回坐标表象平均值公式dx222112112221121122211211mnmnmnmn方程组有不完全为零解的条件是系数行列式等于零22211211久期方程求解此久期方程得到一组值
量子力学第五章-全同粒子
（一）2 个全同粒子体系波函数
密顿量是对称的，所以 H s 在t 时刻也是对称的。
因为等式两边对称性应是一样的，所以Shrodinger方程
i
t
s
Hˆ s
在 t+dt 时刻，波函数变化为
二对称波函
对称
中式右的 t
s是对称的。
s t sdt
对称
数之和仍是
对称的
依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。
同理可证：t 时刻是反对称的波函数a ，在t 以后任何时刻都是反对称的。
1 二粒子互换后波函数变号，即
反对称波函数
(q1 , q2 ,qi q j qN , t ) (q1 , q2 ,q j qi qN , t )
引入粒 子坐标 交换算 符
ˆij(i, j) ( j, i) (i, j)
ˆi2j (i, j) ˆijˆij(i, j)
ˆij(i, j) 2(i, j)
偶数个 Fermi 子组成
Bose 子组成
例如： 例如：
2 1
H（1 氘核）和24
He（ 2 粒子）是Bose子
3 1
H（1 氚核）和23
He1是Fermi
子
奇数个 Fermi子组成
奇数个 Fermi子组成
全同粒子体系波函数 Pauli 原理
（一）2 个全同粒子波函数 （二）N 个全同粒子体系波函数 （三）Pauli 原理
实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性是 完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。
（1）Bose 子 自旋为 整数倍（s = 0，1，2，……) 的粒子，其多粒子波函数对 于交换 2 个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故称为 Bose 子。
量子力学周世勋习题解答第五章
第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
粒子的全同性
对S 0的单态，
交换效应造成的吸引、排斥是量子效应
Bose凝聚 超导，超流
交换效应对He原子能级的 影响
基态1s1s, n1 n2 1, l1 l2 0, m1 m2 0, 即两个单电子状态相同ua ub , 两电子空间波函数对称：u A 0, u( r1 , r2 ) uS ( r1 , r2 ). 反对称 : 00 , S 0.
全反对称 ( r1 , r2 , r3 ) ( r2 , r1 , r3 ) ( r1 , r3 , r2 ) ( r3 , r2 , r1 ) ( r2 , r3 , r1 ) ( r3 , r1 , r2 )
粒子的全同性
Identical particles
全同粒子
• 经典物理学中的“全同” • 量子力学中的全同：不可编号，不可标 记，交换对称性
2粒子的波函数（1）
现在令两个自旋为0的点粒子的波函数为 ( r1 , r2 ) 表示2个粒子在r1 , r2的几率幅 同一个状态的另一种表示方式为 ( r2 , r1 ) 表示2个粒子在r2 , r1的几率幅 2个粒子在r1 , r2的几率幅
• 波函数要么对称，要么反对称 • 波函数不可能是对称和反对称的混合 • 由叠加原理，自然界中的双电子（双π介 子等）系统的波函数只可能是反对称的 （或对称的），由实验确定。否则叠加 原理会给出非物理的状态。
3粒子的波函数（1）
全对称 ( r1 , r2 , r3 ) ( r2 , r1 , r3 ) ( r1 , r3 , r2 ) ( r3 , r2 , r1 ) ( r2 , r3 , r1 ) ( r3 , r1 , r2 )
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例题5.1 假设我们有两个没有相互作用——它们相处在一起 运动……不要深究这个在现实中到底会不会发生——的粒子， 质量都为m，处在无限深方势阱中(见2.2节)。单粒子态为： ψn(x)=2asinnπax, En=n2K(方便起见令K≡π2ћ2/2ma2。)如 果粒子是可分辨的，粒子1在n1态上，粒子2在n2态上，完整 的波函数为简单乘积：
第5章 全同粒子
5.1 双粒子体系 5.2 原子 5.3 固体 5.4 量子统计力学
5.1 双粒子体系
5.1.1 玻色子和费米子 5.1.2 交换力
5.1.1 玻色子和费米子
我们可以简单地构造一个波函数，这个波函数并不给出哪个粒 子是处于哪个态。有两种不同的构造方法： ψ±(r1,r2)=A［ψa(r1)ψb(r2)±ψb(r1)ψa(r2)］.(5.10) 这样，理论上将允许两种全同粒子：玻色子(Bosons)，这时上 式取正号；费米子(Fermions)，这时上式取负号。光子和介子 是玻色子；质子和电子是费米子。恰巧的是： 所有自旋为ћ整数倍的粒子为玻色子所有自旋为ћ半整数倍的 粒子为费米子(5.11) 这种自旋与统计(我们将看到，玻色子和费米子有截然不同的 统计性质)之间的联系，可以在相对论量子力学中得到证明； 在非相对论理论中，它被作为一个公理3。
表5.1 周期表前四行元素的基态电子组态
表5.1 周期表前四行元素的基态电子组态
5.3.1 自由电子气体 5.3.2 价带结构
5.3 固体
5.3.1 自由电子气体
图5.3 自由电子气。格子中的每一个 交点代表一个定态。阴影立方体为一
个态所占据的体积
图5.4 k空间中一个球壳的八分之一
5.3.2 价带结构
5.4.4 α和β的重要物理意义
图5.8 T=0以及T>0时的费米-狄拉克分布
5.4.5 黑体谱
1.一个光子的能量与它的频率满足普朗克方程，E=hν=ћω。 2.波数k和其频率满足k=2π/λ=ω/c,c为光速。 3.只有两个自旋态存在(量子数m可以为+1或-1，但不能为0)。 4.光子数不是守恒量；当温度升高时，光子数(每单位体积的)将 增加。
ψn1n2(x1,x2)=ψn1(x1)ψn2(x2), En1n2=(n12+n22)K. 例如，基态为 ψ11=2asinπx1asinπx2a, E11=2K； 第一激发态是双重简并的：
ψ12=2asinπx1asin2πx2a, E12=5K,
ψ21=2asin2πx1asinπx2a, E21=5K; 等等，依次类推。如果两个粒子为全同玻色子，基态保持不变， 但第一激发态变成非简并的：
图5.9 普朗克的黑体光谱公式，式5.113
2asinπx1asin2πx2a+sin2πx1asinπx2a (能量仍然为5K)。如果两个粒子为全同费米子，能量为2K的 态不存在；基态为 2asinπx1asin2πx2a-sin2πx1asinπx2a， 其能量为5K。
5.1.2 交换力
图5.1 共价键示意图 a)对称结构产生吸引力 b)反对称结构产生排斥力
5.2.1 氦原子 5.2.2 元素周期表
5.2 原子
5.2.1 氦原子
图5.2 氦原子能级图(符号的解释在5.2.2节中)。注意到仲氦能量都比对应的正氦能量高。垂直 轴的数值是相对于氦离子(H )基态的：4×(-13.6)eV=-54.4 eV；减去54.5 eV就得到态的总能量
5.2.2 元素周期表
图5.5 狄拉克梳，式5.57
图5.6 β=10时f(z)(式5.66)的图像，可以看出允带(阴影部分)被禁带(
)所分割
图5.7 周期势所允许的能 量基本形成了连续带
5.4 量子统计力学
5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5
一个例子 一般情况 最概然组态 α和β的重要物理意义 黑体光谱