基于MMP三角曲面测地线算法研究
基于CMM复杂曲面测量的采样方法及测头半径补偿研究的开题报告
基于CMM复杂曲面测量的采样方法及测头半径补偿
研究的开题报告
1.选题意义及研究背景
CMM（Coordinate Measuring Machine）是一种用途广泛的制造业测量工具，可以用于复杂曲面零件的测量，因此被广泛应用于制造领域。
然而，CMM测量过程中的采样方法及测头半径补偿等问题一直存在，这些问题会对测量结果产生一定的影响。
因此，本研究主要探究基于CMM 复杂曲面测量的采样方法及测头半径补偿，以提高测量的精度和效率。
2.研究内容和方法
本研究的具体工作包括以下方面：
（1）采样方法的研究。
探究不同采样方法在CMM测量复杂曲面零件时的适用性和优缺点，例如点云采样、线框采样和曲面拟合等。
（2）测头半径补偿的研究。
研究测头半径对测量结果的影响，并探究不同半径补偿方法的适用性和优缺点，例如球形原理和曲线插值等。
（3）实验验证。
通过实验对不同采样方法和半径补偿方法的测量结果进行比对，以验证其实用性和有效性。
3.预期成果及应用价值
本研究预期能够深入探究CMM测量复杂曲面零件的采样方法和测头半径补偿问题，为制造业测量提供一定的指导和帮助。
通过研究，新的采样方法和半径补偿方法能够提高测量精度和效率，具有广泛的应用价值。
同时，本研究的结果也有助于优化CMM测量系统的设计和使用。
基于三坐标测量机的曲面测量规划方法
基于三坐标测量机的曲面测量规划方法
廖菲;曾韬
【期刊名称】《微计算机信息》
【年(卷),期】2010(026)010
【摘要】在三坐标测量中,测量路径的优化是实现曲面自动测量的基础.分析综述了常用的几种测量路径优化方法后,本文提出一种基于多项式法的三次样条插值法.通过实例的测量验证,并与多项式法进行比较,证实三次样条插值法可大大提高三坐标测量机的测量精度和效率.
【总页数】3页(P153-154,152)
【作者】廖菲;曾韬
【作者单位】410075,中南大学机电工程学院;410075,中南大学机电工程学院【正文语种】中文
【中图分类】TP391.76
【相关文献】
1.基于三坐标测量机的曲面轮廓反向工程数字化测量方法 [J], 邓劲莲;屠立;王循明
2.天线回转曲面计算机辅助测量系统--基于Coord3三坐标测量机的回转曲面测量技术 [J], 陆源;吴锡兴;苏晓红
3.基于三坐标测量机测量复杂曲面轮廓的极坐标测量法研究 [J], 田晓春
4.三坐标测量机测量三维曲面轮廓度测量方法的探讨 [J], 董华;张烨
5.基于三坐标测量机的曲面数字化方法研究 [J], 杨雪荣;张湘伟;成思源;黄曼慧
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曲面上的测地线
Kd k ds ( ) 2
g i G G i 1
(Gauss-Bonnet公式)
其中 i是G的第i个内角的弧度数 .
华东理工大学《微分几何》电子课件(§2.6 面面上的测地线) pliu@
18 /35
引理： 若ds du Gdv , 则 dv k g ds d arctan G ( G )u dv (p171习题13) du 证明： 由于坐标网正交 , F 0, 由Liouville公式 d 1 ln E 1 ln G kg cos sin , ds 2 G v 2 E u 1 1 1 知 k g ds d Gu sin ds d Gu sin ds 2G 2 EG dv 1 du 1 sin , (P149) 又 cos cos , ds ds G E
2 k i j i j d u d u d u d u d u k r 2 ij n rk Lij ds ds d s ds k ds i, j i, j i j d 2 uk k du du 从而 gkl 2 ij 0 ( l 1, 2) d s ds k i, j ds
1 /35
一、曲面曲线的测地曲率
k 为(C )在P点的曲率向量. 称 r 称曲率向量在 上的投影k g为(C )在P点的测地曲率.
华东理工大学《微分几何》电子课件(§2.6 面面上的测地线) pliu@
2 /35
测地曲率的性质
k g r k k (n ) k ( ) n k n k cos( ) k sin . 2
CAD曲面的测地线计算方法
Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． ２ ０ ９ ５— ５ ０ ９ Ｘ． ２ ０ １ ４ ． ０ ５ ． ０ ０ ５
Ｃ Ａ Ｄ 曲面 的测 地 线计 算 方 法
张婷婷 ， 王 小平
（ 南 京航 空航 天大学 机 电学 院 ， 江苏 南京 ２ １ ０ ０ １ ６ ）
线计算 的精度 要 求。
关键 词 ： 测地 线 ； Ｃ Ａ Ｄ 曲面 ； 测 地等距 网； 自动铺 丝 中图分 类号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １ ． ７ ２ 文献标 识码 ： Ａ 文章 编 号 ： ２ ０ ９ ５— ５ ０ ９ Ｘ（ ２ ０ １ ４ ） ０ ５— ０ ０ １ ６— ０ ５ 提 出 的测地线 计算 方法 做 出改进 ， 从 而 给 出一种新 的曲面测 地线 问题 的数 值解法 及算 例 ， 用 以解 决铺 放 路径 规划 当 中测 地线 的求 解 问题 。
典测 地线 公式 』 。该 方 法 利用 了其 实 际 上 为平 面 上 的直线 推广 这 一基 本 性 质 。另 一 类 是 由各 种 测 地线 的性 质推 导 出离 散公 式 。如 Ｚ ａ ｎ ｔ ｏ ｕ ｔ 等 提 出 的 于数 字采 样所 得 到 的 曲面上 对 测 地 线 进行 求 解 的
摘要： 针 对 自动铺 丝路 径 规划 芯模 面测 地 等 距 网计 算 的核 心 问题 ， 即 简便 、 高精 度 的测 地 线 计 算 方法存 在的缺 陷 ， 给 出 了一种 改进 的在 Ｃ Ａ Ｄ曲 面上计 算 测地 线 的方 法 ， 给 出了理论 推 导 、 算 法 的
实现步骤以及流程 图， 并以实例验证 了该算 法的有效性。对新算法与已有算法在计算精度方面 所做 的分析比较证明该算法操作简单， 具有较 高的计算精度 ， 适合路径规划所 涉及 的大规模测地
以给定的三次Bézier曲线为边界测地线的双三次Bézier曲面构造
以给定的三次Bézier曲线为边界测地线的双三次Bézier曲
面构造
郭清伟;胡梅
【期刊名称】《图学学报》
【年(卷),期】2014(035)004
【摘要】曲面上的测地线是曲面上一类重要的曲线.测地线在计算机可视化、图像处理、服装设计等领域均有广泛应用.该文利用一条曲线为所在曲面的测地线当且仅当它的从切面与该曲面在这条曲线上的切平面重合这一论断,做了以下工作:对给定的三次Bézier曲线,构造双三次Bézier曲面,使该曲面以给定的曲线为其边界测地线;讨论了具有给定测地线的组合双三次Bézier曲面的连续性拼接问题;为了说明所给方法的有效性,给出了几个数值实例.
【总页数】5页(P523-527)
【作者】郭清伟;胡梅
【作者单位】合肥工业大学数学学院,安徽合肥230009;合肥工业大学数学学院,安徽合肥230009
【正文语种】中文
【中图分类】PT391.4
【相关文献】
1.三次TC-Bézier与H-Bézier曲线曲面的光滑拼接 [J], 喻德生;刘烨
2.以给定的三次Bézier曲线为边界测地线的双三次Bézier曲面构造 [J], 郭清伟;
胡梅;
3.三次有理Bézier曲线与HC-Bézier曲线的拼接 [J], 张丹丹;吴欢欢
4.过测地线网的组合双三次Bézier曲面优化设计 [J], 杨火根;毛小红
5.具有给定测地线的三次三角Bézier 曲面的构造与拼接 [J], 郭清伟;张官升
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阿基米德多面体 测地线三角剖分 非钝角三角剖分 锐角三角剖分 截半二十面体 扭棱立方体
阿基米德多面体论文：两类阿基米德多面体表面的锐角三角剖分【中文摘要】二维空间的三角剖分是指覆盖二维空间的所有三角形的集合,使得其中任意两个三角形的交或是空集,或是一个顶点,或一条完整的边.当三角剖分中的三角形都是测地线三角形,即所有的边都是最短路时,称此三角剖分为测地线三角剖分.在论文中我们仅考虑测地线三角剖分.若三角剖分中所有三角形的内角小于或等于π2,则称此三角剖分为非钝角三角剖分;若三角剖分中所有三角形的内角小于π2,则称此三角剖分为锐角三角剖分.本文研究了阿基米德多面体截半二十面体表面和扭棱立方体表面的测地线非钝角三角剖分和锐角三角剖分,证明了截半二十面体表面可以剖分成8个锐角(非钝角)三角形,且8是最优下界;扭棱立方体表面可以剖分成8个非钝角三角形和12个锐角三角形,且8和12都是最优下界.【英文摘要】A triangulation of a two-dimensional space means a collection of (full) trianglescovering the space, such that the intersection of any two triangles is either empty orconsists of a vertex or of an edge. A triangle is called geodesic if all its edges are seg-ments, i.e., shortest paths between the corresponding vertices. We are interested only ingeodesic triangulations, all the members of which are, by definition, geodesic triangles.An acute (resp. non-obtuse)triangulation is a triangulation whose triangles...【关键词】阿基米德多面体测地线三角剖分非钝角三角剖分锐角三角剖分截半二十面体扭棱立方体【英文关键词】Archimedean solids triangulation non-obtuse triangulation acute trian-gulation icosidodecahedron snub cube【索购全文】联系Q1：138113721 Q2：139938848【目录】两类阿基米德多面体表面的锐角三角剖分摘要4-5Abstract5引言7-11第一章截半二十面体表面锐角三角剖分11-13第二章扭棱立方体表面的锐角三角剖分13-32 2.1 扭棱立方体表面的非钝角三角剖分13-14 2.2 扭棱立方体表面的锐角三角剖分14-32参考文献32-37致谢37。
测地曲率和测地线
因此 k g ≡ 0 的充分必要条件是
α β d 2 uγ γ du du + Γ = 0, αβ ds 2 ds ds
γ = 1, 2
（1 ）
这就是测地线所满足的微分方程组。 若引进新的未知函数 v ，则方程组（ 1）便降阶成为一阶常微分方程组：
kg =
1 ∂ ln E 1 ∂ ln G dθ − cosθ + sin θ ds 2 G ∂v 2 E ∂u
作为特例，对于 u -曲线有 θ ≡ 0 ，故 u - 曲线的测地曲率是
kg 1 = −
对于 v-曲线有 θ ≡
1 ∂ ln E 2 G ∂v
（16）
π ，故 v-曲线的测地曲率是 2
∂ ln G 2 E ∂u 1
I = Edu 2 + Gdv 2 。设 C：u =u(s) ，v=v(s )是曲面上的一条曲线，其中 s 是弧长参数。假定曲
线 C 与 u-曲线的夹角为θ，则曲线 C 的测地曲率是：
kg =
证明
dθ 1 ∂ ln E 1 ∂ ln G − cosθ + sin θ ds 2 G ∂v 2 E ∂u
sinln?21cosln?21ugevegdsdkg???12证明设u曲线v曲线的单位切向量分别记为1和2于是ure11vrg1213因此dsdvrdsdurdsdrvu21dsdvgdsdue所以dsduecosdsdvgsin14因为e2是由dsdre1作正向旋转90得到的单位切向量即12ene于是212cossin?e但是sincos2122adsddsrddsddsddsd2121sincoscossin?所以2221222sincosedsdedsddsdedsrdkg???然而02211??dsdsddddsdds2121???因此21?dsddsdkg15由13式得到111dsdvrdsdureredsddsduvuuu121dsdvrrdsdurregdsdvuvvuu???很明显verrrruvuvuu??????21ug?rrvuv??21故得sin21cos21121dsuggveeegd??????sinln?21cosln?21ugeveg???即sinln?21cosln?21ugevegdsdkg???作为特例对于u曲线有0故u曲线的测地曲率是vegkg???ln21116对于v曲线有2故v曲线的测地曲率是ugekg???ln21217这样公式12可以改写为sincos21gggkkdsdk1852测地线由于曲面上的法曲率和测地挠率等概念都是由曲面在e3中的形状决定的因此渐近线和曲率线等概念都不是曲面上内蕴几何的概念但是测地曲率是曲面在保长变换下的不变量所以测地曲率kg0的曲线是内蕴几何的概念
CAD曲面的测地线计算方法
DOI:10.3969/j.issn.2095-509X.2014.05.005CAD 曲面的测地线计算方法张婷婷,王小平(南京航空航天大学机电学院,江苏南京 210016)摘要:针对自动铺丝路径规划芯模面测地等距网计算的核心问题,即简便、高精度的测地线计算方法存在的缺陷,给出了一种改进的在CAD 曲面上计算测地线的方法,给出了理论推导、算法的实现步骤以及流程图,并以实例验证了该算法的有效性。
对新算法与已有算法在计算精度方面所做的分析比较证明该算法操作简单,具有较高的计算精度,适合路径规划所涉及的大规模测地线计算的精度要求。
关键词:测地线;CAD 曲面;测地等距网;自动铺丝中图分类号:TP391.72 文献标识码:A 文章编号:2095-509X (2014)05-0016-05 复合材料自动铺丝技术又叫做纤维铺放技术,是近年发展起来的一种高效率、低成本先进复合材料自动化成型技术,已经广泛地应用于航空宇航等高性能复合材料结构的制造当中。
自动铺丝技术的轨迹有多种规划模式,一般通过自然路径轨迹规划的方法可使得铺放更加简便。
自然路径求解其实是物理概念至几何概念的一个推广。
从平面与可展曲面来说,自然路径就是一条平面上的直线或是一条可展曲面上的测地线[1],曲面上的自然路径构造方法有很多,但大多数是通过迭代来得到一系列的点以近似地表示出自然路径[2-3]。
此外,由于沿回转体的测地缠绕是纤维稳定缠绕的一个条件,故另一种较为广泛应用的纤维连续缠绕法的路径规划中也有测地线的应用。
曲面上测地线的求解方法可划分成两大类:一类为用分析法推导出生成测地线的具体公式,即经典测地线公式[4]。
该方法利用了其实际上为平面上的直线推广这一基本性质。
另一类是由各种测地线的性质推导出离散公式。
如Zantout 等提出的于数字采样所得到的曲面上对测地线进行求解的一种方法,Kumar 等则提出在三角化曲面上对测地线进行求解的两个离散公式和测地线的一个微分解[5]。
基于球面三角网格逼近的等距曲面逼近算法
基于球面三角网格逼近的等距曲面逼近算法*浙江大学CAD&CG 国家重点实验室 刘利刚 浙江大学数学系 王国瑾摘 要 本文给出了一种基于球面三角网格逼近的等距面逼近新算法。
利用三角网格逼近基球面，然后计算此三角网格按中心沿原曲面扫掠而成空间区域的边界作为等距曲面的逼近。
该算法计算简单，方便地解决了整体误差问题，而且所得到的逼近曲面是与原曲面同次数的NURBS 曲面。
关键词 等距曲面，球面，三角剖分，曲面逼近。
0 引 言等距曲线/曲面(offset)在数控机床运动轨迹计算、基于公差带分析的误差理论研究以及带厚度薄片实体（如汽车车身、箱包等）的计算机辅助几何设计中有着广泛的应用。
关于平面曲线的等距曲线已有大量的研究[1—5]，但对等距曲面的研究工作则相对较少[6—7]。
设空间参数曲面R :),(v u r r =为正则的, 距离为d 的等距曲面d R 为),(),(),(v u d v u v u d n r r ⋅+=。
由于法向量),(v u n 的分母中出现根式，一张NURBS 曲面的等距曲面一般不再是NURBS 曲面，从而无法被通用的CAD/CAM 系统进行有效的处理。
Farouki [8]给出了三类简单实体（凸多面体、旋转体和拉伸体）表面的等距曲面的精确计算。
Martin [9]证明了Dupin 曲面（曲率线为圆弧的曲面）的等距曲面也是Dupin 曲面。
Pottmann [10]提出了PH 曲面（具有有理等距曲面的一类有理曲面）的概念，并且给出了具有有理等距曲面的可展曲面的显式表达。
吕伟[11]证明了抛物面、椭球面和双曲面的等距曲面是有理的。
Pottmann 等[12]证明了不可展有理直纹面的等距曲面在整个空间是可有理化的。
对于更为复杂的曲面，生成其等距曲面颇为困难。
Farouki [13]利用双三次Hermite 多项式曲面来插值逼近等距曲面。
1999年，Piegl 和Tiller [14]对NURBS 曲面的等距曲面逼近提出了一种新的算法，他们首先判断曲面上包含平面片或旋转面片（球面、环面、锥面和柱面等）的部分；然后根据曲率大小对其它曲面片部分的等距面片进行采样，利用NURBS 曲面进行插值；最后在允许误差范围内去除不需要的控制节点。
形状空间下的3D面貌相似性比较
形状空间下的3D面貌相似性比较赵俊莉;武仲科;刘翠婷;段福庆;周明全;曹嘉谊【摘要】开展了利用计算机自动比较两个3D面貌相似程度的研究.提出了一种在形状空间下基于测地线的3D面貌相似性比较的方法.该方法使用测地线近似表示3D面貌模型,然后将其变换到形状空间下,以对应测地线的平均测地距离作为两个3D面貌的相似性比较的依据.在公开的GAVADB三维面貌库上对14个人的28个3D面貌模型进行了实验,识别率达到92.86％以上,说明本方法可以将同一个人的不同模型与不同人的模型区分开.另外,使用提出的方法对不同人的3D面貌模型进行了相似性比较实验,结果表明使用本方法得出的相似程度的判断与人的主观判断相一致,说明本方法能够较好地反应3D面貌的相似程度.【期刊名称】《光学精密工程》【年(卷),期】2015(023)004【总页数】8页(P1138-1145)【关键词】计算机图形学;计算机视觉;3D面貌相似性;测地线;形状空间;平方根速度函数(SRVF)【作者】赵俊莉;武仲科;刘翠婷;段福庆;周明全;曹嘉谊【作者单位】青岛大学软件技术学院,山东青岛266071;北京师范大学信息科学与技术学院虚拟现实应用教育部工程研究中心,北京100875;北京师范大学信息科学与技术学院虚拟现实应用教育部工程研究中心,北京100875;北京师范大学信息科学与技术学院虚拟现实应用教育部工程研究中心,北京100875;北京师范大学信息科学与技术学院虚拟现实应用教育部工程研究中心,北京100875;北京师范大学信息科学与技术学院虚拟现实应用教育部工程研究中心,北京100875;天津中医药大学中药学院天津300193【正文语种】中文【中图分类】TP391.411 引言公安刑侦领域经常会用各种技术辅助破案，如根据素描画像追捕犯罪嫌疑人［1］等。
遇到受害者仅剩颅骨而没有其他证据时，利用计算机辅助技术从颅骨复原出颅面对辅助破案就会起到非常大的作用，目前已有许多利用颅面复原技术辅助破案的成功案例。
具有给定测地线的三次三角B_zier曲面的构造与拼接
架研究了以给定曲线为边界测地线的曲面构造问 题， 所构造的曲面为直纹面 ， 给出了所构造曲面以 ］ 给定曲线为边界测地线的充要条件 ； 文献 ［ 对给 ２ 利用所构造曲面的切平面 定的三次 Ｂ é ｚ ｉ ｅ ｒ曲线 ， 与所给曲线的法 平 面 之 间 所 应 满 足 的 关 系 ， 研究 了以给定 的 三 次 Ｂ é ｚ ｉ ｅ ｒ曲 线 为 边 界 测 地 线 的 曲 面构造问题 ， 避免了利用 Ｆ ｒ ｅ ｎ ｅ ｔ标架和 曲 线 的 弧 长参数化 ， 所构造的 曲 面 也 是 直 纹 面 ； 文献［ 把 ３］ 以给定多项式曲线为边界测地线的曲面构造问题 基于 Ｈ 文献 转化为插 值 问 题 ； ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｅ 插 值 方 法，
１ ２ ６
自然科学版 ） 合肥工业大学学报 （
第３ ７卷
［ ］ 研究了以给定 的 ２ 条 空 间 曲 线 为 边 界 测 地 线 ４ ］ 的曲面构造问题 ； 文献 ［ 讨论了给定空间 ４ 条 ５ ６ － 多项式或有理 Ｂ 构 é ｚ ｉ ｅ ｒ曲 线 构 成 的 曲 边 四 边 形 ， 造张量积 Ｂ 使所构造的曲面以给定的 é ｚ ｉ ｅ ｒ曲面 ， ］ 曲线为边界测地线的问题 ； 文献 ［ 讨论了以给定 ７ 的空间曲 线 为 边 界 测 地 线 构 造 三 角 Ｃ ｏ ｏ ｎ ｓ曲 面 ］ 文献 ［ 讨论了以给定的空间三次多项 片的问题 ； ８ 式Ｂ é ｚ ｉ ｅ ｒ曲线 为 边 界 测 地 线 的 可 展 曲 面 的 构 造
CMM测量曲面测头半径补偿与路径规划研究
C M M测量曲面测头半径补偿与路径规划研究王增强,蔺小军,任军学(西北工业大学现代设计与集成制造技术教育部重点实验室,西安710072)摘要:根据测量曲面的目的把三坐标测量机测量曲面的模式分为两种,即检测模式和重构模式。
按照两种不同的测量模式对三坐标测量机测头半径补偿与曲面测量路径规划进行研究。
通过实例证明本文所述方法是正确的、实用的。
关键词:三坐标测量机;曲面测量;测头半径补偿;测量路径规划;逆向制造中图分类号:TP391 文献标识码:A 文章编号:1001-3881(2006)3-075-3The Research on Probe Rad i us Com pen sa ti on and M ea sur i n g Trace Pl ann i n g ofCom plex Surface C MM M ea surem en tWANG Zengqiang,L I N Xiaojun,RE N Junxue(The Key Laborat ory of Conte mporary Design and I ntegrated Manufacturing Technol ogy,Northwest Polytechnical University,the M inistry of Educati on,Xi’an710072,China) Abstract:Comp lex surface measure mentwas divided int o t w o modes such as checkoutmode and reconstructi on mode according t o measure ment intenti on1C MM p r obe radius compensati on and measuring trace p lanning were researched in ter m of t w o differentmodes1It is p r oved that the method is very useful and credible by exa mp les1Keywords:C MM;Comp lex surface measure ment;Pr obe radius compensati on;M easuring trace p lanning;Reverse engineering 随着航空、汽车等现代工业的飞速发展,对复杂曲面尺寸的测量变得越来越重要。
曲面上曲率线与测地线的积分算法
曲面上曲率线与测地线的积分算法
霍云娟
【期刊名称】《科教导刊》
【年(卷),期】2014(000)007
【摘要】本文首先给出了曲率线和测地线的基本概念和几何性质,揭示了曲率线和测地线之间的关系,以计算不同曲面的曲率线和测地线来分析其积分算法,为深入研究NURBS曲面上曲率线和测地线的积分算法奠定了一定基础.
【总页数】3页(P207-209)
【作者】霍云娟
【作者单位】天津师范大学数学科学学院天津300387
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.NURBS曲面上积分曲率线的B样条表示 [J], 李宏坤;王国瑾;刘利刚
2.曲面上测地线和短程线的性质 [J], 邢家省;高建全;罗秀华
3.圆柱面上具非零曲率和挠率的曲线特征 [J], 刘倩
4.关于曲面上曲率线的测地曲率 [J], 王卫东
5.关于常曲率曲面上测地线密度的注记 [J], 张芷若;冯书香
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三角网格表面任意两点间并行近似测地线算法
摘
要 ： 降低 求解 三 角 网榕 表 面 任 意 两 点 间 近 似 测 地 线 长 度 和 路 径 问题 的 时 间开 销 ， 出 一 种 基 于 局 部 细 分 法 的 并 行 近似 测 为 提
地线 算法。采 用类矩阵乘最短路径 并行 算法求解点对 间初始最短路径 ， 并用 源分割 法映射子 网格数据 ； 所有处理器并行执行 ， 对
ＤＯ ：０３ ７ ／ｉ ｎ１０ ．３ １ ０ １１．５ 文章编 号：０ ２８ ３ （０ １ １．１ ７０ 文献标识码 ： 中图分类号 ： Ｐ ３ ． Ｉ１ ． ８ ．ｓ ． ２８ ３ ． １． ０ ６ ７ ｊｓ ０ ２ ０ １０ ．３ １ ２ １）００ ９ ４ Ａ Ｔ ３ ８６
ＹＵ Ｆａ ｎｇ． ｒ Ｈｅ ａ Ｐａ ａ ｌ ｐｐｒ ｘ ｍ ａ ｅ ｏ ｉ ｔ ｇｅ ｄｅ ｉ ｐａ ｈ ａｌ ｒ ｔ ｏ ｏ ｓｃ ｔ ｇｏ ｉｈｍ ｎ ｔ ｉ ｎｇｕｌ ｒ ｒａ ａ ｍ ｅ ｈ． ｓ Ｃｏｍ ｐｕｔ ｒ ｅ Ｅｎｇｉ ｅ ｉ ａｎｄ ｎｅ ｒ ｎｇ Ａ ｐｐｌｃ ｔｏｎｓ ｉａｉ ，
Ｃ ｍ ｕｅ Ｅ ｇｎｅｉ ｎ Ａ ｐｉａｉｎ 计算机工程 与应用 ｏ ｐ ｔｒ ｎ ｉｅｒ ｇａ ｄ ｐ ｌ ｔ ｓ ｎ ｃ ｏ
２ １ ，７ １ ） １７ ０ １４ （０ ９
三角网格 表 面任意两点 问并行近似测地线 算法
微分几何 §6 曲面上的测地线
r=r(u1 ,u 2 )，u1 =u1(s),u 2 =u 2(s)的 r k
n
..
若记 n ， n，
kg r k
k g r k （，n，） k n k sin k
..
..
命题1
k k k ,
下面给出测地曲率的一般计算公式 设曲面曲线 C : u s , u u s 其中s是自然参数 有
, 2 2
k g k ( , , n) ( , k , n)=( r , r , n) . du i r ri ds i
r ij k
i, j ..
2 2 2
d ds 1 2 G ln E v du ds dv ds cos 1 E 1 G 1 2 E cos sin ln G u sin
由此在给出初始条件下可求测地线惟一的解.
例:利用刘维尔公式证明：平面上的测地线为直线 证明：对于平面
ds 2 du 2 dv 2
d 2u k ds
2
ij k
i, j
du i du j ds ds
0, k 1, 2
du k ds ( du k ds
在初始要件 s s0 , u k u0 k ,
)0
由微分方程知识知有唯一解
曲面上任一点，给定一个的切方向，则存在唯一 一条测地线切于此方向
6.3. 曲面上的半测地坐标网 曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线，另一的族
E G 1, F 0, Eu Ev Gu Gv 0
代入测地线的方程得
d ds
du ds
0, const .
改进的三角网格表面近似测地线算法
改进的三角网格表面近似测地线算法施逸飞;熊岳山;朱晨阳;施鹏【摘要】The computation of approximate geodesics algorithm on triangle mesh can be transformed to the computation of the shortest path on triangle mesh. In order to figure out the geodesics on triangle mesh efficiently, an improved approximate geodesics algorithm is presented. A weighted graph is constructed by splitting triangle mesh along the Cartesian coordinate axes,thus the shortest path on lattice can be computed by A∗algorithm and a new region of search can be defined. The neighboring edges of the shortest path are iteratively subdivided to construct a new weighted graphs to approach the geodesic. Experimental results show the improved algorithm can figure out the geodesics precisely and efficiently . The speed up ratio of the algorithm range is increased between 10 and 59 . A region labeling method on virtual liver surgery based on the improved algorithm is also proposed,which can meet the computational real-time and quality requirements of virtual scene.%三角网格表面的测地线计算问题可转化为三角网格表面两点间的最短路径计算问题，为了快速地计算三角网格表面测地线，提出一种基于缩小最短路径搜索区域的三角网格表面近似测地线算法。
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第８期周刚等：基于ＭＭＰ三角曲面测地线算法研究１２６３（ａ）窗口传播定义（ｂ）窗口传播类型
（ｃ）光源侧边窗口传播补偿（ｄ）窗口传播中止取消
图５窗口传播的定义和类型
Ｆｉｇ．５Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎａｎｄｔｙｐｅｏｆｗｉｎｄｏｗｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ
光线的传播是根据左右射线确定，而不是窗口确
定，因为在传播过程中，在特定的一条边中，由于
在该次传播之前，已经存在窗口，而且存在的窗口
优于目前的窗口，按照文献［８］的方法，该次传播
就此结束，但是对于下一条边，该次传播就可能优于
前次的传播，如图５（ｄ）所示，在Ｚ。
上，光源ｓ，所传
播的窗口劣于Ｓ。
传播的窗口，但是在ｆ：上由于瓯
传播到该边需要折射，所以在ｚ：上，光源Ｉｓ。
所传播
的窗口存在优于光源Ｓ，所传播的窗口的情况。
当
传播类型为中心传播时，由于曲面是沿着边按照原
来的平面进行旋转得到，所以光线需要分为两支不
同的路径传播。
２．３相交窗口处理
在光线的传播过程中，由于新光源的产生和传
播的路线不同，经过传播以后到达某一边的窗口可
能有多个，并且存在相交的情况。
当两窗口相交时，
需要保留到达该边时的经过路径较少的窗口，并且
当一个窗口不能完全覆盖另外一个窗口时，需要区
分窗口的区域。
相交窗口处理是窗口传播的关键。
２．３．１相交窗口的数学表达
在同一条边上，当两个窗口相交时它们的参数
［６。
，６。
］范围的交集非空。
在文献［８］中，其窗口的
相交判断做了近似处理，其处理方法为：令该边为菇
轴，原点为该边的起点，建立平面直角坐标系，根据
窗函数参数，可以确定两窗口各自光源在该坐标系
中的位置坐标（横坐标为非负），然后根据窗函数的
参数求出筇轴上一点到两窗口光源距离相等的点源
（Ｐ。
，０），根据该等距点的位置划分相交窗口的覆盖区域。
该方法对于窗口相交的命题是完全正确和充分的，但是在求解过程中，却做了极大的简化，只是考虑较多情况中的一种可能，所以在较复杂的条件下，其测地线求解的结果可能发生偏移（如图６所示）。
其原因是由于错误划分窗口区域而导致该边中有部分区域的光照距离变长，而当该距离变长区域是实际测地线通过的区域时，就出现了如图５所示的结果（原因如图７所示）。
图６窗口相交简化出现的测地线偏差
Ｆｉｇ．６ＧｅｏｄｅｓｉｃｅｎｏｒｉｆＢｉｍｐｌｅｒｏｆ
ｗｉｎｄｏｗｓｉｎｈ；Ｉ暑ｅｃｔｉｏｎ
相交窗口的区域划分点实际上是ｚ轴上到两光源的在直角坐标系中的距离差等于光源值差的点。
也就是以两光源为焦点，光源值差为定值的双曲线和ｚ轴的交点（如图８所示）。
那么问题就转化为
在窗口相交区域内，即为名轴上的点落在双曲线不。