济南大学数学物理方法试题
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
物理数学方法试题及答案
物理数学方法试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪项不是傅里叶变换的性质？A. 线性B. 可逆性C. 尺度变换D. 能量守恒答案：D2. 拉普拉斯变换的收敛区域是：A. 左半平面B. 右半平面C. 全平面D. 虚轴答案：B3. 以下哪项是线性微分方程的特征？A. 可解性B. 唯一性C. 线性叠加原理D. 非线性答案：C4. 在复数域中，以下哪个表达式表示复数的模？A. |z|B. z^2C. z*zD. z/|z|答案：A5. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 傅里叶级数展开中，周期函数的系数可以通过______计算得到。
答案：傅里叶系数2. 拉普拉斯变换中，s = σ + jω代表的是______。
答案：复频域3. 线性微分方程的解可以表示为______的线性组合。
答案：特解4. 复数z = a + bi的共轭复数是______。
答案：a - bi5. 波动方程的一般解可以表示为______和______的函数。
答案：空间变量；时间变量三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别。
答案：傅里叶变换主要用于处理周期信号，将时间域信号转换到频域；而拉普拉斯变换适用于非周期信号，将时间域信号转换到复频域。
2. 什么是波动方程？请给出其一般形式。
答案：波动方程是描述波动现象的偏微分方程，一般形式为∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²，其中u是波函数，c是波速。
3. 请解释什么是特征值和特征向量，并给出一个例子。
答案：特征值是线性变换中，使得变换后的向量与原向量方向相同（或相反）的标量。
特征向量则是对应的非零向量。
例如，对于矩阵A，如果存在非零向量v和标量λ，使得Av = λv，则λ是A的特征值，v是对应的特征向量。
数学物理方法期末考试卷与解答
《数学物理方法》试卷（A 卷）参考答案姓名: 学号:题号 一 二 三 四 五 六 七八 总分 得分注：本试卷共一页，共八大题。
答案请做在答题纸上，交卷时，将试题纸与答题纸填好姓名与学号，必须同时交齐，否则考卷作废！可能用到的公式:1). (2l +1)xP l (x )=lP l −1(x )+(l +1)P l+1(x ), 2). P 0(x )=1, P 1(x )=x ；3))(~)]([00k k f x f eF xik −=;4))]([1])([x f F ikd f F x=∫∞−ξξ; 5).])1(1[2sin )(I 333n ln l xdx l n x l x −−=−=∫ππ一、 简答下列各题。
（12分，每题6分）1. 试在复平面上画出3)arg(0π<−<i z ，4Re 2<<z 点集的区域。
解：如图阴影部分为所求区域 （6分）2. 填空题：函数3)2)(1()(i z z z f +−=是单值的还是多值的？多值的（1分）；若是多值，是几值？3值（2分）；其支点是什么？1，-2i ，∞（3分）。
二、 (9分) 试指出函数3sin )(zzz z f −=的奇点(含ㆀ点)属于哪一类奇点？ 解：22112033)12()1(])12()1([1sin )(−∞=+∞=∑∑+−=+−−=−=n n nn n n n n n z n z z z z z z f （3分） z=0为f (z )的可去奇点；（3分）z=∞为f (z )的本性奇点；（3分）三、 (9分) 已知解析函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )的虚部v (x,y ) = cos x sh y ， 求f (z )= ? 解：由C-R 条件x y x v yy x u y y x v x y x u ∂∂−=∂∂∂∂=∂∂),(),(,),(),( （3分）得 u x (x,y ) = v y (x,y ) = cos x ch y u y (x,y ) = −v x (x,y ) = sin x sh y （3分）高数帮帮数帮高数帮高f (z ) = f (x +iy ) = u (x ,y ) + iv (x ,y ) = sin x ch y +i cos x sh y + c上式中令 x=z, y=0， 则 f (z ) = f (z+i0) = sinz + c （3分）四、 (10分) 求积分dz z e I Lz∫−=6)1(其中曲线L 为(a)圆周21=z ；(b)圆周2=z 解：(a) 6)1()(−=z e z f z 在圆周21=z 内解析，I = 0；（5分） (b) 在圆周2=z 内有一奇点，I = 2πiRes f (1)= 2π i !52)1()1()!16(166551lim e i z e z dx d z z π=−−−→（5分） 五、 (10分) 计算拉普拉斯变换?]2sin [=t t L （提示：要求书写计算过程）解：已知 42]2[sin ,][sin 222+=+=p t L p t L 也即ωωω（2分） 由象函数微分定理)3(4)(4p4)(4p ]2sin []2sin )[()2(4)(4p )42(]2sin )[()3(,)()1()]()[(2222222分分分+=+−−=−=−∴+−=+=−−=−p p t t L t t L p p dp d t t L p f dp d t f t L nnnn六、 (15分) 将f (x )= (35/8)x 4 + 5x 3−(30/8)x 2 +(10/3)x +1展开为以{ P l (x ) }基的广义付里叶级数。
济南大学大学物理模拟二
济南大学 ～ 学年第二学期课程考试试卷 课 程 大学物理 授课教师 考试时间 年 月 日 考试班级 学 号 姓 名1、根据高斯定理的数学表达式⎰∑⋅=Sq S E 0/d ε 可知下述各种说法中，正确的是： (A) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零． (B) 闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定处处不为零． (C) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定处处为零． (D) 闭合面上各点场强均为零时，闭合面内一定处处无电荷． [ ] 2、某物体的运动规律为t k t 2d /d v v -=，式中的k 为大于零的常量．当0=t 时，初速为v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是 (A) 0221v v +=kt , (B) 0221v v +-=kt ,(C) 02121v v +=kt , (D) 02121v v +-=kt ［ ］ 3、质量为m ＝0.5 kg 的质点，在Oxy 坐标平面内运动，其运动方程为x ＝5t ，y =0.5t 2（SI ），从t =2 s 到t =4 s 这段时间内，外力对质点作的功为(A) 1.5 J ． (B) 3 J ． (C) 4.5 J ． (D) -1.5 J ． ［ ］4、在磁感强度为B的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位矢量n 与B 的夹角为α ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为(A) πr 2B ． . (B) 2 πr 2B ．(C) -πr 2B sin α． (D) -πr 2B cos α． ［ ］5、一个质点同时在几个力作用下的位移为： k j i r 654+-=∆ (SI) 其中一个力为恒力k j i F953+--= (SI)，则此力在该位移过程中所作的功为 (A) -67 J ． (B) 17 J ． (C) 67 J ． (D) 91 J ． ［ ］6、在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力） (A) 总动量守恒． (B) 总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向动量不守恒． (C) 总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒． (D) 总动量在任何方向的分量均不守恒． ［ ］7、在如图所示的单缝的夫琅禾费衍射实验中，将单缝Ｋ沿垂直于光的入射方向(沿图中的x 方向)稍微平移，则［ ］ (A) 衍射条纹移动，条纹宽度不变.(B) 衍射条纹移动，条纹宽度变动. (C) 衍射条纹中心不动，条纹变宽. (D) 衍射条纹不动，条纹宽度不变 8、一弹簧振子作简谐振动，总能量为E 1，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E 2变为 (A) E 1/4． (B) E 1/2． (C) 2E 1． (D) 4 E 1 ［ ］ 9、一束平行单色光垂直入射在光栅上，当光栅常数(a + b )为下列哪种情况时(a 代表每条缝的宽度)，k =3、6、9 等级次的主极大均不出现？［ ］ (A) a ＋b =2 a ． (B) a ＋b =3 a ． (C) a ＋b =4 a ． (D) a ＋b =6 a ．2S …………………………………………装…………………………订…………………………线………………………………………………………答……………题……………不……………要……………超……………过……………此……………线………………10、如图所示，导体棒AB 在均匀磁场B 中 绕通过C 点的垂直于棒长且沿磁场方向的轴OO ' 转动（角速度ω与B 同 方向），BC 的长度为棒长的31，则 (A) A 点比B 点电势高． (B) A 点与B 点电势相等．(C)A 点比B 点电势低．(D)有稳恒电流从A 点流向B 点． [ ]11、下列几个说法中哪一个是正确的？（A ）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向. （B ）在以点电荷为中心的球面上， 由该点电荷所产生的场强处处相同．(C) 场强可由q F E /=定出，其中q 为试验电荷，q 可正、可负，F 为 试验电荷所受的电场力．(D) 以上说法都不正确． [ ]12、关于静电场中某点电势值的正负，下列说法中正确的是： (A) 电势值的正负取决于置于该点的试验电荷的正负． (B) 电势值的正负取决于电场力对试验电荷作功的正负．(C) 电势值的正负取决于电势零点的选取． (D) 电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负． [ ]13、把一平凸透镜放在平玻璃上，构成牛顿环装置．当平凸透镜慢慢地向上平移时，由反射光形成的牛顿环［ ］(A) 向中心收缩，条纹间隔变小． (B) 向中心收缩，环心呈明暗交替变化．(C) 向外扩张，环心呈明暗交替变化． (D) 向外扩张，条纹间隔变大．14、用白光光源进行双缝实验，若用一个纯红色的滤光片遮盖一条缝，用一个纯蓝色的滤光片遮盖另一条缝，则［ ］(A) 干涉条纹的宽度将发生改变．(B) 产生红光和蓝光的两套彩色干涉条纹． (C) 干涉条纹的亮度将发生改变． (D) 不产生干涉条纹．二、 填空题（每空3分，共18分）1、光强均为I 0的两束相干光相遇而发生干涉时，在相遇区域内有可能出现的最大光强是______________________．2、频率为500 Hz 的波，其波速为350 m/s ，相位差为2π/3 的两点间距离为________________________．3、两个平行的“无限大”均匀带电平面， 其电荷面密度分别为＋σ和＋2 σ，如右图，则A 区域的电场强度大小为E A ＝__________________4、将半径为R 的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向割去一宽度为h ( h << R )的无限长狭缝后，再沿轴向流有在管壁上均匀分布的电流，其面电流密度(垂直于电流的单位长度截线上的电流)为i(如右图)，则管轴线磁感强度的大小是__________________．5、在如图所示的回路中，两共面半圆的半径分别为a 和b ，且有公共圆心O ，当回路中通有电流I 时，圆心O 处的磁感强度B 0 =________________________6、当粒子的动能等于它的静止能量时，它的运动速度为三、 计算题（10分）一质点沿半径为R 的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为221ct bt S += 其中b 、c 是大于零的常量，求从0=t 开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间．Ia bO…………………………………………装…………………………订…………………………线………………………………………………………答……………题……………不……………要……………超……………过……………此……………线………………四、 计算题（10分）一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅为A ，频率为ν ，波速为u ．设t = t ＇时刻的波形曲线如图所示．求(1) x = 0处质点振动方程；(2) 该波的表达式．五、 计算题（10分） 如图所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面．且导线框的一个边与长直导线平行，他到两长直导线的距离分别为r 1、r 2．已知两导线中电流都为t I I ωsin 0=，其中I 0和ω为常数，t 为时间．导线框长为a 宽为b ，求导线框中的感应电动势．六、 计算题（10分）用白光垂直照射置于空气中的厚度为0.50 μm 的玻璃片．玻璃片的折射率为1.50．在可见光范围内(400 nm ~ 760 nm)哪些波长的反射光有最大限度的增强？(1 nm=10-9 m)xuO t =t ′y I IOxr 1 r 2a b ……………答……………题……………不……………要……………超……………过……………此……………线………………n n n n r v r v e e e a 22===ωω00p p dt F t ex -=⎰⎰⎰=⋅=b a b a Fdr r d F W θcos )(dz F dy F dx F z y b a x ++=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ϕω)(cos u x t A y )cos(ϕω+=t A y λφφϕ/)(2-1212r r --=∆πr E 02πελ=∑⎰=⋅iiLI l d B 0μRNIB π20μ=Bl Id F d⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=22λδnd ⎩⎨⎧=+==减弱加强 ,2,1,02)12(,2,1k k k k λλ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=R r rq R r E 2040πεr r q q F E ˆ4200πε== ∑⎰⎰=⋅=（闭合曲面内）i S e q S d E Φ01ε 02εσ=E )(d B A AB ABAB u u q qU l E q A -==⋅=⎰ r εq u 0π4d d =r r r r r q E ==ˆˆ4d d 20πε⎰=⋅=0d U AA lE u rI B πμ20=nI B o μ=⎰∙=ΦSm Sd Bττe dt dv a =t e R α=…………………………………………装…………………………订…………………………线…………………………………………。
数学物理方法复习资料及参考答案(二)
数学物理方法复习资料及参考答案(二)一、选择题:1. 函数()f x 以0z 为中心的Taylor 展开的系数公式为：（ )A ξξξπd z f i k C c k ⎰-=)()(20 B !)(0)(k z f C k k =C ξξξπd z f i C c k k ⎰+-=10)()(21 D ξξξπd z f i k C c k k ⎰+-=10)()(2 2。
⎰=-l dz a z )(（ ） （其中l 表示以为a 中心ρ为半径的周围)。
A i ⋅πB iC i ⋅-πD 0 3. 非齐次边界条件)(),(0t u t u l x x νμ====，转化为齐次边界条件的方法：（ )A )()(tB x t A + B x t A )(C )(t BD x t B x t A )()(2+ 4。
)(t f 是定义在半无界区间),0(∞上的函数，⎩⎨⎧<<<=)(0)0()(t T T t ht f在边界条件0)0(='f 下，把)(t f 展为实数形式傅立叶积分：（ ） Aw h 12π B w wT h cos 2π C w wT h sin 2π D wwTh cos 12-π 5. 齐次边界条件0,00====l x x xu u 的本征值和本征函数：（ ） A ),3,2,1,0(cos )(,222 ===n l xn C x X l n nn n ππλB ),3,2,1(sin )(,222 ===n l xn C x X l n nn n ππλC ),3,2,1,0()21(cos )(,)21(222 =+=+=n l xn C x X ln n n n ππλD ),3,2,1,0()21(sin )(,)21(222 =+=+=n l xn C x X l n nn n ππλ6. 若集合是（ ）,则该集合是区域。
A 开集B 连通开集C 连通闭集D 连通集 7. 设a 是)(z f 的可去奇点，则有：（ ）Alim ()Z af Z →存在且有限 Blim ()Z af Z →不存在C )(z f 在a 点的主要部分只有有限项D )(z f 在a 点的主要部分有无限多项8。
数学物理方法试卷5答案
物理系 20 —20 学年第 学期期末考试《数学物理方法》试卷（A ）考试时间：120分钟 考试方式：闭卷班级 专业 姓名 学号一、填空题（本大题共9题，每空2分，共24分） 1、写出复数1+3i 的三角式)3sin3(cos2ππi +，指数式e i32π。
2、z a z b -=-中z 代表复平面上位于ab 线段中垂线上点。
3、幂级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛1k kk z 的收敛半径为 ∞。
4、复变函数),(),()(y x i y x z f υμ+=可导的充分必要条件yv x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,存在，并且满足柯西-黎曼方程 。
5、e z在Z=0的邻域上的泰勒级数是（至少写出前三项）e z=......!3!2!1132++++z z z 。
6、若周期函数f (x )是奇函数，则可展为傅立叶正弦级数f (x )= lxk b k k πsin1∑∞=展开系数为ξπξξd lk f l b l k ⎰=0sin )(2 。
7、就奇点的类型而言，Z=∞是函数f(z)=ZZcos 的 可去 奇点，Z=0是函数的 单极 点。
8、三维波动方程形式2()0tt xx yy zz a μμμμ-++=。
9、拉普拉斯方程0u ∆=在球坐标系中的表达式为：2222222111sin 0.sin sin u u ur r r r r r θθθθθφ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
二、简答题（本大题共3题，每题8分，共24分）1、 分别简述单通区域和复通区域下的柯西定理。
单通区域柯西定理：如果函数)(z f 在闭单通区域B 上解析，则沿B 上任一段光滑闭合曲线 ,有⎰=0)(dz z f ； (4分)复通区域柯西定理：如果函数)(z f 是闭复通区域上的单值解析函数,则⎰∑⎰==+ni idz z f dz z f 10)()(,式中 为区域外界境线,诸i为区域内界境线,积分均沿界境线正方向进行。
最新数学物理方法试题
哦济南大学2008 ～2009 学年第二学期课程考试试卷（A 卷）课程数学物理方法授课教师考试时间 2009 年 7 月 10 日考试班级学号姓名一、判断题（每小题2分，共20分）[对者画√，错者画×]1、函数在某点可导，说明在该点解析；[ ]2、函数在某点邻域解析，说明在该点可导；[ ]3、解析函数的实部与虚部必是两个解析的函数；[ ]4、解析函数的实部与虚部分别表示两个曲面；[ ]5、复数表示复平面上的一点；[ ]6、复数有大小可以比较; [ ]7、复变函数f(z)的可导是指式z z fzz fz∆-∆+→∆)( )(lim沿实轴和虚轴趋近时极限值相等[ ]8、复变函数f(z)满足单连通科希定理,说明函数f(z)在给定的区域上的积分与路径无关; [ ]9、函数f(z)可展开洛朗级数，展开中心一定是函数的基点，[ ]10、应用电象法可以求解一些定解问题的格林函数。
[ ]二、选择题(每小题2分，共10分）1．i i的数值为[ ]A．ππne22--B. ππne2-- C. ππne22+ D. ππne2-2.ize-在Z= i处的留数是[ ]A．e B. 2 C. -1 D. 13．级数∑∞=-1)2(kkzk的收敛半径是 [ ]A . 2 B. k Ck2D. 14．闭合曲线l包围坐标原点，则函数zzf11=）（和521zzf=）（，则沿该闭合曲线正向的积分值分别是[ ]A．0)(1=⎰dz z fl，0)(2=⎰dz z flB. idzzflπ=⎰2)(1，idzzflπ=⎰2)(2C 0)(1=⎰dz z fl，idzzflπ=⎰2)(2 D. idzzflπ=⎰2)(1，0)(2=⎰dz z fl5. 对于0=∆u，在柱坐标系下分离变量，当侧面为齐次边界条件时，关于ρ的方程是[ ]A.贝塞尔方程B.球贝塞尔方程C.虚宗量贝塞尔方程D.连带勒让德方程三、填空题（每空2分，共20分）1、函数）（zf在复平面上除0=z和1=z的两奇点外均解析,且该函数在圆域10<<z和210<-<z内分别展为级数kkkzazf∑∝-==1)(和kkkzbzf)1()(3-=∑∝-=,则0=z是函数）（zf的-----极点; 1=z是函数）（zf的----------极点。
山东济南物理考试试卷真题
山东济南物理考试试卷真题一、选择题（每题2分，共20分）1. 根据牛顿第二定律，物体所受合力等于物体质量与加速度的乘积。
如果一个物体的质量是5kg，加速度是2m/s²，那么物体所受的合力是多少？A. 10NB. 20NC. 30ND. 40N2. 光在真空中的传播速度是多少？A. 3×10^5 km/sB. 3×10^6 km/sC. 3×10^8 m/sD. 3×10^8 km/s3. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，经过4秒后的速度达到8m/s。
求物体的加速度。
A. 1m/s²B. 2m/s²C. 3m/s²D. 4m/s²4. 以下哪个不是电磁波的一种？A. 无线电波B. 微波C. 声波D. 红外线5. 根据能量守恒定律，能量既不能被创造也不能被消灭，只能从一种形式转化为另一种形式。
以下哪个情况违反了能量守恒定律？A. 摩擦生热B. 机械能转化为电能C. 能量在系统中自由流动D. 能量凭空消失二、填空题（每空1分，共10分）6. 物体的惯性大小与物体的________有关。
7. 电流通过导体产生的热量与电流的平方、导体的电阻和通电时间成正比，这个关系可以用公式________表示。
8. 欧姆定律指出，导体中的电流与两端的电压成正比，与导体的电阻成反比，其数学表达式为________。
9. 光的折射定律，即斯涅尔定律，可以用公式________来描述。
10. 根据热力学第二定律，不可能从单一热源吸热使之完全转化为功而不产生其他影响，这被称为________。
三、简答题（每题5分，共10分）11. 简述牛顿第三定律的内容及其在日常生活中的应用。
12. 解释什么是电磁感应现象，并给出一个实际应用的例子。
四、计算题（每题15分，共30分）13. 一个质量为10kg的物体从静止开始自由下落，忽略空气阻力。
求物体下落2秒后的速度和下落5秒后的高度。
山东大学物理学院 数学物理方法 2022-2023期末试题及解析
《数学物理方法》课程考试大纲2022-2023山东大学物理学院 数学物理方法期末试题一、 填空题(每题3分，共27分)1. 已知zz =cos (aa +iibb )，z 的代数表达式为________________2. 指出多值函数�(zz −aa )(zz −bb )的支点和阶数___________3. 已知级数∑aa nn xx nn ∞nn=0的收敛半径为A ，试问级数∑aa nn √1+bb nn nnxx nn ∞nn=0（|bb |<1）的收敛半径为_____________4.ssss nn 2zz zz 3的极点为_____，且为______ 阶极点5. 利用柯西公式计算∮zz 2−zz+1zz 2(zz−1)ddzz |zz |=2_______________6. 连带勒让德多项式的正交代数表达式为_______________7. 计算留数1(zz 2+1)2_________________________8. 从t=a 持续作用到t=b 的作用力ff (tt )，可以看作许多前后相继的瞬时力的总和，其数学表达形式为__________9. ∫3δδ(xx −ππ)[ee 2xx +cccccc xx ]ddxx 10−10=_________________ 二、 简算题(每题5分，共15分)1. 将函数ff (zz )=1zz 2−3zz+2，在区域0<|zz −1|<1上展开为洛朗级数 2. �cos mmxx(xx 2+aa 2)2d xx ∞−∞，m>03. 已知解析函数ff =uu +iiνν，而uu =xx 3−3xxyy 2，试求ff三、 (8分)用级数法解微分方程yy ′′+xxyy ′+yy =0四、 (10分)在圆域ρρ<ρρ0上求解泊松方程的边值问题�ΔΔuu =aa +bb (xx 2−yy 2)uu ρρ=pp 0=cc五、 (15分)设有一均匀球体，在球面上的温度为cos 2θθ，试在稳定状态下求球内的温度分布（已知，PP 0(xx )=1，PP 1(xx )=xx , PP 2(xx )=12(3xx 2−1)）六、 (10分)利用拉普拉斯变换解RC 电路方程：�RRRR +1CC �RR dd tt tt=EE 0sin ωωttRR (0)=0七、 (15分)计算：⎩⎨⎧ðð2uu ððtt 2−aa 2ðð2uuððxx2=AA cos ππxx ll sin ωωttuu |xx=0=0, uu |xx=ll =0uu |tt=0=φφ(xx ), uu tt |tt=0=ψψ(xx )2022-2023 数学物理方法期末试题 参考答案一、 填空题(每题3分，共27分)1.【正解】 12(ee bb +ee −bb )cos aa +i2(ee −bb −ee bb )sin aa 【解析】cos (aa +i bb )=ee ss (aa+ss bb )+ee −ss (aa+ss bb )2=12(ee −bb ee ss aa+ee bb ee −ss aa )=12[e −bb(cos aa +isin aa )+e bb (cos aa −isin aa )]=12[(e bb+e −bb )cos aa +i(e −bb −e bb )sin aa ]=12(ee bb +ee −bb)cos aa +i 2(ee −bb−ee bb )sin aa 2.【正解】支点：z=a 、b 、∞；皆为一阶支点【解析】注意到函数为12次，且当z=a 、b 时函数置零，z=∞为熟知的支点，阶数皆为2−1=1 3.【正解】A【解析】由根值判别法，幂级数的收敛区间为ll ii ll nn→∞�aa nn ⋅(1+bb nn )nn⋅xxxx (−1,1)而|bb |<1⇒ll ii ll nn→∞√1+bb nn nn=1故收敛半径保持不变，仍为A 4.【正解】zz =0；一阶 【解析】ll ii llzz→0ssss nn 2zz zz 3→∞，且ll ii ll zz→0zz ⋅ssss nn 2zz zz 3=1故zz =0为一阶极点5.【正解】2πi注意到原函数的极点为zz =0和zz =1，且分别为2阶与一阶极点，故上述积分即为II =2ππii �Re cc�ff (zz ),0]+Re cc [ff (zz ),1]��而Re cc [ff (zz ),0]=ll ii ll zz→0dd �zz 2−zz +1zz −1�ddzz=0Re cc [ff (zz ),1]=ll ii ll zz→1zz 2−zz +1zz 2=1因此II =2ππii6.【正解】�PP ll mm (xx )⋅PP kk mm (xx )ddxx =01−1(ll ≠kk ) 7. 【正解】Re cc [ff (zz ),ii ]=ll ii ll zz→ss dd �1(zz +ii )2�ddzz=−2[2ii ]−3Re cc [ff (zz ),−ii ]=ll ii ll zz→−ss dd �1(zz −ii )2�ddzz=−2[−2ii ]−38.【正解】∫ff (ττ)1−1δδ(tt −ττ)ddττ 9.【正解】ee 2ππ−1【解析】由δδ函数的挑选性，上述积分即为 (ee 2xx +cccccc xx )|xx=ππ=ee 2ππ−1 二、 简算题(每题5分，共15分)1.【解析】在区域0<|zz −1|<1内ff (zz )=1zz 2−3zz +2=−12⋅11−zz 2−1zz −1=−12⋅11−zz 2−1zz ⋅11−1zzff (zz )=−�12kk+1zz kk ∞kk=0−�zz −(kk+1)∞kk=0 =−�zz kk−1kk=−∞−�12kk+1zz kk∞kk=02.【解析】由约旦引理，从上半平面的半圆弧补全围道，上半平面有一个二阶极点zz 0=iiaa ，该点的留数为RReeccff (zz 0) =limzz→zz 0d d zz e immzz(zz +aa i)2=lim zz→zz 0[i ll e immzz (zz +aa i)2−2e ss nn zz (zz +aa i)3] =−llaa +14aa 3ie −mmaaII =ππi ⋅(−llaa +14aa 3ie −mmaa )=llaa +14aa3ππe −mmaa 3.【解析】根据C-R 条件,有∂uu ∂xx =3xx 2−3yy 2=∂νν∂yy−∂uu ∂yy =6xxyy =∂νν∂xxddνν=−(−6xxyy )d xx +3(xx 2−yy 2)d yy =d(3xx 2yy −yy 3) 有νν=3xx 2yy −yy 3+CC ,代入得ff (zz )=xx 3−3xxyy 2+i(3xx 2yy −yy 3+CC ) =(xx +i yy )3+i CC =zz 3+i CC 0三、(8分)【解析】设 yy =�aa nn xx nn ∞nn=0 是方程的解,其中 aa 0,aa 1 是任意常数,则yy ′=�nnaa nn xx nn−1∞nn=1yy ′′=�nn (nn −1)aa nn xx nn−2∞nn=2=�(nn +2)(nn +1)aa nn+2xx nn ∞nn=0方程 yy ′′+xxyy ′+yy =0,得�[(nn +2)(nn +1)aa nn+2+nnaa nn +aa nn ]xx nn ∞nn=0=0故必有(nn +2)(nn +1)aa nn+2+(nn +1)aa nn =0即aa nn+2=−aa nnnn +2(nn =0,1,2,⋯ ) 可见,当 nn =2(kk −1) 时aa 2kk=(−12kk )aa 2kk−2=(−12kk )(−12kk −2)⋯(−12)aa 0=aa 0(−1)kkkk !2kk当nn =2kk −1时aa 2kk+1=(−12kk +1)aa 2kk−1=(−12kk +1)(−12kk −1)⋯(−13)aa 1=aa 1(−1)kk (2kk +1)!�aa 2nn xx 2nn ∞nn=0与�aa 2nn+1xx 2nn+1∞nn=0的收敛域均为(−∞,+∞) 故yy =�aa κκxx κκ∞κκ=0=�aa 2κκxx 2κκ∞κκ=0+�aa 2κκ+1xx 2κκ+1∞κκ=0=�aa 0(−1)nn nn !2nn xx 2nn∞nn=0+�aa 1(−1)nn (2nn +1)!xx 2nn+1∞ss=0即yy =aa 0e −xx 22+aa 1�(−1)nn (2nn +1)!xx 2nn+1∞nn=0,xx ∈(−∞,+∞)四、 (10分)【解析】 首先找到满足方程的特解vv =aa 4(xx 2+yy 2)+bb 12(xx 4−yy 4)=aa 4ρρ2+bb 12(xx 2+yy 2)(xx 2−yy 2) =aa 4ρρ2+bb 12ρρ4cos 2φφ 令uu =vv +ww =aa 4ρρ2+bb 12ρρ4cos 2φφ+ww对于齐次方程，且满足球心为有限值的泊松方程通解为ww (ρρ,φφ)=�ρρnn (AA mm cos ll φφ+BB nn sin llφφ)∞mm=0代入边界条件，有 �ρρ0nn (AA mmcos ll φφ+BB nn sin llφφ)∞mm=0=cc −aa 4ρρ02−bb 12ρρ04cos 2φφ比较系数解得uu =vv +ww =cc +aa 4(ρρ2−ρρ02)+bb 12ρρ2(ρρ2−ρρ02)cos 2φφ 五、(15分)【解析】对于满足球心处为有限值的拉普拉斯方程通解为uu (rr ,θθ)=�AA ll rr l P ll (cos θθ)∞ll=0代入边界条件有�AA ll rr 0l P ll (cos θθ)∞ll=0=cos 2θθ=xx 2由于P 2(xx ) =12(3xx 2−1) ,有xx 2=13[1+2P 2(xx )]=13P 0(xx )+23P 2(xx )即�AA ll rr 0lP ll (cos θθ)∞ll=0=cos 2θθ=xx 2=13P 0(xx )+23P 2(xx )对比系数可得uu (rr ,θθ)=13+23⋅1rr 02⋅rr 2P 2(cos θθ)六、(10分)【解析】对方程进行拉普拉斯变换，有jj ‾RR +jj ‾ppCC =EE 0ωωpp 2+ωω2 解得jj ‾=ωωEE 0(RR +1ppCC )(pp 2+ωω2)再进行反演RR (tt )=EE 0ωωRR (−RRCC e llRRRRωω2RR 2CC 2+1+RRCC cos ωωtt +ωωRR 2CC 2sin ωωtt ωω2RR 2CC 2+1) =EE 0RR 2+1/CC 2ωω2(RR sin ωωtt +1CCωωcos ωωtt )−EE 0/CCωωRR 2+1/CC 2ωω2e −tt /RRRR七、(15分)【解析】应用冲量定理法，先求解vv uu −aa 2vv xxxx =0ννxx ∣x=0=0,vv x ∣x=l =0vv ∣tt=ττ+0=0,vv t ∣t=ττ+0=AA cos ππxxllsin ωωττ根据通解的一般形式并代入边界条件，可得vv (xx ,tt ;ττ)=AAllππaasin ωωττsin ππaa (tt −ττ)ll cos ππxx ll uu (xx ,tt )=�vv (xx ,tt ;ττ)tt=AAll ππaa cos ππxx ll �sin ωωττsin ππaa (tt −ττ)ll d ττtt 0=AAll ππaa 1ωω2−ππ2aa 2/ll 2(ωωsin ππaa ll tt −ππaa ll sin ωωtt )cos ππxx ll。
数学物理方法考试试题1
课程试卷库测试试题（编号：1 ）一、判断题（对的打“√”，错的打“×”，共5题，每题4分）1、在复数领域，i z e 的周期是2i π。
（ × ）2、柯西一黎曼方程是复变函数可导的充分条件。
（ × ）3、设()f x 的傅里叶变换的像函数是()F ω，则'()f x 的傅里叶变换的像函数是()i F ωω。
（ √ ） 4、在推导均匀弦的微小横振动方程时，如果我们假定弦是柔软的，那么弦中张力必沿弦的切线方向。
（ √ ）5、在波动方程的定解条件中，初始条件只有一个。
（ × ）二、填空题（共5题，每题4分）1、s ()in a ib +的模为22221()s ()c 2b b b b e e in a e e os a --++- 2、在00Z =的领域，函数1z e 的洛朗展开式为：23101111111111!2!3!!kz k e z z z k z ∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 3、s t e in t λω-的拉普拉斯变换函数为()22ωρλω++ 4、若()f x 的傅里叶变换为()F ω，则()f x α的傅里叶变换为1F ωαα⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5、均匀弦的微小横振动的波动方程可写为20tt xx u a u -=三、选择题（共5题，每题4分） 1、关于1()1n f z z =-函数的极点和留数问题，正确的说法是（ 4 ） ⑴ n 阶极点00z =，留数为1。
（2）n 阶极点00z =，留数为1n。
（3）单极点00z =，留数为1n 。
（4）单极点01z =，留数为1n 。
2、回路积分212z z e dz =⎰ 的值为（ 4 ）⑴ π， ⑵ 2i π， ⑶ 2π， ⑷ 0。
3、函数n t 的拉普拉斯变换像函数为（ 4 ）⑴ 11n p +， ⑵ !n p ， ⑶ !n n p ， ⑷ 1!n n p +。
4、拉普拉斯像函数为46(1)p +，则原函数为（ 1 ） ⑴ 3t t e -， ⑵ 3t ， ⑶ t e - ⑷ 3t t e 。
【最新】数学物理方法试卷(全答案)
嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题一、简答题（共70分）1、试阐述解析延拓的含义。
解析延拓的结果是否唯一？（6分）解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。
替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。
无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。
2、奇点分为几类？如何判别？（6分）在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。
判别方法：洛朗级数展开法A，先找出函数f(z)的奇点；B，把函数在的环域作洛朗展开1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点；2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点；3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。
3、何谓定解问题的适定性？（6分）1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。
满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。
4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分）在某区域上处处可导的复变函数称为该区域上的解析函数.1）在区域内处处可导且有任意阶导数.2）()()⎩⎨⎧==21,,CyxvCyxu这两曲线族在区域上正交。
3）()yxu,和()yxv,都满足二维拉普拉斯方程。
(称为共轭调和函数)4）在边界上达最大值。
4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。
波动方程属于其中的双曲线方程。
5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分）()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==-⎰⎰⎰∞∞∞-∞∞-)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x fδδδ6、写出复数231i +的三角形式和指数形式（8分）三角形式：()3sin3cos231cos sin 2321isin cos 222ππϕϕρϕϕρi i i+=++=+=+指数形式：由三角形式得：313πρπϕi ez ===7、求函数2)2)(1(--z z z在奇点的留数（8分）解：奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=21)2)(1()1(lim Re 21)1(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=→z z zz sf z1)1(1lim )2)(1()2(!11limRe 22222)2(\-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=→→z z z z z dz dsf z z8、求回路积分 dz zzz ⎰=13cos （8分）解：)(z f 有三阶奇点z=0（在积分路径内）[]21-cosz lim z cosz !21limRe 033220)0(\==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→z z z dzd sf ∴原积分=i i sf i πππ-=-=)21(2)0(Re 29、计算实变函数定积分dx x x ⎰∞∞-++1142（8分）解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=++=)1(22)1(22)1(22)1(22111)(242i z i z i z i z z z z z f它具有4个单极点：只有z=)1(22i --和z=)1(22i +在上半平面，其留数分别为：ππ2)221221(2I 221)1(22)1(22)1(221lim Re 221)1(22)1(22)1(221lim Re 20))1(22(\20))1(22(\=+=∴=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+==⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=→+→--iii i i z i z i z z sfi i z i z i z z sfz i z i10、求幂级数kk i z k)(11-∑∞= 的收敛半径（8分）111lim111limlim1≤-=+=+==∞→∞→+∞→i z kk k k a a R k k k k k 所以收敛圆为二、计算题（共30分）1、试用分离变数法求解定解问题（14分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===><<=-====0,2/100,000002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u令)()(),(t T x X t x u =，并代入方程得⎪⎩⎪⎨⎧===-0)()(0)()0(0''''2''t T l X t T X T X a XT 移项 λ-==X XT a T ''2'' ⎪⎩⎪⎨⎧===+0)(0)0(0''''l X X X X λ和02''=+T a T λxC x C x X C x C x X eC eC x X x xλλλλλλλsincos)(0)(0)(0212121+=+==+=---时，方程的解为：＞在时，方程的解为：在时，方程的解为：＜在由边界条件0)(0)0(''==l X X ，得：xl n C x X ln n l l C l C l C l X C C X xC x C x X CXx x X ππλπλλλλλλλλλλλλλλλcos)(0sinsincos)(000)0(sincos)(0(00)(01222121'22'21'==→=∴=≠=+-==≠==+===≡（否则方程无解），，时，＞时，时，＜)3,21(sin cos )()(000002''222，得：的方程代人和把=⎪⎩⎪⎨⎧+=+==+==n l at n B l at n A t T tB A t T T a T T ln n n nππλπλλx ln lat n B lat n A t B A t x U n n n πππcos)sincos(),(100+∑++=∴∞=由初始条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∑+-=∑+∞=∞=0cos 21cos 1010x l n l a n B B x x l n A A nn n n πππ把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数得⎰⎰⎰⎰⋅=⋅-==-=ln ln llxdxl n an B xdxln x lA dx lB dxx lA 000cos02cos )21(201)21(1πππ得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=∴-=-=)2(0)12(4)1(cos 22122220k n k n n l A n n l A l A n n πππxl n lat n n ll t x U n πππcoscos)4(21),(221-∑+-=∴∞=2、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题（不必求解）（6分）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===-==∆====0,sin 0),(000b y y a x x u a xB u u y b Ay u u π),(),(),(t x w t x v t x u +=令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====+====0sin 00000by y a x x yy xx v a x B v v v v v ，，π ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-==+====000)(000b y y ax x yyxx w w w y b Ay w w w ，，则，v ，w 都可以分别用分离变量法求解了。
济南大学数学物理方法试题
济南大学2009 ～2010 学年第一学期课程考试试卷（补考卷）课 程 数学物理方法 授课教师 任妙娟 考试时间 2010 年 月 日 考试班级 学 号 姓 名 题号 一 二 三 四 五 六 总 分得分一、 判断题（每小题2分，共20分）[对者画√，错者画×][ ] 1.在复数域内，负数也有对数。
[ ]2.可去奇点的留数一定是零。
[ ]3.复变指数函数ze 是无界的周期函数。
[ ]4.实部和虚部都是调和函数的复变函数一定是解析函数。
[ ]5.定义在区域G 上的函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，若,u v v u x y x y∂∂∂∂==-∂∂∂∂ ，则()f z 是G 上的解析函数。
[ ]6.()n J x 在0x =的值总是零。
[ ]7.格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。
[ ]8.函数2()(0,)f x x l =，因为2x 是偶函数，所以只能开拓为周期性偶函数，展开为Fourier 余弦级数。
[ ]9.只有齐次边界条件才能和相应的方程构成本征值问题。
[ ]10.行波法适用于无界区域的波动方程。
二、选择题(每小题3分，共30分）[ ]1. 复数i 258-2516z =的辐角为A ． arctan 21B ．-arctan 21C ．π-arctan 21D ．π+arctan 21 [ ]2．设z=cosi ，则[ ] A ．Imz=0 B ．Rez=π C ．|z|=0 D ．argz=π [ ]3. 设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分⎰+-c n i z dz 1)(等于 A ． 1 B ．2πi C ．0 D ．i π21 [ ]4. 3z π=是函数f(z)=ππ-3z )3-sin(z 的 A 一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点 [ ]5．方程0u 2=∆-u a t 是 A 波动方程 B ．输运方程 C ．分布方程 D ．以上都不是 [ ]6.可以用分离变量法求解的必要条件是： A 泛定方程和初始条件为齐次 B ．泛定方程和边界条件为齐次C ．边界条件和初始条件为齐次D ．泛定方程、边界条件和初始条件均为齐次 [ ]7. 级数的收敛半径是A . 2 B. k C k 2D. 1[ ]8.本征值问题⎪⎩⎪⎨⎧===+==00'0''l x x X X X X λ 的本征函数是 A . x l n π)21(cos + B. x l n π)21(sin + C x l n πsin D. x l n πcos [ ]9．00=x 是方程02''=+y w y 的 A 常点 B ．正则奇点 C ．非正则奇点 D ．以上都不是得 分 阅卷人得 分 阅卷人…………………………………………装…………………………订…………………………线………………………………………………………答……………题……………不……………要……………超……………过……………此……………线………………[ ]10.一下那种方法不是．．求解定解问题的方法 A 行波法 B ．分离变量法 C ．级数法 D ．格林函数法三、计算题（10分）将函数)3)(2(1)(--=z z z f 在3>z 区域中展为罗朗级数。
数学物理方法期末考试大题
3、 两端固定弦在点 x0 受谐变力 f t f0 sin t 作用而振动，求解振动情况。[提示： 外加力的线密度可表示为 f x, t f 0 sin t x x0 ]
4、 求解细杆导热问题。杆长 l ，初始温度均匀为 u0 ，两端分别保持温度 u1 和 u2 。
3、 求解薄膜的恒定表面浓度扩散问题，薄膜厚度为 l ，杂质从两面进入薄膜。由于薄膜周 围气氛中含有充分的杂质，薄膜表面上的杂质浓度得以保持为恒定的 N 0 ，对于较大的 t 把所得答案简化。
4、 均匀的薄板占据区域 0 x a ， 0 y b 。边界上的温度
u |x 0 0 ， u |x a 0 ， u | y 0 u0 ， lim u 0
y
求解板的稳定温度分布。
三、非齐次方程的分离变数法（15 分） 1、 长为 l 的均匀细杆两端固定，杆上单位长度受有纵向外力 f 0 sin 2 x l cos t ，初始位 移为 sin x l ，初始速度为零，求解杆的纵振动。
2
2、 求解热传导问题
ut a 2u xx A sin t u x |x 0 0, u |x l 0 u | x t 0
一、拉普拉斯变换（8 分） 1、求积分 I t
0
cos tx dx x2 a2
二、齐次方程的分离变数法（15 分） 1、 求解细杆导热问题，杆长 l ，b 为常数， l 2
2、 长为 l 的杆，一端固定，另一端受力 F0 而伸长，求解杆在放手后的振动。
四、球函数（12 分） 1、一空心圆球区域，内半径为 r1 ，外半径为 r2 ，内球面上有恒定电势 u0 ，外球面上电势保 持为 u1 cos 2 ， u0 、 u1 均为常数，试求内外球面之间空心圆球区域的电势分布。
数学物理方法综合试题及答案
复变函数与积分变换综合试题（一）一、单项选择题（本大题共10小题,每小题2分,共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设，则( ）A． B． C． D．2．复数的三角表示式为( ）A． B．C． D．3．设C为正向圆周｜z|=1，则积分等于（）A．0 B．2πi C．2π D．－2π4．设函数,则等于（）A． B． C． D．解答：5．是函数的（)A．3阶极点B．4阶极点C．5阶极点D．6阶极点6．下列映射中,把角形域保角映射成单位圆内部｜w|〈1的为（）A．B． C．D．7. 线性变换（ )A。
将上半平面〉0映射为上半平面Imω>0B。
将上半平面>0映射为单位圆｜ω|<1C.将单位圆｜z｜〈1映射为上半平面Imω>0D。
将单位圆|z｜〈1映射为单位圆|ω｜<18。
若在Z平面上解析，,则=（）A.) B。
C. D.9.在的罗朗展开式是（）A。
B.C。
D.10.=（ )A。
sin9 B.cos9 C。
cos9 D.sin9二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11．方程的解为_________________________。
12．幂极数的收敛半径为________________________。
13．设,则Imz＝______________________。
14．设C为正向圆周｜z|=1，则=___________________________.15．设C为正向圆周，，其中，则=___________________。
16．函数在点z=0处的留数为__________________。
三、计算题（本大题共8小题，共52分)17. 计算积分的值,其中C为正向圆周|z—1｜=3。
18. 函数 (n为正整数)在何处求导？并求其导数19。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()000000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z zz z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】 3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
(完整word版)济南大学大学物理2期末考试试题
济南大学 ～ 学年第一学期课程考试试卷（卷）课 程 大学物理Z （2） 授课教师 考试时间 年 月 日 考试班级 学 号 姓 名一、选择题（每小题3分，共30分）请将答案填入下表！1. 如图所示，在坐标（a ，0）处放置一点电荷+q ，在坐标（-a ，0） 处放置另一点电荷-q 。
P 点是x 轴上一点，坐标为（x ，0）。
当x >>a 时， 该点场强的大小为 ［ ］(A) )4/(0x q πε (B) )2/(30x qa πε(C) )/(30x qa πε (D) )4/(20x qaπε2. 一电场强度为E 的均匀电场，E 的方向沿x 轴正向，如图所示，则通过图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为 ［ ］ (A) 0 (B) E R 2π (C) 2/2E R π(D) E R 22π3. 如图所示，一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为σ，则板的两侧距离均为h 的两点a 、b 之间的电势差为 ［ ］ (A) 02/εσ (B) 0/εσh (C) 0/2εσh(D) 04. 关于静电场中某点电势值的正负，下列说法中正确的是 ［ ］(A) 电势值的正负取决于电势零点的选取(B) 电势值的正负取决于置于该点的试验电荷的正负 (C) 电势值的正负取决于电场力对试验电荷作功的正负 (D) 势值的正负取决于产生电场的电荷的正负5. 一平行板电容器中充满相对介电常量为r ε的各向同性均匀电介质。
已知介质表面极化电荷面密度为'σ±，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为 ［ ］(A) r εσ/'(B) 0'/εσ (C) r εεσ0'/ (D) 0'2/εσ6. 边长为l 的正方形线圈，分别用图示两种方式通以电流I （其中，ab 、cd 与正方形共面），两种情况下，线圈在其中心产生的磁感强度的大小分别为 [ ］ (A) 0,021==B B (B) )/(22,0021l I B B πμ==(C) 0),/(22201==B l I B πμ (D) )/(22),/(220201l I B l I B πμπμ==7. 取一闭合积分回路L ，使三根载流导线穿过它所围成的面。
济南大学 学年第 学期试卷( 卷)
济南大学 学年第 学期试卷( 卷)课程 量子力学 授课教师 考试时间 考试班级 姓名 学号一 填空（每空2分，共30分）1. 在球坐标中，粒子的波函数为),,(ϕθψr ，则在球壳()dr r r +,中找到粒子的概率是_______________；在()ϕθ,方向的立体角Ωd 中找到粒子的概率是____________________。
2. 在动量表象中，位置算符x的本征态是_______________；动量的本征态是___________________。
3. 设粒子处在状态2211ψψψc c +=（设ψ已经归一化），式中1c 和2c 的物理意义是：__________________________________________________________。
4. 粒子在一维无限深势阱中运动，设)0(sin )(a x axA x ≤≤=ψπ，则该波函数的归一化常数为__________________5.在0K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏特，则其德布罗意波长为_____________6. 正常Zeeman 效应是指：___________________________________________7. 三维各向同性谐振子能级N E 的简并度为：_______________________；氢原子能级n E （n 为主量子数）的简并度为：____________________ 8．设有两个全同粒子组成的体系，一个处在1k ϕ态，另一个处在2k ϕ态。
若这两个粒子是Bose 子，则体系对称化的波函数为：_________________________；若这两个粒子是Femi 子，则体系反对称化的波函数为：_________________________________________9．电子的内禀磁矩与自旋之比为：_________；轨道磁矩与轨道角动量之比为：____________。
1济南大学物理学院
1．用复变量表示：（1）上半平面（2）左半平面（3）半圆（包括边界）（4）扇形（不要边界）2．求出以下关系的几何位置：（1）和为复常数（2）（3）（4）3．试证明以下恒等式或关系式，并说明其几何意义：（1）（）（2）（）（3）（）4．求以下复数的实部、虚部、模与辐角主值：（1）（3）（2）（4）5．证明棣摩弗（DeMoivre）公式（）6．计算以下数值（1）（3）（2）（4）7．求解方程：（1）（2）8．设流体在点的流速为，求其大小和方向。
9．验证以下关系成立：（1）么（2）设表关于复数的任一有理运算，那第1篇复变函数论 >> 习题1．求下列复变函数的实部与虚部：（1）（2）2．画出下列关系所表示的点的轨迹的图形并确定它是不是区域：（1）且（2）（3）且（4）3．函数将平面的下列曲线变成平面上的什么曲线？（1）（2）（3）（4）4．证明：（1）复平面上的直线方程可以写成（复常数，实数）（）（2）复平面上的圆周可以写（）5．证明在原点不连续。
第1篇复变函数论 >> 习题1．试推导极坐标形式下的条件：（）2．讨论下列函数的可微性和解析性。
（1）（2）（3）（4）3．若函数在区域上解析并满足下列条件之一，证明必为常数（1）（2）在上解析（3） =常数（4） =常数4．已知解析函数的实部或虚部，求解析函数：（1）（2）（3）（4）5．已知一平面静电场的电力线族是与实轴相切于原点的圆族，求等势线族，并求此电场的复势。
6．已知一平面静电场的电力线族是抛物线族，求等势线族，并求此电场的复势。
7．能否成为的一个解析函数的实部？为什么？8．证明：如果和在点解析，，则。
即，对于解析函数而言，实函数中的洛必达（LˊHospital）法则仍成立。
第1篇复变函数论 >> 习题1．证明（）~（）、（）~（）、（）~（）式。
2．试证：（1）（）（2）（）（3）（）3．若，试证（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）4．求证：（）5．若，则称为的反正弦函数，并记作 Arcsinz，类似的也可建立反余弦、反正切、反余切函数的概念，试讨论以上反三角函数的多值性。
数学物理方法考试模拟试题
济南大学2007-2008学年二学期考试试卷（B 卷）课程 数学物理方法 授课教师 任妙娟 考试时间 考试班级 姓名 学号一选择题（40分）1．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（ ）A ． 圆B ．直线C ．椭圆D ．双曲线 2. α是复平面上闭合曲线l 内的一点，则积分⎰-lz dz α的值是( )A.i π21B. i π2C. 0D. π2 3．解析函数 （ ）A. 在解析区域内任意闭和路径积分可能为0.;B. 在解析区域内处处不可导C.在解析区域内有些点可导,有些点不可导;D. 在解析区域内处处可导4. 幂级数∑=+-=02)1()1(k k k z k z f ）（的收敛半径是( ) A ． -1 B. 2 C. 1 D. )1(+k5．ii 的数值为( )A ． ππn e22--B. ππn e2-- C. ππn e 22- D. ππn e2-6. 在复平面上，下列关于正弦函数cosz 的命题中，错误．．的是（ ） A.cosz 是周期函数 B.cosz 是解析函数 C.|cosz|1≤D.z z sin )(cos -='7．长为L 的一维区域有边界条件f(0)’=f(L)’=0 把函数f(x) 展为傅里叶级数为（ ）8．关于柯西定理说法错误．．的是（ ） A ．闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为0。
B. 闭复通区域上的解析函数沿所有境界线正方向积分为0。
C. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。
D. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线顺时针方向积分之和。
9. ln (1)-=( )A. ()π12+k iB. ()π12+-k iC. πk i 2D. πk i 2-10. 当1z <时，函数 )1(1)(-=z z z f 可以展开为以0z =为中心的级数（ ）()∑∞==0.n n z z f A ()∑∞=-=0.n nz z f B ()∑∞-==1.n nz z f C ()∑∞-=-=1.n nz z f D二（10分）已知一个解析函数)(z f 的实部是y xsin e u =,求该解析函数。
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济南大学2009 ～2010 学年第一学期课程考试试卷（补考卷）
课 程 数学物理方法 授课教师 任妙娟 考试时间 2010 年 月 日 考试班级 学 号 姓 名 题号 一 二 三 四 五 六 总 分
得分
一、 判断题（每小题2分，共20分）
[对者画√，错者画×]
[ ] 1.在复数域内，负数也有对数。
[ ]2.可去奇点的留数一定是零。
[ ]3.复变指数函数z
e 是无界的周期函数。
[ ]4.实部和虚部都是调和函数的复变函数一定是解析函数。
[ ]5.定义在区域G 上的函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，若
,u v v u x y x y
∂∂∂∂==-∂∂∂∂ ，则()f z 是G 上的解析函数。
[ ]6.()n J x 在0x =的值总是零。
[ ]7.格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。
[ ]8.函数2
()(0,)f x x l =，因为2x 是偶函数，所以只能开拓为周期性偶函数，
展开为Fourier 余弦级数。
[ ]9.只有齐次边界条件才能和相应的方程构成本征值问题。
[ ]10.行波法适用于无界区域的波动方程。
二、选择题(每小题3分，共30分）
[ ]1. 复数i 25
8-2516z =的辐角为
A ． arctan 21
B ．-arctan 21
C ．π-arctan 21
D ．π+arctan 21 [ ]2．设z=cosi ，则[ ] A ．Imz=0 B ．Rez=π C ．|z|=0 D ．argz=π [ ]3. 设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分⎰
+-c n i z dz 1)(等于 A ． 1 B ．2πi C ．0 D ．i π21 [ ]4. 3z π=是函数f(z)=
π
π-3z )3-sin(z 的 A 一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点 [ ]5．方程0u 2=∆-u a t 是 A 波动方程 B ．输运方程 C ．分布方程 D ．以上都不是 [ ]6.可以用分离变量法求解的必要条件是： A 泛定方程和初始条件为齐次 B ．泛定方程和边界条件为齐次
C ．边界条件和初始条件为齐次
D ．泛定方程、边界条件和初始条件均为齐次 [ ]7. 级数的收敛半径是
A . 2 B. k C k 2
D. 1
[ ]8.本征值问题⎪⎩
⎪
⎨⎧===+==00'
0'
'l x x X X X X λ 的本征函数是 A . x l n π)21(cos + B. x l n π)21(sin + C x l n πsin D. x l n πcos [ ]9．00=x 是方程02
''=+y w y 的 A 常点 B ．正则奇点 C ．非正则奇点 D ．以上都不是
得 分 阅卷人
得 分 阅卷人
…………………………………………装…………………………订…………………………线…………………………………………
……
…
…
…
答
………
……
题…
…
…
…
…不……
…
……
要
…………
…
超
……
…
……过……………
此…………
…线…
…
……
……
[ ]10.一下那种方法不是．．
求解定解问题的方法 A 行波法 B ．分离变量法 C ．级数法 D ．格林函数法
三、计算题（10分）
将函数)
3)(2(1
)(--=
z z z f 在3>z 区域中展为罗朗级数。
四、综合题（20分）
一均匀细杆长为l ，两端保持温度为零,初始温度为x l
b u
t 2
=
=,求杆
内温度变化情况.
五、综合题（20分）
半径为r 0的介质球内没有电荷，球面上电势为u 0sin 2θcos φsin φ，u 0为常数，确定球内空间的电势。
…………………………………………装…………………………订…………………………线…………………………………………
……………答……………题……………不……………要……………超……………过……………此……………线………………。