平行线的判定和性质拔高训练题讲解学习

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平行线的判定和性质证明题基础+提高(含答案)

10.∵AB∥CD，PE∥AB∴PE∥AB∥CD∴∠A+∠APE=180°∠C+∠CPE=180°∵∠PAB=130°∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°
（1）；过点P作，
又因为，所以，
则，，
所以；
（2）情况1：如图所示，当点P在B、O两点之间时，
∵AB∥CD
∴PM∥CD
∴∠2+∠PFD＝180°
∵∠PFD＝130°
∴∠2＝180°﹣130°＝50°
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°
即∠EPF＝90°
[探究]如图②AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．
[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，则∠G的度数是°
（3）如图3，若MR平分∠BMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由．
参考答案（基础）
1. ∠ABC；角平分线的定义； ∠BCD；∠ABC+∠BCD；180°；两直线平行，同旁内角互补．
2. ，同旁内角互补，两直线平行，∠1，两直线平行，内错角相等，∠CBG，同位角相等，两直线平行。
3.证明：∵∠E=∠F∴AE∥CF∴∠A=∠ABF∵∠A=∠C∴∠ABF=∠C∴AB∥CD．
∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°
如图③所示，
∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线
∴∠AEG＝ AEP＝25°，∠GFC＝ PFC＝60°
过点G作GM∥AB∴∠MGE＝∠AEG＝25°∵AB∥CD（已知）∴GM∥CD∴∠GFC＝∠MGF＝60°∴∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°

专题01 平行线的判定和性质(解析版)

2022-2023学年浙教版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题01 平行线的判定和性质一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•沙坪坝区期末）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝113°，则∠2的度数为（）A．23°B．67°C．77°D．113°解：∵AB∥CD，∴∠CFE＝∠1＝113°，∠2＝180°﹣∠CFE＝180°﹣113°＝67°，故选：B．2．（2分）（2023春•九龙坡区校级月考）将一块三角板和一块直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°解：如图，∵∠3＝∠1，∴∠2＝∠A+∠3＝140°．故选：D．3．（2分）（2022秋•青云谱区校级期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（）A．57°B．58°C．59°D．60°解：∵长方形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，在△EFM中，∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，故选：B．4．（2分）（2022春•殷都区校级月考）如图，AB∥CD，则图中α，β，γ三者之间的关系是（）A．α+β+γ＝180°B．α﹣β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝180°D．α+β+γ＝360°解：如图，延长AE交直线CD于F，∵AB∥CD，∴∠α+∠AFD＝180°，∵∠AFD＝∠β﹣∠γ，∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°，故选：C．5．（2分）（2022•绿园区校级模拟）如图，已知锐角∠AOB，按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；②分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M．N；③连MN，OM．则下列结论错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝30°C．MN∥CD D．MN＜3CD解：连接ON，MD，由作法得CM＝CD＝DN，∴∠COM＝∠COD，所以A选项正确；∵OM＝ON，∴当OM＝MN时，△OMN为等边三角形，∴∠MON＝60°，∵∠AOB＝∠MOA＝∠NOB＝×60°＝20°，所以B选项错误；∵，∴∠MDC＝∠DMN，∴MN∥CD，所以C选项正确；∵CM+CD+DN＞MN，∴3CD＞MN，所以D选项正确．故选：B．6．（2分）（2019秋•淮阴区期末）如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，∴∠EFC+∠EFC'＝200°，∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，故选：A．7．（2分）（2021春•奉化区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH ＝100°，则∠BEG的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，在△AEF中，80°+2α+180﹣2β＝180°故β﹣α＝40°，而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，故选：B．8．（2分）（2022•博望区校级一模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠2＝76°，则∠3的度数为（）A．104°B．128°C．138°D．156°解：如图：∵AB∥CD，∠1＝24°，∴∠A＝∠1＝24°，∵∠2＝76°，∠2+∠4＝180°，∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣76°＝104°，∴∠3＝∠4+∠A＝104°+24°＝128°．故选：B．9．（2分）（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2＝180°+∠3C．∠1+∠3＝180°+∠2D．∠2+∠3＝180°+∠1解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．10．（2分）（2022春•青秀区校级期中）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（）①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；③如图（2）中，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝∠CDF，则∠M＝（）°．A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④解：∵AB∥CD，∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，∴∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG＝360°，即∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，①正确，∵∠BED＝80°，∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝140°，②正确，与上同理，∠BMD＝∠ABM+∠CDM＝（∠ABF+∠CDF），∴6∠BMD＝2（∠ABF+∠CDF）＝∠ABE+∠CDE，∴6∠BMD+∠E＝360°，③正确，由题意，④不一定正确，∴①②③正确，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•朝阳区校级期末）如图，已知AC∥BD，∠CAE＝30°，∠DBE＝35°，则∠AEB等于　65°　．解：过点E作EF∥AC，∵AC∥BD，∴AC∥EF∥BD，∴∠AEF＝∠CAE＝30°，∠BEF＝∠DBE＝35°，∴∠AEB＝∠AEF+∠BEF＝65°．故答案为：65°．12．（2分）（2022秋•宛城区校级期末）如图，把一个长方形纸片沿OG折叠后，C，D两点分别落在C'，D'两点处，若∠AOD'：∠D'OG＝4：3，则∠BGO＝　54　度．解：∵∠AOD'：∠D'OG＝4：3，设∠AOD'＝4x，则∠D'OG＝3x，由翻折可知∠DOG＝∠D'OG＝3x∵∠AOD'+∠D'OG+∠DOG＝180°，即10x＝180°，解得x＝18°，∵AD∥BC，∴∠BGO＝∠DOG＝3x＝54°，故答案为：54．13．（2分）（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，直线GH分别与直线AB，CD相交于点G，H，且AB∥CD．点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，射线GH是∠AGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠BGM，∠M＝∠N+∠HGN，则∠MHG的度数为　45°　．解：过M作MF∥AB，过H作HE∥GN，如图：设∠BGM＝2α，∠MHD＝β，则∠N＝∠BGM＝2α，∴∠AGM＝180°﹣2α，∵GH平分∠AGM，∴∠MGH＝∠AGM＝90°﹣α，∴∠BGH＝∠BGM+∠MGH＝90°+α，∵AB∥CD，∴MF∥AB∥CD，∴∠M＝∠GMF+∠FMH＝∠BGM+∠MHD＝2α+β，∵∠M＝∠N+∠HGN，∴2α+β＝×2α+∠HGN，∴∠HGN＝β﹣α，∵HE∥CN，∴∠GHE＝∠HGN＝β﹣α，∠EHM＝∠N＝2α，∴∠GHD＝∠GHE+∠EHM+∠MHD＝（β﹣α）+2α+β＝2β+α，∵AB∥CD，∴∠BGH+∠GHD＝180°，∴（90°+α）+（2β+α）＝180°，∴α+β＝45°，∴∠MHG＝∠GHE+∠EHM＝（β﹣α）+2α＝α+β＝45°，故答案为：45°．14．（2分）（2022•苏州模拟）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1＝50°，则∠FGE＝　80　°．解：由折叠得∠GEF＝∠DEF，∵AD∥BC∴∠DEF＝∠1∴∠GEF＝∠1∵∠FGE+2∠1＝180°，∴∠FGE＝180°﹣2×50°＝80°，故答案为：80．15．（2分）（2022春•大荔县校级月考）如图，在三角形ABC中，点D、E分别在AB、BC上，连接DE，且DE∥AC，∠1＝∠2，若∠B＝50°，则∠BAF的度数为　130°　．解：∵DE∥AC，∴∠2＝∠C，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠C，∴AF∥BC，∴∠B+∠BAF＝180°，∵∠B＝50°，∴∠BAF＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130°．16．（2分）（2022秋•新会区校级期末）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝　155　度．解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，∴∠A′EF＝∠AEF．∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，∴∠A′ED＝∠A″ED．∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，∴∠A′ED＝105°+∠DEF．∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．∴∠DEF＝25°．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝25°．∴∠CFE＝180°﹣∠EFB＝180°﹣25°＝155°．故答案为：155．17．（2分）（2022春•思明区校级期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠1＝50°，则∠FEH＝　15　°．解：由折叠可知：∠BFE＝∠B'FE，∠AEF＝∠A'EF，∠A'EG＝∠HEG，∵∠1+∠BFE+∠B'FE＝180°，∠1＝50°，∴∠BFE＝65°，∵AD∥BC，∴∠AEF+∠BFE＝180°，∴∠AEF＝115°，∴∠A'EF＝115°，过B'作B'M∥AD，则∠DGB'＝∠GB'M，∵AD∥BC，∴∠MB'F＝∠1，∴∠1+∠DGB'＝∠GB'F＝90°，∴∠DGB'＝90°﹣50°＝40°，∴∠A'GE＝∠DGB'＝40°，∵∠A'＝90°，∴∠HEG＝∠A'EG＝90°﹣40°＝50°，∴∠A'EH＝2×50°＝100°，∴∠FEH＝∠A'EF﹣∠A'EH＝115°﹣100°＝15°．故答案为：15．18．（2分）（2021秋•南岗区校级期中）如图，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，AB∥CD，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，交MN于点Q，∠HPQ：∠QFP＝3：2，则∠EHG＝　30°　．解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠EFD，∴∠PEF+∠PFE＝（∠BEF+∠EFD）＝90°，∵∠EPF＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝90°，∵GH⊥EG，∴∠EGH＝∠EPF＝90°，∴FP∥HG，∴∠FPH＝∠PHK，∠QFP＝∠EHG，设∠PHK＝x°，则∠FPH＝∠HPK＝∠PHK＝x°，∠FPK＝∠FPH+∠HPK＝2x°，∴∠EPK＝∠EPF+∠FPK＝90°+2x°，∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK＝∠EPK＝（90°+2x°）＝45°+x°，∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°，∵∠HPQ：∠QFP＝3：2，∴∠QFP＝30°，∴∠EHG＝∠QFP＝30°；故答案为：30°．19．（2分）（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，∠ACD＝60°，∠BAE：∠CAE＝2：3，∠FCD＝4∠FCE，若∠AEC＝78°，则∠AFC＝　88°　．解：∵AB∥CD，∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣60°＝120°，∵∠BAE：∠CAE＝2：3，∴∠CAE＝120×＝72°，∵∠AEC＝78°，∴∠ACE＝180°﹣∠AEC﹣∠CAE＝180°﹣78°﹣72°＝30°，设∠FCE＝x，则∠FCD＝4x，∴∠ACF＝∠ACD﹣∠FCD＝60°﹣4x，∴∠ACE＝∠ACF+∠ECF＝60°﹣3x，∴60°﹣3x＝30°，∴x＝10°，∴∠ACF＝60°﹣40°＝20°，∴∠AFC＝180°﹣∠ACF﹣∠CAE＝180°﹣20°﹣72°＝88°，故答案是：88°．20．（2分）（2021春•东港区校级期末）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C'EF＝32°；②∠AEC＝148°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°．正确的有　3　个．解：∵AC′∥BD′，∴∠C′EF＝∠EFB＝32°，所以①正确；∵∠C′EF＝∠FEC，∴∠C′EC＝2×32°＝64°，∴∠AEC＝180°﹣64°＝116°，所以②错误；∴∠BFD＝∠EFD′﹣∠BFE＝180°﹣2∠EFB＝180°﹣64°＝116°，所以④正确；∵∠BGE＝∠C′EC＝2×32°＝64°，所以③正确．故答案为3．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•长安区校级期末）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2＝90°，且∠2：∠3＝2：5．（1）求∠BOF的度数；（2）试说明AB∥CD的理由．解：（1）∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，∴，，∵∠COE+∠DOE＝180°，∴∠2+∠AOC＝90°，∵∠COE＝∠3，∴，∴，∵∠2：∠3＝2：5，∴，∴，∴∠2＝40°，∴∠3＝100°，∴∠BOF＝∠2+∠3＝140°；（2）∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠AOC＝90°，∴∠1＝∠AOC，∴AB∥CD．22．（6分）（2022秋•市北区校级期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．（1）试猜想AB与CE之间有怎样的位置关系？并说明理由．（2）若CA平分∠BCE，∠B＝50°，求∠A的度数．解：（1）AB∥CE，∵∠1+∠2＝180°（已知），∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行），∴∠ADF＝∠B（两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠E（已知），∴∠ADF＝∠E（等量代换），∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行）．（2）∵AB∥CE，∴∠B+∠BCE＝180°，∵∠B＝50°，∴∠BCE＝130°，∵CA平分∠BCE，∴∠ACE＝＝65°，∵AB∥CE，∴∠A＝∠ACE＝65°．23．（6分）（2022秋•荆门期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，G是BA延长线上一点，AH平分∠GAC．且AH∥BC，E是AC上一点，连接BE并延长交AH于点F．（1）求证：AB＝AC；（2）猜想并证明，当E在AC何处时，AF＝2BD．（1）证明：∵AH平分∠GAC，∴∠GAF＝∠FAC，∵AH∥BC，∴∠GAF＝∠ABC，∠FAC＝∠C，∴∠ABC＝∠C，∴AB＝AC．（2）解：当AE＝EC时，AF＝2BD．理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠C，∵∠AEF＝∠CEB，AE＝EC，∴△AEF≌△CEB（ASA），∴AF＝BC＝2BD．24．（10分）（2022秋•南关区校级期末）已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，∠ABC＝88°．（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：　∠A+∠C＝88°　．（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为　46°　．解：（1））过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE．∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN．∴∠C＝∠CBE．∵∠ABC＝88°．∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝88°．故答案为：∠A+∠C＝88°；（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝92°．理由：过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE．∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN．∴∠C+∠CBE＝180°．∴∠CBE＝180°﹣∠C．∵∠ABC＝88°．∴∠ABE+∠CBE＝88°．∴∠A+180°﹣∠C＝88°．∴∠C﹣∠A＝92°．（3）设CH与AB交于点F，如图，∵AE平分∠MAB，∴∠GAF＝∠MAB．∵CH平分∠NCB，∴∠BCF＝∠BCN．∵∠B＝88°，∴∠BFC＝88°﹣∠BCF．∵∠AFG＝∠BFC，∴∠AFG＝88°﹣∠BCF．∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，∴∠AGH＝（∠BCN﹣∠MAB）．由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝92°，∴∠AGH＝×92°＝46°．故答案为：46°．25．（10分）（2022春•铜梁区校级月考）课题学习：平行线的“等角转化”功能．（1）阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥BC，∴∠B＝　∠EAB　，∠C＝　∠DAC　，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．（2）方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；（3）深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝36°，求∠BED的度数．②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝n°，求∠BED度数．（用含n的代数式表示）解：（1）∵ED∥BC，∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）；故答案为：∠EAB；∠DAC；（2）过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠D+∠FCD＝180°，∵CF∥AB，∴∠B+∠FCB＝180°，∴∠B+∠FCB+∠FCD+∠D＝360°，∴∠B+∠BCD+∠D＝360°；（3）①过E作EG∥AB，∵AB∥DC，∴EG∥CD，∴∠GED＝∠EDC，∵DE平分∠ADC，∴，∴∠GED＝25°，∵BE平分∠ABC，∴，∵GE∥AB，∴∠BEG＝∠ABE＝18°，∴∠BED＝∠GED+∠BEG＝25°+18°＝43°；②过E作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠PED＝∠EDC＝25°，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝n°，∴，∵AB∥PE，∴∠ABE+∠PEB＝180°，∴，∴．26．（10分）（2022春•铁东区校级月考）如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AF恰好经过点G，且B，G，C在一条直线上，若AF∥DE，∠B＝∠C+9°，∠D＝∠E＝105°．（1）求∠F的度数．（2）计算∠B﹣∠CGF的度数是　115°　．（3）连接AD，当∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD．并说明理由，解：（1）∵AF∥DE，∴∠F+∠E＝180°，∴∠F＝180°﹣105°＝75°；（2）延长DC交AF于K，可得：∠B﹣∠CGF＝∠C+10°﹣∠CGF＝∠GKC+10°＝∠D+9°＝114°，故答案为：114°；（3）当∠ADE+∠CGF＝180°时，BC∥AD，∵AF∥DE，∴∠GAD+∠ADE＝180°，∠ADE+∠CGF＝180°，∴∠GAD＝∠CGF，∴BC∥AD．27．（12分）（2022春•江汉区校级月考）如图1，直线l分别交直线AB、CD于点EF（点在点F的右侧）．若∠1+∠2＝180°．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，点H在直线AB、CD之间，过点H作HG⊥AB于点G，若FH平分∠EFD，∠2＝120°，求∠FHG的度数．（3）如图3，直线MN与直线AB、CD分别交于点M、N，若∠EMN＝120°，点P为线段EF上一动点，Q 为直线CD上一动点，请直接写出∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系．（题中的角均指大于0°且小于180°的角）（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠DFE＝180°，∴∠1＝∠DFE（同角的补角相等），∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；（2）解：如图所示，过点H作HP∥AB，则HP∥AB∥CD，∵GH∥AB，即∠EGH＝90°，∴∠PHG＝180°﹣∠EGH＝90°，∵∠2＝120°，∴∠EFD＝180°﹣∠2＝60°，∵FH平分∠EFD，∴∠HFD＝30°，∵PH∥CD，∴∠PHF＝∠HFD＝30°，∴∠FHG＝∠PHF+∠PHG＝120°；（3）解：如图3﹣1，当点Q在线段FN上时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF＝∠HPQ，∴∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝∠MPQ﹣∠HPQ+∠PMN＝∠MPH+∠PMN＝∠EMP+∠PMN＝∠EMN＝120°；如图3﹣2，当点Q在FN的延长线上时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF＝∠HPQ，∴∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝∠MPQ+∠PMN﹣∠HPQ＝∠MPH+∠PMN＝∠EMP+∠PMN＝∠EMN＝120°；如图3﹣3（1），当点Q在NF的延长线上且点Q在直线MP的右侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF+∠HPQ＝180°，∴∠MPQ+∠PMN+∠PQF＝∠MPQ+180°﹣∠HPQ+∠PMN＝∠MPH+∠PMN+180°＝∠EMP+∠PMN+180°＝∠EMN+180°＝300°；如图3﹣3（2），当点Q在NF的延长线上且点Q在直线MP的右侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，∴∠EMP+∠MPH＝180°，∠PQF＝∠HPQ，∴∠MPQ﹣∠PMN﹣∠PQF＝∠MPQ﹣∠PMN﹣∠HPQ＝∠MPH﹣∠PMN＝180°﹣∠EMP﹣∠PMN＝180°﹣∠EMN＝60°；综上，∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系为：∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝120°或∠MPQ+∠PMN+∠PQF＝300°或∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝60°。

平行线的判定及性质例题及练习

平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。

4-平行线的判定和性质综合提高(1)

知识总结归纳一. 同位角、内错角、同旁内角（1）这三种角讲的只是位置关系，而不是大小关系（2）这三种角都是两条直线被第三条直线所截的情况下，不共点的成对出现的两个角之间的位置关系，并不是任何情况下都可以提及它们（3）三线八角：两条直线被第三条直线所截形成的八个角中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．二. 平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行三. 平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行四. 两直线平行的性质和判定（1）同位角相等两直线平行（2）内错角相等两直线平行（3）两直线平行五. 其它判定方法：垂直于同一条直线的两直线平行典型例题一. 基本概念【例1】如图，试判断1∠与2∠，1∠与7∠，1∠与BAD ∠，2∠与9∠，2∠与6∠，5∠与8∠各对角的位置关系．【例2】如图，已知//////AB CD EF GH ，//AE DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上，设与α∠相等的角的个CEA DF12 3456 7 8 9BA HGFD EB C【例3】如图，////AD EG BC ，//AC EF ，则图中与1∠相等的角（不含1∠）有多少个？若150∠=o ，求A H G∠的度数．【例4】如图，FAD ∠，DAC ∠，CAB ∠，BCA ∠，ACE ∠和B ∠中，同位角有____________，内错角有______________，同旁内角有______________．二. 基础训练【例5】如图，已知//AB CD ，且40B ∠=o ,70D ∠=o ，求DEB ∠的度数．【例6】如图所示，//AE BD ，132∠=∠，225∠=o ，求C ∠．BCADFEA CEDB2 1AEDCB1HGED CB A F【例7】如图，已知//AE BD ，1130∠=o ，230∠=o ，求C ∠的度数．【例8】如图，长方形ABCD 的顶点B 在直线m 上，求α∠的度数．【例9】如图，已知////FC AB DE ，::2:3:4D B α∠∠=，求α、D ∠、B ∠的度数．【例10】如图，已知12BFM ∠=∠+∠，求证：//AB CD ．DCB EA21 lmCBDADBCC FEC DBA GME 1 2 F【例11】如图，直线AB 与CD 平行，EF 平分BFG ∠，EG 平分DGF ∠，求证：90E ∠=o ．【例12】如图，已知CB AB ⊥，CE 平分BCD ∠，DE 平分CDA ∠，90EDC ECD ∠+∠=o ，求证：DA AB ⊥．三. 探索与证明【例13】（1）如图所示，若12//AA BA ，求证：121A A B ∠+∠=∠．（2）如图所示，若121A A B ∠+∠=∠，求证：12//AA BA ．【例14】已知：如图，////AB EF CD ，EG 平分BEF ∠，192B BED D ∠∠+∠=o ＋，24B D ∠-∠=o ，求GEF∠的度数．ABA B EC DGFGDCB AEFEDCBA【例16】如图，//AB EF ，90C ∠=o ，试探究B D E ∠∠∠、、之间的数量关系．【例17】如图，直线//l m ，将含有45o 角的三角板ABC 的直角顶点C 放在直线m 上，若125∠=o ，求2∠的度数．【例18】如图，已知CD AB //，BF 平分ABE ∠，且//BF DE ，则ABE ∠和D ∠有什么关系？【例19】已知：如图，//AB CD ，求证：B D F E G ∠+∠+∠=∠+∠．AGFEBCBA12A BC DFEADBCEFA EDCB【例20】如图，两直线AB ，CD 平行，求123456∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数．思维飞跃【例21】如图所示．已知CD 平分ACB ∠，且//DE AC ，//CD EF ．求证：EF 平分DEB ∠．【例22】如图，E 是DF 上一点，B 是AC 上一点，12∠=∠，C D ∠=∠，求证：A F ∠=∠【例23】如图，180ABE DEB ∠+∠=o ，12∠=∠，求证：F G ∠=∠E FGHABCD123 4 56ACBF23 DE 1GABC 1 2DEFOAFDECB【例24】如图，已知//AB CD ，14EAF EAB ∠=∠，14ECF ECD ∠=∠．求证：34AFC AEC ∠=∠．【例25】如图，直线//AB CD ，30EFA ∠=o ，ο90=∠FGH ，30HMN ∠=o ，50CNP ∠=o ，求GNM ∠的大小．作业ABCD 是长方形，且174∠=o ，求2∠的度数．2. 如图，D 、G 是ABC ∆边上的任意两点，//DE BC ，//GH DC ，则图中相等的角共有多少对？ABHGEDCA BC DFEHP ABCDEFGMN2 13. 如图，直线AB 与CD 平行，1(370)x ∠=+o ,2(522)x ∠=+o ，求3∠．4. 如图，已知//AB CD ，求A C AEC ∠+∠+∠的度数．5. 如图，//AB CD ，120ABE ∠=o ，35DCE ∠=o ，求BEC ∠的度数．6. 已知：如图，//DE AB ，求证：AED A B ∠=∠+∠7. 如图，//CD BE ，则231∠+∠-∠的度数等于多少？DCEB A1 32DCBADCEBA AC BD E EB DCA 2 13图1FE DC BA1、如图, AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：①∠BOE＝70°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF。

平行线的判定与性质(习题课)讲解学习

D
探究2、如图甲：已知AB∥DE,那么∠1+∠2+∠3等于多少度？试加以说明。当已知条件不变，而图形变为如图乙时，结论改变了吗？图丙中的 ∠1+∠2+∠3+∠4是多少度呢？如果如丁图所示，∠1+∠2+∠3+…+∠n的和又为多• 少度？你找到了什么规律吗？
1
2 3
1 2
3
1
2
3 4
1 2
3 4
n
求证： CD∥EF.
• 课堂练习6、已知：如图∠1=∠2， ∠3=∠4，∠5=∠6，求证：EC∥FB
• 问题5、如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠E=37°，求： ∠F。
A
B 问题探究已知：AB∥CD，
1
E
2
C A
1
求证：∠A+ ∠ C+ ∠ AEC=
360°
F
证明：过E点作EF ∥ AB，则∠A+ ∠ 1= 180°
Z 形模式
next
应用模式
如图,若AB∥DF,∠2＝∠A,试确定DE与AC的位置关系,并说明理由.
A
E
F
2
B
D
C
引入
建模
应用
小结
next
应用模式
如图,图中包含哪些基本模式?
A E D
B F O C
引入
建模
应用
小结
next
应用模式
已知,如图AB∥EF∥CD,AC∥BD,BC平分∠ABC,则图中与∠EOD相等的角有( )个.
图形
同a 位角b
1 2 c
内错
a3
角b
2
c

中考数学总复习训练平行线的判定与性质(含解析)(2021-2022学年)

平行线的判定与性质1．如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠ＣAB互余的角有个．2．如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、ＧＨ相交,图中的同旁内角共有（)Ａ.4对B．8对Ｃ.12对ﻩ D.１6对3．如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°,∠ＣDE=30°,∠Ｅ=１0°求证：AＢ∥EF．4.如图,在△ABC中，CE⊥AＢ于E，DF⊥AB于F，AC∥ＥＤ，CE是∠ACＢ的平分线,试比较∠EDF与∠ＢDF的大小,并说明理由．5．探究：(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠Ｄ=∠E，你能说明为什么吗？（２）反之,若∠Ｂ+∠D＝∠E,直线AB与CD有什么位置关系？请证明;ﻬ(3）若将点E移至图ｂ所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(４）若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(5)在图d中,AB∥ＣD，∠E＋∠G与∠B+∠Ｆ＋∠D又有何关系?(６)在图e中，若ＡB∥CＤ，又得到什么结论?6．如图所示,已知ＡB∥CＤ,EＦ交AB于M交ＣD于Ｆ，MN⊥EF于M,MＮ交ＣD于N,若∠BＭＥ=110°，则∠MND=．7．如图,若直线ａ,b分别与直线ｃ,ｄ相交,且∠1+∠3=90°，∠2﹣∠３=90°,∠4=11５°，那么∠3=.8．如图,已知AB∥CD，∠１=10０°，∠2＝1２０°，则∠α=度.9．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°,那么另一角是度.ﻬ10．如图，下列条件中,不能判断直线l1∥l2的是( )Ａ．∠1=∠3ﻩ B.∠2＝∠３ﻩ C.∠4=∠5D．∠2+∠4=180°11.已知线段ＡB＝10cm,点Ａ,B到直线l的距离分别为６ｃm,4ｃm.符合条件的直线l有（ )A．1条ﻩＢ．2条 C.3条D．4条1２．已知:如图所示,直线a，ｂ都与直线c相交,给出下列条件:①∠1＝∠２；②∠3＝∠6;③∠4+∠7＝180°;④∠5+∠8＝18０°.其中能判定a∥b的是()Ａ．①③ﻩB．②④C．①③④ﻩD．①②③④１3.如图所示，AB∥EF∥DC，EG∥DＢ,则图中与∠1相等的角（∠1除外)共有（）A.6个ﻩＢ．5个 C.４个ﻩD．2个14．如图所示，已知∠1+∠2=１80°，∠3=∠B,试判断∠ＡEＤ与∠C的大小关系，并对结论进行说理．１5.如图，已知∠１十∠２=１80°,∠A=∠C,AD平分∠BDF.求证：ＢC平分∠ＤBE.１６．在同一平面内有2０02条直线a１，a2，…,a20０2,如果a1⊥ａ2，a2∥ａ3，ａ3⊥ａ4，ａ4∥a5,…,那么a１与ａ2002的位置关系是．17．若平面上4条直线两两相交且无三线共点,则共有同旁内角对．18．如图,已知l1∥l2，AB⊥l１，∠ABC＝130°,则∠α＝ .19．如图，直线ＡB∥ＣD,∠EFＡ=3０°,∠FGH=90°，∠ＨMN=30°，∠CＮＰ=5０°，则∠GＨM的大小是.２０.如图,D、G是△ABC中ＡB边上的任意两点,DE∥ＢC，GＨ∥ＤC,则图中相等的角共有（ )A．4对ﻩ B.5对ﻩC．6对 D.７对21．如图，若AＢ∥CD,则( )A．∠1＝∠2+∠3B．∠1=∠3﹣∠2C.∠1+∠2+∠３=180°ﻩD．∠l﹣∠２+∠３=180°2２.如图：已知AＢ∥CＤ∥EF,ＥH⊥ＣD于H,则∠ＢAＣ＋∠ACE+∠ＣEH等于()A.18０°Ｂ．27０°ﻩ C.3６0°ﻩ D.4５0°23．如图,AB∥EF,∠C=90°,则α、β和γ的关系是（ )Ａ.β＝α+γB．α+β+γ=18０°Ｃ．α+β﹣γ=９0°Ｄ.β+γ﹣α=１80°24.如图，已知AB∥ＣD,P为ＨD上任意一点,过P点的直线交ＨF于O点,试问:∠HＯP、∠AGF、∠ＨPO有怎样的关系?用式子表示并证明．２5.如图,AB∥ED,α＝∠A+∠Ｅ,β＝∠B+∠Ｃ＋∠D．证明：β=2α２6.平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点.(1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；(２)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个)；（3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形,其中n分别为６,２１，15?（4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？２７.如图，直线CB∥OA，∠C=∠BAO=120°，Ｅ、Ｆ在ＣB上,且满足∠FＯB=∠ＡOB,ＯE平分∠COF．(1)求∠EOB的度数;(２）若平行移动AＢ，那么∠ＯBC：∠OFC的值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律或求出变化范围；若不变,求出这个比值；(３）在平行移动ＡB的过程中，是否存在某种情况，使∠ＯＥＣ=∠OBＡ？若存在，求出其度数;若不存在，说明理由．平行线的判定与性质参考答案与试题解析1．如图,ＡB∥CD,AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有 3 个.【考点】平行线的性质;余角和补角．【分析】本题考查互余的概念,和为90度的两个角互为余角，结合图形和平行线的性质作答．【解答】解:AＢ∥ＣD，ＡC⊥BC，则图中与∠CＡB互余的角有3个,∠CＢA,∠BCD,和∠CBA的对顶角．【点评】此题属于基础题，较简单,主要记住互为余角的两个角的和为９0度．2.如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、ＧH相交，图中的同旁内角共有（ )A．4对ﻩ B.8对 C.1２对Ｄ．16对【考点】同位角、内错角、同旁内角．【专题】几何图形问题．【分析】每一个“三线八角"基本图形都有两对同旁内角,从对原图形进行分解入手可知同旁内角共有对数.【解答】解：直线AB、CＤ被EＦ所截有2对同旁内角；直线ＡB、CD被GH所截有2对同旁内角;直线CD、EF被GH所截有2对同旁内角；直线CD、GＨ被EF所截有2对同旁内角;直线ＧH、EF被CD所截有2对同旁内角；直线ＡＢ、EF被GＨ所截有２对同旁内角;ﻬ直线ＡＢ、ＧH被EF所截有2对同旁内角；直线EＦ、GH被AB所截有2对同旁内角．共有１６对同旁内角.故选D.【点评】本题考查了同旁内角的定义.注意在截线的同旁找同旁内角.要结合图形,熟记同旁内角的位置特点.两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对同旁内角.3．如图，已知∠Ｂ＝25°,∠BＣD=45°,∠CDE=３０°,∠E＝１0°求证:AB∥EF.【考点】平行线的判定与性质.【专题】证明题．【分析】解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件,在图中添置“三线八角"或作出与AB或ＣD平行的直线，利用平行线的性质和判定求证．【解答】解：过C点作ＣG∥AB，过点Ｄ作ＤH∥ＡＢ，则CG∥DＨ，∵∠Ｂ=25°,∴∠BＣG=2５°,∵∠BCD=45°,∴∠ＧCD=２0°,∵CG∥HD,∴∠CＤH=2０°,∵∠CDE=３０°，∴∠ＨDE=１0°∴∠HDＥ=∠E＝10°,∴DH∥EF,∴DH∥ＡB,∴AB∥EF.【点评】此题考查平行线的判定和性质，辅助线是常见的作法,证明过程注意选用有用的条件作为证明的依据．4．如图,在△ABC中，ＣE⊥ＡＢ于E，ＤF⊥AB于F,AＣ∥ＥD,CE是∠AＣB的平分线,试比较∠EDＦ与∠BDF的大小,并说明理由.【考点】平行线的性质；垂线．【分析】先运用垂直于同一条直线的两直线平行,得出∠BDF=∠BCE，∠ＦDE=∠ＤＥＣ，再根据平行线的性质得出∠DEC＝∠ACE,然后利用角平分线等量代换即可得出两角的关系.【解答】解:∠EDF=∠ＢDF．∵CＥ⊥ＡＢ于Ｅ，DF⊥ＡB于F∴ＤＦ∥CE （垂直于同一条直线的两直线平行），∴∠ＢDF=∠BCE （两直线平行,同位角相等),∠FDE＝∠DEC（两直线平行,内错角相等)又∵AC∥ED，∴∠DＥＣ=∠AＣE（两直线平行,内错角相等），∵CE是∠ＡCB的角平分线,∴∠ＡＣE＝∠EＣB(角平分线的定义),∴∠EDF=∠ＢDF(等量代换)．【点评】本题主要运用了平行线的性质和垂线的性质,解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行内错角、同位角相等.ﻬ5.探究：（1）如图a，若AＢ∥CＤ,则∠Ｂ+∠D=∠E，你能说明为什么吗？(2）反之，若∠B+∠D=∠Ｅ,直线ＡB与ＣＤ有什么位置关系？请证明;(3)若将点Ｅ移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明；(４)若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(５)在图d中,AB∥CＤ，∠E+∠G与∠Ｂ＋∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中，若AB∥CＤ,又得到什么结论?【考点】平行线的判定与性质.【分析】已知AB∥ＣD,连接AB、CD的折线内折或外折,或改变E点位置、或增加折线的条数,通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论,给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AＢ（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形.【解答】解:(1)过E作EF∥AB,则∠B=∠ＢＥＦ,∵ＡB∥ＣD，∴EF∥CD,∴∠D=∠DＥＦ,∴∠BＥＤ=∠ＢEＦ+∠DEF=∠B+∠D．（２）若∠B＋∠D=∠E,由EF∥AＢ，∴∠B=∠BEF,∵∠E=∠ＢEF+∠DEF=∠B＋∠D，∴∠D＝∠ＤＥF,∴ＥF∥CＤ，∴AB∥CD；（3)若将点Ｅ移至图ｂ所示位置，过E作EF∥AB,∴∠BEF+∠Ｂ=180°，∵EＦ∥CD,∴∠D+∠ＤＥF=1８0°，∠Ｅ+∠B＋∠D＝360°;(４)∵AB∥CD，∴∠Ｂ=∠BFＤ,∵∠D+∠E=∠BFＤ,∴∠D+∠E=∠Ｂ;(5）∵AB∥CD，∴∠E＋∠G=∠B+∠Ｆ+∠D；（6)由以上可知:∠E1＋∠Ｅ２+…＋∠E n=∠B+∠Ｆ1+∠Ｆ2+…＋∠Fｎ﹣1+∠D;【点评】本题考查了平行线的性质与判定，属于基础题，关键是过Ｅ点作AB（或ＣD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形.6．如图所示,已知AB∥ＣD，EF交AB于M交CD于F，MＮ⊥EＦ于M，MN交CＤ于Ｎ,若∠BＭE=11０°，则∠MND＝2０° .【考点】平行线的性质．【分析】根据对顶角相等求出∠ＡＭＦ,再求出∠ＡＭN，然后根据两直线平行,内错角相等求解即可.【解答】解：∵∠BMＥ=11０°,∴∠AMF=∠BME=11０°,∵MN⊥EＦ于M，∴∠NMF=９０°，∴∠AＭN=∠ＡMF﹣∠ＮMF＝1１０°﹣9０°＝２0°,∵AB∥CD,∴∠MＮD=∠AMＮ=２0°.故答案为:２0°．【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，以及垂直的定义，是基础题,熟记性质并准确识图是解题的关键．7.如图,若直线a,b分别与直线c,d相交,且∠1+∠3=90°，∠2﹣∠３=９0°，∠4=115°,那么∠3= 65°.【考点】平行线的判定与性质.【专题】计算题．【分析】由∠1+∠3=90°,∠2﹣∠3=９０°,可得∠1+∠2=１80°,则可得出a∥b，根据同旁内角互补即可得出答案.【解答】解:∵∠1+∠3=90°,∠２﹣∠3＝9０°,∴∠1+∠2=１80°,∴∠１的对顶角+∠2=180°,∴ａ∥b，∴∠３+∠４的对顶角＝1８0°，∵∠4=１15°,∴∠3=1８0°﹣∠４=65°,故答案为:65°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质,属于基础题，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质.８.如图,已知AＢ∥CD，∠１=100°,∠2=120°,则∠α＝４0度.ﻬ【考点】平行线的性质.【专题】计算题.【分析】过点F作ＥF∥ＡB，由平行线的性质可先求出∠3与∠4，再利用平角的定义即可求出∠α.【解答】解：如图，过点F作EＦ∥AB,∴∠１+∠3=1８０°．∵∠1=100°,∴∠３=80°．∵AB∥CD,∴CD∥EF，∴∠4+∠2=1８0°,∵∠２＝120°，∴∠4=60°．∴∠α=18０°﹣∠3﹣∠４=40°．故应填40．【点评】本题的难点在于用辅助线构造平行线；关键点在于利用平行线的性质进行角的转化．9．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，那么另一角是 4０或140 度.【考点】平行线的性质.【分析】两个角的两边分别平行，则两个角可能是同位角，也可能是同旁内角,所以应分情况讨论.【解答】解：当两个角是同位角时，则另一个角也等于40°;若两个角是同旁内角时,则另一个角是14０°.故应填:40或140.【点评】会利用平行线性质求解角的大小,能够分析讨论一些简单的问题．ﻬ１0.如图,下列条件中,不能判断直线l1∥l２的是（）A．∠1=∠3B．∠２=∠3ﻩ C.∠4=∠5Ｄ．∠2＋∠4=180°【考点】平行线的判定．【分析】根据平行线的判定定理:同位角相等,两直线平行；内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行分别进行分析即可．【解答】解：Ａ、根据内错角相等,两直线平行可判断直线l１∥l2,故此选项不合题意；B、∠2=∠3，不能判断直线l1∥l2，故此选项符合题意;Ｃ、根据同位角相等，两直线平行可判断直线l1∥l２，故此选项不合题意;D、根据同旁内角互补,两直线平行可判断直线l１∥l2，故此选项不合题意;故选：B.【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．1１．已知线段ＡB=10ｃｍ,点Ａ,B到直线l的距离分别为6ｃｍ，４cm.符合条件的直线l有( ）A．１条 B.２条ﻩ C.3条D．4条【考点】点到直线的距离．【分析】根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.画出图形进行判断．【解答】解:在线段ＡB的两旁可分别画一条满足条件的直线;作线段AB的垂线，将线段AＢ分成6ｃm，4cm两部分，所以符合条件的直线l有３条,故选C.【点评】此题主要考查了从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的定义．12．已知:如图所示,直线a,b都与直线ｃ相交，给出下列条件:①∠1=∠2；②∠3=∠6;③∠4+∠7＝18０°；④∠5＋∠8＝180°.其中能判定ａ∥b的是（ )Ａ.①③ﻩB．②④ﻩＣ.①③④ D.①②③④【考点】平行线的判定;对顶角、邻补角．【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角,被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【解答】解：①∵∠1=∠2,∴a∥b（同位角相等，两直线平行).②∵∠3=∠6，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．③∵∠4＋∠７＝１80°,∵∠４＝∠６(对顶角相等)，∴∠6+∠7=180°,∴a∥b（同旁内角互补,两直线平行）．④同理得,a∥b(同旁内角互补,两直线平行）．故选D.【点评】正确识别“三线八角＂中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行．１3．如图所示，AB∥ＥF∥DC,ＥＧ∥DB，则图中与∠１相等的角(∠１除外）共有（)A．6个ﻩB．５个C．4个 D.2个【考点】平行线的性质．ﻬ【分析】由AB∥EF得∠FEG＝∠1,由EG∥DB可得∠DBG=∠１;设BＤ与ＥF相交于点Ｐ,由AB∥EF得到∠FPB=∠ＤＢG＝∠１，∠DPＥ＝∠ＤBG=∠1,又AB∥ＤＣ可以得到∠ＣＤＢ＝∠ＤBG=∠1，由此得到共有5个．【解答】解:∵AＢ∥EＦ,∴∠FＥG=∠1，∵EG∥DB，∴∠DBG＝∠1,设BD与EＦ相交于点P,∵AB∥EＦ，∴∠ＦＰＢ=∠DBG=∠１,∠DＰE=∠DBG＝∠１，∵AB∥DC，∴∠CDB=∠DBG=∠1.∴共有5个.故选Ｂ．【点评】本题主要利用了由平行得到的内错角相等以及同位角相等，注意不要漏解．14.如图所示,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠Ｃ的大小关系,并对结论进行说理.【考点】平行线的性质.【专题】探究型．【分析】由图中题意可先猜测∠AED=∠C，那么需证明DE∥BC.题中说∠1+∠2=180°，而∠1+∠４=1８0°所以∠2=∠４，那么可得到BD∥EF，题中有∠３=∠B,所以应根据平行得到∠3与∠ＡDE之间的关系为相等.就得到了∠Ｂ与∠ＡDＥ之间的关系为相等，那么DE∥BC．【解答】证明:∵∠１＋∠4=180°（邻补角定义)∠1+∠2=180°(已知）∴∠2=∠4(同角的补角相等）∴EF∥AB（内错角相等,两直线平行）∴∠3=∠ADE（两直线平行,内错角相等）又∵∠Ｂ＝∠3（已知）,∴∠ADE=∠B（等量代换）,∴DE∥ＢC(同位角相等，两直线平行）∴∠AＥD=∠Ｃ（两直线平行,同位角相等)．【点评】本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手,得到需证明的条件．属于典型的从两头往中间证明．15.如图,已知∠１十∠2＝18０°，∠A=∠C,AＤ平分∠BDＦ．求证：ＢC平分∠DBＥ.【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由已知易得∠１=∠BDC，则AＥ∥CF,所以∠EBＣ=∠ＢCＤ，又∠ＢAＤ=∠ＢCD,故∠EBＣ=∠ＢAD，可得AD∥BC，再用角平分线的定义和平行线的性质求证即可.【解答】证明:∵∠1十∠２=18０°,∠1+∠EBD=180°，∴∠2=∠ＥＢD,∴AE∥CＦ,∴∠FDＢ=∠DBE,∠BAD=∠ADF,又∵∠BＡD=∠BCD,∴∠BCD＝∠ＡDF,∴AD∥BC,∴∠ＤBC=∠BDA=∠FDB=∠DBＥ,∴ＢC平分∠ＤＢE．ﻬ【点评】此题考查了平行线的判定和性质，综合利用了角平分线的定义,要充分利用已知条件.16．在同一平面内有２002条直线ａ1,a2，…，a2０02，如果a1⊥a2,a2∥a3,a３⊥ａ4，a４∥a5，…,那么a１与a2002的位置关系是垂直．【考点】垂线；平行线.【专题】压轴题；规律型．【分析】a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每４条直线一循环.根据此规律可求a１与a２002的位置关系是垂直．【解答】解:∵ａ１与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环.∴(２00２﹣1)÷4=5０0余１，故答案为：垂直.【点评】本题难点在规律的探索,要认真观察即可得出规律.17.若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角2４对.【考点】同位角、内错角、同旁内角．【专题】几何图形问题.【分析】一条直线与另3条直线相交(不交于一点）,有3个交点．每2个交点决定一条线段，共有３条线段．4条直线两两相交且无三线共点，共有3×4＝12条线段.每条线段两侧各有一对同旁内角,可知同旁内角的总对数.【解答】解：∵平面上４条直线两两相交且无三线共点，∴共有3×4＝12条线段.又∵每条线段两侧各有一对同旁内角,∴共有同旁内角12×２＝24对.故答案为:２４.【点评】本题考查了同旁内角的定义.注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图形，熟记同旁内角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中,有两对同旁内角．ﻬ1８．如图，已知ｌ1∥ｌ2，AB⊥ｌ1,∠ABC=130°,则∠α＝40°．【考点】平行线的性质.【专题】计算题.【分析】过点Ｂ作ＥF∥l１∥l2,再根据平行线的性质不难求得∠α的度数.【解答】解:过点B作ＥF∥ｌ1∥l2∵EF∥l１∥l2，AＢ⊥l1∴∠ABF=9０°∵∠AＢC=130°∴∠ＦＢC=40°∵EF∥l1∥l2∴∠FBC=∠α=４0°故答案为:40°【点评】此题主要考查平行线的性质定理:定理1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行,同位角相等.定理2:两条平行线被地三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补.定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行,内错角相等.19．如图,直线AB∥ＣＤ，∠EFA=３0°，∠FGH=９0°,∠HMN＝3０°，∠CNP=50°，则∠GＨM的大小是4０°.【考点】平行线的性质；三角形的外角性质;多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】作辅助线:延长PM、EG交于点K；PＭ延长线交AＢ于点L．利用平行线性质进行求解.【解答】解:辅助线延长PＭ、EＧ交于点Ｋ,ＰM延长线交AＢ于点L．如图:∵AB∥CD，∴∠ＡLM=∠LND=５０°;∴∠MKＧ=∠BFG＋∠ＡLM=８0°.∵∠HＭＮ=30°,∴∠ＨMＫ=1５0°;∵∠ＦGＨ=90°,∴∠GＨM=３６0°﹣∠HＭＫ﹣∠MKＧ﹣∠ＭGH=360°﹣150°﹣80°﹣9０°＝４0°．【点评】考查了平行线的性质的应用．本题综合性较强．20．如图，Ｄ、Ｇ是△AＢC中AB边上的任意两点,ＤE∥BC,GＨ∥ＤC，则图中相等的角共有( ）A.4对B．５对 C.6对D.7对【考点】平行线的性质．【分析】可利用平行线内错角相等,同位角相等的性质得出图中相等的角．【解答】解:由DE∥BＣ,可得∠ADE=∠ABC,∠AED＝∠ACＢ,∠EDC=∠ＤCB,由GH∥DC，可得∠ＢDC=∠ＢGH,∠HＧD＝∠ＡDC,∠ＤCB=∠GHB，∵∠EDC=∠ＤCB,∠DCB=∠GHB,∴∠ＥＤC＝∠BHG,∴题中共有7对相等的角.故选Ｄ.【点评】本题主要考查平行线的性质,即同位角相等,内错角相等,所以熟练掌握平行线的性质.21．如图，若ＡB∥ＣD，则( ）A．∠1＝∠2+∠3 B.∠1=∠３﹣∠2C.∠1+∠2＋∠3=1８0°ﻩD.∠l﹣∠2+∠3＝1８０°【考点】平行线的性质.【分析】先根据平行线的性质由ＡB∥CD得到∠3＝∠４,再根据三角形外角性质得∠１=∠2+∠4,等量代换后得到∠1=∠２+∠３．【解答】解:延长BA交EC于F，如图,∵AB∥CＤ,∴∠3=∠4,∵∠1＝∠２+∠4,∴∠1=∠2＋∠3.故选Ａ．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行，内错角相等．也考查了三角形外角性质.２2.如图：已知AB∥CD∥EF,EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACＥ+∠CEＨ等于（)A.180°ﻩB.270°C．360°D．450°【考点】平行线的性质.【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质可以求得:∠BＡC与∠ＡCD,∠ＤCE与∠CＥF的度数的和,再减去∠HEF的度数即可.【解答】解：∵AB∥CD,∴∠BＡC+∠ACＤ＝180°，同理∠DCＥ+∠CＥF=１80°，∴∠BAC＋∠ＡCE+∠CＥＦ=360°；又∵EH⊥CD于H,∴∠HEF=９0°,∴∠BAC+∠ACＥ+∠CＥＨ=∠BＡC+∠ACE+∠CEF﹣∠HEF＝3６０°﹣90°=27０°．故选B.【点评】本题主要考查了平行线的性质:两直线平行同旁内角互补.23.如图,ＡＢ∥EＦ，∠C=９0°，则α、β和γ的关系是( )Ａ．β=α+γﻩＢ．α+β+γ＝180° C.α+β﹣γ=９０°ﻩ D.β+γ﹣α＝180°【考点】平行线的性质.【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系.【解答】解:延长DC交ＡＢ与G,延长CD交ＥF于H．在直角△BGＣ中,∠1=９0°﹣α；△EHＤ中，∠２=β﹣γ，∵ＡB∥EF，∴∠１=∠２，∴90°﹣α=β﹣γ,即α+β﹣γ=9０°.故选:C．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.２4.如图,已知ＡB∥CD，P为HD上任意一点，过Ｐ点的直线交HF于Ｏ点，试问：∠ＨＯP、∠ＡGF、∠ＨPO有怎样的关系?用式子表示并证明.【考点】平行线的性质；三角形的外角性质.【分析】可过点Ｏ作OＭ∥CD，利用内错角相等,再通过转化即可得出结论.【解答】解:∠ＨOP=∠AＧF﹣∠HＰO,过点O作OM∥CＤ,如图,则∠AGF=∠ＨＯM,∠ＨＰO=∠POM,∠ＨＯP=∠ＨOM﹣∠POM，∴∠HOＰ＝∠AGＦ﹣∠HPO.【点评】本题主要考查平行线的性质，能够熟练运用平行线的性质求解角之间的关系问题．25.如图，AB∥ED,α=∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D．证明：β=2α【考点】平行线的判定与性质;多边形内角与外角．【专题】证明题．【分析】此题的关键是过点C作AＢ的平行线，再利用平行线的性质和判定，得出∠A+∠E=180°,∠Ｂ+∠C+∠D=３60°,即可证明．【解答】证法１：∵AB∥ED,∴α=∠A+∠E＝1８0°(两直线平行，同旁内角互补）过C作CＦ∥AB（如图１）∵AＢ∥EＤ,∴CＦ∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行)∵CF∥AB,∴∠B=∠1,(两直线平行,内错角相等）又∵CF∥ED,∴∠2＝∠Ｄ,(两直线平行,内错角相等）∴β=∠B+∠C＋∠Ｄ=∠1+∠BCD+∠2=3６０°(周角定义)∴β=2α(等量代换)证法２:∵AB∥ED，∴α=∠A+∠E＝18０°（两直线平行，同旁内角互补)过C作ＣＦ∥AＢ（如图2）∵AB∥ＥD，∴CF∥ED(平行于同一条直线的两条直线平行）∵CＦ∥AＢ,∴∠B＋∠1=180°，（两直线平行，同旁内角互补）又∵CF∥EＤ,∴∠２+∠Ｄ＝１８0°,（两直线平行,同旁内角互补）∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠B+∠1+∠2+∠D=1８0°+１8０°=36０°,∴β=2α(等量代换）【点评】此题考查平行线的判定和性质，辅助线的作法很关键,也是常见作法,需掌握.２6.平面上有7条不同的直线,如果其中任何三条直线都不共点．（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；(2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形(至少两个)；（3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6,２1，15？(４)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形,从中你能发现什么规律?【考点】平行线；相交线.【专题】规律型．【分析】从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行,再考虑五条、四条,三条,二条直线平行,都不平行作出草图即可看出.ﻬ从画出的图形中归纳规律即可得到答案.【解答】解：（1）如图1所示;交点共有6个,(2）如图2,3．(3）当ｎ=6时,必须有6条直线平行,都与一条直线相交．如图4，当n=21时,必须使7条直线中的每2条直线都相交(即无任何两条直线平行）如图5，当n=15时,如图6,(4)当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律：①当7条直线都相互平行时,交点个数是0，这是交点最少,②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21,这是交点最多．ﻬ【点评】此题主要考查了平行线与相交线，关键是根据一定的规律画出图形,再再根据图形归纳规律.2７.如图，直线ＣＢ∥OＡ，∠C＝∠BAO＝1２0°，E、F在ＣB上,且满足∠FOB＝∠AOＢ,OE平分∠COF.（１)求∠EＯB的度数;(２）若平行移动AB,那么∠OBC：∠OFＣ的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变,求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【考点】平行线的性质;三角形内角和定理；角平分线的性质;平移的性质.【专题】几何图形问题.【分析】（1)根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC,再根据角平分线的定义求出∠EOB=∠ＡOC,代入数据即可得解;(2)根据两直线平行,内错角相等可得∠ＯBC=∠ＢOＡ，从而得到∠OBＣ＝∠FOB,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OFＣ=２∠OBC,从而得解；（３）设∠AOB=ｘ,根据两直线平行,内错角相等表示出∠CBO＝∠AＯB=x，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OＥC,然后利用三角形的内角和等于1８0°列式表示出∠OBA，然后列出方程求解即可.【解答】解：(1)∵ＣB∥OＡ,∴∠ＡOC＝1８０°﹣∠Ｃ=1８0°﹣1２０°＝60°，∵∠FOB=∠AＯＢ,OE平分∠COＦ,∴∠ＥOＢ＝∠AＯC＝×６０°=３０°;（２）∠ＯBC：∠OFＣ的值不会发生变化，为１:2，ﻬ∵CＢ∥OA，∴∠OＢC=∠BOA,∵∠FＯＢ＝∠AOＢ，∴∠OBC=∠FOＢ,∴∠OFC=∠ＯＢC＋∠ＦOＢ=２∠ＯBC，∴∠ＯＢC：∠OFC=1:2;(3)当平行移动ＡＢ至∠OBA=45°时，∠ＯEC＝∠OBA.设∠ＡOＢ=x，∵CＢ∥ＡO,∴∠CＢO=∠ＡOB=x,∵∠ＯＥC=∠CBO+∠EOＢ＝ｘ+30°，∠OBA=１80°﹣∠A﹣∠AOB=１80°﹣120°﹣ｘ=６0°﹣ｘ,∴x＋30°=60°﹣x,∴x=15°，∴∠OEＣ=∠OBA=６０°﹣15°＝45°．【点评】本题考查了平行线的性质，平移的性质，角平分线的定义,三角形的内角和定理,图形较为复杂，熟记性质并准确识图是解题的关键．。

平行线的判定和性质知识点详解

平行线的判定和性质（综合篇）一、重点和难点：重点：平行线的判定性质。

难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式。

二、例题：这部分容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、错角或同旁角。

解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。

上述类型题目大致可分为两大类。

一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。

其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。

另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。

例1．如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：∠1=∠7分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。

∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。

须证a//c。

法（一）证明：∵d是直线（已知）∴∠1+∠4=180°（平角定义）∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）∴∠3=∠4（等角的补角相等）∴a//c（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）法（二）证明：∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）∴∠1+∠3=180°（等量代换）∵∠5=∠1，∠6=∠3（对顶角相等）∴∠5+∠6=180°（等量代换）∴a//c （同旁角互补，两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）。

例2．已知如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE。

分析：只要求得∠EBC=∠CBD，由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC，从而推出AE//FC，从而推出∠C=∠EBC而∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC。

2022-2023学年七年级数学下册《平行线的性质》精讲与精练高分突破含答案解析

5.3平行线的性质考点一：平行线的性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单地说:两直线平行，同位角相等.2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单地说:两直线平行，内错角相等.3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单地说:两直线平行，同旁内角互补.注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。

一个结论：平行线间的距离处处相等。

例如：应用于说明矩形（包括长方形、正方形）的对边相等，还有梯形的对角线把梯形分成分别以上底为底的两等面积的三角形，或以下底为底的两等面积的三角形。

（因为梯形的上底与下底平行，平行线间的高相等，所以，就有等底等高的三角形。

）考点二、命题判断一件事情的语句叫命题。

命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果……那么……”的形式。

例如：“明天可能下雨。

”这句语句______命题，而“今天很热，明天可能下雨。

”这句语句_____命题。

(填“是”或“不是”)①命题分为真命题与假命题，真命题指题设成立，结论也成立的命题（或说正确的命题）。

假命题指题设成立，但结论不一定或根本不成立的命题（或说错误的命题）。

②逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题。

注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题，同理，原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题。

题型一：平行线的性质1．（2022秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，AF 是BAC ∠的平分线，DF AC ∥，若135∠=︒，则BAF ∠的度数为（）A ．17.5°B ．35°C ．55°D ．70°2．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期末）如图，直线a b P ，一块含60︒角的直角三角板如图放置，若113∠=︒，则2∠的度数为（）．A ．45︒B ．47︒C ．55︒D ．57︒3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB CD P ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EG 平分BEF ∠，交CD 于点G ，150∠=︒，则2∠等于（）A ．50︒B ．60︒C ．65︒D ．90︒题型二：根据平行线性质探究角的关系4．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）12∠=∠；（2）34∠=∠；（3）2490∠+∠=︒；（4）45180∠+∠=︒．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（2023春·七年级单元测试）如图，平面内直线a b c ∥∥，点A ，B ，C 分别在直线a ，b ，c 上，BD 平分ABC ∠，并且满足αβ∠>∠，则α∠，∠β，γ∠关系正确的是（）A ．2αβγ∠=∠+∠B ．αβγ∠=∠+∠C ．22αβγ∠=∠-∠D ．2αβγ∠=∠+∠6．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）23∠∠=；（2）34∠∠=；（3）2+4=90∠∠︒；（4）5290∠-∠=︒，其中正确的个数是（）．A ．1B ．2C ．3D ．4题型三：根据平行线性质求角的大小7．（2022秋·重庆江北·七年级校考期末）如图，已知OP 平分AOB ∠，30AOB ∠=︒，PC OA ∥，则CPO ∠为（）A ．30︒B ．10︒C ．15︒D ．5︒8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线m n ∥，AC BC ⊥于点C ，125∠=︒，则2∠的度数为（）A ．125︒B ．115︒C ．110︒D ．105︒9．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，12l l ∥，将一副直角三角板作如下摆成，图中点A 、B 、C 在同一直线上，则1∠的度数为（）A ．80︒B ．85︒C ．75︒D ．70︒题型四：平行线性质在生活应用问题10．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与原来的方向恰好相反，那么两次拐弯的角度是（）A ．第一次右拐50°，第二次左拐130°B ．第一次左拐50°，第二次右拐50°C ．第一次左拐50°，第二次左拐130°D ．第一次右拐50°，第二次右拐50°11．（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，木条a 、b 、c 通过B 、E 两处螺丝固定在一起，且40ABM ∠=︒，77BEF ∠=︒，将木条a 、木条b 、木条c 看作是在同一平面内的三条直线AC 、DF 、MN ，若使直线AC 、直线DF 达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（）A ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 顺时针旋转23B ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 逆时针旋转103C ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 逆时针旋转37D ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 顺时针旋转15812．（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转，B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动30°，B 灯每秒转动10°，B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是（）A ．1或6秒B ．8.5秒C ．1或8.5秒D ．2或6秒题型五：平行线之间的距离13．（2023春·七年级单元测试）在同一平面内，设a 、b 、c 是三条互相平行的直线，已知a 与b 的距离为4cm ，b 与c 的距离为1cm ，则a 与c 的距离为（）A ．1cmB ．3cmC ．5cm 或3cmD ．1cm 或3cm14．（2023春·七年级课时练习）如图，12l l ∥，AB CD ∥，2CE l ⊥，2FG l ⊥．则下列结论正确的是（）．A ．A 与B 之间的距离就是线段ABB ．AB 与CD 之间的距离就是线段AC 的长度C ．1l 与2l 之间的距离就是线段CE 的长度D ．1l 与2l 之间的距离就是线段CD 的长度15．（2020春·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，已知直线a // b // c ，直线d 与它们分别垂直且相交于A ，B ，C 三点，若AB=2，AC=6，则平行线b 、c 之间的距离是（）A ．2B ．4C ．6D ．8题型六：与命题有关的问题16．（2023春·广东江门·七年级统考期末）下列命题中，是假命题的是（）A ．直角的补角是直角B ．内错角相等，两直线平行C ．一条直线有且只有一条垂线D ．垂线段最短17．（2023春·七年级课时练习）关于原命题“如果a b =，那么22a b =”和它的逆命题“如果22a b =，那么a b =”，下列说法正确的是（）A ．原命题是真命题，逆命题是假命题B ．原命题、逆命题都是真命题C ．原命题是假命题，逆命题是真命题D ．原命题，逆命题都是假命题18．（2023春·全国·七年级专题练习）一栋公寓楼有5层，每层有一或两套公寓．楼内共有8套公寓．住户J 、K 、L 、M 、N 、O 、P 、Q 共8人住在不同公寓里．已知：（1）J 住在两套公寓的楼层．（2）K 住在P 的上一层．（3）二层只有一套公寓．（4）M 、N 住在同一层．（5）O 、Q 不同层．（6）Q 不住在一层或二层．（7）L 住在她所在层仅有的公寓里，且不在第一次或第五层．（8）M 在第四层；那么，J 住在第（）层．A ．1B ．2C ．3D ．5题型七：平行线的判定和性质的综合问题19．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级校考期末）如图，AB CD ∥，连接CA 并延长至点H ，CF 平分ACD ∠，CE CF ⊥，90GAH AFC ∠∠=+︒．(1)求证AG CE ∥；(2)若120GAF ∠=︒，求AFC ∠的度数．20．（2023春·七年级单元测试）如图，180ADE BCF ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，2ABC E ∠=∠．(1)求证：AD BC ∥；(2)求证：AB EF ∥；(3)若AF 平分BAD ∠，求证：90E F ∠+∠=︒．21．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 AM CN ∥，点B 在直线AM CN 、之间，88ABC ∠=︒．(1)如图1，请直接写出A ∠和C ∠之间的数量关系：_________．(2)如图2，A ∠和C ∠满足怎样的数量关系？请说明理由．(3)如图3，AE 平分MAB ∠，CH 平分NCB ∠，AE 与CH 交于点G ，则AGH ∠的度数为_________．一：选择题22．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）如图，若a b ∥，211933'∠=︒，则1∠等于（）A ．6027'︒B ．6073'︒C ．11933'︒D ．11973'︒23．（2023春·七年级课时练习）如图，直线l 、n 分别截A ∠的两边，且l n ∥．根据图中标示的角，判断下列各角的度数关系，正确的是（）A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．46180∠+∠=︒D ．34180∠+∠=︒24．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB CD P ，BC 是ABD ∠的平分线，若3100∠=︒，则2∠的度数为（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．80︒25．（2023秋·吉林长春·七年级校联考期末）如图，AB CD P ，155FGB ∠︒＝，FG 平分EFD ∠，则BEF ∠的大小为（）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒26．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，已知AB CD EF ∥∥，160∠=︒，320∠=︒，则2∠的度数是（）A ．105︒B ．120︒C ．135︒D ．140︒27．（2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）如图，1260∠=∠=︒，376∠=︒，则4∠的度数为（）A ．102︒B ．103︒C ．104︒D ．105︒28．（2022春·全国·七年级专题练习）如图，点E 在AB 的延长线上，下列条件中能够判定AB CD P 的条件有（）①180BAD ABC ∠+∠=︒；②12∠=∠；③3=4∠∠；④5E ADC ∠+∠=∠．A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④29．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知180AEF EFC ∠+∠=︒，M N ∠=∠，求证12∠=∠；30．（2023秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，已知12∠=∠，3=4∠∠，5A ∠=∠，试说明：BE CF ∥．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：∵3=4∠∠（已知）∴AE ∥______（______）∴5EDC ∠=∠（______）∵5A ∠=∠（已知）∴EDC ∠=______（等量代换）∴DC AB ∥（______）∴5180ABC ∠+∠=︒（______）即523180∠+∠+∠=︒∵12∠=∠（已知）∴513180∠+∠+∠=︒（______）即3180BCF ∠+∠=︒∴BE CF ∥（______）．一、单选题31．（2023春·七年级课时练习）如图，已知直线AB CD ∥，130GEF ∠=︒，135EFH ∠=︒，则12∠+∠的度数为（）A ．35︒B ．45︒C ．65︒D ．85︒32．（2023春·七年级单元测试）如图，直线EF 分别与直线AB CD 、相交于点G H 、，已知1250∠=∠=︒，GM 平分HGB ∠交直线CD 于点M ，则GMD ∠的度数为（）A ．115︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒33．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB EF ∥，90BCD ∠︒＝，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（）A ．360αβγ++︒＝B ．90αβγ++︒＝C ．αγβ+＝D ．180αβγ++︒＝ 34．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB CD EF ∥∥，则下列各式中正确的是（）A．①②④B．②③④C．①②③二、填空题37．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当的度数为________．38．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知AB CD ∥，点M ，N 分别在直线AB 、CD 上，90MEN ∠=︒，CNE ENF ∠=∠，则α∠与∠β的数量关系________．39．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，AB CD ABD ∠P ，和BDC ∠的角平分线交于点E ，延长BE 交CD 于点F ，232∠=︒，则3∠=_________．40．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线12l l ，被直线3l 所截，3l 分别交12l l ，于点A 和点B ，过点B 的直线4l 交1l 于点C ．若1130260350∠∠∠=︒=︒=︒，，，则4∠=_________．41．（2022春·四川成都·七年级校考阶段练习）有一副直角三角板ABC 和DEC ，其中45B ∠=︒，60D ∠=︒，如图所示叠放，边CD 与边AB 交于点G ，过点G 作GH 平分AGC ∠，若GH BC ∥，则ECA ∠=______度．三、解答题42．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知点A 、D 在直线EF 上，12180∠+∠=︒，DB 平分ADC ∠，AD BC ∥．(1)求证： AB DC ∥；(2)若128DAB ∠=︒，求DBC ∠的度数．43．（2023春·七年级单元测试）如图，已知123180BDC ∠=∠∠+∠=︒，．(1)求证：AD CE ∥；(2)若DA 平分BDC ∠，DA FE ⊥于点A ，55FAB ∠=︒，求ABD ∠的度数．44．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线a b ⊥r r ，垂足为O ，ABC V 与直线a 、b 分别交于点E 、F ，且90C ∠=︒，EG FH ，分别平分MEC ∠和NFC ∠．(1)当PD 平分ODF ∠时，(2)当DP OB ∥时，求PDE ∠(3)当DP FD ⊥时，∠ADP 2(1)如图1，若BAP ∠，PAG ∠，ACE ∠的数量关系为___________．(2)如图2，在（1）的条件下，若5DBA ACE ∠=∠，30PAG ∠=︒，求证AB AC ⊥；(3)点B 、C 分别在点D 、E 的下方，若AB AC ⊥，PAG FAC ∠=∠，请在备用图中画出相应的图形，并求出DBA ∠的度数．1．B【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得1FAC ∠=∠，再根据角平分线的定义可得BAF FAC ∠=∠，从而可得结果．【详解】解：∵DF AC ∥，∴135FAC ∠=∠=︒，∵AF 是BAC ∠的平分线，∴35BAF FAC ∠=∠=︒，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．2．B【分析】由平行线的性质，已知113ABD ∠=∠=︒，再根据角的和差，平行公理推论，平行线的性质解得∠2度数，进而得出答案．【详解】过点B 作BD a ∥,∴2CBD ∠=∠，∵a b ∥,∴BD b ∥,又∵113∠=︒，∴113ABD ∠=∠=︒，∵60ABC ∠=︒，∴601347DBC ∠=︒-︒=︒，∴247∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角的和差，对顶角的性质，等量代换等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点过一点作已知直线的平行线辅助线．3．C【分析】由AB CD P ，1=50∠︒，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得BEF ∠的度数，又由EG 平分BEF ∠，求得BEG ∠的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得2∠的度数．【详解】解：∥ AB CD ，1180BEF ∴∠+∠=︒，1=50∠︒ ，130BEF ∴∠=︒，EG 平分BEF ∠，1652BEG BEF ∴∠=∠=︒，265BEG ∴∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用．4．D【分析】根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，可判断（1），（2）,（4），由平角的定义可判断（3），逐一进行解答即可．【详解】解：∵纸条的两边互相平行，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠4+∠5=180︒，故（1）（2）（4）正确；∵三角板是直角三角板，∴∠2+∠4=1809090︒-︒=︒，故（3）正确；综上所述，正确的个数是4．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．5．A【分析】先根据平行线的性质可得1γα∠+∠=∠，2β∠=∠，从而可得ABC αβ∠=∠+∠，再根据角平分线的定义可得11212αβ∠=∠+∠，代入1γα∠+∠=∠即可得出答案．【详解】解：如图，a b c ∥∥，1γα∴∠+∠=∠①，2β∠=∠，12ABC γαβ∠∴∠+∠+∠=∠+∠=，BD Q 平分ABC ∠，1112212ABC αβ∠=∴∠=∠+∠，代入①得：1212αβγα∠+∠+∠=∠，2αβγ∴∠=∠+∠，【详解】解：AC BC ⊥Q 于点C ，90ACB ∴∠=︒，190ABC ∴∠+∠=︒，902565ABC ∴∠=︒-︒=︒，m n ∥，2180115ABC ∴∠=︒-∠=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．9．C【分析】如图，过点C 作CM 1l ∥，则12l l CM ∥∥，根据平行线的性质可得∠1＋∠ECM ＝180°，∠2＝∠ACM ，再根据三角板的特点求解即可．【详解】解：如图，过点C 作CM 1l ∥，∵12l l ∥，∴12l l CM ∥∥，∴∠1＋∠ECM ＝180°，∠2＝∠ACM ，∵∠2＝180°−45°＝135°，∴∠ACM ＝135°，∴∠ECM ＝135°−30°＝105°，∴∠1＝180°−105°＝75°，故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等”及作平行线是解题的关键．10．C【分析】根据两直线平行，同旁内角互补判断即可．【详解】解：因为两次拐弯后，与原来的方向恰好相反，所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补．故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．11．C【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．【详解】解：A ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 顺时针旋转23°，∴∠ABE =40°+23°=63°≠∠DEM ，∴AC 与DF 不平行，故A 不符合题意；B ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 逆时针旋转103°，∴∠CBE =180°-（103°-40°）=117°≠∠DEM ，∴AC 与DF 不平行，故B 不符合题意；C ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 逆时针旋转37°，∴∠DEM =77°-37°=40°=∠ABE ，∴AC //DF ，故C 符合题意；D ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 顺时针旋转158°，∴∠DEM =360°-77°-158°=125°≠∠CBE ，∴AC 与DF 不平行，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．12．C【分析】设A 灯旋转的时间为t 秒，求出t 的取值范围为016t <≤，再分①06t <≤，②612t <≤和③1216t <≤三种情况，先分别求出MAM '∠和PBP '∠的度数，再根据平行线的性质可得MAM PBP ''∠=∠，由此建立方程，解方程即可得．【详解】解：设A 灯旋转的时间为t 秒，A 灯光束第一次到达AN 所需时间为180630︒=︒秒，B 灯光束第一次到达BQ 所需时间为1801810︒=︒秒，B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，0182t ∴<≤-，即016t <≤，由题意，分以下三种情况：①如图，当06t <≤时，//AM BP ''，30,10(2)MAM t PBP t ''∴∠=︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP '' ，1,1MAM PBP ''∴∠=∠∠=∠，MAM PBP ''∴∠=∠，即3010(2)t t ︒=︒+，解得1t =，符合题设；②如图，当612t <≤时，//AM BP ''，18030(6)36030,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-︒-=︒-︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP '' ，2180,2180MAM PBP ''∴∠+∠=︒∠+∠=︒，MAM PBP ''∴∠=∠，即3603010(2)t t ︒-︒=︒+，解得8.5t =符合题设；③如图，当1216t <≤时，//AM BP ''，30(12)30360,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-=︒-︒∠=︒+，同理可得：MAM PBP ''∠=∠，即3036010(2)t t ︒-︒=︒+，解得1916t =>，不符题设，舍去；综上，A 灯旋转的时间为1秒或8.5秒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间t 的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．13．C【分析】分①直线b 在直线a 、c 的之间和②直线c 在直线a 、b 的之间两种情况，根据平行线间的距离求解即可得．【详解】解：①如图，当直线b 在直线a 、c 的中间时，a 与b 的距离为4cm ，b 与c 的距离为1cm ，a ∴与c 的距离为()415cm +=；②如图，当直线c 在直线a 、b 的中间时，a 与b 的距离为4cm ，b 与c 的距离为1cm ，a ∴与c 的距离为()413cm -=；综上，a 与c 的距离为5cm 或3cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线间的距离，正确分两种情况讨论是解题关键．14．C【分析】根据两点间的距离和平行线间的距离的性质逐项判断即可．【详解】解：A 、A 与B 之间的距离就是线段AB 的长度，不符合题意，故本项错误；B 、AB 与CD 之间的距离就是线段HI 的长度，不符合题意，故本项错误；C 、1l 与2l 之间的距离就是线段CE 的长度，符合题意，故本项正确；D 、1l 与2l 之间的距离就是线段CE 或GF 的长度，不符合题意，故本项错误．故答案为：C ．【点睛】本题考查了两点间的距离和平行线间的距离的性质，解决本题的关键是掌握以上基本的性质．15．B【分析】依据直线a ∥b ∥c ，直线d 与它们分别垂直且相交于A ，B ，C 三点，即可得到AB 长为直线a 和b 之间的距离，BC 长为直线b 和c 之间的距离，AC 长为直线a 和c 之间的距离，再根据AB=2，AC=6，即可得出直线b 与直线c 之间的距离为4．【详解】解：∵直线a ∥b ∥c ，直线d 与它们分别垂直且相交于A ，B ，C 三点，∴AB 长为直线a 和b 之间的距离，BC 长为直线b 和c 之间的距离，AC 长为直线a 和c 之间的距离，又∵AB=2，AC=6，∴BC=6-2=4，即直线b 与直线c 之间的距离为4．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．16．C【分析】根据补角的定义，平行线的判定，垂线的性质，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 直角的补角是直角，是真命题，故该选项不符合题意；B. 内错角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意；C. 同一平面内过直线上的一点有且只有一条垂线，原命题是假命题，符合题意；D. 垂线段最短，是真命题，故该选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了判断真假命题，掌握补角的定义，平行线的判定，垂线的性质是解题的关键．17．A【分析】根据互逆命题的定义即把一个命题的题设和结论互换和性质定理进行解答，即可求出答案．【详解】解：如果a b =，那么22a b =，所以原命题是真命题；命题“如果a b =，那么22a b =”的逆命题是如果22a b =，那么a b =，不一定成立，是假命题；故原命题是真命题，逆命题是假命题故选：A ．【点睛】此题考查了互逆命题，掌握互逆命题的定义即两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题的关键．18．D【分析】首先根据已知，采取筛选法进行一个一个筛选，就能确定答案．【详解】解：由（4）和（8）得出M 和N 住在第四层．由（2）得K 只能在2或3层，又由（7）得出L 在3层且只有一户，K 在二层只有一户，P 则在一层．又由（5）和（6）知道O 只能在一层，Q 在五层．这时只有五层还有一套公寓，所以J 只能住在五层．故选：D ．【点睛】用到的知识点是推理和论证，能根据已知，采取筛选法进行一个一个筛选是解此题的关键．19．(1)见解析(2)30AFC ∠=︒【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的定义推出AFC ACF ∠=∠，得到90ACF GAH ∠∠=+︒，根据垂直的定义求出90ACF ECH ∠∠+=︒，由此得到GAH ECH ∠=∠，即可推出结论；（2）根据平行线的性质推出2HAF ACD ACF =∠∠=∠，由90GAH ECH ACF ∠=∠=︒-∠，得到902120ACF ACF ︒-∠+∠=︒，求出30ACF ∠=︒即可．【详解】（1）证明：∵AB CD ∥，∴AFC DCF ∠=∠，∵CF 平分ACD ∠，∴DCF ACF ∠=∠，∴AFC ACF ∠=∠，∵90GAH AFC ∠∠=+︒，∴90ACF GAH ∠∠=+︒，∵CE CF ⊥，∴90ECF ∠=︒，∴90ACF ECH ∠∠+=︒，∴GAH ECH ∠=∠，∴AG CE ∥；（2）∵AB CD ∥，∴2HAF ACD ACF =∠∠=∠，∵90GAH ECH ACF ∠=∠=︒-∠，∴902120ACF ACF ︒-∠+∠=︒，∴30ACF ∠=︒，∴30AFC ∠=︒．【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，正确掌握平行线的判定和性质是解题的关键．20．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）求出ADF BCF Ð=Ð，根据平行线的判定得出即可；（2）根据角平分线的定义得出2ABC ABE ∠=∠，求出ABE E ∠=∠，根据平行线的判定得出即可；（3）根据平行线的性质得出180ADE BCF ∠+∠=︒，根据角平分线的定义得出12ABE ABC ∠=∠， 12BAF BAD ∠=∠，求出90ABE BAF ∠+∠=︒，根据三角形的内角和定理得出即可．【详解】（1）∵180ADE BCF ∠+∠=︒，180ADE ADF ∠+∠=︒，∴ADF BCF ∠=∠，∴AD BC ∥；（2）∵BE 平分ABC ∠，∴2ABC ABE ∠=∠，∵2ABC E ∠=∠，∴ABE E ∠=∠，∴AB EF ∥；（3）∵AD BC ∥，∴180DAB ABC ∠+∠=︒，∵BE 平分ABC ∠，AF 平分BAD ∠，∴12ABE ABC ∠=∠，12BAF BAD ∠=∠，∴90ABE BAF ∠+∠=︒，∴1809090AOB EOF Ð=°-°=°=Ð，∴18090E F EOF Ð+Ð=°-Ð=°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．21．(1)88A C ∠+∠=︒(2)92C A ∠-∠=︒，见解析(3)46︒【分析】（1）过点B 作BE AM ∥，利用平行线的性质即可求得结论；（2）过点B 作BE AM ∥，利用平行线的性质即可求得结论；（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．【详解】（1）解：过点B 作BE AM ∥，如图，∴A ABE ∠=∠．∵BE AM ∥，AM CN ∥，∴BE AM CN ∥∥．∴C CBE ∠=∠．∵88ABC ∠=︒．∴88A C ABE CBE ABC ∠+∠=∠+∠=∠=︒．故答案为：88A C ∠+∠=︒；（2）解：A ∠和C ∠满足：92C A ∠-∠=︒．理由：过点B 作BE AM ∥，如图，∴A ABE ∠=∠．∵BE AM ∥，AM CN ∥，∴BE AM CN ∥∥．∴180C CBE ∠+∠=︒．∴180CBE C ∠=︒-∠．∵88ABC ∠=︒．∴88ABE CBE ∠+∠=︒．∴18088A C ∠+︒-∠=︒．∴92C A ∠-∠=︒；（3）解：设CH 与AB 交于点F ，如图，∵AE 平分MAB ∠，CH 平分NCB ∠，∥，∵a b24．B【分析】根据平行线的性质可求ABD ∠的度数，然后根据角平分线定义求解即可．【详解】解：AB CD P ，3100∠=︒，3100ABD ∴∠=∠=︒，BC 是ABD ∠的平分线，121502ABD ∴∠=∠=∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质求出ABD ∠的度数是解题的关键．25．D【分析】利用平行线的性质，角平分线的性质计算．【详解】解：155AB CD FGB ∠=︒ ∥，，180BEF EFD ∴∠+∠=︒，180********GFD FGB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，FG 平分EFD ∠，222550EFD GFD ∴∠=∠=⨯︒=︒，180********BEF EFD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．26．D【分析】由AB EF ∥，根据据两直线平行，内错角相等，可求出CDE ∠的度数，从而由3CEF AEF ∠=∠-∠可求得出CEF ∠的度数，再由CD EF ∥，根据两直线平行，同旁内角互补，求得2∠的度数即可．【详解】解：∵AB EF ∥，160∠=︒，∴160AEF ∠=∠=︒，∵320∠=︒，∴602040CEF ∠=︒-︒=︒，∵CD EF ∥，∴2180CEF ∠+∠=︒，∴218040140∠=︒-︒=︒．故选D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．27．C【分析】先根据对顶角相等可得5260∠=∠=︒，再根据平行线的判定可得a b P ，然后根据平行线的性质即可得．【详解】解：如图，260∠=︒ ，5260∴∠=∠=︒，160∠=︒ ，51∴∠=∠，a b ∴P ，4180180104376∠=︒-︒-︒=∴∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．28．B【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行三种判定方法进行判定即可．【详解】解：∵∠180BAD ABC ∠+∠=︒，∴BC AD ∥，故①不合题意；∵12∠=∠，∴AB CD P ，故②符合题意；∵3=4∠∠，∴BC AD ∥，故③不合题意；∵5E ADC ∠+∠=∠，5EDC ADC ∠+∠=∠，∴E EDC ∠=∠，∴AB CD P ，故④符合题意．故本题选：B ．【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握三种判定方法是解题关键．29．证明见解析【分析】先证明AB CD P ，再证明ME FN ∥，得到MEF EFN ∠=∠，利用等式的性质即可求解．【详解】证明：∵180AEF EFC ∠+∠=︒，∴AB CD P ，∴AEF DFE ∠=∠．∵M N ∠=∠，∴ME FN ∥，∴MEF EFN ∠=∠，∴AEF MEF EFD EFN ∠-∠=∠-∠，即12∠=∠．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是牢记平行线的判定与性质．30．BC ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；A ∠；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可．【详解】解：∵3=4∠∠（已知）∴AE BC ∥（内错角相等，两直线平行）∴5EDC ∠=∠（两直线平行，内错角相等）∵5A ∠=∠（已知）∴EDC A ∠=∠（等量代换）∴DC AB ∥（同位角相等，两直线平行）∴5180ABC ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）即523180∠+∠+∠=︒∵12∠=∠（已知）∴513180∠+∠+∠=︒（等量代换）即3180BCF ∠+∠=︒∴BE CF ∥（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：BC ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；A ∠；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答此题的关键．31．D【分析】由130GEF ∠=︒，135EFH ∠=︒可得1324265︒∠+∠+∠+∠=，由AB CD P 得34180∠+∠=︒，进而可求出12∠+∠的度数．【详解】解：如下图所示，∵130GEF ∠=︒，∴13130︒∠+∠=，∵135EFH ∠=︒，∵AB EF ∥，∴AB CM DN EF ∥∥∥，∴BCM DCM CDN EDN αγ∠∠∠∠＝，＝，＝，∵CDN EDN CDN βγ∠+∠∠+＝＝①，90BCD CDN α∠+∠︒＝＝②，由①②得：90αβγ+-︒＝．即90αβγ++︒＝故选：B ．【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解题的关键．34．D【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补）即可得到结论．【详解】∵AB CD EF ∥∥，∴31BDC ∠=∠+∠，=1802BDC ∠︒-∠，∴311802∠=∠+︒-∠，∴231801∠+∠=︒+∠，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题关键．35．C【分析】分别过E 、F 作GE AB ∥，FH CD ∥，再根据平行线的性质可以得到解答．【详解】解：分别过E 、F 作GE AB ∥，FH CD ∥，∵AB CD ∥，∴AB GE FH CD ∥∥∥，∴180ABE BEG ∠+∠=︒，180CDE DEG ∠+∠=︒，∴360ABE BEG CDE DEG ∠+∠+∠+∠=︒，即360ABE BED CDE ∠+∠+∠=︒，①正确；∴1β∠= EF CD ∥，CNE ENF ∠=∠()121802ENC α∴∠=∠=︒-∠∵1130350∠∠=︒=︒，，∴12l l ∥，∴45∠=∠，∵260350∠∠=︒=︒，，∴5180605070∠=︒-︒-︒=︒，在BCG V 中，180180904545BCG BGC B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，30DCE ∠=︒ ，90453015ECA ACB BCG DCE ∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，关键是理解平行线性质，灵活运用角的和差关系计算．42．(1)见解析(2)26DBC ∠=︒【分析】（1）由已知条件得出180BAD CDA ∠+∠=︒，根据同旁内角互补两直线平行，即可得证；（2）根据已知条件得出18012852ADC ∠=︒-︒=︒，根据角平分线的定义得出1262ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒，根据平行线的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵12180∠+∠=︒，1180,2180DAB ADC ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴180BAD CDA ∠+∠=︒，∴AB DC ∥；（2）解：∵180BAD CDA ∠+∠=︒，128DAB ∠=︒，∴18012852ADC ∠=︒-︒=︒，∵DB 平分ADC ∠，∴1262ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒，∵AD BC ∥，∴26DBC ADB ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．43．(1)见解析(2)110︒【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定AB CD ∥，得到2ADC ∠=∠，等量代换得出3180ADC ∠+∠=︒，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；（2）由CE AE ⊥，AD CE ∥得出90CEF DAF ∠∠==︒，再根据平行线的性质即可求出235ADC ∠=∠=︒，再根据角平分线的定义即可得解．【详解】（1）证明：∵1BDC ∠=∠，∴AB CD ∥，∴2ADC ∠=∠，∵23180∠+∠=︒，∴3180ADC ∠+∠=︒，∴AD CE ∥；（2）解：∵CE AE ⊥于E ，∴90CEF ∠=︒，由（1）知AD CE ∥，∴90CEF DAF ∠∠==︒，∴2ADC DAF FAB ∠=∠=∠-∠，∵55FAB ∠=︒，∴35ADC ∠=︒，∵DA 平分BDC ∠，1BDC ∠=∠，∴1270BDC ADC ∠=∠=∠=︒，∴18070110ABD ∠=︒-︒=︒．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础．44．(1)180°(2)见解析【分析】（1）根据四边形的内角和解答即可；（2）根据四边形的内角和得出180OEC OFC ∠+∠=︒，由角平分线的定义得出()111809022CEG CFH MEC NFC ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，过C 点作CD EG ∥，由平行线的性质与判定即可得出结论．【详解】（1）解：在四边形OECF 中由90C ∠=︒，a b ⊥r r ，得180OEC OFC ∠+∠=︒，故答案为：180°；（2）证明：在四边形OECF 中∵90C ∠=︒，a b ⊥r r ，得180OEC OFC ∠+∠=︒，∵180MEC OEC ∠=︒-∠，180NFC OFC ∠=︒-∠，∴()()180180MEC NFC OEC OFC ∠+∠=︒-∠+︒-∠∵90ODE ∠=︒，∴1409050PDE ∠=︒-︒=︒．（3）如图，∵DP FD ⊥，（4）如图，当PD 在EDF ∠的外部时，∵45EDF ∠=︒，23PDF ∠=∠同理可得：2453 PDF∠=⨯∴PDE EDF PDF∠=∠-∠【点睛】本题考查的是垂直的定义，角平分线的定义，平行线的性质，角的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的,BAP PAC∴∠=∠∠BAP PAC∴∠=∠=∠故答案为：BAP∠=（2）证明：如图2，DBA BAG ∴∠=∠AP 平分BAC∠BAP PAC ∴∠=∠DBA BAG ∴∠=∠5DBA ACE ∠=∠ 在图3中，∵AB AC ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵AP 平分BAC ∠，∴1452PAB PAC BAC ∠=∠=∠=︒，∵DM FG ∥，BAG DBA x∴∠=∠=45PAG PAB BAG x∴∠=∠+∠=︒+90BAC ∠=︒9090FAC BAG x∴∠=︒-∠=︒-PAG FAC∠=∠ 4590x x∴︒+=︒-解得：22.5x =︒，22.5DBA ∴∠=︒；在图4中，∵AB AC ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵AP 平分BAC ∠，∴1452P AB P AC BAC ∠=∠=∠=''︒，∵DM FG ∥，BAG DBA x∴∠=∠=45P AG BAG P AB x ∴∠=∠-='∠-'︒()180********PAG P AG x x∴∠=︒-∠=︒--︒=︒-'90CAG x∠=︒- ()1801809090FAC CAG x x∴∠=︒∠=︒-︒-=︒+PAG FAC∠=∠ 22590x x∴︒-=︒+解得：67.5x =︒，67.5DBA ∴∠=︒；综上所述，DBA ∠的度数为22.5︒或67.5︒．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义综合题；熟练和灵活运用其性质建立好等量关系是解决本题的关键．。

专题平行线的判定与性质(解析版)--七年级数学下册

专题02平行线的判定与性质1．（2022秋•项城市期末）如图，已知∠B＝∠ADE，∠EDC＝∠GFB，GF⊥AB，求证：CD⊥AB．把以下证明过程补充完整，并在括号内填写理由或数学式．证明：∵∠B＝∠ADE（已知）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠EDC＝∠DCB（两直线平行，内错角相等）又∠EDC＝∠GFB（已知）∴∠DCB＝∠GFB（等量代换）∴GF∥CD（同位角相等，两直线平行）【分析】根据平行线的判定与性质即可证得．【解答】证明：∵∠B＝∠ADE（已知），∴DE∥BC（同位角相等；两直线平行），∴∠EDC＝∠DCB（两直线平行，内错角相等），又∠EDC＝∠GFB（已知），∴∠DCB＝∠DFG（等量代换），∴GF∥CD（同位角相等，两直线平行），故答案为：DE，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠GFB，GF，CD，同位角相等，两直线平行．2．（2023秋•道里区校级期中）将下面的解答过程补充完整：如图，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么EF与AB平行吗？为什么？解：因为DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等①），因为EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝∠CFE②（角平分线的定义），所以∠CFE＝∠CEF（等量代换③），因为∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝∠CEF④（等量代换），所以EF∥AB（同位角相等，两直线平行⑤）．【分析】先根据两直线平行，内错角相等，得到∠DEF＝∠CFE，再根据角平分线得出∠DEF＝∠CEF，进而得到∠CFE＝∠CEF，再根据∠A＝∠CFE，即可得出∠A＝∠CEF，进而根据同位角相等，两直线平行，判定EF∥BC．【解答】解：因为DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等①），因为EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝∠CFE②（角平分线的定义），所以∠CFE＝∠CEF（等量代换③），因为∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝∠CEF④（等量代换），所以EF∥AB（同位角相等，两直线平行⑤）故答案为：两直线平行，内错角相等，∠CFE．等量代换，∠CEF，同位角相等，两直线平行．3．（2022秋•尤溪县期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠C＝76°，∠AED＝2∠3，求∠CEF的度数．【分析】（1）由已知条件可证得AB∥EF，从而有∠B＝∠EFC，则得∠3＝∠EFC，得证DE∥BC；（2）由（1）得DE∥BC，利用两直线平行，同旁内角互补可求解．【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4，∴AB∥EF，∴∠B＝∠EFC，∵∠B＝∠3，∴∠3＝∠EFC，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∠C＝76°，∴∠C+∠DEC＝180°，∠AED＝∠C＝76°，∵∠AED＝2∠3，∴∠3＝38°∵∠DEC＝180°﹣∠C＝104°，∴∠CEF＝∠DEC﹣∠3＝104°﹣38°＝66°．4．（2023秋•怀宁县期中）如图，已知EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．小明添加的条件：∠B＝∠ADG．请你帮小明将下面的证明过程补充完整．证明：∵EF∥CD（已知）∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等）∵∠B＝∠ADG（添加条件）∴BC∥DG（同位角互补，两直线平行）∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）．【分析】证明BC∥DG即可解答．【解答】证明：∵EF∥CD（已知），∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠ADG，∴BC∥DG（同位角相等，两直线平行），∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）；故答案为：∠BCD，两直线平行，同位角相等；DG，同位角互补，两直线平行；∠BCD，两直线平行，内错角相等，等量代换．5．（2022秋•长春期末）请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：∠B＝∠C证明：∵∠1＝∠2，（已知）又：∵∠1＝∠3，对顶角相等∴∠2＝∠3，（等量代换）∴AE∥FD同位角相等，两直线平行∴∠A＝∠BFD两直线平行，同位角相等∵∠A＝∠D（已知）∴∠D＝∠BFD（等量代换）∴AB∥CD内错角相等，两直线平行∴∠B＝∠C两直线平行，内错角相等．【分析】先根据题意得出∠2＝∠3，故可得出AE∥FD，故∠A＝∠BFD，再由∠A＝∠D可得出∠D＝∠BFD，故可得出AB∥CD，进而可得出结论．【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），又∵∠1＝∠3对顶角相等，∴∠2＝∠3（等量代换），∴AE∥FD（同位角相等，两直线平行），∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）．∵∠A＝∠D（已知），∴∠D＝∠BFD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．故答案为：对顶角相等；∠3；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BFD；AB，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．6．（2022秋•闽清县期末）如图，AB∥CD，E是BC的延长线上的一点，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：（1）∠B＝∠D；（2）AD∥BE．【分析】（1）根据∠3＝∠4，可得∠AFD＝∠3，再由三角形内角和定理，即可求证；（2）根据平行线的性质可得∠B+∠BCD＝180°，从而得到∠BCD+∠D＝180°，即可求证．【解答】证明：（1）∵∠AFD＝∠4，∠3＝∠4，∴∠AFD＝∠3，∵∠B＝180°﹣∠1﹣∠3，∠D＝180°﹣∠2﹣∠AFD，又∠1＝∠2，∴∠B＝∠D；（2）∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠B＝∠D．∴∠BCD+∠D＝180°，∴AD∥BE．7．（2023春•石城县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．【分析】（1）求出∠ABC+∠A＝180°，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质求出∠DBC，根据垂直推出BD∥EF，根据平行线的性质即可求出∠EFC．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，∴∠DBC＝∠ADB＝36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠EFC＝36°8．（2022秋•淇县期末）如图，已知AD∥FE，∠1＝∠2．（1）试说明DG∥AC；（2）若∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．【分析】（1）只要证明∠2＝∠DAC即可．（2）利用平行线的性质解决问题即可．【解答】解：（1）∵AD∥EF，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DAC，∴DG∥AC．（2）∵DG∥AC，∴∠AGD+∠BAC＝180°，∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°9．（2022秋•禅城区期末）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．【分析】（1）根据平行线的性质与判定方法证明即可；（2）设∠EDC＝x°，由∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC可得∠BFD＝∠BDF＝2x°，根据平行线的性质可得∠DFB＝∠FDE＝2x°，再根据平角的定义列方程可得x的值，进而得出∠B的度数．【解答】解：（1）证明：∵DF∥CA，∴∠DFB＝∠A，又∵∠FDE＝∠A，∴∠DFB＝∠FDE，（2）设∠EDC＝x°，∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，由（1）可知DE∥BA，∴∠DFB＝∠FDE＝2x°，∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，∴x＝36，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝36°．30．（2023春•驿城区校级期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）试说明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．【分析】（1）由平行线的性质可得∠BAD＝∠1，从而可求得∠BAD+∠2＝180°，即可判断；（2）由题意可求得∠1＝38°，再由角平分线的定义可得∠CDG＝∠1＝38°，再利用平行线的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°，∴∠1＝38°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠CDG＝∠1＝38°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠CDG＝38°．11．（2023秋•香坊区校级期中）完成下面推理过程，并在括号里填写推理依据：如图，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求证：AB∥CD．证明：∵AB∥EF（已知），∴∠APE＝∠PEF，∵EP⊥EQ（已知），∴∠PEQ＝90°），即∠QEF+∠PEF＝90°，∴∠QEF+∠APE＝90°，∵∠EQC+∠APE＝90°（已知），∴∠EQC＝∠QEF（同角的余角相等），∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行），又∵AB∥EF，∴AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．【分析】根据平行线的性质、判定填空即可．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠APE＝∠PEF．∵EP⊥EQ，∴∠PEQ＝90°（垂直的定义）．即∠QEF+∠PEF＝90°．∴∠APE+∠QEF＝90°．∵∠EQC+∠APE＝90°，∴∠EQC＝∠QEF（同角的余角相等）．∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．故答案为：PEF；∠QEF；同角的余角相等；CD，内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．12．（2022秋•邓州市期末）如图，点M在CD上，已知∠BAM+∠AMD＝180°，AE平分∠BAM，MF平分∠AMC，请说明AE∥MF的理由．解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（已知），∠AMC+∠AMD＝180°（平角的定义），所以∠BAM＝∠AMC（等量代换）．因为AE平分∠BAM，所以∠BAM（角平分线的定义）．因为MF平分∠AMC，所以∠AMC，得∠1＝∠2（等量代换），所以AE∥MF（内错角相等，两直线平行）．【分析】根据角平分线的定义，平行线的判定定理完成填空即可求解．【解答】解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（已知），∠AMC+∠AMD＝180°（平角的定义），所以∠BAM＝∠AMC（等量代换）．因为AE平分∠BAM，所以∠BAM（角平分线的定义）．因为MF平分∠AMC，所以∠AMC，得∠1＝∠2（等量代换），所以AE∥MF（内错角相等，两直线平行）故答案为：已知；平角的定义；等量代换；∠BAM；角平分线的定义；∠AMC；∠1＝∠2；等量代换；AE∥MF；内错角相等，两直线平行．13．（2022秋•桐柏县期末）完成下面推理过程．如图：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）∴∠A+∠ABC＝180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）∴∠BDF＝∠EFC＝90°∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）∴∠1＝∠2（等量代换）【分析】根据推理过程，填上依据即平行线的性质或者判定．【解答】证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知），∴∠A+∠ABC＝180°．∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）．∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知），∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．∴∠BDF＝∠EFC＝90°．∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）．∴∠1＝∠2（等量代换）．故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．14．（2023秋•天山区校级期中）已知，GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，∠GPH＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠AGE＝60°，求∠4的度数．【分析】（1）依据三角形内角和定理，即可得到∠1+∠3＝90°，再根据角平分线的定义，即可得到∠BGH+∠DHG＝2（∠1+∠3）＝180°，进而得出AB∥CD；（2）依据对顶角相等以及平行线的性质，即可得到∠DHG＝180°﹣60°＝120°，再根据HP平分∠GHD，即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠GPH＝90°，∴△GHP中，∠1+∠3＝90°，又∵GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，∴∠BGH＝2∠1，∠DHG＝2∠3，∴∠BGH+∠DHG＝2（∠1+∠3）＝180°，∴AB∥CD；（2）∵∠BGH＝∠AGE＝60°，∴∠DHG＝180°﹣60°＝120°，又∵HP平分∠GHD，∴∠4＝∠DHG＝×120°＝60°．15．（2023春•覃塘区期末）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．（1）求证：EF∥BH；（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．【分析】（1）要证明EF∥BH，可通过∠E与∠EBH互补求得，利用平行线的性质说明∠EBH＝∠CHB 可得结论．（2）要求∠CHO的度数，可通过平角和∠FHC求得，利用（1）的结论及角平分线的性质求出∠FHB 及∠BHC的度数即可．【解答】证明：（1）∵∠HCO＝∠EBC，∴EB∥HC．∴∠EBH＝∠CHB．∵∠BHC+∠BEF＝180°，∴∠EBH+∠BEF＝180°．∴EF∥BH．（2）解：∵∠HCO＝∠EBC，∴∠HCO＝∠EBC＝64°，∵BH平分∠EBO，∴∠EBH＝∠CHB＝∠EBC＝32°．∵EF⊥AO于F，EF∥BH，∴∠BHA＝90°．∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°．∵∠CHO＝180°﹣∠FHC＝180°﹣122°＝58°．16．（2023春•新化县期末）如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂足为点O．已知∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）若AF＝12，BF＝5，AB＝13，求点F到直线AB的距离．【分析】（1）应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案；（2）设点F到直线AB的距离为h，根据等面积法可得SAFB＝，代入计算即可得出h△的值，即可得出答案．【解答】（1）证明：因为∠l＝∠B（已知），所以CE∥BF（同位角相等，两直线平行），因为AF⊥CE（已知），所以AF⊥BF（垂直的性质），所以∠AFB＝90°（垂直的定义），又因为∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）．即∠AFC+∠2＝90°，又因为∠A+∠2＝90，所以∠AFC＝∠A（同角的余角相等），所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；（2）解：因为AF⊥BF（已证），且AF＝12，BF＝5，AB＝13．设点F到直线AB的距离为h．所以SAFB＝，△所以，即h＝，所以点F到直线AB的距离为．17．（2023春•温州月考）如图，已知∠1＝∠3，∠2＝∠B．（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由；（2）若DE平分∠ADC，∠1＝3∠B，求∠EFC的度数．【分析】（1）根据已知条件判定AB∥EF，再结合平行线的性质可得∠ADE＝∠B，从而判定出最终结论．（2）设∠B＝x，结合已知条件，分别把∠1，∠ADE，∠ADC表示出来，根据∠ADB是平角列出方程，求出x的值，进而求出∠EFC的度数．【解答】解：（1）DE∥BC，理由如下：∵∠1＝∠3，∴AB∥EF，∴∠2＝∠ADE，∵∠2＝∠B，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC（2）设∠B＝x，则∠1＝3∠B＝3x，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝x，∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE＝2x，∴x＝36°，∴∠ADC＝2x＝72°，∵AB∥EF，∴∠EFC＝∠ADC＝72°18．（2023春•仙居县期末）如图是一个汉字“互”字，其中，AB∥CD，HF∥GE，∠HGE＝∠HFE，M、H、G三点在同一直线上，N、E、F三点在同一直线上．求证：（1）GH∥EF；（2）∠CMH＝∠BNE．【分析】（1）根据“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”证明即可；（2）延长EF，与CD交于点I．根据“两直线平行，内错角相等”和角的等量代换证明即可．【解答】证明：（1）∵HF∥GE，∴∠HFE+∠GEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．又∵∠HGE＝∠HFE，∴∠HGE+∠GEF＝180°，∴GH∥EF（同旁内角互补，两直线平行）．（2）延长EF，与CD交于点I．∵GH∥EF，∴∠CMH＝∠MIF．又∵AB∥CD，∴∠MIF＝∠BNE．∴∠CMH＝∠BNE．19．（2022秋•东阳市期末）如图，长方形纸片ABCD中，G、H分别是AB、CD边上的动点，连GH，将长方形纸片ABCD沿着GH翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．（1）若∠BGH＝110°，求∠AGE的度数．（2）若∠FHD＝20°，求∠CHG的度数．（3）已知∠BGH和∠CHG始终互补，若∠BGH＝α，请直接写出∠FHC的度数（含α的代数式）．【分析】（1）根据折叠得到∠BGH＝∠EGH＝110°，再根据平角的定义，利用∠AGE＝∠BGH+∠EGH ﹣180°计算可得；（2）根据折叠得到∠CHG＝∠FHG，再根据平角的定义计算即可；（3）根据互补得到∠BGH+∠CHG＝180°，从而求出∠CHG＝∠FHG＝180°﹣α，继而可得结果．【解答】解：（1）由折叠可得：∠BGH＝∠EGH＝110°，∵∠BGH+∠AGH＝180°，∴∠AGE＝∠BGH+∠EGH﹣180°＝40°；（2）由折叠可得：∠CHG＝∠FHG，∴；（3）∵∠BGH和∠CHG始终互补，∴∠BGH+∠CHG＝180°，∵∠BGH＝α，∴∠CHG＝180°﹣α，∴∠FHG＝180°﹣α，∴∠FHC＝∠FHG+∠CHG＝360°﹣2α．20．（2023春•金牛区校级期中）如图1，直线GH与直线l1，l2分别交于B，A两点，点C在直线l2上，射线AD平分∠BAC交直线l1于点E，∠GBE＝2∠BAE．（1）求证：直线l1∥l2；（2）如图2，点Q在直线l1上（B点左侧），AM平分∠BAQ交l1于点M，过点M作MN⊥AD交AD于点N，请猜想∠BQA与∠AMN的关系；并证明你的结论；（3）若点P是线段AB上一点，射线EP交直线l2于点F，∠GBE＝130°．点N在射线AD上，且满足∠EBN＝∠EFC连接BN，请补全图形，探究∠BNA与∠FEA满足的等量关系，并证明．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAC＝2∠BAE，等量代换可得∠GBE＝∠BAC，根据平行线的判定定理，即可得证；（2）设∠DAB＝∠DAC＝α，∠BAM＝∠QAM＝β，根据三角形的内角和定理以及平行线的性质得出∠BQA，∠AMN，即可求解；（3）根据题意补充图形，分两种情况讨论，①当N在AE上时，设∠EBN＝∠EFC＝θ，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质，分别表示出∠BNA，∠FEA，可的结论；②当点N在AE的延长线上时，根据平行线的性质，即可求解．【解答】（1）证明：∵射线AD平分∠BAC交直线l1于点E，∠GBE＝2∠BAE，∴∠BAC＝2∠BAE，∴∠GBE＝∠BAC，∴l1∥l2；（2）解：∠BQA＝2∠AMN；理由如下，∵AD平分∠BAC，AM平分∠BAQ，∴，设∠DAB＝∠DAC＝α，∠BAM＝∠QAM＝β，∵MN⊥AD，∴∠MNA＝90°，则∠AMN＝90°﹣∠MAD＝90°﹣（∠MAB+∠DAB）＝90°﹣（α+β），∵l1∥l2，∴∠BQA＝180°﹣∠QAC＝180°﹣2（α+β），∴∠BQA＝2∠AMN；（3）解：∠BNA+∠FEA＝130°，理由如下，补全图形，如图所示，①当N在AE上时，∵∠EBN＝∠EFC，设∠EBN＝∠EFC＝θ，∵l1∥l2，∠GBE＝130°，∴∠BEF＝∠EFC＝θ，∠BAC＝∠GBE＝130°，∵AD平分∠BAC，，∵l1∥l2，∴∠BEA＝∠EAC＝65°，∴∠BNA＝∠NBE+∠BEN＝65°+θ，∠FEA＝∠NEB﹣∠BEF＝65°﹣θ，∴∠BNA+∠FEA＝130°，②如图，当点N在AE的延长线上时，∠BNA＝∠FEA，∵l1∥l2，∴∠BEF＝∠EFC，∵∠EBN＝∠EFC，∴∠BEF＝∠EBN，∴BN∥EF，∴∠BNA＝∠FEA．21．（2023春•义乌市校级期中）今年除夕夜长江两岸的灯光秀璀璨夺目，照亮山城的山水桥梁城市楼阁，人民欢欣鼓舞．观看表演的小语同学发现两岸的灯光运动是有规律的，如图1所示，灯A射出的光线从AQ开始顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射出的光线从BM开始顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停旋转．假设长江两岸是平行的，即PQ∥MN，点A在PQ上，B、C、D在MN上，连接AB、AC、AD，已知AC平分∠BAP，AD平分∠CAP．（1）如图1，若∠ABD＝40°，则∠CAQ＝110°；（2）如图2，在PQ上另有一点E，连接CE交AD于点F，点G在MN上，连接AG，若∠CAG＝∠CAE，∠EFD+∠DAG＝180°，试证明：EC∥AB．（3）如图3，已知灯A射出的光线旋转的速度是每秒10°，灯B射出的光线旋转的速度是每秒30°，若灯B射出的光线从BM出发先转动2秒，灯A射出的光线才从AQ出发开始转动，设灯A转动的时间为t秒，在转动过程中，当0≤t≤12时，请直接写出灯A射出的光线与灯B射出的光线相交且互相垂直时的时间t的值．【分析】（1）根据两直线平行内错角相等，得出∠QAB＝∠ABD＝40°，再根据平角的定义，得出∠BAP ＝140°，再根据角平分线的定义，得出∠BAC＝70°，再根据角之间的数量关系，计算即可得出答案；（2）根据角平分线的定义，得出∠CAE＝2∠CAF，进而得出，再根据对顶角相等和三角形的内角和定理，得出∠EFD＝∠AFC，∠AFC+∠ACE+∠CAF＝180°，进而得出，再根据等量代换，得出∠ACE＝∠CAE，即∠ACE＝∠CAP，再根据角平分线的定义，得出∠CAP＝∠CAB，再根据等量代换，得出∠ACE＝∠CAB，再根据内错角相等两直线平行，即可得出结论；（3）根据题意，分三种情况：当0≤t≤4时、当4＜t≤10时、当10＜t≤12时，分别画出图形，根据角之间的数量关系，列出方程进行计算即可．【解答】解：（1）∵PQ∥MN，∠ABD＝40°，∴∠QAB＝∠ABD＝40°，∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝180°﹣40°＝140°，∵AC平分∠BAP，∴，∴∠CAQ＝∠BAC+∠QAB＝70°+40°＝110°；故答案为：110°；（2）∵AD平分∠CAP，∴∠CAE＝2∠CAF，∵，∴，∵∠EFD＝∠AFC，∠AFC+∠ACE+∠CAF＝180°，又∵，∴，∴，∴，∴，∴3∠CAF＝∠ACE+∠CAF，即∠ACE＝2∠CAF，∴∠ACE＝∠CAE，即∠ACE＝∠CAP，∵AC平分∠BAP，∴∠CAP＝∠CAB，∴∠ACE＝∠CAB，∴EC∥AB；（3）当0≤t≤4时，如图，∵∠M'AC＝10°t，∠MBM'＝30°（2+t），∵AQ'⊥BM'，∴∠BM'A＝90°﹣10°t，∵PQ∥MN，∴∠MBM'+∠AM'B＝180°，即30°（2+t）+（90°﹣10°t）＝180°，解得：；当4＜t≤10时，如图，∵∠N'AC＝10°t，∵AQ'⊥BN'，∴∠BN'A＝90°﹣10°t，∵∠NBN'＝30°（t﹣4），∴90°﹣10°t＝30°（t﹣4），解得：；当10＜t≤12时，如图，∵∠MBM'＝30（t﹣10），AQ'⊥BM'，∴∠AQ'M＝90+30（t﹣10），∵∠QAQ'＝10t，PQ∥MN，∴90+30（t﹣10）＝10t，解得：，在图形的左边垂直，10t+20t﹣120+30（t﹣10）＝90，综上所述，t的值秒或秒或或9.75秒．22．（2022秋•萍乡期末）已知点A在射线CE上，∠C＝∠ADB．（1）如图1，若AD∥BC，求证：AC∥BD；（2）如图2，若BD⊥BC，垂足为B，BD交CE于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠BAC＝∠BAD，∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．【分析】（1）根据AD∥BC，可得∠DAE＝∠C，再根据∠C＝∠ADB，即可得到∠DAE＝∠ADB，即可得证；（2）∠DAE+2∠C＝90°．根据三角形外角的性质，可得到∠CGB＝∠ADB+∠DAE，根据直角三角形两锐角互余，有∠CGB+∠C＝90°，再根据∠C＝∠ADB即可得到∠DAE与∠C的数量关系；（3）设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∠AFD＝180°﹣8α，根据DF∥BC，即可得到∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，再根据∠DAE+2∠C＝90°，即可得到α+2（180°﹣8α）＝90°，求得α的值，即可运用三角形内角和定理得到∠BAD的度数．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠C，又∵∠C＝∠ADB，∴∠DAE＝∠ADB，∴AC∥BD；（2）解：∠DAE+2∠C＝90°理由如下：∵∠CGB是△ADG的外角，∴∠CGB＝∠ADB+∠DAE，∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴在△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，∴∠ADB+∠DAE+∠C＝90°，又∵∠C＝∠ADB，∴∠DAE+2∠C＝90°；（3）解：设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∴∠AFD＝180°﹣8α，∵DF∥BC，∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，又∵∠DAE+2∠C＝90°，∴2（180°﹣8α）+α＝90°，∴α＝18°，∴∠C＝180°﹣8×18°＝36°，∴∠ADB＝∠C＝36°，又∵∠BAC＝∠BAD，∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝∠ABD，∵∠CBD＝90°，∴，∴在△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°，∴∠BAD的度数为99°．23．（2022秋•鲤城区校级期末）如图①，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH．（1）已知∠EFD＝70°，求∠B的度数；（2）求证：FH平分∠GFD．（3）在（1）的条件下，若∠FQH＝30°，将△FHQ绕着点F顺时针旋转，如图②，若当边FH转至线段EF上时停止转动，记旋转角为α，请求出当α为多少度时，QH与△EBF某一边平行？（4）在（3）的条件下，直接写出∠DFQ与∠GFH之间的关系．【分析】（1）由AB∥CD，得∠B＝∠BFD，又∠B＝∠EFB，得证；（2）由（1）∠EFB＝∠BFD，由FH⊥FB，得∠BFD+∠DFH＝90°，∠EFB+∠GFH＝90°，由等角的余角相等，得∠DFH＝∠GFH，命题得证；（3）由QH分别与△EBF的三边分别平行，分情况讨论处理；（4）在（3）的各种情况下，分别计算∠DFQ与∠GFH的度数，可得结论∠DFQ与∠GFH相差20°．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，又∠B＝∠EFB，∴，∴∠B＝35°；（2）∵FH⊥FB，∴∠BFD+∠DFH＝90°，∠EFB+∠GFH＝90°，∴∠DFH＝∠GFH，∴FH平分∠GFD．（3）①QH与△EFB的边BF平行时，如下图1及图4，如图1，∵BF∥HQ，∴∠H+∠BFH＝180°，又∠H＝60°，∴∠BFH＝120°，α＝∠BFQ＝120°﹣∠HFQ＝120°﹣90°＝30°；如图4，∠HFB＝∠H＝60°，α＝∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠HFB+∠HFQ）＝360°﹣（60°+90°）＝210°；②QH与△EFB的边BE平行时，如下图2，∠1＝∠3＝35°，∠2＝∠4＝30°，∴α＝∠BFQ＝∠1+∠2＝35°+30°＝65°；③QH与△EFB的边EF平行时，如下图3，∠3＝∠Q＝30°，∴α＝∠BFQ＝∠1+∠2+∠3＝35°+110°+30°＝175°，综上，旋转角为α＝30°或65°或175°或210°．（4）α＝30°时，∠DFQ＝∠DFB﹣∠BFQ＝35°﹣30°＝5°，∠GFH＝90°﹣∠EFB﹣∠BFQ＝90°﹣35°﹣30°＝25°；α＝65°时，∠DFQ＝65°﹣35°＝30°，∠GFH＝90°﹣∠GFQ＝90°﹣（180°﹣35°﹣65°）＝10°；α＝175°时，∠DFQ＝175°﹣35°＝140°，∠GFH＝180°﹣60°＝120°；α＝210°时，∠DFQ＝210﹣35°＝175°，∠GFH＝360°﹣110°﹣35°﹣60°＝155°；综上，∠DFQ与∠GFH相差20°．24．（2023秋•香坊区校级期中）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2＝180°．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，∠HPQ＝45°，K是GH上一点，连接PK，作PQ平分∠EPK，若∠PHG＝15°，求∠QPK的度数．【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线AB与直线CD平行；（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF ＝90°，进而证明PF∥GH；（3）根据直角三角形的性质求出∠HPG＝75°，根据角的和差及邻补角定义求出∠EPQ＝60°，根据角平分线定义求解即可．【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP＝（∠BEF+∠EFD）＝90°，∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF，∵GH⊥EG，∴PF∥GH；（3）解：∵∠PHG＝15°，GH⊥EG，∴∠HPG＝90°﹣15°＝75°，∵∠HPQ＝45°，∴∠QPG＝∠HPQ+∠HPG＝120°，∵∠QPG+∠EPQ＝180°，∴∠EPQ＝60°，∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK＝∠EPQ＝60°．25．（2023秋•吉林期中）如图①，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠ACB＝∠E ＝90°，∠EDF＝36°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，如图②，记∠ADF为α（0°＜α＜180°），在旋转的过程中：（1）当∠α＝4°时，DE∥BC，当∠α＝94°时，DE⊥BC；（2）如图③，当顶点C在△DEF的内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N．①求出此时∠α的度数范围；②∠1与∠2的度数和是否变化？若不变，请直接写出∠1与∠2的度数和；若变化，请说明理由．【分析】（1）由DE∥BC得∠EDA＝∠ABC＝40°，再根据α＝∠EDA﹣∠EDF可得出答案；先求出∠A ＝50°，由DE⊥BC得DE∥AC，进而得∠EDA+∠A＝180°，由此得∠EDA＝＝130°，然后根据α＝∠FDA＝∠EDA﹣∠EDF可得出答案；（2）①先求出∠BCD＝∠ACD＝45°，∠CDA＝85°，求出当DE和CD重合时α＝∠CDA﹣∠EDF＝49°，当EF与CD重合时，α＝∠CDA＝85°，据此可求出∠α的度数范围；②连接MN，在△CMN中得∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，则∠CNM+∠CMN＝90°，在△MND中得∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，即∠2+∠CNM+∠1+∠CMN+∠MDN＝180°，据此可得∠1+∠2的度数【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，∴当DE∥BC时，∠EDA＝∠ABC＝40°，如图①所示：又∵∠EDF＝36°，∴α＝∠EDA﹣∠EDF＝40°﹣36°＝4°，故当∠α＝4°时，DE∥BC；在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，∴∠A＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝50°，当DE⊥BC时，则DE∥AC，如图②所示：∴∠EDA+∠A＝180°，∴∠EDA＝180°﹣∠A＝130°，又∠EDF＝36°，∴α＝∠FDA＝∠EDA﹣∠EDF＝130°﹣36°＝94°，故当α＝94°时，DE⊥BC．故答案为：4，94．（2）①∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∴∠CDA＝180°﹣（∠ACD+∠A）＝180°﹣（45°+50°）＝85°，当DE和CD重合时，α＝∠CDA﹣∠EDF＝85°﹣36°＝49°，当EF与CD重合时，α＝∠CDA＝85°，∴当顶点C在△DEF的内部时，∠α的度数范围是：49°＜α＜85°．②∠1与∠2的度数和不发生变化，∠1+∠2＝54°，理由如下：连接MN，如图③所示：在△CMN中，∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，∵∠MCN＝∠ACB＝90°，∴∠CNM+∠CMN＝90°，在△MND中，∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，即∠2+∠CNM+∠1+∠CMN+∠MDN＝180°，∵∠CNM+∠CMN＝90°，∠MDN＝∠EDF＝36°，∴∠1+∠2+90°+36°＝180°，∴∠1+∠2＝180°﹣90°﹣36°＝54°．。

平行线的判定例题与讲解

3 平行线的判定1．平行线的判定公理(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单记为：同位角相等，两直线平行．如图，推理符号表示为：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.谈重点同位角相等，两直线平行①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；②应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角相等(数量关系)来确定两条直线平行(位置关系)，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”．(2)平行公理的推论：①垂直于同一条直线的两条直线平行．若a⊥b，c⊥b，则a∥c；②平行于同一条直线的两条直线平行．若a∥b，c∥b，则a∥c.【例1】工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB和∠GFD的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB和∠GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？解析：判定两条直线是否平行，常根据两条直线被第三条直线所截而构成的角来判断．题中∠EGB和∠GFD是直线AB和直线CD(墙的上下边缘)被直线EF所截时形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可知只有∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．答案：∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．其依据是同位角相等，两直线平行．2．平行线的判定定理(1)判定定理1两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单记为：同旁内角互补，两直线平行．符号表示：如下图，∵∠2＋∠3＝180°，∴AB∥CD.谈重点同旁内角互补，两直线平行①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；②应用时，找准哪两个角是同旁内角，使哪两条直线平行．(2)判定定理2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单记为：内错角相等，两直线平行．符号表示：如上图，∵∠2＝∠4，∴AB∥CD.【例2－1】如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，这是根据________，两直线平行．解析：由题图可看出，直线AB和CD被直线BC所截，此时两块相同的三角板的两个最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．答案：内错角相等【例2－2】如图，下列说法中，正确的是()．A．因为∠A＋∠D＝180°，所以AD∥BCB．因为∠C＋∠D＝180°，所以AB∥CDC．因为∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CDD ．因为∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD错解：A或B或D错解分析：判定直线平行所需要的内错角或同旁内角找不准．条件不能推出结论.正解：C正解思路：∠A与∠D是直线AB和CD被直线AD所截得到的同旁内角．因为∠A＋∠D ＝180°，所以AB∥CD.3．平行线的判断方法平行线的判定方法主要有以下六种：(1)平行线的定义(一般很少用)．(2)同位角相等，两直线平行．(3)同旁内角互补，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行．(6)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．析规律如何选择判定两直线平行的方法①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补．【例3】如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：__________，使a∥b.解析：本题主要是考查平行线的三种判定方法．若从“同位角相等，两直线平行”考虑，可填∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠3＝∠7，∠4＝∠8中的任意一个条件；若从“内错角相等，两直线平行”考虑，可填∠3＝∠6，∠4＝∠5中的任意一个；若从“同旁内角互补，两直线平行”考虑，可填∠3＋∠5＝180°，∠4＋∠6＝180°中的一个条件；从其他方面考虑，还可以填∠1＝∠8，∠2＝∠7，∠1＋∠7＝180°，∠2＋∠8＝180°，∠4＋∠7＝180°，∠3＋∠8＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠6＝180°中的任意一个条件．答案：答案不唯一，如可填下列之一：∠1＝∠5或∠4＝∠5或∠3＋∠5＝180°…4．平行线判定的应用(1)平行线的生活应用数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否符合平行的要求……对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行．(2)平行线在数学中的运用平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解决其他有关的问题．常见的条件探索题就是其应用之一．探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解决探索性问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握．释疑点判定平行的关键判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系．【例4－1】如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？__________(填“合格”或“不合格”)．解析：要判断AB边与CD边平行，则需满足同旁内角互补的条件．∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＋∠BCD＝120°＋60°＝180°.∴AB∥CD.∴这个零件合格．答案：合格【例4－2】已知：如图在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．分析：根据四边形ABCD的内角和是360°，结合已知条件得到∠A＋∠B＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC.解：AD与BC的位置关系是平行．理由：∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴∠A＋∠B＝180°.∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．点评：本题考查四边形的内角和以及利用同旁内角互补，来判定两直线平行．。

【精心整理】平行线的性质知识点总结、例题解析

平行线的性质知识点总结、例题解析知识点1【平行线的性质】（1）性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等．∵AB∥CD∴∠2=∠3（2）性质2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补．∵AB∥CD∴∠2+∠4=180°（3）性质3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简称：两直线平行，内错角相等。

∵AB∥CD∴∠1=∠2【例题1】如图，已知DE∥BC，∠B=80°，∠C=56°，求∠ADE和∠AEC的度数。

【答案】∠ADE=80°；∠AEC=124°【例题2】如图，平行线AB。

CD被直线AE所截，若∠1=110°，则∠2等于（）A、70B、80C、90D、110【答案】A【例题3】如图，已知AB∥CD，∠1=150°，∠2=______【答案】30°【例题4】在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上:若∠1=55°，则∠2的度数是_______【答案】35°【例题5】如图所示，已知∠AOB=50 °，PC ∥OB ，PD 平分∠OPC ，则∠APC=______ °，∠PDO=______°【答案】50 ，50 ；【例题6】如图所示，OP∥QB∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1的度数为________【答案】10°【例题7】如图，已知AB∥CD，AE∥CF，求证：∠BAE=∠DCF【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA．（两直线平行，内错角相等）∵AE∥CF，∴∠EAC=∠FCA．（两直线平行，内错角相等）∵∠BAC=∠BAE+∠EAC，∠DCA=∠DCF+∠FCA，∴∠BAE=∠DCF．【例题8】如图，已知AB∥CD，∠B=40°CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数。

第03讲平行线的性质(知识解读+达标检测)(解析版)

第03讲平行线的性质【题型1 利用平行线性质求角度】【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】【题型4 平行线性质的实际应用】【题型5 利用平行线的判定与性质的综合】【题型6 命题的判定】【题型7 真假命题的判断】【题型8 命题的改写】【题型9 命题的证明过程】考点1：平行线性质性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单说成：两直线平行，同位角相等。

几何语言：∵a∥b∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简单说成：两直线平行，内错角相等。

几何语言：∵a∥b∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

几何语言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）【题型1 利用平行线性质求角度】【典例1】（2023秋•涟源市期末）如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°【答案】C【解答】解：如图所示，∵m∥n，∴∠CAD+∠1＝180°，∴∠1+∠BAC+∠2＝180°∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∵∠1＝50°，∴50°+90°+∠2＝180°，∴∠2＝40°，故选：C．【变式1-1】（2022秋•芮城县期末）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为（）A．122°B．120°C．118°D．115°【答案】A【解答】解：延长DC交AE于点F，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DFE＝94°，∵∠DCE是△CEF的一个外角，∴∠DCE＝∠DFE+∠E＝122°，故选：A．【变式1-2】（2022秋•白银期末）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝85°，则∠2＝（）A．15°B．85°C．95°D．115°【答案】C【解答】解：如图，根据生活意义，得到a，∴∠3＝∠1＝85°；∵∠3+∠2＝180°，∴∠3＝95°．故选：C．【变式1-3】（2023秋•前郭县期中）如图，把一根铁丝折成图示形状后，AB∥DE，若∠D＝30°，∠DCB＝80°，则∠B等于（）A．60°B．80°C．100°D．130°【答案】D【解答】解：∵∠D＝30°，∠DCB＝80°，∴∠E＝80°﹣30°＝50°．∵AB∥DE，∴∠B＝180°﹣∠E＝130°．故选：D．【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】【典例2】（2023•新城区校级一模）如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O 在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．15°B．25°C．35°D．45°【答案】B【解答】解：过B作BK∥m，∵m∥n，∴BK∥n，∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，∵∠ABO＝45°，∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，∴∠2＝∠ABK＝25°．故选：B．【变式2-1】（2022秋•新绛县期末）将等腰直角三角形和直尺按图中方式叠放在一起，若∠1＝76°，则∠2的度数为（）A．14°B．31°C．36°D．76°【答案】B【解答】解：∵尺子的对边平行，∴∠4＝∠3，∵∠＝76°，∴∠3＝180°﹣90°﹣76°＝14°，∴∠4＝∠14°，∴∠2＝45°﹣14°＝31°．故选：B．【变式2-2】（2022秋•邓州市期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°15′，则∠2的大小为（）A．60°15′B．39°45′C．29°85′D．29°45′【答案】D【解答】解：如图，由直尺两边平行，可得：∠1＝∠3＝60°15'，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°15'＝29°45'，故选：D．【变式2-3】（2022秋•淇县期末）如图，将直尺与含45°角的直角三角形叠放在一起，若∠2＝35°，则∠1的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，∠2＝35°，∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°，∵直尺对边平行，∴∠1＝∠3＝55°．故选：C．【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】【典例3】（2023秋•蕲春县期中）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E．若∠CBD＝35°，则∠ADE的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】B【解答】解：由折叠的性质可得，∠CDB＝∠EDB，∵AD∥BC，∠CBD＝35°，∴∠CBD＝∠ADB＝35°，∵∠C＝90°，∴∠CDB＝55°，∴∠EDB＝55°，∴∠ADE＝∠EDB﹣∠ADB＝55°﹣35°＝20°，故选：B．【变式3-1】（2023秋•长治期中）如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠BFD′的度数为（）A．112°B．116°C．138°D．148°【答案】B【解答】解：∵∠EFB＝32°，∴∠EFD＝180°﹣∠BFE＝148°，∴∠EFD′＝∠EFD＝148°，∴∠BFD′＝∠EFD′﹣∠BFE＝148°﹣32°＝116°，故选：B．【变式3-2】（2023秋•临渭区期中）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的点D′处，点C落在点C′处，若∠AD′M＝50°，则∠MNB的度数为（）A．40°B．70°C．80°D．100°【答案】B【解答】解：∵在正方形ABCD中，∠A＝90°，∴∠AMD′＝90°﹣∠AD′M＝90°﹣50°＝40°∴∠DMD′＝180°﹣∠AMD′＝180°﹣40°＝140°，由折叠可得，∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠MNB＝∠DMN＝70°．故选：B．【变式3-3】（2023秋•桥西区期中）如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（）A．74°B．106°C．122°D．148°【答案】B【解答】解：∵∠1＝32°，∠AMA1+∠1+∠DMD1＝180°，∴∠AMA1+∠DMD1＝180°﹣32°＝148°．∴∠BMA1+∠CMD1＝74°．∴∠BMC＝∠BMA1+∠CMD1+∠1＝74°+32°＝106°．故选：B【题型4 平行线性质的实际应用】【典例4】（2023•广西）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度数是（）A．160°B．150°C．140°D．130°【答案】D【解答】解：∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∴AC∥BD，∴∠B＝∠A＝130°．故选：D．【变式4-1】（2023春•鸡西期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°．第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠C的度数（）A．160°B．150°C．140°D．135°【答案】A【解答】解：如图，延长AB，交DC延长线于点E，由题意得，AF∥DE，∴∠A＝∠E＝130°，∵∠ABC＝150°，∴∠CBE＝30°，∴∠BCD＝∠CBE+∠E＝30°+130°＝160°．故选：A．【变式4-2】（2023春•西安期末）如图是自来水公司安装的一条自来水管道，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，∠BCD等于（）A．45°B．40°C．35°D．30°【答案】B【解答】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠BCF＝∠ABC＝80°，∠CDE+∠DCF＝180°，∵∠CDE＝140°，∴∠DCF＝40°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝40°．故选：B．【变式4-3】（2023春•渠县校级期末）如图是中国机器人创意设计大赛中一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径；机器人从A点出发，到达B点，第一次拐的∠B是140°，第二次拐的∠C是100°，第三次拐的角是∠D，这时机器人行走的路径恰好和出发时行走的路径平行，那么∠D的度数是（）A．100°B．120°C．140°D．90°【答案】B【解答】解：过点C作FC∥AB，由题意可得：AB∥FC∥ED，则∠B+∠1＝180°，∠2+∠D＝180°，故∠B+∠1+∠2+∠D＝360°，即∠B+∠BCD+∠D＝360°，则∠D＝360°﹣140°﹣100°＝120°．故选：B．【题型5 利用平行线的判定与性质的综合】【典例5】（2023秋•文山市期末）如图，已知∠BAD＝∠BDA，AD平分∠BDC．（1）求证：AB∥CD；（2）若AD⊥AC，∠C＝70°，求∠B的度数．【答案】（1）证明见解答过程；（2）140°．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDC，∴∠BDA＝∠ADC，∵∠BAD＝∠BDA，∴∠BAD＝∠ADC，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠BDC＝180°，∵AD⊥AC，∠C＝70°，∠BAD＝∠BDA，∴∠BAD＝180°﹣70°﹣90°＝20°，∴∠BDC＝2∠BDA＝2∠BAD＝40°，∴∠B＝180°﹣∠BDC＝180°﹣40°＝140°．【变式5-1】（2022秋•汝州市期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．（1）请说明：AB∥CD；（2）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF，∴∠C＝∠FGD，又∵∠C＝∠EFG，∴∠FGD＝∠EFG，∴AB∥CD；（2）解：∵∠GHD＝∠EHF＝80°，∠D＝30°，∴∠CGF＝∠GHD+∠D＝80°+30°＝110°，又∵CE∥GF，∴∠C+∠CGF＝180°，∴∠C＝180°﹣110°＝70°，又∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠C＝70°，∴∠AEM＝180°﹣70°＝110°．【变式5-2】（2023春•石城县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，∴∠DBC＝∠ADB＝36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠EFC＝36°【变式5-3】（2023秋•香坊区校级期中）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）AD与EC平行吗？请说明理由．（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝76°，求∠FAB的度数．【答案】（1）AD与EC平行，理由见解析；（2）∠FAB＝52°．【解答】（1）AD与EC平行，证明：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换），∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝76°，∴∠BDC＝76°，∵DA平分∠BDC，∴∠ADC＝∠BDC＝38°（角平分线定义），∴∠2＝∠ADC＝38°（已证），又∵DA⊥FA，AD∥CE，∴CE⊥AE，∴∠AEC＝90°（垂直定义），∵AD∥CE（已证），∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等），∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣38°＝52°．考点2：：命题【题型6 命题的判定】【典例6】（2022秋•白银期末）下列语句是命题的是（）A．你喜欢数学吗？B．小明是男生C．大庙香水梨D．加强体育锻炼【答案】B【解答】解：A、不是命题，故该项错误，不符合题意；B、是命题，故该项正确，符合题意；C、不是命题，故该项错误，不符合题意；D、不是命题，故该项错误，不符合题意；故选：B．【变式6-1】（2022秋•耒阳市期末）下列语句中不是命题的是（）A．两点之间线段最短B．连接ABC．锐角都相等D．两条直线不是相交就是平行【答案】B【解答】解：A、对一件事情做出判定，故是命题；B、因为这是一个陈述句，没有对一件事情做出判定，故不是命题，符合题意；C、对一件事情做出判定，故是命题；D、对一件事情做出判定，故是命题；故选：B．【变式6-2】（2022秋•余姚市期末）下列语言叙述是命题的是（）A．画两条相等的线B．等于同一个角的两个角相等吗？C．延长线段AO到C，使OC＝OAD．两直线平行，内错角相等【答案】D【解答】解：A、画两条相等的线，没有做错判断，不是命题；B、等于同一个角的两个角相等吗？没有做错判断，不是命题；C、延长线段AO到C，使OC＝OA，没有做错判断，不是命题；D、两直线平行，内错角相等，是命题；故选：D．【题型7 真假命题的判断】【典例7】（2023春•翁源县期末）下列各命题的逆命题是假命题的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．若两个数a+b＝0，则这两个数为相反数C．对顶角相等D．如果a2＝b2，那么a＝b【答案】C【解答】解：A、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；B、逆命题为如果两个数互为相反数，那么a+b＝0，是真命题，不符合题意；C、逆命题为相等的角为对顶角，是假命题，符合题意；D、逆命题为如果a＝b，那么a2＝b2，是真命题，不符合题意．故选：C．【变式7-1】（2022秋•项城市期末）下列四个命题中，真命题有（）①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②实数与数轴上的点是一一对应的；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本小题说法是假命题；②实数与数轴上的点是一一对应的，本选项说法是真命题；③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故本小题说法是假命题；④平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称，本小题说法是真命题；故选：B．【变式7-2】（2023秋•农安县期末）在下列各命题中，是假命题的是（）A．在一个三角形中，等边对等角B．全等三角形的对应边相等C．同旁内角相等，两直线平行D．等角的补角相等【答案】C【解答】解：A、在一个三角形中，等边对等角，正确，是真命题，不符合题意；B、全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，不符合题意；C、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，符合题意；D、等角的补角相等，正确，是真命题，不符合题意．故选：C．【变式7-3】（2022秋•鄄城县期末）下列四个命题中，是真命题的是（）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2C．三角形的一个外角大于任何一个内角D．无限小数都是无理数【答案】B【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题不是真命题；B、如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，是真命题；C、三角形的一个外角大于不相邻的内角，故原命题不是真命题；D、无限不循环小数都是无理数，故原命题不是真命题；故选：B．【变式7-4】（2022秋•金安区期末）下列命题是真命题的是（）A．若a＜b，b＞c，则a＜c B．若a＜b，则ac＜bcC．若a≠b，则ac≠bc D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c【答案】D【解答】解：若a＝2，b＝3，c＝1，满足a＜b，b＞c，但不能得到a＜c，故A是假命题，不符合题意；若c＜0，当a＜b时，有ac＞bc，故B是假命题，不符合题意；若c＝0，当a≠b时，有ac＝bc，故C是假命题，不符合题意；若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故D是真命题，符合题意；故选：D．【题型8 命题的改写】【典例8】（2022秋•辉县市期末）把命题“全等三角形对应边的高相等”改写成“如果…那么…”的形式是　如果两个三角形全等，那么它们对应边的高相等　．【答案】见试题解答内容【解答】解：命题“全等三角形对应边的高相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个三角形全等，那么它们对应边的高相等．故答案为如果两个三角形全等，那么它们对应边的高相等．【变式8-1】（2023•零陵区模拟）命题“等边对等角”的逆命题是“　等角对等边　”．【答案】见试题解答内容【解答】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边；故答案为：等角对等边．【变式8-2】（2023秋•成武县期中）将命题“两个锐角的和是钝角”改写成“如果……那么……”的形式是　如果两个角是锐角，那么它们的和为钝角　．【答案】如果两个角是锐角，那么它们的和为钝角．【解答】解：如果两个角是锐角，那么它们的和为钝角．故答案为：如果两个角是锐角，那么它们的和为钝角．【变式8-3】（2023秋•蜀山区期中）已知命题：“对顶角相等．”写出它的逆命题：　如果两个角相等，那么这两个角是对顶角　．【答案】见试题解答内容【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．【题型9 命题的证明过程】【典例9】（2022秋•新田县期末）如图，已知点A、D、C、F在同直线上，有下列关系式：①AB＝DE，②BC＝EF，③AD＝CF，④∠B＝∠E．（1）请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果　①②③　，那么　④　．（填写序号）（2）证明（1）中命题的正确性．【答案】（1）①②③，④；（2）见解析．【解答】（1）解：①②③，④（答案不唯一，或者①②④，③）（2）证明：∵AD＝CF，∴AD+DC＝CF+DC，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B＝∠E．【变式9-1】（2022秋•川汇区期末）如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②CE平分∠DCA；③AC＝BC．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．【答案】见解析．【解答】解：选择①②作为条件，③作为结论，命题正确，理由如下：∵AB∥CE，∴∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD，∵CE平分∠DCA，∴∠ECA＝∠ECD，∴∠A＝∠B，∴AC＝BC．【变式9-2】（2023春•西华县期末）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．（1）请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式：　在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行　．（2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）．已知：如图，a⊥l，　b⊥l　．求证：　a∥b　．【答案】（1）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．（2）b⊥l，a∥b．【解答】（1）答案为：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．（2）证明：∵a⊥l，b⊥l，∴∠1＝∠2＝90°，∴a∥b．故答案为：b⊥l，a∥b．【变式9-3】（2023春•宿迁期末）如图，点F、D在△ABC的边BC上，点E、G分别在AB、AC上．请你从三个选项：①∠1+∠2＝180°，②∠DGC＝∠BAC，③EF∥AD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．【答案】条件是：①∠1+∠2＝180°，②∠DGC＝∠BAC；结论是③EF∥AD，证明过程见解答．【解答】解：条件是：①∠1+∠2＝180°，②∠DGC＝∠BAC；结论是③EF∥AD，证明：∵∠DGC＝∠BAC，∴DG∥AB，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠BAD＝180°，∴EF∥AD，一．选择题（共10小题）1．（2023•城中区校级开学）下列命题中正确的是（）A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直B．互补的两个角是邻补角C．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥cD．两直线平行，同旁内角相等【答案】A【解答】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，正确，符合题意；B、互补的两个角不一定是邻补角，故原命题错误，不符合题意；C、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，故原命题错误，不符合题意；D、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意．故选：A．2．（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．135°B．125°C．115°D．65°【答案】C【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠1＝65°，∴∠3＝∠1＝65°，∴∠2＝180°﹣∠3＝115°．故选：C．3．（2023春•凤城市期中）下列说法：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④同旁内角相等，两直线平行．正确的个数有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】A【解答】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题正确；②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误；④同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误．故选：A．4．（2023•柘城县模拟）如图，∠ECD＝50°，点M是EC上一点，过点M作AB∥CD，若MF平分∠AME，则∠AMF的度数为（）A．60°B．55°C．70°D．65°【答案】D【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EMB＝∠ECD＝50°，∴∠AME＝180°﹣∠EMB＝180°﹣50°＝130°，∵MF平分∠AME，∴∠AMF＝65°．故选：D．5．（2023春•房山区期末）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：选项A中的∠1和∠2是由直线AB与CD被第三条直线所截的一组同位角，∴由AB∥CD，可以得到∠1＝∠2；选项B中∠1和∠2是由直线AB与CD被第三条直线所截的一组同旁内角，∴由AB∥CD，不能得到∠1＝∠2；选项C中∠1和∠2是由直线AD与BC被直线AC所截的一组内错角，∴由AB∥CD，不能得到∠1＝∠2；选项C中∠1和∠2是由直线AD与BC被直线DC所截的一组同旁内角，∴由AB∥CD，不能得到∠1＝∠2．故选：A．6．（2023•枣庄二模）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E恰好落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为（）A．10°B．15°C．25°D．30°【答案】B【解答】解：∵FD∥BC，∴∠FDB＝∠ABC＝60°，又∵∠FDE＝45°，∴∠BDE＝60°﹣45°＝15°，故选：B．7．（2023•林州市模拟）如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝25°，则∠ADE为（）A．75°B．55°C．65°D．60°【答案】C【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠CBF＝25°，∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝65°，∵DE∥BF，∴∠ADE＝∠ABF＝65°，故选：C．8．（2023春•龙岗区校级期末）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）∠2+∠4＝90°；（3）∠3＝∠4；（4）∠4+∠5＝180°；（5）∠1+∠3＝90°．其中正确的共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】A【解答】解：如图，根据题意得：AB∥CD，∠FEG＝90°，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4+∠5＝180°，∠2+∠4＝90°；故（1），（2），（3），（4）正确；∴∠1+∠3＝90°．故（5）正确．∴其中正确的共有5个．故选：A．9．（2023春•古田县期中）若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（2x+10）°，∠β＝（3x ﹣20）°，则∠α的度数为（）A．70°B．70°或86°C．86°D．30°或38°【答案】B【解答】解：∵∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（2x+10）°，∠β＝（3x﹣20）°，∴（2x+10）+（3x﹣20）＝180或2x+10＝3x﹣20，x＝38或30当x＝38时，∠α＝86°，当x＝30时，∠α＝70°，故选：B．10．（2023春•兴业县期中）将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝60°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C．正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解答】解：∵∠1+∠2＝90°，∠2＝30°，∴∠1＝60°，∴∠CAD＝∠1+∠EAD＝150°，∵∠D＝30°，∴∠CAD+∠D＝180°，∴①的结论正确；∵∠BAE＝90°﹣∠1，∠CAD＝90°+∠1，∴∠BAE+∠CAD＝180°，∴②的结论正确；∵BC∥AD，∴∠3＝∠B＝45°．∴∠2＝90°﹣∠3＝45°．∴③的结论错误；∵∠CAD＝150°，∠D＝30°，∴∠CAD+∠D＝180°，∴AC∥DE．∴∠4＝∠C．∴④的结论正确．综上所述，正确的结论有：①②④，故选：B．二．填空题（共6小题）11．（2022秋•尧都区期末）如图，学生使用的小刀，刀身是长方形，刀片的上下边沿是平行的，刀片转动时会形成∠1和∠2，则∠1+∠2＝　90°　．【答案】90°．【解答】解：如图，过点O作OP∥AB，则∠1＝∠AOP．∵AB∥CD，OP∥AB，∴∠2＝∠POC，∵∠AOP+∠POC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故答案为：90°．12．（2023秋•农安县期末）“若ab＞0，则a＞0，b＞0”　是　命题（选填“是”或“不是”）．【答案】是．【解答】解：若ab＞0，则a＞0，b＞0是命题，故答案为：是．13．（2022秋•邳州市校级期末）如图，D为△ABC中BA延长线上一点，AE∥BC，若∠1＝∠2，∠BAC＝36°，则∠B＝　72　°．【答案】72．【解答】解：∵∠BAC＝36°，∠1+∠2+∠BAC＝180°，∴∠1+∠2＝144°，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝72°，∵AE∥BC，∴∠1＝∠B，∴∠B＝72°，故答案为：72．14．（2023春•宣恩县期中）命题“内错角相等，两直线平行”是　真　（填“真”或“假”）命题．【答案】见试题解答内容【解答】解：“内错角相等，两直线平行”是真命题．故答案为：真．15．（2023秋•江都区期中）如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m、n于点B，C，连接AB，BC．若∠1＝40°，则∠ABC＝　70　°．【答案】70．【解答】解：∵m∥n，∴（∠1+∠2）+∠3＝180°，∵AB＝AC，∴∠2＝∠3，∵∠1＝40°，∴40°+2∠2＝180°，解得∠2＝70°，即∠ABC＝70°，故答案为：70．16．（2022秋•城关区期末）如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D 分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　72　°．【答案】72．【解答】解：∵AD∥CB，∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．∵∠H＝∠D＝90°，∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，∴∠GMN＝72°．故答案为：72．三．解答题（共3小题）17．（2022秋•汉台区期末）如图，AB∥EF，点G在EF上，B、C、G三点在同一条直线上，且∠1＝60°，∠2＝60°．求证：CD∥EF．【答案】见解答过程．【解答】证明：∵∠1＝60°，∠2＝60°，∴AB∥CD，∵AB∥EF，∴CD∥EF．18．（2023秋•长春期末）【感知】已知：如图①，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．将下列证明过程补充完整：证明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠　DCE　（角平分线的定义），∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠　DCE　（等量代换），∴AB∥CD（　内错角相等，两直线平行　）．【探究】已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD．求证：∠1＝∠2．【应用】如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数．【答案】见试题解答内容【解答】【感知】解：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠DCE（角平分线的定义），∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠DCE（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：DCE；DCE；内错角相等，两直线平行；【探究】证明：∵CE平分∠ACD，∴∠2＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠1＝∠DCE，∴∠1＝∠2；【应用】∵BE平分∠DBC，∴∠ABE＝∠CBE，∵AE∥BC，∴∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE，∵∠ABC：∠BAE＝4：5，∴∠ABC＝80°，∴∠CBE＝40°，∴∠E＝∠CBE＝40°．19．（2022秋•禅城区期末）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB 上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．【答案】（1）见解答；（2）36°．【解答】解：（1）证明：∵DF∥CA，∴∠DFB＝∠A，又∵∠FDE＝∠A，∴∠DFB＝∠FDE，∴DE∥AB；（2）设∠EDC＝x°，∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，由（1）可知DE∥BA，∴∠DFB＝∠FDE＝2x°，∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，∴x＝36，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝36°．。

北师大版七年级数学平行线的性质及尺规作图(提高)知识讲解(含答案)

平行线的性质及尺规作图（提高）知识讲解责编：常春芳【学习目标】1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；3．了解尺规作图的基本知识及步骤；4. 通过用尺规作图活动，进一步丰富对“平行线及角”的认识.【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等.性质2：两直线平行，内错角相等.性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点三、尺规作图1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．要点诠释：（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．2.八种基本作图（有些今后学到）：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．（6）已知一角、一边做等腰三角形．（7）已知两角、一边做三角形．（8）已知一角、两边做三角形．【典型例题】类型一、平行线的性质1.（2015春•荣昌县期末）如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF 于O，AE∥OF，且∠A=30°．（1）求∠DOF的度数；（2）试说明OD平分∠AOG．【思路点拨】（1）根据两直线平行，同位角相等可得∠FOB=∠A=30°，再根据角平分线的定义求出∠COF=∠FOB=30°，然后根据平角等于180°列式进行计算即可得解；（2）先求出∠DOG=60°，再根据对顶角相等求出∠AOD=60°，然后根据角平分线的定义即可得解．【答案与解析】解：（1）∵AE∥OF，∴∠FOB=∠A=30°，∵OF平分∠BOC，∴∠COF=∠FOB=30°，∴∠DOF=180°﹣∠COF=150°；（2）∵OF⊥OG，∴∠FOG=90°，∴∠DOG=∠DOF﹣∠FOG=150°﹣90°=60°，∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°，∴∠AOD=∠DOG，∴OD平分∠AOG．【总结升华】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，垂线的定义，（2）根据度数相等得到相等的角是关键．举一反三：【变式】（2015•青海）如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，且PM垂直于l，若∠1=58°，则∠2=．【答案】32°类型二、两平行线间的距离2.下面两条平行线之间的三个图形，图的面积最大，图的面积最小．【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小.【答案】图3，图2【解析】解：因为它们的高相等，三角形的底是8，8÷2＝4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2＝4.5；5＞4.5＞4；所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小.【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.举一反三：【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是厘米.【答案】35类型三、尺规作图3. 如图所示，已知∠α和∠β，利用尺规作∠AOB，使∠AOB＝2（∠α-∠β）．【答案与解析】作法：如图所示．（1）作∠COD＝∠α；（2）以射线OD为一边，在∠COD•的外部作∠DOA，使∠DOA＝∠α；（3）以射线OC为一边，在∠COA的内部作∠COE，使∠COE＝∠β；（4）以射线OE为一边，在∠EOA内部作∠EOB，使∠EOB＝∠β，则∠AOB就是所求作的角．【总结升华】本题考查作一个差角的倍数角，本题的做法有两种：一种可以先做倍数角再做差角，如本题提供的答案；另一种也可以先做差角再做倍数角．4. (苏州中考模拟)如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m 的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困难．因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解．【答案与解析】解：如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，显然，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝960(m2)．【总结升华】若分步计算则较繁琐．但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解．举一反三：【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为()A．600m2B．551m2C．550m2D．500m2【答案】B类型四、平行的性质与判定综合应用5.(黄冈调考)如图所示，AB∥CD，分别写出下面四个图形中∠A与∠P，∠C的数量关系，请你从所得到的关系中任选一图的结论加以说明．【思路点拨】过P点作AB的平行线，问题便会迅速得到求解．【答案与解析】解： (1)∠A+∠C＝∠P；(2)∠A+∠P+∠C＝360°；(3)∠A＝∠P+∠C；(4)∠C＝∠P+∠A．现以（3）的结论加以证明如下：如上图，过点P作PH∥AB ，因为AB∥CD，所以PH∥AB∥CD．所以∠HPA＋∠A＝180°，即∠HPA＝180°－∠A；∠HPA＋∠P＋∠C＝180°，即180°－∠A＋∠P＋∠C＝180°，也即∠A＝∠P+∠C．【总结升华】随着折点的不同，结论也会不同，但解法却如出一辙．都是过折点作平行线求解．举一反三：【变式1】如图，AB∥CD，∠ABG＝42°，∠CDE＝68°，∠DEF＝26°．求证：BG∥EF．【答案】如图，分别过点G、F、E作GP∥AB，FQ∥AB，ER∥CD，又因为AB∥CD，所以AB∥GP∥FQ∥CD∥FQ．∴∠1＝42°，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠5＋26°＝68°，∴∠5＝68°－26°＝42°，且∠4＝∠5＝42°．∴∠1＋∠2＝42°＋∠2；∠4＋∠3＝42°＋∠3．∴∠1＋∠2＝42°＋∠3，即∠BGF＝∠GFE．∴BG∥EF．【变式2】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是()．A．120°B．130°C．140°D．150°【答案】D。

专题2.5 平行线的判定与性质专项训练(30道)(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题2.5 平行线的判定与性质专项训练（30道）【北师大版】1．（2021秋•砚山县期末）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，DG∥BA，求证：∠BEF＝∠ADG．【分析】由垂直的定义可得∠EFB＝∠ADB＝90°，从而可得AD∥EF，则有∠BEF＝∠BAD，再由平行线的性质可得∠ADG＝∠BAD，即可求得∠BEF＝∠ADG．【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠EFB＝∠ADB＝90°，∴AD∥EF，∴∠BEF＝∠BAD，∵AB∥DG，∴∠ADG＝∠BAD，∴∠BEF＝∠ADG．2．（2021秋•博兴县期末）如图，BC与AF相交于点E，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD∥BE．【分析】根据平行线的性质推出∠1＝∠ACD，求出∠2＝∠ACD，根据∠2+∠CAF＝∠ACD+∠CAF推出∠DAC＝∠4，求出∠DAC＝∠3，根据平行线的判定得出即可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ACD，∴∠2+∠CAE＝∠ACD+∠CAE，∴∠DAC＝∠4，∵∠3＝∠4，∴∠DAC＝∠3，∴AD∥BE．3．（2021秋•昆明期末）如图，已知CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，求证：∠BCA+∠FGC＝180°．【分析】根据平行线的判定定理得到CF∥ED，根据平行线的性质得到∠1＝∠BCF，等量代换得到∠BCF ＝∠2，由平行线的性质即可得到结论．【解答】证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，∴CF∥ED，∴∠1＝∠BCF，∵∠1＝∠2，∴∠BCF＝∠2，∴FG∥BC，∴∠BCA+∠FGC＝180°．4．（2021秋•内江期末）如图，已知AB∥CD，AF平分∠BAD交CD于点E，交BC的延长线于点F，∠3＝∠F．试说明：AD∥BC．【分析】先依据角平分线的定义以及行线的性质即可得到∠1＝∠3，再由等量代换即可得出∠F＝∠1，进而得出AD∥BC．【解答】证明：∵AF平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠3＝∠F，∴∠1＝∠F，∴AD∥BC．5．（2021秋•聊城期末）如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3．求证：AD平分∠BAC．【分析】由AD⊥BC，EG⊥BC可得AD∥EG，从而得∠3＝∠1，∠2＝∠E，结合∠E＝∠3，则有∠1＝∠2，即可证明AD平分∠BAC．【解答】证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴AD∥EG，∴∠3＝∠1，∠2＝∠E，∵∠E＝∠3，∴∠1＝∠2，6．（2021春•潍坊期末）如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A＝∠1．判断EF是否平分∠BED，并说明理由．【分析】可假设EF平分∠BED，欲证EF平分∠BED，需证∠2＝∠3．由AC⊥BD，EF⊥BD，得EF∥AC，故∠2＝∠A，∠1＝∠3．又因为∠A＝∠1，所以∠2＝∠3．【解答】解：EF平分∠BED，理由如下：∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴∠EFB＝90°，∠ACB＝90°．∴∠EFB＝∠ACB．∴EF∥AC．∴∠2＝∠A，∠1＝∠3．又∵∠A＝∠1，∴∠2＝∠3．∴EF平分∠BED．7．（2021春•扶沟县期末）如图，AD∥BC，点F是AD上一点，CF与BA的延长线相交于点E，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：CD∥BE．【分析】依据AD∥BC，可得∠4＝∠BCE，依据∠3＝∠4，可得∠3＝∠BCE，进而得到∠BCE＝∠ACD，∠3＝∠ACD，进而得出CD∥BE．【解答】证明：∵AD∥BC，∵∠3＝∠4，∴∠3＝∠BCE，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴∠3＝∠ACD，∴CD∥BE．8．（2021春•汉阳区期中）如图，∠1＝∠2，∠E＝∠F，判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【分析】延长BE交DC的延长线于点M，根据∠E＝∠F即可判定BM∥FC，根据平行线的性质等量代换得到∠M＝∠1，即可判定AB∥CD．【解答】解：AB∥CD，理由如下：延长BE交DC的延长线于点M，∵∠E＝∠F，∴BM∥FC，∴∠M＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠M＝∠1，∴AB∥CD．9．（2021春•绥中县期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余．（1）求证：ED∥AB；（2）OF平分∠COD交DE于点F，若∠OFD＝65°，求∠1的度数．【分析】（1）根据垂线的性质及角之间的互余关系推出∠1+∠DOB＝90°，∠EDO+∠1＝90°，从而得到∠DOB＝∠EOD，再结合图形利用平行线的判定定理进行证明即可；（2）根据角平分线的性质得到∠COF=12∠COD，再根据平行线的性质得到∠OFD＝∠FAO，从而结合图形根据角之间的和差关系进行求解即可．【解答】（1）证明：∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠1+∠DOB＝90°，∵∠EDO与∠1互余，即∠EDO+∠1＝90°，∴∠DOB＝∠EDO，∴ED∥AB；（2）∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∵OF平分∠COD，∴∠COF=12∠COD＝45°，由（1）得ED∥AB，∴∠OFD＝∠FOA，又∠OFD＝65°，∴∠FOA＝65°，∴∠1＝∠FOA﹣∠COF＝65°﹣45°＝20°．10．（2021春•沂水县期末）如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，CF⊥CE，∠1＝34°．（1）求∠ACE的度数；（2）若∠2＝56°，求证：CF∥AG．【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠FCE＝90°，由平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1＝∠DCE＝34°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝34°；（2）∵CF⊥CE，∴∠FCE＝90°，∴∠FCH＝90°﹣34°＝56°，∵∠2＝56°，∴∠FCH＝∠2，∴CF∥AG．11．（2021春•大连期末）如图，∠EFC＝∠ABC，∠BEF+∠A＝180°．（1）求证：AD∥BE；（2）若BE平分∠ABC，AD⊥CD于点D，∠EFC＝50°，求∠FEC的度数．【分析】（1）已知∠EFC＝∠ABC，由平行线的判定可得EF∥AB，有平行线的性质可得∠BEF＝∠ABE，由已知∠BEF十∠A＝180°，等量代换可得∠ABE+∠A＝180°，由平行线的判定即可得出答案；（2）由平行线的性质可得∠EFC＝∠ABC，由角平分线的性质可得∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，因为∠ADC＝90°，AD∥BE，可得∠BEC＝∠ADC＝90°．即∠FEC＝∠BEC﹣∠BEF代入计算即可得出答案．【解答】（1）证明：∵∠EFC＝∠ABC，∴EF∥AB．∴∠BEF＝∠ABE，∵∠BEF十∠A＝180°，∴∠ABE+∠A＝180°，∴AD∥BE；（2）解：∵∠EFC＝∠ABC＝50°．又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC＝25°，∵AB∥EF，∴∠BEF＝∠ABE＝25°，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°．∵AD∥BE，∴∠BEC＝∠ADC＝90°．∵∠FEC＝∠BEC﹣∠BEF．∴∠FEC＝90°﹣25°＝65°．12．（2021春•青秀区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．（1）求证：AD∥BE；（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数．【分析】（1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论；（2）根据AB∥CD，∠2＝60°，得到∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC＝60°，又根据∠BAC＝2∠EAC，得到∠BAC＝∠ACD＝40°，最后根据平角的定义可求出∠DCE的度数，从而可求得∠B的度数．【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCE，∵∠B＝∠D，∴∠DCE＝∠D，∴AD∥BE；（2）∵AB∥CD，∠2＝60°，∴∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，∠B＝∠DCE，∴∠EAC+∠BAC＝60°，∵∠BAC＝2∠EAC，∴∠EAC＝20°，∴∠BAC＝∠ACD＝40°，∵∠1+∠ACD+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∴∠B＝∠DCE＝80°．13．（2021春•东昌府区期末）如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．（1）直线EF与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CEF＝68°，则∠ACB的度数是多少？【分析】（1）由题意推出∠DCB＝∠ABC＝70°，结合∠CBF＝20°，推出∠CBF＝50°，即可推出EF ∥AB；（2）根据（1）推出的结论，推出EF∥CD，既而推出∠ECD＝112°，根据∠DCB＝70°，即可推出∠ACB的度数．【解答】解：（1）EF和AB的位置关系为平行关系．理由如下：∵CD∥AB，∠DCB＝70°，∴∠DCB＝∠ABC＝70°，∵∠CBF＝20°，∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝50°，∵∠EFB＝130°，∴∠ABF+∠EFB＝50°+130°＝180°，∴EF∥AB；（2）∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵∠CEF＝68°，∴∠ECD＝112°，∵∠DCB＝70°，∴∠ACB＝∠ECD﹣∠DCB，∴∠ACB＝42°．14．（2021春•漳平市月考）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．证明：（1）AB∥EF；（2）∠4＝∠ACB；（3）∠1＝∠B+∠5．【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；（3）根据平行线的性质定理及角的和差即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠1+∠2＝180°，∠ADC+∠2＝180°，∴∠1＝∠ADC，∴AB∥EF；（2）由（1）得，AB∥EF，∴∠ADE＝∠3，∵∠3＝∠B，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴∠4＝∠ACB；（3）由（2）得，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠5＝∠EDC，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠5，由（1）得，AB∥EF，∴∠1＝∠ADC，∴∠1＝∠B+∠5．15．（2021秋•沙坪坝区期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）试说明AB∥CD；（2）若∠BAD＝∠BDA，且∠EBF＝110°，求∠ADC的度数．【分析】（1）根据平行线的判定定理得出BM∥CN，根据平行线的性质定理得出∠MBC＝∠NCB，求出∠ABC＝∠DCB，根据平行线的判定定理得出即可；（2））根据对顶角相等得出∠EBF＝∠ABD＝110°，根据三角形内角和定理得出∠BAD+∠BDA+∠ABD ＝180°，求出∠BAD＝∠BDA＝35°，根据平行线的性质定理得出∠ADC＝∠BAD即可．【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，∴BM∥CN，∴∠MBC＝∠NCB，∵∠3＝∠4，∴∠MBC+∠3＝∠NCB+∠4，即∠ABC＝∠DCB，∴AB∥CD；（2）∵∠EBF＝∠ABD，∠EBF＝110°，∴∠ABD＝110°，∵∠BAD+∠BDA+∠ABD＝180°，∠BAD＝∠BDA，∴∠BAD＝∠BDA=12×（180°﹣110°）＝35°，∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠BAD＝35°．16．（2021秋•建宁县期末）如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A，G，H，D，且∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证：（1）BF∥EC；（2）∠A＝∠D．【分析】（1）由∠1＝∠2直接可得结论；（2）根据BF∥EC，∠B＝∠C，可得∠B＝∠BFD，从而AB∥CD，即得∠A＝∠D．【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2（已知），∴BF∥EC（同位角相等，两直线平行）；（2）∵BF∥EC（已证），∴∠C＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠C（已知），∴∠B＝∠BFD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）．17．（2021秋•南海区期末）如图，已知CD∥EF，MD平分∠ADC，∠2＝∠3．（1）求证：MD∥BC．（2）若EF⊥AB，BD＝2，求BC的长．【分析】（1）由平行线的性质可得∠DCB＝∠3，从而可得∠2＝∠DCB，即可判定MD∥BC；（2）由EF⊥AB，CD∥EF得∠BDC＝90°，再由MD∥BC得∠2＝∠BCD，从而可得∠BCD＝∠B，故CD＝BD＝2，利用勾股定理可求BC的长度．【解答】（1）证明：∵CD∥EF，∴∠DCB＝∠3，∵∠2＝∠3，∴∠2＝∠DCB，∴MD∥BC；（2）解：∵EF⊥AB，CD∥EF，∴∠BDC＝∠AFE＝90°，∵MD∥BC，∴∠2＝∠BCD，∠1＝∠B，∵MD平分∠ADC，∴∠1＝∠2，∴∠BCD＝∠B，∴CD＝BD＝2，在Rt△BCD中，BC==18．（2021秋•福田区期末）已知：如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，EF交DC于点F，∠3+∠2＝180°，∠1＝∠B．（1）求证：DE∥BC；（2）若DE平分∠ADC，∠3＝3∠B，求∠2的度数．【分析】（1）由题意可得∠DFE+∠2＝180°，从而得∠DFE＝∠3，由平行线的判定条件可得BD∥EF，则有∠1＝∠ADE，从而得∠ADE＝∠B，即可判断DE∥BC；（2）由（1）可知∠ADE＝∠B，再由角平分线的定义得∠ADC＝2∠ADE＝2∠B，再由∠3+∠ADC＝180°，即可求∠ADC的度数，即可得∠2的度数．【解答】（1）证明：∵∠DFE+∠2＝180°，∠3+∠2＝180°，∴∠DFE＝∠3，∴BD∥EF，∴∠1＝∠ADE，∵∠1＝∠B，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC；（2）解：由（1）知，∠ADE＝∠B，BD∥EF，∴∠2＝∠ADC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE＝2∠B，∵∠3+∠ADC＝180°，∠3＝3∠B，∴3∠B+2∠B＝180°，解得：∠B＝36°，∴∠ADC＝72°，∴∠2＝72°．19．（2021秋•济南期末）如图，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．（1）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度数．【分析】（1）利用对顶角的性质可得∠AEF＝∠DEB＝100°，由∠BAC＝80°，可得∠AEF+∠BAC＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得DF∥AC；（2）由∠ADF＝∠C，易得∠BFD＝∠ADF，由平行线的判定定理和性质定理易得结果．【解答】解：（1）DF∥AC．理由：∵∠DEB＝100°，∴∠AEF＝∠DEB＝100°，∵∠BAC＝80°，∴∠AEF+∠BAC＝180°，∴DF∥AC；（2）∵DF∥AC，∴∠BFD＝∠C，∵∠ADF＝∠C，∴∠BFD＝∠ADF，∴AD∥BC，∴∠B＝∠BAD，∵∠DAC＝120°，∠BAC＝80°，∴∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC＝120°﹣80°＝40°，∴∠B＝40°．20．（2021秋•东营期末）如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1＝∠3．（1）证明：AB∥CD；（2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝34°，求∠3的度数．【分析】（1）由角平分线的定义得到∠1＝∠2，即得∠2＝∠3，即可判定AB∥CD；（2）由垂直的定义得出∠ADB＝90°，可得∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝124°，由平行线的性质得出∠ABD＝56°，根据角平分线的定义即可得解．【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABD，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB∥CD．（2）解：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∵∠CDA＝34°，∴∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝34°+90°＝124°，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∴∠ABD＝180°﹣124°＝56°，∵BC平分∠ABD，∠1＝∠3．∴∠3=∠1=∠2=12∠ABD=28°．21．（2021秋•淇县期末）如图，已知：AB∥CD，∠1+∠2＝180°．（1）请你判断AD与EC的位置关系，并说明理由．（2）若CE⊥AE于点E，∠2＝140°，试求∠FAB的度数．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠1＝∠ADC，求出∠2+∠ADC＝180°，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质得出AD⊥AE，求出∠FAD＝90°，求出∠1，再求出答案即可．【解答】解：（1）AD∥EC，理由是：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ADC，∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠ADC＝180°，∴AD∥EC；（2）∵AD∥EC，CE⊥AE，∴AD⊥AE，∴∠FAD＝90°，∵∠1+∠2＝180°，∠2＝140°，∴∠1＝40°，∴∠FAB＝∠FAD﹣∠1＝90°﹣40°＝50°．22．（2021秋•沈丘县期末）如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．【分析】（1）由∠1＝∠BCE，可得到直线AD与EC平行，可得到∠2与∠4间关系，再由∠2+∠3＝180°判断AC与EF的位置关系；（2）由（1）的结论及垂直可得到∠BAC的度数，再由平行线及角平分线的性质得到∠2的度数，利用角的和差关系可得结论．【解答】解：（1）AC∥EF．理由：∵∠1＝∠BCE，∴AD∥CE．∴∠2＝∠4．∵∠2+∠3＝180°，∴∠4+∠3＝180°．∴EF∥AC．（2）∵AD∥EC，CA平分∠BCE，∴∠ACD＝∠4＝∠2．∵∠1＝72°，∴∠2＝36°．∵EF∥AC，EF⊥AB于F，∴∠BAC＝∠F＝90°．∴∠BAD＝∠BAC﹣∠2＝54°．23．（2021秋•舞钢市期末）如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．（1）求证：BD∥CE；（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．【分析】（1）由∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°可得出∠CHG＝45°＝∠1，利用“同位角相等，两直线平行”可证出BD∥CE；（2）由BD∥CE得出∠C＝∠ABD，由∠C＝∠D得出∠ABD＝∠D，利用“内错角相等，两直线平行”得出AC∥DF，利用“两直线平行，内错角相等”得出∠A＝∠F．【解答】证明：（1）∵∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°，∴∠CHG＝45°，∵∠1＝45°，∴∠CHG＝∠1，∴BD∥CE．（2）∵BD∥CE，∴∠C＝∠ABD，∵∠C＝∠D，∴∠ABD＝∠D．∴AC∥DF，∴∠A＝∠F．24．（2021秋•阳山县期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）试说明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．【分析】（1）由平行线的性质可得∠BAD＝∠1，从而可求得∠BAD+∠2＝180°，即可判断；（2）由题意可求得∠1＝38°，再由角平分线的定义可得∠CDG＝∠1＝38°，再利用平行线的性质即可求解．【解答】解：（1）∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∵AD∥EF；（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°，∴∠1＝38°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠CDG＝∠1＝38°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠CDG＝38°．25．（2021秋•紫金县期末）如图，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，已知AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）求证：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝145°，求∠B的度数．【分析】（1）由平行线的性质可得∠1＝∠BAD，从而可求得∠2+∠BAD＝180°，即可判定AD∥EF；（2）由题意可求得∠1＝35°，再由角平分线的定义可得∠GDC＝∠1＝35°，利用平行线的性质即可得∠B的度数．【解答】（1）证明：∵AB∥DG，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∴AD∥EF；（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝145°，∴∠1＝180°﹣∠2＝35°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠GDC＝∠1＝35°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠GDC＝35°．26．（2021春•浏阳市期末）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°．【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，求出∠CEA＝∠BAE，根据平行线的判定得出即可；（2）过F作FM∥AB，求出AB∥FM∥CD，根据平行线的性质得出∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，即可求出答案．【解答】证明：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE＝∠CEA，∴∠CEA＝∠BAE，∴AB∥CD；（2）过F作FM∥AB，如图，∵AB∥CD，∴AB∥FM∥CD，∴∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°．27．（2021秋•和平县期末）如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1＝∠2＝60°，DC是∠NDE的平分线．（1）AB与DE平行吗？请说明理由；（2）试说明∠ABC＝∠C；（3）求∠ABD的度数．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABC＝∠1＝60°，求出∠ABC＝∠2，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质得出∠NDE+∠2＝180°，求出∠NDE＝120°，根据角平分线的定义得出∠EDC＝∠NDC=12∠NDE＝60°，根据平行线的性质得出∠C＝∠NDC＝60°即可；（3）求出∠ADC＝180°﹣∠NDC＝120°，求出∠BDC＝90°，求出∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝30°，根据平行线的性质得出∠DBC＝∠ADB＝30°，再得出答案即可．【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下：∵MN∥BC，∠1＝60°，∴∠ABC＝∠1＝60°，又∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠2，∴AB∥DE；（2）∵MN∥BC，∴∠NDE+∠2＝180°，∴∠NDE＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°，∵DC是∠NDE的角平分线，∴∠EDC＝∠NDC=12∠NDE＝60°，∵MN∥BC，∴∠C＝∠NDC＝60°，∴∠ABC＝∠C；（3）∵∠ADC+∠NDC＝180°，∠NDC＝60°，∴∠ADC＝180°﹣∠NDC＝180°﹣60°＝120°，∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°，∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝120°﹣90°＝30°，∵MN∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°，∵∠ABC＝∠C＝60°，∴∠ABD＝30°．28．（2021秋•安居区期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F．（1）AD与BC平行吗？请说明理由．（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若BE平分∠ABC．试说明：①∠ABC＝2∠E；②∠E+∠F＝90°．【分析】（1）由∠ADE+∠BCF＝180°结合邻补角互补，可得出∠BCF＝∠ADC，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出AD∥BC；（2）根据角平分线的定义及∠BAD＝2∠F，可得出∠BAF＝∠F，再利用“内错角相等，两直线平行”可得出AB∥EF；（3）①由AB∥EF，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABE＝∠E，结合角平分线的定义可得出∠ABC＝2∠E；②由AD∥BC，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出∠BAD+∠ABC＝180°，再结合∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E可得出∠E+∠F＝90°．【解答】解：（1）AD∥BC，理由如下：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠BCF＝∠ADC，∴AD∥BC．（2）AB∥EF，理由如下：∵AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F，∴∠BAF=12∠BAD＝∠F，∴AB∥EF．（3）①∠ABC＝2∠E，理由如下：∵AB∥EF，∴∠ABE＝∠E．∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝2∠E．②∠E+∠F＝90°，理由如下：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°．∵∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E，∴2∠E+2∠F＝180°，∴∠E+∠F＝90°．29．（2021秋•禅城区期末）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，求证：∠B＝∠C；（3）在（2）的条件下，若∠BFC＝4∠C，求∠D的度数．【分析】（1）由对顶角相等可得∠AGE＝∠DGC，从而可得∠AEG＝∠C，则可判定AB∥CD；（2）由平角的定义可得∠AGE+∠EGH＝180°，从而可求得∠EGH＝∠AHF，则可判定EC∥BF，则有∠B＝∠AEG，从而可求证；（3）由（2）得BF∥EC，则有∠C+∠BFC＝180°，从而可求∠C的度数，利用三角形的内角和即可求∠D的度数．【解答】（1）证明：∵∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，∴∠AEG＝∠C，∴AB∥CD；（2）证明：∵∠AGE+∠EGH＝180°，∠AGE+∠AHF＝180°，∴∠EGH＝∠AHF，∴EC∥BF，∴∠B＝∠AEG，∵AB∥CD，∴∠C＝∠AEG，∴∠B＝∠C；（3）解：∵BF∥EC，∴∠C+∠BFC＝180°，∵∠BFC＝4∠C，∴∠C+4∠C＝180°，解得∠C＝36°，∵∠C＝∠DGC，∴∠DGC＝36°，∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠DGC＝108°．30．（2021秋•九龙县期末）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∥BC；（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．【分析】（1）根据，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∥FP，进而可证明结论；（3）根据同旁内角互补可判定AB∥FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，∴∠E＝∠BQM，∴EF∥BC；（2）证明：∵FP⊥AC，∴∠PGC＝90°，∵EF∥BC，∴∠EAC+∠C＝180°，∵∠2+∠C＝90°，∴∠BAC＝∠PGC＝90°，∴AB∥FP，∴∠1＝∠B；（3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，∴∠3+∠MNF＝180°，∴AB∥FP，∴∠F+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝3∠F﹣20°，∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，∵AB∥FP，EF∥BC，∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，∴∠B＝∠F＝50°．。

平行线的判定与性质(重点题专项讲练)(人教版)(解析版)

专题5.4 平行线的判定与性质【典例1】如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∠BC；（2）若FP∠AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．【思路点拨】E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∠FP，进而可证明结论；（3）根据同旁内角互补可判定AB∠FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．【解题过程】E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，∠∠E＝∠BQM，∠EF∠BC；（2）证明：∠FP∠AC，∠∠PGC＝90°，∠EF∠BC，∠∠EAC+∠C＝180°，∠∠2+∠C＝90°，∠∠BAC＝∠PGC＝90°，∠AB∠FP，∠∠1＝∠B；（3）解：∠∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，∠∠3+∠MNF＝180°，∠AB∠FP，∠∠F+∠BAF＝180°，∠∠BAF＝3∠F﹣20°，∠∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，∠AB∠FP，EF∠BC，∠∠B＝∠1，∠1＝∠F，∠∠B＝∠F＝50°．1．（2021•鞍山一模）如图，∠1＝∠2＝∠3＝56°，则∠4的度数是（）A．56°B．114°C．124°D．146°【思路点拨】根据对顶角相等得到∠2＝∠5，结合∠1＝∠2，得到∠1＝∠5，即可判定l1∠l2，根据平行线的性质得出∠6＝56°，再根据邻补角的定义求解即可．【解题过程】解：如图，∠∠1＝∠2，∠2＝∠5，∠∠1＝∠5，∠l1∠l2，∠∠3＝∠6，∠∠3＝56°，∠∠6＝56°，∠∠4+∠6＝180°，∠∠4＝180°﹣56°＝124°，故选：C．2．（2021•雁塔区校级模拟）如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，∠1＝∠2＝36°，则∠3＝（）A．36°B．52°C．72°D．80°【思路点拨】由平行线的判定定理可得AC∠DE，由平行线的性质可得∠ACB＝∠3，由平分线的定义可得∠ACB＝2∠1＝72°，即得∠3的度数．【解题过程】解：∠∠1＝∠2＝36°，∠AC∠DE，∠∠ACB＝∠3，∠CD平分∠ACB，∠∠ACB＝2∠1＝72°，∠∠3＝72°．故选：C．3．（2021春•单县期末）如图，AB∠BC于点B，DC∠BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的有（）∠∠BAD+∠ADC＝180°；∠AF∠DE；∠∠DAF＝∠F．A．3个B．2个C．1个D．0个【思路点拨】∠证明AB∠CD，可做判断；∠根据平行线的判定和性质可做判断；∠根据AF∠ED得内错角相等和同位角相等，再由角平分线的定义得∠ADE＝∠CDE，从而可做判断．【解题过程】解：∠∠AB∠BC，DC∠BC，∠AB∠CD，∠∠BAD+∠ADC＝180°，故∠正确；∠∠AB∠CD，∠∠AFD+∠BAF＝180°，∠∠BAF＝∠EDF，∠∠AFD+∠EDF＝180°，∠AF∠DE，故∠正确；∠∠AF∠ED，∠∠DAF＝∠ADE，∠F＝∠CDE，∠DE平分∠ADC，∠∠ADE＝∠CDE，∠∠DAF＝∠F，故∠正确；故选：A．4．（2021春•德宏州期末）如图所示，AC∠BC，DC∠EC，则下列结论：∠∠1＝∠3；∠∠ACE+∠2＝180°；∠若∠A＝∠2，则有AB∠CE；∠若∠2＝∠E，则有∠4＝∠A．其中正确的有（）A．∠∠∠B．∠∠∠C．∠∠D．∠∠∠∠【思路点拨】由已知可得∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，等量代换即可得出∠结论；延长EC，如图1，由已知条件可得∠1+∠5＝90°，∠1+∠2＝90°，可得∠2＝∠5，根据平角的性质可得∠ACE+∠5＝180°，等量代换即可得出∠结论；由已知条件可得∠A＝∠2，∠ACE+∠2＝180°，等量代换可得∠A+∠ACE＝180°，根据平行线的判定即可得出∠结论；由平行线的性质可得∠E＝∠4，由已知条件∠2＝∠E，∠2＝∠A，等量代换可得∠4＝∠A．即可得出∠结论．【解题过程】证明：∠AC∠BC，DC∠EC，∠∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∠∠1＝∠3．故结论∠正确；延长EC，如图1，∠DC∠CE，AC∠BC，∠∠1+∠5＝90°，∠1+∠2＝90°，∠∠2＝∠5，∠∠ACE+∠5＝180°，∠∠ACE+∠2＝180°．故结论∠正确；∠∠A＝∠2，∠ACE+∠2＝180°，∠∠A+∠ACE＝180°，∠AB∠CE．故结论∠正确；∠AB∠CE，∠∠E＝∠4，∠∠2＝∠E，∠2＝∠A，∠∠4＝∠A．故结论∠正确．所以结论正确的有∠∠∠∠．故选：D．5．（2021春•汉川市期末）如图，AD∠BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，∠EAD∠EAD+∠ECD；∠若和∠ECD的角平分线交于点P．下列三个结论：∠AB∠CD；∠∠AOC=12∠E＝60°，∠APC＝70°，则∠D＝80°．其中结论正确的个数有（）A．0B．1C．2D．3【思路点拨】∠EAD，∠E＝∠根据平行线的性质与判定即可判断；∠∠AOC＝∠EAP+∠E，而∠EAP==12∠ECD，即可判断；∠利用平行线的性质和角平分线定义即可判断．【解题过程】解：∠AD∠BC，∠∠BAD+∠B＝180o，∠∠B＝∠D，∠∠BAD+∠D＝180o，∠AB∠CD，故∠正确；∠AB∠CD，∠∠ECD＝∠E，∠AP平分∠EAD，∠EAD∠∠EAP=12∠∠AOC＝∠EAP+∠E，∠∠AOC=1∠EAD+∠ECD，故∠正确；2∠∠ECD＝∠E＝60o，∠CP平分∠ECD，∠ECD＝30°，∠∠ECP=12∠∠APC＝70°，∠AOE＝∠COP，∠∠EAP＝40°，∠AP平分∠EAD，∠∠EAD＝2∠EAP＝80°，∠AB∠CD，∠∠D＝∠EAD＝80°，故∠正确；故选：D．6．（2021春•夏津县期末）如图，CB平分∠ACD，∠2＝∠3，若∠4＝60°，则∠5的度数是．【思路点拨】由∠2与∠3间关系，可得到AB与CD的位置关系，利用角平分线的性质和平行线的性质可求得∠5度数．【解题过程】解：∠CB平分∠ACD，∠ACD．．∠∠1＝∠2=12∠∠2＝∠3，∠AB∠CD．∠∠5＝∠2，∠4＝∠ACD＝60°．∠∠5＝∠2＝30°．故答案为：30°．7．（2021秋•嵩县期末）如图，AE∠CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD∠BC，下列结论：∠BC平分∠ABG；∠AC∠BG；∠与∠DBE互余的角有2个；∠若∠A＝α，则∠BDF＝180°−α．其中正确的是．（请把正确结论的序号都填上）8【思路点拨】根据平行线的性质得出∠A和∠ACB的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．【解题过程】解：∠CBD＝90°，∠∠ABC+∠EBD＝90°，又∠∠DBG＝∠EBD，∠∠ABC＝∠CBG，∠BC平分∠ABG，∠∠正确，∠∠GBC＝∠ABC＝∠ACB，∠AC∠BG，∠∠正确，∠∠DBE＝∠DBG，∠与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，∠∠错误，∠∠BDF＝180°﹣∠BDG，∠BDG＝90°﹣∠CBG＝90°﹣∠ACB，又∠∠ACB=12×（180°﹣α）＝90°−α2，∠∠BDF＝180°﹣[90°﹣（90°−α2）]＝180°−α2，∠∠错误，故答案为：∠∠．8．（2021春•凤山县期末）如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠F．请指出∠A与∠D的数量关系，并说明理由．【思路点拨】根据∠1＝∠2，∠3＝∠2，可得∠1＝∠3，得BF∠CE，根据平行线的性质得∠ABF＝∠C，由∠C ＝∠F，得∠ABF＝∠F，即可得出AC∠DF，得∠A和∠D的数量关系是相等．【解题过程】解：∠A和∠D的数量关系是相等．理由是：如图，∠∠1＝∠2，∠3＝∠2，∠∠1＝∠3，∠BF∠CE，∠∠ABF＝∠C，∠∠C＝∠F，∠∠ABF＝∠F，∠AC∠DF，∠∠A＝∠D．9．（2021春•陇县期末）如图，∠AEM+∠CDN＝180°，EC平分∠AEF．若∠EFC＝62°，求∠C的度数．【思路点拨】根据同角的补角相等可得出∠AEM＝∠CDM，利用“同位角相等，两直线平行”可得出AB∠CD，由“两直线平行，同旁内角互补”及∠EFC＝62°可求出∠AEF＝118°，结合角平分线的定义可求出∠AEC的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠C的度数．【解题过程】解：∠∠CDM+∠CDN＝180°，又∠∠AEM+∠CDN＝180°，∠∠AEM＝∠CDM，∠AB∠CD，∠∠AEF+∠EFC＝180°，∠∠EFC＝62°，∠∠AEF＝118°，∠EC平分∠AEF，∠∠AEC＝59°，∠AB∠CD，∠∠C＝∠AEC＝59°．10．（2021春•江都区校级期中）已知：如图，CD∠AB，FG∠AB，垂足分别为D、G，点E 在AC上，且∠1＝∠2．（1）那么DE与BC平行吗？为什么？（2）如果∠B＝40°，且∠A比∠ACB小10°，求∠DEC的度数．【思路点拨】（1）根据CD∠AB，FG∠AB，可判定CD∠FG，利用平行线的性质可知∠2＝∠BCD，已知∠1＝∠2，等量代换得∠1＝∠BCD，故可证DE与BC平行；（2）根据三角形内角和求出∠ACB＝75°，再根据平行线的性质即可求解．【解题过程】解：（1）DE∠BC，理由如下：∠CD∠AB，FG∠AB，∠CD∠FG．∠∠2＝∠BCD，又∠∠1＝∠2，∠∠1＝∠BCD，∠DE∠BC；（2）∠∠B＝40°，∠ACB﹣10°＝∠A，∠∠ACB+（∠ACB﹣10°）+40°＝180°，∠∠ACB＝75°，由（1）知，DE∠BC，∠∠DEC+∠ACB＝180°，∠∠DEC＝105°．11．（2021春•老河口市期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求证：AD∠CE；（2）若DA平分∠BDC，CE∠AE于E，∠F AB＝55°，求∠1的度数．【思路点拨】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定AB∠CD，得到∠2＝∠ADC，等量代换得出∠ADC+∠3＝180°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；（2）由CE∠AE，AD∠CE得出∠DAF＝∠CEF＝90°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC ＝∠2＝35°，再根据角平分线的定义即可得解．【解题过程】（1）证明：∠∠1＝∠BDC，∠AB∠CD，∠∠2＝∠ADC，∠∠2+∠3＝180°，∠∠ADC+∠3＝180°，∠AD∠CE；（2）解：∠CE∠AE于E，∠∠CEF＝90°，由（1）知AD∠CE，∠∠DAF＝∠CEF＝90°，∠∠ADC＝∠2＝∠DAF﹣∠F AB，∠∠F AB＝55°，∠∠ADC＝35°，∠DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC，∠∠1＝∠BDC＝2∠ADC＝70°．12．（2021春•镇江期中）已知：如图所示，∠BAC和∠ACD的平分线交于E，AE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．（1）求证：AB∠CD；（2）试探究∠2与∠3的数量关系，并说明理由．【思路点拨】（1）根据角平分线定义得出∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，根据∠1+∠2＝90°得出∠BAC+∠ACD ＝180°，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质和角平分线定义得出∠1＝∠3，即可求出答案．【解题过程】（1）证明：∠∠BAC和∠ACD的平分线交于E，∠∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，∠∠1+∠2＝90°，∠∠BAC+∠ACD＝180°，∠AB∠CD；（2）解：∠2+∠3＝90°，理由如下：∠AF平分∠BAC，∠∠BAF＝∠1，∠AB∠CD，∠∠BAF＝∠3，∠∠1＝∠3，∠∠1+∠2＝90°，∠∠2+∠3＝90°．13．（2021秋•禅城区期末）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）求证：AB∠CD；（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，求证：∠B＝∠C；（3）在（2）的条件下，若∠BFC＝4∠C，求∠D的度数．【思路点拨】（1）由对顶角相等可得∠AGE＝∠DGC，从而可得∠AEG＝∠C，则可判定AB∠CD；（2）由平角的定义可得∠AGE+∠EGH＝180°，从而可求得∠EGH＝∠AHF，则可判定EC∠BF，则有∠B＝∠AEG，从而可求证；（3）由（2）得BF∠EC，则有∠C+∠BFC＝180°，从而可求∠C的度数，利用三角形的内角和即可求∠D的度数．【解题过程】（1）证明：∠∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，∠∠AEG＝∠C，∠AB∠CD；（2）证明：∠∠AGE+∠EGH＝180°，∠AGE+∠AHF＝180°，∠∠EGH＝∠AHF，∠EC∠BF，∠∠B＝∠AEG，∠AB∠CD，∠∠C＝∠AEG，∠∠B＝∠C；（3）解：∠BF∠EC，∠∠C+∠BFC＝180°，∠∠BFC＝4∠C，∠∠C+4∠C＝180°，解得∠C＝36°，∠∠C＝∠DGC，∠∠DGC＝36°，∠∠D＝180°﹣∠C﹣∠DGC＝108°．14．（2021秋•南岗区期末）已知：在四边形ABCD中，∠B＝∠D，点E在边BC的延长线上，连接AE交CD于点F，若∠BAF+∠AFC＝180°．（1）如图1，求证：AD∠BC；（2）如图2，过点D作DG∠AE交BE的延长线于点C，若∠G＝∠B，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中除∠B以外的四个与∠G相等的角．【思路点拨】（1）由已知条件可得AB∠CD，从而有∠B＝∠ECD，则可求得∠D＝∠ECD，即可得AD∠BC；（2）利用平行线的性质进行求解即可．【解题过程】（1）证明：∠∠BAF+∠AFC＝180°，∠AB∠CD，∠∠B＝∠ECD，∠∠D＝∠ECD，∠AD∠BC；（2）∠DG∠AE，∠∠G＝∠AEB，由（1）得AD∠BC，∠∠AEB＝∠DAE，∠ADC＝∠DCG，∠∠G＝∠DAE，∠∠B＝∠ADC，∠G＝∠B，∠∠G＝∠ADC＝∠DCG，综上所述，所∠G相等的角有：∠AEB，∠DAE，∠ADC，∠DCG．15．（2021秋•安居区期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F．（1）AD与BC平行吗？请说明理由．（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若BE平分∠ABC．试说明：∠∠ABC＝2∠E；∠∠E+∠F＝90°．【思路点拨】（1）由∠ADE+∠BCF＝180°结合邻补角互补，可得出∠BCF＝∠ADC，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出AD∠BC；（2）根据角平分线的定义及∠BAD＝2∠F，可得出∠BAF＝∠F，再利用“内错角相等，两直线平行”可得出AB∠EF；（3）∠由AB∠EF，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABE＝∠E，结合角平分线的定义可得出∠ABC＝2∠E；∠由AD∠BC，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出∠BAD+∠ABC＝180°，再结合∠BAD ＝2∠F，∠ABC＝2∠E可得出∠E+∠F＝90°．【解题过程】解：（1）AD∠BC，理由如下：∠∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，∠∠BCF＝∠ADC，（2）AB∠EF，理由如下：∠AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F，∠BAD＝∠F，∠∠BAF=12∠AB∠EF．（3）∠∠ABC＝2∠E，理由如下：∠AB∠EF，∠∠ABE＝∠E．∠BE平分∠ABC，∠∠ABC＝2∠ABE＝2∠E．∠∠E+∠F＝90°，理由如下：∠AD∠BC，∠∠BAD+∠ABC＝180°．∠∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E，∠2∠E+2∠F＝180°，∠∠E+∠F＝90°．16．（2021春•铁西区期末）如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF 的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．（1）请直接写出直线AC与DG的位置关系；（2）求证：BE∠CF；（3）若∠C＝35°，求∠BED的度数．【思路点拨】（1）由对顶角相等可得∠ABF＝∠1，从而有∠ABF＝∠2，即可得AC∠DG；（2）求出∠1＝∠BFG，根据平行线的判定得出AC∠DG，求出∠EBF＝∠BFC，根据平行线的判定得出即可；（3）根据平行线的性质得出∠C＝∠CFG＝∠BEF＝35°，再求出答案即可．【解题过程】解：（1）AC∠DG，理由如下：∠∠ABF＝∠1，∠1＝∠2，∠∠ABF＝∠2，∠AC∠DG；（2）由（1）知AC∠DG，∠∠ABF＝∠BFG，∠∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C，∠∠EBF=12∠ABF，∠CFB=12∠BFG，∠∠EBF＝∠CFB，∠BE∠CF．（3）∠AC∠DG，∠C＝35°，∠∠C＝∠CFG＝35°，∠BE∠CF，∠∠CFG＝∠BEG＝35°，∠∠BED＝180°﹣∠BEG＝145°．17．（2021春•广陵区校级期中）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，EP延长线与CD交于点G，点H是MN 上一点，且PF∠GH，试判断直GH与EG的位置关系，并说明理由．【思路点拨】（1）利用邻补角的定义及已知得出∠1＝∠CFE，即可判定AB∠CD；（2）利用（1）中平行线的性质推知∠AEF+∠EFC＝180°，然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF＝90°，即EG∠PF，故结合已知条件PF∠GH，易证GH∠EG；【解题过程】解：（1）AB∠CD，理由如下：∠∠1与∠2互补，∠∠1+∠2＝180°，又∠∠2+∠CFE＝180°，∠∠1＝∠CFE，∠AB∠CD；（2）GH∠EG，理由如下：由（1）知，AB∠CD，∠∠AEF+∠EFC＝180°．又∠∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，∠∠FEP+∠EFP=1（∠BEF+∠EFD）＝90°，2∠∠EPF＝90°，即EG∠PF，∠PF∠GH，∠GH∠EG．18．（2021秋•嵩县期末）图1展示了光线反射定律：EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角θ1＝θ2．（1）在图1中，证明：∠1＝∠2．（2）图2中，AB，BC是平面镜，入射光线m经过两次反射后得到反射光线n，已知∠1＝30°，∠4＝60°，判断直线m与直线n的位置关系，并说明理由．（3）图3是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？【思路点拨】（1）根据角的关系解答即可；（2）求出∠5+∠6＝180°，根据平行线的判定得出即可；（3）根据平行线的性质和平均的定义得到∠5＝∠6，根据平行线的判定得出即可．【解题过程】（1）证明：∠∠AFE＝∠BFE＝90°，∠θ1＝θ2．（2）解：直线m∠直线n，理由：如图2，∠∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°，∠∠5＝180°﹣∠1﹣∠2＝120°，∠6＝180°﹣∠3﹣∠4＝60°，∠∠5+∠6＝180°，∠直线m∠直线n；（3）解：∠AB∠CD，∠∠2＝∠3，∠∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，即：∠5＝∠6，∠m∠n．19．（2021秋•上蔡县期末）已知：如图，AB∠CD∠GH，GH过点P．（1）如图1，若∠BAP＝40°，∠DCP＝30°，则∠APC＝（直接写出结果）；（2）如图2，直线MN分别交AB于点E，交CD于点F，点P在线段EF上，点Q在射线FC上．若∠MEB＝110°，∠PQF＝50°，求∠EPQ的度数；（3）如图3，点P在射线FN上，点Q在射线FD上，∠AEF的平分线交CD于点O．若∠PQF= 1∠MEB，试判断OE与PQ是否平行？并说明理由．2（1）依据平行线的性质，即可得到∠APG ＝∠BAP ＝40°，∠CPG ＝∠DCP ＝30，再根据∠APC ＝∠APG +∠CPG 进行计算即可；（2）利用邻补角的定义可得∠BEP ＝180°﹣110°＝70°，利用（1）的结论即可得∠EPQ 的度数；（3）根据对顶角相等以及角平分线的定义可得∠PQF =12∠MEB =12∠AEF ＝∠AEO ，再根据平行线的性质∠AEO ＝∠EOF ，可得∠PQF ＝∠EOF ，根据内错角相等两直线平行即可得OE ∠PQ ．【解题过程】解：（1）∠AB ∠CD ∠GH ，∠∠APG ＝∠BAP ＝40°，∠CPG ＝∠DCP ＝30，∠∠APC ＝∠APG +∠CPG ＝40°+30°＝70°，故答案为：70°；（2）∠∠MEB ＝110°，∠∠BEP ＝180°﹣110°＝70°，由（1）可得：∠EPQ ＝∠EPG +∠QPG ＝∠BEP +∠PQF ＝70°+50°＝120°；（3）OE ∠PQ ．理由：∠∠PQF =12∠MEB ，∠MEB ＝∠AEF ，∠∠PQF =12∠MEB =12∠AEF ，∠EO 平分∠AEF ．∠∠PQF =12∠AEF ＝∠AEO ， ∠AB ∠CD ，∠∠AEO ＝∠EOF ，∠∠PQF ＝∠EOF ，∠OE ∠PQ ．20．（2021春•汉阳区期中）如图1，已知两条直线AB ，CD 被直线EF 所截，分别交于点E ，F ，EM 平分∠AEF 交CD 于点M ，且∠FEM ＝∠FME ．（1）直线AB 与直线CD 的位置关系是；（2）如图2，点G 是射线FD 上一动点（不与点F 重合），EH 平分∠FEG 交CD 于点H ，过点H 作HN ∠EM 于点N ，设∠EHN ＝α，∠EGF ＝β．∠当点G 在运动过程中，若β＝56°，求α的度数；∠当点G 在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【思路点拨】（1）根据角平分线的性质可得∠AEM＝∠FEM，由已知条件∠FEM＝∠FME，等量代换可得∠AEM＝∠FME，由平行线的判定即可得出答案；（2）由平行线的性质可得β＝∠GEB，由平角的性质可得∠AED＝180°﹣∠GEB，根据角平分线的性质可得∠CEF=12∠AEF，∠FEH=12∠FEG，由∠CEH＝∠CEF+∠FEH可计算出度数，根据垂线的性质可得α+∠CEH＝90°，代入计算即可得出答案；（3）证明方法同（2）．【解题过程】证明：（1）∠EM平分∠AEF，∠∠AEM＝∠FEM，∠∠FEM＝∠FME，∠∠AEM＝∠FME，∠AB∠CD．故答案为：AB∠CD；（2）∠∠AB∠CD，∠β＝∠GEB＝56°，∠∠AEG＝180°﹣∠GEB＝180°﹣56°＝124°，∠EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∠∠CEF=12∠AEF，∠FEH=12∠FEG，∠∠CEH＝∠CEF+∠FEH=12∠AEF+12∠FEG=12(∠AEF+∠FEG)=12∠AED=12×124°=62°，∠HN∠EM，∠α+∠CEH＝90°，∠α＝90°﹣∠CEH＝90°﹣62°＝28°；∠a=12β．理由如下：∠AB∠CD，∠β＝∠GEB，∠∠AED＝180°﹣∠GEB＝180°﹣β，∠EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∠∠CEF=12∠AEF，∠FEH=12∠FEG，∠∠CEH＝∠CEF+∠FEH=12∠AEF+12∠FEG=12(∠AEF+∠FEG)=12∠AEG=12(180°−β)，∠HN∠EM，∠α+∠CEH＝90°，∠α+12(180°−β)=90°，即a=12β．21．（2021秋•南岗区校级期中）已知，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∠CD．（2）如图2，点M在直线AB、CD之间，连接MG、HM，当∠AGM＝32°，∠MHC＝68°时，求∠GMH的度数．（3）只保持（2）中所求∠GMH的度数不变，如图3，GP是∠AGM的平分线，HQ是∠MHD 的平分线，作HN∠PG，则∠QHN的度数是否改变？若不发生改变，请求出它的度数．若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）【思路点拨】（1）先由邻补角得到∠AGE+∠BGE＝180°，然后结合∠AGE+∠DHE＝180°得到∠BGE＝∠DHE，最后得证AB∠CD；（2）先由AB∠CD得到∠AGH+∠CHG＝180°，即∠AGM+∠MGH+∠MHG+∠MHC＝180°，再结合∠MGH+∠MHG+∠GMH＝180°得到∠GMH＝∠AGM+∠MHC，最后结合已知条件得到∠GMH的大小；（3）先由（2）得到∠AGM+∠MHC＝∠GMH＝100°，∠MGH+∠MHG＝80°，然后结合角平分线的定义得到∠MGP和∠MHQ，再结合HN∠PG得到∠GHN＝∠PGH，最后由∠QHN＝∠GHN﹣∠GHQ求得∠QHN的大小．【解题过程】（1）证明：∠∠AGE +∠BGE ＝180°，∠AGE +∠DHE ＝180°，∠∠BGE ＝∠DHE ，∠AB ∠CD ．（2）解：∠AB ∠CD ，∠∠AGH +∠CHG ＝180°，即∠AGM +∠MGH +∠MHG +∠MHC ＝180°，∠∠MGH +∠MHG +∠GMH ＝180°，∠∠GMH ＝∠AGM +∠MHC ，∠∠AGM ＝32°，∠MHC ＝68°，∠∠GMH ＝100°．（3）解：∠QHN 的度数不发生改变，理由如下，由（2）得，∠AGM +∠MHC ＝∠GMH ＝100°，∠∠MGH +∠MHG ＝80°，∠GP 、HQ 分别平分∠MGA 和∠MHD ，∠∠MGP =12∠MGA ，∠MHQ =12∠MHD =12（180°﹣∠MHC ）＝90°−12∠MHC ， ∠∠PGH ＝∠MGP +∠MGH =12∠MGA +∠MGH ， ∠HN ∠PG ， ∠∠GHN ＝∠PGH =12∠MGA +∠MGH ，∠∠QHN ＝∠GHN ﹣∠GHQ ＝（12∠MGA +∠MGH ）﹣（∠MHQ ﹣∠MHG ）=12∠MGA +∠MGH ﹣∠MHQ +∠MHG =12∠MGA +80°﹣∠MHQ ，∠∠QHN =12∠MGA +80°﹣（90°−12∠MHC ）＝﹣10°+12（∠MGA +∠MHC ）＝﹣10°+12×100°＝40°．22．（2021秋•香坊区校级期中）点E 在射线DA 上，点F 、G 为射线BC 上两个动点，满足∠DBF ＝∠DEF ，∠BDG ＝∠BGD ，DG 平分∠BDE ．（1）如图1，当点G 在F 右侧时，求证：BD ∠EF ；（2）如图2，当点G 在BF 左侧时，求证：∠DGE ＝∠BDG +∠FEG ；（3）如图3，在（2）的条件下，P 为BD 延长线上一点，DM 平分∠BDG ，交BC 于点M ，DN 平分∠PDM ，交EF 于点N ，连接NG ，若DG ∠NG ，∠B ﹣∠DNG ＝∠EDN ，求∠B 的度数．【思路点拨】（1）通过证明∠DBF＝∠EFG，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；（2）过点E作GH∠BD，交AD于点H，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论；（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α，∠PDM ＝180°﹣α；利用已知条件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠B ﹣∠DNG＝∠EDN，得到关于α的方程，解方程求得α的值，则∠B＝180°﹣4α，结论可求．【解题过程】证明：（1）∠DG平分∠BDE，∠∠BDG＝∠ADG．又∠∠BDG＝∠BGD，∠∠ADG＝∠DGB．∠AD∠BC．∠∠DEF＝∠EFG．∠∠DBF＝∠DEF，∠∠DBF＝∠EFG．∠BD∠EF．（2）过点G作GH∠BD，交AD于点H，如图，∠BD∠EF，∠GH∠EF．∠∠BDG＝∠DGH，∠GEF＝∠HGE，∠∠DGE＝∠DGH+∠HGE，∠∠DGE＝∠BDG+∠FEG．（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α．∠∠PDM＝180°﹣α．∠DN平分∠PDM∠∠PDN=∠MDN=90°−α2．∠∠EDN=∠PDN−∠PDE=90°−α2−(180°−4α)=72α−90°．∠∠GDN＝∠MDN﹣∠MDG＝90°−α2−α＝90°−32α．∠DG∠ON，∠∠DNG＝90°．∠∠DNG=90°−(90°−32α)=32α．∠DE∠BF，∠∠B＝∠PDE＝180°﹣4α．∠∠B﹣∠DNG＝∠EDN，∠180°−4α−32α=72α−90°，解得：α＝30°．∠∠B＝180°﹣4α＝60°．。

(完整)七年级数学平行线的性质与判定的证明练习题及答案

平行线的性质与判定的证明温故而知新：1.平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补.2.平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行互补.例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解.（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）答案：（标注∠MND=∠AMN=60°，∠DNP=∠EPN=80°）解：（1）∵AB∥CD∥EF，∴∠MND=∠AMN=60°，∠DNP=∠EPN=80°，∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°，又NQ平分∠MNP，∴∠MNQ=12∠MNP=12×140°=70°，∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°，∴∠MNP，∠DNQ的度数分别为140°，10°.(下一步) （2）（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）由（1）得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN，∴∠MNQ=12∠MNP=12（∠AMN+∠EPN），∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=12（∠AMN+∠EPN）-∠AMN=12（∠EPN-∠AMN），即2∠DNQ=∠EPN-∠AMN.小结：在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.解析：（标注：∠1＝∠2=∠DCB，DG∥BC，CD∥EF）答案：（标注：∠1＝∠2=∠DCB）证明：因为∠AGD=∠ACB，所以DG∥BC，所以∠1＝∠DCB，又因为CD⊥AB,EF⊥AB，所以CD∥EF，所以∠2＝∠DCB，所以∠1=∠2.小结：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.例3 （1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．（1）解析：动画过点C作CF∥AB由平行线性质找到角的关系.(标注∠1=∠ABC，∠2=∠CDE)答案：证明：如图，过点C作CF∥AB，∵直线AB∥ED，∴AB∥CF∥DE，∴∠1=∠ABC，∠2=∠CDE.∵∠BCD=∠1+∠2，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）解析：动画过点C作CF∥AB,由平行线性质找到角的关系.（标注∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°）答案：∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°．证明：如图，过点C作CF∥AB，∵直线AB∥ED，∴AB∥CF∥DE，∴∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°.∵∠BCD=∠1+∠2，∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°．小结：在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.例4 如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？解析：动画过点B作BD∥AE，答案：解：过点B作BD∥AE，∵AE∥CF，∴AE∥BD∥CF，∴∠A=∠1，∠2＋∠C=180°∵∠A=120°，∠1+∠2=∠ABC=150°，∴∠2=30°，∴∠C=180°-30°=150°．小结：把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.举一反三：1.如图2-9，FG∥HI,则∠x的度数为（）A.60°B. 72°C. 90°D. 100°解析：∠AEG=180°-120°=60°,由外凸角和等于内凹角和有60°+30°+30°＝x+48°，解得x=72°.答案:B.2.已知如图所示，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数.解析：解:∵AB∥EF∥CD,∴∠B=∠BEF,∠DEF=∠D.∵∠B+∠BED+∠D=192°,即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°,∴2(∠B+∠D)=192°,即∠B+∠D=96°.∵∠B-∠D=24°,∴∠B=60°,即∠BEF=60°. ∵EG平分∠BEF,∴∠GEF=12∠BEF=30°.3.已知：如图2-10，AB∥EF，BC∥ED，AB，DE交于点G．求证：∠B=∠E．解析：标注AB∥EF，BC∥ED答案：证明：∵AB∥EF，∴∠E=∠AGD.∵BC∥ED，∴∠B=∠AGD，∴∠B=∠E.例5如图2-6，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立，并说明理由．解析：标注AB∥CD，∠1=∠2答案：方法一：（标注CF∥BE）解：需添加的条件为CF∥BE ，理由：∵AB∥CD，∴∠DCB=∠ABC.∵CF∥BE，∴∠FCB=∠EBC，∴∠1=∠2；方法二：（标注CF ，BE ，∠1=∠2=∠DCF=∠ABE ）解：添加的条件为CF ，BE 分别为∠BCD ，∠CBA 的平分线．理由：∵AB ∥CD ，∴∠DCB=∠ABC.∵CF ，BE 分别为∠BCD ，∠CBA 的平分线，∴∠1=∠2．小结：解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯因.例6 如图1-7，已知直线1l 2l ，且3l 和1l 、2l 分别交于A 、两点，点P 在AB 上，4l 和1l 、2l 分别交于C 、D 两点，连接PC 、PD 。

第二章第02讲平行线的判定和性质(10类热点题型讲练)(解析版)

第02讲平行线的判定和性质(10类热点题型讲练)1．掌握同位角、内错角、同旁内角的位置关系；2．掌握利用同位角、内错角、同旁内角判定判定两条直线平行的条件，并能解决一些问题；3．掌握平行线的性质与判定的综合运用；4．体会平行线的性质与判定的区别与联系．知识点01 同位角、内错角、同旁内角的概念1.同位角、内错角和同旁内角：填空：(1)如图，∠1和∠5，分别在直线AB，CD的上方（同一方），在直线EF的右侧（同侧）.具有这种位置关系的一对角是同位角.(2)如图，∠3和∠5，在直线AB，CD之间，在直线EF的两侧.具有这种位置关系的一对角叫做内错角.(3)如图，∠3和∠6，在直线AB，CD之间，在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角.(2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角.(3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角.知识点02 平行线的定义及表示(1)定义：在同一平面内内，不相交的两条直线.(2)表示：平行用“∥”符号表示，读作“平行于”.1.同一平面内，两条直线的位置关系：(1)平行　(2)相交2.利用直尺和三角尺画平行线：一“落”、二“靠”、三“移”、四“画”.【注意】平行线的画法四字诀1.“落”：三角板的一边落在已知直线上；2.“靠”：用直尺紧靠三角板的另一边；3.“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点；4.“画”：沿三角板过已知点的边画直线.知识点03 平行公理及推论(1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c.【注意】平行公理(1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性.(2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线.知识点04 平行线的判定方法平行线的判定方法1：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠1=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)，∴AB∥CD.平行线的判定方法2：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2=∠8(或者∠3=∠5)，∴AB∥CD.平行线的判定方法3：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)，∴AB∥CD.平行线的其他判定方法：(1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行.(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.【总结】判定两直线平行的方法方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线.方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.方法三：同位角相等，两直线平行.方法四：内错角相等，两直线平行.方法五：同旁内角互补，两直线平行.方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.知识点05 平行线的性质(1)文字表达：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；②简单说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错家相等；两直线平行，同旁内角互补；(2)几何语言表述：已知，如图所示，若AB∥CD，则①同位角：∠1=∠5(或∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)；②内错角：∠2=∠8(或∠3=∠5)；③同旁内角：∠2+∠5=180°(或∠3+∠8=180°).题型01 同位角、内错角、同旁内角的辨别【例题】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，下列结论正确的是（）A ．5Ð与4Ð是对顶角B ．1Ð与3Ð是同位角C ．2Ð与3Ð是同旁内角D ．1Ð与2Ð是同旁内角【答案】D【分析】本题考查同位角同旁内角、对顶角，根据同位角、同旁内角、对顶角的定义进行判断，熟练掌握各角的定义是解题的关键．【详解】A 、5Ð与23Ð+Ð是对顶角，故本选项错误，不符合题意；B 、1Ð与34Ð+Ð是同位角，故本选项错误，不符合题意；C 、2Ð与3Ð没有处在两条被截线之间，故本选项错误，不符合题意；D 、1Ð与2Ð是同旁内角；故本选项正确，符合题意；故选：D ．【变式训练】1．（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图所示，有下列五种说法：①1Ð和4Ð是同位角；②3Ð和5Ð是内错角；③2Ð和6Ð是同旁内角；④5Ð和2Ð是同位角；⑤1Ð和3Ð是同旁内角；其中正确的是（）A ．①②③⑤B ．①②③④C ．①②③④⑤D ．①②④⑤【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角以及同旁内角的定义，根据内错角、同位角以及同旁内角的定义寻找出各角之间的关系，再比照五种说法判断对错，即可得出结论．【详解】解：根据内错角、同位角以及同旁内角的定义分析五种说法．①1Ð和4Ð是同位角，即①正确；②3Ð和5Ð是内错角，即②正确；③2Ð和6Ð是内错角，即③不正确；④5Ð和2Ð是同位角，即④正确；⑤1Ð和3Ð是同旁内角，即⑤正确．2．（2023下·广东河源·七年级期中）如图，a ，b ，c 三条直线两两相交，下列说法错误的是（）A ．1Ð与2Ð是同位角B ．2Ð与4Ð是内错角C ．3Ð与4Ð是对顶角D ．1Ð与3Ð是同旁内角【答案】B 【分析】本题考查相交直线所成相关角的概念，解答关键是熟知同位角、内错角、同旁内角、对顶角的相关概念和判断方法．【详解】解：A ．1Ð与2Ð是直线a 、直线b 被直线c 所截，所得到的同位角，因此选项A 不符合题意；B ．2Ð与4Ð是直线a 、直线c 被直线b 所截，所得到的同位角，因此选项B 符合题意；C ．3Ð与4Ð是对顶角，因此选项C 不符合题意；D ．1Ð与3Ð是直线b 、直线c 被直线a 所截，所得到的同旁内角，因此选项D 不符合题意；故选：B ．题型02 同位角相等，两直线平行【例题】根据要求完成下面的填空：如图，直线AB ，CD 被EF 所截，若已知12Ð=Ð．23Ð=ÐQ （______），又12Ð=ÐQ （已知），\Ð______=Ð______，∴______∥______（______）．【详解】23Ð=ÐQ （对顶角相等），又12Ð=ÐQ （已知），AB CD \∥（同位角相等，两直线平行），故答案为：对顶角相等，1，3，AB ,CD ，同位角相等，两直线平行．【变式训练】1．请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据：如图，129023,,AB BC ^=°Ð+ÐÐ=Ð，BE 与DF 平行吗？为什么？解：BE DF ∥．理由如下：∵AB BC ^（已知），∴ABC Ð=________°即34Ð+Ð=________°（）又∵1290Ð+Ð=°（），且23ÐÐ=（已知）∴14Ð=Ð（）∴BE DF ∥（）【详解】解：BE DF ∥．理由如下：∵AB BC ^（已知），∴90ABC Ð=°，即3490Ð+Ð=°（等量代换）又∵1290Ð+Ð=°（已知），且23ÐÐ=（已知）∴14Ð=Ð（等角的补角相等）∴BE DF ∥（同位角相等，两直线平行）．故答案为：90,90，等量代换，已知，等角的补角相等，同位角相等，两直线平行．2．如图，已知AC AE ^，BD BF ^，135Ð=°，235Ð=°．AC 与BD 平行吗？AE 与BF 平行吗？阅读下面的解答过程，并填空或填写理由．解：AC 与BD 平行；AE 与BF 平行，理由如下：Q 135Ð=°，235Ð=°\12Ð=Ð\（________）∥（________）（________________________）；又Q AC AE^\EAC 90Ð=o\1EAB EAC Ð=Ð+Ð=（________）o同理可得2FBG FBD Ð=Ð+Ð=（________）o∴（________）∥（________）（_____________________________）．【详解】解：AC 与BD 平行；AE 与BF 平行，理由如下：Q 135Ð=°，235Ð=°\12Ð=Ð\AC ∥BD (同位角相等，两直线平行)；又Q AC AE^\90EAC Ð=°\1125EAB EAC Ð=Ð+Ð=°同理可得2125FBG FBD Ð=Ð+Ð=°\AE ∥BF (同位角相等，两直线平行)．题型03 内错角相等，两直线平行【例题】如图，EF 交AD 于O ，AB 交AD 于A ，CD 交AD 于D ，12Ð=Ð，34ÐÐ=，试判断AB 和CD 的位置关系，并说明为什么．【详解】解：AB CD P ．理由：12Ð=ÐQ ，34ÐÐ=，23ÐÐ=，14\Ð=Ð，∴AB CD P ．【变式训练】1．推理填空：已知：如图AB BC ^于B ，CD BC ^于C ，12Ð=Ð，求证：BE CF ∥．证明：∵AB BC ^于B ，CO ∴139024Ð+Ð=°Ð+Ð=，∴1Ð与3Ð互余，2Ð与4Ð又∵12Ð=Ð（），(1)求BOF Ð的度数；(2)试说明AB CD ∥的理由．【详解】（1）∵OA OB ，分别平分∴12AOE AOC COE ÐÐÐÐ==，∵180COE DOE Ð+Ð=°，题型04 同旁内角互补，两直线平行【例题】如图，已知直线AB CD 、被直线EF 所截，GE 平分AEF Ð，GF 平分EFC Ð，1290Ð+Ð=°，AB CD ∥吗？为什么？解：∵GE 平分AEF Ð，GF 平分EFC Ð（已知），∴2AEF ÐÐ=___________，2EFC ÐÐ=___________，∴AEF EFC ÐÐ+=___________（），∵1290Ð+Ð=°（），∴AEF EFC ÐÐ+=___________°，∴AB CD ∥．【详解】解：GE Q 平分AEF Ð，GF 平分EFC Ð（已知），21AEF \Ð=Ð，22EFC Ð=Ð，2(12)AEF EFC \Ð+Ð=Ð+Ð（等量代换）1290Ð+Ð=°Q （已知），180AEF EFC \Ð+Ð=°，AB CD \∥．【变式训练】1．如图，160,260,3120°°°Ð=Ð=Ð=．试说明,DE BC DF ∥∵160260,°°Ð=Ð=∴12Ð=Ð（等量代换）证明：∵12180Ð+Ð=°，∴a ∥______（______）．∵13Ð=Ð，∴a ∥______（______）．∴b c ∥（______）．【详解】证明：∵12180Ð+Ð=°，∴a ∥b （同旁内角互补，两直线平行）．∵13Ð=Ð，∴a ∥ c （同位角相等，两直线平行）．∴b c ∥（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．题型05 平行线及平行公理【详解】解：因为Ð13Ð=Ð（对顶角相等）所以Ð2=Ð3（等量代换）所以a ∥c （同位角相等，两直线平行）又因为a b ∥（已知）1．如图所示，直线AB CD ，相交于点O ，OD 平分EOB Ð，OF 平分AOE Ð，GH CD ^，垂足为点H ，GH 与FO 平行吗？说明理由．(1)判断CD与AB的位置关系；(2)求证：DF BE∥．^【详解】（1）解：∵AB MN∥．∴CD AB题型06添加一条件使两条直线平行Ð=Ð【答案】EAB【分析】本题主要考查了平行线的判定．要判断的位置关系，根据平行线的判定定理解答即可．∵180CDB B Ð+Ð=°，∴AB CD ∥（同旁内角互补，两直线平行）；故答案为：EAB C Ð=Ð（答案不唯一）．【变式训练】【答案】①②④【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断即可解答．【详解】解：①12Ð=Ð，能判断【答案】250Ð=°．（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定和性质进行解答即可．【详解】解：可以添加条件Ð∵EF MN ^，∴90EFM Ð=°【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．题型07 根据平行线的性质求角度【例题】（2023下·新疆阿克苏·七年级校考期末）如图，AB CD ∥，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分AEF Ð，135Ð=°，求2Ð的度数．【答案】110°【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义结合平角的定义即可求解．【详解】解：如图所示，∵AB CD ∥，135Ð=°∴3135Ð=Ð=°∵EG 平分AEFÐ∴3435Ð=Ð=°∴21803535110Ð=°-°-°=°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质、求出3135Ð=Ð=°是关键．【变式训练】1．（2023下·浙江金华·七年级校联考期末）如图，点E 在BC 的延长线上，连接DE ，作CED Ð的角平分线分别交线段AD ，DC 于点F ，点G ，已知AB CD ∥，AD BC ∥．(1)试说明2BED DFE Ð=Ð；(2)若105B Ð=°，28DFE Ð=°，求CDE Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)19CDE Ð=°【分析】（1）根据角平分线的性质得出2BED BEF Ð=Ð，根据平行线的性质可得DFE BEF Ð=Ð；（2）根据平行线的性质可得105DCE B Ð=Ð=°，根据平行线的性质得出105ADC DCE Ð=Ð=°，180ADE BED Ð+Ð=°，根据（1）的结论得出256BED DFE Ð=Ð=°，180124ADE BED Ð=°-Ð=°，进而根据CDE ADE ADC Ð=Ð-Ð，即可求解．【详解】（1）解：∵EF 平分CED Ð，∴2BED BEF Ð=Ð，∵AD BC∥∴DFE BEF Ð=Ð，（2）解：∵AB CD ∥，105B Ð=°，∴105DCE B Ð=Ð=°，∵AD BC ∥，∴105ADC DCE Ð=Ð=°，180ADE BED Ð+Ð=°．∵28DFE Ð=°，∴256BED DFE Ð=Ð=°，∴180124ADE BED Ð=°-Ð=°，∴12410519CDE ADE ADC Ð=Ð-Ð=°-°=°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2023下·贵州黔南·七年级统考期末）如图，已知AB CD ∥，AD BC ∥，90DCE Ð=°，点E 在线段AB 上，90FCG Ð=°，点F 在直线AD 上，90AHG Ð=°．(1)图中与D Ð相等的角有__________；(2)若25ECF Ð=°，求BCD Ð的度数；(3)在（2）的条件下，点C （点C 不与B ，H 两点重合）从点B 出发，沿射线BG 的方向运动，其他条件不变，求BAF Ð的度数．【答案】(1)DCG Ð，ECF Ð，BÐ(2)155°(3)25°或155°【分析】（1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与D Ð相等的角；（2）根据25ECF Ð=°，90DCE Ð=°，可得65FCD Ð=°，再根据90BCF Ð=°，即可得到6590155BCD Ð=°+°=°；（3）分两种情况讨论：当点C 在线段BH 上；点C 在BH 延长线上，根据平行线的性质，即可得到BAF Ð的度数为25°或155°．【详解】（1）解：AD BC ∥Q ，D DCG \Ð=Ð，90FCG Ð=°Q ，90DCE Ð=°，ECF DCG \Ð=Ð，D ECF \Ð=Ð，AB DC Q ∥，DCG B \Ð=Ð，D B \Ð=Ð；\与D Ð相等的角为DCG Ð，ECF Ð，B Ð；（2）解：25ECF Ð=°Q ，90DCE Ð=°，65FCD \Ð=°，90BCF Ð=°Q ，6590155BCD \Ð=°+°=°；（3）解：分两种情况进行讨论：①如图a ，当点C 在线段BH 上时，点F 在DA 的延长线上，此时25ECF DCG B Ð=Ð=Ð=°，AD BC ∥Q ，25BAF B \Ð=Ð=°；②如图b ，当点C 在BH 的延长线上时，点F 在线段AD 上．25B Ð=°Q ，AD BC ∥，18025155BAF \Ð=°-°=°，综上所述，BAF Ð的度数为25°或155°．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键．题型08平行线的性质在生活中的应用【答案】120°/120度【分析】首先过B作BF AE∥，根据100Ð=°Q，A\Ð=Ð=°，100ABF A又160ABC Ð=°Q ，16010060FBC \Ð=°-°=°，AE CD ∥Q ，FB CD \∥，180********C FBC \Ð=°-Ð=°-°=°，故答案为：120°．【点睛】此题主要考查了平行线性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式训练】【答案】17°/17度【分析】由平行线的性质可知D B C M B C M B D Ð=Ð-Ð求解即可．【详解】解：∵MN EF ∥，∴160M B C Ð=Ð=°．【答案】30°/30度【分析】过点B 作BF CE ∥．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出CBF Ð，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论．【详解】解：过点B 作BF CE ∥．CE l ∥Q ，BF l \∥．190ABF \Ð=Ð=°．140ABC Ð=°Q ，1409050CBF \Ð=°-°=°．BF CE ∥Q ，50ECB CBF \Ð=Ð=°．DCE DCB BCE\Ð=Ð-Ð8050=°-°30=°．故答案为：30°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题的关键．题型09 平行线的性质与判定综合应用【答案】（1）见解析；（2）F BMF DNFÐ=Ð-Ð；（3）20【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键．（1）过点E作EF AB∥，根据平行线的性质可求解；（2）如图②，过F作FH AB∥，根据平行线的性质即可得到结论；∥，根据平行线的性质即可得到结论．（3）如图③，过C作CG AB【详解】（1）证明：如图①，过点E作EF AB∥，则MEF BMEÐ=Ð，∥，又∵AB CD∥，∴EF CD\Ð=Ð，NEF DNEMEN MEF NEF\Ð=Ð+Ð，Ð=Ð+Ð；即MEN BME DNE（2）解：BMF MFN FNDÐ=Ð+Ð．P，证明：如图②，过F作FK AB\Ð=Ð，BMF MFK∥，∵AB CDP，∴FK CD\Ð=Ð，FND KFN\Ð=Ð-Ð=Ð-Ð，MFN MFK KFN BMF FND即：BMF MFN FND Ð=Ð+Ð．故答案为：BMF MFN FND Ð=Ð+Ð；（3）如图③，过C 作CG AB ∥，18060GCA BAC \Ð=°-Ð=°，∵AB DE ∥，∴CG DE ∥，80GCD CDE \Ð=Ð=°，20ACD \Ð=°，故答案为：20．【变式训练】1．（2023上·湖南岳阳·八年级校考开学考试）如图，12Ð=Ð，BAE BDE Ð=Ð，点F 在DE 的延长线上，点C 在AB 的延长线上，且EA 平分BEF Ð．(1)求证：AB DE ∥；(2)若40BAE Ð=°，求EBD Ð．【答案】(1)见解析(2)40°【分析】（1）根据对顶角相等结合题意推出1ABE Ð=Ð，根据“同位角相等，两直线平行”即可判定AB DE ∥；（2）根据平行线的性质结合题意推出AEF BDE Ð=Ð，即可判定AE BD P ，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．【详解】（1）证明：∵2ABE Ð=Ð（对顶角相等），又12Ð=Ð（已知），∴1ABE Ð=Ð（等量代换），∴AB DE ∥（同位角相等，两直线平行）；（2）解：由（1）已证AB DE ∥可得：40BAE AEF Ð=Ð=°（两直线平行，内错角相等），又∵BAE BDE Ð=Ð，∴AEF BDE Ð=Ð（等量代换），∴AE BD P （同位角相等，两直线平行），∴AEB EBD Ð=Ð（两直线平行，内错角相等），又∵EA 平分BEF Ð，∴AEB AEF Ð=Ð，∴40EBD AEB AEF BAE Ð=Ð=Ð=Ð=°，∴40Ð=°EBD ．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．2．（2023下·江苏泰州·七年级校考期中）如图，在ABC V 中，点D 、F 在BC 边上，点E 在AB 边上，点G 在AC 边上，EF 与GD 的延长线交于点H ，BDH B Ð=Ð，AEH ADH Ð=Ð．(1)EH 与AD 平行吗？为什么？(2)若40H Ð=°，求BAD Ð的度数．【答案】(1)平行，见解析(2)40°【分析】（1）EH AD ∥，理由如下：由已知条件，BDH B Ð=Ð，根据平行线的判定可得AB GH ∥，根据平行线的性质得180BAD ADH Ð+Ð=°，等量代换得到180BAD AEH Ð+Ð=°，即可得出答案；（2）结合（1）根据平行线的性质即可得解．【详解】（1）EH AD ∥，理由如下：BDH B Ð=ÐQ ，AB GH \∥，180BAD ADH \Ð+Ð=°，AEH ADH Ð=ÐQ ，180BAD AEH \Ð+Ð=°，EH AD \∥；（2）180BAD ADH Ð+Ð=°Q ，又EH AD Q ∥，180H ADH \Ð+Ð=°，H BAD \Ð=Ð，40H Ð=°Q ，40BAD \Ð=°．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键．题型10 根据平行线的性质与判定探究角的关系(1)123ÐÐÐ、、之间的关系为(2)如果点P 在A 、B 两点之间运动时，(3)如果点P （点P 和A 、【答案】(1)123Ð+Ð=Ð(2)123Ð+Ð=Ð(3)123Ð-Ð=Ð或2Ð-Ð∴52Ð=Ð（两直线平行，内错角相等），∵345Ð=Ð+Ð，∴123Ð+Ð=Ð（等量代换）；故答案为：123Ð+Ð=Ð；（2）解：由（1）的证明过程知，123ÐÐÐ、、之间的关系不发生变化；故答案为：123Ð+Ð=Ð；（3）解：过点P 作1PQ l ∥，∵12l l ∥，∴21PQ l l ∥∥；当点P 在AB 延长线上时，如左图，则24ÐÐ=，134CPQ Ð=Ð=Ð+Ð，∴132Ð=Ð+Ð，即123Ð-Ð=Ð；当点P 在BA 延长线上时，如右图，∵21PQ l l ∥∥，∴14Ð=Ð，234DPQ Ð=Ð=Ð+Ð，∴231Ð=Ð+Ð，即213Ð-Ð=Ð；综上，123Ð-Ð=Ð或213Ð-Ð=Ð．故答案为：123Ð-Ð=Ð或213Ð-Ð=Ð．【变式训练】(1)图中CBD Ð= °；(2)当ACB ABD Ð=Ð时，ABC Ð=(3)随点P 位置的变化，图中APB Ð【答案】(1)60P；(1)求证：AB CD(2)点G是射线MD上的一个动点∥交直线AB于点N，设HN EMβ=°①点G在点F右侧，且70∵EH 平分FEG Ð，∴HEF HEG Ð=Ð，∵HN EM ∥，∴EHN HEM HEF FEM Ð=Ð=Ð+Ð，∵FEM FME Ð=Ð，∴EHN HEF FME αÐ=Ð+Ð=，∵()180********EGF FME GEM FME FEM HEF FME HEF Ð=°-Ð-Ð=°-Ð-Ð-Ð=°-Ð+Ð，∴1802βα=°-，∵70β=°，∴701802α°=°-，解得55α=°．②α和β之间的数量关系为2βα=或1802βα=°-．理由如下：当点G 在点F 的右侧，由（2）得1802αβ=°-，当点G 在点F 的左侧时，如图2，∵EH 平分FEG Ð，∴HEF HEG Ð=Ð，∵HN EM ∥，∴EHN HEM Ð=Ð，∵FEM FME Ð=Ð，∴()222EGF FME GEM FEM GEM GEM HEG GEM GEM HEG HEM Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，∴2EGF EHN Ð=Ð，即2βα=，综上所述，α和β之间的数量关系为2βα=或1802βα=°-．【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．一、单选题1．（2023下·云南昭通·七年级统考阶段练习）如图，下列条件不能判定AB CD P 的是（）A ．13Ð=ÐB ．35Ð=ÐC ．12180Ð+Ð=°D ．15Ð=Ð【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理，对各项逐一进行判断即可．【详解】解：A 、13Ð=Ð，根据同位角相等，两直线平行可判定AB CD P ，故此选项不符合题意；B 、35Ð=Ð，对顶角相等，不能判定AB CD P ，故此选项符合题意；C 、12180Ð+Ð=°，根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB CD P ，此选项不符合题意；D 、15Ð=Ð，根据内错角相等，两直线平行可判定AB CD P ，故此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．2．（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图所示，以下说法错误的是（）A ．1Ð与2Ð是同位角B ．4Ð与3Ð是同位角C ．5Ð与3Ð是内错角D ．4Ð与5Ð是同旁内角【答案】C 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可．【详解】解：A 、1Ð与2Ð是同位角，正确，不符合题意；B 、4Ð与3Ð是同位角，正确，不符合题意；C 、5Ð与3Ð不是内错角，错误，符合题意；D 、4Ð与5Ð是同旁内角，正确，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角，解答的关键是理解定义：如果两条直线被第三条直线所截所形成的的角，在两条被截直线之间且在截线两侧的两个角互为内错角；在两条被截直线同一方且在截线同侧的两个角互为同位角；在两条被截线之间且在截线同侧的两个角互为同旁内角．3．（2023上·陕西铜川·八年级统考期末）如图，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（）A ．∵AD BC ∥，180BAD D \Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补）B ．∥Q AB CD ，180BCD ABC \Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补）C ．13Ð=ÐQ ，AB CD \∥（内错角相等，两直线平行）D ．DAM CBM Ð=ÐQ ，AD BC \∥（同位角相等，两直线平行）【答案】A【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，利用平行线的判定方法与性质逐一分析即可得到答案，熟记平行线的判定方法与平行线的性质是解本题的关键．【详解】解：∵AD BC ∥，180BAD ABC \Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补），故A 符合题意；∥Q AB CD ，180BCD ABC \Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补），故B 不符合题意；13Ð=ÐQ ，AB CD \∥（内错角相等，两直线平行），故C 不符合题意；DAM CBM Ð=ÐQ ，AD BC \∥（同位角相等，两直线平行），故D 不符合题意；故选A4．（2023上·陕西榆林·八年级校考期末）如图，直线a b P ，直线l 与直线a 相交于点P ，与直线b 相交于点Q ，PM l ^于点P ，若155Ð=°，则2Ð的度数为（）A ．35°B ．55°C ．125°D ．145°【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，根据两直线平行，同位角相等，平角的定义计算即可．【详解】如图，∵a b P ，155Ð=°，∵34180,2+Ð=°ÐÐ+Ð∴180324Ð°--Ð==Ð故选A ．5．（2023上·四川宜宾·七年级四川省宜宾市第二中学校校考阶段练习）平分BAC Ð，A C CE ^A ．1个【答案】D 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来内角互补可得2BAC Ð+Ð212180Ð+Ð=°，可求得结果；二、填空题【答案】①②④【分析】根据同位角的定义，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】解：①∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角；②∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角；【答案】B DAB Ð=Ð【分析】根据“内错角相等，两直线平行【详解】解：由“内错角相等，两直线平行【答案】36°/36度【分析】由对顶角相等可得Ð件可求得B Ð，即可求解．【详解】解：如图，1108Ð=°Q ，31108\Ð=Ð=°，∵l AB ∥，3180A \Ð+Ð=°，2B Ð=Ð，【答案】3或7.5或12【分析】本题考查了平行线的性质．分类讨论Ð的大小即可求解．性质确定旋转角AFE∥时，如图所示：【详解】解：①当DE BC30AFE Ð=°∴30310t ==秒②当DE AB ∥时，如图所示：∵45FHD A Ð=Ð=°，∴45HFD Ð=°45AFE HFD EFD Ð=Ð+Ð=°+∴757.510t ==秒180120AFE E Ð=°-Ð=°∴1201210t ==秒综上所述：t 的值为3或7.5或12三、解答题11．（2023上·新疆克孜勒苏·七年级统考期末）如图，已知12180Ð+Ð=°，3B Ð=Ð，试判断C Ð与AED Ð的大小关系，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由．解：AED C Ð=Ð．理由如下：∵12180Ð+Ð=°（已知），1180DFE Ð+Ð=°（_______），∴2DFE Ð=Ð（_______），∴AB ∥ _______（_______），∴3ADE Ð=Ð（_______），∵3B Ð=Ð（已知），∴∠_______=Ð_______（_______），∴_______∥_______（_______），C AED Ð=Ð（_______）．【答案】平角的定义；等量代换；EF ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等：ADE ；B ；等量代换；DE ；BC ，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据证明的思路，把证明过程填写完整即可．【详解】AED C Ð=Ð．理由如下：∵12180Ð+Ð=°（已知），1180DFE Ð+Ð=°（平角的定义），∴2DFE Ð=Ð（等量代换），∴AB EF ∥（内错角相等，两直线平行），∴3ADE Ð=Ð（两直线平行，内错角相等），∵3B Ð=Ð（已知），∴ADE B Ð=Ð（等量代换），∴DE BC ∥（同位角相等，两直线平行），∴C AED Ð=Ð（两直线平行，同位角相等）．故答案为：平角的定义；等量代换；EF ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等：ADE ；B ；等量代换；DE ；BC ，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．12．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）在下列解答中，填空（理由或数学式）．如图，已知直线b c ∥，1116Ð=°，3=4ÐÐ．(1)求AOB Ð的度数；(2)求证：直线a c ∥．解：（1）∵1116Ð=° （已知）∴2116Ð=°（）．∵b c ∥（已知），∴2AOB Ð=Ð（）．故答案为：已知；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．13．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，已知AB CD P ，AC 与BD 相交于点E ，从点E 引一条射线EF 交线段AB 于点F ，若180AFE DCB Ð+Ð=°，A AEF Ð=Ð，求证：DCA ACB Ð=Ð．证明：∵AB CD P （已知），∴180ABC DCB Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补），又∵180AFE DCB Ð+Ð=°（已知），∴AFE ABC Ð=Ð（____________________），∴EF ∥__________（____________________），∴Ð=AEF __________（____________________），∵AB CD P （已知），∴A DCA Ð=Ð（____________________），∵A AEF Ð=Ð（已知），∴DCA ACB Ð=Ð（____________________）．【答案】见解析【分析】本题考查平行线的性质与判定，根据题目已知条件及现有步骤结合平行线的判定和性质定理，即可得到答案．【详解】证明：AB CD P （已知），∴180ABC DCB Ð+Ð=°（两直线平行同旁内角互补），又∵180AFE DCB Ð+Ð=°（已知），∴AFE ABC Ð=Ð（同角的补角相等）；∴ EF BC ∥（同位角相等，两直线平行），∴AEF ACB Ð=Ð（两直线平行，同位角相等），∵AB CD P （已知），∴A DCA Ð=Ð（两直线平行，内错角相等），∴A AEF Ð=Ð（已知），∴DCA ACB Ð=Ð（等量代换），故答案为：同角的补角相等；BC ；同位角相等，两直线平行；ACB Ð；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换．14．（2023上·重庆沙坪坝·八年级统考期中）已知：如图，在ABC V 中，点D 在BC 边上，EF AD ∥分别交AB ，CB 于点E ，F ，DG 平分ADC Ð，12180Ð+Ð=°，(1)求证：AB DG ∥；(2)若40B Ð=°，60DAC Ð=°，求DGC Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)100°【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和判定，是解决本题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【详解】（1）证明：∵EF AD ∥，∴1180BAD Ð+Ð=°．∵12180Ð+Ð=°．∴2BAD Ð=Ð．∴AB DG ∥；（2）解：∵AB DG ∥，40B Ð=°，∴40GDC B Ð=Ð=°，∵DG 平分ADC Ð，∴240GDC Ð=Ð=°，又∵60DAC Ð=°，∴2100DGC DAC Ð=Ð+Ð=°．15．（2023上·四川遂宁·七年级射洪中学校联考阶段练习）如图1，直线AD EF P ，点B C ，分别在EF 和AD 上，A ABC Ð=Ð，BD 平分CBF Ð．【探索】如图②，AM 平分BAC Ð，CAM CMA Ð=Ð，点E 在射线AB 上，点F 在线段CM 上，若AEF C Ð=Ð，求证：EF AC ∥．【拓展】如图③，将【探索】中的点F 移动到线段CM 的延长线上，其他条件不变，若357CAM MEF Ð=Ð=°，请直接写出AME Ð的度数．【答案】感知：BAM Ð；BAM Ð；探索：见解析；拓展：76AME =°∠【分析】感知：根据角平分线定义和平行线的性质进行解答即可；探索：先证明AB CD P ，得出AEF EFD Ð=Ð，在证明EFD C Ð=Ð，根据平行线的判定得出结论即可；拓展：根据角平分线定义得出57BAM CAM ==°∠∠， 257114BAC =´°=°∠，根据平行线的性质求出18066C BAC =°-=°∠∠，求出661947AEM =°-°=°∠，最后根据平行线的性质求出结果即可．【详解】解：感知：∵AM 平分BAC Ð，（已知），∴CAM BAM Ð=Ð（角平分线的定义），∵AB CD P （已知），∴CMA BAM Ð=Ð（两直线平行，内错角相等）∴CAM CMA Ð=Ð（等量代换）．故答案为：BAM Ð；BAM Ð．探索：∵AM 平分BAC Ð，∴CAM BAM Ð=Ð，∵CAM CMA Ð=Ð，∴A BAM CM =Ð∠，∴AB CD P ，∴AEF EFD Ð=Ð，∵AEF C Ð=Ð，∴EFD C Ð=Ð，∴EF AC ∥．拓展：∵357CAM MEF Ð=Ð=°，∴根据探索可知：57BAM CAM ==°∠∠，19MEF =°∠，∴257114BAC =´°=°∠，根据探索可知：AB CD P ，∴18066C BAC =°-=°∠∠，∴66AEF C ==°∠∠，∴661947AEM =°-°=°∠，∵AB CD P ，∴57AMC BAM ==°∠∠，47DME AEM ==°∠∠，∴18076AME AMC DME =°--=°∠∠∠．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．17．（2023上·内蒙古乌海·八年级统考期末）综合与实践：问题：如图1，直线AB 、BC 、AC 两两相交，交点分别为点A 、B 、C ，点D 在线段AB 上，过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ，过点E 作EF AB ∥交BC 于点F ．（1）若65ABC Ð=°，求DEF Ð的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空(理由或数学式)解：∵DE BC ∥，∴DEF Ð= ______（______），∵EF AB ∥，∴______ ABC =Ð（______），∴DEF ABC Ð=Ð（______），∵65ABC Ð=°，∴65DEF Ð=°．探究：如图2，直线AB 、BC 、AC 两两相交，交点分别为点A 、B 、C ，点D 在线段AB 的延长线上，过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ，过点E 作EF AB ∥交BC 于点F ．（2）在图2中，若65ABC Ð=°，求DEF Ð的度数并说明理由．（3）猜想：如果ABC Ð的两边分别平行于DEF Ð的两边，直接写出ABC Ð与DEF Ð这两个角之间有怎样的数量关系？【答案】（1）EFC Ð；两直线平行，内错角相等；EFC Ð；两直线平行，同位角相等；等量代换；（2）115DEF Ð=°，理由见解析；（3）ABC DEF Ð=Ð或180ABC DEF Ð+Ð=°【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．（1）由平行线的性质可得DEF EFC Ð=Ð，EFC ABC Ð=Ð，则有DEF ABC Ð=Ð，即可得解；（2）由平行线的性质得65ABC ADE Ð=Ð=°，180ADE DEF Ð+Ð=°，则可求DEF Ð得度数．（3）根据平行线的性质分析，即可获得答案．【详解】解：（1）∵DE BC ∥，∴DEF EFC Ð=Ð（两直线平行，内错角相等），∵EF AB ∥，∴EFC ABC Ð=Ð（两直线平行，同位角相等），∴DEF ABC Ð=Ð（等量代换），∵65ABC Ð=°，∴65DEF Ð=°．故答案为：EFC Ð；两直线平行，内错角相等；EFC Ð；两直线平行，同位角相等；等量代换；（2）115DEF Ð=°，理由如下：∵DE BC ∥，∴65ABC ADE Ð=Ð=°（两直线平行，同位角相等），∵EF AB ∥，∴180ADE DEF Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补），∴180115DEF ADE Ð=°-Ð=°；（3）ABC DEF Ð=Ð或180ABC DEF Ð+Ð=°，理由如下：如图1，ABC Ð的两边分别平行于DEF Ð的两边时，ABC DEF Ð=Ð；如图2，ABC Ð的两边分别平行于DEF Ð的两边时，180ABC DEF Ð+Ð=°．18．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，线段AB 与线段CD 平行，P 是平面内一点，连接PA PD ，，射线AM DN ，分别平分BAP CDP ÐÐ，．(1)当点P 在线段DA 的延长线上时：①在图1中，依题意补全图形；②请直接写出直线AM 与直线DN 的位置关系：___________；(2)如图2，当点P 在直线AB 与直线CD 之间时，射线AM ，DN 交于点Q ，探究P Ð与AQD Ð的数量关系，。

2022年人教版平行线的判定性质练习知识点考点典型例题

5．2平行线及其鉴定【知识要点】平行线旳鉴定（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行（3）同旁内角互补，两直线平行（4）在同一平面内，垂直于同一条直线旳两条直线互相平行（5）平行公理旳推论：假如两条直线都与第三条直线互相平行，那么这两条直线也互相平行。

【配套练习】一．判断题：1．两条直线被第三条直线所截，只要同旁内角相等，则两条直线一定平行。

（）2．如图②，∵∠GMB=∠HND（已知）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）（）二．填空题：1．∵a∥b，b∥c（已知）∴______ ∥______（）2．如图：1234ab c（1）∵______=∠3，∴a∥b （）。

（2）∵∠2=∠4，∴______∥________（）（3）∵∠2+∠3=180°，∴______∥________（）3．如图③∵∠1=∠2，∴______∥________（）∵∠2=∠3，∴______∥_______（）4．如图④∵∠1=∠2，∴______∥________（）∵∠3=∠4，∴______∥________（）5．如图⑤∠B=∠D=∠E，那么图形中旳平行线有________________________________。

6．如图⑥∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知）∴∠B=∠D=90°（）∴∠B+∠D=180°∴AB∥CD ( )又∵∠1+∠2 =180°（已知）∴AB∥EF ( )∴CD∥EF ( )三．选择题：1．如图⑦，∠D=∠EFC，那么（）A．AD∥BC B．AB∥CDC．EF∥BC D．AD∥EF2．如图⑧，鉴定AB∥CE旳理由是（）A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE3．如图⑨，下列推理错误旳是（）A．∵∠1=∠3，∴a∥b B．∵∠1=∠2，∴a∥bC．∵∠1=∠2，∴c∥d D．∵∠1=∠2，∴c∥d4.如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件，①∠1＝∠2，②∠3＝∠6，③∠4＋∠7＝180°，④∠5＋∠8＝180°其中能判断a∥b旳是（）A．①③B．②④C．①③④D．①②③④四．完毕推理，填写推理根据：1．如图⑩∵∠B=∠______，∴AB∥CD（）∵∠BGC=∠____，∴CD∥EF（）∵AB∥CD ，CD∥EF，∴AB∥_______（）2．如图⑾填空：（1）∵∠2=∠3（已知）∴AB__________（）（2）∵∠1=∠A（已知）∴__________（）（3）∵∠1=∠D（已知）∴__________（）（4）∵_______=∠F（已知）∴AC∥DF（）3.填空。

专题02 平行线的判定与性质(解析版)(重点突围)

专题02 平行线的判定与性质【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一平行线的判定】 (1)【考点二添加一条件使两条直线平行】 (3)【考点三平行线的性质】 (4)【考点四根据平行线的性质与判定求角度】 (5)【考点五平行线的性质在生活中的应用】 (8)【考点六平行线的性质与判定综合应用】 (10)【考点七命题的判定与逆命题】 (12)【过关检测】 (14)【典型例题】【考点一平行线的判定】例题：（2022·山东泰安·七年级期末）如图，AB BC ^，1290Ð+Ð=°，23ÐÐ=．请说明线段BE 与DF 的位置关系？为什么？【答案】BE ∥DF ，见解析【分析】由已知推出∠3+∠4=90°，利用1290Ð+Ð=°，23ÐÐ=，得到∠1=∠4，即可得到结论BE ∥DF ．【详解】解：BE ∥DF ，∵AB BC ^，∴∠ABC =90°，∴∠3+∠4=90°，∵1290Ð+Ð=°，23ÐÐ=，∴∠1=∠4，∴BE ∥DF ．【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键．【变式训练】【答案】见解析【分析】根据角平分线定义求出判定得出结论．【详解】理由：∵AD∴∠1＝1∠EAC，2【答案】见解析∵∠1=110°，∠2=70°，∠1=∠BCE ，∴∠ABC =70°，∠BCE =110°，∴∠ABC +∠BCE =180°，∴AB ∥CD ．【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同旁内角互补，两直线平行．【考点二添加一条件使两条直线平行】例题：（2022·江西赣州·七年级期中）如图，点E 在AC 的延长线上，若要使AB CD P ，则需添加条件_______（写出一种即可）【答案】∠1=∠2 等（写出一种即可）【分析】根据平行线的判定定理得出直接得出即可．【详解】解：∵当∠1 =∠2时，AB CD P （内错角相等，两直线平行）；∴若要使AB CD P ，则需添加条件∠1 =∠2；故答案为：∠1=∠2．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．【变式训练】1．（2022·甘肃·临泽县第三中学七年级期中）如图，填写一个能使AB ∥CD 的条件：_________．【答案】12Ð=Ð（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定定理进行解答即可．【详解】解：填写的条件为：12Ð=Ð，12Ð=ÐQ ，AB \CD ∥（内错角相等，两直线平行）．故答案为：12Ð=Ð（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．2．（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，要使BE DF ∥，需补充一个条件，你认为这个条件应该是______（填一个条件即可）．【答案】D COE Ð=Ð(答案不唯一）【分析】利用两线平行的判定方法，找到一组同位角相等即可．【详解】解：当D COE Ð=Ð时：BE DF ∥，故答案为：D COE Ð=Ð（答案不唯一）．【点睛】本题考查两直线平行的判定方法．利用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，任选其一解题即可．【考点三平行线的性质】例题：（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）如图，a b ∥．158Ð=°，则2Ð的度数为（）A ．58°B ．112°C ．120°D ．132°【答案】A 【分析】根据平行线性质得出13Ð=Ð，根据对顶角相等即可得出答案．【详解】解：如图，∵a b ∥，158Ð=°，∴3158Ð=Ð=°，∴2358Ð=Ð=°，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等．【变式训练】1．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）如图，AB CD P ，40B Ð=°，则ECD Ð的度数为（）A ．160°B ．140°C ．50°D ．40°【答案】B 【分析】利用平行线的性质先求解DCB Ð，再利用邻补角的性质求解ECD Ð即可．【详解】解：∵AB CD P ，40B Ð=°，∴40DCB B Ð=Ð=°，∴180140ECD DCB Ð=°-Ð=°，故选B ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．2．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，直线a b P ，直线l 与a ，b 分别相交于A ，B 两点，过点A 作直线l 的垂线交直线b 与点C ，若227Ð=°，则1Ð的度数为________．【答案】63°##63度【分析】根据a b P ，可得12180BAC Ð+Ð+Ð=°，即可求出1Ð的度数．【详解】解：∵a b P ，227Ð=°，90BAC Ð=°，∴12180BAC Ð+Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补），∴1180263BAC Ð=°-Ð-Ð=°，故答案为：63°．【点睛】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补正确找出12180BAC Ð+Ð+Ð=°是解答本题的关键．【考点四根据平行线的性质与判定求角度】例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级阶段练习）如图，已知：12Ð=Ð，60D Ð=°，(1)说明：AB CD ∥．(2)求B Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)120°【分析】（1）根据对顶角相等得到1GHD Ð=Ð，再利用平行线的判定即可证明；（2）根据平行线的性质求出即可．（1）解：∵2GHD Ð=Ð，12Ð=Ð，∴1GHD Ð=Ð，∴AB CD ∥；（2）∵AB CD ∥，∴180B D Ð+Ð=°，∵60D Ð=°，∴120B Ð=°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．【变式训练】1．（2022·山东·宁津县德清中学七年级期中）如图，已知EF AD ∥，12Ð=Ð，80BAC Ð=°，求：(1)DG AB∥(2)AGD Ð的度数．【答案】(1)见解析；(2)100°．【分析】（1）根据平行线的性质和判定方法即可得到结论；（2）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解．（1）解：∵EF AD ∥，∴23Ð=Ð．∵12Ð=Ð，∴13Ð=Ð．∴AB DG ∥．（2）解：∵AB DG∥∴180BAC AGD Ð+Ð=°．∵80BAC Ð=°，∴100AGD Ð=°【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握两只线平行同旁内角互补是关键．2．（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D ，E 在AC 上，点F ，G 分别在BC ，AB 上，且DG BC ∥，∠1＝∠2．(1)求证：DB EF ∥；(2)若EF ⊥AC ，∠1＝50°，求∠ADG 的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ADG ＝40°【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；（2）先求出∠C ，再根据两直线平行，同位角相等，即可得解．（1）证明：∵DG BC ∥，∴∠1＝∠DBC ．又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DBC ，∴DB EF ∥．（2）∵EF ⊥AC ，∴∠CEF ＝90°．∵∠2＝∠1＝50°，∴∠C＝90°－50°＝40°．∥，∵DG BC∴∠ADG＝∠C＝40°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．【考点五平行线的性质在生活中的应用】例题：（2022·山东青岛·七年级期中）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时Ð=_________度．∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则BCD【答案】120【分析】过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．【详解】解：过点B作BF∥CD，如图，由题意可知，∠ABF=90°，∵∠ABC=150°，∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，∵BF∥CD，∴∠FBC+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．故答案为：120．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．【变式训练】1．（2022·山东·菏泽市牡丹区第二十二初级中学七年级期中）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，则∠2＝______．【答案】48°##48度【分析】根据平行线的性质解答即可．【详解】解：如图，∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3=180°，又∠1＝132°，∴∠3=180°-∠1=48°，∵水中的两条折射光线是平行的，∴∠2=∠3=48°，故答案为：48°．【点睛】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点O 的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA ，CD 都是水平线，若20ABO Ð=°，80BOC Ð=°，则DCO ∠的度数为______．【答案】60°##60度【分析】如图所示，过点O 作OE ∥A B ，则A B C D OE ∥∥，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图所示，过点O 作OE ∥A B ，∵光线BA ，CD 都是水平线，∴AB CD P ，∴A B CD OE ∥∥，∴20BOE ABO ==°∠∠，∴60DCO EOC BOC BOE Ð=Ð=Ð-Ð=°，故答案为：60°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【考点六平行线的性质与判定综合应用】(1)我们发现∠ABC 与∠DEF 有两种位置关系：如图1与图①图1中∠ABC 与∠DEF 数量关系为；图2中请选择其中一种情况说明理由．②由①得出一个真命题（用文字叙述）：．(2)应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少∴∠DPB＝∠DEF，∵DE AB∥，∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．∥，如图2中，∵EF BC∴∠DPC＝∠DEF，∵DE AB∥，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．（2）解：设两个角分别为x和2x﹣30°，由（1）得：x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解得x＝30°或x＝70°，∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，理解如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补是解答关键．【变式训练】(1)∠ABN的度数是；(2)求∠CBD的度数；(3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．【答案】(1)116°（2）根据角平分线的定义，结合（1）的结论即可求解；（3）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根据角平分线的定义可得∠PBN＝2∠DBN，即可求解．（1）解：∵AM∥BN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，故答案为116°；（2）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，∴∠ABP+∠PBN＝116°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；（3）不变，∠APB＝2∠ADB，理由如下：∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB＝2∠ADB．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．【考点七命题的判定与逆命题】例题：（2022·福建省福州第十一中学七年级期中）下列命题是真命题的是（）A．同位角相等B．两个锐角的和是锐角C．若两个角的和为180°，则这两个角互补D．相等的角是对顶角【答案】C【分析】根据平行线的性质，补角的定义，锐角的定义，对顶角的定义逐项进行判断即可．【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、两个锐角的和可能是锐角、钝角，也可能是直角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、若两个角的和为180°，则这两个角互补，正确，是真命题，符合题意；D 、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，补角的定义，锐角的定义，对顶角的定义．【变式训练】1．（2022·上海市民办立达中学八年级阶段练习）下列命题中，其逆命题是假命题的是（）A ．同旁内角互补，两直线平行B ．若22a b =，则a b =C ．锐角与钝角互为补角D ．相等的角是对顶角【答案】C【分析】先写出各选项的逆命题，再逐个判断即可．【详解】解：A 、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，为真命题，选项不符合题意；B 、若22a b =，则a b =的逆命题为若a b =，则22a b =，为真命题，选项不符合题意；C 、锐角与钝角互为补角的逆命题为若两个角互补，则这两个角分别为锐角、钝角，为假命题，选项符合题意；D 、相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，为真命题，选项不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了命题的逆命题以及真假命题，解题的关键是正确写出命题的逆命题．2．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题的逆命题正确的是( )A ．对顶角相等B ．直角三角形两锐角互余C ．全等三角形的对应角相等D ．全等三角形的面积相等【答案】B【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确．【详解】解：A 的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题；B 的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题；C 的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题；D 的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题；故选：B ．【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单．【过关检测】一、选择题1．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）下列定理中，下面语句是命题的是（）A ．p 是有理数B ．已知3a =，求2aC ．作ABC Ð的角平分线D ．正数大于一切负数吗？【答案】A【分析】根据命题的定义逐一判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、对事情作出了判断，是命题，符合题意；B 、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；C 、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；D 、为疑问句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意．故选：A ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题是判断一件事情的句子，难度不大．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线m n ∥，AC BC ^于点C ，125Ð=°，则2Ð的度数为（）A ．125°B ．115°C ．110°D ．105°【答案】B 【分析】根据垂线的性质可得90ACB Ð=°，进而得出ABC Ð与1Ð互余，再根据平行线的性质可得答案．【详解】解：AC BC ^Q 于点C ，90ACB \Ð=°，190ABC \Ð+Ð=°，902565ABC \Ð=°-°=°，m n Q ∥，2180115ABC \Ð=°-Ð=°．故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．3．（2023春·七年级单元测试）下列说法：（1）经过两点有且只有一条直线；（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行；（5）周角是一条射线，平角是一条直线．其中正确的个数为（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】B【分析】利用平行公理以及其推论和垂线的定义、特殊角、点到直线的距离的定义分别分析求出即可.【详解】解：（1）经过两点有且只有一条直线，说法正确；（2）点到这条直线的垂线段的长度才是点到直线的距离，故（2）说法错误；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行，要强调在同一平面内，故（4）说法错误；（5）角是由一个公共端点发出的两条射线组成，即便两射线所在的直线重合，也不能认为是一条射线或直线，故（5）错误．故选：B【点睛】此题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义等，正确把握相关定义是解题关键.4．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，AC DE ∥，AB ，CD 交于点F ，则BFC Ð的度数为（）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°【答案】C 【分析】根据AC DE ∥可得180ACE E Ð+Ð=°，根据特殊直角三角形角的大小及关系计算可得BCF Ð，再根据直角三角形两个锐角互余即可．【详解】Q AC DE ∥，180ACE E \Ð+Ð=°又60E Ð=°Q 120∴Ð=°ACE ()120456015FCB \Ð=°-°+°=°901575BFC \Ð=°-°=°故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质及特殊直角三角形角的性质，关键是掌握平行线性质定理及直角三角形的角的性质，灵活运用角的和差运算．5．（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，下列说法中，正确的是（）A ．若38Ð=Ð，则AB CD∥B ．若15Ð=Ð，则AB CD ∥C ．若180DAB ABC Ð+Ð=°，则AB CD∥D ．若26Ð=Ð，则AB CD∥【答案】D 【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案．【详解】解：A 、38Ð=Ð，不能判断AB CD ∥，选项错误；B 、15Ð=Ð，可以判断AD BC ∥，不能判断AB CD ∥，选项错误；C 、180DAB ABC Ð+Ð=°，可以判断AD BC ∥，不能判断AB CD ∥，选项错误；D 、26Ð=Ð，可以判断AB CD ∥，选项正确，故选D ．【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．二、填空题6．（2022春·北京·七年级统考期末）如图，要使CD ∥BE ，需要添加的一个条件为：__________．【答案】1B Ð=Ð或2E Ð=Ð，180DCB B Ð+Ð=°（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可求解．【详解】解：添加1B Ð=Ð，根据同位角相等，两直线平行，可得CD ∥BE ，添加2E Ð=Ð，根据内错角相等，两直线平行，可得CD ∥BE ，添加180DCB B Ð+Ð=°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得CD ∥BE ，故答案为：1B Ð=Ð或2E Ð=Ð或180DCB B Ð+Ð=°（答案不唯一）．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．7．（2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，直线a ，b 被直线l 所截，如果a b ∥，1120Ð=°，那么2Ð=___________度．【答案】60【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可得∥，【详解】解：∵a bÐ=Ð=°，∴31120Ð=°-°=°218012060【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义．注意掌握两直线平行，同位角相等的应用是解题的关键．8．（2023春·七年级单元测试）如图，直线_________．【答案】4秒或40秒【分析】分①AB与CD 列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在∵100BAF Ð=°，60DCF Ð=°，∴()()1806061206ACD t t Ð=--=°°-°°°，100BAC t Ð=°-°，要使AB CD ∥，则ACD BAC Ð=Ð，即()1206100t t -=°°-°°，解得t =4；此时()18060620°-°¸=，∴020t <<；②CD 旋转到与AB 都在EF 的右侧时，∵()()3606603006DCF t t Ð=--=°°-°°°，100BAC t Ð=°-°，要使AB CD ∥，则DCF BAC ÐÐ=，即()3006001t t °°=°--°，解得40t =，此时()36060650°-°¸=，∴2050t <<；③CD 旋转到与AB 都在EF 的左侧时，∴(DCF Ð=要使AB ∥即()630t °-解得40t =，此时50t >，而4050<，∴此情况不存在．综上所述，当时间故答案为：【答案】对顶角相等；120°；等量代换；等式的性质；【分析】根据等式的性质以及平行线的判定定理即可解答．Ð的度数；(1)求CAEP．(2)求证：AB DC【答案】(1)50°(2)见解析【分析】（1）根据平行线的性质定理即可得到结论；（2）根据平行线判定定理即可得到结论．【详解】（1）解：//AD BE Q ，3CAD \ÐÐ＝，2380CAE CAD Ð+ÐÐÐ°Q ＝，＝，280CAE \Ð+Ð°＝，230Ð°Q ＝，50CAE \Ð°＝（2）证明：23CAE CAD Ð+ÐÐÐQ ＝＝，1234ÐÐÐÐ＝，＝，14CAE \Ð+ÐÐ＝，即4BAE ÐÐ＝，//AB DC \．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质定理，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．15．（2022秋·福建福州·七年级校考期末）如图，已知：BE 平分ABD Ð，DE 平分BDC Ð，且130221Ð=°Ð=Ð，．(1)试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由；(2)求证：BE DE ^．【答案】(1)AB CD P ，理由见解析(2)见解析【分析】（1）先求出260Ð=°，再根据角平分线的定义求出ABD BDC ∠、∠即可证明180ABD BDC Ð+Ð=°，则AB CD P ；（2）过E 作EF CD P ，则AB CD EF ∥∥，由平行线的性质可知ABE BEF FED CDE Ð=ÐÐ=Ð，，再由角平分线的定义推出6030BEF FED Ð=°Ð=°，即可得到结论．【详解】（1）解：AB CD P ，理由如下：∵130221Ð=°Ð=Ð，，∴260Ð=°，∵BE 平分ABD Ð，DE 平分BDC Ð，∴221202160ABD BDC Ð=Ð=°Ð=Ð=°，，∴180ABD BDC Ð+Ð=°，∴AB CD P ；（2）证明：过E 作EF CD P ，如图：由（1）得，AB CD P ，∴AB CD EF ∥∥，∴ABE BEF FED CDE Ð=ÐÐ=Ð，，∵BE 平分ABD Ð，DE 平分BDC Ð，∴260130ABE CDE Ð=Ð=°Ð=Ð=°，，∴6030BEF FED Ð=°Ð=°，，∴90BED BEF FED Ð=Ð+Ð=°，∴BE DE ^．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．16．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，12180Ð+Ð=°，3B Ð=Ð．(1)求证：DE BC ∥；(2)若76C Ð=°，23AED Ð=Ð，求CEF Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)66°【分析】（1）由已知条件可证得AB EF ∥，从而有B EFC Ð=Ð，则得3EFC Ð=Ð，得证DE BC ∥；（2）由（1）得DE BC ∥，利用两直线平行，同旁内角互补可求解．【详解】（1）证明：12180Ð+Ð=°Q ，24ÐÐ=，AB EF \∥，B EFC \Ð=Ð，3B Ð=ÐQ ，3EFC \Ð=Ð，DE BC \∥；（2）解：DE BC Q ∥，76C Ð=°，180C DEC \Ð+Ð=°，76AED C Ð=Ð=°，23AED Ð=ÐQ ，338\Ð=°180104DEC C Ð=°-Ð=°Q ，31043866CEF DEC \Ð=Ð-Ð=°-°=°．【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．17．（2021春·辽宁沈阳·七年级校考期中）如图，已知AB CD P ，E 是直线AB 上的一点，CE 平分ACD Ð，射线CF CE ^，132Ð=°．(1)求ACE Ð的度数．(2)若258Ð=°，判断CF 和AG 的位置关系，说明理由．【答案】(1)32°(2)CF AG ∥，理由见解析【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可得到结论；（2）根据平行线的判定定理即可得到结论．【详解】（1）解：AB CD ∥Q ，132DCE \Ð=Ð=°，CE Q 平分ACD Ð，ACE DCE；\Ð=Ð=°32∥，理由如下：（2）解：CF AGQ，^CF CE\Ð=°，FCE90\Ð=°-°=°，FCH903258Q，258Ð=°\Ð=Ð，2FCH\∥．CF AG【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，正确的识别图形是解题的关键．18．（2022春·广东汕尾·七年级校考期中）如图，直线EF交直线AB、CD与点M、N，NP平分∠ENC交直线AB于点P．已知∠EMB=112°，∠PNC=34°．(1)求证：AB∥CD；(2)若PQ将分∠APN成两部分，且∠APQ：∠QPN=1：3，求∠PQD的度数．【答案】(1)见详解(2)36.5°【分析】（1）根据角平分线的性质，可得∠MNQ=2∠PNC=68°，再根据对顶角的定义∠PMN=∠EMN=112°，继而根据平行线的判定定理即可求证结论；（2）根据∠APQ：∠QPN=1：3，可得∠QPN=3∠APQ，根据AB∥CD，可得∠MPN=∠PNC=34°，再根据平角定义可得∠APQ=32°，进而可得∠PQD的度数．（1）∵NP平分∠ENC，∠PNC=34°∴∠MNQ=2∠PNC=68°，又∠PMN=∠EMN=112°（对顶角相等），∴∠PMN+∠MNQ=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）（2）∵∠APQ：∠QPN=1：3，∴∠QPN=3∠APQ，∵AB∥CD，∴∠MPN=∠PNC=34°，∴∠APN=180°﹣∠MPN=146°，∴∠APQ+∠QPN=146°，∴4∠APQ=146°，∴∠APQ=36.5°，∴∠PQD=∠APQ=36.5°．则∠PQD的度数为36.5°．【点睛】本题考查了平行线的判定及其性质和角平分线的性质以及平角的定义，解决本题的关键是掌握平行线的性质．。

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平行线的判定和性质拔高训练题
1．如图1，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在'D ，'
C 的位置．若 ∠EFB =65°，则'AE
D 等于__________．
2. 如图2，AD ∥EF ，EF ∥BC ，且EG ∥AC ．那么图中与∠1相等的角(不包括∠1)的个数是__________．
3. 如图3，AB ∥CD ，直线AB ，CD 与直线l 相交于点E ，F ，EG 平分∠AEF ，FH 平分 ∠EFD ，则GE 与FH 的位置关系为__________．
（1）（2）（3） 4．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是( ) A ．30°和150° B ．42°和138° C ．都等于10° D ．42°和138°或都等于10° 5．如图4，点E 在CA 延长线上，DE 、AB 交于点F ，且∠BDE =∠AEF ，∠B =∠C ， ∠EFA 比∠FDC 的余角小10°，P 为线段DC 上一动点，Q 为PC 上一点，且满足∠FQP =∠QFP ，FM 为∠EFP 的平分线．则下列结论：①AB ∥CD ，②FQ 平分∠AFP ，③∠B ＋∠E =140°，④∠QFM 的角度为定值．其中正确的结论有( )个数 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
（4）（5）
6．如图5，AB ∥EF ，EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B ＋∠BED ＋∠D =192°， ∠B －∠D =24°，求∠GEF.
7. 已知：如图6，AD ⊥BC 于点D ，EG ⊥BC 于点G ，∠E ＝∠3．求证：AD 平分∠BAC ．
（6)
8. 如图7，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明：AD∥BE．
（7)
9. 如图8，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E，∠BDA＋∠ECA=180°，
求证：D A⊥EF.
(8)
10．已知，如图8，∠1＋∠2=180°，∠1＋∠EFD=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C 的关系，并证明你的结论．
(9)
11．已知，如图10，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．
(10)
12．如图11，在△ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC∥ED，CE是△ACB的平
分线．求证：∠EDF=∠BDF．
(11)
13．如图12，AB∥CD，∠ABF=∠D CE，求证∠BFE=∠FEC.
(12)
D
(12)。