立体几何-线面平行

1.运用中点作平行线

例1.已知四棱锥P−ABCD的底面是矩形，M,N分别是AD,P B的中点，求证MN//平面PCD。

2.运行比例作平行线

例2.四边形ABCD与ABEF是两个全等正方形，且AM=F N，其中M∈AC,N∈BF,求证：MN//平面BCD.

3.运用传递性作平行线

例3.求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行。

4.运行特殊位置作平行线

例4.正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2，点E,F分别是C1C,B1B上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2F B=2,问当点M在何位置时MB//平行AEF。

练习：

1.棱长都相等的四面体称为正四面体，在正四面体A−BCD中，点M,N分别是CD和AD的中点，给出下列命题：

①直线MN//平面ABC

②直线CD⊥平面BMN

③三棱锥B−AMN的体积是三棱锥B−ACM的体积的一半。

则其中正确命题的序号为。

2.几何体E−ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD,EC⊥BD.

（Ⅰ）求证：BE=DE;

（Ⅱ）若BCD=120◦,M为线段AE的中点，求证：DM//平面BEC.

3.直三棱锥ABC−A′B′C′,BAC=90◦,AB=AC=2,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点。

（Ⅰ）证明：MN//平面A′ACC′；

（Ⅱ）求三棱锥A′−MNC的体积。

4.如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC且AE=AB= 2,CD=1,F为BF的中点。

（1）若点G在AB上，试确定G点的位置，使F G//平面ADE，并加以证明；

（2）求DB与平面ABE所成角的正弦值。

5.四棱锥S−ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧楞SD上的点。

（1）求证：AC⊥SD。

（2）若SD⊥平面P AC，求二面角P−AC−D的大小；

（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面P AC，若存在，求SE: EC的值，若不存在，请说明理由。

6.已知四边形ABCD的平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，则在四棱锥P−ABCD中，M是P C的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH。求证：AP//GH。

7.已知平面α//面β,AB,CD为异面线段，AB⊂α,CD⊂β,且AB=a,CD=b,AB与CD所成的角为θ，平面γ//面α,且平面γ与AC,BC,BD,AD分别相交于点M,N,P,Q，且M,N,P,Q为中点。

（1）若a=b,求截面四边形MNP Q的周长；

（2）求截面四边形MNP Q面积的最大值。

8.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，棱长AA1=2,AB=1,E是AA1的中点。

（Ⅰ）求证：A1C//平面BDE;

（Ⅱ）求点A到平面BDE的距离。

9.在三棱锥P−ABC中，已知AB=AC=2,P A=1,P AB=P AC=BAC= 60◦,点D,E分别为AB,P C的中点。

（1）在AC上找一点M，使P A//面DEM;

（2）求证：P A⊥面P BC;

（3）求三棱锥P−ABC的体积。

10.空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60◦的角，且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于E,F,G,H。

（1）求证：四边形EF GH为平行四边形。

（2）E在AB的何处时截面EF GH的面积最大？最大面积是多少？

11.四棱锥P−ABCD中，P D⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=P D=2,E为P C的

中点，BG=2CG。

（Ⅰ）求证：P C⊥BC;

（Ⅱ）求三棱锥C−DEG的体积；

（Ⅲ）AD边上是否存在一点M,使得P A//平面MEG.若存在，求AM的长；否则，说明理由。

12.在四棱锥P−ABCD中，ABC=ACD=90◦,BAC=CAD=60◦,P A⊥平面ABCD,E为P D的中点，AB=1,P A=2。

（Ⅰ）证明：直线CE//平面P AB;

（Ⅱ）求三棱锥E−P AC的体积。