立体几何-线面平行
立体几何---线面平行
直线、平面平行的判定【要点梳理】要点一、直线和平面平行的判定文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.图形语言：符号语言：a α⊄、b α⊂，//a b //a α⇒.要点诠释：（1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件：①直线a 在平面α外，即a α⊄；②直线b 在平面α内，即b α⊂；③直线a ，b 平行，即a ∥b ．这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．（2）定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．要点二、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.图形语言：符号语言：若a α⊂、b α⊂，a b A =，且//a β、//b β，则//αβ.要点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行⇒面面平行．要点三、判定平面与平面平行的常用方法1．利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．2．利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．【典型例题】类型一、直线与平面平行的判定例1．已知AB ，BC ，CD 是不在同一平面内的三条线段，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CD 的中点，求证：AC//平面EFG ， BD//平面EFG ．例2．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内，P 、Q 分别为对角线AE 、BD 上的点，且AP=DQ ，如右图．求证：PQ ∥平面CBE ．【变式1】在正方体1111ABCD A B C D 中，1O 是正方形1111A B C D 的中心，求证：1//AO 面1BC D ．【变式2】 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC.【变式3】 如右图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP=AB ，BP=BC=2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAD ；（2）求三棱锥E —ABC 的体积V ．类型二、平面与平面平行的判定例3．如右图，已知正方体ABC D —A 1B 1C 1D 1，求证：平面AB 1D 1∥平面BDC 1．例4．如右图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ．【变式1】点P 是△ABC 所在平面外一点，123,,G G G 分别是△PBC ，△APC ，△ABP 的重心，求证：面123//G G G 面ABC .【变式2】 如右图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D ，E 分别是BC 与B 1C 1的中点．求证：平面A 1EB ∥平面ADC 1．【变式3】 已知在正方体''''ABCD A B C D 中 ，M ，N 分别是''A D ，''A B 的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN 平行的平面，并证明你的结论．【巩固练习】1．下列说法中正确的是（ ）A ．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行B ．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行C ．如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行D ．如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行2．已知三条互相平行的直线a 、b 、c 中，a α⊂，,b c α⊂，则平面α、β的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．重合3．已知m ，n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出下列三个命题：①////m m n n ββ⎧⇒⎨⊂⎩；②//m n n m ββ⎧⇒⎨⎩与异面与相交；③//////m n m n αα⎧⇒⎨⎩。
线面平行的性质
• 在判断方向向量与法向量是否垂直时，需要计算向量的点积 • 在判断方向向量与法向量所成的点积是否为零时，需要计算向量的点积
利用空间几何性质判定线面平行
利用空间几何性质判定线面平行的方法有以下几种
• 判断直线与平面内的任意一条直线是 否不相交 • 判断直线与平面内的任意一条直线是 否平行
• 判断一条直线是否与一个平面平行，需要考虑直线与平面内的其他直线的关系 • 判断一条直线是否与一个平面平行，需要考虑直线与平面内的其他直线的关系
线面平行的几何表示
线面平行的几何表示方法有多种
• 利用角度关系表示线面平行，即直线与平面内的任意一条直线所成的同位角相等 • 利用向量关系表示线面平行，即直线的方向向量与平面的法向量垂直 • 利用空间几何性质表示线面平行，即直线与平面内的任意一条直线都不相交
• 在工程制图中，往往需要判断线与平面是否平行 • 在工程制图中，往往需要利用线面平行的性质进行绘图和计算
线面平行在立体几何中有广泛应用
• 在求解立体几何问题时，往往需要判断直线与平面是否平行 • 在求解立体几何问题时，往往需要利用线面平行的性质进行推理和计 算
线面平行在解析几何中也有广泛应用
• 在求解解析几何问题时，往往需要判断直线与平面是否平行 • 在求解解析几何问题时，往往需要利用线面平行的性质进行推理和计 算
线面平行解题技巧主要包括：
• 熟练掌握线面平行的性质和判定方法 • 灵活运用线面平行的性质和判定方法解决问题 • 注意解题步骤，避免计算错误
线面平行相关习题精选与解答
线面平行相关习题精选包括：
• 判断直线与平面是否平行的题目 • 利用线面平行性质进行推理和计算的题目 • 求解线面平行问题的题目
立体几何常考定理的总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
立体几何线面平行垂直,线面角二面角的证明方法
APBCED一：线面平行的证明方法：1、用“近似平行法”先找到面上与已知直线平行的直线（一般为表示面的三角形的边界直线，或三角形某边上的中线）看找到的这条线与已知线的长度关系，1）若相等应该构造平行四边形；2）若不相等一般利用三角形中位线的性质（将这两个不相等的线段的端点连结并延长即会出现关键三角形）。
2、若既不能构造平行四边形也不能性用中位线性质，则应再构造一个此直线所在的平面，证明此平面与已知平面平行（先证面面平行，推出线面平行）例一：如图，已知菱形ABCD ，其边长为2，60BAD ∠= ，ABD ∆绕着BD 顺时针旋转120得到PBD ∆，M 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MBD ；（2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值．例二：已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．（1）证明：DN//平面PMB ； （2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ；（3）求点A 到平面PMB 的距离．例三：如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ．二：线面垂直的证明方法：通过线线垂直，证明线面垂直1） 利用勾股定理逆定理及三角形中两个角和为90°； 2） 利用等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等；3） 通过线面垂直，反推线线垂直；4） 利用面面垂直的性质，证明垂直于交线即垂直于另一个平面。
例四：如图,四边形ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB=4a ，BC= CF=2a,P 为AB 的中点.(1)求证：平面PCF ⊥平面PDE ； (2)求四面体PCEF 的体积.C例五：如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥， 3,1===AB AD PA ，点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动。
立体几何线面平行证明
立体几何线面平行证明要证明两个线面平行，一般可以通过以下几种方法来进行证明：方法一：使用平行线的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行，可以通过以下步骤进行证明：1.假设线面A和线面B不平行，即存在一条线a与线面A不平行，又与线面B相交于一点P。
2.假设在线面A上存在一点Q，它与直线a上相交于一点R。
3.由于线a与线面B相交于P，所以线段PR必然属于线面B。
4.由于线a与线面A相交于R，所以线段PR必然属于线面A。
5.由于线面A和线面B都包含线段PR，所以它们必然相交。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
方法二：使用支撑面的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行，可以通过以下步骤进行证明：1.假设在线面A上存在一条直线a，它与线面B相交于一点P。
2.过直线a作平行于线面B的平面，该平面与线面A相交于线段QR。
3.由于直线a与线面B相交于点P，所以线段PR必然属于线面B。
4.由于平面上的任意两点可以确定一条直线，所以线段QR也属于线面B。
5.因此，线段QR同时属于线面A和线面B，所以它们不是平行的。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
方法三：使用平行四边形的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行1.假设在线面A上存在一条直线a，它与线面B相交于一点P。
2.在线面A上选择一点Q，并通过P点作一条平行于线面A的直线b。
3.连接直线a和直线b，得到平行四边形PQRD。
4.由于平行四边形的特性，相邻两边平行且长度相等，所以线段PD也是平行于线面A的，并且它必然属于线面B。
5.因此，线段PD同时属于线面A和线面B，所以它们不是平行的。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
以上三种方法是一些常用的证明线面平行的方法，根据实际问题的具体情况，可以选择适合的方法进行证明。
线面平行的性质定理
• 可以理解为直线与平面之间距离恒定的一种关系。
的所有直线都保持相同的距离。
线面平行的性质及证明
线面平行的性质
• 性质1：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的所有直线都平行。
• 性质2：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的任意一个投影都平行。
• 性质3：如果两条直线分别与一个平面平行，那么这两条直线平行。
• 利用线面平行的性质定理，可以求解立体几何中的角度问题，如求
圆锥曲线、球面曲线等的角度。
应用实例1：求解三垂线问题
• 利用线面平行的性质定理，可以证明三垂线相互平行，从而求解三垂
线的长度关系。
应用实例2：证明空间中的相似三角形
• 利用线面平行的性质定理，可以证明空间中的两个三角形相似，从而
求解未知长度和角度。
视觉效果。
升力。
感。
02
线面平行性质定理的证明
线面平行性质定理的
表述
• 线面平行性质定理的表述
• 定理：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平
面内的所有直线都平行。
• 定理：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平
面的任意一个投影都平行。
• 定理：如果两条直线分别与一个平面平行，那么这两条直线平
用价值。
教学方法
• 利用板书讲解，清晰地展示线面平行性质定理的证明过程，帮助学生理解定理。
• 利用多媒体教学，通过动画、视频等形式，形象地展示线面平行性质定理的应用，
提高学生的学习兴趣。
线面平行性质定理的教学评价与反馈教学评价教学反馈
• 通过课堂提问，了解学生对线面平行性质定理的理解程
• 通过学生反馈，了解学生对线面平行性质定理的疑惑和
立体几何中的平行与垂直
立体几何中的平行与垂直1线面平行（1）定义直线与平面无交点.（2）判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.（3）性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.2 面面平行（1）定义α∩β=∅⟹α|| β.（2）判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行.（3）面面平行的性质(1) a⊂αα||β}⇒a||β (面面平行⇒线面平行)(2)α || βα∩γ=aβ∩ γ=b}⇒ a || b (面面平行⇒线线平行)(3) 夹在两个平行平面间的平行线段相等.3 线面垂直（1）定义若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.符号表述:若任意a⊂α都有l⊥a，则 l⊥α.（2）判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.（3）性质定理垂直同一平面的两直线平行4 面面垂直(1) 定义若二面角α−l−β的平面角为90∘，则 α⊥β；(2) 判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(3) 性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.【例1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E练习.1.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面 B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PAD D．面PAD与面PBC的交线与BC平行【例2】如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．练习 2.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE （Ⅰ）求证：AE⊥BE（Ⅱ）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．【例3】.如图，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为的AB中点．将三角形ADE 沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PCF；（Ⅱ）证明：平面PBC⊥平面PCF；（Ⅲ）在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．练习3 .如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．（1）求证：PE⊥BD；（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，的值．求DEDC立体几何中的平行与垂直1线面平行（1）定义直线与平面无交点.（2）判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.（3）性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.2 面面平行（1）定义α∩β=∅⟹α|| β.（2）判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行.（3）面面平行的性质(1) a⊂αα||β}⇒a||β (面面平行⇒线面平行)(2)α || βα∩γ=aβ∩ γ=b}⇒ a || b (面面平行⇒线线平行)(3) 夹在两个平行平面间的平行线段相等.3 线面垂直（1）定义若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.符号表述:若任意a⊂α都有l⊥a，则 l⊥α.（2）判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.（3）性质定理垂直同一平面的两直线平行4 面面垂直(1) 定义若二面角α−l−β的平面角为90∘，则 α⊥β；(2) 判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(3) 性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.【例1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E解析 A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E 不正确；故选：C．练习.1.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面 B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PAD D．面PAD与面PBC的交线与BC平行答案 C解析画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．故选：C．【例2】如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．证明：（Ⅰ）取FC中点N．在图1中，由D，N分别为AC，FC中点，所以DN∥EF．在图2中，由M，N分别为A1C，FC中点，所以MN∥A1F，所以平面DMN∥平面A1EF，（5分）所以DM∥平面A1EF．解：（Ⅱ）直线A1B与直线CD不可能垂直．因为平面A1BD⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，EF⊥BD，所以EF⊥平面A1BD，（8分）所以A1B⊥EF．假设有A1B⊥CD，注意到CD与EF是平面BCD内的两条相交直线，则有A1B⊥平面BCD．（1）（10分）又因为平面A1BD⊥平面BCD，A1E⊂平面A1BD，A1E⊥BD，所以A1E⊥平面BCD．（2）而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，所以直线A1B与直线CD不可能垂直．练习 2.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE （Ⅰ）求证：AE⊥BE（Ⅱ）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF，∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE．（6分）解：（Ⅱ）在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，CE，在三角形BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，则由比例关系得CN=13∵MG∥AE MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE，同理，GN∥平面ADE，∴平面MGN∥平面ADE，又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE，∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．（12分）【例3】.如图，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为的AB中点．将三角形ADE 沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCF ；（Ⅱ）证明：平面PBC ⊥平面PCF ；（Ⅲ）在线段PD ，BC 上是否分别存在点M ，N ，使得平面CFM ∥平面PEN ？若存在，请指出点M ，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC ⊥DE ；所以折叠后，DE ⊥PF ，DE ⊥CF ，又PF∩CF=F，PF ，CF ⊂平面PCF ，所以DE ⊥平面PCF（Ⅱ）因为四边形AECD 为菱形，所以DC ∥AE ，DC=AE ．又点E 为AB 的中点，所以DC ∥EB ，DC=EB ．所以四边形DEBC 为平行四边形．所以CB ∥DE ．又由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ，所以CB ⊥平面PCF ．因为CB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF ．解：（Ⅲ）存在满足条件的点M ，N ，且M ，N 分别是PD 和BC 的中点．如图，分别取PD 和BC 的中点M ，N ．连接EN ，PN ，MF ，CM ．因为四边形DEBC 为平行四边形，所以EF ∥CN ，EF =12BC =CN ．所以四边形ENCF 为平行四边形．所以FC ∥EN ．在△PDE 中，M ，F 分别为PD ，DE 中点，所以MF ∥PE ．又EN ，PE ⊂平面PEN ，PE∩EN=E，MF ，CF ⊂平面CFM ，所以平面CFM ∥平面PEN ．练习3 .如图，直角三角形ABC 中，A=60°，沿斜边AC 上的高BD ，将△ABD 折起到△PBD 的位置，点E 在线段CD 上．（1）求证：PE ⊥BD ；（2）过点D 作DM ⊥BC 交BC 于点M ，点N 为PB 中点，若PE ∥平面DMN ，求DE DC 的值．解析 （1）∵BD 是AC 边上的高，∴BD ⊥CD ，BD ⊥PD ，又PD∩CD=D，∴BD ⊥平面PCD ，又PE ⊂平面PCD 中，∴BD ⊥PE ，即PE ⊥BD ；（2）如图所示，连接BE ，交DM 与点F ，∵PE ∥平面DMN ，∴PE ∥NF ，又点N 为PB 中点，∴点F 为BE 的中点；∴DF=12BE=EF ；又∠BCD=90°﹣60°=30°，∴△DEF 是等边三角形，设DE=a ，则BD=√3a ，DC=√3BD=3a ；∴DE DC =a 3a =13．。
立体几何(线、面平行、垂直的有关结论)必修2 立体几何线面关系的判定与性质
立体几何（线面平行、垂直的有关结论）空间中线面平行、垂直关系有关的定理：1、【线面平行的判定】平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。
2、【线面平行的性质】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。
3、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
4、如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。
5、如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
6、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
7、一条直线与两条平行直线中的一条直线相垂直，则这条直线也与另一条直线垂直。
8、与同一条直线都垂直的两条直线相互平行。
（）9、与同一个平面都垂直的两条直线相互平行。
10、两条平行直线中的一条直线与一个平面相垂直，则另一条直线也垂直于这个平面。
11、两条相互垂直的直线中的一条平行于一个平面，则另一条直线垂直于这个平面。
（）12、两条相互垂直的直线中的一条垂直于以个平面，则另一条直线平行于这个平面。
（）13、平面外的两条相互垂直的直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线平行于这个平面。
14、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面。
15、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
16、两个平面都与另一个平面相垂直，则这两个平面平行。
（）17、一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，则此平面也垂直于另一个平面。
18、如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。
19、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。
20、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
21、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【知识归纳】：【典型例题】：【高考小题】：。
立体几何线面面面平行的证明
立体几何线面面面平行的证明要证明两个面是平行的，首先要明确面的定义。
在几何学中，面是一个二维的几何概念，它由至少三个非共线的点所确定。
这三个点可以通过线段相连，并且所构成的平面是无限延伸的。
一个典型的例子是平面镜子的表面，它可以反射光线。
现在，我们假设有两个面α和β。
要证明这两个面是平行的，需要证明它们的法线向量是平行的。
法线向量是垂直于面的向量，它指向面的外部。
如果两个面的法线向量平行，那么这两个面就是平行的。
我们先来介绍一些与线面相交相关的概念。
1.线面交点：线与面的交点是线的一部分在面上的投影，我们用P表示线的交点。
2.线面距离：线与面的距离是从线上一点到面的垂直距离，我们用d 表示线与面的距离。
3.线面垂足：线与面的垂足是从线上一点到面的垂直线与面的交点，我们用H表示线面的垂足。
现在，我们来证明线面的性质。
1.性质1：直线与平行的平面不相交。
证明：设平面α和β平行且有交点P。
由于α和β平行，所以可以在平面α上找到一条直线和线段以及线面相交所需的点H（线段PH与线段PA平行于面β）。
然而，平面β与线段PH垂直，因此线段相交于点H，与α平行。
根据定义，线面的交点是线的一部分在面上的投影，并且直线和平行的平面不相交,矛盾。
2.性质2：线面垂直的直线是线在面上的最短路径。
证明：设直线L和平面α相交于点P，PL是直线L上的线段，L上的其他点Q到α的距离大于P到α的距离。
我们可以在平面α上找到一点H，使得PH与线段PL垂直。
连接PH，并延长PH到与α的交点为K。
根据定义，线面距离是从线上一点到面的垂直距离，因此PK是从L到α的最短路径，与已知矛盾。
现在，我们来证明两个面是平行的。
设α和β是两个面，它们分别由点A、B、C和D、E、F确定。
我们要证明α和β是平行的，需要证明它们的法线向量平行。
首先，我们可以找到一条直线L，通过点A且与α和β都不平行。
连接线段AD和线段AF，并找到线段AD和α的垂直线段AH。
高中数学立体几何之线面平行的判定与性质讲义及练习
线面平行的判定与性质练习一、基本内容 1.线面平行的判定2.线面平行的性质二、练习题题型一：概念性习题1．下列命题正确的是 （ ） A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面2．若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是 ( ) A. α⊂l B.α//l C.αα//l l 或⊂ D.相交和αl3．若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( ) A ．相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交且垂直4．下列各命题中假命题的个数为 ( )（1） 经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线； （2） 若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行；（3） 空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。
A 0B 1C 2D 35．若直线上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 平行或相交 D 或平行、或相交、或在内 6．a,b 为两异面直线，下列结论正确的是 ( ) A 过不在a,b 上的任何一点，可作一个平面与a,b 都平行 B 过不在a,b 上的任一点，可作一直线与a,b 都相交 C 过不在a,b 上任一点，可作一直线与a,b 都平行 D 过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行 7．判断下列命题是否正确：(1)过平面外一点可作无数条直线与这个平面平行 ( )(2)若直线α⊄l ，则l 不可能与α内无数条直线相交 ( ) (3)若直线l 与平面α不平行，则l 与α内任一直线都不平行 ( ) (4)经过两条平行线中一条直线的平面平行于另一条直线 ( )(5)若平面α内有一条直线和直线l 异面，则α⊄l ( ) 题型二：证明题8．P 为平行四边形ABCD 外一点，E 是PA 的中点，O 是AC 和BD 的交点，求证：OE//平面PBC 。
怎样证明线面平行
解题宝典线面平行是指直线与平面平行，是一种常见的位置关系.证明线面平行是立体几何试题中的常考内容.证明直线与平面平行一般需要运用直线与平面平行的判定定理，设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，合理运用三角形的中位线定理、面面平行的性质定理、平行四边形的性质证明两直线平行.如何在平面内寻找或求作一条与已知直线平行的直线是解题的关键.一、利用三角形的中位线定理我们知道，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线定理是指三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.在证明线面平行时，可以构造合适的三角形，使已知直线为三角形的中位线，以便利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理证明线面平行.在构造三角形的中位线时，要注意关注中点、线段的垂直平行线、三角形的重心等信息，结合图形的特征寻找或求作中位线.例1.如图1，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH //平面PAD .分析：通过观察图形，我们可以发现平面[PAD ]内的直线PD //GH ，G ，H 为PB ，AC 的中点，可构造三角形PBD ，使GH 为三角形的中位线，利用三角形的中位线定理以及线面平行的判定定理来证明线面平行.证明：连接BD ，易知AC ⋂BD =H ,BH =DH .由BG =PG ，故GH //PD ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH //平面PAD .例2.如图2，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD为矩形，E 为PD 的中点.证明：PB ∥平面AEC .证明：如图2所示，连接BD 交AC 于点F ,连接EF ,因为ABCD 为矩形，所以F 为BD 的中点.又E 为PD 的中点，所以EH //PB .EF ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC ，所以PB //平面AEC .由E 为PD 的中点，可以联想到三角形的中位线，于是连接BD ，构造三角形PBD ，又由矩形的性质可知F 为BD 的中点，于是便证明EF 为三角形的中位线，利用三角形的中位线定理以及线面平行的判定定理即可证明PB ∥平面AEC .二、利用平行四边形的性质平行四边形的性质有很多，如（1）平行四边形的两组对边相等；（2）平行四边形的两组对角相等；（3）夹在两条平行线间平行的高相等；（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形.在证明线面平行时，我们可以结合几何体的结构特征，构造平行四边形，使已知直线为四边形的边或高，然后利用平行四边形的性质和线面平行判定定理证明线面平行.例3.如图3，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.求证：MN //平面C 1DE .分析：要证MN //平面C 1DE ，需要在平面C 1DE 内找到一条直线与MN 平行，才能运用线面平行判定定理证明结论.观察图3，我们可以猜测平面C 1DE 内的直线DE 与MN 平行且相等，不妨构造四边形MNDE ，证明它是平行四边形，这样就可以运用平行四边形的性质证明结论.证明：如图3所示，连接B 1C ,ME ，因为M ，E 分别为BB 1,BC 的中点，所以ME //B 1C ，且ME =12B 1C.谭治华图1图2图340解题宝典又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D.由题设知A 1B 1=//DC ，可得B 1C =//A 1D ，故ME =//ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，则MN //ED .又MN ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ,所以MN //平面C 1DE .例4.如图4，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.求证：EF //平面PCD ．证明：如图4，取PC 中点G ，连接FG ,GD ．∵F ,G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG //BC ，且FG =12BC ．∵四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，∴ED //BC ,DE =12BC ，∴ED //FG ，且ED =FG ，∴四边形EFGD 为平行四边形，∴EF //GD ．又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF //平面PCD ．上面通过构造平行四边形EFGD ，利用平行四边形的性质证明EF //GD ，然后利用线面平行的判定定理证明EF //平面PCD .三、利用面面平行的性质我们知道，面面平行的性质定理是若两个平面平行，则在一个平面内的直线平行于另一个平面.在解题时，可首先运用面面平行的性质定理证明已知直线与在平面内的直线平行，然后便可运用线面平行的判定定理证明线面平行.例5.如图5(1)，已知公共边为AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，P ，Q 分别是对角线AE ,BD 上的点，且AP =DQ .求证：PQ //平面CBE .证法一：如图5（2），作PH //BE 交AB 于H ,连接HQ ，∴AP AE =AH AB，∵AP =DQ ,AE =DB ,∴AP AE =DQ DB ∴AH AB =DQDB ，∴HQ //AD ,∴HQ //BC ,又HQ ⊄平面CBE ,BC ⊂平面CBE ,∴HQ //平面CBE ,∵PH //EB ,又PH ⊄平面CBE ,EB ⊂平面CBE ,∴PH //平面CBE ,又PH ⋂HQ =H ,∴平面PHQ //平面CBE ,∴PQ //平面CBE .通过观察图5（1）可知，很难在平面CBE 内找到一条与直线PQ 平行的直线，故需要添加辅助线，构造一个平面PQH ，运用面面平行的判定定理证明两个平面平行，然后运用面面平行的性质定理证明PQ //平面CBE .本题还可以运用平行四边形的性质来求解.结合图形的特征，构造出平行四边形PMNQ ，利用平行四边形的性质：两组对边平行，证明结论.证法二：如图5(3)，作PM //AB 交BE 于点M ，作QN //AB 交BC 于点N ，连接MN ，∴PM //QN ,PM AB =EP EA ,QN CD =BQBD.易知EA =BD ,∵AP =DQ ,∴EP =BQ .又∵AB =CD ,∴PM =QN ，四边形PMNQ 是平行四边形，∴PQ //MN .又∴PQ ⊄平面CBE ,MN ⊂平面CBE ，∴PQ //平面CBE .综上所述，无论运用哪种方法证明线面平行，都需要结合几何图形的特征，构造合适的三角形中位线、平行四边形、两平行的平面，寻找或求作已知直线在平面内的平行直线，然后运用线面平行的判定定理证明线面平行.这就要求同学们熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的性质、面面平行的性质定理、线面平行的判定定理，巧妙地作出辅助线，来提升解题的效率.（作者单位：广东省清远市英德市第一中学）图4图5（1）图5（2）图5（3）41。
高中立体几何中线面平行的常见方法
高中立体几何证明平行的专题训练 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。
（2） 利用三角形中位线的性质。
（3） 利用平行四边形的性质。
（4） 利用对应线段成比例。
（5） 利用面面平行，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC是平行四边形（第1题图）DE B 1A 1C 1CABF M3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。
(完整版)立体几何中有关平行、垂直常用的判定方法
有关平行、垂直问题常见判定方法一、 线线平行的判定1、 公理4：平行于同一直线的另两直线互相平行. a ∥b ，b ∥c ==> a ∥c2、 三角形中位线平行于底边；平行四边形对边平行；棱柱侧棱互相平行．3、 线面平行的性质：一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与已知平面相交，该直线与交线平行．a ∥α，a ⊂β，αβ=b ==> a ∥bβαba4、 面面平行的性质：两个平面平行，同时与第三个平面相交，所得的两条交线互相平行． α∥β,γα=a ,γβ=b ==> a ∥bγβαb a5、 平行于同一平面的两直线互相平行．a ⊥α，b ⊥α ==> a ∥bαba二、 线面平行的判定1、 线面平行的判定定理：若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此c b a平面平行．a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ==> a ∥ααba2、 若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一平面平行．α∥β，a ⊂α ==> a ∥βαβa3、 α⊥β，a ⊥β，a ⊄α ==> a ∥αβαa4、 a ⊥b ，b ⊥α，a ⊄α ==> a ∥ααab三、 面面平行的判定1、 面面平行的判定定理：若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．a ⊂α，b ⊂α，a b =O ,a ∥β,b ∥β ==> α∥βO αβa b αβa2、 垂直于同一直线的两个平面互相平行．a ⊥α，a ⊥β ==> α∥β (见上图)3、 平行于同一平面的两个平面互相平行．α∥γ，β∥γ ==> α∥βαγβ4、 柱体的上下底面互相平行四、 线线垂直1、线线垂直的定义：a 与b 所成的角为直角．2、线面垂直的定义：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内的任一直线都垂直． a ⊥α，b ⊂α ==> a ⊥bαab3、a ⊥α，b ∥α ==> a ⊥bαab4、三垂直定理及其逆定理l ⊥α( H 为垂足)，a ⊂α，HM 是斜线PM 在平面α内的射影三垂线定理（垂影则垂斜）：a ⊥HM ==> a ⊥PM三垂线定理的逆定理（垂斜则垂影）：a ⊥PM ==> a ⊥HMlM H Pαa5、a ⊥α，b ⊥β，α⊥β ==> a ⊥bβαab五、线面垂直的判定1、线面垂直的判定定理：若一直线和平面内的两相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． a ⊂α，b ⊂α,a b =O , l ⊥a ,l ⊥b ==> l ⊥αlO αa b2、a∥b，a⊥α ==> b⊥ααb a3、直棱柱的侧棱与底面垂直4、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，也垂直于另一个平面α∥β，a⊥α ==> a⊥βαβa5、面面垂直性质：两平面垂直，一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．α⊥β，αβ=l，a⊂α，a⊥l ==> a⊥βlβαa5、 两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也与第三个平面垂直．αβ=l ，α⊥γ,β⊥γ ==> l ⊥γl γβα六、面面垂直的判定1、定义:两平面相交所成二面角为直二面角.2、判定定理:若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.a ⊥β，a ⊂α ==> α⊥βl βαa2、a ∥α，a ⊥β ==> α⊥ββαa。
立体几何线面平行的判定
立体几何线面平行的判定
在立体几何中，线面平行的判定可以通过多种方法来进行。
首先，我们可以使用平行线的性质来判定线面的平行关系。
如果一条
直线与一个平面内的另一条直线平行，那么这两条直线与该平面平行。
这是因为平行线与同一平面的相交直线之间的对应角相等。
这
个性质可以帮助我们判定线面的平行关系。
另外，我们也可以利用垂直平分线的性质来判定线面的平行关系。
如果一条直线垂直于一个平面，并且平面内的另一条直线与这
条直线垂直，则这两条直线与该平面平行。
这是因为垂直平分线的
性质保证了这种平行关系成立。
此外，我们还可以利用平行四边形的性质来判定线面的平行关系。
如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边是平行的。
因此，如果我们能够构造出一个平行四边形，就可以通过其性质来判定线
面的平行关系。
总之，线面平行的判定可以通过平行线的性质、垂直平分线的
性质以及平行四边形的性质来进行。
这些方法可以帮助我们在立体
几何中判定线面的平行关系，从而解决相关的几何问题。
高中数学 -空间立体几何中的平行、垂直证明定理总结 (1)
l n
☺ 简称：线线垂直，线面垂直.
复习定理
空间中的垂直
2．直线与平面垂直性质
判定：如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这 个平面内任意一条直线都垂直.
l m
l
m
☺ 简称：线面垂直，线线垂直.
复习定理
空间中的垂直
3．平面与平面垂直判定
判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个 平面互相垂直.
(1)求证：BC1∥平面 CA1D； (2)求证：平面 CA1D⊥平面 AA1B1B. 证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE．
∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点． 又D是AB的中点，
∴在△ABC1中，DE∥BC1.
E
又DE⊂平面CA1D，
BC1⊄平面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D.
证明：(2)∵AC＝BC， D为AB的中点， ∴在△ABC中，AB⊥CD.
空间中的平行与垂直 定理总结
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行．
a
b
a
//
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行．
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,
则α∥β；
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,
m⊥α,则m⊥γ.
正确的命题是( C)
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
解析 ②中平面α与β可能相交，③中m与n可以
立体几何篇(线面平行、面面平行,线面垂直、面面垂直)
点线面的位置关系一（线面平行和面面平行）线面平行：1、判定定理：（1）平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行，则线面平行）；方法：平行四边形法则+中位线法则（2）直线所在的一个平面与此平面平行，则该直线与此平面平行（面面平行，则线面平行）；2、性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行（线面平行，则线线平行）；面面平行：1、判定定理：一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行，则面面平行）；2、性质定理（1）两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行；（2）两个平面平行，同时与第三个平面相交，则交线平行。
例题选讲：1、如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°（1）求证：AE∥平面DCF；3、（全国卷）如图，直三棱柱111C B A ABC 中，E D ,分别是1,BB AB 的中点。
（1）证明：1BC //平面CD A 13.如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．(1)证明：①EF ∥A 1D 1；线面垂直：3、判定定理：（3）一条直线与一个平面内的两条直交直线垂直，则这条直线垂直于这个面（线线垂直，则线面垂直）；（4）两平面垂直，在其中一个平面内，垂直于交线的直线，则垂直于另一个平面（面面垂直，则线面垂直）；方法：主动垂直+被动垂直4、性质定理（1）直线垂直于平面，则垂直于平面内的任意一条直线；（2）垂直于同一平面的两条直线平行；面面垂直：4、判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直（线面垂直，则面面垂直）；5、性质定理若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
例题选讲：1、如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥AD.E 和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.2、（全国卷）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直底面ο90=∠ACB ，121AA BC AC ==，D 是侧棱1AA 的中点。
高中立体几何证明线面平行的常见方法
⾼中⽴体⼏何证明线⾯平⾏的常见⽅法DE B 1A 1C 1CABFM ⾼中⽴体⼏何证明线⾯平⾏问题（数学作业⼗七）(1) 通过“平移”再利⽤平⾏四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底⾯是平⾏四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平⾯PCE ；2、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证：（Ⅰ）C 1D⊥BC；（Ⅱ）C 1D∥平⾯B 1FM.3、如图所⽰, 四棱锥P -ABCD 底⾯是直⾓梯形,,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平⾯;(2) 利⽤三⾓形中位线的性质4、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四⾯体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平⾯EFG 。
5、如图，ABCD 是正⽅形，O 是正⽅形的中⼼，E 是PC 的中点。
EFBACDP（第1题图）AB CDEF G MPEDCBA求证： PA ∥平⾯BDE6．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 121中点为PD E 求证：AE ∥平⾯PBC ；(4)利⽤对应线段成⽐例9、如图：S 是平⾏四边形ABCD 平⾯外⼀点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且SM AM =NDBN，求证：MN ∥平⾯SDC（5）利⽤⾯⾯平⾏10、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底⾯ABC ，90BCA ∠=，PB=BC=CA ，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =.（1）求证：BE ⊥平⾯PAC ；（2）求证：//CM 平⾯BEF ；。
立体几何9-4线面、面面平行的判定与性质
则另一条也垂直于这个平面，故选B. 答案：B
15
[例2] (文)在四面体ABCD中，CB＝CD， AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中 点．求证：
为线段CE的中点，所以PN綊12DC.
19
又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，
所以AM綊12DC.所以PN綊AM.
故四边形AMNP是平行四边形．所以 MN∥AP，
而AP⊂平面DAE，MN⊄平面DAE，所以 MN∥DAE.
证法二：取BE中点G，连结GM、GN，
∵GN∥BC，BC∥DA，∴GN∥DA，又
(1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD.
16
解析：(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、 BD的中点，所以EF∥AD.
又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD， 所以直线EF∥平面ACD. (2)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，
所以EF⊥BD. 在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，
的中点，求证：MN∥平面DAE.
18
证明：(1)因为BC⊥平面ABE，AE⊂平面 ABE，
所以AE⊥BC. 又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE， 所以AE⊥BF. 又BF∩BC＝B， 所以AE⊥平面BCE. 又(2B)证E⊂法平一：面取BDCEE的，中所点P以，A连E结⊥PAB，EP.N，因为点N
1
2
重点难点 重点：线面、面面平行的判定定理与性质定
理及应用 难点：定理的灵活运用
3
知识归纳
一、直线与平面平行
立体几何线面平行证明
立体几何线面平行证明立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间中点、线、面的相互关系和性质。
在立体几何中，平行是一个基本的概念，它描述了两个或多个线或面在空间中不相交且始终保持相同的间距。
本文将从线面平行的定义、性质和应用等方面进行阐述，以展示立体几何中线面平行的证明方法。
一、线面平行的定义在立体几何中，我们常常会遇到线和面的关系。
当一个线和一个面的方向相同，并且线上的任意一点到面的距离保持不变时，我们称这个线和面是平行的。
具体来说，设有一条直线l和一个平面P，如果直线l上的任意一点到平面P的距离d保持不变，那么我们就说直线l和平面P是平行的。
二、线面平行的性质线面平行具有以下性质：1. 平行线和同一平面内的直线没有交点；2. 平行线和同一平面内的直线的距离是恒定的；3. 平行线在同一平面内的投影线也是平行的；4. 平行线和平行面之间的角度为零。
三、线面平行的证明方法证明线面平行的方法有多种，下面列举几种常用的证明方法：1. 利用垂直关系证明：若直线和平面是平行的，那么直线上的任意一条垂线和平面垂直。
2. 利用距离关系证明：若直线和平面是平行的，那么直线上的任意一点到平面的距离是恒定的。
3. 利用投影关系证明：若直线和平面是平行的，那么直线在平面上的投影线也是平行的。
四、线面平行的应用线面平行在实际生活和科学研究中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 建筑工程：在建筑设计中，我们常常需要考虑墙壁和地面的平行关系，以保证建筑的稳定和美观。
2. 几何光学：在光学中，光线和镜面的关系是平行的，这是实现反射现象和成像的基础。
3. 地理测量：在地理测量中，为了计算地球上两点之间的距离，我们需要考虑经线和纬线的平行关系。
4. 电磁学：在电磁学中，电场线和等势面的关系是平行的，这是电场分布和电势分布的重要性质。
线面平行是立体几何中一个重要的概念。
通过定义、性质、证明方法和应用等方面的介绍，我们可以更深入地理解和应用线面平行的概念。
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1.运用中点作平行线
例1.已知四棱锥P−ABCD的底面是矩形，M,N分别是AD,P B的中点，求证MN//平面PCD。
2.运行比例作平行线
例2.四边形ABCD与ABEF是两个全等正方形，且AM=F N，其中M∈AC,N∈BF,求证：MN//平面BCD.
3.运用传递性作平行线
例3.求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行。
4.运行特殊位置作平行线
例4.正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2，点E,F分别是C1C,B1B上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2F B=2,问当点M在何位置时MB//平行AEF。
练习：
1.棱长都相等的四面体称为正四面体，在正四面体A−BCD中，点M,N分别是CD和AD的中点，给出下列命题：
①直线MN//平面ABC
②直线CD⊥平面BMN
③三棱锥B−AMN的体积是三棱锥B−ACM的体积的一半。
则其中正确命题的序号为。
2.几何体E−ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD,EC⊥BD.
（Ⅰ）求证：BE=DE;
（Ⅱ）若BCD=120◦,M为线段AE的中点，求证：DM//平面BEC.
3.直三棱锥ABC−A′B′C′,BAC=90◦,AB=AC=2,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点。
（Ⅰ）证明：MN//平面A′ACC′；
（Ⅱ）求三棱锥A′−MNC的体积。
4.如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC且AE=AB= 2,CD=1,F为BF的中点。
（1）若点G在AB上，试确定G点的位置，使F G//平面ADE，并加以证明；
（2）求DB与平面ABE所成角的正弦值。
5.四棱锥S−ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧楞SD上的点。
（1）求证：AC⊥SD。
（2）若SD⊥平面P AC，求二面角P−AC−D的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面P AC，若存在，求SE: EC的值，若不存在，请说明理由。
6.已知四边形ABCD的平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，则在四棱锥P−ABCD中，M是P C的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH。
求证：AP//GH。
7.已知平面α//面β,AB,CD为异面线段，AB⊂α,CD⊂β,且AB=a,CD=b,AB与CD所成的角为θ，平面γ//面α,且平面γ与AC,BC,BD,AD分别相交于点M,N,P,Q，且M,N,P,Q为中点。
（1）若a=b,求截面四边形MNP Q的周长；
（2）求截面四边形MNP Q面积的最大值。
8.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，棱长AA1=2,AB=1,E是AA1的中点。
（Ⅰ）求证：A1C//平面BDE;
（Ⅱ）求点A到平面BDE的距离。
9.在三棱锥P−ABC中，已知AB=AC=2,P A=1,P AB=P AC=BAC= 60◦,点D,E分别为AB,P C的中点。
（1）在AC上找一点M，使P A//面DEM;
（2）求证：P A⊥面P BC;
（3）求三棱锥P−ABC的体积。
10.空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60◦的角，且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于E,F,G,H。
（1）求证：四边形EF GH为平行四边形。
（2）E在AB的何处时截面EF GH的面积最大？最大面积是多少？
11.四棱锥P−ABCD中，P D⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=P D=2,E为P C的
中点，BG=2CG。
（Ⅰ）求证：P C⊥BC;
（Ⅱ）求三棱锥C−DEG的体积；
（Ⅲ）AD边上是否存在一点M,使得P A//平面MEG.若存在，求AM的长；否则，说明理由。
12.在四棱锥P−ABCD中，ABC=ACD=90◦,BAC=CAD=60◦,P A⊥平面ABCD,E为P D的中点，AB=1,P A=2。
（Ⅰ）证明：直线CE//平面P AB;
（Ⅱ）求三棱锥E−P AC的体积。