现代控制理论第一章02

1
C1 ( sI A1 ) 1 B1 D1 C2 ( sI A2 ) 1 B2 D2 G1 ( s ) G2 ( s )



并联组合系统的传递函数阵为各并联子系统的传递函数 阵之和。
2) 串联连接
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串联联接组合系统方块结构图
设图所示的串联联结的组合系统的两个子系统的传 递函数阵分别和并联连结的结构相同,其对应的状态 空间表达式也分别相同。
对r维输入、m维输出的MIMO系统,若其输入输出的拉氏变换 分别为U(s)和Y(s),则系统的输入输出间的动态关系可表示为 Y(s)=G(s)U(s) 其中G(s)称为传递函数阵,其每个元素为标量传递函数。 • G(s)的形式为 G11 ( s ) G12 ( s ) ... G1r ( s ) G ( s ) G ( s ) ... G ( s ) 22 2r G ( s ) 21 ... ... ... ... Gm1 ( s ) Gm 2 ( s ) ... Gmr ( s ) 其中Gij(s)描述了第i个输出与第j个输入之间的动态传递关系。
其对应的状态空间表达式分别为
1 A x 1 x1 B 1u1 y1 C1 x1 D1u1
2 A2 x 2 B2 u2 x y2 C2 x2 D2 u2
从图可知 u1=u2=u y1+y2=y 故可导出并联联结组合系统的 状态空间模型为
1 A1 x x 2 0
( A , B ,C , D )
1 1 1 1 1
G1 (s); 2 ( A2 , B2 , C2 , D2 )
G2 (s)
研究系统三种连接下的数学模型 1）串联 2）并联 3）反馈
1) 并联连接
并联连接组合系统结构图
设两个子系统的传递函数阵 为
G1 (s) C1 (sI A1 )1 B1 D1 G2 (s) C2 (sI A2 )1 B2 D2
1 1 1 C ( sI A ) B D C ( s I A ) B1 D1 2 2 2 2 1 1
G2 ( s )G1 ( s )
串联联结组合系统的传递函数阵为串联系统各子 系统的传递函数阵的顺序乘积。
应当注意,由于矩阵不满足乘法交换律,故在上式中 G1(s)和G2(s)的位置不能颠倒,它们的顺序与它们在 系统中的串联联结顺序一致。
[例 ] 0 求由 A 0
[解 ]：
0 1 0 1 1 0 所表述系统的W(s) 0 1 ，B 2 1 ，C 2 1 1 6 11 6 0 2 1
由传递函数矩阵公式得：
W( s) C ( sI A) 1 B D s 1 0 1 1 0 0 s 1 2 1 1 6 11 s 6
x Ax Bu 对上式取拉氏变换,有 y Cx Du sX ( s ) x(0) AX ( s ) BU ( s ) Y ( s ) CX ( s ) DU ( s )
其中X(s)、U(s)和Y(s)分别为x(t)、u(t)和y(t)的拉氏变换; x(0)为x(t)的在初始时刻t=0的值。 由于传递函数阵描述的是系统输入输出间动态传递关系,不考 虑系统初始条件的影响。
x1 y D2C1 C2 ( D2 D1 )u x2
串联连接组合系统的状态变量的维数为子系统的 状态变量的维数之和。 由串联组合系统的状态空间模型可求得组合系统 的传递函数阵为
A G ( s ) D2C1 C2 sI 1 B2C1 D2 C1 0 B1 D2 D1 A2 B2 D1 B1 D2 D1 1 BD sI A2 2 1 0
由组合系统的状态空间表达式可求得组合系统的传递函 数阵为
G ( s ) C1 C1 A1 C2 sI 0 sI A1 1 C2 0 0 B1 ( D1 D2 ) A2 B2 B1 0 ( D1 D2 ) 1 B sI A2 2
1
1 0 2 1 0 2
根据矩阵求逆公式： ( sI A)1
adj( sI A) det(sI A)
求得：
s 2 6 s 11 s6 1 s 1 0 1 0 s 1 3 6 s ( s 6 ) s s 6 s 2 11s 6 2 6 11 s 6 6 s 11 s 6 s
x2 A2 x2 B2 u2 y2 C2 x2
• 从图可知
u1=u-y2 u2=y1=y 因此可导出反馈组合系统的状 态空间模型为
x1 A1 x1 B1u1 A1 x1 B1 (u y2 ) A1 x1 B1C2 x2 B1u x2 A2 x2 B2 u2 A2 x2 B2 y1 A2 x2 B2C1 x1 y y1 C1 x1
即有
x1 A1 B1C2 x1 B1 u A2 x2 0 x2 B2 C1 y C 0 x1 1 x 2
反馈联结组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量 的维数之和。 • 由反馈联结组合系统的联结图可知 Y(s)=G0(s)U1(s)=G0(s)[U(s)-Y2(s)]=G0(s)[U(s)-F(s)Y(s)]
1 1
1 sI A 1 C2 1 1 sI A B C sI A 2 2 1 1 1 1
D2 C1 sI A1 B1 C2 sI A2 B2 C1 sI A1 B1 C2 sI A2 B2 D1 D2 D1
状态空间模型不具有唯一性.
0 0 X k k 1 4 T1 k3 T3 1 T2 0
y x1
写成矩阵形式：
y 1 0 0X
x 0 0 1 k2 x2 0 u T2 1 x k1 T1 3 T1
第一章
控制系统的状态空间描述
4、根据系统传递函数的方块图建立状态空间表达式

典型环节转换成结构图
1/s
b sa k Ts 1
sb sa
k s 2 as b
步骤：
1）将系统的各个环节变换成相应的模拟结构图； 2）将积分器的输出选为系统的状态变量，由模拟结 构图写出系统的状态方程和输出方程。
3) 反馈连接
反馈连接组合系统结构图
• 设对应于图所示的反馈联结 组合系统的两个子系统的传 递函数阵为
G0 (s) C1 (sI A1 )1 B1
F (s) C2 (sI A2 )1 B2
其对应的状态空间模型分别为
x1 A1 x1 B1u1 y1 C1 x1
1.4 从状态空间表达式求系统传递函数（阵）
前面已经介绍了SISO系统从传递函数求系统的状态空间表达 式,下面将介绍其逆问题, • 即怎样从状态空间表达式求系统的传递函数阵。
已知MIMO线性定常系统的状态空间表达式为
x Ax Bu y Cx Du
其中x为n维状态向量; u为r维输入向量; y为m维输出向量。
例1（见书）
u
k1 T s 1 1
k2 T2 s 1
k3 T3 s
y
k4
3 x

u

k1 T1

1 T1
x3 k 2
T2
2 x


1 T2
x2
k3 T3
1 x

x1
y
k4
图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选 择积分环节后的变量为状态变量）： 则有：
k3 1 x2 x T1 1 k2 x2 x2 x3 T2 T2 k1 1 k1 3 k4 x1 x3 u x T1 T1 T1
1
求得传递函数阵为：
2 2 s 4s 29 s 3s 4 1 W( s) 3 2 2 2 s 6s 11s 6 4s 56s 52 3s 17s 14
1.5 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵
已知两独立子系统的状态空间描述和传递函数如下
从图可知 u1=u u2=y1 y2=y 因此可导出串联组合系统的状态空间方程为
1 A1 x1 B1u1 A1 x1 B1u x
2 A2 x 2 B2 u2 A2 x 2 B2 y1 x A2 x 2 B2 (C1 x1 D1u1 ) B2C1 x1 A2 x 2 B2 D1u
Ax Bu x y Cx Du
G( s) C ( sI A)1 B D
SISO系统，用传递函数G(s)描述，G(s)是一个元素；
MIMO系统，多个输入对多个输出，故引入传递函数矩阵 G(s) ，G(s)是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影 响； 同一系统，不同的状态空间表达式对应的传递函数阵应是相 同的。即描述系统输入与输出间动态传递关系的传递函数阵对 状态变换具有不变性。
• 相应的输出方程为
y y 2 C2 x 2 D2 u2 C2 x 2 D2 (C1 x1 D1u1 ) D2C1 x1 C2 x 2 D2 D1u
1 A1 x x 2 B2C1
0 x1 B1 u A2 x2 B2 D1
[I+G0(s)F(s)]Y(s)=G0(s)U(s) Y(s)=[I+G0(s)F(s)]-1G0(s)U(s) 反馈联结组合系统的传递函数为 G(s)=[I+G0(s)F(s)]-1G0(s) 或 G(s)=G0(s)[I+F(s)G0(s)]-1
1.6 状态向量的线性变换和状态空间表达式的 特征标准型
因此令x(0)=0,于是由状态方程的拉氏变换式有
X(s)=(sI-A)-1BU(s)
将上述X(s)代入输出方程,有
Y(s)=[C(sI-A)-1B+D]U(s)
线性定常连续系统的传递函数阵为
G(s)=C(sI-A)-1B+D
若对于输入与输出间无直接关联项(即D=0)的系统,则有
G(s)=C(sI-A)-1B
C1
0 x1 B1 u A2 x 2 B2
y C1 x1 D1u1 C 2 x 2 D2 u2 x1 C 2 ( D1 D2 )u x2
因此,由上述状态空间表达式可知,并联组合系统的状态 变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。