第1章 波函数与薛定谔方程
量子力学 第1章-1-2(第3讲)
越来越多的实验事实证明，波函数的位相是非常重要的物理 概念，只限于统计解释还不能完全穷尽对波函数的认识。
量子波函数的概率解释有不足
玻恩的概率解释：“波函数的振幅的平方是粒 子被发现的概率” 。不是完整诠释，只关注 所谓的可观察量（振幅），忽略了相位（因为 不属于可观察量）。
杨振宁说，规范场论就是相位场。相位是其根 本。振幅与相位合起来用复数表示。
x=0
dx
由于
d 2(x,t)
dx2
0
x0
故 x 0 处，粒子出现概率最大。
注意
（1）归一化后的波函数
(r , t
)
仍有一个模为一的因
子 ei 不定性（ δ为实函数）。
若 r,t 是归一化波函数，那末， r,tei 也是
归一化波函数，与前者描述同一概率波。
（2）只有当概率密度 (r,t) 对空间绝对可积时，才
2
(r,t) dx
A2
ea2x2 dx
A2
1
a2
归一化常数
1/ 2
A a/
归一化的波函数1/ 2Fra bibliotek1a2x2 i t
(r,t) a / e 2 2
（2）概率分布： (x, t) (x, t) 2 a ea2x2
（3）由概率密度的极值条件
d(x, t) a 2a2 xea2x2 0
相位是复杂性之源，相位导致纠缠，纠缠导致 记忆与电子相干。自由度的纠缠和相干，往往 会造就许多意想不到的结果。
作业题
1. 下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态? 并指出每
个状态由哪几个波函数描写。
1 ei2x / , 4 ei3x / ,
2 ei2x/ , 5 ei2x / ,
波函数与薛定谔方程
波函数与薛定谔方程引言：在量子力学中，波函数与薛定谔方程是两个核心概念。
波函数描述了粒子的量子态，而薛定谔方程则给出了波函数的时间演化规律。
本文旨在解释波函数与薛定谔方程的概念，并探讨它们在量子力学中的重要性。
一、波函数的定义与性质：波函数用符号Ψ表示，是随时间和空间变化的数学函数。
对于一个单粒子的量子系统，波函数Ψ(x,t)是描述其位置和时间依赖的函数，其中x表示位置，t表示时间。
波函数的模的平方|Ψ(x,t)|²（也称为概率密度）给出了在某个位置找到粒子的概率。
波函数的归一化要求概率密度在整个空间积分为1，即∫|Ψ(x,t)|²dx = 1。
另外，波函数是复数形式的，通过它可以得到粒子的相位和幅度信息。
二、薛定谔方程及其意义：薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，用于描述量子系统的演化。
薛定谔方程的一般形式为：ih∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，h是普朗克常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
薛定谔方程可以看作是一个时间演化方程，它告诉我们波函数如何随时间变化。
三、薛定谔方程的解与量子态的演化：薛定谔方程的解Ψ(x,t)给出了波函数在时间和空间上的演化规律。
解薛定谔方程有多种方法，其中最常见的是分离变量法、微扰法和数值计算法。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在不同时间、不同位置的波函数。
薛定谔方程解的平方Ψ(x,t)²表示了在经典条件下，在某个位置x找到粒子的概率密度分布。
波函数的演化规律是通过薛定谢方程来描述的，因此它反映了量子态的演化过程。
波函数的演化可以告诉我们粒子的位置、动量和能量等重要信息。
四、波函数的物理意义：波函数不仅仅是一个数学概念，它具有重要的物理意义。
首先，波函数的平方给出了在某个位置找到粒子的概率密度分布。
这一点与经典物理中的粒子位置概念是不同的，因为在量子力学中，粒子的位置是模糊的，只能通过概率来描述。
其次，波函数还包含了粒子的相位信息。
量子力学中的波函数与薛定谔方程
量子力学中的波函数与薛定谔方程量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，它提供了一种描述微观粒子状态和性质的数学框架。
波函数和薛定谔方程是量子力学中最基本的概念和方程，它们对于理解量子世界起着至关重要的作用。
一、波函数的概念与性质在量子力学中，波函数是描述一个粒子状态的数学函数。
波函数通常用希腊字母Ψ表示，它的本质是由Schrödinger方程产生的解。
波函数的平方的绝对值表示了在给定的坐标和时间点上发现粒子的概率密度。
波函数具有以下几个重要的性质：1. 归一化性：波函数的归一化要求其在整个空间范围内的概率积分为1，保证了粒子存在的概率。
2. 连续性：波函数在连续性要求下需要满足薛定谔方程，保证了粒子的连续性。
3. 可复的性：波函数可复性表示波函数可以是复数形式，具有实部和虚部。
二、薛定谔方程薛定谔方程是描述量子体系中波函数随时间演化的基本方程，由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1926年提出。
薛定谔方程可以用于求解各种量子力学问题，从而得到波函数。
薛定谔方程的一般形式为：HΨ = EΨ其中，H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。
薛定谔方程可以通过对哈密顿算符作用于波函数得到，它描述了波函数随时间的变化规律。
三、波函数与薛定谔方程的应用波函数和薛定谔方程在量子力学的各个领域都有广泛的应用。
下面以几个典型的例子来说明其在实际问题中的应用。
1. 粒子在势场中的行为：通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在给定势场中的波函数。
根据波函数的模方，可以得到粒子在势场中的概率分布，进而研究其运动规律。
2. 量子力学中的双缝实验：双缝实验是量子力学的经典实验之一。
通过薛定谔方程可以得到双缝实验中的波函数，从而解释了粒子的波粒二象性。
3. 原子与分子结构：波函数和薛定谔方程在原子与分子结构的研究中发挥了关键作用。
通过求解薛定谔方程，可以得到原子与分子的能级结构和等离子态。
四、波函数与薛定谔方程的发展与挑战自薛定谔方程提出以来，波函数与薛定谔方程的研究不断发展，并面临着一些挑战。
简述薛定谔方程与波函数
简述薛定谔方程与波函数
薛定谔方程是描述量子力学中一个粒子的运动的基本方程之一，其形式为时间-空间偏微分方程。
它是由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1925年提出的。
薛定谔方程是描述粒子波函数的演化的方程，其中波函数是对一个粒子可能状态的描述。
波函数是一个数学函数，它描述了粒子在给定时刻的位置和动量的所有可能状态。
薛定谔方程将波函数与粒子的能量联系起来。
它描述了波函数在时间和空间上的演化方式，并将粒子的能量表示为波函数的特征值。
薛定谔方程可以用于计算粒子在各种情况下的运动和行为。
这些情况可以是粒子在外场中的运动，或者是两个或多个粒子的相互作用。
波函数是用来描述量子系统的数学对象。
它是一个数学函数，它描述了粒子在空间中的位置和运动状态的可能性。
波函数是一个复数函数，其模的平方表示在给定位置上发现粒子的概率。
波函数的模的平方越大，粒子出现在该位置的概率越高。
波函数在时间和空间上的演化可以由薛定谔方程描述。
波函数会根据薛定谔方程在不同的时间和空间位置上演化。
波函数在时间演化的过程中，其振幅和相位不断地变化。
这些变化可以用波函数的频率和波长来描述。
薛定谔方程和波函数是量子力学的基本概念之一，它们被广泛应用于研究和理解原子、分子和固体等量子系统的行为。
薛定谔方程和波函数的发展使得人们对物质世界的认识有了深刻的改变，也为现代科技的发展做出了重要的贡献。
波函数与薛定谔方程
x x ( r ) x ( r )dr 三维情况: p x p x ( r ) x ( r )dr p F F ( r )F ( r )dr
若波函数未归一化,则 ( r )F (r )dr F F ( r ) ( r )dr
没有归一化,
∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A (A 是大于零的常数),则有
∫∞ |A-1/2Ψ (r , t )|2 dτ= 1 也就是说,A-1/2Ψ (r , t ) 是归一化的波函数,与Ψ (r , t )描写同一 几率波,(A)-1/2 称为归一化因子. 注意:对归一化波函数仍有一个模为一的因子不确定性.若Ψ(r , t )
一般情况下,如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态,那么它们的 线性叠加
Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2
也是该体系的一个可能状态,其中 C1
和 C2 是复常数,这就是量子力学的态叠加原理.
态叠加原理一般表述:
若Ψ1 ,Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态, 则这些态的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ...
p x | c ( p x ) |2 dp x
(二)力学量算符
(1)动量算符
既然ψ(x) 是归一化波函数,相应动量表象波函数为c(px) 一 一 对应,相互等价的描述粒子的同一状态,那末动量的平均 值也应可以在坐标表象用ψ(x)表示出来.但是ψ(x)不含px变量, 为了能由ψ(x)来确定动量平均值,动量 px必须改造成只含自 变量 x 的形式,这种形式称为动量 px的算符形式,记为
x y z
A1e
考虑一维积分 若取 A1= (2)-1/2, 则:
*
波函数和薛定谔方程
波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程是量子力学中两个重要的概念。
波函数是用来描述量子系统状态的数学函数，而薛定谔方程则是描述波函数随时间演化的微分方程。
本文将介绍波函数和薛定谔方程的基本原理和应用，并探讨它们对量子力学的重要性。
一、波函数的概念和性质1. 波函数的定义波函数是量子力学中用来描述量子系统的数学函数。
它通常用符号ψ来表示，且是复数函数。
波函数的模的平方表示了找到该系统处于某个状态的概率。
2. 波函数的物理意义波函数的物理意义是描述了量子系统的可能状态和其对应的概率分布。
通过对波函数的求模平方，我们可以得到量子系统在不同状态的概率分布图。
3. 波函数的归一化条件波函数必须满足归一化条件，即在整个空间内积分后等于1。
归一化条件保证了系统一定会处于某个状态，并且概率总和为1。
二、薛定谔方程的基本形式和解析解1. 薛定谔方程的基本形式薛定谔方程是描述量子系统波函数在时间上演化的基本方程。
一维情况下，薛定谔方程可以写为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m ∂²ψ/∂x² + V(x)ψ式中符号的含义为ħ为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为势能函数。
2. 薛定谔方程的解析解对于某些特定的势能函数，薛定谔方程存在解析解。
比如自由粒子情况下的薛定谔方程的解为平面波，简谐振子情况下的薛定谔方程的解为倒谐波。
三、波函数和薛定谔方程的应用1. 粒子在势阱中的行为波函数和薛定谔方程被广泛应用于研究粒子在势阱中的行为。
通过对势能函数和初始条件的设定，可以计算出粒子的波函数演化，并分析粒子的行为，比如能量谱和态密度等。
2. 电子在固体中的行为波函数和薛定谔方程在固体物理学中有着重要的应用。
通过求解薛定谔方程，可以得到电子在晶体中的波函数，从而研究电子的能带结构、载流子运动以及材料的电导性等性质。
3. 分子和化学反应波函数和薛定谔方程在化学领域中也有广泛的应用。
通过求解薛定谔方程，可以得到分子的波函数，从而研究化学反应的动力学过程、反应速率以及分子能谱等性质。
波函数及薛定谔方程详解课件
03ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CATALOGUE
薛定谔方程在量子力学中的应用
无限深势阱
无限深势阱模型描述粒子被限 制在一定空间范围内运动的情 形，通常用于描述微观粒子在
势能无限高区域的行为。
在无限深势阱中，波函数具有 特定的边界条件，即在势阱边
界处波函数为零。
薛定谔方程在无限深势阱中的 解为分段函数，表示粒子在不 同势阱内的能量状态。
波函数及薛定 谔 方程详解课件
contents
目录
• 波函数简介 • 薛定谔方程概述 • 薛定谔方程在量子力学中的应用 • 波函数与薛定谔方程的关系 • 实验验证与实例分析 • 总结与展望
01
CATALOGUE
波函数简介
波函数的定 义
波函数是一种描述微观粒子状 态的函数，它包含了粒子在空 间中的位置和动量的信息。
06
CATALOGUE
总结与展望
波函数与薛定谔方程的意义
波函数
波函数是描述微观粒子状态的函数， 它包含了粒子在空间中的位置、动量 和自旋等所有信息。通过波函数，我 们可以计算出粒子在给定条件下的行 为和性质。
薛定谔方程
薛定谔方程是描述波函数随时间变化 的偏微分方程，它反映了微观粒子在 运动过程中所遵循的规律。通过求解 薛定谔方程，我们可以预测粒子在不 同条件下的行为和性质。
时间相关形式
在有限域中，薛定谔方程的形式为 ifrac{dpsi}{dt}=Hpsi，其中H为哈密 顿算子。
薛定谔方程的解
分离变量法
对于具有周期性势能的情况，可以将波函数分离为几个独立的函数，分别求解 后再组合得到原方程的解。
微扰法
对于势能存在微小扰动的情况，可以通过微扰法求解薛定谔方程，得到近似解。
第一章波函数和薛定谔方程
于是粒子的运动又表现出波动性 总之.微粒的运动遵从的是统计性的规律 而不同于经典力学的确定性规律
(3) 波函数的不确定性：
1、常数因子不定性：
(rv)和 C (rv) 描述同一种运动状态。
)
0 cos 2
(E h
t
x) hp
1 0 cos (Et x
px )
(x,
t)
i (Et
0e
px x)
（取实部）
描述自由粒子(三维）可用平面波波函数来描述。
i ( pvrvEt )
pv Aeh
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动， 它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量） 粒子的状态就不能用平面波描写，这样的微观 粒子的运动状态也可以用较复杂的波完全描述。
对归一化波函数仍有一个模为一的相因子不定性。 若Ψ (r , t )是归一化波函数，那末， exp{iα}Ψ (r , t )也是归一化波函数（其中α是实数）
(4)波函数的归一化
( , ) * d 2 d
(全)
(全)
归一化条件就可以简单表示为：
( , ) 1
t时刻粒子出现在 pv点附近 dpv体积元内的几率；
电子衍射实验
1.1.5 Heisenberg不确定度关系
接受了波函数的统计诠释，完全摒弃经典粒子的轨 道概念，即排除了粒子每时每刻有确定的位置和确 定的动量。
粒子出现在x~x+dx间隔的概率 | (x) |2 dx
所以由波函数只能给出粒子位置的平均值 x及其偏差 x2
波函数薛定谔方程
(r .t )
0e
i
(
Et
pr )
波函数Ψ是复数，模的平方可表示为
2 *
5
4 、波函数的统计解释: (1)概率密度: 玻恩假定：概率波的波函数Ψ，模的平方
| r,t|2 r,t* r,t
代表 t 时刻，在空间 r 点处单位体积元中发现一个粒子的概 率，称为概率密度。
t 时刻在空间 r 附近体积 dv 内发现粒子的概率为：
为物质波能够干涉)。
薛定谔提出了波函数Ψ(x,y,z,t)所适用的（在非相对论） 动力学方程：
2 2 U x, y, z,t i
2m
t
（１）式中 2 2 2 2 称之为拉普拉斯算符， x2 y 2 z 2
11
（２）U x, y, z, t
表示微观粒子受到的作用势能，它一般的是 r 和 t 的函数， （３） m 是微观粒子的质量。
薛定谔方程既不能由经典理论导出，也不能用严格的逻辑推 理来证明，它的正确与否只能用实验来验证。
1 、一般的薛定谔方程 微观粒子的运动状态用波函数
Ψ(x,y,z,t)描述，薛定谔认为，这 个波函数应该是适用于微观粒子的波 动方程的一个解。
10
•必须能满足德布罗意波公式的要求，
E , h
h
p
•必须是线性微分方程,即其方程的解必须能满足叠加原理 (因
的原理可以证明它的正确性。 从薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实验事实去验证。
薛定谔方程是量子力学的一条基本假设。
14
例 15-23 将波函数在空间各点的振幅同时增大 D 倍,则粒子在 空间的分布概率将
(A)增大Ｄ２倍;(B)增大 2 D 倍;(C)增大 D 倍;(D)不变。
量子力学电子教案波函数和 薛定谔方程
波函数和 薛定谔方程
微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。
量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所 遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。 一、 物质波的波函数及其统计解释
1. 波函数： 概率波的数学表达形式， 描述微观客体的运动状态
(r , t ) ( x, y, z, t )
对屏上电子数分布 作概率性描述
一般 t 时刻,到达空间 r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数 ： 2 d N N | | d V
| ( x, y, z, t ) | *
2
dN N dV
| ( x, y, z, t ) |
2
的物理意义:
• t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比 • t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积 内的概率 • t 时刻，粒子在空间分布的概率密度
2. 波函数的强度——模的平方 2 波函数与其共轭复数的积 | | * 例：一维自由粒子：
| ( x, t ) | * 0e
2 i ( E t p x x ) i h ( E t p x x )
0e
0
2
3. 波函数的统计解释
1 2
| | | 1 2 | 1 1 * 2 2 * 1 2 * 1 * 2
2 2
干涉项
4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1
|
V
| dV
2
V
dN N dV
即
三维定态薛定谔方程
一般形式薛定谔方程
量子力学课件1-2章-波函数-定态薛定谔方程
V (x,t) (x,t)
假定在 t 0 时刻波函数归一化,随时间演化时它能否保持归一化？ 答案：薛定谔方程自动保持波函数的归一化.
证明:
d (x,t) 2 dx (x,t) 2 dx.
dt
t
2 * * *
i
t
( x, t )
2
2m
d2 dx2
V
( x, t )
接收器上从来没有在两个以上地方同时接收到电子的一部分。电子表现
出“粒子性”。
2）电子表现出的干涉是自己与自己的干涉，不是不同电子之间的
干涉，“波动性”是单个电子的行为。
问题：一个电子怎样通过双缝产生干涉现象呢？ 结论：微观粒子与物质相互作用时，表现粒子性；运动过程中体现波动性。
§ 3 概率
假设一个屋子中有14个人，他们的年龄分布为：
j2 j2P( j). 0
注意：一般情况下平方的平均是不等于平均的平方的。
普遍地, 可以给出j的函数的平均值
f ( j) f ( j)P( j).
0
显然，两个图具有同样的中值、平均值、最可几值和 同等数目的元素，如何表示出分布对平均值“弥散”程度 的不同？
j j j ,
2 (j)2 . 分布方差
经典物理描述物体运动的范式和途径：
宏观物体，经典力学： （1）求出任意时刻物体的位置 x(t)
（2）求出速度v dx ，动量p mv ，动能 T 1 mv2
dt
2
方法: 牛顿方程
m
d2x dt 2
V (x,t) x
,
F(x,t) V (x,t) x
初始条件 x(0), v(0)
等等，
微观粒子,量子力学:
14岁 1人，
19-8一、波函数、二、薛定谔方程
对于在势场中作三维运动粒子薛定谔方程为： 对于在势场中作三维运动粒子薛定谔方程为：
− h2 2 ∂ψ v ψ ∇ ψ + U(r, t) = ih 2m ∂t
∇ =
2
+ 2+ 2 ∂x2 ∂y ∂z
∂
2
∂
2
∂
2
称
2 为拉普拉斯算符， 拉普拉斯算符， ∇
（下一页） 下一页）
16
四、定态薛定谔方程
y( x, t ) = Ae
−i 2π (νt − x λ )
（下一页） 下一页）
2
物质波用什么样的波函数描述？ 物质波用什么样的波函数描述？ 一个沿x轴正向运动 能量为E，动量为P的自由粒子对 轴正向运动， 一个沿 轴正向运动，能量为 ，动量为 的自由粒子对 应于沿x轴正向传播的单色平面物质波 其波函数为： 轴正向传播的单色平面物质波， 应于沿 轴正向传播的单色平面物质波，其波函数为：
ν =E h
i t x − (E −p ) e h 0
（下一页） 下一页）
4
ψ(x, t) =ψ
方向传播的三维情况 三维情况， 考虑到自由粒子沿 r 方向传播的三维情况， 波函数可写为： 波函数可写为：
i vv t − (E −p⋅r) e h 0
v
v ψ(r, t) =ψ
其中波函数模的平方为： 其中波函数模的平方为：
2
（下一页） 下一页）
17
1 − h 2 1 ∂ f (t) v 2m ∇ ϕ + U(r)ϕ = ih f (t) ∂ t ϕ
2
方程左边只是空间坐标的函数， 方程左边只是空间坐标的函数， 右边只是时间的函数， 右边只是时间的函数， 只有两边都等于一个常数等式才能成立。 只有两边都等于一个常数等式才能成立。 令这一常数为E 令这一常数为 。则：
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析在量子力学中，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是描述微观粒子行为的基本方程。
它以奥地利物理学家厄尔温·薛定谔（Erwin Schrodinger）的名字命名，是量子力学理论的核心。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常量除以2π，∂Ψ/∂t表示波函数关于时间的偏导数，m是粒子的质量，∇²Ψ表示波函数的拉普拉斯算子，V是势能函数，Ψ表示波函数。
波函数Ψ是描述量子粒子的状态的数学函数。
它包含了粒子的位置、动量、自旋等信息。
根据量子力学的基本假设，波函数Ψ的模的平方|Ψ|² 可以解释为在不同位置找到粒子的概率密度。
薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它得到的波函数解析表达式可以提供关于粒子行为的重要信息。
然而，对于复杂系统，薛定谔方程的解析求解并不容易。
因此，通常采用数值方法或近似方法进行求解。
对于简单系统，我们可以得到薛定谔方程的解析解。
以一维简谐振子为例，假设势能函数V(x) = 1/2 mω²x²，其中ω是振动频率。
代入薛定谔方程，可以得到一维简谐振子的波函数解析解：Ψ(x) = (mω/πħ)^(1/4) * exp(-mωx²/2ħ) * H(n) ((mω/ħ)^(1/2)x)其中H(n)是埃尔米特多项式（Hermite Polynomial），n为非负整数。
除了一维简谐振子，薛定谔方程的解析解还可以得到其他简单系统的波函数解。
例如，无限深势阱、方势垒、氢原子等都有其特定的波函数解析表达式。
对于更复杂的系统，如多粒子体系或相互作用系统，薛定谔方程的解析解非常困难。
这时，我们常常采用数值方法，如薛定谔方程的数值求解算法（如分裂算子法、变分法等）来获得波函数的近似解。
总之，薛定谔方程与波函数解析是量子力学研究中的重要内容。
量子力学中的波函数与薛定谔方程
量子力学中的波函数与薛定谔方程量子力学是一门研究微观粒子行为和性质的科学，它有着广泛的应用，涉及领域包括原子物理、凝聚态物理以及纳米技术等。
在量子力学中，波函数和薛定谔方程是两个核心概念，它们在理解和描述微观粒子的行为中起着重要的作用。
一、波函数的概念及性质波函数是描述微观粒子的状态的数学函数，通常用Ψ表示。
在三维空间中，波函数是位置矢量r和时间t的函数，即Ψ(r, t)。
波函数一般是复数，其绝对值的平方表示粒子出现在某个位置的概率密度。
根据波函数的性质，可以得出以下几点：1. 法波叠加性：如果物理系统同时存在多个可能的状态，波函数可以叠加这些状态，并通过线性组合来描述。
这是量子力学与经典力学的明显区别之一。
2. 规范化条件：波函数必须满足归一化条件，即∫Ψ*(r, t)Ψ(r, t)dV = 1，其中dV表示三维空间的体积元。
3. 相位不确定性：波函数乘以一个常数因子并不改变物理量的概率密度，因此相位的选择并不固定，只有波函数的相位差才是物理可观测的。
二、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了波函数随时间演化的规律。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ(r, t)/∂t = -ħ²/2m∇²Ψ(r, t) + V(r)Ψ(r, t)其中ħ是普朗克常数的约化常数，m是粒子的质量，V(r)是粒子在位置r上的势能。
薛定谔方程是一个偏微分方程，通过求解薛定谔方程可以得到粒子的波函数，从而获得粒子的态信息。
薛定谔方程的解决方法有很多种，常见的包括分离变量法、变换法和数值方法等。
波函数的演化可以用薛定谔方程的解析解或数值解来描述，从而预测粒子的行为和性质。
三、波函数与量子态的关系波函数不仅仅是描述微观粒子的数学函数，它还与量子态有着密切的关系。
量子态可以看作是波函数的集合，表示了物理系统的所有可能状态。
波函数的演化过程中，量子态也相应地发生变化。
例如，一个具有确定能量的量子态会随着时间的推移而演化为多个能量本征态的叠加。
波函数与薛定谔方程的基本理论
波函数与薛定谔方程的基本理论在量子力学中，波函数和薛定谔方程是基本的概念和理论。
它们在描述微观粒子的行为和性质方面起到了重要的作用。
本文将从基本理论、数学表达以及物理解释等方面对波函数和薛定谔方程进行探讨。
一、波函数的概念与性质波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学表达式。
它通常用Ψ表示，是时间和空间的函数。
波函数的模的平方，即|Ψ|^2，给出了在特定位置和时间粒子出现的概率密度。
波函数具有一些重要的性质。
首先，波函数必须在空间中归一化，即积分|Ψ|^2在整个空间上等于1。
其次，波函数必须是可连续可导的。
此外，波函数的平均值可以用来描述粒子的性质，如位置、动量、能量等。
二、薛定谔方程的表达与求解薛定谔方程是描述量子体系演化的基本定律。
一维情况下，薛定谔方程可写作：ĤΨ = EΨ其中Ĥ是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。
薛定谔方程是一个偏微分方程，在不同情况下有不同的形式和求解方法。
对于简谐振子系统而言，薛定谔方程的形式为：(-ħ^2/2m) d^2Ψ/dx^2 + (1/2)kx^2Ψ = EΨ其中，ħ是普朗克常数，m是粒子的质量，k是弹性劲度系数。
这是一个二阶常微分方程，可以通过求解得到系统的能级和波函数。
对于一维自由粒子系统而言，薛定谔方程的形式为：(-ħ^2/2m) d^2Ψ/dx^2 = EΨ这是一个非常简单的形式，可以通过分离变量并代入边界条件来解得波函数。
三、波函数与物理解释波函数的平方模给出了粒子在不同位置和时间的出现概率密度，但本身并不直接对应着物理实体。
实际上，波函数具有复数形式，相位角和振幅也包含在其中。
物理解释需要结合波函数与测量过程。
根据量子力学的测量原理，对一个物理量的测量会导致波函数的坍缩，粒子会处于某一确定状态。
例如，对位置的测量，波函数坍缩为一个局域化的尖峰形式；对动量的测量，波函数坍缩为一个波包。
在多粒子系统中，波函数是系统所有粒子的集合。
通过对波函数的合理选择和计算，可以得到多粒子系统的性质和行为。
波函数与薛定谔方程
定态Schr dinger方程的解 Schrödinger 2．定态Schr dinger方程的解 ψ ( x) = 0 x > a （3） 有限， 因 ψ(x) 及 E 有限，由（2） 令 （1）
α
2
2 µE = h2
d 2ψ + α 2ψ ( x) = 0 dx 2
从物理考虑， 从物理考虑，粒 （4） 子不能透过无穷 高的势壁。 高的势壁。 （4） 4
◆ 波函数的标准条件
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
r r 2 根据Born统计解释， Born统计解释 ω （1）根据Born统计解释， (r , t ) = ψ (r , t ) 是粒子在 t
r 点的几率，这是一个确定的数， 时刻出现在 r 点的几率，这是一个确定的数，所以 r r 的单值函数且有限。 要求 ψ (r , t ) 应是 (r , t ) 的单值函数且有限。
(6)
nπ αn = 2a
（n为奇数） 为奇数）
(7)
(6)和(7)两式统一写成 (6)和(7)两式统一写成
nπ αn = , 2a
2µ E α = 2 h
2
n = 1,2,3, L
（8）
n2π 2 h2 本征能量： 本征能量： En = 8µ a 2
（9）
11
一维无限深势阱（ §2.6 一维无限深势阱（续4）
（3）写出定态波函数 即得到对应第 n 个 本征值 En 的定态波 函数
∞
4.求解定态问题的步骤 4.求解定态问题的步骤
r r Ψ n ( r , t ) = Cnψ n (r ) e
−
i En t h
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析量子力学是一门对于微观世界的描述和研究的科学，而薛定谔方程则是量子力学的核心公式之一。
薛定谔方程的提出不仅改变了科学界对于微观世界的认知，而且对于现代科技的发展也有着深远的影响。
本文将探讨薛定谔方程的内容以及与之相关的波函数解析。
首先，我们需要了解薛定谔方程的基本形式。
薛定谔方程是一个描述粒子在量子力学中运动的方程，它的一般形式可以写作：iħ∂ψ/∂t = Ĥψ其中，ψ是波函数，t是时间，ħ是普朗克常数，Ĥ是哈密顿算符。
薛定谔方程的这种形式被称为时间-相关薛定谔方程，它描述了波函数随时间演化的规律。
在解析波函数之前，我们首先需要了解波函数的物理意义。
波函数的平方模的绝对值的平方在某一点上的积分值，也就是密度波，表示了在这一点上找到粒子的概率。
因此，波函数可以看作是描述粒子在空间中分布的函数。
解析波函数是指通过薛定谔方程求得波函数的具体形式。
对于简单的系统，如自由粒子、势垒和谐振子等，可以通过求解薛定谔方程的定态解来得到波函数的具体形式。
定态解是指波函数不随时间变化的解，可以表示为：ψ(r,t) = Σ C_n ψ_n(r) e^(-iE_n t/ħ)其中，C_n是展开系数，ψ_n(r)是波函数的空间部分，E_n是能量。
对于不定态解，即波函数随时间变化的解，我们可以将波函数按能量本征态（定态解）展开。
这样，就可以得到波函数的解析表达式。
波函数的具体形式与实际问题密切相关。
对于一维自由粒子，其波函数的解析表达式为ψ(x,t) = A e^(ikx-ωt)，其中A是归一化常数，k是波数，ω是角频率。
这个解析表达式描述了自由粒子在空间中传播的波动性质。
对于势垒问题，波函数的解析解也可以通过求解薛定谔方程得到。
在势垒的两侧，波函数可以分别表示为反射波和透射波。
量子力学中的概率幅分布的特点使得粒子在势垒处发生反射和透射现象。
在实际的研究中，波函数的解析解不仅提供了精确的理论描述，还为物理定律的验证和应用提供了基础。
波函数 薛定谔方程
玻尔在解释氢原子光谱时就提出了定态的概念雏形.定态也是量子力
学中最重要的概念之一，本节就从薛定谔方程出发，对定态的性质做一些
概括性的讨论.
若势能V(r)与时间无关，则可以设
Ψ(r,t)=Ψ(r)f(t)
（15- 41）
把式（15- 41）代入式（15- 40）,得到
波函数 薛定谔方程
两边同除以Ψ(r)f(t)，就可以分离变量，即
波函数 薛定谔方程
薛定谔方程描述微观粒子运动的一般方程，自然也可以描 15- 36
解，由式（15- 36）可得
（15- 37）
波函数 薛定谔方程
由式（15- 35）可得
波函数 薛定谔方程
（1）这并不是薛定谔方程的证明，薛定谔方程是量子力学的基本 假定，是对大量实验观测结果的概括，它和经典力学中的牛顿三定律一 样，是不能被证明的.
波函数 薛定谔方程
图15- 13 无限深方势阱中的波函数
波函数 薛定谔方程
图15- 14所示为 无限深方势阱中的粒 子分布密度Ψ2(x).容 易看出，当n→∞时， 粒子分布密度会趋于 均匀，即在大量粒子 数条件下，量子力学 将回到经典情况.
图15- 14 无限深方势阱中的粒子分布密度
谢谢观看
波函数 薛定谔方程
若定态波函数能够满足归一化条件，即
则在无限远处，定态波函数必然迅速趋于0，即粒子不可能出现 在无穷远处，也就是粒子被限制在有限的范围内运动，这种状态就称 为束缚态，否则就称为游离态.
波函数 薛定谔方程
在经典情况下，粒子当然也不能出现在阱外，这一点与量子 力学的解并无区别.若是经典粒子，在阱内各处的势场都为零， 因此粒子在阱内均匀分布.在量子力学情况下，容易解得粒子出 现在各处的概率并不相同，随着位置的变化而变化，即粒子分布 是不均匀的.此外，在经典情况下，粒子的能量可以取任意的有 限值，即粒子的能量是可以连续变化的，但在量子力学情况下， 粒子的能量只能取一系列分立值，即能级是量子化的.图15-13所 示为无限深方势阱中的波函数Ψ(x).
波函数与薛定谔方程
ψ = c1ψ1 + c2ψ2 + − − − + cnψn = ∑cnψn
c1, c2 ,− − −cn为 意 数 任 常
n
波函数遵从叠加原理由实验证实： 波函数遵从叠加原理由实验证实： 以双缝实验为例 1、子弹通过双缝的射击实验 （经典） 经典） 、
a
子弹
P 1 P 2
b
P
P = P + P概 叠 率 加 1 2
等项. 等项
(二),方程应具有粒子各种状态都能满足的普适性质 二 方程应具有粒子各种状态都能满足的普适性质 方程应具有粒子各种状态都能满足的普适性质. 各项系数只能为普适衡量 如 和表示粒子一般属性的量,如 和表示粒子一般属性的量 各项系数只能为普适衡量,如h,和表示粒子一般属性的量 如 普适衡量 m 等,而不能包含仅只表征某特殊状态的量如能量、动量等 而不能包含仅只表征某特殊状态的量如能量、 而不能包含仅只表征某特殊状态的量如能量 动量等.
或
Ψ(x, t) = Ψ e 0
i − ( Et− px) h
？
24
∂ψ ∂2ψ ∂ψ 原则： 一 波函数满足叠加原理 可有 原则： (一),波函数满足叠加原理 ,可有 ∂x , ∂x2 , ∂t ,− − − −
等项, 等项 不能含
∂ψ ψ2 , ,− − − − ∂x
2
光子在某处出现的概率和 光子在某处出现的概率和 概率 该处光振幅 平方成正比 振幅的 该处光振幅的平方成正比
4
自由电子的波函数
ψ ( x, y , z , t ) = ψ 0 e
v v i ( p⋅r − Et ) / h
ψ (r , t ) = ψ 02
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
按照已为衍射实验证明的de Broglie关系，若ψ为一
个平面单色波(波长λ，频率ν)，则相应的粒子动量
p=h/λ,能量E=hv。但在一般情况下，ψ是一个波包， 它由许多平面单色波叠加而成，即
15
含有各种频率的分波，因而相应粒子的动量(能量)
有一个分布。按照傅里叶变换，ψ(r，t) 可展成不
同频率单色波的叠加，即
2
但不排除个别奇点的存在
2 可归一化，但
பைடு நூலகம்3
2
单值
4 在一定的条件下要求波函数及其各阶导数连续
14
四、动量分布几率
我们已经看到，按照波函数的统计解释，在空间r
点找到粒子的几率∝|ψ(r)|2 。现在我们要问，如果
测量粒子的其他力学量，几率又如何分布呢？我 们现以最常碰到的动量为例进行讨论。
第1章 波函数与薛定谔方程
本章我们将以微观粒子的波粒二象性为依据，引 进描述微观粒子状态的波函数，讨论波函数的性
质，建立非相对论量子力学的基本方程——薛定
谔方程。
1 波函数的统计解释 2 态叠加原理 3 薛定谔方程
1
§1.1 波函数的统计解释
为了表示微观粒子的波粒二相性，可以用平面波来 描写自由粒子，其频率和波长与自由粒子的能量和
11
的区别，经典波幅的大小决定波动的能量。经典 波不可归一化。若波函数ψ(r)未归一化，显然则 有 2 3 (r ) d r A 0
( 全)
但ψ(r)与A-1/2ψ(r) 描述的是同一个几率波。ψ(r)没 有归一化，而A-1/2ψ(r) 是归一化的。
1
(全)
A-1/2称为归一化因子。波函数归一化与否，并 不影响几率分布。
12
A
(r ) d 3 r 1
2
注意：1）象平面波等一些理想波函数，它 们不能归一化。对此的归一化问题将在后 边介绍； 2）对于归一化的波函数仍有一个模为1的 因子不定性，即相位（phase）不定性。
e
i
1
2 2
e
i
13
三、统计解释对波函数提出的要求
1 取有限值,
25
在电子的衍射实验中，如果入射粒子流的强度很大， 即单位时间内有许多电子被晶体反射，则照片上很快 就出现衍射花样。如果入射粒子流的强度很小，电子 一个一个地从晶体表面反射，这时照片上就出现一个 一个的点子，显示出电子的“颗粒性”。
7
1 波函数的统计解释
开始时，它们看起来似乎是毫无规律的散布 着，随着时间的延长，点子数目逐渐增多， 它们在照片上的分布就形成了衍射花样，这 显示出了电子的波动性。由此可见，实验所 显示的电子的波动性是许多电子在同一实验 中的统计结果，或者是一个电子在许多次相 同实验中的统计结果。波函数正是为描述粒 子的这种行为而引入的。 波恩在上述基础上提出了波函数的统计解释， 其内容为：
3
一、 波动、粒子两重性矛盾的分析
1 把电子看成是物质波包
包括波动力学的创始人薛定谔、德布罗意等人把 电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维 空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出了 干涉、衍射等现象。波包的大小即电子的大小， 波包的群速度即电子运动的速度。按经典自由粒 子能量，并利用德布罗意关系可得
8
波函数在空间中某点的强度(波函数的模方)与在 该点找到粒子的几率成正比。即
ψ (x, y, z, t) dxdydz
2
表示t 时刻在点(x，y，z)附近的体元dτ=dxdydz 中 找到粒子的几率。 按照这种解释，描述粒子的波乃是几率波。波函 数ψ(x，y，z) 即为几率波幅。几率波的概念正确 的把物质粒子的波动性与原子性统一了起来，它 已为大量实验所证实。
17
均值为
2 3 x (r ) xd r
这里假定了波函数已归一化。又如势能V(r)的平
均值为
2 3 V (r ) V (r )d r
但不能象求势能平均值这样求动量的平均值，即
2 3 p (r ) p(r )d r
2 ˆ H 2 V 2
22
相对应。
ˆ 而得 它是将哈密顿函数中的动量p换为动量算符 p
出，这反映了从力学量的经典表示式得出量子力学 中表示该力学量的算符规则，即：如果量子力学中 的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这 ˆ 由经典表示式 F (r , p) 中将p换 个力学量的算符 F ˆ 而得出，即 为算符 p ˆ ˆ ˆ ˆ F (r , p) F (r , p) F (r ,i) ˆ ˆ ˆ 例如 L r p L r p ir 有关经典力学中没有的力学量(如自旋)，在量子力学 中如何表示将另行讨论。
d p d r *(r )
3 3
1 ipr / (i)e ( p) 3/ 2 (2 )
d r * (r )(i) (r )
3
这样，我们就找到了直接用ψ(r)来计算动量平均 值的公式，而不必借助于ψ(r)的Fourier变换来间 接计算。但这时就出现了一种新的数学工具—— 算符，令
ˆ i p
3 ˆ 则 p * ( r ) p ( r ) d r
20
可表为
ˆ ) p (，p
动量算符
上式表明，动量平均值与波函数的梯度密切相关 （与波数 k 成正比）。 动能T=p2/2m和角动量L=r×p的平均值也可类似 求出。 一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出
( r , t )
1 i ( pr Et ) / 3 ( p，t )e d p 3/ 2 ( 2 )
16
与|ψ(r)|2表示粒子在坐标空间中的几率密度相似，
2 ( p , t ) 用来表示粒子的动量几率密度分布，它代 ip r /
表ψ(r) 中含有平面波
2 ( p , t ) 成正比是自然的。这已为 的动量的几率与
e
的成分，所以粒子
晶体衍射实验所证明。
五、力学量的平均值与算符的引入
粒子处于波函数ψ(r)所描述的状态下，虽然不是 所有力学量都具有确定的值，但它们都有确定的 几率分布，因而有确定的平均值。如位置x的平
全确定。与此类似，还可以讨论粒子的其他力学量
测量值的几率分布（详见后）。概括起来，当ψ(r)
给定后，粒子所有的力学量测量值的几率分布都确 定下来。从这个意义上讲，ψ(r)完全描述了一个三
24
维空间中粒子的量子态。所以也将波函数称为态
函数。
( p )也完全描述了粒子的量 同样我们也可以说， ( p 子态。因为给定 )后，不仅动量的测量几率分 2 布(∝ ( p ) )完全确定，而且其位置的测量几率
此外在电子衍射实验中，电子波打到晶体表面后 发生衍射，衍射波将沿不同方向传播，如果按电 子波包的观点，空间不同方向测到的只能是“电 子的一部分”，但实验上测到的总是一个个的电 子，各具有一定的质量和电荷等。 物质波包的观点显然是夸大了粒子的波动性，抹 杀了它的粒子性。是带有片面性的。
5
2 把波动看成是大量电子分布于空间而形成的疏密波 这显然夸大了粒子性，而抹杀了其波动性。这与单 个电子具有波动性（可控制电子束疏到几乎是一个 个的电子，当时间足够长时仍会出现衍射花样）是 矛盾的。
( r )
1 ip r / 3 ( p )e d p 3/ 2 ( 2 )
其逆 ( p )
1 ip r / 3 ( r ) e d r 3/ 2 ( 2 )
若考虑随时间变化，则为
(r , t ), ( p, t )
这是因为由于波粒二象性，粒子在空间“某一点 的动量”的说法是无意义的。
18
按前所述，给定波函数ψ(r)之后，测得粒子动
量在(p,p+dp) 中的几率为
2 ( p ) dp ，其中
( p )
1 ip r / 3 ( r )e d r 3/ 2 ( 2 )
二、波函数的统计解释
电子(微观粒子)到底是什么？ 它既不是经典的粒子，也不是经典的波。它是粒子 和波动两重性矛盾的统一。实际上是粒子“颗粒性” (具有一定的质量和电荷等属性的客体，但不与粒
6
子具有确定轨道相对应，这是由于位置和动量不能 同时具有确定的值，即测不准关系，后讲)与波的 “相干叠加性”(呈现干涉、衍射等现象，但不与 某种实在物理量在空间分布的周期性变化相对应) 的统一。
ˆ 3 ˆ ) A * (r ) A (r )d r ( , A
是与力学量A相应的算符
21
若波函数未归一化，则
ˆ ) /( , ) A ( , A
力学量用不可交换位置的算符来表示，这是量子 力学的一个基本假设。对于有经典对应的力学量 的算符的表示及其力学量与算符的内在深刻关系， 我们下面继续讨论。 体系的能量与哈密顿算符
23
§1.2 态叠加原理
1 量子态及其表象
从上节已经看出，对一粒子，当描述它的波函数ψ(r)
给定后，测量位置时，|ψ(r)|2就代表粒子出现在r点的
2 几率密度；测量动量时， ( p )就代表测得其动量为 p ) ψ(r) 的Fourier 变换，由ψ(r) 完 p的几率密度。 ( 是