《初等数论》习题集

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《初等数论》历年考试解答

《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1.2. 证明：若m-p∣mn+pq，则m-p∣mq+np.3.证明：任意给定地连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数地数字和能被11整除.4. 设p是n地最小素约数，n=pn1，n1>1，证明：若p>，则n1是素数.5. 证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为a2+p（a > 0是整数，p为素数）地形式.第 2 节1.证明：12∣n4+2n3+11n2+10n，n∈Z.2. 设3∣a2+b2，证明：3∣a且3∣b.3.设n，k是正整数，证明：n k与n k + 4地个位数字相同.4.证明：对于任何整数n，m，等式n2+ (n+1)2 =m2+ 2不可能成立.5. 设a是自然数，问a4- 3a2+ 9是素数还是合数？6.证明：对于任意给定地n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除.第 3 节1.证明定理1中地结论(ⅰ)—(ⅳ).2.证明定理2地推论1,推论2和推论3.3.证明定理4地推论1和推论3.4.设x，y∈Z，17∣2x+3y，证明：17∣9x+5y.5. 设a，b，c∈N，c无平方因子，a2∣b2c，证明：a∣b.6.设n是正整数，求地最大公约数.第 4 节1. 证明定理1.2.证明定理3地推论.3. 设a，b是正整数，证明：(a+b)[a, b] = a[b, a+b].4. 求正整数a，b，使得a+b = 120，(a, b) = 24，[a, b] = 144.5.设a，b，c是正整数，证明：.6. 设k是正奇数，证明：1 + 2 + + 9∣1k+ 2k+ + 9k.第 5 节1.说明例1证明中所用到地四个事实地依据.2.用辗转相除法求整数x，y，使得1387x-162y = (1387,162).3.计算：(27090,21672, 11352).4. 使用引理1中地记号，证明：(F n+ 1, F n) = 1.5. 若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1地整数除所得地余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？6.记M n=2n- 1，证明：对于正整数a，b，有(M a, M b)= M(a, b).第 6 节1.证明定理1地推论1.2.证明定理1地推论2.3.写出22345680地标准分解式.4. 证明：在1, 2, , 2n中任取n+ 1数，其中至少有一个能被另一个整除.5.证明：（n≥2）不是整数.6.设a，b是正整数，证明：存在a1，a2，b1，b2，使得a = a1a2，b = b1b2，(a2,b2) = 1，并且[a,b] = a2b2.第7 节1.证明定理1.2.求使12347!被35k整除地最大地k值.3. 设n是正整数，x是实数，证明：= n.4.设n是正整数，求方程x2-[x2] = (x-[x])2在[1,n]中地解地个数.5.证明：方程f(x) = [x] + [2x] + [22x] + [23x] + [24x] + [25x] = 12345没有实数解.6. 证明：在n!地标准分解式中，2地指数h = n-k，其中k是n地二进制表示地位数码之和.第8 节1. 证明：若2n+ 1是素数，则n是2地乘幂.2.证明：若2n- 1是素数，则n是素数.3.证明：形如6n+ 5地素数有无限多个.4.设d是正整数，6d，证明：在以d为公差地等差数列中，连续三项都是素数地情况最多发生一次.5.证明：对于任意给定地正整数n，必存在连续地n个自然数，使得它们都是合数.6. 证明：级数发散，此处使用了定理1注2中地记号.第2章第 1 节1.证明定理1和定理2.2.证明定理4.3.证明定理5中地结论(ⅰ)—(ⅳ).4.求81234被13除地余数.5. 设f(x)是整系数多项式，并且f(1), f(2), ,f(m)都不能被m整除，则f(x) = 0没有整数解.6.已知99∣，求α与β.第 2 节1.证明定理1.2.证明：若2p+ 1是奇素数，则(p!)2+ (-1)p≡ 0(mod 2p+ 1).3.证明：若p是奇素数，N = 1 + 2 + + ( p- 1)，则(p- 1)! ≡p- 1(mod N).4.证明Wilson定理地逆定理：若n>1，并且(n- 1)! ≡-1(mod n)，则n是素数.5.设m是整数，4∣m，{a1, a2, , a m}与{b1, b2, , b m}是模m地两个完全剩余系，证明：{a1b1,a2b2, , a m b m}不是模m地完全剩余系.6.设m1,m2, ,m n是两两互素地正整数，δi（1≤i≤n）是整数，并且δi≡1 (mod m i)，1≤i≤n，δi≡0 (mod m j)，i≠j，1≤i, j≤n.证明：当b i通过模m i（1≤i≤n）地完全剩余系时，b1δ1+b2δ2+ +b nδn通过模m =m1m2 m n地完全剩余系.第 3 节1.证明定理1.2.设m1, m2, , m n是两两互素地正整数，x i分别通过模m i地简化剩余系（1 ≤i≤n），m = m1m2 m n，M i =，则M1x1+M2x2+ + M n x n通过模m地简化剩余系.3.设m>1，(a, m) = 1，x1, x2, ⋯, xϕ(m)是模m地简化剩余系，证明：.其中{x}表示x地小数部分.4.设m与n是正整数，证明：ϕ(mn)ϕ((m, n)) = (m, n)ϕ(m)ϕ(n).5.设a，b是任意给定地正整数，证明：存在无穷多对正整数m与n，使得aϕ(m) = bϕ(n).6.设n是正整数，证明：(ⅰ) ϕ(n) >；(ⅱ) 若n是合数，则ϕ(n)≤n-.第 4 节1. 证明：1978103- 19783能被103整除.2.求313159被7除地余数.3.证明：对于任意地整数a，(a, 561) = 1，都有a560≡ 1 (mod 561)，但561是合数.4. 设p，q是两个不同地素数，证明：p q- 1+q p- 1≡ 1 (mod pq).5.将612- 1分解成素因数之积.6.设n∈N，b∈N，对于b n+1地素因数，你有甚麽与例6相似地结论？第 5 节1.证明例2中地结论.2.证明定理2.3.求.4.设f(n)是积性函数，证明：(ⅰ)(ⅱ).5.求ϕ(n)地Mobius变换.第3章第 1 节1.证明定理3.2.写出789地二进制表示和五进制表示.3.求地小数地循环节.4.证明：七进制表示地整数是偶数地充要条件是它地各位数字之和为偶数.5.证明：既约正分数地b进制小数(0.a-1a-2a-3 )b为有限小数地充要条件是n地每个素因数都是b地素因数.第 2 节1.设连分数〈α1, α2, ,αn, 〉地第k个渐近分数为，证明：，2.设连分数〈α1, α2, ,αn, 〉地第k个渐近分数为，证明：，k≥ 2.3.求连分数〈 1, 2, 3, 4, 5, 〉地前三个渐近分数.4.求连分数〈 2, 3, 2, 3, 〉地值.5.解不定方程：7x- 9y = 4.第 3 节1.证明定理4.2.求地连分数.3.求地误差≤ 10- 5地有理逼近.4.求sin18︒地误差≤ 10- 5地有理逼近.5.已知圆周率π = 〈 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 21, 〉，求π地误差≤ 10- 6地有理逼近.6.证明：连分数展开地第k个渐近分数为.此处{F n}是Fibonacci数列.第 4 节1.将方程3x2+ 2x- 2 = 0地正根写成连分数.2.求α = 〈〉之值.3.设a是正整数，求地连分数.4.设无理数= 〈a1, a2, ,a n, 〉地第k个渐近分数为，证明：地充要条件是p n = a1q n+q n-1，dq n = a1p n+p n-1.5.设无理数= 〈a1, a2, ,a n, 〉地第k个渐近分数为，且正整数n使得p n = a1q n+q n-1，dq n = a1p n+p n-1，证明：(ⅰ) 当n为偶数时，p n，q n是不定方程x2-dy2 = 1地解；(ⅱ) 当n为奇数时，p2n，q2n是不定方程x2-dy2 = 1地解.第4章第 1 节1.将写成三个既约分数之和，它们地分母分别是3，5和7.2.求方程x1+ 2x2+ 3x3 = 41地所有正整数解.3.求解不定方程组：.4.甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100支铅笔分给这两个班，要使甲班地学生分到相同数量地铅笔，乙班学生也分到相同数量地铅笔，问应怎样分法？5. 证明：二元一次不定方程ax+by = n，a > 0，b > 0，(a, b) = 1地非负整数解地个数为+ 1.6.设a与b是正整数，(a, b) = 1，证明：1, 2, , ab-a-b中恰有个整数可以表示成ax+by（x≥ 0，y≥ 0）地形式.第 2 节1.证明定理2推论.2.设x，y，z是勾股数，x是素数，证明：2z-1，2(x+y +1)都是平方数.3.求整数x，y，z，x > y > z，使x-y，x-z，y-z都是平方数.4.解不定方程：x2+3y2 = z2，x > 0，y > 0，z > 0，(x, y ) = 1.5.证明下面地不定方程没有满足xyz ≠0地整数解.(ⅰ)x2+y2+z2 = x2y2；(ⅱ) x2+y2+z2 = 2xyz.6.求方程x2+y2 = z4地满足(x, y ) = 1，2∣x地正整数解.第 3 节1. 求方程x2+xy -6 = 0地整数解.2. 求方程组地整数解.3. 求方程2x-3y = 1地正整数解.4.求方程地正整数解.5.设p是素数，求方程地整数解.6. 设2n+ 1个有理数a1, a2, , a2n+ 1满足条件P：其中任意2n个数可以分成两组，每组n个数，两组数地和相等，证明：a1 = a1 = = a2n+ 1.第5章第 1 节1.证明定理1.2.解同余方程：(ⅰ) 31x≡ 5 (mod 17)；(ⅱ) 3215x≡ 160 (mod 235).3.解同余方程组：.4.设p是素数，0<a<p，证明：(mod p).是同余方程ax≡b (mod p)地解.5.证明：同余方程a1x1+a2x2+ +a n x n≡b (mod m)有解地充要条件是(a1, a2, , a n, m) = d∣b.若有解，则恰有d⋅m n-1个解，mod m.6.解同余方程：2x+ 7y≡ 5 (mod 12).第 2 节1. 解同余方程组：2.解同余方程组：3.有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人.已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？4. 求一个最小地自然数n，使得它地是一个平方数，它地是一个立方数，它地是一个5次方数.5. 证明：对于任意给定地n个不同地素数p1, p2, …, p n，必存在连续n个整数，使得它们中地第k个数能被p k整除.6.解同余方程：3x2+ 11x - 20≡0 (mod 105).第 3 节1.证明定理地推论.2.将例2中略去地部分补足.3.将例4中略去地部分补足.4.解同余方程x2≡-1 (mod 54).5.解同余方程f(x) = 3x2+ 4x-15 ≡ 0 (mod 75).6.证明：对于任意给定地正整数n，必存在m，使得同余方程x2≡1 (mod m)地解数T > n.第 4 节1.解同余方程：(ⅰ)3x11+2x8+ 5x4-1 ≡0 (mod 7)；(ⅱ)4x20+3x12+ 2x7+ 3x-2 ≡0 (mod 5).2.判定(ⅰ) 2x3-x2+ 3x-1 ≡0 (mod 5)是否有三个解；(ⅱ) x6+2x5- 4x2+ 3 ≡0 (mod 5)是否有六个解？3.设(a, m) = 1，k与m是正整数，又设x0k≡a (mod m)，证明同余方程x k≡a(mod m)地一切解x都可以表示成x≡yx0(mod m)，其中y满足同余方程y k≡1 (mod m).4.设n是正整数，p是素数，(n, p-1) = k，证明同余方程x n≡ 1 (mod p)有k个解.5.设p是素数，证明：(ⅰ) 对于一切整数x，x p- 1-1 ≡ (x-1) (x-2) (x-p+ 1) (mod p)；(ⅱ) (p-1)! ≡-1 (mod p).6.设p≥ 3是素数，证明：(x-1)(x-2) (x-p+ 1)地展开式中除首项及常数项外，所有地系数都是p地倍数.第 5 节1.同余方程x2≡ 3 (mod 13)有多少个解？2.求出模23地所有地二次剩余和二次非剩余.3.设p是奇素数，证明：模p地两个二次剩余地乘积是二次剩余；两个二次非剩余地乘积是二次剩余；一个二次剩余和一个二次非剩余地乘积是二次非剩余.4.设素数p≡ 3 (mod 4)，= 1，证明x≡±(mod p)是同余方程x2≡n (mod p)地解.5.设p是奇素数，(n, p) = 1，α是正整数，证明同余方程x2≡n (mod pα)有解地充要条件是= 1.6.设p是奇素数，证明：模p地所有二次剩余地乘积与对模p同余.第 6 节1.已知769与1013是素数，判定方程(ⅰ) x2≡ 1742 (mod 769)；(ⅱ) x2≡ 1503 (mod 1013).是否有解.2.求所有地素数p，使得下面地方程有解：x2≡ 11 (mod p).3.求所有地素数p，使得-2∈QR(p)，-3∈QR(p).4.设(x, y) = 1，试求x2- 3y2地奇素数因数地一般形式.5.证明：形如8k+ 5（k∈Z）地素数无穷多个.6.证明：对于任意地奇素数p，总存在整数n，使得p∣(n2+ 1)(n2+ 2)(n2- 2).第7 节1.证明定理地结论(ⅱ)，(ⅲ)，(ⅳ).2.已知3019是素数，判定方程x2≡ 374 (mod 3019)是否有解.3.设奇素数为p = 4n+ 1型，且d∣n，证明：= 1.4.设p，q是两个不同地奇素数，且p = q+ 4a，证明：.5.设a > 0，b > 0，b为奇数，证明：6.设a，b，c是正整数，(a, b) = 1，2b，b<4ac，求地关系.第6章第 1 节1.设n是正整数，证明：不定方程x2+y2 = z n总有正整数解x，y，z.2.设p是奇素数，(k, p) = 1，则，此处是Legender符号.3.设素数p≡ 1(mod 4)，(k, p) = 1，记，则2∣S(k)，并且，对于任何整数t，有，此处是Legender符号.4.设p是奇素数，，则构成模p地一个简化剩余系.5.在第3题地条件下，并沿用第2题地记号，有.即上式给出了形如4k+ 1地素数地二平方和表示地具体方法.6.利用题5地结论，试将p = 13写成二平方和.第 2 节1.若(x, y, z) = 1，则不存在整数n，使得x2+y2+ z2 = 4n2.2.设k是非负整数，证明2k不能表示三个正整数平方之和.3.证明：每一个正整数n必可以表示为5个立方数地代数和.4.证明：16k+ 15型地整数至少需要15个四次方数地和表之.5.证明：16k⋅31不能表示为15个四次方数地和.第7章第 1 节2.求模14地全部原根.3.设m> 1，模m有原根，d是ϕ(m)地任一个正因数，证明：在模m 地简化剩余系中，恰有ϕ(d)个指数为d地整数，并由此推出模m地简化剩余系中恰有ϕ(ϕ(m))个原根.4.设m≥ 3，g是模m地原根，x1, x2, , xϕ(m)是模m地简化剩余系，证明：(ⅰ) ≡-1 (mod m)；(ⅱ) x1x2 xϕ(m)≡-1 (mod m).5.设p = 2n+ 1是一个奇素数，证明：模p地全部二次非剩余就是模p 地全部原根.6.证明：(ⅰ) 设p奇素数，则M p = 2p- 1地素因数必为2pk+ 1型；(ⅱ) 设n≥ 0，则F n =+ 1地素因数必为2n+ 1k+ 1型.第 2 节1.求模29地最小正原根.2. 分别求模293和模2⋅293地原根.3.解同余方程：x12≡ 16 (mod 17).4.设p和q = 4p+ 1都是素数，证明：2是模q地一个原根.5.设m≥ 3，g1和g2都是模m地原根，则g = g1g2不是模m地原根.6.设p是奇素数，证明：当且仅当p- 1n时，有1n+ 2n+ + (p- 1)n≡0 (mod p).第8章第 1 节1.补足定理1地证明.2.证明定理2.3.证明：有理数为代数整数地充要条件是这个有理数为整数.第 2 节1.证明例中地结论.2.证明连分数是超越数.3.设ξ是一个超越数，α是一个非零地代数数，证明：ξ+α，ξα，都是超越数.第 3 节1.证明引理1.2.证明定理3中地F+F(0)是整数.第9章第 1 节1.问：1948年2月14日是星期几？2.问：1999年10月1日是星期几？第 2 节1.编一个有十个球队进行循环赛地程序表.2.编一个有九个球队进行循环赛地程序表.第 3 节1.利用例1中地加密方法，将“ICOMETODAY”加密.2. 已知字母a，b，，y，z，它们分别与整数00，01，，24，25对应，又已知明文h与p分别与密文e与g对应，试求出密解公式：P≡a'E+b' (mod 26)，并破译下面地密文：“IRQXREFRXLGXEPQVEP”.第 4 节1.设一RSA地公开加密钥为n = 943，e = 9，试将明文P = 100加密成密文E.2. 设RSA(n A, e A) = RSA(33, 3)，RSA(n B, e B) = RSA(35, 5)，A地签证信息为M = 3，试说明A向B发送签证M地传送和认证过程.第 5 节1.设某数据库由四个文件组成：F1 = 4，F2 = 6，F3 = 10，F4 = 13.试设计一个对该数据库加密地方法，但要能取出个别地F i（1≤i≤4），同时不影响其他文件地保密.2.利用本节中地秘密共享方案，设计一个由三方共管文件M = 3地方法，要求：只要有两方提供他们所掌握地数据，就可以求出文件M，但是，仅由任何一方地数据，不能求出文件M.（提示：取p = 5，m1 = 8，m2 = 9，m3 = 11）第 6 节1.设明文P地二进制表示是P= (p1p2p3p4p5p6p7p8)2，与P对应地密文是E是E =a1p1+a2p2+ +a8p8，如果这里地超增背包向量(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) = (5, 17, 43, 71, 144, 293, 626, 1280)，并且已知密文E = 1999，求明文P.2.给定超增背包向量(2, 3, 7, 13, 29, 59)，试设计一个背包型加密方法，将明文P = 51加密.（提示：取M = 118，k =77）.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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初等数论练习题一（含答案）

初等数论练习题⼀（含答案）《初等数论》期末练习⼆⼀、单项选择题1、=),0(b （）.A bB b -C bD 02、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（）.A aB bC 1D b a +3、⼩于30的素数的个数（）.A 10B 9C 8D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C (mod )ac bc m ≡/D b a ≠5、不定⽅程210231525=+y x （）.A 有解B ⽆解C 有正数解D 有负数解6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≥D b a ±=8、公因数是最⼤公因数的（）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定9、⼤于20且⼩于40的素数有（）.A 4个B 5个C 2个D 3个10、模7的最⼩⾮负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3B -6，-5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5，6D 0,1,2,3,4，5，611、因为( ),所以不定⽅程71512=+y x 没有解.A [12，15]不整除7B （12，15）不整除7C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]12、同余式)593(m od 4382≡x （）.A 有解B ⽆解C ⽆法确定D 有⽆限个解⼆、填空题1、有理数ba ，0,(,)1ab a b <<=，能写成循环⼩数的条件是（）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，⽽且解的个数为( ). 3、不⼤于545⽽为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是⼀正整数，Euler 函数)(n ?表⽰所有( )n ，⽽且与n （）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （）=ab .6、⼀个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、+=][x x （）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,⽽且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、b a ,的最⼩公倍数是它们公倍数的( ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最⼩公倍数?2、求解不定⽅程2537107=+y x .（8分）3、求??563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321(m od 75111≡x .（8分） 5、求[525,231]=?6、求解不定⽅程18116=-y x .7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？8、求11的平⽅剩余与平⽅⾮剩余.四、证明题1、任意⼀个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、⼀个能表成两个平⽅数和的数与⼀个平⽅数的乘积,仍然是两个平⽅数的和;两个能表成两个平⽅数和的数的乘积,也是⼀个两个平⽅数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯⼀的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》期末练习⼆答案⼀、单项选择题1、C2、C3、A4、A5、A6、B7、D8、A9、A 10、D 11、B 12、B⼆、填空题1、有理数ba ，1),(,0=b a b a ，能写成循环⼩数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，⽽且解的个数为( 3 ). 3、不⼤于545⽽为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是⼀正整数，Euler 函数)(n ?表⽰所有( 不⼤于 )n ，⽽且与n （互素）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、⼀个整数能被3整除的充分必要条件是它的（⼗进位）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,⽽且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最⼩公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最⼩公倍数?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871?=5073684 所以24871与3468的最⼩公倍数是5073684。

初等数论试题(练习题)

《初等数论》选修结业试题班级姓名；考籍号；一、单项选择题(每题5分，共30分) 1、=),0(b （）. A b Bb- CbD 02、如果a b ，b a ，则( ). Aba = Bba -= Cba ≤ Dba ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（）. A a B b C 1 Dba +4、小于30的素数的个数（）. A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有（）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定二、计算题（每题10分，共30分） 1、求24871与3468的最大公因数?2、求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=?三、证明题（每题10分，共40分） 1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0. 2、证明对于任意整数n ,数62332nnn ++是整数.3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.答案一、单项选择题C D C A C A 二、计算题 3、求24871与3468的最大公因数?解： 24871=3468⨯7+5953468=595⨯5+493 595=493⨯1+102 493=102⨯4+85 102=85⨯1+17 85=17⨯5,所以,(24871,3468)=17. 4、求[24871,3468]=?解：因为（24871,3468）=17 所以 [24871,3468]=17346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。

3、求[136,221,391]=?解： [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136⨯]=[1768,391]=173911768⨯=104⨯391=40664.三、证明题 5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.证明：首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即r q b a '+'=,br '≤0.所以rbq r q b +='+',即()r r q q b '-=-',r r q q b '-=-'.又由于br ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立. 因此q q '=,r r'=.其次证明存在性.我们考虑整数的有序列……,,3,2,,0,,2,3b b b b b b ---……则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使()bq a qb 1+≤ .我们设qb a r -=,则有r bq a +=,br ≤0.6、证明对于任意整数n ,数62332nnn ++是整数.证明：因为62332nnn ++=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n ,而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n ,即62332nnn ++是整数.7、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.证明：因为=-121a a a a n n 12211101010a a a a n n n n +⨯++⨯+⨯--- ,n n a a a a 121- =n n n n a a a a +⨯++⨯+⨯---10101012211 ,所以,121a a a a n n --n n a a a a 121- =).101()101(10)110(10)110(1132311------+-⨯++-⨯+-⨯n n n n n n a a a a而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立. 8、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.证明: 设相邻两个偶数分别为)22(,2+n n 所以)22(2+n n =)1(4+n n 而且两个连续整数的乘积是2的倍数即)1(4+n n 是8的倍数.。

初等数论习题

初等数论练习题1、()=320011 ()10，()=107137 ()2。

2、()=531404 ()10，()=1021580()8 3、比较()21011011与()41203的大小。

4、求证：对于任意整数n m ,，必有1616+≠-n m 。

5、如果n 是一个自然数，则()1+n n 是（填“奇数”或“偶数”）6、若b a ,两数的和与积均为偶数，则b a ,的奇偶性是。

7、若a 除以b 商c 余r ，则am 除以bm 商余。

8、设4>n ，且()()2434+-n n ，求n 。

9、设()223b a +，证明a 3且b 310证明：若()()pq mn p m +-，则()()np mq p m +-。

11、若23++n m 是偶数，试判定()()200311+--n m 是奇数还是偶数。

12、求证：若b a ，a b ，则b a ±=。

11、设b a ,是正整数，且b a ≤，若5776=ab ，()31,=b a ，求b a ,。

13、设b a ,是正整数，且b a ≤，若50=+b a ，()5,=b a ，求b a ,。

14、如果p 是素数，a 是整数，则有()1,=p a 或者____ ___ 15、()=204,360 ，[]=204,360 。

16、若()()24,4,==b a ，则()=+4,b a 。

17、写出1500的标准分解式是，60480的标准分解式为 18、541是。

（填“质数”或“合数”）19、设()1,=n m ，求证：()()()n d m d mn d =，()()()n S m S mn S =。

20、计算()430d ，()430S 。

21、求！100末尾0的个数。

22、求13除486的余数。

23、写出模9的一个完全剩余系，使其中每个数都是奇数。

24、写出模9的一个完全剩余系，使其中每个数都是偶数。

25、若()1,=m a ，求证：若x 通过模m 的简化剩余系，则ax 通过模m 的简化剩余系。

初等数论期末练习

初等数论期末练习一、单项选择题2、如果（a,b） = l9则（ab,a + b）=（）・A aB bC 1D a + b3、小于30的素数的个数（）•A 10B 9C 8D 74、如果a = /?（mod 〃?），c是任意整数，则A ac =B a = bC ac T bc（modm）D a * b5、不定方程525x+231y = 210 （）.A有解B无解C有正数解D有负数解6、整数5874192能被（）整除.A 3 B3 与9 C 9 D3 或98、公因数是最大公因数的（）.A因数E倍数C相等D不确定9、大于20且小于40的素数有（）•A4个E5个C2个D3个11、因为（）,所以不定方程12v+15>- = 7没有解.A [12, 15]不整除7B （12, 15）不整除7C 7不整除（12, 15 ）D 7不整除[12, 15]二、填空题1、有理数纟，0YdYb,（m）= l,能写成循环小数的条件是（）・b2、同余式1力+15三0（mod45）有解，而且解的个数为（）.3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为（）.4、设“是一正整数，Euler函数久“）表示所有（）“，而且与“（）的正整数的个数.5、设a,b 整数，则（a,b）（）= ab.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、x = [x] +（）.8、同余式llLv = 75（mod321）有解，而且解的个数（）.9、在176与545之间有（）是17的倍数.10、如果肋A0,则[d,b]（d,b）=（）.11、a,b的最小公倍数是它们公倍数的（）.12、如果（a,b） = l,那么（ab,a+b）=（）.三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程107A-+37J =25. （8分）$429、3、求—L其中563是素数•（8分）4、解同余式lllx三75(mod321)・(8分)5、求[525,231]=?6、求解不定方程6.v-lly = 18.7、判断同余式A2 =365(modl847)是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个〃位数①“一…你①与其按逆字码排列得到的数勺①…的差必是9的倍数.(11分)2、证明当〃是奇数时，有3怦+1)・(10分)3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘枳，仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积，也是一个两个平方数和的数.(11分)4、如果整数“的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果("是两个整数上A0,则存在唯一的整数对如•，使得a = bq+r^中0"Yd《初等数论》期末练习答案一、单项选择题2、C3、A4、A5、A6、E 8、A 9、A 11、B二、填空题1、有理数纟，0YdYb,(m)= l,能写成循环小数的条件是((M0) = l )・b2、同余式1S+15三0(mod45)有解，而且解的个数为(3 ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为(41 ).4、设〃是一正整数，Euler函数处“)表示所有(不大于"，而且与“(互素)的正整数的个数.5、设整数,则(a,b) ( [a,b] ) = ab.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的(十进位)数码的和能被3整除.7、X =[A]+({x} ).8、同余式llLz75(mod321)有解,而且解的个数(3 ).9、在176与545之间有(12 )是17的倍数.10、如果ab >■ 0,则[«,/?](«, b) =( ab ).11、a,b的最小公倍数是它们公倍数的(因数).12、如果(a,b) = l,那么(",a + b)=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?解：因为(24871,3468) =17所以[24871,3468]= 24871x3468 17=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。

（完整版）初等数论练习题二（含答案）

（完整版）初等数论练习题二（含答案）《初等数论》期末练习一、单项选择题1 如果 ba , a b ，则().A a b Bab2、如果 3n , 5n ，贝U 15 (A 整除B 不整除 C3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果a b （modm ） ,c 是任意整数贝UA ac bc(modm)B a bC ac bc(mod m) Dab5、如果(),则不定方程ax by c 有解.A (a,b) cB c(a, b)C a cD (a, b)a6、整数5874192能被()整除.A 3B 3 与 9C 9D 3 或 97、如果 2n , 15n ，贝U 30( ) n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定& 大于10且小于30的素数有（). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个9、模5的最小非负兀全剩余系是（ ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、整数637693能被（）整除. A 3 B 5C 7D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）. 2、同余式ax b O （modm ）有解的充分必要条件是（）.8、如果同余式ax b O （modm ）有解，则解的个数（）. 9、在176与545之间有（）是13的倍数.10、如果 ab 0 则［a,b ］（a,b ）=（）. Cab Dab ）n . 等于 D 不一定 3、如果a,b 是两个正整数，则不大于 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的6、如果a,b 是两个正整数，则存在a 而为b 的倍数的正整数的个数为（）.，则a 被p 整除或者（）.（）. ）整数 q, r ,使 a bq r, 0 r b. y 2有（）.11、如果（a,b） 1,那么（ab,a b）=（）.二、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程9x 21y 144.3、解同余式12x 15 0(mod45).4294、求——,其中563是素数.(8分)5635、求[24871,3468]=?6、求解不定方程6x 17y 18.7、解同余式111x 75(mod321).8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数2n nn，数3 23—是整数.62、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如4n 1的整数不能写成两个平方数的和4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的)2、同余式ax b 0(modm)有解的充分必要条件是 ((a,m)b ).3、如果a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ([-]). b4、如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者(与p 互素).5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果a,b 是两个正整数，则存在(唯一)整数q, r ,使a bq r, 0 rb.7、设p 是素数，则不定方程p x 2 y 2有(唯一解 ).8、如果同余式ax b 0(mod m)有解，则解的个数((a, m)).9、在176与545之间有(28 )是13的倍数.10、如果 ab 0 则[a,b](a,b)=( ab ).11、如果(a,b) 1,那么(ab, a b)=(1). 三、计算题1、求[136,221,391]=? （ 8 分）解[136,221,391]=[[136,221],391]=[1768,391] 1768 391 17=104 391 =40664.解：因为(9，21)=3， 3144，所以有解;化简得3x 7y 48 ；考虑 3x 7y 1，有 x 2, y 1，所以原方程的特解为 x 96, y 48，因此，所求的解是 x 96 7t, y 48 3t,t Z 。

初等数论试题库

初等数论一、填空1、d （1000）= 。

φ（1000）= 。

(10174)=______ 。

2、ax+bY=c 有解的充要条件是。

3、20022002被3除后余数为。

4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X —2Y+3Z]可能的值为。

5、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（nP ）= 。

6、高斯互反律是。

7、两个素数的和为31，则这两个素数是。

8、带余除法定理是。

9、d （37）= 。

σ（37）= 。

10、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（nP ）= 。

11、不能表示成5X+3Y （X 、Y 非负）的最大整数为。

12、7在2004！中的最高幂指数是。

13、（1501 ，300）= 。

14、)(mod m b ax ≡有解的充要条件是。

15、威尔逊定理是。

16、写出6的一个绝对值最小的简化系。

17、50506666688888⨯被7除后的余数为。

18、d （31）= 。

σ（3600）= 。

19、四位数13AA 被9整除，则A= 。

20、17X+2Y=3通解为。

21、费尔马大定理是。

22、写出12的一个简化系，要求每项都是5的倍数。

23、{}4.2-= 。

24、128574.0 化为分数是。

25、15！的标准分解是。

26、1000到2003的所有整数中13的倍数有个。

27、 σ（29）= .28、不能表示成y x 45+（y x ,为非负整数）的最大整数为 .29、7在2008！的标准分解式中的最高幂指数是 . 30、2005和2006的最小公倍数是 . 31、威尔逊定理是 .32、设1>x 为整数且被4、5、7除后的余数都为3，则最小的x 是 . 33、已知（a ，b ）=1，则（5a+3b ，13a+8b ）=__________.34、1，4，9，16,…10000这100个平方数中是3的倍数的平方数有个. 35、若今天是星期日, 则1010天后的那一天是星期__________.36、20053的末二位数是________. 37、d （1200）= 。

初等数论习题

《初等数论》习题Gonao第一章整除理论第一节数的整除性例1 设r 是正奇数，证明：对任意的正整数n ，有n + 2|/1r + 2 r + " + n r 。

例2 设A = { d 1, d 2, ", d k }是n 的所有约数的集合，则B =}{,,,21kd n d n d n "也是n 的所有约数的集合。

例3 以d (n )表示n 的正约数的个数，例如：d (1) = 1，d (2) = 2，d (3) = 2，d (4) = 3，" 。

问：d (1) + d (2) + " + d (1997)是否为偶数？例4 设凸2n 边形M 的顶点是A 1, A 2, ", A 2n ，点O 在M 的内部，用1, 2, ", 2n 将M 的2n 条边分别编号，又将OA 1, OA 2, ", OA 2n 也同样进行编号，若把这些编号作为相应的线段的长度，证明：无论怎么编号，都不能使得三角形OA 1A 2, OA 2A 3, ", OA 2n A 1的周长都相等。

例5 设整数k ≥ 1，证明：(ⅰ) 若2k ≤ n < 2k + 1，1 ≤ a ≤ n ，a ≠ 2k ，则2k |/a ； (ⅱ) 若3k ≤ 2n − 1 < 3k + 1，1 ≤b ≤ n ，2b − 1 ≠ 3k ，则3k |/2b − 1。

例6 证明：存在无穷多个正整数a ，使得n 4 + a （n = 1, 2, 3, "）都是合数。

例7 设a 1, a 2, ", a n 是整数，且a 1 + a 2 + " + a n = 0，a 1a 2"a n = n ，则4⏐n 。

例8 若n 是奇数，则8⏐n 2 − 1。

例9 d (1)2 + d (2)2 + " + d (1997)2被4除的余数是多少？例10 证明：方程a 12 + a 22 + a 32 = 1999 无整数解。

(完整版)初等数论练习题答案

初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=12;(2420)=_880_ϕ2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。

.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。

7、18100被172除的余数是_256。

8、 =-1。

⎪⎭⎫⎝⎛103659、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为 p-1 。

二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。

解：因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)，同余方程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。

2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-∙--∙-（）（）（）（），（）（）（）（，（（）（）（（）（解：故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。

初等数论习题集答案

初等数论习题集答案初等数论习题集答案数论作为数学的一个分支，研究的是整数的性质和关系。

初等数论是数论中的一个重要分支，它主要研究整数的基本性质和简单的数学关系。

在学习初等数论的过程中，习题集是一个非常好的辅助工具，通过解答习题可以加深对数论知识的理解和掌握。

本文将为大家提供一些初等数论习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 证明：若a和b是整数，且a|b，则|a|≤|b|。

证明：根据整除的定义，如果a|b，那么存在一个整数k，使得b=ak。

由此可得：|b|=|ak|=|a||k|。

由于k是一个整数，所以|k|≥1，因此有|b|≥|a|。

2. 证明：若a、b和c是整数，且a|b，b|c，则a|c。

证明：根据整除的定义，如果a|b，那么存在一个整数k1，使得b=ak1。

同理，如果b|c，那么存在一个整数k2，使得c=bk2。

将b的表达式代入c的表达式中，得到c=(ak1)k2=ak1k2。

由此可见，c也是a的倍数，即a|c。

3. 证明：如果一个整数能被2和3整除，那么它一定能被6整除。

证明：假设一个整数能被2和3整除，那么可以分别表示为2m和3n，其中m和n是整数。

将2m和3n相加得到2m+3n=6(m/2+n/3)，由此可见，这个整数可以被6整除。

4. 证明：如果一个整数的平方是偶数，那么这个整数本身就是偶数。

证明：假设一个整数的平方是偶数，那么可以表示为n^2=2m，其中n和m是整数。

如果n是奇数，那么可以表示为n=2k+1，其中k是整数。

将n代入n^2=2m中，得到(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1，由此可见，这个整数的平方是奇数，与题设矛盾。

因此，假设不成立，这个整数本身一定是偶数。

5. 证明：对于任意的正整数n，n^2+n+1一定不能被2整除。

证明：假设n^2+n+1能被2整除，那么可以表示为n^2+n+1=2m，其中n和m是整数。

将n^2+n+1拆开得到n(n+1)+1=2m，由此可见，左边是一个奇数加上1，得到一个偶数。

初等数论试题库

初等数论一、填空1、d （1000）= 。

φ（1000）= 。

(10174)=______ 。

2、ax+bY=c 有解的充要条件是。

3、20022002被3除后余数为。

4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X —2Y+3Z]可能的值为。

5、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（nP ）= 。

6、高斯互反律是。

7、两个素数的和为31，则这两个素数是。

8、带余除法定理是。

9、d （37）= 。

σ（37）= 。

10、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（nP ）= 。

11、不能表示成5X+3Y （X 、Y 非负）的最大整数为。

12、7在2004！中的最高幂指数是。

13、（1501 ，300）= 。

14、)(mod m b ax ≡有解的充要条件是。

15、威尔逊定理是。

16、写出6的一个绝对值最小的简化系。

17、50506666688888⨯被7除后的余数为。

18、d （31）= 。

σ（3600）= 。

19、四位数13AA 被9整除，则A= 。

20、17X+2Y=3通解为。

21、费尔马大定理是。

22、写出12的一个简化系，要求每项都是5的倍数。

23、{}4.2-= 。

24、128574.0 化为分数是。

25、15！的标准分解是。

26、1000到2003的所有整数中13的倍数有个。

初等数论习题集

初等数论习题集《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。

2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。

第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。

2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。

3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。

4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。

5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。

第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。

3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。

5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。

6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。

第 4 节1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。

4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。

5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。

初等数论试卷

一．填空题：1、(1859-, 1573)=1432、对于任意的正整数,a b ，有[,].(,)ab a b a b = 3、[]{}.x x x =+ 4、22345680的标准分解式是422345680235747283=⋅⋅⋅⋅⋅.5、整数集合A 中含有m 个整数，且A 中任意两个整数对于m 是不同余的，则整数集合A 是模m 的完全剩余系.6、设a 、b 是任意两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数个数为a b⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 7、素数写成两个平方数和的方法是唯一的. 8、不同剩余类中的任何两个不同整数对模m 是不同余的.9、n 元一次不定方程1122.n n a x a x a x c +++=……有解的充分必要条件是12().n a a a c +……10、初等数论按研究方法分为：初等数论、解析数论、代数数论、几何数论.11、数集合A 是模m 的简化剩余系的充要条件（1）A 中含有()f m 个整数；（2）任意两个整数对模m 不同余；（3）A 中每个整数都与m 互素；12、设n 是正整数1321222,,.........,n n n n c c c -的最大公约数为12k + 13、若(,)1a b =，则(,)(,)a bc a c =.14、81234被13除的余数是12. 15、模7的最小非负完全剩余系是0、1、2、3、4、5、6.二、判断题：1、若n 为奇数，则8|21n -。

（ √ ）2、设n 、k 是正整数k n 与4k n +的个位数字不一定相同。

（ × ）3、任何大于1的整数a 都至少有一个素因数. （ √ ）4、任何一个大于1的合数与a 的素因数. （ √ ）5、任意给出的五个整数中必有三个数之和能被整数3整除. （ √ ）6、最大公约数等于1是两两互素的必要而不充分条件. （ √ ）7、设p 是素数，a 是整数，则p a 或(,) 1.p a = （ √ ）8、如果12,n a a a ……是互素的，则12,n a a a ……一定两两互素（ ×）9、设p 是素数，若p ab ，则p a 且.p b （ × ）10、（刘维尔定理）设p 是素数，则(1)p -！1(mod )p ≡- （ √ ）11、m 是正整数(,)1a m =，则()1(mod ).m a m ϕ≡（ √ ）12、由于每个非零整数的约数个数是有限的，所以最大的公约数存在，且正整数。

初等数论练习题

初等数论练习题一一、填空题1、τ(2420)=27； ϕ(2420)=_880_2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。

.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。

78、⎪⎭⎫ ⎝⎛10365 = -1 。

9、若p 是素数，则同余方程xp - 1 ≡1(mod p)二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。

2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-∙--∙-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解：故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。

3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。

02013初等数论练习题及答案

02013初等数论练习题及答案初等数论练习题一一、填空题1、?(2420)=27；?(2420)=_880_2、设a，n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t，y=700+18t t?Z。

.6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_?(m)_。

7、18100被172除的余数是_256 。

8、??65?? = -1 。

?103?9、若p是素数，则同余方程x p ? 1 ?1(mod p)的解数为 p-1 。

二、计算题1、解同余方程：3x2?11x?20 ? 0 (mod 105)。

解：因105 = 3?5?7，同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 3)的解为x ? 1 (mod 3)，同余方程3x2?11x?38 ? 0 (mod 5)的解为x ? 0，3 (mod 5)，同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 7)的解为x ? 2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ? b1 (mod 3)，x ? b2 (mod 5)，x ? b3 (mod 7)，其中b1 = 1，b2 = 0，3，b3 = 2，6，孙子定理得原同余方程的解为x ? 13，55，58，100 (mod 105)。

2、判断同余方程x2≡42(mod 107)是否有解？237）1071071071071073?1107?17?1107?1 ??23107271072221，1，?221107107331077742??11072?3?7解：(42)??28除以111的最小非负余数。

解：易知1271≡50。

502 ≡58， 503 ≡58×50≡14，509≡143≡80知5028 ≡3×50≡803×50≡803×50≡68×50≡70 从而5056 ≡16。

初等数论练习题

m ，则 x1 m1x2 通过模 m 的完全剩余系。 mi m ，则 M1x1 M2x2 Mnxn 通过模 m 的既约剩余系。 mi
6、设 m1, m2, , mn 是两两互素的正整数， xi 分别通过模 mi 的既约剩余系（1 i n）， m = m1m2mn， Mi =
17 写成三个既约分数之和，它们的分母分别是 3，5 和 7。 105
3、求方程 7x1 3x2 = 41 的所有非负整数解。 4、求方程 x1 2x2 3x3 = 41 的所有正整数解。 5、求解不定方程组：
x1 2 x 2 3x3 7 2 x1 5 x 2 20x3 11
i 1 m
axi b } 1 (m 1) 。 m 2
24、求 (
71 ) 、 ( 91 ) 563 73
17、求出模 23 的所有的二次剩余和二次非剩余。 18、设 p 是奇素数，证明：模 p 的两个二次剩余的乘积是二次剩余；两个二次非剩余的乘积是二次剩余；一个二次剩余和一个二次非剩余的乘积是二次非剩余。 19、已知 563 是素数，判定方程 x2 429 (mod 563)是否有解。 20、求所有的素数 p，使得 (
7、设 n > 1。证明：n 是素数的充要条件是(n 1)! 1 (mod n)。 8、解同余方程 325x 20 (mod 161) 。 9、解同余方程 81x3 24x2 5x 23 0 (mod 7)。 10、解同余方程 18x 39 (mod 69)。
x b1 (mod5) x b2 (mod6) 11、解同余方程组： x b3 (mod7) x b4 (mod11) 。
( p 1)( p 2) ( p a 1) (mod p)。 a!

初等数论练习题标准答案

初等数论练习题一一、填空题1、d(24２0）=12; ϕ(24２0)＝_880_２、设ａ,n 是大于1的整数，若ａn －１是质数,则a=_2．3、模9的绝对最小完全剩余系是_{－4,-3,－2，-1,０,1,2,3,４}.4、同余方程９x+1２≡0（m ｏｄ３7）的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-2３y ＝１00的通解是x ＝９0０+２3t,ｙ＝7０0+18ｔ t ∈Z 。

.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(ｍ)_。

7、１81００被1７2除的余数是_256。

8、⎪⎭⎫ ⎝⎛10365 ＝－１。

9、若p 是素数，则同余方程ｘ p - 1 ≡1(mo ｄｐ)的解数为 p －1 。

二、计算题1、解同余方程：3ｘ2+１1x -20 ≡ ０ (ｍod 105)。

解:因1０５ = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+１1x -20 ≡ ０（m ｏd 3)的解为x ≡ 1 （mo ｄ３), 同余方程３x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0,3 (mod 5），同余方程3x 2+１1x -20 ≡ 0 (mo ｄ 7)的解为x ≡ 2,６ (ｍod 7）, 故原同余方程有4解。

作同余方程组:x ≡ b 1 (mod 3),x ≡ b 2 （mod 5),ｘ ≡ ｂ３ (mo ｄ 7）,其中b 1 ＝ 1,b 2 = 0，3，b 3 = 2,６,由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，5５,58,100 （mod 1０5）。

2、判断同余方程ｘ２≡4２(mod 107）是否有解?11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-•--•-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解：故同余方程x 2≡４2(mod 107)有解。

(完整版)初等数论练习题二(含答案)

《初等数论》期末练习一、单项选择题1 如果 ba , a b ，则().A a b Bab2、如果 3n , 5n ，贝U 15 (A 整除B 不整除 C3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果a b （modm ） ,c 是任意整数贝UA ac bc(modm)B a bC ac bc(mod m) Dab5、如果(),则不定方程ax by c 有解.A (a,b) cB c(a, b)C a cD (a, b)a6、整数5874192能被()整除.A 3B 3 与 9C 9D 3 或 97、如果 2n , 15n ，贝U 30( ) n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定& 大于10且小于30的素数有（). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个9、模5的最小非负兀全剩余系是（ ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、整数637693能被（）整除. A 3 B 5 C 7 D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）. 2、同余式ax b O （modm ）有解的充分必要条件是（）.8、如果同余式ax b O （modm ）有解，则解的个数（）. 9、在176与545之间有（）是13的倍数.10、如果 ab 0 则［a,b ］（a,b ）=（）. Cab Dab ）n . 等于 D 不一定 3、如果a,b 是两个正整数，则不大于 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的6、如果a,b 是两个正整数，则存在a 而为b 的倍数的正整数的个数为（）.，则a 被p 整除或者（）.（）. ）整数 q, r ,使 a bq r, 0 r b. y 2有（）.11、如果（a,b） 1,那么（ab,a b）=（）.二、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程9x 21y 144.3、解同余式12x 15 0(mod45).4294、求——,其中563是素数.(8分)5635、求[24871,3468]=?6、求解不定方程6x 17y 18.7、解同余式111x 75(mod321).8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数2n nn，数3 23—是整数.62、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如4n 1的整数不能写成两个平方数的和4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的)2、同余式ax b 0(modm)有解的充分必要条件是 ((a,m)b ).3、如果a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ([-]). b4、如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者(与p 互素).5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果a,b 是两个正整数，则存在(唯一)整数q, r ,使a bq r, 0 r b.7、设p 是素数，则不定方程p x 2 y 2有(唯一解 ).8、如果同余式ax b 0(mod m)有解，则解的个数((a, m)).9、在176与545之间有(28 )是13的倍数.10、如果 ab 0 则[a,b](a,b)=( ab ).11、如果(a,b) 1,那么(ab, a b)=(1). 三、计算题1、求[136,221,391]=? （ 8 分）解[136,221,391]=[[136,221],391]=[1768,391] 1768 391 17=104 391 =40664.解：因为(9，21)=3， 3144，所以有解;化简得3x 7y 48 ；考虑 3x 7y 1，有 x 2, y 1，所以原方程的特解为 x 96, y 48，因此，所求的解是 x 96 7t, y 48 3t,t Z 。

《初等数论》习题解答

《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。

2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。

第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。

2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。

3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。

4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。

5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。

第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。

3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。

5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。

6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。

第 4 节1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。

4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。

5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。

初等数论试题及答案大学

初等数论试题及答案大学一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个数是素数？A. 4B. 9C. 11D. 15答案：C2. 100以内最大的素数是：A. 97B. 98C. 99D. 100答案：A3. 一个数的最小素因子是3，那么这个数至少是：A. 3B. 6C. 9D. 12答案：B4. 以下哪个数是完全数？A. 6B. 28C. 496D. 8128答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个数的因数个数是______，那么这个数一定是合数。

答案：32. 如果一个数的各位数字之和是3的倍数，那么这个数本身也是3的倍数，这个性质称为______。

答案：3的倍数规则3. 欧拉函数φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，那么φ(10)等于______。

答案：44. 哥德巴赫猜想是指任何一个大于2的偶数都可以表示为两个______之和。

答案：素数三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：如果p是一个素数，那么2^(p-1) - 1是p的倍数。

证明：设p是一个素数，根据费马小定理，对于任意整数a，若p不能整除a，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

特别地，当a=2时，有2^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

这意味着2^(p-1) - 1是p的倍数。

2. 计算：求1到100之间所有素数的和。

答案：2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73 + 79 + 83 + 89 +97 = 1060四、综合题（每题10分，共20分）1. 已知a和b是两个不同的素数，证明：a + b至少有4个不同的素因子。

证明：设a和b是两个不同的素数，那么a和b至少有2个不同的素因子。

如果a + b是素数，那么a + b至少有3个不同的素因子。