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全等三角形压轴题训练(含答案)

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全等三角形压轴题

全等三角形压轴题

..全等三角形压轴题 31. 在△ABC 中，BC=AC ，∠BCA=900，P 为直线AC 上一点，过A 作AD ⊥BP 于D ，交直线BC 于Q ．（1）如图1，当P 在线段AC 上时，求证：BP=AQ ．（2）当P 在线段AC 的延长线上时，请在图2中画出图形，并求∠CPQ ． （3）如图3，当P 在线段CA 的延长线上时，∠DBA = 时，AQ =2BD ．2.我们知道三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形，反之，若经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两个三角形，那么这条直线平分三角形的这个顶点的对边．如图1，S △ABD=S △ ADC ，则BD=CD 成立．请你直接应用上述结论解决以下问题：（1）已知：如图2，AD 是△ABC 的中线，沿AD 翻折△ADC ，使点C 落在点E ，DE 交AB 于F ，若△ADE 与△ADB 重叠部分面积等于△ABC 面积的14，问线段AE 与线段BD 有什么关系？在图中按要求画出图形，并说明理由．（2）已知：如图3，在△ABC 中，∠ACB = 900 ，AC =2，AB =4，点D 是AB 边的中点，点P 是BC 边上的任意一点，连接PD ，沿PD 翻折△ADP ，使点A 落在E ，若△PDE 与△PDB 重叠部分的面积等于△ABP 面积的14，直接写出BP 的值．3. 在△ABC 中，已知D 为边BC 上一点，若,ABC x BAD y ∠=∠=.QCBPDA BAQB P DACB DAACB DAPDCBA备用图N M C AB N MC DA B 图 1B AQDC M PG图 2N F E （1）当D 为边BC 上一点，并且CD=CA ，40x =，30y =时，则AB _____ AC （填“=”或“≠”）；（2）如果把（1）中的条件“CD=CA ”变为“CD=AB ”，且x,y 的取值不变，那么（1）中的结论是否仍成立？若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由；（3）若CD= CA =AB ，请写出y 与x 的关系式及x 的取值围. （不写解答过程，直接写出结果）4. 在Rt △ABC 中，AC=BC ，P 是BC 垂直平分线MN 上一动点，直线PA 交CB 于点E ，F 是点E 关于MN 的对称点，直线PF 交AB 于点D ，连接CD 交PA 于点G. （1）如图1，若P 点在△ABC 的边BC 上时，此时点P 、E 、F 重合，线段AP 上的点Q 关于的对称点D 恰好在边AB 上，连接CQ ，求证：CQ 平分∠ACB ； （2）如图2，若点P 移到BC 上方，且∠CAP=22.5°，求∠CDP 的度数；（3）若点P 移动到△ABC 的部时，线段AE 、CD 、DF 有什么确定的数量关系，请画出图形，并直接写出结论： .5. 如图1，已知A （a ，0），B （0，b ）分别为两坐标轴上的点，且a 、b 满足221212720a b a b +--+=，OC ∶OA=1∶3. （1）求A 、B 、C 三点的坐标；DCBA..ADCBEEBCGFDA（2）若D （1，0），过点D 的直线分别交AB 、BC 于E 、F 两点，设E 、F 两点的横坐标分别为E F x x 、.当BD 平分△BEF 的面积时，求E F x x +的值；（3）如图2，若M （2，4），点P 是x 轴上A 点右侧一动点，AH ⊥PM 于点H ，在HM 上取点G ，使HG=HA ，连接CG ，当点P 在点A 右侧运动时，∠CGM 的度数是否改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由.6. 如图，点D 、E 分别在等边△ABC 的AB 、AC 上，且CD ＞BD ，AE ＞EC ，AD 和BE 相交于点F..（1）若∠BAD=∠CBE ，则AD BE ；（填“＞”、“=”、“＜”） （2）若AD=BE ，求证：∠BAD=∠CBE ；（3）在（2）的条件下，以AB 为边作如图所示的等边△ABG ，连接FG ，若FG=11，BF=3，请直接写出线段AF 的长度为 .7. 如图1，已知A （a ，0），B （0，b ）.（1）当a 、b 满足2288320a a b b -+-+=时，求∠BAO 的度数；（2）如图1，在（1）的条件下，点C 为线段AB 上一点（BC ＞CA ），以点C 为直角顶点，OC 为腰作等腰Rt △OCD ，连接BD ，求证：∠BDO=∠BCO ；A BCO yOxyx图 1图 2QF EDB A（3）如图2，△ABO 的两条角平分线AE 、BF 交于点Q ，若△ABQ 的面积为24，求四边形AFEB 的面积.8. 已知：点A 、C 分别是∠B 的两条边上的点，点D 、E 分别是直线BA 、BC 上的点，直线AE 、CD 相交于点P(1) 点D 、E 分别在线段BA 、BC 上① 若∠B ＝60°（如图1），且AD ＝BE ，BD ＝CE ，则∠APD 的度数为___________ ② 若∠B ＝90°（如图2），且AD ＝BE ，BD ＝CE ，求∠APD 的度数(2) 如图3，点D 、E 分别在线段AB 、BC 的延长线上，若∠B ＝90°，AD ＝BC ，∠APD ＝45°，求证：BD ＝CE9. 已知A(a ，0)、B(0，b)，且满足2a2＋b2＋4a －4b ＝－6，以A 为直角顶点，且以AB 为腰作等腰直角△ABC (1) 求C 点的坐标(2) 如图，若点C 在第二象限，点M 在BC 的延长线上，且AM ＝AN ，AM ⊥AN ，则CM 与BN 存在怎样的关系？请予以证明.(3) 如图，若点C在第二象限，以AB为边在直线AB的另一侧做等边△ABD，连接CD，过A作AF⊥BC于F，AF与CD交于点E，试判断线段CE、AE、CD 之间存在何种数量关系，并证明你的结论10.如图（1），已知A(0,a),B(b,0),且a,b满足a2+2ab+b2+（b+3)2=0,D为x轴上B点左边一动点，连AD,过A作AE⊥AD交x轴于F,且AE=AD,连BE交y轴于点P.(1) 求∠ABO的度数；(2)若AO=3OP,求E点的坐标;(3)如图（2）若C为线段BF(靠近B)的一个三等分点，且∠ACO=600,试求∠AFB的度数。

全等三角形压轴题及其详解

全等三角形压轴题及其详解

全等三角形压轴题1.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；（3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°﹣α=15°，求出即可．【解答】（1）解：∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α，∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°﹣α；（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC=BD，∠DBC=60°，∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB=BE，∴△ABE是等边三角形；（3）解：∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°﹣60°=90°，∵∠DEC=45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC=CE=BC，∵∠BCE=150°，∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°，∵∠EBC=30°﹣α=15°，∴α=30°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向三角形外作等边△ABD和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．【解答】证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3.在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60度．小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．【分析】本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解．先根据直角三角形的性质，等边三角形的性质得到一些隐含的条件，然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等；再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想．【解答】解：（1）DF=EF．（2）猜想：DF=FE．证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB=90度．∵DA=DB，∠ADB=60度．∴AG=BG，△DBA是等边三角形．∴DB=BA．∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=AB=BG．在Rt△DBG和Rt△BAC中∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL）．∴DG=BC．∵BE=EC，∠BEC=60°，∴△EBC是等边三角形．∴BC=BE，∠CBE=60度．∴DG=BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．∵∠DFG=∠EFB，∠DGF=∠EBF，在△DFG和△EFB中∴△DFG≌△EFB（AAS）．∴DF=EF．（3）猜想：DF=FE．证法一：过点D作DH⊥AB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则∠DHB=90度．∵DA=DB，∴AH=BH，∠1=∠HDB．∵∠ACB=90°，∴HC=HB．在△HBE和△HCE中∴△HBE≌△HCE（SSS）．∴∠2=∠3，∠4=∠BEH．∴HK⊥BC．∴∠BKE=90°．∴∠3+∠ABC=90°∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC，∴∠HDB=∠BEH=∠ABC．∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°，∴∠3=∠DBH∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°=∠DHB又∵HB是公共边，所以△DBH≌△EHB∴DH=BE同理可以证明△DHF≌△EBF∴DF=EF．4.已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是QE=QF；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【分析】（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；（3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．【解答】解：（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，理由是：∵Q为AB的中点，∴AQ=BQ，∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，在△AEQ和△BFQ中∴△AEQ≌△BFQ，∴QE=QF，故答案为：AE∥BF，QE=QF；（2）QE=QF，证明：延长EQ交BF于D，∵由（1）知：AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△AEQ和△BDQ中∴△AEQ≌△BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF；，（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，证明：延长EQ交FB于D，如图3，∵由（1）知：AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△AEQ和△BDQ中∴△AEQ≌△BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF．5.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，点E为直线AC上一点，D为直线BC上的一点，且DA=DE．当点D在线段BC上时，如图①，易证：BD+AB=AE；当点D在线段CB的延长线上时，如图②、图③，猜想线段BD，AB和AE之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【分析】图②中，论：BD+AE=AB，作EM∥AB交BC于M，先证明△EMC是等边三角形得CE=CM，AE=BM，再证明△ABD≌△DEM，得DB=EM=MC由此可以对称结论．图③中，结论：BD﹣AE=AB，证明方法类似．【解答】解；如图②中，结论：BD+AE=AB．理由：作EM∥AB交BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，∴△CME是等边三角形，∴CE=CM=EM，∠EMC=60°，∴AE=BM，∵DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，∴∠BAC+∠DAB=∠C+∠EDM，∴∠DAB=∠EDM，∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，∴∠ABD=∠DME，在△ABD和△DEM中，，∴△ABD≌△DEM，∴DB=EM=CM，∴DB+AE=CM+BM=BC=AB．如图③中，结论：BD﹣AE=AB．理由：作EM∥AB交BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，∴△CME是等边三角形，∴CE=CM=EM，∠EMC=∠MEC=60°，∴AE=BM，∵DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，∴∠C+∠ADC=∠MEC+∠EDDEM，∴∠ADB=∠DEM，∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，∴∠ABD=∠DME，在△ABD和△DEM中，，∴△ABD≌△DME，∴DB=EM=CM，∴DB﹣AE=CM﹣BM=BC=AB．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意形变证明方法基本不变，属于中考常考题型．6.如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰△ABE中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠AEB．（2）如图3，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据等边对等角可得∠EAB=∠EBA，根据四边形ABCD是互补等对边四边形，可得AD=BC，根据SAS可证△ABD≌△BAC，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质即可证明；（2）仍然成立；理由如下：如图所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，证明△AGD≌△BFC，得到AG=BF，又AB=BA，所以△ABC≌△BAF，得到∠ABD=∠BAC，根据∠ADB+∠BCA=180°，得到∠EDB+∠ECA=180°，进而得到∠AEB+∠DHC=180°，由∠DHC+∠BHC=180°，所以∠AEB=∠BHC．因为∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，所以∠ABD=∠BAC=∠AEB．【解答】解：（1）∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，在△ABD和△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（SAS），∴∠ADB=∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠ADB=∠BCA=90°，在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA==90°﹣∠AEB，∴∠ABD=90°﹣∠EAB=90°﹣（90°﹣∠AEB）=∠AEB，同理：∠BAC=∠AEB，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB；（2）仍然成立；理由如下：如图③所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，又∠ADB+ADG=180°，∴∠BCA=∠ADC，又∵AG⊥BD，BF⊥AC，∴∠AGD=∠BFC=90°，在△AGD和△BFC中，∴△AGD≌△BFC，∴AG=BF，在△ABG和△BAF中，∴△ABG≌△BAF，∴∠ABD=∠BAC，∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠EDB+∠ECA=180°，∴∠AEB+∠DHC=180°，∵∠DHC+∠BHC=180°，∴∠AEB=∠BHC．∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据SAS证明△ABD≌△BAC．7.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．【分析】（1）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，从而得出结论；（2）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CE﹣CD；（3）先根据条件画出图形，根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CD﹣CE．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE．∵BC=BD+CD，AC=BC，∴AC=CE+CD；（2）AC=CE+CD不成立，AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CE﹣CD．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE∴CE﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，∴AC=CE﹣CD；（3）补全图形（如图）AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CD﹣CE．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE．∵BC=CD﹣BD，∴BC=CD﹣CE，∴AC=CD﹣CE．【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．8.如图，已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE．G、F分别是DC与BE的中点．（1）求证：DC=BE；（2）当∠DAB=80°，求∠AFG的度数；（3）若∠DAB=α，则∠AFG与α的数量关系是．【分析】（1）根据等式的性质就可以得出∠DAC=∠BAE．就可以得出△ADC≌△ABE就可以得出DC=BE；（2）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以求出∠AFG的值，（3）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以表示∠AFG与a的关系．【解答】解：（1）∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE．在△ADC和△ABE中，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴DC=BE；（2）连接AG．∵△ADC≌△ABE，∴∠ADC=∠ABE．AD=AB．∵G、F分别是DC与BE的中点，∴DG=DC，BF=BE，∴DG=BF．在△ADG和△ABF中，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠AGF=∠AFG，∠DAG﹣∠BAG=∠BAF﹣∠BAG，∴∠DAB=∠GAF．∵∠DAB=80°，∴∠GAF=80°．∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，∴∠AFG=50°．答：∠AFG=50°；（3）∵∠DAB=α，∴∠GAF=α．∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，∴α+2∠AFG=180°，∴∠AFG=90°﹣α．故答案为：∠AFG=50°，90°﹣α．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形内角和定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．9.△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD=60°．（1）如图1，求证：BD=CE；（2）如图2，FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA、HC，求证：∠AHC=60°；（3）在（2）的条件下，若AD=2BD，FH=9，求AF长．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠C=∠ABE=60°，根据SAS推出△ABE≌△BCD，即可证得结论；（2）根据角平分线的性质定理证得CM=CN，利用∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，得出∠CEM=∠CGN，然后根据AAS证得△ECM≌△GCN，得出CG=CE，EM=GN，∠ECM=∠GCN，进而证得△AMC≌△HNC，得出∠ACM=∠HCN，AC=HC，从而证得△ACH是等边三角形，证得∠AHC=60°；（3）在FH上截取FK=FC，得出△FCK是等边三角形，进一步得出FC=KC=FK，∠ACF=∠HCK，证得△AFC≌△HKC得出AF=HK，从而得到HF=AF+FC=9，由AD=2BD 可知AG=2CG，再由=，根据等高三角形面积比等于底的比得出===2，再由AF+FC=9求得．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACE=60°BC=AC，∵∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∴∠BCD=∠CAE，在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD（ASA），∴BD=CE；（2）如图2，作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，∵∠EFC=∠AFD=60°∴∠AFC=120°，∵FG为△AFC的角平分线，∴∠CFH=∠AFH=60°，∴∠CFH=∠CFE=60°，∵CM⊥AE，CN⊥HF，∴CM=CN，∵∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，∴∠CEM=∠CGN，在△ECM和△GCN中∴△ECM≌△GCN（AAS），∴CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，∴∠MCN=∠ECG=60°，∵△ABE≌△BCD，∵AE=CD，∵HG=CD，∴AE=HG，∴AE+EM=HG+GN，即AM=HN，在△AMC和△HNC中∴△AMC≌△HNC（SAS），∴∠ACM=∠HCN，AC=HC，∴∠ACM﹣∠ECM=∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE=∠HCG=60°，∴△ACH是等边三角形，∴∠AHC=60°；（3）如图3，在FH上截取FK=FC，∵∠HFC=60°，∴△FCK是等边三角形，∴∠FKC=60°，FC=KC=FK，∵∠ACH=60°，∴∠ACF=∠HCK，在△AFC和△HKC中∴△AFC≌△HKC（SAS），∴AF=HK，∴HF=AF+FC=9，∵AD=2BD，BD=CE=CG，AB=AC，∴AG=2CG，∴==，作GW⊥AE于W，GQ⊥DC于Q，∵FG为△AFC的角平分线，∴GW=GQ，∵===，∴AF=2CF，∴AF=6．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，找出辅助线根据全等三角形和等边三角形是解题的关键．10.如图1，△ABE是等腰三角形，AB=AE，∠BAE=45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD=CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：AD=BE；（2）试说明AD平分∠BAE；（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE．（2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，得到∠BPD=∠DCA=90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE；（3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP=∠ACF，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE．【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE=45°，∴∠CBA=∠CAB，∴BC=CA，在△BCE和△ACD中，∴△BCE≌△ACD，∴AD=BE．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC=∠DAC，∵∠BDP=∠ADC，∴∠BPD=∠DCA=90°，∵AB=AE，∴AD平分∠BAE．（3）AD⊥BE不发生变化．如图2，∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC=∠DAC，∵∠BFP=∠ACF，∴∠BPF=∠ACF=90°，∴AD⊥BE．【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BCE≌△ACD．11.情境观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．①写出图1中所有的全等三角形△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②线段AF与线段CE问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．求证：AE=2CD．拓展延伸：如图3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，点D在AC上，∠EDC=∠BAC，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F．求证：DF=2CE．要求：请你写出辅助线的作法，并在图3中画出辅助线，不需要证明．【分析】情境观察：①由全等三角形的判定方法容易得出结果；②由全等三角形的性质即可得出结论；问题探究：延长AB、CD交于点G，由ASA证明△ADC≌△ADG，得出对应边相等CD=GD，即CG=2CD，证出∠BAE=∠BCG，由ASA证明△ADC≌△CBG，得出AE=CG=2CD即可．拓展延伸：作DG⊥BC交CE的延长线于G，同上证明三角形全等，得出DF=CG即可．【解答】情境观察：解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB②线段AF与线段CE的数量关系是：AF=2CE；故答案为：AF=2CE．问题探究：证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ADG=90°，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD=GD，即CG=2CD，∵∠BAC=45°，AB=BC，∴∠ABC=90°，∴∠CBG=90°，∴∠G+∠BCG=90°，∵∠G+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠BCG，在△ABE和△CBG中，，∴△ADC≌△CBG中（ASA），∴AE=CG=2CD．拓展延伸：解：作DG⊥BC交CE的延长线于G，如图3所示．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．12.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在分别运动到点B和点C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC=120度．（直接填写度数）【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°；（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°；（3）解：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．13.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．（1）试说明AH=BH（2）求证：BD=CG．（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系．【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一证明；（2）证明△ACG≌△CBD，根据全等三角形的性质证明；（3）证明△ACE≌△CBF即可．【解答】证明：（1）∵AC=BC，CH⊥AB，∴AH=BH；（2）∵ABC为等腰直角三角形，CH⊥AB，∴∠ACG=45°，∵∠CAG+∠ACE=90°，∠BCF+∠ACE=90°，∴∠CAG=∠BCF，在△ACG和△CBD中，，∴△ACG≌△CBD（ASA），∴BD=CG；（3）AE=EF+BF，理由如下：在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴AE=CF，CE=BF，∴AE=CF=CE+EF=BF+EF．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数；（2）设∠BAD=θ，①当θ为何值时，△DFG为等腰三角形；②△DFG有可能是直角三角形吗？若有，请求出相应的θ值；若没有，请说明理由．【分析】（1）由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；（2）①当GD=GF时，就可以得出∠GDF═80°，根据∠ADG=40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论；当DF=GF时，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，当DF=DG时，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，从而求出结论；②有条件可以得出∠DFG=80°，当∠GDF=90°时，就有40°+90°+40°+2θ=180°就可以求出结论，当∠DGF=90°时，就有∠GDF=10°，得出40°+10°+40°+2θ=180°求出结论．【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°．∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF∠BAD=∠FAD=θ，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，，∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．答：∠DFG的度数为80°；（2）①当GD=GF时，∴∠GDF=∠GFD=80°．∵∠ADG=40°+θ，∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，∴θ=10°．当DF=GF时，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=80°，∴∠FDG=∠FGD=50°．∴40°+50°+40°+2θ=180°，∴θ=25°．当DF=DG时，∴∠DFG=∠DGF=80°，∴∠GDF=20°，∴40°+20°+40°+2θ=180°，∴θ=40°．∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形；②当∠GDF=90°时，∵∠DFG=80°，∴40°+90°+40°+2θ=180°，∴θ=5°．当∠DGF=90°时，∵∠DFG=80°，∴∠GDF=10°，∴40°+10°+40°+2θ=180°，∴θ=45°∴当θ=5°或45°时，△DFG为直角三角形．【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B 作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：CD=2BE+DE．【分析】（1）通过证△AEB≌△AFC（SAS），得到AE=AF；（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G，通过证△BED≌△AGD（AAS），得到ED=GD，BE=AG，易证CF=BE=AG=GF．因为CD=DG+GF+FC，所以CD=DE+BE+BE，故CD=2BE+DE．【解答】证明：（1）如图，∵∠BAC=90°，AF⊥AE，∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，∴∠EAB=∠FAC，∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠EBA=∠ACF，∴在△AEB与△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE=AF；（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G．∵AG⊥EC，BE⊥CE，∴∠BED=∠AGD=90°，∵点D是AB的中点，∴BD=AD．∴在△BED与△AGD中，，∴△BED≌△AGD（AAS），∴ED=GD，BE=AG，∵AE=AF∴∠AEF=∠AFE=45°∴∠FAG=45°∴∠GAF=∠GFA，∴GA=GF，∴CF=BE=AG=GF，∵CD=DG+GF+FC，∴CD=DE+BE+BE，∴CD=2BE+DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．16.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②CM平分∠ACE．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC；②由题意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，，∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM=∠ECM，∴CM平分∠ACE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角．17.如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM ⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据两角夹边相等的两个三角形全等即可证明．（2）结论：NE﹣ME=CM．作DF⊥MN于点F，由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN，由△DEF≌△CEM，推出ME=EF，CM=DF，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠ABC=45°，CD⊥AB，∴∠ABC=∠DCB=45°，∴BD=DC，∵∠BDC=∠MDN=90°，∴∠BDN=∠CDM，∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM=90°﹣∠A=∠ACD，在△DBN和△DCM中，，∴△DBN≌△DCM．（2）结论：NE﹣ME=CM．证明：由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN．作DF⊥MN于点F，又ND⊥MD，∴DF=FN，在△DEF和△CEM中，，∴△DEF≌△CEM，∴ME=EF，CM=DF，∴CM=DF=FN=NE﹣FE=NE﹣ME．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．18.问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证明）特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证：△ABD≌△CAE．归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC 的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．【分析】特例探究：利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE．归纳证明：△ABD与△CAE全等．利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质以及三角形外角定理推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=120°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE；拓展应用：利用全等三角形（△ABD≌△CAE）的对应角∠BDA=∠AEC=32°，然后由三角形的外角定理求得∠BAD的度数．【解答】特例探究：证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）；解：归纳证明：△ABD与△CAE全等．理由如下：∵在等边△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，∴∠DBA=∠EAC=120°．在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）；拓展应用：∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=50°，∴∠EAC=∠DBC．在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BDA=∠AEC=32°，∴∠BAD=∠OBA﹣∠BDA=18°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．在证明两个三角形全等时，一定要找准对应角和对应边．19.情境创设：如图1，两块全等的直角三角板，△ABC≌△DEF，且∠C=∠F=90°，现如图放置，则∠ABE=90°．问题探究：如图2，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC形外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线HA的垂线，垂足分别为M、N，试探究线段EM和FN之间的数量关系，并说明理由．拓展延伸：如图3，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为一边，向△ABC形外作正方形ABME和正方形ACNF，连接E、F交射线HA于G点，试探究线段EG和FG之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）求出∠A=∠EDF，∠A+∠ABC=90°，推出∠EDF+∠ADC=90°，求出∠ADE的度数即可；（2）根据全等三角形的判定得出△EAM≌△ABH，进而求出EM=AH．同理AH=FN，因而EM=FN．（3）与（2）证法类似求出EG=FG，求出△EPG≌△FQG即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠EDF，∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠EDF+∠ADC=90°，∴∠ADE=180°﹣90°=90°，故答案为：90；（2）解：EM=FN，如图2，理由如下：∵Rt△ABE是等腰三角形，∴EA=BA，∠BAE=90°，∴∠BAH+∠MAE=90°，∵AH⊥BC，EM⊥AH，∴∠AME=∠AHB=90°，∴∠ABH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠MAE，在△EAM与△ABH中∴△EAM≌△ABH（AAS），∴EM=AH．同理AH=FN．∴EM=FN；（3）解：EG=FG，如图3，作EP⊥HG，FQ⊥HG，垂足分别为P、Q，由（2）可得EP=FQ，∵EP⊥HG，FQ⊥HG，∴∠EPG=∠FQG=90°，在△EPG和△FQG中∵，∴△EPG≌△FQG，∴EG=FG．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：①全等三角形的对应角相等，对应边相等，②全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．。

初二数学全等三角形压轴题

初二数学全等三角形压轴题

人教版数学八年级上册第十二章全等三角形压轴题训练1.已知，是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴左侧．如图，若的坐标是，点的坐标是，求点的坐标；如图，若点的坐标为，与轴交于点，求线段的长；如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，则、、间有怎样的数量关系？并说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，且，满足，且，是常数．直线平分，交轴于点．若的中点为，连接交于，求证：；如图，过点作，垂足为，猜想与间的数量关系，并证明你的猜想；如图，在轴上有一个动点在点的右侧，连接，并作等腰，其中，连接并延长交轴于点，当点在运动时，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．3.如图，点，分别在直线，上，，顶点在点右侧的两边分别交线段于，直线于，，，交直线于点．若平分，求证：；已知的平分线与的平分线交于点请把图形补完整，并证明：．4.解答下列问题：如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点求证：如图，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线上，、分别是、的外角已知，且求证：如图，在中，，点在边上，，点、在线段上，若的面积为，求与的面积之和．5.在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点与点，以为边作直角三角形，并且．如图，若点在第三象限，请构造全等，求出点的坐标；若点不在第三象限，请直接写出所有满足条件的点的坐标；在的条件下，过点作交轴于点，求证：．6.已知，点在上以的速度由点向点运动，同时点在上由点向点运动．它们运动的时间为．如图，，，若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；如图，将图中的“，”为改“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．7.如图，点，将一个的角尺的直角顶点放在点处，角尺的两边分别交轴、轴正半轴于，即，求证：平分；作的平分线交于点，过点作轴于，求的值；把角尺绕点旋转时，的值是否会发生变化？若发生变化请说明理由；若不变请求出这个值．8.画，并画的平分线．图图图将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的一条直角边与垂直，垂足为点，另一条直角边与交于点如图证明：；把三角尺绕点旋转，三角尺的两条直角边分别交、于点、如图，与相等吗？请直接写出结论：_____填，，；若点在的反向延长线上，其他条件不变如图，与相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由．9.如图，，点是的中点，直线于点，点在直线上，直线点以每秒个单位长度的速度，从点沿路径向终点运动，运动时间设为秒．如图，当时，作直线于点，此时与全等吗请说明理由．如图，当点在上时，作于点，于点．是否存在或与全等的时刻若存在，求出的值若不存在，请说明理由．连接，当时，求的长．10.如图，已知在四边形中，，点、分别是边、上的点，连接、、，．直接写出、、三者之间的数量关系____________________；若，猜想线段、、三者之间有怎样的数量关系？并加以证明；如图，若点、分别是、延长线上的点，且，其它条件不变时，猜想线段、、三者之间有怎样的数量关系？并加以证明．11.如图：在四边形中，，，，，分别是，上的点，且探究图中线段，，之间的数量关系。

全等三角形压轴题训练(含答案)

全等三角形压轴题训练(含答案)

《全等三角形》压轴题训练(1)1. 如图，在ABC 中，AD BC, CE AB , 垂足分别为D, E, AD ,CE 交于点H , EH 、EB 3, AE 4，则CH 的长是( )A. 4B. 5C. 1D. 22. 如图，在Rt ABC中， C 90 ，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC, AB 于点M , N ，再分别以M , N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC于点D ，若CD 4, AB 25 ，则ABD 的面积为( )A. 15B. 30C. 45D. 603. 如图，在Rt ABC 中， C 90 , AC 12, BC 6，一条线段PQ AB, P,Q 两点分别在线段AC 和以点A为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC和QPA 全等，则AP 的长为.4. 如图，AD // BC, AB BC, CD DE, CD E D,AD 2, BC 3，则ADE 的面积为.5. (1) 观察推理: 如图①，在ABC中，ACB 90 , AC BC , 直线l过点C，点A, B 在直线l 的同侧，BD l,AE l ，垂足分别为D, E. 求证: AEC CDB .(2) 类比探究: 如图②，在Rt ABC 中，ACB 90 , AC 4 ，将斜边AB 绕点A逆时针旋转90°至AB ，连接B C ，求AB C 的面积.(3) 拓展提升: 如图③，在EBC中， E ECB 60 , EC BC 3，点O 在B C 上，且O C 2，动点P 从点E沿射线EC以每秒1 个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段O P 绕点O逆时针旋转120°得到线段OF . 要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t .6. 【初步探索】(1) 如图①，在四边形ABCD 中，AB AD , B ADC 90 . E, F 分别是BC ,CD上的点，且EF BE FD . 探究图中BAE , FAD , EAF 之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法: 延长FD 到点G，使DG BE . 连接AG. 先证明ABE ADG ，再证AEF AGF ，可得出结论，他的结论应是.【灵活运用】(2) 如图②，在四边形ABCD 中，AB AD, B D 180 . E,F 分别是BC, CD 上的点，且EF BE FD ，上述结论是否仍然成立?请说明理由.【延伸拓展】(3) 如图③，在四边形ABCD中，ABC ADC 180 , AB AD . 若点E 在CB的延长线上，点F在C D 的延长线上，仍然满足EF BE FD ，请写出EAF 与DAB 的数量关系，并给出证明过程.(2)7. 如图，在ABC中，AB 12, BC 8, BD 是AC 边上的中线，则B D 的取值范围是( )A. 2 BD 8B. 3 BD 10C. 2 BD 10D. 4 BD 208. 如图，在锐角三角形ABC 中，AH 是B C 边上的高，分别以AB, AC 为一边，向外作正方形ABDE 和A CFG ，连接C E, BG 和EG, EG 与H A 的延长线交于点M ，下列结论:①BG CE ; ②BG CE ; ③AM 是AEG 的中线; ④EAM ABC . 其中正确结论的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 19. 如图，AB // CD ,O 是ACD 和BAC 的平分线的交点，且OE AC，垂足为E ,OE =2. 5 cm ，则AB 与CD 间的距离为cm.10. 如图，在ABC中， C 90 , BAC 45 ，点M 在线段AB 上，1 GMB A，2BG MG ，垂足为G, M G 与B C 相交于点H . 若M H = 8 cm ，则BG = cm.11. 如图，在ABC中A B AC 10cm, BC =8 cm, D 为A B 的中点，点P 在线段BC 上以 3 cm/s 的速度由点B向点C 运动，同时，点Q在线段CA上由点C 向点A以a cm/s的速度运动. 设运动的时间为t s.(1) 求CP的长;( 用含t的代数式表示)(2) 若以C,P,Q 为顶点的三角形和以B, D, P为顶点的三角形全等，且B和 C 是对应角，求 a 的值.12. 【问题提出】学习了三角形全等的判定方法( 即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法( 即“HL”) 后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示: 在ABC 和DEF 中，AC DF ,BC EF ，B E ，然后对B进行分类，可以分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况: 当B为直角时，ABC DEF .(1) 如图①，在ABC和DEF 中AC DF , BC EF , B E 90 ，根据，可以知道Rt ABC Rt DEF .第二种情况: 当B为钝角时，ABC DEF .(2) 如图②，在ABC 和DEF 中A C DF , BC EF , B E ，且B, E 都是钝角. 求证: ABC DEF .第三种情况: 当B为锐角时，ABC和DEF 不一定全等.(3) 在ABC 和DEF 中，AC DF ,BC EF ， B E , 且B, E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出DEF ，使DEF 和ABC不全等.( 不写作法，保留作图痕迹) (4) B 还要满足什A C D ,F B C ,E F B ,，E且B, E 都是锐角. 若，则ABC DEF .参考答案(1)1.C2. B3.6 或124. 15. (1) Q BD l , AE l∴BDC AEC 90∴Rt AEC中EAC ACE 90∵ACB 90 ，ECD 180∴DCB ACE 90∴EAC DCB在AEC 和CDB 中AEC CDBEAC DCBAC CB∴AEC CDB(2) 如图①，作B' D AC 于点D ，则ADB ' BCA 90∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB' ，∴AB' AB，B'AB 90即B'AC BAC 90∵在ACB中， B CAB 90∴ B B'A C在B'AD 和ABC中，ADB ' BCAB'A D BAB' BA∴B' A D ABC∴B'D AC 4∴1 1S AC B'D 4 4 8 AB 'C2 2(3) 如图②根据题意，画出图形.∵BC 3,OC 2∴OB BC OC 1∵线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF . ∴FOP 120 ，O P OF∴ 1 2 60∵在BCE中， E ECB 60∴OBF PCO 120∴在PCO中， 2 3 60∴ 1 3在BOF 和CPO中OBF PCO1 3OF PO∴BOF CPO∴EP EC PC 3 1 4∴点P 运动的时间4t 4(s)113.(1) BAE FAD EAF(2) 成立.理由：延长FD 倒点G，使得DG BE ，连接AG∵ADG ADC 180 ， B ADC 180 ∴ADG B在ABE 和ADG 中AB ADB ADGBE DG∴ABE ADG∴BAE DAG ，A E AG∵EF BE FD∴EF DG FD GF在AEF 和AGF 中AE AGAF AFEF GF∴AEF AGF∴EAF GAF∵GAF FAD DAG FAD BAE∴BAE FAD EAF(3)1EAF 180 DAB .2证明：在DC 的延长线上取一点G ，使得DG BE ，连接AG ∵ABC ADC 180 ，ABC ABE 180 ∴ADC ABE 在ADG 和ABE 中AD ABADG ABEDG BE∴ AG AE ， DAG BAE∵ EFBE FD ∴ EF DGFD∵ GF DG FD ∴ EF GF在 AEF 和 AGF 中EF GF AE AG AFAF∴ AEF AGF ∴EAF GAF ∵ EAFGAFGAE 360∴ 2 EAF ( GAB BAE ) 360 ∴ 2 EAF( GABDAG ) 360即 2 EAFDAB 360∴1 EAF 180 DAB2(2)14.C 2.A 2. 4. 4 3.7 (1)由题意，得 BP3t cm ， B C 8cm.∴CP BC BP (8 3t) cm.(2) 分两种情况讨论 : ①当 BD CP 时， BDP CPQ∵ AB 10cm ， D 为 A B 的中点∴1 BD AB 5 cm.2∴5 8 3t 解得t 1 ∵ BDP CPQ∴ BPCQ即3 1 a 11. 解得 a 3②当 BP CP 时， BDPCQP∴3t 83t ，解得t4 3∴BD CQ4即5a ，解得。

全等三角形的判定压轴题附答案

全等三角形的判定压轴题附答案

全等三角形压轴题一．选择题（共9小题）1．（2013•邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC第1题第2题第3题2．（2012•巴中）如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．A B=AC B．∠BAC=90°C．B D=AC D．∠B=45°3．（2011•南昌）如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是（）A．B D=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC C．∠B=∠C，BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC 4．（2011•梧州）如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA第4题第5题第6题5．（2009•武汉）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③=2；④．其中结论正确的是（）A．只有①②B．只有①②④C．只有③④D．①②③④6．（2008•沈阳）如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对7．（2002•鄂州）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③8．（2001•湖州）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）A．A B=3，BC=4，AC=8 B．A B=4，BC=3，∠A=30°C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D．∠C=90°，AB=69．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C；②∠B=∠D；③AE=CE；④BE=DE；⑤AD=CB．其中符合要求有（）A．2个B．3个C．4个D．5个第9题第10题第11题二．填空题（共7小题）10．（2013•柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=_________．11．（2011•郴州）如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有_________对全等三角形．12．（2010•钦州）如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，要使△ABC≌△BAD．你补充的条件是_________（只填一个）．第12题第14题第15题13．（2009•遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出_________个．14．（2009•湘潭）如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，已知DF∥BC，EF∥AB，请补充一个条件：_________，使△ADF≌△FEC．15．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有_________（填序号）．16．如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：_________，使△ABD≌△CBE．三．解答题（共8小题）17．（2012•河源）如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）求∠AEO的度数．18．（2009•铁岭）△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．①求证：△AEB≌△ADC；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．19．（2009•本溪）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=_________度；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．20．（2009•青海）请阅读，完成证明和填空．九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60度．请证明：∠NOC=60度．（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=_________，且∠DON=_________度．（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=_________，且∠EON=_________度．（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：_________．21．（2007•常州）已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF 为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．22．（2007•山西）如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论）23．（2006•绍兴）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）．对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C l，∠C=∠C l．求证：△ABC≌△A1B1C1．（请你将下列证明过程补充完整．）证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1．则∠BDC=∠B1D1C1=90°，∵BC=B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1．（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．24．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，求证：△CDE≌△EAF．2014年11月27日wcjzhoulan的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2013•邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC考点：全等三角形的判定；矩形的性质．专题：压轴题．分析：根据AD=DE，OD=OD，∠ADO=∠EDO=90°，可证明△AOD≌△EOD，OD为△ABE的中位线，OD=OC，然后根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形即可．解答：解：∵AD=DE，DO∥AB，∴OD为△ABE的中位线，∴OD=OC，∵在△AOD和△EOD中，，∴△AOD≌△EOD（SAS）；∵在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS）；∵△AOD≌△EOD，∴△BOC≌△EOD；故B、C、D均正确．故选A．点评：本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2012•巴中）如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．A B=AC B．∠BAC=90°C．B D=AC D．∠B=45°考点：全等三角形的判定．专题：压轴题．分析：此题是开放型题型，根据题目现有条件，AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，可以用HL判断确定，也可以用SAS，AAS，SSS判断两个三角形全等．解答：解：添加AB=AC，符合判定定理HL；添加BD=DC，符合判定定理SAS；添加∠B=∠C，符合判定定理AAS；添加∠BAD=∠CAD，符合判定定理ASA；选其中任何一个均可．故选：A．点评：本题主要考查了学生对三角形全等判断的几种方法的应用能力，既可以用直角三角形全等的特殊方法，又可以用一般方法判定全等，关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．3．（2011•南昌）如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是（）A．B D=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC C．∠B=∠C，D．∠B=∠C，BD=DC∠BAD=∠CAD考点：全等三角形的判定．专题：压轴题．分析：两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．解答：解：∵AD=AD，A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，故正确；B、当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，故正确；C、当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，故正确；D、当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，故错误．故选：D．点评：本题考查了全等三角形的几种判定方法．关键是根据图形条件，角与边的位置关系是否符合判定的条件，逐一检验．4．（2011•梧州）如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA考点：全等三角形的判定；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：首先根据角间的位置及大小关系证明∠BCD=∠ACE，再根据边角边定理，证明△BCE≌△ACD；由△BCE≌△ACD可得到∠DBC=∠CAE，再加上条件AC=BC，∠ACB=∠ACD=60°，可证出△BGC≌△AFC，再根据△BCD≌△ACE，可得∠CDB=∠CEA，再加上条件CE=CD，∠ACD=∠DCE=60°，又可证出△DCG≌△ECF，利用排除法可得到答案．解答：解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，∴在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE（SAS），故A成立，∴∠DBC=∠CAE，∵∠BCA=∠ECD=60°，∴∠ACD=60°，在△BGC和△AFC中，∴△BGC≌△AFC，故B成立，∵△BCD≌△ACE，∴∠CDB=∠CEA，在△DCG和△ECF中，∴△DCG≌△ECF，故C成立，故选：D．点评：此题主要考查了三角形全等的判定以及等边三角形的性质，解决问题的关键是根据已知条件找到可证三角形全等的条件．5．（2009•武汉）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③=2；④．A．只有①②B．只有①②④C．只有③④D．①②③④考点：全等三角形的判定；等边三角形的判定；直角梯形．专题：压轴题．分析：根据题意，对选项进行一一论证，排除错误答案．解答：解：由题意可知△ACD和△ACE全等，故①正确；又因为∠BCE=15°，所以∠ACE=45°﹣15°=30°，所以∠ECD=60°，所以△CDE是等边三角形，故②正确；∵AE=AE，△ACD≌△ACE，△CDE是等边三角形，∴∠EAH=∠ADH=45°，AD=AE，∴AH=EH=DH，AH⊥DE，假设AH=EH=DH=x，∴AE=x，CE=2x，∴CH=x，∴AC=（1+）x，∵AB=BC，∴AB2+BC2=[（1+）x]2，解得：AB=x，BE=x，∴==，故③错误；④∵Rt△EBC与Rt△EHC共斜边EC，∴S△EBC：S△EHC=（BE×BC）：（HE×HC）=（EC×sin15°×EC×cos15°）：（EC×sin30°×EC×cos30°）=（EC2×sin30°）：（EC2×sin60°）=sin30°：sin60°=1：=EH：CH=AH：CH，故④正确．故其中结论正确的是①②④．故选B．点评：本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识．注意对三角形全等，相似的综合应用．6．（2008•沈阳）如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，A．1对B．2对C．3对D．4对考点：全等三角形的判定；正方形的性质．专题：压轴题．分析：根据正方形的性质可得出：正方形的一条对角线平分一组对角，而且四边相等，根据边角边公理可证出△ABD≌△CBD，△ABF≌△CBF，△AFD≌△CFD，有三对全等的三角形，解答：解：∵AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，DF=DF；∴△ADF≌△CDF；同理可得：△ABF≌△CBF；∵AD=CD，AB=BC，BD=BD∴△ABD≌△CBD．因此本题共有3对全等三角形，故选C．点评：本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，是基础知识要熟练掌握．7．（2002•鄂州）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③考点：全等三角形的判定．专题：压轴题．分析：结合已知条件与全等三角形的判定方法进行思考，要综合运用判定方法求解．注意高的位置的讨论．解答：解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，∴△ADC≌△EDB，∴BE=AC，同理：B′E′=A′C′，∴BE=B′E′，AE=A′E′，∴△ABE≌△A′B′E′，∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，∴∠CAD=∠C′A′D′，∴∠BAC=∠B′A′C′，∴△BAC≌△B′A′C′．③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．故选A．点评：本题考查了全等三角形的判定方法；要根据选项提供的已知条件逐个分析，分析时看是否符合全等三角形的判定方法，注意SSA是不能判得三角形全等的．8．（2001•湖州）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）A．A B=3，BC=4，AC=8 B．A B=4，BC=3，∠A=30°C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D．∠C=90°，AB=6考点：全等三角形的判定．专题：作图题；压轴题．分析：要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得．解答：解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形；B、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；C、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形；D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．故选C．点评：此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不确定，当然不唯一．9．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C；②∠B=∠D；③AE=CE；④BE=DE；⑤AD=CB．其中符合要求有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：全等三角形的判定．专题：压轴题．分析：根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．解答：解：延长DA、BC使它们相交于点F．∵∠DAB=∠BCD，∠AED=∠BEC，∴∠B=∠D，又∵∠F=∠F，AB=CD，∴△FAB≌△FCD∴AF=FC，FD=FB，∴AD=BC∴△ADE≌△CBE①对同理可得②对∵AE=CE，AB=CD∴DE=BE又∵∠AED=∠BEC∴△ADE≌△CBE（SAS）③对同理可得④对连接BD，∵AD=CB，AB=CD，BD=BD，∴△ADB≌△CBD，∴∠A=∠C，∴△ADE≌△CBE故选D．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．难点在于添加辅助线来构造三角形全等．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．二．填空题（共7小题）10．（2013•柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=20．考点：全等三角形的性质．专题：压轴题．分析：先利用三角形的内角和定理求出∠A=70°，然后根据全等三角形对应边相等解答．解答：解：如图，∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，∵△ABC≌△DEF，∴EF=BC=20，即x=20．故答案为：20．点评：本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．11．（2011•郴州）如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有3对全等三角形．考点：全等三角形的判定．专题：压轴题．分析：根据题意，结合图形，可得知△AEB≌△ADC，△BED≌△CDE，△BOD≌△COE．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．解答：解：①△AEB≌△ADC；∵AE=AD，∠1=∠2=90°，∠A=∠A，∴△AEC≌△ADC；∴AB=AC，∴BD=CE；②△BED≌△CDE；∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵∠ADC=∠AEB，∴∠CDE=∠BED，∴△BED≌△CDE．③∵BD=CE，∠DBO=∠ECO，∠BOD=∠COE，∴△BOD≌△COE．故答案为3．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目12．（2010•钦州）如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，要使△ABC≌△BAD．你补充的条件是AC=BD或∠CBA=∠DAB（只填一个）．考点：全等三角形的判定．专题：压轴题；开放型．分析：根据已知条件在三角形中位置结合三角形全等的判定方法寻找条件．已知给出了一边对应相等，由一条公共边，还缺少角或边，于是答案可得．解答：解：欲证两三角形全等，已有条件：BC=AD，AB=AB，所以补充两边夹角∠CBA=∠DAB便可以根据SAS证明；补充AC=BD便可以根据SSS证明．故补充的条件是AC=BD或∠CBA=∠DAB．点评：本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．13．（2009•遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出7个．考点：全等三角形的判定．专题：压轴题．分析：只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一个，答案可得．解答：解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，所以一共能作出7个．故答案为：7．点评：本题考查了全等三角形的作法；做三角形时要根据全等的判断方法的要求，正确对每种情况进行讨论是解决本题的关键．14．（2009•湘潭）如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，已知DF∥BC，EF∥AB，请补充一个条件：AF=FC或DF=EC或AD=FE或F为AC中点或DF为中位线或EF为中位线或DE∥AC，使△ADF≌△FEC．考点：全等三角形的判定．专题：压轴题；开放型．分析：要使△ADF≌△FEC，现有条件是两平行线，可得三角形中两角对应相等，根据全等三角形的判定方法还需边对应相等，于是答案可得．解答：解：若添加AF=FC，已知DF∥BC，EF∥AB，得出∠ADF=∠ABC=∠FEC，∠AFD=∠C，可以根据AAS 来判定其全等，同理添加DF=EC，或AD=FC，均可以利用AAS来判定其全等．点评：本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．15．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有①②③（填序号）．考点：全等三角形的判定．专题：压轴题．分析：由已知条件，可直接得到三角形全等，得到结论，采用排除法，对各个选项进行验证从而确定正确的结论．解答：解：∵∠B+∠BAE=90°，∠C+∠CAF=90°，∠B=∠C∴∠1=∠2（①正确）∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF∴△ABE≌△ACF（ASA）∴AB=AC，BE=CF（②正确）∵∠CAN=∠BAM，∠B=∠C，AB=AC∴△ACN≌△ABM（③正确）∴CN=BM（④不正确）．所以正确结论有①②③．故填①②③．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．得到三角形全等是正确解决本题的关键．16．如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：BD=BE 或AD=CE或BA=BC，使△ABD≌△CEB．考点：全等三角形的判定．专题：压轴题；开放型．分析：要使△ABD≌△CEB，现有一对直角相等，根据全等三角形的判定方法进行分析，还需要一边对应相等，观察图形可得到答案．解答：解：已知∠B=∠B，∠BDA=∠BEC=90°，则再添加一个边相等即可，所以可添加BD=BE或AD=CE或BA=BC，从而利用AAS或ASA来判定△ABD≌△CEB，故答案为：BD=BE或AD=CE或BA=BC．点评：本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．三．解答题（共8小题）17．（2012•河源）如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）求∠AEO的度数．考点：全等三角形的判定．专题：证明题；压轴题．分析：（1）由已知可以利用AAS来判定其全等；（2）再根据等腰三角形三线合一的性质即可求得其为直角．解答：（1）证明：在△AOB和△COD中∵∴△AOB≌△COD（AAS）（2）解：∵△AOB≌△COD，∴AO=DO∵E是AD的中点∴OE⊥AD∴∠AEO=90°点评：此题考查了学生对全等三角形的判定及等腰三角形的性质的掌握，要熟练掌握这些性质并能灵活运用．18．（2009•铁岭）△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．①求证：△AEB≌△ADC；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．考点：全等三角形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，然后求出∠BAE=∠CAD，再利用“边角边”证明△AEB和△ADC全等；②四边形BCGE是平行四边形，因为△AEB≌△ADC，所以可得∠ABE=∠C=60°，进而证明∠ABE=∠BAC，则可得到EB∥GC又EG∥BC，所以四边形BCGE是平行四边形；（2）根据（1）的思路解答即可．（3）当CD=CB时，四边形BCGE是菱形，由（1）可知△AEB≌△ADC，可得BE=CD，再证明BE=CB，即邻边相等的平行四边形是菱形．解答：证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．又∵∠EAB=∠EAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，∴∠EAB=∠DAC，∴△AEB≌△ADC（SAS）．②方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴∠ABE=∠C=60°．又∵∠BAC=∠C=60°，∴∠ABE=∠BAC，∴EB∥GC．又∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．（2）①②都成立．（3）当CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）时，四边形BCGE是菱形．理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD又∵CD=CB，∴BE=CB．由②得四边形BCGE是平行四边形，∴四边形BCGE是菱形．方法二：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD．又∵四边形BCGE是菱形，∴BE=CB∴CD=CB．方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，∴BE∥CG，EG∥BC，∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等边三角形．又∵AB=BC，四边形BCGE是菱形，∴AB=BE=BF，∴AE⊥FG∴∠EAG=30°，∵∠EAD=60°，∴∠CAD=30°．点评：本题主要考了平行线四边形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，解题关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论．19．（2009•本溪）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=90度；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．考点：全等三角形的判定；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：（1）问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；（2）问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和；（3）问是第（1）问和第（2）问的拓展和延伸，要注意分析两种情况．解答：解：（1）90°．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，∴∠BCE=∠B+∠ACB，又∵∠BAC=90°∴∠BCE=90°；（2）①α+β=180°，理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；②当点D在射线BC上时，α+β=180°；理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，∴α+β=180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．理由：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAB=∠EAC，∵在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，∴∠BAC=∠BCE，即α=β．点评：本题考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．本题的亮点是由特例引出一般情况．20．（2009•青海）请阅读，完成证明和填空．九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60度．请证明：∠NOC=60度．（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=，且∠DON=度．（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=，且∠EON=度．（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：．考点：全等三角形的判定；等边三角形的性质；正多边形和圆．专题：压轴题；阅读型．分析：（1）利用△ABC是正三角形，可得∠A=∠ABC=60°，AB=BC，又因BM=AN，所以△ABN≌△BCM，∠ABN=∠BCM，所以∠NOC=∠BCM+∠OBC=∠ABN+∠OBC=60°；（2）同（1）利用三角形全等，可知在正方形中，AN=DM，∠DON=90°；（3）同（1），利用三角形全等可知在正五边形中，AN=EM，∠EON=108°；（4）以上所求的角恰好等于正n边形的内角．（10分）解答：（1）证明：∵△ABC是正三角形，∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC，在△ABN和△BCM中，，∴△ABN≌△BCM，（2分）∴∠ABN=∠BCM，又∵∠ABN+∠OBC=60°，∴∠BCM+∠OBC=60°，∴∠NOC=60°；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAM=∠ABN=90°，AD=AB，又∵AM=BN，∴△ABN≌△DAM（SAS），∴AN=DM，∠ADM=∠BAN，又∵∠ADM+∠AMD=90°，∴∠BAN+∠AMD=90°∴∠AOM=90°；即∠DON=90°．（3）解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠A=∠B，AB=AE，又∵AM=BN，∴△ABN≌△EAM，∴AN=ME，∴∠AEM=∠BAN，∴∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°；（4）解：以上所求的角恰好等于正n边形的内角．（10分）注：学生的表述只要合理或有其它等价且正确的结论，均给分．本题结论着重强调角和角的度数．点评：本题需仔细分析图形，利用三角形全等即可解决问题，本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．21．（2007•常州）已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF 为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．考点：全等三角形的判定；等边三角形的判定．专题：证明题；压轴题．分析：（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE．（2）有（1）中的全等关系，可得出∠AFE=∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF=60°，从而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等边三角形．解答：证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）∴FA=EC（等量加等量和相等）．（1分）∵△DEF是等边三角形（已知），∴EF=DE（等边三角形的性质）．（2分）又∵AE=CD（已知），∴△AEF≌△CDE（SSS）．（4分）（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），△DEF是等边三角形（已知），∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），∴∠BCA=60°（等量代换），由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．（6分）∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．（7分）点评：本题利用了等量加等量和相等，全等三角形的判定和性质，还有三角形的外角等不相邻的两个内角之和，等边三角形的判定（三个角都是60°，那么就是等边三角形）．22．（2007•山西）如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论）考点：全等三角形的判定；正方形的性质．专题：压轴题；探究型．分析：根据正方形的性质得到相关的条件找出全等的三角形：△ADE≌△ABC，△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF；利用全等的关系求出∠AHD=90°，得到AE⊥DF；同时可判定BM=MC．解答：解：（1）△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF．（2）AE⊥DF．证明：设AE与DF相交于点H．。

初二全等三角形压轴题 附答案

初二全等三角形压轴题 附答案

全等三角形压轴题1.如图，已知BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分别是D、E，AB=AC，∠BAC=90°，试探索DE、BD、CE长度之间的关系，并说明你的结论的正确性．2.已知四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE＝AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF＝EF；3.如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．4.已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ＝AC，点F在CE 的延长线上，CF＝AB，求证：AF⊥AQ．5.阅读下题及证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，求证：∠BAE＝∠CAE．证明：在△AEB和△AEC中，∵EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，AE＝AE，∴△AEB≌△AEC…第一步∴∠BAE＝∠CAE…第二步问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．6.如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为____，线段CF、BD的数量关系为____；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；7.一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2）特殊位置，证明结论若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP＝CD．（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）8.探究问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为_____．拓展问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M 在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．9．已知：直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，如图（1）若S△CBD=6cm2，则S△ADCcm2（2）若S△AOB=S△COD，那么△ACD≌△DBA吗？说明你的理由．10.（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE ＝90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE 在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC＝AD：AE＝1，∠BAC＝∠DAE≠90°；乙：AB：AC＝AD：AE≠1，∠BAC＝∠DAE＝90°；丙：AB：AC＝AD：AE≠1，∠BAC＝∠DAE≠90°．11．（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边1∠BAD．BC、CD上的点，且∠EAF=2求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、1∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？CD上的点，且∠EAF=2（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边1∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？BC、CD延长线上的点，且∠EAF=2若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．12.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据 _____，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，若________，则△ABC≌△DEF．13.问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是BC，1∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；CD上的点，且∠EAF＝2实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．14.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．15.已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB 之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．16.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．。

专题05全等三角形压轴题训练 期中专题复习(含解析)2023年秋人教版数学八年级上册

专题05全等三角形压轴题训练 期中专题复习(含解析)2023年秋人教版数学八年级上册

A ．2B ．4．如图， 中，分别为 、 上的动点，那么2m ABC V AC =BD BCA ．B 7．如图，点P 为定角在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与论：①恒成立；A ．3B ．28．如图，在中，于点．下列结论187∠MPN ∠PM PN =ABC V A ∠OF AB ⊥F9．已知：中，，线右侧作，且的值为 ．10．如图，在直角三角形，过点作①；②11．如图，已知四边形，连接，则的面积等于ABC V 90ACB ∠=︒AC AE AD ⊥AE AD =ADB AEMS S △△O O OF AD ⊥45BOD ∠=︒::ACD ABD S S CD BD =△△ABCD 5AD =ABD △12．如图，在中，，延长线于点，若，则13．如图，在中，上一点，连接、，且满足为 ．14．已知中，与交于点(1)如图，求证：(2)如图，连接，求证：(3)如图，若，ABC V 10.5BAC ∠=︒AD BC M BM BA AC =+ABC V AB AE CE ABC V BE CD 12OA 360BAC ∠=︒15．如图，在中，(1)如图1，若．①求的度数；②试探究线段与、(2)如图2，点，分别在．求证：．16．我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图1所示，在中，请结合上述结论解决如下问题：已知：P 是边上的一动点垂线，垂是分别为点E 点F ，ABC V 60A ∠=︒BDF ∠BC BF N M DN DE =CM MN CE =+Rt ABC △ABC V AB(1)如图2所示，当点P 与点Q 重合时，与的位置关系是____________，与的数量关系是____________．(2)如图3所示，当点P 在线段上不与点Q 重合时，试判断与的数量关系，并给与证明．(3)如图4所示，当点P 在线段的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．17．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】(1)如图1，是的中线，延长至点E ，使，连接，写出图中全等的两个三角形：__________；【理解与运用】(2)如图2，是的中线，若，，设，求的取值范围；(3)如图3，是的中线，，点Q 在的延长线上，，求证：．18．如图，在中，，是的角平分线交于点，过作于点，点在上，且．(1)求证：；(2)求证：；AE BF QE QF AB QE QF BA AD ABC V AD ED AD =BE EP DEF V 5EF =3DE =EP x =x AD ABC V BAC ACB ∠=∠BC QC AB =2AQ AD =ABC ∆90C ∠=︒AD BAC ∠BC D D DE BA ⊥E F AC BD DF =AC AE =180BAC FDB ∠+∠=︒(3)若，，求线段的长．19．如图，在中，、的平分线交于点D ，延长交于E ，G 、F 分别在上，连接，其中，．(1)当时，求的度数；(2)求证：．20．（1）【初步探索】如图①，在四边形中，，．E 、F 分别是、上的点．且．探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法：延长到点G ，使．连接．先证明，再证，可得出结论．他的结论应是_____．（2）【灵活运用】如图②，在四边形中，，，E 、F 分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．（3）【延伸拓展】如图③，在四边形中，，．若点E 在的延长线上，点F 在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．21．问题引入：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使得，再连接，把集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中．9.5AB = 1.5AF =BE ABC V ABC ∠ACB ∠BD AC BD BC 、DF GF 、2A BDF ∠=∠GD DE =80A ∠=︒FDC ∠CF FG CE =+ABCD BA BC =90A C ∠=∠=︒AD CD EF AE CF =+CBF ∠EBF ∠ABE ∠EA AG CF =BG BCF BAG V V ≌BEF BEG ≌△△ABCD BA BC =180A C ∠+∠=︒AD CD EF AE CF =+ABCD 180BAD BCD ∠+∠=︒BA BC =DA DC EF AE CF =+EBF ∠ABC ∠ABC V 5AB =3AC =BC AD E DE AD =BE ,,2AB AC AD ABE V 28AE <<14AD <<参考答案：【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，则可根据“”判断，所以，然后利用得到．【详解】解：过点作于，如图，是的角平分线，，，，在和中，，，，，．故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定与性质．利用角平分线性质构造全等三角形是解题关键．3．C【分析】根据题意和图形，作出合适的辅助线，然后根据直角三角形的面积和梯形的面积，可以计算出凸五边形ABCDE 的面积．【详解】解：作EG ⊥AC 于点G ，作BF ⊥AC 于点F ，作DH ⊥AC 于点H ，D DH AC ⊥H DF DH =HL Rt DFE Rt DHG ≅V V DEF DGH ∠=∠180AED DEF ∠+∠=︒180AED AGD ∠+∠=︒D DH AC ⊥H AD Q ABC V DF AB ⊥DH AC ⊥DF DH ∴=Rt DFE △Rt DHG V DE DG DF DH=⎧⎨=⎩(HL)Rt DFE Rt DHG ∴≅V V DEF DGH ∴∠=∠180AED DEF ∠+∠=︒Q 180AED AGD ∴∠+∠=︒则∠EGA＝∠AFB＝∠BFC ∴∠EAG＋∠AEG＝90°，∵AB⊥AE，BC⊥CD，∴∠EAB＝∠BCD＝90°，∴∠EAG＋∠FAB＝90°，【点睛】此题考查了角平分线的性质定理最短路线问题，解题的关键是找到使5．A∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．故选:A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM =BN 和推出．6．B【分析】证明得出，证明得出，进而即可求解．【详解】解：如图，在上截取，连接平分，平分，4OM ON CN CM ====90ACB ∠=︒ACB MON ∠∠=9090MCA ACN BCN ACN ∠∠∠∠=︒-=︒-，ACM BCN ∠∠=ACM V BCN V ACM BCN CM CNCMA CNB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ACM BCN ASA V V ≌（）AM BN =OA OB+OA ON BN=++OA ON AM=++ON OM=+44=+8=OA OB OM ON +=+BOE BOH V V ≌60EOH BOH ∠=∠=︒COD COH V V ≌CD CH =BC BH BE =OHBD Q ABC ∠CE ACB ∠【分析】作于E ，于F ，根据平分可知，结合即可证明．根据图中各角的数量关系可得，进而还可证明；利用全等三角形的性质可以得到多组相等的边，由此判断①的正误．根据全等三角形的性质得到，据此可得定值，还可判断③的正误；【详解】解：如图，作于E ，于F ．∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，于E ，于F ，∴．在和中，∴，∴．在和中，∴，∴，故①正确．∴定值，故③正确．∴定值，故②正确．PE OA ⊥PF OB ⊥OP AOB ∠PE PF =OP OP =POE POF V V ≌MPE NPF PEM PFN ∠∠∠∠==、PEM PFN V V ≌PEM PNF S S =V V PMON PEOF S S ==四边形四边形PE OA ⊥PF OB ⊥90PEO PFO ∠∠==︒180EPF AOB ∠∠+=︒180MPN AOB ∠∠+=︒EPF MPN ∠∠=EPM FPN ∠∠=OP AOB ∠PE OA ⊥PF OB ⊥PE PF =POE V POF V PE PF OP OP ==，()Rt Rt HL POE POF V V ≌OE OF =PEM V PFN V MPE NPF PE PF PEM PFN ∠∠∠∠===，，()ASA PEM PFN V V ≌PEM PNF EM NF PM PN S S ===V V ，，PMON PEOF S S ==四边形四边形2OM ON OE ME OF NF OE +=++-==∵平分，，∴，∴故结论①正确；∵，BD ABC ∠OF AB ⊥OG OF OG =11:2:2BOC BOE S S BC OG BE OF =⨯⨯V V 60A ∠=︒∴，∴，又∵，∴，故结论②错误；在上截取，连接，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴在和中，，∴，∴，∴，故结论③正确；∵，，∴，，9050BOF OBA ∠=︒-∠=︒605010EOF BOE BOF ∠=∠-∠=︒-︒=︒806020ABC A ∠-∠=︒-︒=︒EOF ABC A ∠∠∠≠-BC BM BE =OM BOE △BOM V BE BM OBE OBM OB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)BOE BOM V V ≌OE OM =60BOM BOE ∠=∠=︒60OD B E C O ︒==∠∠18060COM BOE BOM ∠=︒-∠-∠=︒COD COM ∠=∠COD △COM V OCD OCM OC OCCOD COM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)COD COM V V ≌CD CM =BE CD BM CM BC +=+=BOE BOM V V ≌COD COM V V ≌BOE BOM S S =V V COD COM S S =V V∴，∴，∵，∴，即：∴，90ACB AGE CGE ∠=∠=∠=︒90DAC ADC ∠+∠=°AE AD ⊥90DAE ∠=︒90DAC GAE ∠+∠=ADC GAE ∠=∠∴，∴，∵，∴，即：，∴，在和中，90ACB AHE ∠=∠=︒90DAC ADC ∠+∠=°AD AE ⊥90DAE ∠=︒90DAC HAE ∠+∠=︒ADC HAE ∠=∠ADC △EAH V∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，，∴，故③正确；∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，故②错误；90AOG AOH ∠=∠=︒HAO GAO ∠=∠AO AO =(ASA)AOH AOG ≌V V AG AH =OG OH =18045BOH BOD DOF ∠=︒-∠-∠=︒45BOH BOD ∠=∠=︒(ASA)BOD BOH ≌V V BD BH =OH OD =AB AH BH AG BD =+=+3BD =8AG =11AB =135BOA BOH AOH ∠=∠+∠=︒135BOF BOD DOF ∠=∠+∠=︒BOA BOF ∠=∠(ASA)BOA BOF ≌V V AO OF =OH OD =OG OH =OD OG =AD AO OD OF OG =+=+90OGE F ∠=︒-∠90BEC EBC ∠=︒-∠OGE BEC ∠≠∠OE OG ≠AD OF OG OF OE =+≠+∴，，∴，∴，即∵，，，∴，∴，5AE AD ==EAD ADC ∠=∠CD AE ∥BAC CAD CAD EAD ∠+∠=∠+∠BAD ∠AB AC =BAD CAE ∠=∠AD AE =()SAS ABD ACE △≌△112555222ABD ACE S S AE AD ==⨯=⨯⨯=V V∵，∴．∴．∵，是∴BE BA AE =+BM BA =BE BM =AEM BME ∠=∠10.5BAC ∠=︒AD BAC ∠12DAC BAD BAC ∠=∠=∠=∵，∴∵，∴∴90ADB ∠=︒180ADO ∠=︒-AD AD =OD ≌ADO ADE V V OAD EAD ∠=∠平分，平分，，，点在的平分线上，，平分，BE Q ABC ∠CD ∠OM ON ∴=ON OK =OM OK ∴=∴O BAC ∠60BAC ∠=︒Q 1902BOC BAC ︒∴∠=+∠180BOD COE ︒∴∠=∠=-OF Q BOC ∠，∵，∴∴∵FBD GBD ∠=∠BD BD=()FBD GBD SAS ≌△△BDF BDG∠=∠60BDF ∠=︒120BDC ∠=︒∵平分，∴，在和中，∴，CD ACB ∠ACD BCD ∠=∠ECD V HCD V CH CE =()ECD HCD SAS ≌△△∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和与外角的性质等，添加适当的辅助线是解题的关键．16．(1)；(2)，证明见解析(3)成立，证明见解析【分析】（1）根据得到，得到、，根据内错角相等两直线平行，得到；（2）延长交于，求出，根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；（3）延长交于，求出，根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可【详解】（1）如图1，当点与点重合时，与的位置关系是，与的数量关系是，理由：为的中点，，，，DM DM =()NDM HDM SAS ≌△△MN MH =CM MN CE =+AE BF ∥QE QF=QE QF =AAS AEQ BFQ ≌△△AEQ BFQ ∠=∠QE QF =AE BF ∥EQ BF D AEQ BDQ ≌V V EQ QD =EQ FB D AEQ BDQ ≌V V EQ QD =P Q AE BF AE BF ∥QE QF AE BF =Q Q AB AQ BQ ∴=AE CQ ⊥Q BF CQ ⊥，，在和中，，，故答案为：；；（2）证明：延长交于，,（3）当点在线段延长线上时，此时（）中结论成立证明：延长交的延长于∵，∴∴AE BF ∥90AEQ BFQ ∠=∠=︒AEQ △V BFQ AQE BQF AEQ BFQ AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AEQ BFQ ∴V V ≌QE QF ∴=AE BF ∥QE QF =QE QF=EQ BF D ,AE CP BF CP⊥⊥Q AE ∴BF∥AEQ BDQ∴∠=∠AQE BQD AEQ BDQ AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AEQ BDQ∴V V ≌EQ DQ∴=90BFE ∠=︒Q QE QF∴=P BA 2EQ FB DAE BF ∥AEQ BDQ∠=∠【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法：，平行线的性质，根据点位置不同，画出正确的图形，找到的条件是解决本题的关键．17．(1)≌(2)(3)证明见解析【分析】（1）≌，根据全等三角形的判定即可得到．（2）根据（1）中的辅助线作法，延长至点Q ，使，再证明≌，得到，再在中，利用三边关系进行计算即可．（3）根据（1）中辅助线作法，延长至点M ，使，证明≌，得到，，再证明≌，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】（1）是的中线，,在和中，，≌．AQE BQD AEQ BDQAQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩Q AEQ BDQ∴V V ≌EQ QF∴=90BFE ∠=︒Q QE QF∴=AAS P AAS ADC △EDB△14x <<ADC △EDB △SAS EP PQ PE =PDE △PFQ △DE FQ =FQE △AD MD AD =BMD V CAD V BM CA =DBM DCA ∠=∠ACQ V MBA △AD Q ABC V BD DC ∴=ADC △EDB △DC BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC △EDB △()SAS（2）如图2，延长至点Q ，使，连接，是的中线，在和中，，≌,，，在中，即，∴．（3）如图3，延长至点M ，使，连接，∴，∵是的中线，∴，在和中，，EP PQ PE =FQ EP Q DEF V PD PF∴=PDE △PFQ △PD PF DPE FPQ PE PQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PDE ∴V PFQ △()SAS 3DE FQ ∴==PE PQ x ==FQE △EF FQ QE EF FQ-<<+53253x -<<+14x <<AD MD AD =BM 2AM AD =AD ABC V BD CD =BMD V CAD V MD AD BDM CDA BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴≌，∴，，∵，，，∴，在和中，，∴≌，∴.【点睛】本题考查三角形全等的证明，三角形全等的证明方法以及倍长中线的辅助线作法是本题关键，准确的作出辅助线是本题难点．18．(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】（1）证，即可得出结论；（2）设，在上截取，连接，证，得，，再证，得，然后证，即可得出结论；（3）求出，由全等三角形的性质得，即可求解．【详解】（1）证明：平分，，，，，，在和中，BMD V CAD V ()SAS BM CA =DBM DCA ∠=∠BAC ACB ∠=∠ACQ BAC ABC ∠=∠+∠MBA DBM ABC ∠=∠+∠ACQ MBA ∠=∠ACQ V MBA △CA BM ACQ MBA QC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACQ V MBA △()SAS 2AQ AM AD ==(AAS)ACD AED V V ≌DAC DAE α∠=∠=AB AM AF =MD (SAS)FAD MAD V V ≌FD MD =ADF ADM ∠=∠Rt Rt (HL)MDE BDE V V ≌DME B ∠=∠909021802FDB αα∠=︒+︒-=︒-8MB AB AM =-=ME BE =AD Q BAC ∠DAC DAE ∴∠=∠DE BA ⊥Q 90DEA DEB ∴∠=∠=︒90C ∠=︒Q 90C DEA ∴∠=∠=︒ACD V AED V，，；（2）证明：设，，，，则，在上截取，连接，如图所示：在和中，，，，，，，在和中，，，，C DEA DAC DAE AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)ACD AED ∴△≌△AC AE ∴=DAC DAE α∠=∠=90C DEA ∠=∠=︒Q 90ADC α∴∠=︒-90ADE α∠=︒-90FDB FCD DFC DFC ∠=∠+∠=︒+∠AB AM AF =MD FAD V MAD V AF AM DAF DAM AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)FAD MAD ∴V V ≌FD MD ∴=ADF ADM ∠=∠BD DF =Q BD MD ∴=Rt MDE △Rt BDE △MD BD DE DE=⎧⎨=⎩Rt Rt (HL)MDE BDE ∴V V ≌DME B ∴∠=∠DAC DAE α∠=∠=Q平分，，在和中，CD Q ACB ∠DCE DCH ∴∠=∠DCE △DCH V CE CH =⎧在和中，BCF △BAG △，∴，∴，又∵，在和中，，∴，∴，故答案为：；（2）仍成立，理由如下：延长到点G ，使，连接，∵，，∴，在和中，，∴，∴，又∵，90BC BA C BAG CF AG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()SAS BCF BAG V V ≌BF BG =GE GA AE AE CF EF =+=+=BEF △BEG V BF BG BE BE EF GE =⎧⎪=⎨⎪=⎩()SSS BEF BEG V V ≌EBF EBG ABE ABG ABE CBF ∠=∠=∠+∠=∠+∠EBF CBF ABE ∠=∠+∠EA AG CF =BG 180BAE C ∠+∠=︒180BAE BAG ∠+∠=︒C BAG ∠=∠BCF △BAG △BC BA C BAG CF AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BCF BAG V V ≌BF BG =GE GA AE AE CF EF =+=+=∵∴，在和中，，180BAD BCD ∠+∠=BAD BCF ∠=∠BCF △BAG △BC AB BAD BCF CF AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩D BC∵是中点，∴，在和中，，∴，∴，在中，∴；即：，（2）如图，延长至点，使得，连接，则，∵是中点，∴，在和中，，∴，∴，，，∵，，,∴，在和中，BD DC =ACD V EBD △BD CD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ACD EBD V V ≌AC EB =ABE V 2AB EB AE AD +>=2AB AC AD +>AE F EF AE =DF 2AF EF AE AE =+=E BD DE BE =EDF V EBA △DE BE DEF BEA EF EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS EDF EBA V V ≌DF AB CD ==B EDF ∠=∠F EAB ∠=∠CDA B BAD ∠=∠+∠ADF BDA EDF ∠=∠+∠BDA BAD ∠=∠ADC ADF ∠=∠AFD △ACD V同（2）理可证：∴，，∵，∴∵，∴(SAS AMO DMH ≌V V OA DH OB ==H AOM ∠=∠∠90AOB COD ∠=∠=︒BOC AOB COD AOD ∠=∠+∠-∠=180HDO H HDO ∠=︒-∠-∠180180HDO AOM HDO ∠=︒-∠-∠=等三角形是解题的关键．。

初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

初二全等三角形所有知识点总结和常考题1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形 .⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边 .⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角 .2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）:三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）:两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 .⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程 .一.选择题（共14小题）1.使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一个锐角又t应相等B.两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D.两条边对应相等2.如图，已知AE=CF /AFD=/ CEB那么添加下列一个条件后，仍无法判定△AD陷4CBE的是（）A. /A=/ CB. AD=CBC. BE=DFD. AD // BC3.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A. SSSB. SASC. AASD. ASA4.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点5.如图，△ AC阴NA CB'/BCB =30°则/ ACA的度数为（A. 20°B. 300C. 350D. 40°6.如图，直线11、12、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处7.如图，AD是4ABC中/ BAC的角平分线，D已AB于点E, S AABC=7, DE=ZAB=4,则AC长是（）8.如图，在△ ABC和4DEC中，已知AB=DE还需添加两个条件才能使△ ABCDEC不能添加的一组条件是（）A. BC=EC /B=/ EB. BC=EC AC=DCC. BC=DC /A=/DD. / B=/ E,/ A=/ D9.如图，已知在△ ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分/ ABC,交CD于点E, BC=5 DE=2,贝BCE的面积等于（）A. 10B. 7C. 5D. 410.要测量河两岸相对的两点A, B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C, D, 使CD=BC再定出BF的垂线DE,使A, C, E在一条直线上（如图所示），可以说明△ED8 AABC,彳3ED=AB因此测得ED的长就是AB的长，判定△ ED8 △ ABC最恰当的理由是（）A.边角边B.角边角C.边边边D.边边角11.如图，4ABC的三边AB, BC, CA长分别是20, 30, 40,其三条角平分线将△ ABC分为三个三角形，则S A ABO）：S A BCO：S A CAO等于（）BC AA. 1:1:1B. 1: 2: 3C. 2: 3: 4D. 3: 4: 512.尺规作图作/ AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA, OB于C, D,再分别以点C, D为圆心，以大于tCD长为半径画弧，两弧交于点P,作射线OP由作法得^ OC国4ODP的根据是（）A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B.有两边对应相等，且有一角为 30°的两个等腰三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等14.如图，已知/ 1=/2, AC=AD,增加下列条件：① AB=AE ②BC=ED ③C C= /D;④/ B=/ E.其中能使△ AB ®ZXAED 的条件有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二.填空题（共11小题）15 .如图，在△ ABC 中，/C=90°, AD 平分/CAB BC=8cm, BD=5cm,那么点 D 到线段AB 的距离是 cm.16 .如图，△ ABC 中，/ C=90°, AD 平分/BAC AB=5, CD=2,则△ ABD 的面积17 .如图为6个边长等的正方形的组合图形，则/ 1+/ 2+/3=19 .如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块， 现在要到玻璃店去配 一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 去玻璃店.18.如图，△AB ®ADEF5请根据图中提供的信息，写出* F x= ______是 _______20.如图，已知AB// CF, E为DF的中点，若AB=9cm, CF=5cm 贝U BD=cm.B C21.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：/ B=Z C=90°, E是BC的中点, DE 平分/ADC, /CED=35,如图，则/ EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是度.D C22.如图，/XABeAADEE, / B=100°, / BAC=30,那么/ AED=度.23.如图所示，将两根钢条AA', BB'的中点。

全等三角形易错题(Word版 含答案)

全等三角形易错题(Word版 含答案)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②V7.5Q（厘米/秒）；（2）点P、Q在AB边上相遇，即经过了803秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．【解析】【分析】（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得△BPD≌△CQP；②根据V P≠V Q，使△BPD与△CQP全等，所以CQ＝BD＝10，再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度；（2）根据V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设运动x秒，即可列出方程1562202x x，解方程即可得到结果.【详解】（1）①因为t＝1（秒），所以BP＝CQ＝6（厘米）∵AB＝20，D为AB中点，∴BD＝10（厘米）又∵PC＝BC﹣BP＝16﹣6＝10（厘米）∴PC＝BD∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD与△CQP中，BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BPD ≌△CQP （SAS ），②因为V P ≠V Q ，所以BP ≠CQ ，又因为∠B ＝∠C ，要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ，故CQ ＝BD ＝10．所以点P 、Q 的运动时间84663BP t （秒）， 此时107.543Q CQ V t （厘米/秒）．（2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得1562202x x ， 解得x=803(秒) 此时P 运动了8061603（厘米） 又因为△ABC 的周长为56厘米，160＝56×2+48， 所以点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了803秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇． 【点睛】此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.2．如图1，等腰△ABC中，AC =BC ＝∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，D 为线段AO 上一动点，以CD 为一边在CD 下方作等腰△CDE ,使CD =CE 且∠DCE=45˚，连结BE .(1) 求证：△ACD ≌△BCE ；(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE 至Q , P 为BQ 上一点，连结CP 、CQ,若CP ＝CQ ＝5,求PQ 的长.(3) 连接OE ，直接写出线段OE 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422-【解析】试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45DAC∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，∴AC=BC,DC=EC,45ACB DCE∠=∠=，45ACD DCB ECB DCB∴∠+∠=∠+∠=，∴∠ACD=∠BCE；在△ACD和△BCE中，,AC BCACD BCEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ACD BCE∴≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，(2)过点C 作CH ⊥BQ 于H ，∵△ABC 是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，45DAC ∴∠=，ACD BCE ≌，45PBC DAC ∴∠=∠=，∴在Rt BHC 中,2242422CH BC =⨯=⨯=， 54PC CQ CH ===，，3PH QH ∴==，6.PQ ∴=()3OE BQ ⊥时，OE 取得最小值.最小值为：42 2.OE =-3．（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m, CE ⊥直线m,垂足分别为点D 、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DEF 的形状.【答案】（1）见解析（2）成立（3）△DEF 为等边三角形【解析】解：（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠BDA ＝∠CEA=900．∵∠BAC ＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD ．又AB="AC" ，∴△ADB ≌△CEA （AAS ）．∴AE=BD ，AD=CE ．∴DE="AE+AD=" BD+CE ．（2）成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α．∴∠DBA=∠CAE ． ∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC ，∴△ADB ≌△CEA （AAS ）．∴AE=BD ，AD=CE ．∴DE=AE+AD=BD+CE ．（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．∴△DEF为等边三角形．（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE．（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．4．在四边形ABCD 中，E 为BC 边中点.（Ⅰ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，∠AED=90°，点F 为AD 上一点，AF=AB.求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD=AB+CD（Ⅱ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，∠AED=120°，点F，G 均为AD上的点，AF=AB，GD=CD.求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD=AB+12BC+CD.【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）（1）运用SAS 证明△ABE ≌AFE 即可；（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，再证明△DEF ≌△DEC （SAS ），得出DF=DC ，即可得出结论；（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE ≌△AFE （SAS ），△DGE ≌△DCE （SAS ），由全等三角形的性质得出BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，进而证明△EFG 是等边三角形；（2）由△EFG 是等边三角形得出GF=EE=BE=12BC ，即可得出结论． 【详解】（Ⅰ）（1）∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠FAE ，在△ABE 和△AFE 中， AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE ≌△AFE （SAS ），（2）∵△ABE ≌△AFE ，∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，∵E 为BC 的中点，∴BE=CE ，∴FE=CE ，∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠DEF=∠DEC ，在△DEF 和△DEC 中，FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DEF ≌△DEC （SAS ），∴DF=DC ，∵AD=AF+DF ，∴AD=AB+CD ；（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点，∴BE=CE=12BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ），△DEG ≌△DEC （SAS ），∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，∵BE=CE ，∴FE=GE ，∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，∴∠AEF+∠GED=60°，∴∠GEF=60°，∴△EFG 是等边三角形，（2）∵△EFG 是等边三角形，∴GF=EF=BE=12BC ， ∵AD=AF+FG+GD ， ∴AD=AB+CD+12BC ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．5．如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA=PE ，PE 交CD 于F（1）证明：PC=PE ；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP＝CE理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE考点：三角形全等的证明6．如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是BC边的中点连接AD，则易证AD＝BD＝CD，即AD＝12BC；如图2，若将题中AB＝AC这个条件删去，此时AD仍然等于12BC．理由如下：延长AD到H，使得AH＝2AD，连接CH，先证得△ABD≌△CHD，此时若能证得△ABC≌△CHA，即可证得AH＝BC，此时AD＝12BC，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．（1）请你先证明△ABC≌△CHA，并用一句话总结题中的结论；（2）现将图1中△ABC折叠（如图3），点A与点D重合，折痕为EF，此时不难看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2+DF2＝EF2，因此BE2+CF2＝EF2，若图2中△ABC也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF绕着点D旋转（如图5），射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF2＝BE2+CF2.【解析】【分析】（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．【详解】（1）证明：如图2中，∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，∴△ADB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，∴AB∥CH，∴∠BAC+∠ACH＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACH＝∠BAC＝90°，∵AC＝CA，∴△BAC≌△HCA（SAS），∴AH＝BC，∴AD＝DH＝BD＝DC，∴AD＝12 BC．结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（2）解：有这样分关系式．理由：如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，∴△EDB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠HCD＝90°，∴∠FCH＝90°，∴FH2＝CF2+CH2，∵DF⊥EH，ED＝DH，∴EF＝FH，∴EF2＝BE2+CF2．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF2＝BE2+CF2．证明方法类似（2）．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点，且AE CD =，BD 与EC 交于点F ，则BFE ∠的度数是___________度；②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时BFE ∠的度数是____________度；（2）如图③，在ABC ∆中，AC BC =，ACB ∠是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，若ACB α∠=，求BFE ∠的大小（用含法α的代数式表示）．【答案】（1）60；（2）60；（3）BFE α∠=【解析】【分析】（1）①只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD ，推出∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°；②只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD=∠DCF ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°；（2）只要证明△AEC ≌△CDB ，可得∠E=∠D ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α.【详解】解：（1）①如图①中，∵△ABC 是等边三角形，∴AC=CB ，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD ，∴△ACE ≌△CBD ，∴∠ACE=∠CBD ，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60；②如图②，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60；（2）如图③中，图③点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴=，OC OA∴∠=∠=OAC ACOα=-，∴∠=∠︒180EAC DCBα=，AE CDAC BC=，∴∆≅∆，AEC CDB∴∠=∠，E D∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=．BFE D DCF E ECA OACα【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质和判定以及等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．∆是等边三角形，点D在边AC上（“点D不与,A C重合），点E是射线8．如图，ABCBC上的一个动点（点E不与点,B C重合），连接DE，以DE为边作作等边三角形DEF∆，连接CF.（1）如图1，当DE的延长线与AB的延长线相交，且,C F在直线DE的同侧时，过点D作//DG AB，DG交BC于点G，求证：CF EG=；（2）如图2，当DE反向延长线与AB的反向延长线相交，且,C F在直线DE的同侧时，求证：CD CE CF=+；（3）如图3，当DE反向延长线与线段AB相交，且,C F在直线DE的异侧时，猜想CD、CE、CF之间的等量关系，并说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）CF=CD+CE，理由见详解.【解析】【分析】(1)由ABC∆是等边三角形，//DG AB，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，CDG∆是等边三角形，易证∆ GDE≅∆ CDF(SAS)，即可得到结论；(2)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证∆ GDE≅∆ CDF(SAS)，即可得到结论；(3)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证∆ GDE≅∆ CDF(SAS)，即可得到结论.【详解】（1）∵ABC∆是等边三角形，//DG AB，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG∆是等边三角形，∴DG=DC.∵DEF∆是等边三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF，即：∠GDE=∠CDF，在∆ GDE和∆ CDF中，∵DE DFGDE CDFDG DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE≅∆ CDF(SAS)，∴CF EG=；（2）过点D作DG∥AB交BC于点G，如图2，∵ABC∆是等边三角形，//DG AB，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG ∆是等边三角形，∴DG=DC.∵DEF ∆是等边三角形，∴DE=DF ，∠EDF=60°，∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ，在∆ GDE 和∆ CDF 中，∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，∴CF GE =，∴CD CG CE GE CE CF ==+=+（3）CF =CD +CE ，理由如下：过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图3，∵ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG ∆是等边三角形，∴DG=DC=GC.∵DEF ∆是等边三角形，∴DE=DF ，∠EDF=60°，∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ，在∆ GDE 和∆ CDF 中，∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，∴CF GE ==GC+CE=CD+CE.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.9．已知：4590ABC A ACB ∆∠=∠=，，，点D 是AC 延长线上一点，且22AD =+，，M 是线段CD 上一个动点，连接BM ，延长MB 到H ，使得HB MB =，以点B 为中心，将线段BH 逆时针旋转45，得到线段BQ ，连接AQ ．（1）依题意补全图形；（2）求证：ABQ AMB ∠=∠；（3）点N 是射线AC 上一点，且点N 是点M 关于点D 的对称点，连接BN ，如果QA BN =， 求线段AB 的长．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）22AB =【解析】【分析】（1）根据题意可以补全图形；（2）根据三角形外角的性质即可证明；（3）作QE ⊥AB ，根据AAS 证得QEB BCM ≅，根据HL 证得Rt QEA Rt BCN ≅，设法证得2AB CD =，设AC BC x ==，则2AB x =，22CD x =，结合已知22AD =+，构建方程即可求解. 【详解】（1）补全图形如下图所示：（2）解：∵∠ABH 是ABM 的一个外角，∴ ABH BAM AMB ∠=∠+∠∵ABH HBQ ABQ ∠=∠+∠ 又∵45HBQ BAM ∠=∠=︒∴ABQ AMB∠=∠（3）过Q 作QE⊥AB，垂足为E，如下图：∵⊥QE AB∴90QEB BCM∠=∠=︒，在QEB和BCM 中，QEB BCMQBE BMCQB BM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QEB BCM≅(AAS)∴EB CM=，QE BC=，在Rt QEA和Rt BCN中∵QE BC=，Q A BN=∴Rt QEA Rt BCN≅ (HL)∴AE CN CM MD DN==++∵点N是点M关于点D的对称点，∴MD DN=∴22AE CM MD EB MD=+=+∴()2222AB AE EB EB MD EB MD CD=+=+=+=设AC BC x==，则2AB x=，22CD x=，又∵22AD=，22AD AC CD x x=+=+∴222x x+=解得：2x=∴22AB=【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．熟悉全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线、构建方程是解答的关键．10．如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）4；（2）∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45 ，理由见解析；（3）点M的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP为等腰直角三角形，从而求得答案；（2）根据对称的性质得：PA＝PA'＝PB，由∠PAB+∠PBA＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA'B＝45°；（3）分类讨论：分别讨论当△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB时，点M的坐标的情况；过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.【详解】（1）∵AB∥x轴，△APB为等腰直角三角形，∴∠PAB＝∠PBA＝∠APO＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA＝OP＝4．∴t＝4÷1＝4（秒），故t的值为4．（2）如图2，∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45°，∵点A 关于x 轴的对称点为A ′，∴PA ＝PA '，又AP ＝PB ，∴PA ＝PA '＝PB ，∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ，又∵∠PAB +∠PBA ＝90°，∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '＝180()PAB PBA ∠∠︒-+180=︒-90°=90°，∴∠AA 'B ＝45°，即∠OA 'B ＝45°；（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，①如图3，若△ABP ≌△MBP ，则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ，∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ，∴△AOP ≌△MDP （AAS ），∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3，∴M 的坐标为：（6，-4）．②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PGB ≅∴34BG OP PG AO ====，∵BG ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BGOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OG OP PG ==+=+=在Rt ABF 和Rt PME 中∠BAF ＝45︒+1∠，∠MPE ＝45︒+2∠，∴∠BAF ＝∠MPE∵AB PM =∴Rt ABF Rt PME ≅∴71ME BF PE AF ====，∴M 的坐标为：（4，7），③如图5，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点D ，过点B 作BG ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PEB ≅∴34BE OP PE AO ====，∵BE ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BEOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OE OP PE ==+=+=在Rt ABF 和Rt PMD 中∵BF ⊥y 轴∴42∠=∠∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+∴ABF PMD ∠∠=∵AB PM =∴Rt ABF Rt PMD ≅∴17MD AF PD BF ====，∴M 的坐标为：（10，﹣1）．综合以上可得点M 的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出结论．。

专题03 全等三角形压轴题真题(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题03 全等三角形压轴题真题(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题03高分必刷题-全等三角形压轴题真题（解析版）题型一：全等三角形小压轴题考向1：多项选择题1．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④【解答】解：∵∠EAF＝∠BAC，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△F AB≌△EAC（SAS），故①正确，∴BF＝EC，故②正确，∴∠ABF＝∠ACE，∵∠BDF＝∠ADC，∴∠BFC＝∠DAC，∵∠DAC＝∠EAF，∴∠BFC＝∠EAF，故③正确，无法判断AB＝BC，故④错误，故选：A．2．如图，△ABC中，∠C＝90°、AD是角平分线，E为AC边上的点，DE＝DB，下列结论：①∠DEA+∠B＝180°；②∠CDE＝∠CAB；③AC＝（AB+AE）；④S△ADC＝S四，其中正确的结论个数为（）边形ABDEA．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：如图，过D作DF⊥AB于F，∵∠C＝90°，AD是角平分线，∴DC＝DF，∠C＝∠DFB，又∵DE＝DB，∴Rt△CDE≌Rt△FDB，∴∠B＝∠CED，∠CDE＝∠FDB，CE＝BF，又∵∠DEA+∠DEC＝180°，∴∠DEA+∠B＝180°，故①正确；∵∠C＝∠DFB，∠B＝∠B，∴∠BDF＝∠BAC，∴∠CDE＝∠CAB，故②正确；∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠F AD，又∵∠C＝∠AFD，AD＝AD，∴△ACD≌△AFD，∴AC＝AF，∴AB+AE＝（AF+FB）+（AC ﹣CE）＝AF+AC＝2AC，∴AC＝（AB+AE），故③正确；∵Rt△CDE≌Rt△FDB，∴S△CDE＝S△FDB，∴S四边形ABDE＝S四边形ACDF，又∵△ACD≌△AFD，∴S△ACD＝S△ADF，∴S△ADC＝S四边形ACDF＝S四边形ABDE，故④正确；故选：A．3．如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE，CD 与GF，下列结论正确的有（）①AE＝DC；②∠AHC＝120°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠AHC；⑤GF∥AC．A．①②④B．①③⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤【解答】解：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE ＝60°，∵∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°，∵BA＝BD，∠ABD＝∠DBC，BE＝BC，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE＝DC，所以①正确；∠BAE＝∠BDC，∵∠BDC+∠BCD ＝∠ABD＝60°，∴∠BAE+∠BCD＝60°，∴∠AHC＝180°﹣（∠BAH+∠BCH）＝180°﹣60°＝120°，所以②正确；∵∠BAG＝∠BDF，BA＝BD，∠ABG＝∠DBF＝60°，∴△AGB≌△DFB（ASA）；所以③正确；∵△ABE≌△DBC，∴AE和DC边上的高相等，即B点到AE和DC的距离相等，∴BH平分∠AHC，所以④正确；∵△AGB≌△DFB，∴BG＝BF，∵∠GBF＝60°，∴△BGF为等边三角形，∴∠BGF＝60°，∴∠ABG＝∠BGF，∴GF∥AC，所以⑤正确．故选：D．考向2：动点问题4．如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，BC＝8cm，BD＝6cm，如果点P在线段BC上以1cm/s 的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设点Q的速度为xcm/s，则当△BPD与△CQP全等时，x＝1或．【解答】解：设运动的时间为ts，则BP＝t，PC＝8﹣t，CQ＝tx，∵∠B＝∠C，∴当BD＝CQ，BP＝CP时，△BPD≌△CPQ（SAS），即tx＝6，t＝8﹣t，解得t＝4，x＝；当BD＝CP，BP＝CQ时，△BPD≌△CQP（SAS），即8﹣t＝6，t＝tx，解得t＝2，x＝1；综上所述，x的值为1或．故答案为1或．5．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等．x的值为1或1.5．【解答】解：要使△ACP与△BPQ全等，有两种情况：①AP＝BQ，∵点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，∴x＝1；②AC＝BQ＝3cm，AP＝BP＝AB＝＝2cm，∴时间为＝2秒，即x＝＝1.5，所以x的值是1或1.5.题型二：全等三角形的大压轴题6．根据全等多边形的定义，我们把四个角，四条边分别相等的两个凸四边形叫做全等四边形，记作：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．（1）若四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，已知AB＝3，BC＝4，AD＝CD＝5，∠B＝90°，∠D＝60°，则A1D1＝5，∠B1＝90°，∠A1+∠C1＝210°．（直接写出答案）；（2）如图1，四边形ABEF≌四边形CBED，连接AD交BE于点O，连接OF，求证：∠AOB＝∠FOE；（3）如图2，若AB＝A1B1，BC＝B1C1，CD＝C1D1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．【解答】解：（1）∵四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，∴A1D1＝AD＝5，∠B1＝∠B＝90°，∠D＝∠D1＝60°，∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，∵∠A+∠C＝160°﹣90°﹣60°＝210°，∴∠A1+∠C1＝210°，故答案为5，90°，210°．（2）如图1中，∵四边形ABEF≌四边形CBED，∴EF＝ED，∠FEO＝∠DEO，∵EO＝EO，∴△FEO≌△DEO（SAS），∴∠EOF＝∠DOE，∵∠AOB＝∠DOE，∴∠AOB＝∠EOF．（3）如图2中，连接AC，A1C1．∵AB＝A1B1，∠B＝∠B1，BC＝B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1，∴AC＝A1C1，∠BAC＝∠B1A1C1，∠BCA＝∠B1C1A1，∵AD＝A1D1，CD＝C1D1，∴△ADC≌△A1D1C1（SSS），∴∠D＝∠D1，∠DAC＝∠D1A1C1，∠ACD＝∠A1C1D1，∴∠BAD＝∠B A A1D1，∠BCD ＝∠B1C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．7．（1）如图1，已知∠EOF＝120°，OM平分∠EOF，A是OM上一点，∠BAC＝60°，且与OF、OE分别相交于点B、C，求证：AB＝AC；（2）如图2，在如上的（1）中，当∠BAC绕点A逆时针旋转使得点B落在OF的反向延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，已知∠AOC＝∠BOC＝∠BAC＝60°，求证：①△ABC是等边三角形；②OC＝OA+OB．【解答】（1）证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，则∠AHO＝∠AGO＝90°，∵∠EOF＝120°，∴∠HAG＝60°＝∠BAC，∴∠HAG﹣∠BAH＝∠BAC﹣∠BAH，∴∠BAG ＝∠CAH，∵OM平分∠EOF，AG⊥OF，AH⊥OE，∴AG＝AH，在△BAG和△CAH中，∵，∴△BAG≌△CAH（ASA），∴AB＝AC；（2）结论还成立，证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，与（1）证法类似根据ASA 证△BAG≌△CAH（ASA），则AB＝AC；（3）证明：①如图，∠FOA＝180°﹣120°＝60°，∠FOC＝60°+60°＝120°，即OM 平分∠COF，由（2）知：AC＝AB，∵∠CAB＝60°，∴△ABC是等边三角形；②在OC上截取BO＝ON，连接BN，∵∠COB＝60°，∴△BON是等边三角形，∴ON＝OB，∠OBN＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°＝∠NBO，∴都减去∠ABN 得：∠ABO＝∠CBN，在△AOB和△CNB中∵，∴△AOB≌△CNB（SAS），∴NC＝OA，∴OC＝ON+CN＝OB+OA，即OC＝OA+OB．8．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求证m+n为定值，并求出其值．【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，则∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS）∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，∵DQ⊥OP，DE⊥OE，∠POE＝90°∴四边形OEDQ是矩形，∴OE＝QD，DE＝OQ，∴OP＝PQ+OQ＝DE+PQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴QP＝AO＝2，∴OP﹣DE＝2；（3）结论②是正确的，m+n＝﹣4，理由如下：如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT ⊥y轴于T点，∴FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，在△FSH和△FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS）∴GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），∴OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，∴﹣2﹣m＝n+2，∴m+n＝﹣4．9．在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC 上，且点F与点C不重合）时，若AG：AB＝5：13，BC＝4，求DE+DF的值．【解答】解：（1）猜想：BF＝CG．理由：如图1．∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴S△ABC＝AC•BF＝AB•CG．∵AB＝AC，∴BF＝CG；（2）猜想：DE+DF＝CG．理由：连接AD，如图2．∵DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB，∴S△ACD＝AC•DF，S△ABD＝AB•DE，S△ABC＝AB•CG．∵S△ACD+S△ABD＝S△ABC，∴AC•DF+AB•DE＝AB•CG．∵AB＝AC，∴DF+DE＝CG；（3）连接AD，如图3．同（2）可得：DF+DE＝CG．设AG＝5x，∵AG：AB＝5：13，AB ＝AC，∴AC＝AB＝13x．∴∠G＝90°，∴GC＝＝12x．在Rt△BGC中，∵BG＝AB+AG＝13x+5x＝18x，GC＝12x，BC＝4，∴（18x）2+（12x）2＝（4）2，解得：x＝，∴DE+DF＝CG＝12x＝8．10．如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0）、B（0，5），AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，BC⊥CD．（1）求证：∠ABO＝∠CAD；（2）求点D坐标；（3）如图2，若OC＝OB＝5，E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点，且∠BEO＝45°，OE交BC于点F，求BF的长．【解答】解：（1）如图1，在四边形ABCD中，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠BAD+∠BCD ＝180°，∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠BAD＝90°．∴∠BAC+∠CAD＝90°，又∵∠BAC+∠ABO＝90°．∴∠ABO＝∠CAD．（2）如图1，过点D作DG⊥AC，∴∠AGD＝∠BOA＝90°，又∵∠ABO＝∠CAD，AB＝AD，∴△ABO≌△DAG（AAS），∴DG＝AO＝2，AG＝BO＝5，∴OG＝AG﹣AO＝3，则点D的坐标为（3，﹣2）；（3）如图2，过点E作EH⊥BC于点H，作EG⊥x轴于点G，∵E点在∠BCO的邻补角的平分线上，∴EH＝EG．又∵∠BCO＝∠BEO＝45°，∴∠EBC＝∠EOC．∴△EBH≌△EOG（AAS），∴EB＝EO．又∵∠BEO＝45°，∴∠EBO＝∠EOB＝67.5°，∵∠OBC＝45°，∴∠BOE＝∠BFO＝67.5°．∴BF＝BO＝5．11．在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、C在y轴上，且点B与点C关于x轴对称，点D在线段AB上，点E为该坐标平面内一点．（1）已知BD＝CE．①如图1，若点E在线段AC上，求证：CD＝BE；②如图2，若点E在线段BC上，且∠DEA＝∠ABC，求证：∠ACO＝2∠OAE．（2）如图3，已知BD＝AE，点E在线段CA的延长线上，F为CD中点，且∠OAB＝30°，求证：BF⊥EF．【解答】证明：（1）①∵点B和点C关于x轴对称，∴AB＝AC，∴∠CBD＝∠BCE，在△CBD和△BCE中，，∴△CBD≌△BCE（SAS），∴CD＝BE；②∵∠DEA+∠DEB＝∠ACB+∠CAE，∠DEA＝∠ABC＝∠ACB，∴∠DEB＝∠CAE，在△BED和△CAE中，，∴△BED≌△CAE（AAS），∴BE＝AC＝AB，∴∠BEA＝∠BAE，∵点B和点C关于x轴对称，∴AB＝AC，OB＝OC，∴∠BAO＝∠CAO，∴∠BAE＝2∠CAO﹣∠EAC＝2∠OAE+∠EAC，∵∠DEB＝∠CAE，∴∠DEA＝2∠OAE，∵∠DEA＝∠ABC＝∠ACO，∴∠ACO＝2∠OAE；（2）延长BF到点G，使BF＝FG，连接CG、EG、BE，如图3所示：∵点B和点C关于x轴对称，∴AB＝AC，OB＝OC，∴∠OAB＝∠OAC＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴CB＝AB，∠BCA＝60°，∵F为DC中点，∴DF＝CF，在△BDF和△GCF中，，∴△BDF≌△GCF（SAS），∴CG＝BD＝AE，∠CGF＝∠DBF，∴BD∥CG，∴∠GCA＝∠BAC＝60°，∴∠BCG＝∠BCA+∠GCA＝60°+60°＝120°，∵∠BAE＝180°﹣∠OAB﹣∠EAx＝180°﹣∠OAB﹣∠OAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠BCG＝∠BAE，在△BCG和△BAE中，，∴△BCG≌△BAE（SAS），∴∠CBG＝∠ABE，BG＝BE，∵∠CBG+∠GBA＝60°，∴∠ABE+∠GBA＝60°，即∠GBE ＝60°，∴△GBE是等边三角形，∵F是BG的中点，∴EF⊥BG，∴BF⊥EF．12．如图，平面直角坐标系中，已知点A（a﹣1，a+b），B（a，0），且+（a﹣2b）2＝0，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰△ACD，使AD＝AC，∠CAD＝∠OAB，直线DB交y轴于点P．（1）求证：AO＝AB；（2）求证：OC＝BD；（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？【解答】证明：（1）∵+（a﹣2b）2＝0，≥0，（a﹣2b）2≥0，∴＝0，（a﹣2b）2＝0，解得：a＝2，b＝1，∴A（1，3），B（2，0），∴OA＝＝，AB＝＝，∴OA＝AB；（2）∵∠CAD＝∠OAB，∴∠CAD+∠BAC＝∠OAB+∠BAC，即∠OAC＝∠BAD，在△OAC 和△BAD中，，∴△OAC≌△BAD（SAS），∴OC＝BD；（3）点P在y轴上的位置不发生改变．理由：设∠AOB＝∠ABO＝α，∵由（2）知△AOC≌△ABD，∴∠ABD＝∠AOB＝α，∵OB ＝2，∠OBP＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝180°﹣2α为定值，∵∠POB＝90°，∴OP长度不变，∴点P在y轴上的位置不发生改变．13．在△ABC中，∠A＜60°，以AB，AC为边分别向外作等边△ABD，△ACE，连接DC，BE交于点H．（如图1）（1）求证：△DAC≌△BAE；（2）求DC与BE相交的∠DHB的度数；（3）又以BC边向内作等边三角形△BCF，连接DF（如图2），试判断AE与DF的位置与数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABD、△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE．（2）如图1中，∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC＝∠ABE，∵∠AOD＝∠BOH，∠AOD+∠ADC+∠DAO＝180°，∠BOH+∠OHB+∠ABE＝180°，∴∠OHB＝∠DAO＝60°，∴∠DHB＝60°．（3）结论AE＝DF，AE∥FD．如图2中，连接EF，∵△ABD，△BCF，△ACE都是等边三角形，∴BD＝BA＝AD，BF＝BC，CA＝CE＝AE，∠ABD＝∠CBF＝∠BCF＝∠ACE＝60°，∴∠DBF＝∠CBA，∠BCA＝∠ECF，在△ABC和△DBF中，，∴△ABC≌△DBF，同理△ABC≌△EFC，∴DF＝AC＝AE，EF＝AB＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形，∴DF＝AE，DF∥AE．14．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系；（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）作CH⊥y轴于H，如图1，∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），∴OA＝3，OB＝1，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBH＝∠BAO，在△ABO和△BCH中，∴△ABO≌△BCH，∴OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，∴OH＝OB+BH＝1+3＝4，∴C（﹣1，4）；（2）OA＝CD+OD．理由如下：如图2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC ＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，在△ABO和△BCD中，∴△ABO≌△BCD，∴OB＝CD，OA＝BD，而BD＝OB+OD＝CD+OD，∴OA＝CD+OD；（3）CF＝AE．理由如下：如图3，CF和AB的延长线相交于点D，∴∠CBD＝90°，∵CF⊥x，∴∠BCD+∠D＝90°，而∠DAF+∠D＝90°，∴∠BCD＝∠DAF，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（ASA），∴AE＝CD，∵x轴平分∠BAC，CF⊥x轴，∴CF＝DF，∴CF＝CD＝AE．15．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD 的右侧作△ADE，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，写出△ABD≌△ACE的理由；（2）如图2，当点D在线段BC上，∠BAC＝90°，直接写出∠BCE的度数；（3）如图3，若∠BCE＝α，∠BAC＝β，点D在线段CB的延长线上时，则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°；（3）解：α＝β．理由如下：同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠BCE＝α，∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠ACB+α，∵∠ABD是△ABC的一个外角，∴∠ABD＝∠ACB+∠BAC＝∠ACB+β，∴α＝β．。

专题 全等三角形压轴题(30题)(解析版)

专题 全等三角形压轴题(30题)(解析版)

八年级上册数学《第十二章全等三角形》专题全等三角形压轴题训练（30题）1．（2022秋•忠县期末）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．【分析】（1）在BC上截取BM＝BD，连接FM，证明△BFD≌△BFM，△ECF≌△MCF，进而可以解决问题；（2）根据已知条件证明△BDF≌△CDA，进而可以解决问题．【解答】证明：（1）如图，在BC上截取BM＝BD，连接FM，∵∠A＝60，∴∠BFC＝90°+60°÷2＝120°，∴∠BFD＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，在△BFD和△BFM中，BD=BM∠1=∠2，BF=BF∴△BFD≌△BFM（SAS），∴∠BFM＝∠BFD＝60°，DF＝MF，∴∠CFM＝120°﹣60°＝60°，∵∠CFE＝∠BFD＝60°，∴∠CFM＝∠CFE，∵CD平分∠ACB，∴∠3＝∠4，又CF＝CF，在△ECF和△MCF中，∠CFE=∠CFMFC=FC，∠3=∠4∴△ECF≌△MCF（ASA），∴EF＝MF，∴DF＝EF；（2）∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BDF＝∠CDA＝90°，∴∠1+∠BFD＝90°，∠3+∠CFE＝90°，∠BFD＝∠CFE，∴∠1＝∠3，∵BD＝CD，在△BDF和△CDA中，∠BDF=∠CDABD=CD，∠1=∠3∴△BDF≌△CDA（ASA），∴DF＝DA，∵∠ADF＝90°，∴∠6＝45°，∵∠G＝∠6，∴∠5＝45°∴∠G＝∠5，∴GD＝DA，∴GD＝DF．【点评】本题属于三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．2．如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，E为AB延长线上一点，且CD＝BE，DE与BC相交于点F．（1）求证：DF＝EF．＝5，求EG的长．（2）过点F作FG⊥DE，交线段CE于点G，若CE⊥AC，CD＝4，S△EFG【分析】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，根据等腰三角形的性质及平行线的性质得到∠BEF＝∠HDF，∠DHC＝∠DCH，则DH＝CD，结合∠BFE＝∠HFD，即可利用AAS判定△BEF≌△HDF，根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据三角形的面积公式求解即可．【解答】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DH∥AB，∴∠DHC＝∠ABC，∴∠DHC＝∠ACB＝∠DCH，∴DH＝CD，∵CD＝BE，∴DH＝BE，∵DH∥AB，∴∠BEF＝∠HDF，在△BEF和△HDF中，∠BFE=∠HFD∠BEF=∠HDFBE=DH，∴△BEF≌△HDF（AAS），∴DF＝EF；（2）连接DG，∵DF＝EF，FG⊥DE，∴S△DFG ＝S△EFG＝5，∴S△DEG＝10，∵CE⊥AC，CD＝4，∴S△DEG =12EG•CD=12EG×4，∴12EG×4＝10，∴EG＝5．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS判定△BEF≌△HDF是解题的关键．3．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为BC边上的一个动点，连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，连接CD．（1）当点P在线段BC上时（不与点B重合），求证：△BAP≌△CAD；（2）当点P在线段BC的延长线上时（如图2），试猜想线段BP和CD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．【分析】（1）证得∠BAP＝∠CAD，根据SAS可证明△BAP≌△CAD；（2）可得∠BAP＝∠CAD，由SAS可证明△BAP≌△CAD，可得BP＝CD，∠B＝∠ACD，则结论得证．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC﹣∠PAC＝∠PAD﹣∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS）；（2）猜想：BP＝CD，BP⊥CD．证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC+∠PAC＝∠PAD+∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS），∴BP＝CD（全等三角形的对应边相等），∠B＝∠ACD（全等三角形的对应角相等），∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ACB＝90°，即：BP⊥CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键．4．在△ABC中，∠ABC＝90°．点G在直线BC上，点E在直线AB上，且AG与CE相交于点F，过点A 作边AB的垂线AD，且CD∥AG，EB＝AD，AE＝BC．（1）如图①，当点E在△ABC的边AB上时，求∠DCE的度数；（2）如图②，当点E在线段BA的延长线上时，求证：AB＝BG．【分析】（1）如图①，连接ED，根据已知条件得到△ADE≌△BEC（SAS），根据全等三角形的性质得到∠AED＝∠BCE，ED＝CE，于是得到结论；（2）如图②，连接DE，根据已知条件得到△ADE≌△BEC（SAS），根据全等三角形的性质得到∠AED ＝∠BCE，ED＝CE，根据等腰三角形的性质得到∠EDC＝∠ECD，推出AF平分∠DAE，于是得到结论．【解答】解：（1）如图①连接ED，∵AD⊥AB，∴∠DAE＝90°，∵∠ABC＝90°，∵AD＝EB，AE＝BC，∴△ADE≌△BEC（SAS），∴∠AED＝∠BCE，ED＝CE，∴∠AED+∠BEC＝∠BCE+∠BEC；∴∠AED+∠CEB＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DCE＝45°；（2）如图②，连接DE，∵AD⊥AB，∴∠DAE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DAE＝∠ABC，∵AD＝EB，AE＝BC，∴△ADE≌△BEC（SAS），∴∠ADE＝∠BEC，ED＝CE，∵ED＝CE，∴∠EDC＝∠ECD，即∠ADE+∠ADC＝∠ECD，∴∠BEC+∠DAF＝∠AFC，∵∠BEC+∠EAF＝∠AFC，∴∠DAF＝∠EAF，∴AF平分∠DAE，∵∠DAE＝90°，∴∠EAF＝45°，∵∠EAF＝∠BAG，∴∠BAG＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABG＝90°，∴∠BGA＝∠BAG，∴AB＝BG．【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．5．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题；（2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解决问题．【解答】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，AC=DEBC=BE，∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB＝BD，（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，∵∠ABF＝∠DBG＝45°∴∠MBD＝∠GBD，在△BMK和△BGK中，∠MBD=∠GBDBK=BK，∠AKB=∠BKG∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM＝BG，MK＝KG，在△ABM和△DBG中，AB=BD∠ABM=∠DBG，BM=BG∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM＝DG，∵AK＝AM+MK，∴AK＝DG+KG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BMK≌△BGK．6．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．【分析】（1）根据已知条件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ACG；（2）结合（1）的结论，再证明△AEF≌△AEG，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABF和△ACG中，∠BAD=∠CAGAB=AC，∠ABF=∠ACG∴△ABF≌△ACG（ASA）；（2）证明：∵△ABF≌△ACG，∴AF＝AG，BF＝CG，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠CAD＝∠CAG，在△AEF和△AEG中，AF=AG∠FAE=∠GAE，AE=AE∴△AEF≌△AEG（SAS）．∴EF＝EG，∴BE＝BF+FE＝CG+EG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AEF≌△AEG．7．（2022秋•新市区校级期中）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．求证：（1）AD＝AE＝EC．（2）BA+BC＝2BF．【分析】（1）由△BCD和△BEA为等腰三角形，∠ABD＝∠EBC，得出∠BCD＝∠BEA，由△ABD≌△EBC可得∠BCE＝∠BDA，由∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA得出∠BCD+∠DCE＝∠DAE+∠BEA，进而得出∠DCE＝∠DAE，即可证明AE＝EC；（2）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，由“HL”得出Rt△BFE≌Rt△BGE和Rt△BFE≌Rt△BGE，从而得出BF＝BG，FA＝CG，再通过等量代换即可得出结论．【解答】（1）证明：∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD与△EBC中，AB=EB∠ABD=∠EBD，BD=BC∴△ABD≌△EBC（SAS），∴∠BCE＝∠BDA，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∴∠BCD+∠DCE＝∠DAE+∠BEA，∵BD＝BC，BE＝BA，∴△BCD和△BEA为等腰三角形，∵∠ABD＝∠EBC，∴∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝EC＝AE；（2）证明：如图，过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BG，∴EF＝EG，在Rt△BFE与Rt△BGE中，EF=EGBE=BE，∴Rt△BFE≌Rt△BGE（HL），∴BF＝BG，在Rt△AFE与Rt△CGE中，EF=EGEA=EC，∴Rt△AFE≌Rt△CGE（HL），∴FA＝CG，∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．8．（2023春•余江区期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为　cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据SAS证明△CBD≌△CAE即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可；（3）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可．【解答】解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△CBD与△CAE中，BC=AC∠BCD=∠ACE，DC=EC∴△CBD≌△CAE（SAS）；（2）∵△CBD≌△CAE，∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），故答案为：8；（3）AE⊥BD，理由如下：AE与CD相交于点O，在△AOD与△COE中，∵△CBD≌△CAE，∴∠ADO＝∠CEO，∵∠AOD＝∠COE，∴∠OAD＝∠OCE＝90°，∴AE⊥BD．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS得出△CBD与△CAE全等解答．9．已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是BC上一点，连接AE（1）如图1，当AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，△EHB的周长为10m，求AB的长；（2）如图2，延长BC至D，使DC＝BC，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，连接DF，过点B作BG⊥BC，交FC的延长线于点G，求证：BG＝BE．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝45°，根据角平分线的性质得到CE＝EH＝BH，根据全等三角形的性质得到AH＝AC，于是得到结论；（2）先连接AD，依据AAS判定△ADF≌△ABE，得到DF＝BE，再判定△BCG≌△DCF，得出DF＝BG，进而得到BG＝BE．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∵AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，∴CE＝EH＝BH，在Rt△ACE与Rt△AHE中，CE=EH AE=AE，∴Rt△ACE与Rt△AHE（HL），∴AH＝AC，∴AH＝BC，∵△EHB的周长为10m，∴AB＝AH+BH＝BC+BH＝10m；（2）如图所示，连接AD，线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，则AE＝AF，∠EAF＝90°，∵AC⊥BD，DC＝BC，∴AD＝AB，∠ABE＝∠ADC＝45°，∴∠BAD＝90°＝∠EAF，∴∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴DF＝BE，∠ADF＝∠ABE＝45°，∴∠FDC＝90°，∵BG⊥BC，∴∠CBG＝∠CDF＝90°，又∵BC＝DC，∠BCG＝∠DCF，∴△BCG≌△DCF（ASA），∴DF＝BG，∴BG＝BE．【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等得出结论．10．在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥MB，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图①，点D在线段AM上，且DM＝CM．求证：△BDM≌△ACM；（2）如图②，在（1）的条件下，点E是△ABC外一点，且满足EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且F为线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．【分析】（1）利用SAS即可证明△BMD≌△AMC．（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，证△BMD≌△AMC得AC＝BD，再证△BFG≌△CFE可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得∠BDG＝∠G＝∠CEF．【解答】（1）证明：∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，在△BMD和△AMC中，DM=CM∠BMD=∠AMC BM=AM，∴△BMD≌△AMC（SAS）；（2）证明：延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．如图所示：∵△BMD≌△AMC∴BD＝AC，又∵CE＝AC，∴BD＝CE，在△BFG和△CFE中，BF=FC∠BFG=∠EFC FG=FE，∴△BFG≌△CFE（SAS），∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDF＝∠G＝∠CEF．∴∠BDF＝∠CEF．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于点D．（1）求证：BD＝CD．（2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE＝AC．（3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论．【分析】（1）根据∠A＝120°，∠C＝20°，可得∠ABC的度数，再根据BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠C＝20°，进而可得结论；（2）如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，证明△ABE≌△AFE，可得BE＝EF＝FC，进而可得AB+BE ＝AC；（3）如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，结合（1）和AE是∠BAC的外角平分线，可得FE＝AF＝AC，进而可得结论BE﹣AB＝AC．【解答】（1）证明：∵∠A＝120°，∠C＝20°，∴∠ABC＝180°﹣120°﹣20°＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC=12∠ABC＝20°，∴∠DBC＝∠C＝20°，∴BD＝CD；（2）证明：如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，∴∠FEC＝∠DBC＝20°，∴∠FEC＝∠C＝20°，∴∠AFE＝40°，FE＝FC，∴∠AFE＝∠ABC，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，∠BAE=∠FAE∠ABE=∠AFE，AE=AE∴△ABE≌△AFE（AAS），∴BE＝EF，∴BE＝EF＝FC，∴AB+BE＝AF+FC＝AC；（3）（2）中的结论不成立，正确的结论是BE﹣AB＝AC．理由如下：如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，∴∠AFC＝∠DBC＝20°，∴∠AFC＝∠C＝20°，∴AF＝AC，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠EAB=12（180°﹣∠ABC）＝30°，∵∠ABC＝40°，∴∠E＝∠ABC﹣∠EAB＝10°，∴∠E＝∠FAE＝10°，∴FE＝AF，∴FE＝AF＝AC，∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．12．（2022秋•渝北区校级期末）已在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，D为直线AB上一点，连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上，且∠DCB＝30°时，请探究DF，EF，CF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，在FC上任取一点G，连接DG，作射线GP使∠DGP＝60°，交∠DFG 的平分线于点Q，求证：FD+FG＝FQ．【分析】（1）在EF上找到G点使得FG＝CF，易证△CFG是等边三角形，可得CG＝CF＝GF，即可求得∠ECG＝∠ACD，即可证明△ECG≌△CDF，可得DF＝EG，即可解题；（2）在FP上找到H点，使得FH＝FG，易证△FGH是等边三角形，可得∠GHF＝∠FGH＝60°，GH ＝FG＝FH，即可求得∠FGD＝∠QGH，即可证明△DFG≌△QHG，可得DF＝QH，即可解题．【解答】（1）解：EF＝DF+CF；在EF上找到G点使得FG＝CF，如图2，∵∠BCD＝30°，∠ACB＝45°，∴∠ACD＝15°，∴∠CFG＝∠CDE+∠ACD＝60°，∵FG＝CF，∴△CFG是等边三角形，∴CG＝CF＝GF，∠FCG＝60°，∴∠GCE＝90°﹣15°﹣60°＝15°，在△ECG和△CDF中，CG=CF∠ECG=∠ACD，CE=CD∴△ECG≌△CDF，（SAS）∴DF＝EG，∵EF＝EG+GF，∴EF＝DF+CF；（2）证明：在FQ上找到H点，使得FH＝FG，如图3，∵FQ平分∠DFG，∴∠QFG＝60°，∵FG＝FH，∴△FGH是等边三角形，∴∠GHF＝∠FGH＝60°，GH＝FG＝FH，∵∠AFD＝∠CDE+∠ACD＝60°，∴∠GHQ＝∠DFG＝120°，∵∠FGD+∠DGH＝60°，∠DGH+∠QGH＝60°，∠QGH＝∠DGF，∴∠FGD＝∠QGH，在△DFG和△QHG中，∠DFG=∠QHG=120°FG=HG，∠FGD=∠QGH∴△DFG≌△QHG，（ASA）∴DF＝QH，∵FQ＝FH+QH，∴FQ＝FG+FD．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ECG≌△CDF和△DFG≌△QHG是解题的关键．13．（2022春•运城期末）综合与探究如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠ADB，结合平角的定义可得∠DAE+∠DFE＝180°，根据∠BFC+∠DFE＝180°，可求得∠BFC＝∠DAE，即可求解；（3）连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．结合全等三角形的性质利用HL证明Rt△AFJ≌Rt△AFH，Rt△AJE≌Rt△AHD可得FJ＝FH，EJ＝DH，进而可证明结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．∴∠CAE＝∠BAD．在△ACE和△ABD中，AC=AB∠CAE=∠BAD，AE=AD∴△ACE ≌△ABD （SAS ）；（2）解：∵△ACE ≌△ABD ，∴∠AEC ＝∠ADB ，∴∠AEF +∠AEC ＝∠AEF +∠ADB ＝180°．∴∠DAE +∠DFE ＝180°，∵∠BFC +∠DFE ＝180°，∴∠BFC ＝∠DAE ＝∠BAC ＝50°；（3）证明：如图，连接AF ，过点A 作AJ ⊥CF 于点J ．∵△ACE ≌△ABD ，∴S △ACE ＝S △ABD ，CE ＝BD ，∵AJ ⊥CE ，AH ⊥BD ．∴12CE ⋅AJ =12BD ⋅AH ，∴AJ ＝AH ．在Rt △AFJ 和Rt △AFH 中，AF =AF AJ =AH ，∴Rt △AFJ ≌Rt △AFH （HL ），∴FJ ＝FH ．在Rt △AJE 和Rt △AHD 中，AE =AD AJ =AH ，∴Rt △AJE ≌Rt △AHD （HL ），∴EJ ＝DH ，∴EF +DH ＝EF +EJ ＝FJ ＝FH ．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．14．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点D ，延长BD 交AC 于E ，G 、F 分别在BD 、BC 上，连接DF 、GF ，其中∠A ＝2∠BDF ，GD ＝DE ．（1）当∠A ＝80°时，求∠EDC 的度数；（2）求证：CF ＝FG +CE ．【分析】（1）方法一：先求∠ABC 和∠ACB 的和为100°，再根据角平分线求∠DBC +∠DCB ＝50°，再根据外角即可解决问题；方法二：在BC 上取点M ，使CM ＝CE ，证明△CDE ≌△CDM （SAS ），可得DE ＝DM ，∠DEC ＝∠DMC ，∠EDC ＝∠MDC ，证明∠BDM ＝180°−12∠ABC ﹣∠DMB ＝180°−12∠ABC ﹣∠AEB ＝∠A ＝80°，进而可以解决问题．（2）结合（1）然后证明△DGF ≌△DMF （SAS ），可得GF ＝MF ，进而可以解决问题．【解答】（1）解：方法一：∵∠A ＝80°，∴∠ABC +∠ACB ＝100°，∵BE 平分∠ABC 、CD 平分∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB ＝50°，∴∠EDC ＝∠DBC +∠DCB ＝50°；方法二：如图，在BC 上取点M ，使CM ＝CE ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD＝∠BCD，在△CDE和△CDM中，CE=CM∠ECD=∠MCDCD=CD，∴△CDE≌△CDM（SAS），∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，∵GD＝DE，∴GD＝MD，∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，∴∠AEB＝∠DMF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，∴∠BDM＝180°−12∠ABC﹣∠DMB＝180°−12∠ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，∴∠EDM＝100°，∴∠EDC＝50°；（2）证明：∵∠A＝2∠BDF，∴∠BDM＝2∠BDF，∴∠FDM＝∠BDF，在△DGF和△DMF中，DG=DM∠GDF=∠MDFDF=DF，∴△DGF≌△DMF（SAS），∴GF＝MF，∴CF＝CM+FM＝CE+GF．∴CF＝FG+CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是根据题意准确作出辅助线得到△DGF≌△DMF．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：AC＝AE；（2）求证：∠BAC+∠FDB＝180°；（3）若AB＝9.5，AF＝1.5，求线段BE的长．【分析】（1）证△ACD≌△AED（AAS），即可得出结论；（2）设∠DAC＝∠DAE＝α，在AB上截取AM＝AF，连接MD，证△FAD≌△MAD（SAS），得FD＝MD，∠ADF＝∠ADM，再证Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），得∠DME＝∠B，然后证∠FDB＝90°+90°﹣2α＝180°﹣2α，即可得出结论；（3）求出MB＝AB﹣AM＝8，由全等三角形的性质得ME＝BE，即可求解．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，∵DE⊥BA，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠DEA＝90°，在△ACD和△AED中，∠C=∠DEA∠DAC=∠DAE，AD=AD∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC＝AE；（2）证明：设∠DAC＝∠DAE＝α，∵∠C＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°﹣α，∠ADE＝90°﹣α，则∠FDB＝∠FCD+∠DFC＝90°+∠DFC，在AB上截取AM＝AF，连接MD，如图所示：在△FAD和△MAD中，AF=AM∠DAF=∠DAM，AD=AD∴△FAD≌△MAD（SAS），∴FD＝MD，∠ADF＝∠ADM，∵BD＝DF，∴BD＝MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，MD=BDDE=DE∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），∴∠DME＝∠B，∵∠DAC＝∠DAE＝α，∴∠DAC+∠ADF＝∠ADM+∠ADM，在△FAD中，∠DAC+∠ADF＝∠DFC，在△AMD中，∠DAE+∠ADM＝∠DME，∴∠DFC＝∠DME，∴∠DFC＝∠B，∵∠C＝90°，在△ABC中，∠B＝90°﹣2α，∴∠DFC＝90°﹣2α，∴∠FDB＝90°+90°﹣2α＝180°﹣2α，∵∠BAC＝∠DAC+∠DAE＝2α，∴∠FDB+∠BAC＝180°﹣2α+2α＝180°；（3）解：∵AF＝AM，且AF＝1.5，∴AM＝1.5，∵AB＝9.5，∴MB＝AB﹣AM＝9.5﹣1.5＝8，由（2）得：Rt△MDE≌Rt△BDE，∴ME＝BE，∴BE=12BM=4，即BM的长为4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解题的关键．16．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接DE，CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，求证：BD＝CE．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．②当点D分别在线段BC上、线段BC的反向延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由.【分析】（1）根据SAS证△BAD≌△CAE，可得结论；（2）①由△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可．【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS），（2）解：①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；②分三种情况：i）当D在线段BC上时，如图2，α+β＝180°，理由是：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，∴α+β＝180°，ii）当点D在线段BC反向延长线上时，如图3，α＝β．如图3，同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图1，α＝β．综上，当点D在BC上移动时，α＝β或α+β＝180°．【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（2022春•南海区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD．以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．（1）若AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图②中画出相应的图形并说明理由；（2）如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA＝45°，点D在线段BC上运动，试探究CF与BD 的位置关系．【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF＝∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，根据全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质求解即可；②先求出∠CAF＝∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；（2）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC＝AE，∠AED＝45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF＝∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF＝∠AED，然后求出∠BCF＝90°，从而得到CF ⊥BD．【解答】解：（1）①CF＝BD，CF⊥BD，理由如下：∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，AB＝AC，∴∠CAF+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，∠B＝∠ACB＝45°，∴∠CAF＝∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD，AF=AD∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠FCB＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BD；②①中的结论成立，理由如下：如图②：∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，AB＝AC，∴∠BAC＝∠DAF＝90°，∠B＝∠ACB＝45°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠CAF＝∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD，AF=AD∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，∴∠BCF＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BD；（3）如图③，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝AE，∠AED＝45°，∵∠CAF+∠CAD＝90°，∠EAD+∠CAD＝90°，∴∠CAF＝∠EAD，在△ACF和△AED中，AC=AE∠CAF=∠EAD，AF=AD∴△ACF≌△AED（SAS），∴∠ACF＝∠AED＝45°，∴∠BCF＝∠ACF+∠BCA＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BC．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作出合理的辅助线根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键．18．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）△ABC≌△ADE吗？为什么？（2）求∠FAE的度数；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，试说明CD＝2BF+DE．【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△ADE；（2）由等腰直角三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°，由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠AED＝45°，即可求解；（3）由全等三角形的性质可得∠ABC＝∠ADE，BC＝DE，由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得AB＝AG＝AD，∠ABG＝∠AGB＝∠ADC，由“AAS”可证△ACD≌△ACG，可得CD＝CG，可得结论．【解答】证明：（1）△ABC≌△ADE，理由如下：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠EAD＝∠CAB，在△ABC和△ADE中，AB=AD∠BAC=∠DAE，AC=AE∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠AEC＝∠ACE＝45°，∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB＝∠AED＝45°，∵AF⊥CB，∴∠FAC＝45°，∴∠FAE＝135°；（3）∵△ABC≌△ADE，∴∠ABC＝∠ADE，BC＝DE，∴∠ADC＝∠ABG，∵AF⊥BF，BF＝FG，∴AB＝AG，∴AG＝AD，∠ABG＝∠AGB＝∠ADC，又∵∠ACG＝∠ACD＝45°，∴△ACD≌△ACG（AAS），∴CD＝CG，∴CD＝BG+CB＝2BF+DE．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，证明△ACD≌△ACG是解题的关键．19．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在直线AC上，点E在直线AB上，∠ADE＝∠ABC．（1）如图1，当点D、E分别在边AC、AB上时，求证：DE⊥AB；（2）如图2，当点D在CA延长线上，点E在BA延长线上时，DE、BC延长线交于点F，作∠EAC的角平分线AG交DF于点G，求证：∠D+2∠DGA＝90°；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG交CD于点H，若∠DGH＝∠DHG，∠AGB＝3∠CBH，求∠DGA的度数．【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余得到∠ABC+∠A＝90°，等量代换得出∠ADE+∠A＝90°，进而得出∠AED＝90°，根据垂直的定义即可得解；（2）过点G作GN∥FB交CD于点N，根据平行线的性质及垂直的定义推出∠AEG＝∠ANG＝90°，根据角平分线定义得出∠EAG＝∠NAG，利用AAS证明△EAG≌△NAG，根据全等三角形的性质及直角三角形的性质即可得解；（3）根据直角三角形的性质及对顶角相等得出∠DGH＝90°−13∠AGB，根据等腰三角形的性质推出∠DGH＝90°−12∠D，则90°−13∠AGB＝90°−12∠D，进而推出∠AGB=32∠D，则∠DGA+32∠D＝90°−12∠D，结合（2）求解即可．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∵∠ADE＝∠ABC，∴∠ADE+∠A＝90°，∴∠AED＝90°，∴DE⊥AB；（2）证明：如图2，过点G作GN∥FB交CD于点N，则∠GNC＝∠ACB＝90°，∴GN⊥CD，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵∠ADE＝∠ABC，∠BAC＝∠DAE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠DEA＝90°，∴BE⊥DF，∴∠AEG＝∠ANG＝90°，∵AG平分∠EAC，∴∠EAG＝∠NAG，在△EAG和△NAG中，∠AEG=∠ANG∠EAG=∠NAGAG=AG，∴△EAG≌△NAG（AAS），∴∠DGA＝∠NGA，∴∠DGN＝2∠DGA，∵∠D+∠DGN＝90°，∴∠D+2∠DGA＝90°；（3）解：∵∠AGB＝3∠CBH，∴∠CBH=13∠AGB，∵∠DHG＝∠CHB＝90°﹣∠CBH，∴∠DGH＝90°−13∠AGB，∵∠DGH＝∠DHG，∴∠DGH=12（180°﹣∠D）＝90°−12∠D，∴90°−13∠AGB＝90°−12∠D，∴∠AGB=32∠D，∵∠DGH＝∠DGA+∠AGB，∴∠DGA+∠AGB＝90°−12∠D，∴∠DGA+32∠D＝90°−12∠D，∴2∠D+∠DGA＝90°，由（2）知，∠D+2∠DGA＝90°，∴∠D＝∠DGA，∴3∠DGA＝90°，∴∠DGA＝30°．【点评】此题是三角形综合题，考查了直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．20．（2023春•新市区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明；（3）如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论；（2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．（3）过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．【解答】解：（1）结论：AC＝EF+FC．理由如下：过D作DH⊥CB于H，∴∠DHC＝∠DHB＝90°，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠EFC=∠DHC=90°∠FCE=∠DCH，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CB+HB，∴AC＝FC+EF；（2）依题意补全图形，结论：AC＝EF﹣CF，理由如下：过D作DH⊥CB交BC的延长线于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠FCE=∠DCH∠EFC=∠DHC=90°，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝HB﹣CH，∴AC＝EF﹣CF；（3）AC＝CF﹣EF．如图3，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，同理可证△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CH﹣BH，∴AC＝CF﹣EF．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．21．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为　；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F 不重合），并说明理由．【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．22．（1）如图1，∠B＝∠D＝90°，E是BD的中点，AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD．（2）如图2，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线并于点E，过点E作BD⊥AM，分别交AM、CN于B、D，请猜想AB、CD、AC三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．（3）如图3，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线交于点E，过点E作不垂直于AM的线段BD，分别交AM、CN于B、D点，且B、D两点都在AC的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）过点E作EF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB＝OE，从而求出OE＝OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；（2）如图2，过E作EF⊥AC于F，根据平行线的性质得到BD⊥CD，由角平分线的性质得到BE＝EF，证得Rt△AEF≌Rt△ABE，根据全等三角形到现在得到AF＝AB，同理CF＝CD，等量代换得到结论；（3）成立，如图3，在AC上截取AF＝AB，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠FAE，推出△ABE≌△AFE，根据全等三角形的性质得到∠AFE＝∠ABE，根据角平行线的性质得到∠ABE+∠CDE＝180°，求得∠CFE＝∠CDE，证得△CEF≌△CDE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，过E作EF⊥AC于F，∵∠B＝90°，AE平分∠BAC，∴EF＝BE，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，∴EF＝DE，∵∠D＝90°，∴CE平分∠ACD；（2）如图2，过E作EF⊥AC于F，∵AM∥CN，BD⊥AM，∴BD⊥CD，∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF，在Rt△AEF与Rt△ABE中，BE=EF AE=AE，∴Rt△AEF≌Rt△ABE，∴AF＝AB，同理CF＝CD，∵AC＝AF+CF，∴AC＝AB+CD；（3）成立，如图3，在AC上截取AF＝AB，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE与△AFE中，AB=AF∠BAE=∠FAEAE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠AFE＝∠ABE，∵AM∥CN，∴∠ABE+∠CDE＝180°，∵∠AFE+∠EFC＝180°，∴∠CFE＝∠CDE，∵CE平分∠ACD，∴∠FCE＝∠DCE，在△CEF与△CDE中，∠CFE=∠CDE ∠FCE=∠DCE CE=CE，∴△CEF≌△CDE，∴CF＝CD，∵AC＝AF+CF，∴AC＝AB+CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．23．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF＝DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【分析】（1）我们已知了三角形BED和CAB全等，那么DE＝AF+CF，因此只要求出EF＝CF就能得出本题所求的结论，可通过全等三角形来实现，连接BF，那么证明三角形BEF和BCF全等就是解题的关键，这两三角形中已知的条件有BE＝BC，一条公共边，根据斜边直角边定理，这两个直角三角形就全等了，也就得出EF＝CF，也就能证得本题的结论了；（2）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样；（3）结论不成立．结论：AF＝DE+EF．同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AF＝AC+FC＝DE+EF．【解答】（1）证明：连接BF（如图①），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC＝BE，AC＝DE．∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴∠BCF＝∠BEF＝90°．在Rt△BFC和Rt△BFE中，BF=BFBC=BE∴Rt△BFC≌Rt△BFE（HL）．∴CF＝EF．又∵AF+CF＝AC，∴AF+EF＝DE．（2）解：画出正确图形如图②∴（1）中的结论AF+EF＝DE仍然成立；（3）不成立．结论：AF＝DE+EF．。

全等三角形压轴训练(多解、动点、新定义型压轴)(解析版)—24-25学年八年级数学上册单元(人教版)

全等三角形压轴训练(多解、动点、新定义型压轴)(解析版)—24-25学年八年级数学上册单元(人教版)

全等三角形压轴训练（多解、动点、新定义型压轴）目录题型一　利用三角形全等求时间或线段长的多解问题...........................................................................................1题型二　与全等三角形有关的多结论问题 (7)题型三　全等三角形中的动点综合问题 (13)题型四　全等三角形中的新定义型综合问题 (27)题型一　利用三角形全等求时间或线段长的多解问题【答案】4【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解一元一次方程，先设运动全等；分两种情况：12x x -=，得出x =01 压轴总结02 压轴题型∴CAP V ≌PBQ V ；②若BP AP =，则12x x -=，解得：6x =，可知12(cm)BQ AC =¹，此时CAP V 与PQB △不全等．综上所述：运动4s 后CAP V 与PQB △全等．故答案为：4．巩固训练1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，ABC V 中，90ACB Ð=°，6cm AC =，8cm BC =，直线l 经过点C 且与边AB 相交．动点P 从点A 出发沿A C B ®®路径向终点B 运动；动点Q 从点B 出发沿B C A ®®路径向终点A 运动．点P 和点Q 的速度分别为1cm /s 和2cm /s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点P 和点Q 作PE l ^于点E ，QF l ^于点F ，设运动时间为t 秒，则当t 为（ ）秒时，PEC V 与QFC V 全等．A ．12或43B ．2或45或10C ．1或43D ．2或143或12由题意得，,AP t BQ ==∵6cm,8cm AC BC ==，由题意得，,2AP t BQ ==∵6cm,8cm AC BC ==，∴6,28CP t CQ t =-=-，当PEC QFC △≌△，则PC CQ =，由题意得，AP t =，∵6cm AC =，∴6,6CP t CQ =-=，2.（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在长方形ABCD 中，4,6AB AD ==，延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA →→向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为 秒时，ABP V 与DCE △全等．3．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图，CA AB ^，垂足为点A ，12AB =米，6AC =米，射线BM AB ^，垂足为点B ，动点E 从A 点出发以2米/秒沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED CB =，当点E 经过 秒时（不包括0秒），由点D E B 、、组成的三角形与BCA V 全等．【答案】3秒或9秒或12【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当点E 在线段AB 上，AC BE =时，ACB BED V V ≌；当E 在BN 上，AC BE =时，ACB BED V V ≌；当E 在线段AB 上，AB EB =时；当E 在BN 上，AB EB =时，ACB BDE V V ≌；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．【详解】解：当点E 在线段AB 上，AC BE =时，ACB BED V V ≌，6AC =Q ，6BE \=，1266AE AB BE \=-=-=，\点E 的运动时间为623¸=（秒）；当E 在BN 上，AC BE =时，ACB BED V V ≌，6AC =Q ，6BE \=，12618AE AB BE \=+=+=，\点E 的运动时间为1829¸=（秒）；当E 在线段AB 上，AB EB =时，此时E 在A 点未动，时间为0秒，不符合题意；当E 在BN 上，AB EB =时，ACB BDE V V ≌，12AB =Q ，12BE \=，121224AE AB BE \=+=+=，\点E 的运动时间为24212¸=（秒）；综上所述，当点E 经过3秒或9秒或12秒时（不包括0秒），由点D E B 、、组成的三角形与BCA V 全等，故答案为：3秒或9秒或12．4．如图，ABC V 中，90ACB Ð=°，12AC =，16BC =，点P 从A 点出发沿A C B ®®路径向终点运动，终点为B 点；点Q 从B 点出发沿B C A ®®路径向终点运动，终点为A 点．点P 和Q 分别以2和6的运动速【答案】1或72或12【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出可．【详解】解：设点运动t秒时，以Q PE l^，QF l^，\90PEC QFCÐ=Ð=°，Q90ACBÐ=°，\90EPC PCEÐ+Ð=°，Q 由①知：PC CQ =，\212616t t -=-，=1t \；因为此时60t -<，所以此种情况不符合题意；122616PC t t =-=-，7=2t ；④当Q 到A 点停止，P 在BC ⑤因为P 的速度是每秒2，Q 题型二　与全等三角形有关的多结论问题例题：（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在Rt AEB V 和Rt AFC △中，BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于点N ，90E F ÐÐ==°，EAC FAB ÐÐ=，AE AF =．给出下列结论：①B C Ð=Ð；②CD DN =；③BE CF =；④ACN ABM @V V ．其中正确的结论是（ ）A ．①③④B ．①②③④C ．①②③D ．①②④【答案】A 【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键．【详解】解：∵EAC FAB Ð=Ð，∴EAB FAC Ð=Ð，在EAB V 和FAC V 中，90E F AE AFEAB FAC Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA EAB FAC V V ≌，∴,,B C BE CF AB AC Ð=Ð==，∴①③都正确，在ACN ABM △和△中，B C AB AC CAN BAM Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ACN ABM V V ≌，故④正确，根据已知条件无法证明②是否正确，故①③④正确，故选：A ．巩固训练1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在Rt ABC △中，点M ，N 分别是边AB BC ，上的点，且M ，N 两点满足AM CN =，BP AN ^交AC 于点P ，过点P 作PQ MC ^交AN 延长线于点Q ，交BC 于点F ，AN 与CM 交于点E ，若AB BC =，则下列结论：①连接BE ，则BE 平分ABC Ð；②AME CNE △≌△；③CFQ AME Ð=Ð；④AQ CE PQ =+．成立的是（ ）．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键．先证明()SAS AMC CNA V V ≌可得MCA NAC Ð=Ð，再证明()AAS AME CNE V V ≌可得ME NE =，进而证明()SSS BME BNE V V ≌得到MBE NBE Ð=Ð即可判定①；由()SAS AMC CNA V V ≌可得MCA NAC Ð=Ð，然后证明()AAS AEM CEN V V ≌即可判定②；由全等三角形的性质可得AME ENC Ð=Ð，再结合三角形外角的性质即可判定③；先证明()ASA BHE CHP ÐÐV V ≌可得EH HP =，再证明()AAS EGH PDH V V ≌可得HG HD =，然后证明()HL QGH QHD V V ≌可得QE QP =，再说明AE CE =，最后根据线段的和差及等量代换即可证明结论．【详解】解：∵AB BC =，∴BAC BCA Ð=Ð,∵AM CN =，∴()SAS AMC CNA V V ≌，∴MCA NAC Ð=Ð.∵AM CN =，AEM NEC Ð=Ð,∴()AAS AME CNE V V ≌，即②正确；∴ME NE =,∵AB BC =，AM CN =，∴MB BN =,∵BE BE =,∴()SSS BME BNE V V ≌,∴MBE NBE Ð=Ð，即BE 平分ABC Ð，故①正确；∵()AAS AEM CEN V V ≌，∴AME ENC Ð=Ð，BCM BAE Ð=Ð，∵90ENC BAE ABC BAN Ð=Ð+Ð=Ð+°，90CFQ BCM CDF BCM Ð=Ð+Ð=Ð+°,∴ENC CFQ Ð=Ð,即③正确；∴BNQ CFQ Ð=Ð∴90,90BNQ CBP BGN CBP QFC BCH QDC BCH Ð=Ð+Ð=Ð+°Ð=Ð+Ð=Ð+°，∴CBP BCM Ð=Ð,∴BH CH =，∵45MBE NBE Ð=Ð=°，45BCA Ð=°，∴EBN CBP BCA BCM Ð-Ð=Ð-Ð,即EBP ECP Ð=Ð，∵BHE CHP Ð=Ð，∴()ASA BHE CHP V V ≌，∴EH HP =，∵90EGH HDP Ð=Ð=°，EHG PHD Ð=Ð，∴()AAS EGH PDH V V ≌,∴HG HD =，如图：连接HQ ∵90QGH QDH Ð=Ð=°,HQ HQ =,∴()HL QGH QHD V V ≌，∴QE QP =,∵AEM CEN V V ≌,∴AE CE =,∴AQ AE EQ CE PQ =+=+,即④正确．故选D ．2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在ABC V 中，90BAC Ð=°，AD BC ^于D ，BE 平分ABC Ð交AD 于E ，F 在BC 上，并且BF AB =，则下列四个结论：①EF AC ∥，②EFB BAD Ð=Ð，③AE EF =，④ABE FBE △≌△，其中正确的结论有（ ）A ．①③B ．②④C ．②③④D ．①②③④【答案】D【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义；根据SAS 证明ABE FBE △≌△，再利用三角形全等的性质证明EFB BAD Ð=Ð，AE EF =，进而得出EF AC ∥，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解此题的关键．【详解】解：Q BE 平分ABC Ð交AD 于E ，ABE FBE \Ð=Ð，在ABE V 和FBE V 中，AB BF ABE FBE BE BE =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ABE FBE \V V ≌，故④正确；EFB BAD AE EF \Ð=Ð=，，故②③正确；90BAC Ð=°Q ，AD BC ^于D ，90BAE ABD \Ð+Ð=°，90C ABD Ð+Ð=°，C BAE EFB \Ð=Ð=Ð，EF AC ∥∴，故①正确；综上所述，正确的有①②③④，故选：D ．3．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在ABC V 中，90BAC Ð=°，高AD 与角平分线BE 相交于点F ，DAC Ð的平分线AG 分别交BC ，BE 于点G ，O ，连接FG ，下列结论：①C EBG Ð=Ð；②AEF AFE Ð=Ð；③AG EF ^；④ACD ABG S S =△△，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②④B ．②③C ．③④D ．②③④题型三　全等三角形中的动点综合问题例题：（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在 ABC V 中， (060)AB BC ABC a a =Ð=<<°，，，射线AM AB ^，点P 为射线AM 上的动点(点P 不与点A 重合)，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转角度α后， 得到线段BQ ， 连接PQ 、QC ．(1)试说明 PAB QCB V V ≌的理由；(2)延长QC 交射线AM 于点D ，在点P 的移动过程中， QDM Ð的大小是否发生变化?若改变请说明理由，若不改变，请求出 QDM Ð的大小(用含α的代数式表示)；(3)当BQ AC ∥时， AB m AP n ==，， 过点Q 作QE 垂直射线AB ， 垂足为E ，那么 AEQ S =V (用m 、 n 的代数式表示) ．【答案】(1)理由见解析(2)不改变，QDM aÐ=(3)mn【分析】（1）先证明PBA QBC Ð=Ð，再根据两条边相等，即可证得两个三角形全等；（2）先证明()SAS DAB DCB V V ≌，得到DA DC =，DBA DBC Ð=Ð，再计算出DBA Ð的值，再证明DAC DBA Ð=Ð，最后根据三角形外角定理即可求得QDM Ð的大小；（3）证明QB 是ABE Ð的角平分线，根据角平分线定理得到BC BE =，QE QC =，再根据BC AB m ==，QC PA n ==，即可得到BE 和QE ，根据三角形面积公式进行计算即可．【详解】（1）证明：根据旋转的性质得到PN QB =，PBQ a Ð=，∴PBQ ABC Ð=Ð，∴PBA QBC Ð=Ð，∵PB QB PBA QBC AB BC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS PAB QCB V V ≌；（2）解：如下图所示，连接BD ，∵()SAS PAB QCB V V ≌，∴90QCB PAB Ð=Ð=°,∵BQ AC ∥，∴ACB CBQ CAB Ð=ÐÐ，∵ACB CAB Ð=Ð，∴QBE CBQ Ð=Ð，∴QB 是ABE Ð的角平分线，1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰Rt ACB △中，90ACB Ð=°，AC BC =，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF AE ^且AF AE =．(1)如图1，过F 点作FG AC ^交AC 于G 点，求证：V V ≌AGF ECA ；(2)如图2，连接BF 交AC 于D 点，若3AD CD =，求证：E 点为BC 中点；(3)如图3，当E 点在CB 的延长线上时，连接BF 与AC 的延长线交于D 点，若43BC BE =，则AD CD = ．AGF ECA QV V ≌，FG AC BC \==，在FGD V 和BCD △中，由（1）（2）知：V AGF CD DG \=，AG CE =\47AC AG =，\4AC =，2．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图（1），在Rt ABC △中，90C Ð=°，8cm AC =，6cm BC =，10cm AB =，现有一动点P ，从点A 出发，沿着三角形的边AC CB BA ®®运动，回到点A 停止，速度为2cm /s ，设运动时间为s t ．(1)如图（1），当t =________时，APC △的面积等于ABC V 面积的一半：(2)如图（2），在DEF V 中，90E Ð=°，4cmDE =，5cm DF =，D A Ð=Ð．在ABC V 的边上，若另外有一个动点Q ，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB BC CA ®®运动，回到点A 停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好APQ △全等于DEF V ，求点Q 的运动速度．∴13cm 2CP BC ==∴()8311s 22t +==当P 在AB 上时，如图，∴12AP BP AB ===∴(6851922t ++==综上所述，当t 为（2）解：设点Q∴425x ¸=¸，解得52x =；②当点P 在AC 上，点Q 在∴5cm AP DF AQ DE ====，∴524x ¸=¸，解得85x =；③当点P 在AB 上，点Q 在∴5cm AP DF AQ DE ====，∴点P 的路程为68105++-∴19220x ¸=¸，解得4019x =；④当点P 在AB 上，点Q 在∴4cm AP DE AQ DF ===，∴点P 的路程为68104++-∴20219x ¸=¸，解得1910x =；∴Q 运动的速度为5cm/s 2或853．如图，在等腰ABC V 中，BA BC =，100ABC Ð=°，AB 平分WAC Ð．在线段AC 上有一动点D ，连接BD ，E 为直线AW 上异于A 的一点，连接BE 、DE ．(1)如图1，当点E 在射线AW 上时，若DE AE DC +=，直接写出：EBD Ð=______；(2)如图2，当点E 在射线AW 的反向延长线上时，①若（1）中的结论仍成立，则DE 、AE 、DC 应满足怎样的数量关系，请证明；②若6BCD ABDE S S -=V 四边形，且25DE AE =，94AD AE =，求ABC S V 的值．4．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在直角坐标系xOy 中，点()0,4A ，点B 为x 轴正半轴上一个动点，以AB 为边作ABC V ，使BC AB =，90ABC Ð=°，且点C 在第一象限内．(1)如图1，若()2,0B ，求点C 的坐标．(2)如图2，过点B 向x 轴上方作BD OB ^，且BD BO =，在点B 的运动过程中，探究点C ，D 之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．(3)如图3，过点B 向x 轴下方作BD OB ^，且BD BO =，连结CD 交x 轴于点E ，当ABD △的面积是BEC V 的面积的2倍时，求OE 的长．【答案】(1)点C 的坐标为(6,2)(2)点C ，D 之间的距离是为定值，定值为4，理由见解析(3)6OE =【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定及性质，添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．90Q，Ð=°ABC\Ð+Ð=°，90ABO CBDÐ+Ð=°Q，OAB ABO90\Ð=Ð，OAB CBDAOBÐìï90OBA ABD Ð+Ð=°Q ，DBC ÐOBA DBC \Ð=Ð，在OAB V 和DCB △中，OB OBA AB =ìïÐíï=î()SAS OAB DCB \V V ≌．CF BO \=，BD BO =Q ，CF BD \=，4BF OA ==．CEF DEB Ð=ÐQ ，CFE Ð=()AAS CFE DBE \V V ≌，题型四　全等三角形中的新定义型综合问题例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形．【初步尝试】（1）如图1，在ABC V 中，4AB AC BC >=，，P 为边BC 上一点，若ABP V 与ACP V 是积等三角形，求BP 的长；【理解运用】（2）如图2，ABD V 与ACD V 为积等三角形，若24AB AC ==，，且线段AD 的长度为正整数，求AD 的长．【综合应用】（3）如图3，在Rt ABC △中90,BAC AB AC Ð=°=，过点C 作MN AC ^，点D 是射线CM 上一点，以AD 为边作Rt ,90,ADE DAE AD AE Ð=°=V ，连接BE ．请判断BAE V 与ACD V 是否为积等三角形，并说明理由．【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题；（2）证明ADB NDC V V ≌，推出2AB NC ==，利用三角形的三边关系即可解决问题；（3）过过点E 作EH AB ^于点H ，先证明HAE CAD V V ≌, 则,AC AH EH CD ==，然后再依据积等三角形（2）解：如图2，延长V为积等三角形，QV与ACDABD\=BD CD（3）是积等三角形证明：如图3，过点E作^QMN AC\Ð=Ð=°ACD AHE90巩固训练1．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，AC BC =，CD CE =，ACB Ð与DCE Ð为“同源角”．(1)如图1，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”ABC V 和CDE V 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且90ACE Ð=°，则Ð=EMD ______°．(3)如图3，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明PCQ △是等腰直角三角形．【答案】(1)AD BE =，详见解析(2)45(3)见解析【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，（1）由“同源三角形”的定义可证ACD BCE Ð=Ð，然后根据SAS 证明≌ACD BCE V V 即可；（2）由“同源三角形”的定义和90ACE Ð=°可求出45DCE ACB Ð==°，由（1）可知≌ACD BCE V V ，得ADC BEC ÐÐ=，然后根据“8”字形图形即可求出EMD Ð的度数；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，可得CAQ CBP BE AD ÐÐ=，=，根据SAS 证明ACQ BCP △≌△，可得CQ CP ACQ BCP =Ð=Ð，，进而可证结论成立；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．【详解】（1）AD BE =．理由：∵ABC V 和CDE V 是“同源三角形”，∴ACB DCE Ð=Ð，∴ACD BCE Ð=Ð．在ACD V 和BCE V 中，ACBC ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ACD BCE V V ≌，∴AD BE =．（2）∵ABC V 和CDE V 是“同源三角形”，∴ACB DCE Ð=Ð．∵90ACE Ð=°，∴45DCE ACB Ð=Ð=°．由（1）可知≌ACD BCE V V ，∴ADC BEC ÐÐ=．∵MOE COD Ð=Ð，∴45EMD DCE Ð=Ð=°．故答案为：45；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，∴CAQ CBP Ð=Ð，BE AD =．AD ，BE 的中点分别为,Q P ，∴AQ BP =．在ACQ V 和BCP V 中，CA CB CAQ CBP AQ BP =ìïÐ=íï=î，∴()SAS ACQ BCP V V ≌，∴CQ CP =，ACQ BCP Ð=Ð．∵90BCP PCA °Ð+Ð=，∴90ACQ PCA °Ð+Ð=，∴90PCQ Ð=°，∴PCQ △是等腰直角三角形．2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】定义：在同一平面内，点A ，B 分别在射线PM ，PN 上，过点A 垂直PM 的直线与过点B 垂直PN 的直线交于点Q ，则我们把AQB Ð称为APB Ð的“边垂角”．【迁移运用】(1)如图1，CD ，BE 分别是ABC V 的两条高，两条高交于点F ，根据定义，我们知道DBE Ð是DCE Ð的“边垂角”或DCE Ð是DBE Ð的“边垂角”，DAE Ð的“边垂角”是______；(2)若AQB Ð是APB Ð的“边垂角”，则AQB Ð与APB Ð的数量关系是______；(3)若ACD Ð是ABD Ð的“边垂角”，且AB AC =．如图2，BD 交AC 于点E ，点C 关于直线BD 对称点为点F ，连接AF ，EF ，且45CAF Ð=°，求证：BE CF CE =+．【答案】(1)DFEÐ(2)AQB APB Ð=Ð或180AQB APB Ð+Ð=°(3)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理：（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；（3）延长,BA CD 交于点G ，先证明(ASA)ABE ACG V V ≌，再证明(SAS)AGF AEF V V ≌，依据题意得出GF EC =，即可得到结论．【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，DAE Ð的“边垂角”是DFE Ð；（2）解：若AQB Ð是APB Ð的“边垂角”，分两种情况①如图，Q AQB Ð是APB Ð的“边垂角”，,AQ PA BQ PB \^^，190,290AQB APB \Ð+Ð=°Ð+Ð=°，12Ð=ÐQ ，AQB APB \Ð=Ð，②如图，Q AQB Ð是APB Ð的“边垂角”，,AQ PA BQ PB \^^，90,90PAQ PBQ \Ð=°Ð=°，360PAQ AQB APB PBQ Ð+Ð+Ð+Ð=°Q ，\180AQB APB Ð+Ð=°，综上所述，AQB Ð与APB Ð的数量关系是AQB APB Ð=Ð或180AQB APB Ð+Ð=°；（3）解：延长,BA CD 交于点G ，Q ACD Ð是ABD Ð的“边垂角”，∴CG BD BG AC ⊥，⊥，90,90ABE AEB ACD DEC \Ð+Ð=°Ð+Ð=°，AEB DEC Ð=ÐQ ，ABE ACF \Ð=Ð，90BAE CAG \Ð=Ð=°，AB AC =Q ，\(ASA)ABE ACG V V ≌，,AG AE BE CG \==，45FAC Ð=°Q ，9045GAF FAC \Ð=°-Ð=°，AF AF =Q ，\(SAS)AGF AEF V V ≌，GF EF \=，Q 点C 关于直线BE 对称点为点F ，EF EC \=，BE CG CF FG CF EF CF CE \==+=+=+，BE CF CE \=+；3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】定义：在同一平面内，点A ，B 分别在射线PM ，PN 上，过点A 垂直PM 的直线与过点B 垂直PN 的直线交于点Q ，则我们把AQB Ð称为APB Ð的“边垂角”．【迁移运用】(1)如图1，CD ，BE 分别是ABC V 的两条高，两条高交于点 F ，根据定义，我们知道DBE Ð是DCE Ð的“边垂角”或DCE Ð是DBE Ð的“边垂角”，DAE Ð的“边垂角”是 ；(2)若AQB Ð是APB Ð的“边垂角”，则AQB Ð与APB Ð的数量关系是 ；(3)若ACD Ð是ABD Ð的“边垂角”，且AB AC =．①如图2，已知B C Ð=Ð，BD 交AC 于点E ，点C 关于直线BD 对称点为点F ，连接AF ，EF ，且 45CAF Ð=°，90BAC Ð=°，求证：BE CF CE =+；对于上述问题，小明有这样的想法：在BD 上截取BH CF =，连接AH ，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证BE CF CE =+．②如图4，若92CD BD +=，直接写出四边形ABDC 的面积．【答案】(1)DFE Ð②如图，Q AQB Ð是APB Ð的“边垂角”，,AQ PA BQ PB \^^，90,90PAQ PBQ \Ð=°Ð=°，综上所述，AQB Ð与APB Ð的数量关系是AQB APB Ð=Ð或180AQB APB Ð+Ð=°；（3）解：①延长,BA CD 交于点G ，Q ACD Ð是ABD Ð的“边垂角”，90,90ABE AEB ACD DEC \Ð+Ð=°Ð+Ð=°，AEB DEC Ð=ÐQ ，ABE ACF \Ð=Ð，90BAE CAG \Ð=Ð=°，AB AC =Q ，\(ASA)ABE ACG V V ≌，,AG AE BE CG \==，45FAC Ð=°Q ，9045GAF FAC \Ð=°-Ð=°，AF AF =Q ，\(SAS)AGF AEF V V ≌，GF EF \=，Q 点C 关于直线BE 对称点为点F ，EF EC \=，BE CG CF FG CF EF CF CE \==+=+=+，BE CF CE \=+；②连接AD ，过点A 作AE AD ^与DB 延长交于点E ，Q ACD Ð是ABD Ð的“边垂角”，180ACD ABD \Ð+Ð=°，180ABE ABD Ð+Ð=°Q ，ABE ACD \Ð=Ð，90DAC BAD BAD EAB Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，【点睛】本题主要考查新定义，四边形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练理解“边垂角”的定义是解题的关键．4．（22-23七年级下·江苏淮安α(0180a °<<°)得到AB ¢，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ¢，连接B C ¢¢．当180a b +=°时，我们称AB C ¢¢△是ABC V 的“旋补三角形”，AB C ¢¢△边B C ¢¢上的中线AD 叫做ABC V 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．(1)【探索一】如图1，AB C ¢¢△是ABC V 的“旋补三角形”，AD 是ABC V 的“旋补中线”，探索AD 与BC 的数量关系．在探索这个问题之前，请先阅读材料：【材料】如图2在ABC V 中，若10AB =，8BC =．求AC 边上的中线BD 的取值范围．是这样思考的：延长BD 至E ，使DE BD =，连结CE ．利用全等将边AB 转化到CE ，在BCE V 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．中线BD 的取值范围是 ．请仿照上面材料中的方法，猜想图1中AD 与BC 的数量关系，并给予证明．(2)【探索二】如图3，当90a b ==°时，AB C ¢¢△是ABC V 的“旋补三角形”，AE BC ^，垂足为点E ，AE 的反向延长线交B C ¢¢于点D ，探索AD 是否是ABC V 的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．【答案】(1)19BD <<；2BC AD =，证明见解析；(2)AD 是ABC V 的“旋补中线”， 证明见解析【分析】（1）材料：三角形三边关系可得CE BC BE CE BC -<<+，进而可得中线BD 的取值范围；探索一：延长AD 至点E 使AD DE =，连接C E ¢，证明()SAS B DA CDE ¢≌V V ，可得AB CE ¢=，B AD E ¢Ð=Ð，求出BAC AC E ¢Ð=Ð，再证()SAS ABC C EA ¢≌V V ，根据全等三角形的性质可得结论；（2）作C H AD ¢^于H ，作B F AD ¢^交AD 延长线于F ，求出B B AF ¢Ð=Ð，证明()AAS ABE B AF ¢≌V V ，可得=B F AE ¢，同理证明()AAS ACE C AH ¢≌V V ，可得=AE C H ¢，求出=B F C H ¢¢，可证()AAS B DF C DH ¢¢≌V V ，根据全等三角形的性质可得B D C D ¢=¢，然后可得AD 是ABC V 的“旋补中线”．【详解】（1）解：材料：由题意得：10AB CE ==，8BC =，2BE BD =，由三角形三边关系可得：CE BC BE CE BC -<<+，即218BD <2<，∴19BD <<，故答案为：19BD <<；探索一：2BC AD =；证明：如图1，延长AD 至点E 使AD DE =，连接C E ¢，∵AD 是ABC V 的“旋补中线”，∴AD 是AB C ¢¢△的中线，即B D CD ¢=，又∵B DA C DE ¢¢Ð=Ð，∴()SAS B DA C DE ¢¢V V ≌，∴AB C E ¢¢=，B AD E ¢Ð=Ð，∵AB AB ¢=，∴AB C E ¢=，∵AD 是ABC V 的“旋补中线”，∴180BAC B AC BAC B AD EAC ¢¢¢Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=°，∵180AC E E EAC ¢Ð+Ð+Ð=°，B AD E ¢Ð=Ð，∴BAC AC E ¢Ð=Ð，∵AC AC ¢=，BAC AC E ¢Ð=Ð，AB C E¢=∴()SAS ABC C EA ¢≌V V ，∴2BC AE AD ==．（2）AD 是ABC V 的“旋补中线”；证明：如图，作C H AD ¢^于H ，作B F AD ¢^交AD 延长线于F ，∵AE BC ^，∴90F BEA Ð=Ð=°，∴90BAE B Ð+Ð=°，∵90a b ==°，即90BAB CAC ¢¢Ð=Ð=°，∴90BAE B AF ¢Ð+Ð=°，∴B B AF ¢Ð=Ð，又∵¢=BA AB ，∴()AAS ABE B AF ¢≌V V ，∴=B F AE ¢，又∵90AEC C HA ¢Ð=Ð=°，90CAC ¢Ð=°，∴90CAE C Ð+Ð=°，90CAE C AH ¢Ð+Ð=°，∴C C AH ¢Ð=Ð，∵CA AC ¢=，∴()AAS ACE C AH ¢≌V V ，∴=AE C H ¢，∴=B F C H ¢¢，∵90F C HD ¢Ð=Ð=°，B DF C DH ¢¢Ð=Ð，∴()AAS B DF C DH ¢¢≌V V ，∴B D C D ¢=¢，∴AD 是AB C ¢¢△的中线，∴AD 是ABC V 的“旋补中线”．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。

中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习(含答案解析)

中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习(含答案解析)

中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习（含答案解析）一．全等三角形的判定与性质1．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解答】解：如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T．∵I是△ABD的内心，∴∠BAI＝∠CAI，∵AB＝AC，AI＝AI，∴△BAI≌△CAI（SAS），∴IB＝IC，∵∠ITD＝∠IED＝90°，∠IDT＝∠IDE，DI＝DI，∴△IDT≌△IDE（AAS），∴DE＝DT，IT＝IE，∵∠BEI＝∠CTI＝90°，∴Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），∴BE＝CT，设BE＝CT＝x，∵DE＝DT，∴10﹣x＝x﹣4，∴x＝7，∴BE＝7．故选：B．2．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24B．22C．20D．18【答案】B【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8，∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B．3．（2022•南充）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B 顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为．其中正确的结论是．（填写序号）【答案】①②③【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∵∠A1BA2＝∠ABC＝90∴∠ABA1＝∠CBA2，∵BA1＝BA2，∴△ABA1≌△CBA2（SAS），故①正确，过点D作DT⊥CA1于点T，∵CD＝DA1，∴∠CDT＝∠A1DT，∵∠ADE＝∠A1DE，∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDT＝45°，∵∠CDT+∠DCT＝90°，∠DCT+∠BCA1＝90°，∴∠CDT＝∠BCA1，∴∠ADE+∠BCA1＝45°，故②正确．连接P A，AC．∵A，A1关于DE对称，∴P A＝P A1，∴P A1+PC＝P A+PC≥AC＝，∴P A1+PC的最小值为，故③正确，过点A1作A1H⊥AB于点H，∵∠ADE＝30°，∴AE＝A1E＝AD•tan30°＝，∴EB＝AB﹣AE＝1﹣，∵∠A1EB＝60°，∴A1H＝A1E•sin60°＝×＝，∴＝×（1﹣）×＝，故④错误．故答案为：①②③．4．（2022•朝阳）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD 为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为．【答案】3或．【解答】解：如图，E点在AD的右边，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，即∠CAE＝∠BAD．在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴CE＝BD＝2，∵BD＝2CD，∴CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1＝3，∴等边三角形ABC3，如图，E点在AD的左边，同上，△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，∴∠EBD＝120°，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，则∠EBF＝60°，∴EF＝BE＝CD，BF＝BE＝CD，∴CF＝BF+BD+CD＝CD，在Rt△EFC中，CE＝2，∴EF2+CF2＝CE2＝4，∴+＝4，∴CD＝或CD＝﹣（舍去），∴BC＝，∴等边三角形ABC的边长为，故答案为：3或．5．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P 是x轴上一动点，把线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是．【答案】2【解答】解：方法一：∵将线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝P A，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，则P1A＝P1F1＝AF1，∠AP1F1＝60°，∵AO⊥P1F1，∴P1O＝F1O，∠AOP1＝90°，∴∠P1AO＝30°，且AO＝4，由勾股定理得：P1O＝F1O＝，∴P1A＝P1F1＝AF1＝，∴点F1的坐标为（，0），如图，当点F2在y轴上时，∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，∴AO＝F2O＝4，∴点F2的坐标为（0，﹣4），∵tan∠OF1F2＝＝＝，∴∠OF1F2＝60°，∴点F运动所形成的图象是一条直线，∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，设直线F1F2的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线F1F2的解析式为y＝x﹣4，∵AO＝F2O＝4，AO⊥P1F1，∴F1F2＝AF1＝，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则×OF1×OF2＝×F1F2×h，∴××4＝××h，解得h＝2，即线段OF的最小值为2；方法二：如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF，过点B作BP′⊥x轴于点P′，∵将线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝P A，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，∠P AF＝60°，∵△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝OB＝4，∠BAO＝60°，∴∠BAP＝60°+∠OAP＝∠OAF，在△BAP和△OAF中，，∴△BAP≌△OAF（SAS），∴BP＝OF，∵P是x轴上一动点，∴当BP⊥x轴时，BP最小，即点P与点P′重合时BP＝BP′最小，∵∠BOP′＝30°，∠BP′O＝90°，∴BP′＝OB＝×4＝2，∴OF的最小值为2，故答案为2．二．勾股定理6．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【答案】48【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．7．（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt △DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A 重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【答案】21【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F 作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．8．（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【答案】80【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI 于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．三．等腰直角三角形（共2小题）9．（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE ＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则＝；④在△ABC内存在唯一一点P，使得P A+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④【答案】B【解答】解：如图1中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠AEC+∠ADC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∴∠DAE＝∠DCE＝90°，取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠DAC＝∠CED，故②正确，设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，过点C作CJ⊥DF于点J，∵tan∠CDF＝＝＝2，∴CJ＝m，∵AO⊥DE，CJ⊥DE，∴AO∥CJ，∴＝＝＝，故③正确．如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等边三角形，∴BP＝PN，∴P A+PB+PC＝AP+PN+MN，∴当点A，点P，点N，点M共线时，P A+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC ＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，∴∠BPD＝∠CPD＝60°，设PD＝t，则BD＝AD＝t，∴2+t＝t，∴t＝+1，∴CE＝BD＝t＝3+，故④错误．故选：B．10．（2022•绵阳）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝2，CD＝2，则△ABE的面积为．【答案】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝AB＝2，∵∠ADC＝90°，CD＝2，∴AD＝，∵，∴DF＝，∴AF＝，∴CF＝，∵DF∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，即，∴EF＝，∴AE＝，∴．故答案为：．11．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△P AB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（）A．B．C．3D．【答案】B【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，∵S△P AB +S△ABC＝S△PBC+S△P AC，∴S1+S0＝S2+S3，∵S1+S2+S3＝2S0，∴S1+S1+S0＝2，∴S1＝S0，∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴S0＝×62＝9，∴S1＝，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．∵△P AB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线PM，∵O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，∴RT＝，∴OT＝OR+TR＝，∵OP≥OT，∴OP的最小值为，当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为，如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，∵＜，故选：B．12．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（）A．B．C．2D．【答案】C【解答】解：设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，如图：设正方形JKLM边长为m，∴正方形JKLM面积为m2，∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，∴正方形ABGF的面积为5m2，∴AF＝AB＝m，由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF ＝GF，∴△AFL≌△FGM（AAS），∴AL＝FM，设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m，在Rt△AFL中，AL2+FL2＝2，∴x2+（x+m）2＝（m）2，解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），∴AL＝FM＝m，FL＝2m，∵tan∠AFL＝＝＝＝，∴＝，∴AP＝，∴FP＝＝＝m，BP＝AB﹣AP＝m﹣＝，∴AP＝BP，即P为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CP＝AP＝BP＝，∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠F AP，∴△CPN∽△FP A，∴＝＝，即＝＝，∴CN＝m，PN＝m，∴AN＝AP+PN＝m，∴tan∠BAC＝＝＝＝，∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴△AEC∽△BCH，∴＝，∵CE＝+，∴＝，∴CH＝2，故选：C．13．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4B．6C．2D．3【答案】C【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，根据题意得到点P的轨迹为圆弧，当MP为直径时最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．14．（2022•苏州）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：过C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，如图：∵CD⊥x轴，CE⊥y＝90°，∴四边形EODC是矩形，∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE﹣OA＝CD﹣OA＝1，∴AC＝＝＝BC＝AB，在Rt△BCD中，BD＝＝＝，在Rt△AOB中，OB＝＝＝，∵OB+BD＝OD＝m，∴+＝m，化简变形得：3m4﹣22m2﹣25＝0，解得m＝或m＝﹣（舍去），∴m＝，故选：C．三．等腰直角三角形（共1小题）15．（2022•成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为．【答案】7【解答】解：设MN交BC于D，连接EC，如图：由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE＝4，∴∠ECB＝∠B＝45°，∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，在Rt△ACE中，AE＝＝＝3，∴AB＝AE+BE＝3+4＝7，故答案为：7．四．等边三角形的性质（共2小题）16．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1，∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°，∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC +S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，故选：C．17．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC 上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为．【答案】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴＝＝2，设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH＝，BH＝，∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（x）2+（x）2＝62，解得x＝或﹣（舍去），∴AP＝，BP＝，∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6++＝6+＝，故答案为：．五．含30度角的直角三角形（共1小题）18．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D ＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少m （结果取整数，参考数据：≈1.7）．【答案】370【解答】解：解法一：如图，延长DC，AB交于点G，过点N作NH⊥AD于H，∵∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，∴∠G＝90°，∴AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，∴BG＝BC＝50，CG＝50，∴DG＝CD+CG＝100+50，∴AD＝2DG＝200+100，AG＝DG＝150+100，∵DM＝100，∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100，∵BG＝50，BN＝50（﹣1），∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50，Rt△ANH中，∵∠A＝30°，∴NH＝AN＝75+25，AH＝NH＝75+75，由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1），∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，∵CD＝DM，∠D＝60°，∴△DCM是等边三角形，∴∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50，GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50，∴△CGN是等腰直角三角形，∴∠GCN＝45°，∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD，由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50，∵AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．故答案为：370．六．等腰直角三角形（共2小题）19．（2022•长沙）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．若AB＝2，则AM的长为（）A．4B．2C．D．【答案】B【解答】解：由作图可知，PQ是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∵以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，∴DA＝DM＝DB，∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB，∵∠DAM+∠DMA+∠DBM+∠DMB＝180°，∴2∠DMA+2∠DMB＝180°，∴∠DMA+∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°，∴△AMB是等腰直角三角形，∴AM＝AB＝×2＝2，故选：B．20．（2022•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D 为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P 的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为．【答案】或【解答】解：如图：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∵点D为AB的中点，∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°，∵∠ADQ＝90°，∴点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，∴AQ＝＝＝，当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，∴AQ′＝＝＝，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或，故答案为：或．30。

全等三角形压轴题珍藏版

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(1)说明：∠ABC=∠EFC．
(2)说明：BD=FC．
3．某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查(每人只选一项)．根据收集到的数据，绘制成如下统计图(不完整)：
请根据图中提供的信息，完成下列问题：
(1)在这次问卷调查中，一共抽查了名学生；
（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.
（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.
11.如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
研究(2)：若折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A关系，并说明理由．
研究(3)：若折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．
(第(1)问1分、第(2)问2分、第(3)问3分))
7.如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,点F在线段AB上运动，
求证：BM=CN．
5．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠ ．
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠ =90°
求证：BE=CF； ；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件____________，使①中的两个结论仍然成立；
(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠ =∠BCA，请写出EF、BE、AF、三条线段数量关系(不要求证明)．

苏科版八年级上第一章《全等三角形》压轴题

苏科版八年级上第一章《全等三角形》压轴题

苏科版八上第一章《全等三角形》压轴题班级：___________姓名：___________得分：___________一、解答题1.已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC(或它们的延长线)于E，F．(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1)，求证：AE+CF=EF．(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．小明第(1)问的证明步骤是这样的：延长DC到Q使CQ=AE，连结BQ，证出△BAE≌△BCQ得到BE=BQ，∠ABE=∠CBQ；再证△BEF≌△BQF，得到EF=FQ，证出EF=CF+CQ，即EF=CF+AE．请你仿照小明的证题步骤完成第(2)问的证明．2.(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是______；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C 为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．3.如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题：(1)如果AB=AC(即也有∠B=∠ACB)，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为___________ ，数量关系为______________．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC(点C、F重合除外)？(直接写出答案)。

全等三角形压轴题

全等三角形压轴题

全等三角形压轴题1、如图1所示，以△ABC 的边AB 、AC 为斜边向外分别作等腰Rt △ABD 和等腰Rt △ACE ，∠ADB=∠AEC=90°，F 为BC 边的中点，连接DF 、EF ． （1）若AB=AC ，试说明DF=EF ；（2）若∠BAC=90°，如图2所示，试说明DF ⊥EF ；（3）若∠BAC 为钝角，如图3所示，则DF 与EF 存在什么数量关系与位置关系？试说明理由．2、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过点E 作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG 、CG;（1）求证：EG=CG ；（2）将图①中的△BEF 绕点B 逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG 、CG ，问（1）的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中的△BEF 绕点B 逆时针旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）图①图②图③E BDGE BDGE BDACCAC AFFF3、已知，点P 是平行四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ，点O 为AC 的中点． （1）当点P 与点O 重合时，如图1，说明：OE=OF（2）若直线BP 绕点B 逆时针方向旋转，如图2，（1）中的结论是否成立？说明理由．（3）直线BP 绕点B 逆时针方向旋转图3的位置（点P 在对角线AC 的延长线上），若∠OFE=30°，猜想线段CF 、AE 、OE 之间有怎样的数量关系？4、如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．5、（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．6、已知两个全等的等腰直角△ABC 、△DEF ，其中∠ACB=∠DFE=90°，E 为AB 中点，△DEF 可绕顶点E 旋转，线段DE ，EF 分别交线段CA ，CB （或它们所在直线）于M 、N ．（1）如图l ，当线段EF 经过△ABC 的顶点C 时，点N 与点C 重合，线段DE 交AC 于M ，求证：AM=MC ； （2）如图2，当线段EF 与线段BC 边交于N 点，线段DE 与线段AC 交于M 点，连MN ，EC ，请探究AM ，MN ，CN 之间的等量关系，并说明理由；（3）如图3，当线段EF 与BC 延长线交于N 点，线段DE 与线段AC 交于M 点，连MN ，EC ，请猜想AM ，MN ，CN 之间的等量关系，不必说明理由．7、如图，等边ABC ∆中，AB CD //，P 为边BC 上一点，Q 为直线CD 上一点，连接AP 、PQ ，使得BAC APQ ∠=∠.(1)①如图1，探索PAC ∠与PQC ∠的数量关系并证明；（3分） ②如图1，求证：AP =PQ （3分）(2)如图2，若将“等边△ABC ”改为“等腰直角△ABC （AB=AC ）”， 其他条件不变，求证：AP =PQ （3分）(3)如图3，若继续将“等腰直角△ABC ”改为“等腰△ABC （AB=AC ）”，其他条件不变，（2）中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由. （3分）Q C A B PD图图C B Q 图8、在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东交流.原问题：如图1，已知△ABC , ∠ACB =90︒, ∠ABC =45︒，分别以AB 、BC 为边向外作△ABD 与△BCE , 且DA =DB , EB =EC ，∠ADB =∠BEC =90︒，连接DE 交AB 于点F . 探究线段DF 与EF 的数量关系. 小慧同学的思路是：过点D 作DG ⊥AB 于G ,构造全等三角形，通过推理使问题得解. 小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC =30︒,∠ADB =∠BEC =60︒. 请你参考小慧同学的思路，探究并解决如下问题： （1）写出原问题中DF 与EF 的数量关系；并加以证明。

人教版八年级上册《全等三角形》解答题压轴题能力提升专练(含详细解析)

人教版八年级上册《全等三角形》解答题压轴题能力提升专练(含详细解析)

人教版八年级上册《全等三角形》解答题压轴题能力提升专练全等三角形的性质和判定1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

2．判断两个三角形全等常用的方法如下表：经典题型专练1.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．3．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD 于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．4.课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD 中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=√3AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=√3AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）5．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AD上，△ADC和△BDE是等腰三角形，EC=5cm，求AB的长．6． CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE CF；EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．7.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．8. 如图，在锐角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值．9. 如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．11. 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．12. 图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．人教版八年级上册《全等三角形》解答题压轴题能力提升专练（答案版）全等三角形的性质和判定1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

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.《全等三角形》压轴题训练(1)1. 如图，在 ABC 中， AD BC,CE AB , 垂足分别为 D, E, AD ,CE 交于点 H , EH 、EB 3,AE 4，则 CH 的长是 ( )A.4B.5C.1D.22. 如图，在 Rt ABC 中， C 90 ，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC, AB 于点 M , N ，再分别以 M , N 为圆心，大于1MN 长为半径画弧， 两弧交于点 P ， 2作射线 AP 交边 BC 于点 D ，若 CD4, AB 25 ，则 ABD 的面积为 ( ) A. 15B. 30C. 45D. 603. 如图，在 Rt ABC 中，C 90 ,AC 12, BC 6 ，一条线段 PQ AB, P, Q 两点分别在线段 AC 和以点 A 为端点且垂直于 AC 的射线 AX 上运动，要使 ABC 和 QPA 全等，则 AP 的长为.4. 如图， AD // BC, AB BC, CD ，则 ADE 的面积DE, CD ED, AD 2, BC 3为.5. (1) 观察推理 : 如图①，在 ABC 中， ACB 90 , AC BC , 直线 l 过点 C ，点 A,B 在直线 l 的同侧， BD l , AEl ，垂足分别为 D,E . 求证: AECCDB .(2) 类比探究 : 如图②，在 Rt ABC 中， ACB90 ,AC4 ，将斜边 AB 绕点 A 逆时..针旋转 90°至 AB ，连接 B C ，求AB C 的面积 .(3) 拓展提升 : 如图③，在EBC中， E ECB 60 ,EC BC 3，点 O 在 BC 上，且 OC 2 ，动点 P 从点 E 沿射线 EC 以每秒 1 个单位长度的速度运动，连接 OP ，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 120°得到线段 OF . 要使点 F 恰好落在射线EB 上，求点 P 运动的时间 t .6. 【初步探索】(1) 如图①，在四边形 ABCD 中， AB AD , B ADC 90 . E, F 分别是 BC , CD上的点，且 EF BE FD . 探究图中BAE , FAD , EAF 之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法 :延长 FD 到点 G ，使 DG BE . 连接 AG. 先证明ABE ADG ，再证AEF AGF ，可得出结论，他的结论应是.【灵活运用】(2) 如图②，在四边形ABCD 中， AB AD, B D 180 . E, F 分别是 BC, CD 上的点，且 EF BE FD ，上述结论是否仍然成立?请说明理由 .【延伸拓展】(3) 如图③，在四边形ABCD 中，ABC ADC 180 , AB AD . 若点 E 在CB 的延长线上，点 F 在 CD 的延长线上，仍然满足 EF BE FD ，请写出 EAF 与 DAB 的数量关系，并给出证明过程 ...(2)1. 如图，在ABC 中，AB 12, BC 8, BD 是 AC 边上的中线，则 BD 的取值范围是 ( )A. 2 BD 8B.C. 2 BD 10D.3 BD 104 BD 202. 如图，在锐角三角形ABC 中， AH 是 BC 边上的高，分别以AB, AC 为一边，向外作正方形 ABDE 和 ACFG ，连接 CE, BG 和 EG, EG 与 HA 的延长线交于点 M ，下列结论 :① BG CE;② BG CE;③AM是AEG 的中线 ; ④EAMABC . 其中正确结论的个数是 ( )A. 4B. 3C. 2D. 13. 如图， AB // CD ,O 是ACD 和BAC 的平分线的交点，且OE AC ，垂足为 E ,OE =2. 5 cm ，则 AB 与 CD 间的距离为cm.4. 如图，在ABC 中， C 90 , BAC 45 ，点 M 在线段 AB 上， GMB 1 A ，2BG MG ，垂足为 G , MG 与 BC 相交于点 H . 若 MH = 8 cm ，则 BG = cm.5. 如图，在ABC 中 AB AC 10 cm, BC =8 cm, D 为 AB 的中点，点 P 在线段 BC 上以 3 cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 以 a cm/s的速度运动 . 设运动的时间为t s.(1)求 CP 的长 ;( 用含 t 的代数式表示 )(2) 若以 C , P, Q 为顶点的三角形和以B, D , P 为顶点的三角形全等，且 B 和 C 是对应角，求 a 的值 ...6.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法 ( 即“ SAS”“ASA”“ AAS”“ SSS” ) 和直角三角形全等的判定方法 ( 即“ HL”) 后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究 .【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示:在ABC 和DEF 中， AC DF , BC EF ，B E ，然后对B 进行分类，可以分为“ B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究 .【深入探究】第一种情况 :当 B 为直角时，ABC DEF .(1)如图①，在ABC 和DEF 中 AC DF,BC EF , B E 90 ，根据，可以知道 Rt ABC Rt DEF .第二种情况 :当 B 为钝角时，ABC DEF .(2)如图②，在ABC 和DEF 中 AC DF ,BC EF , B E ，且B, E 都是钝角.求证: ABC DEF .第三种情况 :当 B 为锐角时，ABC 和 DEF 不一定全等 .(3)在ABC 和 DEF 中， AC DF ,BC EF ， B E , 且B, E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出DEF ，使 DEF 和ABC 不全等 .( 不写作法，保留作图痕迹 )(4)B还要满足什 AC D ,F B C ,E F B ,， E且B, E都是锐角.若，则ABC DEF .参考答案 (1) 1.C 2. B3.6 或 124. 15.(1) Q BD l , AE l .∴BDC AEC 90∴ Rt AEC 中EAC ACE 90∵ACB 90 ， ECD 180∴DCBACE 90∴EACDCB在AEC 和 CDB 中AEC CDBEAC DCBAC CB∴AEC CDB(2) 如图①，作 B ' D AC 于点 D ，则ADB ' BCA 90∵斜边 AB 绕点 A 逆时针旋转90°至 AB' ，∴ AB' AB，B'AB 90即B'ACBAC 90∵在ACB 中， B CAB 90∴BB'AC在B'AD 和 ABC 中，ADB ' BCAB'AD BAB' BA∴B' ADABC∴B'D AC 4∴S AB'C 1 AC B'D 1 4 4 82 2(3) 如图②根据题意，画出图形.∵BC 3,OC 2∴OBBCOC1∵线段 OP 绕点 O 逆时针旋转120°得到线段 OF .∴FOP 120 ， OP OF∴ 1 260∵在BCE 中， E ECB 60∴OBFPCO 120∴在PCO中， 2 3 60∴ 1 3在BOF 和 CPO 中OBF PCO1 3OF PO∴BOFCPO∴PCOB1.∴EP EC PC 3 1 4∴点 P 运动的时间 t 44(s) 16.(1) BAE FAD EAF(2)成立 .理由：延长FD 倒点 G ，使得 DG BE ，连接 AG ∵ADG ADC 180 ， B ADC 180∴ADG B在ABE 和 ADG 中AB ADB ADGBE DG∴ABE ADG∴BAE DAG ， AE AG∵EF BE FD∴EF DG FD GF 在 AEF和 AGF 中AE AGAF AFEF GF∴AEF AGF∴EAF GAF∵GAF FAD DAG FAD BAE∴BAE FAD EAF(3) EAF180 1DAB . 2证明：在 DC 的延长线上取一点G ，使得 DG BE ，连接 AG ∵ABC ADC180 ，ABC ABE 180∴ADC ABE在ADG 和 ABE 中AD ABADG ABEDG BE∴ADG ABE..∴ AG AE ，DAG BAE∵EF BE FD∴EF DG FD ∵GFDG FD∴EF GF在AEF 和 AGF 中EF GFAE AGAF AF∴AEF AGF∴EAF GAF∵EAF GAF GAE 360∴2 EAF ( GAB BAE ) 360∴ 2 EAF ( GAB DAG ) 360即2EAF DAB 360∴EAF 180 1 DAB2(2) 1.C 2.A3.54. 45.(1)由题意，得 BP 3t cm， BC8cm.∴ CP BC BP (8 3t ) cm.(2) 分两种情况讨论 : ①当 BD CP 时， BDPCPQ ∵AB 10 cm， D 为 AB 的中点∴ BD 1 AB 5 cm.2∴5 8 3t解得 t 1∵BDP CPQ∴BP CQ即3 1 a 1 1. 解得 a 3②当 BP CP 时， BDPCQP∴3t8 3t4 ，解得 t3∵BDP CQP..∴BD CQ4 15即 5 a ，解得。

a3 4综上所述， a 的值为 3 或15 .46. (1)HL.(2) 如图①，过点 C 作 CG AB 的延长线于点G ，过点 F 作 FH DE 的延长线于点H∵CG AG,FH DH∴CGA FHD 90∵CBG 180 ABC ， CBG 180 ABC ， ABCDEF∴CBG FEH∵BC EF∴BCG EFH∴CG FH 又∵AC DFRt ACG Rt DFH∴ A D在ABC 和 DEF 中∵ABC DEF， A D，AC DF∴ABC DEF(3)如图②， DEF 即为所求(4)答案不唯一，如由 (3) 知以点 C 为圆心， AC 的长为半径画弧时，当弧与边 AB 的交点在点 A 、 B 之间时，DEF 和ABC 不全等 ; 当弧与边 AB 交于点 B 或没有交点时，ABC DEF ，故 AC BC ，即当 B A 时， ABC DEF . 因此可以填 B A ..。

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