沪科版圆知识点梳理
沪教版初三数学知识点归纳
沪教版初三数学知识点归纳圆★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
☆内容提要☆一、圆的根本性质1.圆的定义(两种)2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3.“三点定圆”定理4.垂径定理及其推论5.“等对等”定理及其推论6.与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)⑶弦切角定义(弦切角定理)二、直线和圆的位置关系1.切线的性质(重点)2.切线的判定定理(重点)3.切线长定理三、圆换圆的位置关系1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.相切(交)两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：初中数学复习提纲内角的一半：初中数学复习提纲(右图)(解Rt△OAM可求出相关元素,初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等)六、一组计算公式1.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式4.弧长公式5.弓形面积的计算（方法）6.圆柱、圆锥的侧面绽开图及相关计算九年级上册数学单元学问点第一章证明一、等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
2、性质：1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合(“三线合一”)3.等腰三角形的两底角的平分线相等。
(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)4.等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(可用等面积法证)7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴3、判定：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)。
沪教版圆九年级知识点总结
沪教版圆九年级知识点总结自从进入初中以后，学习的内容就变得更加广泛而深入。
作为上海教材的使用者，我们将重点总结一下沪教版圆九年级的知识点。
首先，我们来谈一谈数学方面的知识点。
在这个学年中，我们学习了许多关于数的概念和运算的知识。
从整数到分数，再到百分数和正数，每个知识点都需要我们熟练掌握。
除此之外，还有关于平方根和立方根的知识。
另外，代数学、几何学以及函数图像的知识也是我们学习的重点。
通过这些知识的学习，我们能够更好地应用数学解决实际问题。
除了数学，我们还学习了多个科学学科，包括物理学、化学和生物学。
在物理学中，我们学习了力、压力和电磁学的基本知识。
我们还进行了实验，了解了科学实验的基本过程。
在化学学科中，我们学习了元素周期表和化学反应方程式的编写。
此外，我们还了解了一些重要的化学实验操作和安全知识。
在生物学中，我们了解了动植物的生命周期、细胞的结构和功能等。
通过这些科学学习，我们增加了对自然界的理解。
此外，我们还学习了语文、历史和地理学科。
语文方面，我们学习了古文阅读和现代文阅读的技巧。
我们还进行了语法和写作的训练，以提高自己的写作能力。
历史学科中，我们学习了中国古代历史和世界历史中的重要事件和人物。
地理学科中，我们学习了地球的结构和自然地理现象，还了解了一些地理实践技能。
在艺术方面，我们学习了音乐和美术。
在音乐学科中，我们学习了音乐的基本知识，了解了音乐的构成要素和表演技巧。
在美术学科中，我们学习了绘画的基本技巧，尝试了不同的材料和表现形式。
通过艺术的学习，我们培养了审美意识和创造力。
沪教版圆九年级的知识点总结就在这里。
通过学习这些知识，我们不仅提高了自己的学科能力，还培养了独立思考和解决问题的能力。
希望我们在学习过程中能够继续努力，取得更好的成绩。
沪科版九年级数学圆知识点
沪科版九年级数学圆知识点数学是一门以逻辑和推理为基础的学科，而几何是数学中的一支重要学科，其中涉及到许多形状和几何论证。
在九年级的数学课程中，圆是一个重要的概念。
圆是一种特殊的平面图形，具有许多独特的性质和特征。
首先，让我们来了解一些圆的基本概念。
一个圆是由一组与中心点等距离的点组成的，这个距离被称为圆的半径。
圆的直径是通过圆心的任意两点之间的线段。
我们还可以绘制与圆直接相接的线段，这些线段称为切线。
当切线与半径相交于半径的端点时，我们得到一个重要的性质：切线的长度等于其到圆心的距离。
圆也可以通过一种数学表达式来描述。
圆的数学表达式是(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
通过这个数学表达式，我们可以计算和确定圆上任意一点的坐标。
圆的周长和面积也是我们需要了解的重要概念。
一个圆的周长是由其半径确定的，公式是C = 2πr，其中π是一个数学常数，约等于3.14159。
而圆的面积是由其半径确定的，公式是A = πr^2。
这意味着圆的面积和周长取决于其半径的长度，因此我们可以通过这些公式计算和比较不同圆的大小。
在几何学中，我们还学习到了一些与圆相关的定理和性质。
一个重要的定理是圆心角定理。
根据这个定理，圆心角的度数恰好是所对弧的度数的两倍。
这也是为什么我们通常用度数来表示角度的原因。
除了圆心角定理，我们还了解到两个有趣的性质。
首先是弧长和弧度的关系。
弧长是圆的一部分，而弧度则是表达弧长的单位。
当我们用弧长等于半径的长度时，我们得到一个度量为1的弧度。
这样，我们可以通过使用弧长来比较不同圆上的弧度。
另一个性质是扇形的面积和圆心角的关系。
扇形是由两个半径和围绕圆心的弧组成的。
扇形的面积等于其对应圆心角的比例乘以圆的面积。
这个公式可以帮助我们计算扇形的面积，并与其他几何图形进行比较。
在学习圆时，我们还会接触到一些解决与圆相关的问题的方法。
例如，我们可以使用勾股定理来解决与直角三角形和圆有关的问题。
2020年春沪科版九年级数学下册中考知识点梳理第22讲 与圆有关的位置关系
知识点四：三角形与圆
5.三角形的外接圆
图形
相关概念
圆心的确定
内、外心的性质
内切圆半径与三角形边的关系：
（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.
（2）直角三角形的内切圆（如图b）
①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.
例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.
经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形
三角形三条垂直平分线的交点
到三角形的三个顶点的距离相等
6.三角形的内切圆
与三角形各边都相
切的圆叫三角形的
内切圆，内切圆的
圆心叫做三角形的
内心，这个三角形叫
圆的外切三角形
到三角形三条角平分线的交点
到三角形的三条边的距离相等
第22讲与圆有关的位置关系
一、知识清单梳理
知识点一：与圆有关的位置关系
关键点拨及对应举例
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.
2.直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.
例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.
2020-2021沪科版九年级数学24.2圆的基本性质-知识点+习题同步练习提升 (1)
圆的基本性质记忆导图 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧对称、旋转对称对称性：轴对称、中心角形顶点的距离相等定理：三角形外心到三、圆的内接三角形三角形的外接圆、外心圆的作法圆的确定几者之间的关系圆心角的概念距间的关系圆心角、弧、弦、弦心弦心距垂径定理的推论垂径定理垂径分弦点在圆外点在圆内点在圆上点与圆的位置关系半圆、等圆弓形特殊弦：直径普通弦：小于直径的弦弦等弧优弧劣弧或弧圆弧圆、圆心、半径圆的相关概念圆的基本性质 考点1 圆的相关概念1、圆的定义（1）线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆。
（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
（3）固定的端点O 叫做圆心。
（4）线段OA 的长为r 叫做半径。
2、圆弧（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
（2）大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个字母表示。
（3）小于半圆的弧叫做劣弧。
（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
3、弦（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（2）经过圆心的弦叫做直径。
4、弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
5、半圆、等圆（1）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（2）能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。
考点2 点与圆的位置关系平面上一点P 与⊙O （半径为r ）的位置关系有以下三种情况：（1）点P在⊙O上⇔OP=r；（2）点P在⊙O内⇔OP<r；（3）点P在⊙O外⇔OP>r。
考点3垂径分弦1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
2、推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。
③平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦。
④平行弦夹的弧相等。
沪科版数学 九年级下册 -圆 讲义
圆考点1：圆以及与圆有关的概念考点2：圆的性质定理垂径定理圆周角定理切线长定理三角形的内切圆和外接圆圆的内接多边形定理圆相离考点3：与圆有关的位置关系外切相交内切内含考点4：与圆有关的计算弧长，扇形面积的计算圆柱，圆锥相关计算考点一：圆以及与圆有关的概念【笔记】知识点一圆的定义（1）在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段叫做半径；（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
知识点二与圆有关的概念（1）半径：圆心到圆周的距离；直径：经过圆心的弦叫做直径。
直径是半径的2倍。
（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
弦心距：从圆心到弦的距离叫圆心距。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧．都叫做半圆。
等弧．．：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。
（4）圆周角：顶点在圆周上，两条边都与圆相交的角。
（5）圆心角：顶点在圆心上，以半径为两条边的角。
（6）切线：直线和圆有唯一公共点时，这条直线是圆的切线。
在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（7）弓形：由弦及其所对的弧．．．．．．组成的图形叫做弓形。
（一弦对两弧）（8）同心圆：圆心相同，半径不相等．．．．．的两个圆叫做同心圆。
【例1】下列判断中正确的是( )A. 长度相等的弧是等弧B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【答案】C【例2】下列说法中：(1)圆心角相等，所对的弦相等。
(2)过圆心的线段是直径。
(3)长度相等的弧是等弧。
(4)弧是半圆。
(5)三点确定一个圆。
(6)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
(7)弦的垂直平分线必经过圆心正确的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【例3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数为()A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°【答案】A考点二：圆的性质定理【笔记】1.垂径定理概念：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
上海沪科版初中数学九年级下册第21讲 圆的基本性质
上海沪科版初中数学
重点知识精选
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第六单元圆
第21讲圆的基本性质
一、知识清单梳理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
图a 图b 图c
ADC=180°. ⊙O上两点，
∠BAC=40°，则∠D的度
数为130°．
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维可以让他们更理性
地看待人生。
沪科版九年级下册数学： 第24章 圆 第24章 圆(通用)
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
2020年6月12日1时4分
一、判断。 1、三角形的外心到三角形各边的距离相等； （ × ）
2、直角三角形的外心是斜边的中点．
（√ ）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆
半径 6.5cm ，内切圆半径 2cm ；
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比 2:1 ．
. O
C
E B
2020年6月12日1时4分
谢谢同们的合作
拜拜
2020年6月12日1时4分
6.如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，延长BD到C， AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？
为什么？
A
补充：
若∠B=70 °,则
O
∠DOE=＿＿40＿°． E
2020年6月12日1时4分
CD B
7、如图，AB是圆O的直径,圆O过AC 的中点D,DE⊥BC于E．
证明:DE是圆O的切线.
D
A
∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的 半径
∴CD⊥OA.
C
●O
A
D
2020年6月12日1时4分
切线的性质定理出可理解为
如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么
第三个也成立。①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心。
如① ②
③
① ③
②
② ③
①
2020年6月12日1时4分
1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的 弦BC与小圆相切，则BC=_2___7_ cm；
C
A
┗●
M
●O
B
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
沪科版九年级下册数学 圆的基本性质 (总复习) (共27张PPT)
要点梳理
(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论： ①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角
所对的弧___相__等___，所对的弦___相__等___． ②推论：在同圆或等圆中，如果两个__圆___心__角____、_两__条__弧___、
_两__条__弦___、_两__条__弦__心__距__中有一组量相等，那么它们所对 应的其余各组量都分别相等． (4)圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的_一__半__． 圆周角定理的推论： ① 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角 所对的弧___相__等___． ②半圆(或直径)所对的圆周角是___直__角___；90°的圆周角所对 的弦是__直__径____．
圆的基本性质
(总复习）
中考预测
• 圆的基本性质在中考中的题型既 有以考查基础为主选择题、填空 题，也有与其他知识综合起来命 制的解答题。垂径定理和圆心角、 弦、弧、弦心距的关系是重点考 查内容。
复习目标
• 1.弄清圆的有关概念。 • 2.记住圆的基本性质： • （1）垂径定理。 • （2）圆心角、弧、弦、弦心距、圆周角之
角∠BAC的大小为（ C ）
A. 156°
B. 78°
C. 39°
D. 12°
【点评】当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对 的圆周角或圆心角，一条弧所对的圆周角等于该弧所对 的圆心角的一半，通过相等的弧把角联系起来.
归类探究 考点1 圆周角与圆心角的关系
对应训练 1.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO ＝38°，则∠BOC等于（ ） D
归类探究 考点2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
对应训练 2.如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD 平分∠BAC，则AD的长为（ A ）
上海沪教版九年级 拓展2圆知识点归纳
圆的概念：1.确定一个圆的要素是圆心和半径。
2.描述圆：以点A为圆心，a为半径的圆圆的相关图形：1.弦①连结圆上任意两点的线段叫做弦。
②经过圆心的弦叫做直径。
③过圆心垂直于弦的线段叫做弦心距。
2.弧①圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
②小于半圆周的圆弧叫做劣弧。
③大于半圆周的圆弧叫做优弧。
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
3.角①顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。
②顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角叫圆心角。
圆的定理：1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90 。
90 的圆周角所对的弦是圆的直径。
D A C B O3.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线。
性质定理：①圆的切线垂直于经过切点的半径②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点③经过切点切垂直于切线的直线必经过圆心。
4.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。
5.圆内接四边形的性质定理 圆内接四边形的对角互补，并且任一个外角等于它的内对角 圆内接四边形的判定定理 对角互补的四边形内接于圆如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于圆平面上的四个点在同一个圆上，称为四点共圆.6.两圆相切，连心线过切点;两圆相交，连心线垂直平分公共弦。
7.弦切角：顶点在圆上，一条边与圆相交而另一条边与圆相切的角叫做弦切角在圆上位于弦切角内部的那段弧是这个弦切角所夹的弧8.弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.9.与圆有关的比例线段（1）相交割线上的有关比例线段相交弦定理 圆的两条相交弦中，每条弦被交点分成的两条线段的乘积相等割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段的积相等（2）相交切割线上的有关比例线段切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项。
沪教版九年级下册圆知识点
沪教版九年级下册圆知识点《沪教版九年级下册圆知识点》圆是几何中的重要概念之一，在我们的日常生活和学习中随处可见。
它不仅具有美学价值，还有着深厚的数学含义和实际应用。
在九年级下册的数学课程中，圆的相关知识点被娓娓道来，让我们一起来探索吧！一、圆的定义圆是平面上所有到圆心的距离都相等的点的集合。
换句话说，圆是由一条定长线段的两端点构成的所有点构成的集合。
圆心是圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。
二、圆的性质1. 圆的直径是圆上两点之间的最长线段，它等于圆的半径的两倍。
直径还有一个重要性质是：通过圆心引一条直径，它一定是圆的对称轴。
2. 弧是圆上的一段弯曲部分，由两个端点和弦组成。
圆上的任何一条弧都可以由两个不同的点联结而成，它的长度可以用角度来度量。
弧可以细分为弦长相等的弧、弦长不相等的弧等等。
3. 切线是与圆相切且只有一个交点的直线。
切线与半径垂直，并且切点处的切线和半径连线构成直角。
4. 弦是圆上两个点之间的线段，它可以通过任何圆的两个不同点来确定。
相等的弦所对应的弧长是相等的。
三、圆的计算1. 圆的面积：圆的面积可以通过公式A = πr²来计算，其中π是一个无理数，近似值为3.14，r是圆的半径。
只要知道半径的值，就可以轻松地计算出圆的面积。
2. 圆的周长：圆的周长也称为圆的周长或圆周长。
它可以通过公式C = 2πr计算得出，其中C代表圆的周长，r表示圆的半径。
四、圆与日常生活圆在我们的日常生活中无处不在。
从家庭中的饭桌上的圆盘到学校操场上的跑道，都有圆的身影。
此外，轮胎、飞盘、钟表等物品也是圆的典型代表。
除了物品之外，圆还与各种自然现象和科学原理相关。
例如，太阳、月亮等天体都是近似于圆形的，它们的运行轨道也是圆形或近似于圆形的。
在科学研究中，力的方向和大小经常通过圆形图表来表示。
五、圆的应用1. 圆在建筑和设计中起到重要的作用。
例如，在建筑设计中，建筑师经常使用圆形柱子、圆形窗户等来增加建筑物的美观度和结构强度。
九年级下册沪科版数学圆知识点
九年级下册沪科版数学圆知识点在九年级下册沪科版数学课程中，学生将进一步学习和探索圆的知识。
圆是几何学中的重要概念之一，具有许多独特的性质和特点。
本文将重点介绍九年级下册沪科版数学课程中关于圆的重要知识点。
通过学习这些知识点，学生将能够更好地理解圆的本质和应用。
1. 圆的定义和性质首先，我们来回顾圆的定义和性质。
圆是由平面上到一个固定点的距离始终相等的点的集合。
这个固定点叫做圆心，用字母O表示。
圆心到圆上任意一点的距离叫做圆的半径，用字母r表示。
圆的周长叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的面积叫做圆的面积，用字母A表示。
圆的周长和面积是圆的重要性质，需要学生掌握计算的方法和公式。
2. 圆的周长和面积计算接下来，我们来学习计算圆的周长和面积的方法。
圆的周长可以通过公式C=2πr来计算，其中π取值约为3.14。
圆的面积可以通过公式A=πr^2来计算。
学生需要了解这些公式的推导过程，并能够根据给定的半径计算圆的周长和面积。
3. 直径、弦、切线和弧在圆的研究中，直径、弦、切线和弧是关键概念。
直径是通过圆心的一条线段，它的长度是半径的两倍。
弦是圆上任意两点之间的线段。
切线是与圆仅有一个交点的直线，这个交点叫做切点。
弧是圆上的一段弯曲部分，它的度数用角度或弧度来表示。
学生需要理解这些概念之间的关系，并能够应用它们解决相关的问题。
4. 圆相关定理在圆的研究中，有一些定理是非常重要的。
例如，相交弦的性质定理表明，如果两条弦相交于圆内的一点，那么它们内部的每个锐角和外部的每个钝角都是相等的。
切线和半径的关系定理表明，如果一条切线与半径的末端相交，那么相交点到圆心的线段和切线的交点到圆心的线段垂直。
学生需要学习和理解这些定理，并能够应用它们解决与圆相关的问题。
5. 弧长和扇形面积弧长和扇形面积也是圆的重要性质。
弧长是圆上的一段弧的长度，可以通过弧长公式L=2πr(θ/360)来计算。
其中，θ是弧所对的圆心角的度数。
扇形是由圆心、圆周上的两点和圆弧所围成的图形，它的面积可以通过扇形面积公式A=πr^2(θ/360)来计算。
沪科版九年级下册数学第24章 圆 圆的认识
知3－练
3．已知矩形ABCD的边AB＝6，AD＝8.如果以点A为 圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都 至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是( ) A．6＜r＜10B．8＜r＜10 C．6＜r≤8D．8＜r≤10
劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°.
(3)半径不变，圆心变产生等圆；圆心不变，半径变产生同
心圆．
知2－讲
例2〈易错题〉以下命题：(1)半圆是弧，但弧不一定是半
圆；(2)过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是
直径；(3)弦是直径；(4)直径是圆中最长的弦；(5)直
径不是弦；(6)优弧大于劣弧； (7)以O为圆心可以画
无数个圆. 正确的个数为( ) C
A．1
B．2
C．3
D．4
知2－讲
导引：(1)半圆是弧的一种，弧可以分为劣弧、半圆、优 弧三种，故正确；(2)过圆上任意一点可以作无数 条弦，故错误；(3)直径是过圆心的特殊弦，但弦 不一定是直径，故错误；(4)圆有无数条弦，过圆 心的弦最长，即直径是圆中最长的弦，故正确； (5)直径是圆中最长的弦，故错误；(6)在同圆或等 圆中，优弧大于劣弧，故错误；(7)以一个点为圆 心，若不指明半径，可画出无数个大小不等的同心 圆，故正确．
本节应掌握： 1.圆的定义； 2.与圆有关的概念：弦、弧、等圆、等弧； 3.点与圆的三种位置关系：在圆上、在圆内、在 圆外.
1.必做:完成教材P25习题24.2T1-T2. 2.补充:.
知1－练
2．平面内已知点P，以P为圆心，3cm为半径作圆，这 样的圆可以作( ) A．1个B．2个 C．3个D．无数个
沪科版九年级数学圆知识点
沪科版九年级数学圆知识点沪科版九年级数学圆知识点1、圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4、同圆或等圆的半径相等5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧11、推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半17、推论：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等18、推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径19、推论：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形20、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角21、①直线L和⊙O相交dr22、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线23、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径24、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点25、推论：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心26、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角27、圆的外切四边形的两组对边的和相等28、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角29、推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等31、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项32、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项33、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上35、①两圆外离d>R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-rr)⑤两圆内含dr)36、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦37、定理：把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形38、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆39、正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n40、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形41、正n边形的面积Sn=pr/2p表示正n边形的周长，r 为边心距42、正三角形面积√3a2/4a表示边长43、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=444、弧长计算公式：L=n兀R/18045、扇形面积公式：S扇形=n兀R2/360=LR/2外公切线长=d-(R+r)初中数学实数的倒数、相反数和绝对值知识点1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
九年级数学圆(一)上海科技版知识精讲
九年级数学圆（一）某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：圆（一）二. 教学要求1. 经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程。
2. 理解圆的对称性及相关性质，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
三. 重点及难点重点：1. 理解圆的概念及点与圆的位置关系。
2. 理解垂径定理及其逆定理。
圆心角、弧、弦之间相等关系的定理。
难点：1. 理解圆的集合定义。
2. 正确理解和区分垂径定理及其逆定理的题设和结论。
四. 课堂教学［知识要点］知识点1、圆的定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点称为圆心，定长称为半径的长（通常也称为半径），如图所示，OA为半径，点O为圆心的圆记作“⊙O”读作“圆O”。
说明：确定一个圆需要两个要素：一是位置，二是大小。
圆心确定其位置，半径确定其大小。
只有圆心没有半径，虽然圆的位置确定，但大小不定，因而圆不确定，只有半径没有圆心，虽然圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆的位置也不确定，只有圆心和半径都确定，圆才被唯一确定。
知识点2、点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内。
点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径说明：点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系，反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系，即，如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么①点在圆外⇔d>r；②点在圆上⇔d＝r；③点在圆内⇔d＜r探究交流：设AB＝3cm，作图说明满足下列要求的图形。
（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形。
（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形。
分析：（1）到点A的距离都等于2cm的所有点组成的图形是⊙A，到点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形是⊙B，同时满足这两个条件的点为既在⊙A上，又在⊙B上的点，这些点是点P，点Q．PA BQPA BQ（1）（2）（2）满足条件的点为既在⊙Ａ内，又在⊙Ｂ内的点，即如图所示的阴影部分，但要注意不包括阴影的边界。
第24章圆期末复习圆的基本性质PPT课件(沪科版)
2
O E1C D
BO⊥AD
8．如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别
与⊙O相交于点D，E，连接DE，现给出两个命题：
①若AC=AB，则DE=CE；②若∠C=45°，记
△CDE的面积为S1，四边形DABE的面积为S2，则
S1=S2，那么( D ).
C
A．①是真命题 ②是假命题
B．①是假命题 ②是真命题 D
并交BO、AO的延长线于点C、D，连接CD，交
⊙O于点E、F，过圆心O作OM⊥CD于点M．
求证： (2)CE=DF．
(2) ∵△ACO≌△BDO， A
B O
∴OC=OD，
∵OM⊥CD， C E M F
D
∴CM=DM， EM＝FM，
∴CM－EM=DM－FM.
∴CE=DF.
D
5.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上 的两点，分别连接AC、BC、CD、OD，若 ∠DOB=140°，则∠ACD= ( A).
A.20° B. 30° C. 40° D.70° C
A
O
B
D
6.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G， 连接 CF，∠C=30°，CF= 2 ，3 则OG的长是( A).
沪科版
第24章 圆 期末复习(2)
圆的基本性质
复习要点
1.圆 (1)平面上到定点的 距离 等于定长的所有 点 组成
的图形叫做圆； 定点称为圆心， 定长 称为半径. (2)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过 圆心的
直线；圆又是中心对称图形，对称中心是 圆心 . (3)不在同一条直线上的 三个点确定一个圆.
AB=AC， ∠ BAC=36°，在AB上取点D(不与点
A，B重合)，连接BD，AD，则∠BAD＋
上海初三圆的知识点归纳总结
上海初三圆的知识点归纳总结上海初三数学课程中，圆的知识点是几何学的重要组成部分。
以下是对圆的知识点的归纳总结：1. 圆的定义：圆是由平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点组成的图形。
这个距离称为半径。
2. 圆心和半径：圆心是圆的中心点，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
圆的标准方程是 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)，其中\((h, k)\) 是圆心坐标，\(r\) 是半径。
3. 直径：直径是穿过圆心的最长弦，其长度是半径的两倍。
4. 圆的周长：圆的周长，也称为圆周，可以通过公式 \(C = 2\pi r\) 计算，其中 \(\pi\) 是一个常数，约等于3.14159。
5. 圆的面积：圆的面积可以通过公式 \(A = \pi r^2\) 计算。
6. 切线：切线是一条恰好在一个点上接触圆的直线。
这个点称为切点。
7. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。
直径是最长的弦。
8. 弧：弧是圆周上两点之间的部分。
9. 圆心角和圆周角：圆心角是由圆心和圆上的两点形成的角。
圆周角是由圆上的两点和圆心形成的角，且顶点在圆上。
10. 圆的对称性：圆具有旋转对称性和轴对称性。
任何通过圆心的直线都是圆的对称轴。
11. 圆与直线的位置关系：直线与圆可以相离、相切或相交。
相离时直线不与圆相交；相切时直线与圆恰好在一个点上接触；相交时直线与圆在两个点上相交。
12. 圆与圆的位置关系：两个圆可以相离、相切或相交。
相离时两圆不相交；相切时两圆在一个点上接触；相交时两圆在两个点上相交。
13. 圆的切线性质：从圆外一点引出的切线段长度相等。
14. 圆的内接多边形：内接于圆的多边形，其顶点都在圆上。
正多边形是特殊的内接多边形，所有边和角都相等。
15. 圆的外接多边形：外接于圆的多边形，其边都与圆相切。
掌握这些圆的基本概念和性质，对于解决几何问题至关重要。
通过练习相关的题目，可以加深对这些知识点的理解和应用能力。
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圆的基本性质【知识点】1．圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角： （3）圆周角： （4）弧： （5）弦：2．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．3．三角形的内心和外心:（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （2）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【例题】例题1.如图，公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 （ ） A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米例题2.如图⊙O 的半径为5，弦AB=8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5例题1图 例题2图 例题3图 例题4图例题3.如图⊙O 弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 半径为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2例题4.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=3，则弦AB 所对圆周角的度数为（ ）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【检测】1.如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP ．若阴影部分的面积为 9，则弦AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．92.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ）A ．28°B ．56°C ．60°D ．62° 第1题图 第2题图 第3题图3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E,∠CDB ＝30°, ⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ） A ．3cm2B ．3cmC ．23cmD ．9cm4.⊙O 的半径为10cm ，弦AB ＝12cm ，则圆心到AB 的距离为（ ）A ． 2cmB ． 6cmC ． 8cmD ． 10cm直线与圆、圆与圆的位置关系【知识点】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）5=R （图1） （图2）60% 相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<< 【注意点】与圆的切线长有关的计算． 【例题】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含 例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为DEF ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ） A ．40° B ．55° C ．65° D ．70°例3．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cmB.7cmC.10cmD. 1cm 或7cm例4．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为【检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60圆的有关计算【知识梳理】1. 圆周长公式：2. n°的圆心角所对的弧长公式：3. 圆心角为n°的扇形面积公式： 、 ．4. 圆锥的侧面展开图是 ；底面半径为r ，母线长为l 的圆锥的侧面积公式为：；圆锥的表面积的计算方法是：5.圆柱的侧面展开图是： ；底面半径为r ，高为h 的圆柱的侧面积公式是： ；圆柱的表面积的计算方法是：【例题】【例1】如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，OF ⊥AC 于点F ． （1）请写出三条与BC 有关的正确结论；（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．【例2】如图，小明从半径为5cm 的圆形纸片中剪下40%圆周的 一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）A.3cmB.4cmC.21cmD.62cm【检测】1．圆锥的底面半径为3cm ，母线为9cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．6π2cmB ．9π2cmC ．12 π2cmD ．27π2cm D O A FE 例题2图 C B A OF D E2．圆锥的侧面展开图形是半径为8cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（ ） A ．38 cm B ．316 cm C ．3cm D ．34 cm 3．已知圆锥的底面半径是2㎝，母线长是4㎝，则圆锥的侧面积是 ㎝2.4．如图，两个同心圆的半径分别为2和1，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为圆的综合【例题】1．如图，已知圆心角78BOC ∠=，则圆周角BAC ∠的度数是（ ）A ．156B ．78C ．39D ．122．如图2所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB （ ）A ．是正方形B ． 是长方形C ． 是菱形D ．以上答案都不对3．圆锥的底面半径为3cm ，母线为9cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．6π2cmB ．9π2cmC ．12 π2cmD ．27π2cm4.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2，则该半圆的半径为（ ）A ．(45)+ cmB ．9 cmC ． 45cmD ． 62cm．【检测】1．下列命题中，真命题的个数为（ ）①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形②如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它的面积等于两条对角线长的积的一半③在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等④已知两圆半径分别为5，3，圆心距为2，那么两圆内切A ．1B ．2C ．3D ．42．圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，圆O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ）A ．3 B ．5C ．23D ．253．如图，圆O 的半径为1，AB 与圆O 相切于点A ，OB 与圆O 交于点C ，OD OA ⊥，垂足为D ，则cos AOB ∠的值等于（ ）A ．ODB ．OAC ．CD D ．AB4．如图，AB 是圆O 的弦，半径2OA =，2sin 3A =，则弦AB 的长为（ ） A ．253 B ．2133 C ．4 D ．453A OB 120o120°OA BC OD x y O 1 1 B A 第1题图 O AB A BO M 第2题图 第3题图 第4题图 第4题图5.如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点．则B 点的坐标为（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-5954, D ．()31,- 6.如图4，⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ）A ．2.5 B ．3.5C ．4.5D ．5.57.高速公路的隧道和桥梁最多,如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA 为（ ） A ．5 B ．7 C ．375 D ．3778．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（ ）A ．25πB ．65πC ．90πD ．130π9.如图，AB 是圆O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交圆O 于点D ，点E 在圆0上．（1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长．第9题图 第7题图。