第八章 、第三、四节 全微分、复合求导
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S ( x x ) ( y y ) x y yx xy xy
• 第一部分 yxxy
是 x,y的线性函数 y
xy xy
• 第二部分 xy
lim xy
y Sxy yx
(x,y) (0,0) (x)2(y)2
x x
lim xy 0
S ( x x ) ( y y ) x y yx xy xy
定义 ：如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量 z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
可以表示为 z A x B y o ()
则称 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，记作
d z df(x ,y ) A x B y
z A x B y o () dz o ()
可以表示为 z A x B y o ()
其中 A 、B 与 x , y 无关 ( 仅与 x , y 有关 )
(x)2(y)2
则称 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，
并称 A x + B y 为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y )
处的全微分，记作 d z 或 df(x, y)
d z df(x ,y ) A x B y
函 数 若 在 某 区 域 D 内 各 点 处 处 可 微 分 ， 则 称 这 函 数 在 D 内 可 微 分 .
如 果 函 数 z f(x ,y )在 点 (x ,y )可 微 分 , 则
函 数 在 该 点 连 续 .
• 第一部分 yxxy
是 x,y的线性函数 y
xy xy
• 第二部分 xy
lim xy
y Sxy yx
(x,y) (0,0) (x)2(y)2
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx
lim
0
xy 0
(|x| |y|)20 x2y22|xy|
0| xy | (x2 y2 )
2
2
S y x x y o ()
定义 ：如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量 z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
第三节 全微分及应用
一元函数 y = f (x) 的增量概念：
y f ( x x ) f ( x )
考虑二元函数 z = f ( x , y )
关于 x 的偏增量 x z f ( x x ,y ) f ( x ,y )
关于 y 的偏增量 y z f( x ,y y ) f( x ,y )
内容回顾
定义 ：如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量 z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
可以表示为 z A x B y o ()
其中 A 、B 与 x , y 无关 ( 仅与 x , y 有关 )
(x)2(y)2
则称 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，
定理1（必要条件）： 如果 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，则函数在该点 ( x , y ) 处的两个一阶偏导数
fx(x ,y)和 fy(x ,y)
必存在，且 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处的微分为
并称 A x + B y 为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y )
处的全微分，记作 d z 或 df(x, y)
d z df(x ,y ) A x B y
结 论 ： 如 果 函 数 z f(x ,y )在 点 (x ,y )可 微 分 ,
则 函 数 在 该 点 连 续 .
问题1：函数 z = f ( x , y ) 在什么条件下可微？ 问题2：在可微的条件下，A = ？，B = ？
问题1：函数 z = f ( x , y ) 在什么条件下可微？
问题2：在可微的条件下，A = ？，B = ？
定理1（必要条件）： 如果 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，则函数在该点 ( x , y ) 处的两个一阶偏导数
fx(x ,y)和 fy(x ,y)
必存在，且 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处的微分为
事实上由 z A x B y o (),
得lim z0,
0
又 z f ( x x , y y ) f ( x , y )
lim f(xx,yy)li[m f(x,y)z]
x 0
0
y 0
f(x,y)
故 函 数 z f ( x ,y ) 在 点 ( x , y ) 处 连 续 .
A x B y o () (x)2(y)2
（1）令 x 0,y0，得
f ( x x ,y ) f ( x ,y )A xo(|x|)
f(xx,
y)f(x,
x
y)
Ao(|xx|)
lx i0 m f(xx, y)x f(x, y)Alxi m 0o(|xx|)
Afx(x,y)
（2）令 x 0,y0，同理得：Bfy(x,y)
d z fx (x ,y ) x fy (x ,y ) y
证明： 因为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微，故
z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
A x B y o () (x)2(y)2
z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
则称函数 y = f (x) 在点 x 处是可微的，并称
dyAx为函数的微分
当 f'(x) 存在时，dyf'(x )x
例如： S x2
S(xx)2x22xx(x)2
d S 2 x x
x x
xx (x)2
S x2 xx
考虑边长分别为 x 和 y 的矩形的面积：Sxy
当两边长分别取得增量 x和 y时的改变量
全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y )
fx(x,y)lxi m 0xxz,
fy(x,
y)limyz, y0 x
一元函数 y = f (x) 的微分概念：
若函数的增量： y f ( x x ) f ( x )
能表示为： y A x o (x )
• 第一部分 yxxy
是 x,y的线性函数 y
xy xy
• 第二部分 xy
lim xy
y Sxy yx
(x,y) (0,0) (x)2(y)2
x x
lim xy 0
S ( x x ) ( y y ) x y yx xy xy
定义 ：如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量 z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
可以表示为 z A x B y o ()
则称 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，记作
d z df(x ,y ) A x B y
z A x B y o () dz o ()
可以表示为 z A x B y o ()
其中 A 、B 与 x , y 无关 ( 仅与 x , y 有关 )
(x)2(y)2
则称 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，
并称 A x + B y 为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y )
处的全微分，记作 d z 或 df(x, y)
d z df(x ,y ) A x B y
函 数 若 在 某 区 域 D 内 各 点 处 处 可 微 分 ， 则 称 这 函 数 在 D 内 可 微 分 .
如 果 函 数 z f(x ,y )在 点 (x ,y )可 微 分 , 则
函 数 在 该 点 连 续 .
• 第一部分 yxxy
是 x,y的线性函数 y
xy xy
• 第二部分 xy
lim xy
y Sxy yx
(x,y) (0,0) (x)2(y)2
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx
lim
0
xy 0
(|x| |y|)20 x2y22|xy|
0| xy | (x2 y2 )
2
2
S y x x y o ()
定义 ：如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量 z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
第三节 全微分及应用
一元函数 y = f (x) 的增量概念：
y f ( x x ) f ( x )
考虑二元函数 z = f ( x , y )
关于 x 的偏增量 x z f ( x x ,y ) f ( x ,y )
关于 y 的偏增量 y z f( x ,y y ) f( x ,y )
内容回顾
定义 ：如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量 z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
可以表示为 z A x B y o ()
其中 A 、B 与 x , y 无关 ( 仅与 x , y 有关 )
(x)2(y)2
则称 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，
定理1（必要条件）： 如果 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，则函数在该点 ( x , y ) 处的两个一阶偏导数
fx(x ,y)和 fy(x ,y)
必存在，且 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处的微分为
并称 A x + B y 为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y )
处的全微分，记作 d z 或 df(x, y)
d z df(x ,y ) A x B y
结 论 ： 如 果 函 数 z f(x ,y )在 点 (x ,y )可 微 分 ,
则 函 数 在 该 点 连 续 .
问题1：函数 z = f ( x , y ) 在什么条件下可微？ 问题2：在可微的条件下，A = ？，B = ？
问题1：函数 z = f ( x , y ) 在什么条件下可微？
问题2：在可微的条件下，A = ？，B = ？
定理1（必要条件）： 如果 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，则函数在该点 ( x , y ) 处的两个一阶偏导数
fx(x ,y)和 fy(x ,y)
必存在，且 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处的微分为
事实上由 z A x B y o (),
得lim z0,
0
又 z f ( x x , y y ) f ( x , y )
lim f(xx,yy)li[m f(x,y)z]
x 0
0
y 0
f(x,y)
故 函 数 z f ( x ,y ) 在 点 ( x , y ) 处 连 续 .
A x B y o () (x)2(y)2
（1）令 x 0,y0，得
f ( x x ,y ) f ( x ,y )A xo(|x|)
f(xx,
y)f(x,
x
y)
Ao(|xx|)
lx i0 m f(xx, y)x f(x, y)Alxi m 0o(|xx|)
Afx(x,y)
（2）令 x 0,y0，同理得：Bfy(x,y)
d z fx (x ,y ) x fy (x ,y ) y
证明： 因为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微，故
z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
A x B y o () (x)2(y)2
z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )
则称函数 y = f (x) 在点 x 处是可微的，并称
dyAx为函数的微分
当 f'(x) 存在时，dyf'(x )x
例如： S x2
S(xx)2x22xx(x)2
d S 2 x x
x x
xx (x)2
S x2 xx
考虑边长分别为 x 和 y 的矩形的面积：Sxy
当两边长分别取得增量 x和 y时的改变量
全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y )
fx(x,y)lxi m 0xxz,
fy(x,
y)limyz, y0 x
一元函数 y = f (x) 的微分概念：
若函数的增量： y f ( x x ) f ( x )
能表示为： y A x o (x )