第八章、第三、四节全微分、复合求导

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§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式

M
26
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定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
8
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例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
7
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例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y

多元函数微积分学

3、 f ( x, y) f ( x, y) y x
x
y
4、 f ( x, y) 1, f ( x, y) 2 y.
x
y
二、隐函数的求导法则（重点）
(1) F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内具有连续的偏导数，且F( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的
y
x y
3. 设 f ( x y, x y) x2 y2 , 求 f ( x, y) f ( x, y) .
x
y
4．设 f ( xy, x y) x2 y2 xy, 求 f ( x, y) , f ( x, y)
x
y
练习四答案
1、 dz esin xcos x (cos2 x sin2 x); dx
z 2ex2y y 2z 2ex2y x y
2z 2 e x2 y y x
2 z y2
4e x2 y
二、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z
uv tt
定理 2 如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点
( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)
在对应点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算

8.3 全微分,复合函数求导

xy , x2 + y2 ≠ 0 2 z = f ( x, y) = x + y2 0 , x2 + y2 = 0
在点(0 并不连续, 但是 f (x , y) 在点 , 0)并不连续从而不可微并不连续从而不可微.
暨南大学珠海学院苏保河主讲
定理2 定理
若函数的偏导数 z z , 在点( x, y) 连续 , x y 则函数在该点可微分. 则函数在该点可微分
z =
ρ = (x)2 + (y)2 + o( ρ )
d z = f x ( x, y)dx + f y ( x, y)dy = f x ( x, y)x + f y ( x, y)y x, y 给定数值时用常用
2. 重要关系重要关系:
函数连续函数可微分偏导数连续
暨南大学珠海学院苏保河主讲
偏导数存在
z z u z v ′ ′ ′ ′ = f1 1 + f2ψ1 = + x u x v x z z u z v ′ ′ ′ ′ = + = f1 2 + f2ψ2 y u y v y 暨南大学珠海学院苏保河主讲
z z 例1. 设 z = e sin v, u = x y, v = x + y, 求 , . x y
例5. 选择题
z = f x ( x, y)x + f y ( x, y)y + o(ρ )
函数 z = f ( x, y)在 ( x0 , y0 )可微的充分条件是 D ) 可微的充分条件是(
( A) f ( x, y) 在( x0 , y0 ) 连续;
(B) f x ( x, y), f y ( x, y)在( x0 , y0 )的某邻域内存在 ;

第八章 4复合函数求导法则

dz ∂z du ∂z dv = + ． dt ∂u dt ∂v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况如
dz ∂ z du ∂ z dv ∂ z dw = + + dt ∂ u dt ∂ v dt ∂ w dt
z
u v w
t
dz 全导数. 以上公式中的导数称为全导数. dt 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况： z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y )].
= 2ye
x2 + y2 +z2
+2ze
x2 + y2 +z2⋅ x2 cos y
= 2( y + x sin y cos y ) e
4
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
f 有阶例4 设w = f ( x + y + z, xyz)，具二
此公式可以推广到任意多个中间变量 z 和任意多个自变量的情形
u v w
x
y
u v 例1 设z = e sinv， u = xy， = x + y ，而
∂z ∂z 和 . 求 ∂x ∂y 解 ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x u u = e u ( y sin v + cos v ), = e sin v ⋅ y + e cos v ⋅ 1
函数 z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y ), w( x , y )] 在对应点( x , y ) 两个偏导数存在，两个偏导数存在，且可用下列公式计算

高等数学第八章第三讲多元函数的全微分

第八章
小结
１．多元函数全微分的概念；２．多元函数全微分的求法；３．多元函数连续、可导、可微的关系．
作业： 28; 29; 30.
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
(0 1 1)
f x ( x, y )x 1x （依偏导数的连续性）
其中 1 为x , y 的函数,
且当x 0, y 0 时， 1 0 .
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
同理
f ( x , y y ) f ( x , y )
第八章
定理２（充分条件）如果函数z f ( x , y ) 的偏
z z 导数、在点( x , y ) 连续，则该函数在点( x , y ) x y
可微分．
证考虑函数在点(x, y) 处的全增量. 有
z f ( x x , y y ) f ( x , y ) [ f ( x x , y y ) f ( x , y y )]
需要注意的是, 偏导数连续只是可微的充分而非必要条件.
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
z z 习惯上，记全微分为 dz dx dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
[ f ( x , y y ) f ( x , y )],
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理

高等数学知识点汇总

高等数学知识点高等数学知识点汇总通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。

下面小编给大家介绍高等数学知识点汇总，赶紧来看看吧!高等数学知识点汇总第一章函数与极限知识点1：函数的概念、函数定义域的求法知识点2：函数的分类、特殊类型的函数知识点3：函数的基本性质知识点4：数列极限的概念与性质知识点5：函数极限的概念与性质知识点6：证明极限式与证明极限不存在的方法知识点7：无穷小与无穷大的概念与关系知识点8：极限的四则运算法则知识点9：复合函数的极限运算法则知识点10：极限存在的两个准则知识点11：两个重要极限知识点12：无穷小的比较知识点13：函数连续性的概念及判断知识点14：函数间断点的求法及分类知识点15：闭区间上连续函数的性质第二章导数与微分知识点16：导数的概念知识点17：导数的几何意义、平面曲线的切线与法线方程的求法知识点18：复合函数的求导知识点19：反函数的求导知识点20：隐函数及参数方程的求导知识点21：微分的概念及运算知识点22：一元函数微分形式的不变性知识点23：导数的物理意义知识点24：按定义求导的题目类型知识点25：可导、可微与连续三个概念之间的关系知识点26：奇偶函数与周期函数的导数的性质知识点27：用求导公式与法则求导数知识点28：函数的高阶导数第三章微分中值定理与导数的应用知识点29：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用知识点30：柯西中值定理的应用知识点31：有关中值定理证明题的典型实例知识点32：洛必达法则求极限知识点33：求极限的方法总结知识点34：函数的零点（方程的根）存在性与唯一性的证明知识点35：函数的零点（方程的根）个数的讨论知识点36：不等式的证明方法总结知识点37：泰勒公式的求法知识点38：泰勒公式的应用知识点39：函数的单调性及判别知识点40：函数的极值及判别知识点41：函数的最值及判别知识点42：渐近线的分类与求法知识点43：曲线的凸凹性和拐点知识点44：曲率、曲率圆及曲率半径（数学一、二）知识点45：弧微分知识点46：导数在经济领域的应用（数学三）第四章不定积分知识点47：不定积分的概念与性质知识点48：不定积分的换元积分法知识点49：不定积分的分部积分法知识点50：有理函数与三角有理式的不定积分知识点51：不定积分计算技巧的典型实例第五章定积分知识点52：定积分的概念与基本性质知识点53：变上限的积分及其导数知识点54：奇偶函数与周期函数的积分性质知识点55：涉及定积分证明题型的典型实例知识点56：用牛顿-莱布尼兹定理计算定积分知识点57：定积分的换元积分法知识点58：定积分的分部积分法知识点59：定积分的特殊计算方法的典型实例知识点60：无穷限的.反常积分的概念与计算知识点61：无界函数的反常积分的概念与计算第六章定积分的应用知识点62：用定积分求平面图形的面积知识点63：用定积分求特殊立体的体积知识点64：用定积分求弧长知识点65：定积分的物理应用（数一、二）知识点66：连续函数的平均值（数一、二）第七章空间解析几何与向量代数知识点67：空间直角坐标系及相关概念（数一）知识点68：向量的属性、向量的长度与夹角（数一）知识点69：向量的各类运算及其运算法则（数一）知识点70：用向量解决的几何问题（数一）知识点71：平面的法向量与平面方程（数一）知识点72：直线的方向向量与直线方程（数一）知识点73：两个平面间的关系（数一）知识点74：两条直线间的关系（数一）知识点75：直线与平面的关系（数一）知识点76：点到平面的距离的计算（数一）知识点77：点到直线的距离的计算（数一）知识点78：旋转曲面（数一）知识点79：柱面（数一）知识点80：二次曲面（数一）知识点81：空间曲线的方程及其在坐标面上的投影（数一）第八章多元函数微分法及其应用知识点82：多元函数的概念和几何意义知识点83：二元函数的极限知识点84：二元函数的连续性知识点85：偏导数的概念与常规计算知识点86：高阶偏导数知识点87：多元函数可微与全微分知识点88：连续，可偏导，可微的关系知识点89：多元复合函数的求导法则知识点90：多元函数的微分形式不变性知识点91：多元隐函数的求导知识点92：多元函数的极值问题知识点93：条件极值问题、拉格朗日乘数法知识点94：多元函数的最值问题知识点95：方向导数（数一、二）知识点96：数量场的梯度（数一、二）知识点97：空间曲线的切线与法平面（数一、二）知识点98：空间曲面的切平面与法线（数一、二）知识点99：二元函数的二阶泰勒公式（数一）第九章重积分知识点100：重积分的概念与性质知识点101：直角坐标下二重积分的定限与计算知识点102：极坐标下二重积分的定限与计算知识点103：直角坐标下三重积分的定限与计算知识点104：柱面坐标下三重积分的定限与计算知识点105：球面坐标下三重积分的定限与计算知识点106：重积分积分次序的交换知识点107：利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性求重积分的技巧第十章曲线积分与曲面积分知识点108：第一类曲线积分的概念与计算知识点109：第二类曲线积分的概念与计算知识点110：两类曲线积分之间的联系知识点111：二元函数全微分求积知识点112：格林公式及其应用知识点113：曲线积分与路径无关的条件知识点114：第一类曲面积分的概念与计算知识点115：第二类曲面积分的概念与计算知识点116：两类曲面积分之间的联系知识点117：高斯公式及其应用知识点118：通量与散度知识点119：斯托克斯公式及其应用知识点120：环流量与旋度知识点121：涉及重积分与曲线曲面积分的证明题总结第十一章无穷级数知识点122：级数的概念及性质（数一、三）知识点123：级数收敛的概念与判别法（数一、三）知识点124：正项级数的审敛法（数一、三）知识点125：交错级数、莱布尼兹判别法（数一、三）知识点126：函数项级数与幂级数的概念（数一、三）知识点127：函数的幂级数展开（数一、三）知识点128：阿贝尔判别法（数一、三）知识点129：幂级数的收敛域（数一、三）知识点130：幂级数的和函数（数一、三）知识点131：绝对收敛与条件收敛（数一、三）知识点132：傅里叶级数的展开式的求法（数一）知识点133：傅里叶级数的周期延拓（数一）知识点134：傅里叶级数的奇偶延拓（数一）第十二章微分方程知识点135：微分方程的基本概念知识点136：可分离变量的微分方程知识点137：齐次微分方程知识点138：一阶线性微分方程知识点139：全微分方程知识点140：伯努利方程知识点141：用变量替换解微分方程举例知识点142：含变限积分的方程知识点143：可降阶的高阶微分方程知识点144：线性微分方程解的性质和结构知识点145：二阶常系数齐次线性方程知识点146：n阶常系数齐次线性方程知识点147：二阶常系数非齐次线性方程知识点148：欧拉方程（数学一）知识点149：差分方程（数学三）知识点150：微分方程应用题的典型实例。

高等数学第八章多元微分第四节多元复合函数求导

x yx y
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上述求导规则称为多元复合函数的链式法则. 具有如下特点:
1. 复合后的函数有几个自变量，对应地就有几个偏导数;
2. 有几个中间变量，就有几项相加;
3. 相加的每一项都是复合函数对某一中间变量的
偏导数和该中间变量对特定自变量的偏导数的乘积;
4. 中间变量或自变量只有一个时，公式中的求导
记号用 d ，不止一个时用偏导数记号
dx
x
5
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特例1. z f( u ,v ) ,u ( x ,y ) ,v ( y )
z z u z 0 z u x u x v u x
z z u z dv y u y v d y
特例2. z f( x ,v ) ,v ( x ,y )
2001考研
解由题设 ( 1 ) f(1 ,f(1 ,1 ))f(1,1)1
d 3(x)
dx
x
132(x)ddx
x1
3 f1(x,f(x,x))
f 2 ( x , f ( x , x ) )
32 3(23)51
x 1
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个人观点供参考，欢迎讨论！
续的偏导数, 则复合函数
的导数为
dzzduzdv dt u dt v dt
全导数证略（利用全增量公式）
z
uv tt
注求多元复合函数的偏导数，只要对每一个中间
变量施行一元函数的链式法则，再相加即可. 重要的是
搞清楚函数的复合关系.
上页下页返回结束
推广设 zf(u,v,w ),而
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
上页下页返回结束dtdzdtdzdtdudtdvcoslnsinlncosln上页下页返回结束解利用全导数求导数dxdydxdydxdudxdvcossinlnlnlnlnsin上页下页返回结束引入中间变量cossin上页下页返回结束1211上页下页返回结束xyzxyxyzxy上页下页返回结束二全微分形式的不变性是自变量还是中间变量则复合函数其全微分的表达形式都一样这一性质称为全微分形式的不变性

第八章全微分、复合函数的微分

为函数在点 P对应于自变量增量 ∆x , ∆y的全增量. 记为∆z ∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y)
全增量 ∆z与∆x , ∆y的关系是比较复杂的 ,能否象一元函数的微分那样,用∆x , ∆y的线性函数 :
A∆x + B∆x 来近似表达 ,由此引出如下定义 : 由此引出如下定义
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ∂z lim =A = , ∆x → 0 ∆x ∂x
∂z B= . 同理可得 ∂y 一元函数在某点的导数存在
多元函数的各偏导数存在 xy x2 y2 例如 + f ( x, y) = 0
微分存在．微分存在．全微分存在．全微分存在．
微积分
多元函数连续、可导、多元函数连续、可导、可微的关系函数连续函数可导
函数可微偏导数连续
微积分
三、小结
１、多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；２、多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；３、多元函数连续、可导、可微的关系．多元函数连续、可导、可微的关系．注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）
z ( . 则称 = f ( x, y)在点 x, y)可微分
∆z = A∆x + B∆y称为z = f ( x , y )在点( x , y )的全微分 ,
dz 记为
ie.
dz = A∆x + B∆y.
微积分
内各点处处可微分，函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则内可微分. 称这函数在 D 内可微分.
则
∆x ⋅ ∆y ( ∆ x ) 2 + ( ∆y ) 2 =

第八章多元函数微分法及其应用

第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念1．填空。

（1）设()y x y x f 23,+=，则()()y x f xy f ,,=________________；(2) 设,),(2y x xyx y f +=+则()y x f , =_________________； (3) 设),1(-+=x f y z若当1=y 时x z =，则函数()x f =________________；(4) 函数)1ln(2)(x y x z -+=的定义域是_________________________；(5) 函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是，此定义域可用平面图形表示为_____________________________________。

2．求极限。

（1）)()cos(1lim22222200y x y x y x y x ++-→→ （2）yx x a y x x +→+∞→+2)11(lim4．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0,0,242424y x y x y x xy z 的连续性。

第二节偏导数1．填空。

（1）,tan ln y x z=则______________=∂∂xz ，___________=∂∂y z；（2）,)1(y xy z +=则______________=∂∂xz，___________=∂∂y z ； (3) 设222),,(zx yz xy z y x f ++=，则),,(z y x f z =__________,),,(z y x f zz =__________, ),,(z y x f zzx =__________,)3,5,2(zzx f =__ ________；（4）设 ⎰--Φ=at x atx du u t x f )(),(，（Φ为连续函数），则x f ∂∂=__ ________, tf∂∂=__ ________。

多元函数微分法及其应用.doc

第八章多元函数微分法及其应用一、本章教学目标：1.使学生掌握多元函数的基本概念2.使学生掌握多元函数的微分求解关系3.使学生掌握多元函数各知识点之间的联系二、本章基本要求：1.使学生掌握多元函数连续的计算2.使学生掌握多元函数微分的计算三、本章各节的教学内容：第一节多元函数的基本概念教学内容：①平面点集，n维空间②多元函数的概念③多元函数的极限④多元函数的连续性第二节偏导数教学内容：①偏导数的定义及计算法②高阶偏导数第三节全微分教学内容：①全微分的定义②全微分在近似计算中的应用第四节多元复合函数的求导法则教学内容：①多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导法则教学内容：①一个方程的情形②方程组的情形第六节多元函数微分学的几何应用教学内容：①空间曲线的切线与法平面②曲面的切平面与法线第七节方向导数与梯度教学内容：①方向导数②梯度第八节多元函数的极值及其求法教学内容：①多元函数极值、最大值和最小值②条件极值，拉格朗日乘数法四、本章教学重点：1.使学生掌握多元函数的连续2.使学生掌握多元函数的微分3.使学生掌握多元函数微分学的应用五、本章教学内容的深化和拓宽：使学生深化对多元函数知识点间的联系六、本章教学方式：多媒体七、本章教学过程中应注意的问题：培养学生用发展变化的观点看待问题八、本章主要参考书目：1.同济大学数学教研室主编.1996年.北京：高等教育出版社2.华东师范大学数学系主编.1990年.北京：高等教育出版社3.惠淑荣主编.2002年.北京：中国农业出版社4.李喜霞主编.2003年.北京：中国农业出版社九、本章思考题：1.多元函数极限，连续，可微之间的关系2.多元函数求导的法则及应用3.多元函数微分学及应用§8-1多元函数的基本概念一、区域 1.邻域设0P 是XOY 平面上的一点，δ是一个正数，与点0P 的距离小于δ的点(,)P x y 的全体，称为点0P 的δ邻域。

记作()0,U P δ，即(){}00,U PP PP δδ=<，也就是 ()({}0,,U P x y δδ=<。

第八章多元函数的微分学

y y0 y y0
二元函数偏导数的定义可以类推到三元或三元以上的函数. 如果函数 z f ( x, y ) 在区域 D 内每一点处，对 x 的偏导数都存在，那么在 D 内定义了一个函数，称为 z f ( x, y ) 的偏导函数，记作 z f 或或 z x ( x, y ) 或 f x ( x, y ) x x 类似地，函数 z f ( x, y ) 对 y 的偏导函数,记作 z f 或或 z y ( x, y ) 或 f y ( x, y ) . y y 偏导函数简称为偏导数.
x x0 y y0
上面定义的二元函数的极限又称二重极限,二重极限是一元函数极限的推广,有关一元函数的运算法则和定理均可类推到二重极限.
例 4 求极限 lim
x2 y 2 1 x2 y 2 1
x x0 y y0
解显然，当 x 0, y 0 时, x 2 y 2 0 ,根据极限的加法法则及有关复合函数的极限定理,有 lim 1 x 2 y 2 lim1 lim( x 2 y 2 ) 1 0 1,
x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 y 0
所以
lim
x0 y 0
x2 y 2 1 x2 y 2 1 ( x 2 y 2 )( 1 x 2 y 2 1) ( 1 x 2 y 2 1)( 1 x 2 y 2 1)
lim
x0 y 0
例 6 求极限 lim
x0 y 1
ex y2 1 x2 Leabharlann 2 ex y21 x y
2 2
解函数 f ( x, y ) 续的，所以
在点(0,1)处有定义,是连
1 x2 y 2 1 02 12 在有界区域上连续的二元函数有以下性质:

高等数学课件第八章全微分

令
则
称为函数
在点 (x, y) 的全微分, 记作
若函数在域 D 内各点都可微,
则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
处全增量
则称此函数在D 内可微.
(2) 偏导数连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
由微分定义 :
思考与练习
1. P72 题 1 (总习题八)
函数
在
可微的充分条件是( )
的某邻域内存在 ;
时是无穷小量 ;
时是无穷小量 .
2. 选择题
答案:
也可写作:
当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.02 , d z = 0.03
在点 (0,0) 可微 .
备用题
在点 (0,0) 连续且偏导数存在,
续,
证: 1)
因
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
但偏导数在点 (0,0) 不连
证明函数
所以
同理
极限不存在 ,
在点(0,0)不连续 ;
同理 ,
在点(0,0)也不连续.
2)
3)
4) 下面证明
可微 :
说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.
第八章
*二、全微分在数值计算中的应用
应用
第三节
一元函数 y = f (x) 的微分
近似计算
估计误差
本节内容:
一、全微分的定义
全微分
一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )

高等数学第八章课件.ppt

x x0 y y0 z z0 . x(t0 ) y(t0 ) z(t0 ) 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T x(t0), y(t0), z(t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
限，记为
lim f( x, y) A,
( x, y x0 , y0 )
或 f(x,y) A,( x, y)( x0, y0 )
例考察函数
g( x,
y)
xy
x2 y2
,
x2 y2 0 ,
0 , x2 y2 0
当 ( x, y ) ( 0 , 0 ) 时的极限
解当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点，即当 y 0 而
若函数 u u(x, y), v v(x, y) 在点(x, y) 处有偏导数，则 z f (u) 在对应点(u, v) 处有连续偏导数，则复合函数 z f [u(x, y), v(x, y)] 在点(x, y) 处也存在偏导数，并且
两种特殊情况：
（二）隐函数的求导法则
设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端对 x 求导，得
f（x0，y0）=C
第二节偏导数
一、偏导数的概念及几何意义二、高阶偏导数三、复合函数与隐函数的求导法则
一、偏导数的概念及几何意义
（一）偏导数的概念
定义设函数
在点
的某邻域内极限
存在,则称此极限为函数的偏导数，记为
注意:
同样可定义对 y 的偏导数为
若函数 z f ( x, y)在域 D 内每一点 ( x, y)处对 x

高数第八章答案

(2) (3)10 兰(x + y)sin —siny x222x y 2sin -原式二 lim 2 -------y ：0 (x 2y 2)e xyy ，所以，原式=02 22(/2 lim xyx：0(x 2 y 2)e xy第一节多元函数的概念11.( 1)( x, y )- <e2.( 1)原式二 1叫(\ x 2 y 2 1 1) = 2y >0(2) { ( x, y)2k w x 寸二 2k 1，k= 0,1,2,|||(3)(( x, y )1 £ x 2+y 2 z 2 乞 9(4) 原式二limXT2 y >0xsin(xy)cos(xy) o2xy3.（ 1）当沿 y 二kx ，(2)当沿 x = ky 2， 1 - k 20时，原式二 2，极限不存在。

1十k 210时，原式二1，极限不存在。

kx + y 1 < —1 1 —+ — x2 + y 22 y x 1p 0，原式=0 x 4.（ 1）考虑当沿y二0时, lim —4 2 = lim — x 0 x y x >0 x y r 0 y —；0k4*x 4 1下极限不存在’不连续。

kx 4（2）不连续，当不沿坐标轴趋近（0，0）时，极限值不等于函数值。

x >(3) 0 乞 kx 2，1 ,lim.(- y y )第二节偏导数1. (1) —-y2(1 xy)y1;二=(1 xy)y[ln(1 xy)1 + xy(2)ycUyzcos(xyz) 2xy; xzcos(xyz)■zxycos(xyz) 6z(3)z(x-y)z1 u_________________ ■ ___ -2z ；1 (x - y) y(x- y)z ln(x- y)z(x- y)z，________________ ■2 z;1 (x- y)2z1 (x- y)2z：：z 2.—y (1,1, 3)= y1 x2y2zx x2 3.- 2:z(1,1, 3)_2 2 2x z x - y ■ ____ —_2;一 2 2y x (x2xy 3z_____ ■ ___—2 2 2，2x y (x y ) x y2、2、y )2x(x4 - 2x2y2 - 3y4)2 2(x y )4. f (x,1) = x, f x(x,1p 1 5•由上节知，不连续。

全微分的计算公式

全微分的计算公式全微分是微积分中的重要概念之一，用于描述函数在其中一点附近的变化情况。

全微分的计算公式是一种广义的求导公式，适用于多元函数以及复合函数的求导。

下面将详细介绍全微分的计算公式。

1.一元函数的全微分对于一元函数f(x)，在其中一点x=a处的全微分df可以通过求导来计算，计算公式为：df = f'(a)dx其中，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数，dx表示自变量的微小变化量。

例如，对于函数f(x) = x^2，在点x=2处的全微分df可以通过求导得到：f'(x)=2xdf = f'(2)dx = 2(2)dx = 4dx2.多元函数的全微分对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在其中一点P(x1=a1,x2=a2, ..., xn=an)处的全微分df可以通过对各个自变量求偏导数并乘以相应的微小变化量得到，计算公式为：df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn其中，∂f/∂xi表示对第i个自变量求偏导数，dxi表示第i个自变量的微小变化量。

例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，在点P(2, 3)处的全微分df可以通过对各个自变量求偏导数并乘以相应的微小变化量得到：∂f/∂x=2x，∂f/∂y=2ydf = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy = (2x)(dx) + (2y)(dy) = 4dx + 6dy3.复合函数的全微分对于复合函数f(g(x1, x2, ..., xn))，其中g(x1, x2, ..., xn)为自变量，f(t)为中间变量，t=g(x1, x2, ..., xn)。

在其中一点P(x1=a1, x2=a2, ..., xn=an)处的全微分df可以通过链式法则来计算，计算公式为：df = (∂f/∂t)(∂t/∂x1)dx1 + (∂f/∂t)(∂t/∂x2)dx2 + ... +(∂f/∂t)(∂t/∂xn)dxn其中， (∂f/∂t) 和 (∂t/∂xi) 分别表示对中间变量t和自变量xi求偏导数。

高等数学第八章第4节多元函数的求导法则(中央财经大学)

第四节多元复合函数的求导法则一. 全导数多元函数经复合运算后, 一般仍是多元函数, 但也可能成为一元函数.按前面关于多元函数的讨论方法, 复合函数求导法则的研究可从复合后成为一元函数的情况开始.这就是全导数问题.你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗？你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗？由此可推至一般的情况由此可推至一般的情况设以下函数满足定理的条件; )( , )( , ),(t y y t x x y x f z ===;)( , )( , )( , ),,(t z z t y y t x x z y x f u ====. )( , )( , ),,(x z z x y y z y x f u === 请同学自己写请同学自己写开始对答案你做对了吗 ?你做对了吗 ?二. 链导法则一般多元复合函数的求导法则假设所有出现的函数求导运算均成立,z uvwxy将 y 看成常数将 y 看成常数将 x 看成常数将 x 看成常数分别将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数.分别将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数.u v x yzu v x yzuF x yyz∂∂ 2 21f e x f y yz xy′+′−=∂∂ 自己做自己做=三. 全微分形式不变性记得吗?一元函数的微分有一个重要性质：一阶微分形式不变性对函数)(u f y =不论 u 是自变量还是中间变量, 在可微的条件下, 均有d )(d u u f y ′=与y y z x x z z d d d ∂∂+∂∂=比较, 得与y y z x x z z d d d ∂∂+∂∂=比较, 得,0=+dz e dz )(ydx xdy +xy −与y y zx x z z d d d ∂∂+∂∂=比较, 得谢谢大家！。

高等数学课件第八章复合求导

第四节
一元复合函数
求导法则
本节内容:
一、多元复合函数求导的链式法则
二、多元复合函数的全微分
微分法则
多元复合函数的求导法则
第八章
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
处偏导连续,
在点 t 可导,
则复合函数
证: 设 t 取增量△t ,
则相应中间变量
且有链式法则
有增量△u ,△v ,
( 全导数公式 )
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
若定理中
说明:
例如:
易知:
但复合函数
偏导数连续减弱为
偏导数存在,

则定理结论不一定成立.
推广:
1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
设下面所涉及的函数都可微 .
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
又如,
当它们都具有可微条件时, 有
注意:
这里
表示固定 y 对 x 求导,
表示固定 v 对 x 求导
口诀 :
分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
与
不同,
例1. 设
解:
例2.
解:
例3. 设
求全导数
解:
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与
验证解的问题中经常遇到,
下列两个例题有助于掌握
这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
设函数
的全微分为
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,
则复合函数
都可微,
其全微分表达
形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例1 .
例 6.
利用全微分形式不变性再解例1.