应力张量例题.ppt

lmn
1 1 8 1 2 3 m J1 3 3
1 3
8
1 m 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 l J2 J22 0 0 2 3 3 1 m n l m n 2 3 m 1 2 1 2 1 2 3 0 6 0 3 m
应力状态特征方程
3 J1 2 J2 2 J3 0
xy l y m zy n 0 xz l yz m z n 0
（1）
x l yx m zx n 0
ab 2 a b J3 2 0 a b 2 ab 2 0 0 0 0 0
ab
J3 0 b 0 0 0 0 0
结论
两个应力张量表示同一应力状态。
一、应力张量不变量及其应用
应力张量不变量问题小结
1、由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特
征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由
此定义了应力的状态。 2、判断两个应力的状态是否相同，可以通过判断对应
的三个主不变量是否相同来实现。
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 1、主应力
P 11 P 21 P31
P 12 P22 P32
P 13 P23 P33
P 11 0 0
0
P22
0
0 0 P33
1）应力张量为实对称张量，通过坐标转换可以得到切应力为零的状态，此时 的应力称为主应力。本质上与矩阵代数中通过初等变换将一个矩阵化为标准 形的问题相同。(主应力就是法应力，不在矩阵主轴上的分量都是切应力。） 2）可根据三个主应力的特点来直观地区分各种应力状态，或者定性地比较某 一种材料采用不同的塑性成形工序加工时，塑性和变形抗力的差异。
一个应力状态有重要作用。
3

Q 1


1 54 44 3
2
arccos
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 3、八面体应力 八面体平面的方向余弦
S1 l 1 S2 m 2 S3 n 3
8 = S1 S2
l 2 S3 m l 1 m2 2 n 2 3 n
（2）
齐次线性应力平衡方程组
方向余弦条件
l 2 m2 n 2 1
（3）
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 2、最大切应力
l 2 m 3 n 1l 2 m 3n
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2
2 2

1）与正应力一样，切应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值 最大的切应力为最大切应力，记为 max 。 2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。
例题解答
对于 ij
1
同理，对于
J1
2 ij
J1 a b 0 a b
a 0 b 0 0 0 J2 ab 0 b 0 0 0 a
a 0 0
ab ab 0 ab 2 2 a b a b ab 0 0 2 0 2 J2 2 ab 0 a b a b 0 0 2 2 2
取应力主轴为坐标轴，则任意斜微分面上的切应力为
l 2 m 3 n 1l 2 m 3n
2
？
2 2 1
2
2
2
2
2
2
2 2

最大切应力计算公式
max
1 max min 2
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 3、八面体应力
1）以受力物体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠近该点处作与三个应 力主轴等倾斜的微分面，其法线与三个主轴的夹角都相等。在主轴坐标系空 间八个象限中的等倾微分面构成一个正八面体。正八面体的每个平面 称八面 体平面，八面体平面上的应力称为八面应力。 2）八面体平面是一点应力状态的特殊平面，平面上的应力值对研究
试判断以下两个应力张量是否表示同一应力状态？
a 0 0 1 ij 0 b 0 0 0 0
a b 2 a b 2 ij 2 0
a b 2 ab 2 0
0 0 0
一、应力张量不变量及其应用
一、应力张量不变量及其应用
知识要点回顾 二阶张量的定义:
P kr P ij lki lrj
i, j =1,2,3; k,r =1 ,2,3
P 11 P 21 P31 P 12 P22 P32 P 13 P23 P33
二阶张量主不变量：
J1 P 11 P 22 P 33
P J 2 11 P21 P22 P 12 P22 P32 P23 P33 P33 P 13 P31 P 11
P 11 J 3 P21 P31
P 12 P22 P32
P 13 P23 P33
一、应力张量不变量及其应用
应力张量是二阶实对称张量，有三个独立的主不变量。 利用应力张量的三个主不变量，可以判别应力状态的异同。 例 题

2



1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 3 3 3 3
2
2
2
3

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1 3
1 2 2 3 3 1