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应力张量例题
= −ab
两个应力张量表示同一应力状态。
一、应力张量不变量及其应用
应力张量不变量问题小结
1、由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特 、 征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由 征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向， 此定义了应力的状态。 此定义了应力的状态。 2、判断两个应力的状态是否相同，可以通过判断对应 、判断两个应力的状态是否相同， 的三个主不变量是否相同来实现。 的三个主不变量是否相同来实现。
2 2
2
=±
5 14 3
二、几种重要应力的计算
等效应力
σ=
3 3 1 τ8 = ± 350 = 5 7 2 2 3
MPa
几种重要应力计算问题小 结
要求掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、 要求掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、八 面体应力、等效应力的计算方法。 面体应力、等效应力的计算方法。
n3 = 0
τ max =
八面体应力
1 (σ max − σ min ) = 1 (10 − (−5) ) = 7.5 MPa 2 2
1 3
σ 8 = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = (10 + 0 − 5) = 1.67 MPa
τ8 = ±
1 3
1 3
(σ 1 − σ 2 ) + ( σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 )
一、应力张量不变量及其应用
知识要点回顾 二阶张量的定义: 二阶张量的定义
Pkr = Pij lki lrj
( i, j =1,2,3; k,r =1′ ,2′,3′)
P 11 P 21 P31 P 12 P22 P32 P 13 P23 P33
第五章 应力张量 应变张量与应力应变关系
立，即可求出与给定主应力 i 对应的主方向。
1、 2、 3是方程（5-7）的三个根，所
以，也可以将特征方程写成
( 1 )( 2 )( 3 ) 0
展开后有 3 ( 1 2 3 ) 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 1 2 3 0
与式（5-7）比较，得
I1 I2
方程（7）有三组解：
第一组是 m0, n0
第二组是 m0, n1/ 2
第三组是 m1/ 2, n0
有了m、n就可以从（4）中求得相应的l，并运用
（5）式得到相应的极值剪应力 ，由（2）式
得到极值剪应力面上的正应力 。 同理可从（3）和（4）中分别消去m和n，按上述 方法又可以得到六组解，但其中三组是重复的， 独立的解答一共六组，如表5-1所示。 表中前三组解答对应于主平面，其上剪应力为零； 而后三组解答对应于经过主轴之一而平分其他两 主轴夹角的平面，如图5-5示，其上剪应力为
1 和 2 的方向可取与 ν (3) 垂直平面上的任
意方向。即与ν (3) 垂直的方向都是主方向。
如果 123，则 ν (1)ν (2)、ν (2)ν (3)、
ν (3)ν (1)三者可以是零，也可以不是零，这
说明三个主方向可以相互垂直，也可以不垂 直，也就是说，任何方向都是主方向。
（3）主应力的极值性 命题1：最大（或最小）主应力是相应点处任 意截面上正应力的最大（或最小）值。
r r
这就是极坐标下的应力分量与直角坐标下应力 分量的转换公式。
反过来，取直角坐标系为新坐标系，极坐标系 旧坐标系，根据（5-2）式，用极坐标应力分量 表示直角坐标应力分量的关系为：
x xrxrr xx 2xrxr
cos2 r sin2 2sin cosr
1、 2、 3是方程（5-7）的三个根，所
以，也可以将特征方程写成
( 1 )( 2 )( 3 ) 0
展开后有 3 ( 1 2 3 ) 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 1 2 3 0
与式（5-7）比较，得
I1 I2
方程（7）有三组解：
第一组是 m0, n0
第二组是 m0, n1/ 2
第三组是 m1/ 2, n0
有了m、n就可以从（4）中求得相应的l，并运用
（5）式得到相应的极值剪应力 ，由（2）式
得到极值剪应力面上的正应力 。 同理可从（3）和（4）中分别消去m和n，按上述 方法又可以得到六组解，但其中三组是重复的， 独立的解答一共六组，如表5-1所示。 表中前三组解答对应于主平面，其上剪应力为零； 而后三组解答对应于经过主轴之一而平分其他两 主轴夹角的平面，如图5-5示，其上剪应力为
1 和 2 的方向可取与 ν (3) 垂直平面上的任
意方向。即与ν (3) 垂直的方向都是主方向。
如果 123，则 ν (1)ν (2)、ν (2)ν (3)、
ν (3)ν (1)三者可以是零，也可以不是零，这
说明三个主方向可以相互垂直，也可以不垂 直，也就是说，任何方向都是主方向。
（3）主应力的极值性 命题1：最大（或最小）主应力是相应点处任 意截面上正应力的最大（或最小）值。
r r
这就是极坐标下的应力分量与直角坐标下应力 分量的转换公式。
反过来，取直角坐标系为新坐标系，极坐标系 旧坐标系，根据（5-2）式，用极坐标应力分量 表示直角坐标应力分量的关系为：
x xrxrr xx 2xrxr
cos2 r sin2 2sin cosr
应力张量例题
2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。
取应力主轴为坐标轴，则任意斜微分面上的切应力为
？ 2
12l 2
2 2
m2
32n2
1l2 2m2 3n2
2
最大切应力计算公式
max
1 2
max min
二、几种重要应力的计算
2）可根据三个主应力的特点来直观地区分各种应力状态，或者定性地比较某 一种材料采用不同的塑性成形工序加工时，塑性和变形抗力的差异。
应力状态特征方程 齐次线性应力平衡方程组
方向余弦条件
3 J1 2 J2 2 J3 0
x l yxm zxn 0
xyl y m zyn 0
二、几种重要应力的计算
例题解答 1) 画出该点的应力单元体 z
O x
5 -5 -5 5
-5 y
二、几种重要应力的计算
例题解答
2) 用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向
计算应力张量的三个主不变量
J1 x y z 55 5 5
J2
x yx
xy y y zy
216m21 32n22
2 2
3
2
3
1
2
1 3
1
2
1 3
2
2
1 3
3
2
1 3
1
2
第05讲 应力张量
主应力
1、主应力的求解
旋转坐标轴，使Q点的斜面ABC
正好是主平面(τ=0),则斜面上 全应力S就是正应力σ(σ=S)。
S在三轴上的投影
SSyx
l m
S z n
以l,m,n为未知数的齐次线性 方程组。其解有二。
S S
x y
xl yxm zxn xyl ym zyn
1
2
3
又 l2 m2 n2 1
S1122
S22
2 2
S32
2 3
1
椭球面方程，其主半轴的长度分 别为σ1，σ2，σ3。——称应力椭球 面。它是任意斜面全应力矢量S端 点的轨迹。
应力椭球体
2、应力状态的分类
a）若σ1≠σ2≠σ3≠0——三向应力状态。 b）若σ1≠σ2≠0,σ3=0——二向应力状态。 c）若σ1≠0;σ2=σ3=0——单向应力状态。 d）若σ1≠σ2=σ3——圆柱应力状态（包括单向应力状态）。⊥ σ1 的方向均为主方向。 e）若σ1=σ2=σ3——球应力（静水应力）状态。τ≡0,各方向均 为主方向。
3阶张量
张量的概念
2、张量的概念
标量：一个数，当坐标变换时，(xi)= ’(xi’)，即不依赖 于坐标，则定义为标量——零阶张量。
矢量：三个数的集合，当坐标变换时，根据式ai’=Mi’iai,由 a1,a2,a3变为a1’,a2’,a3’，则此三个分量定义为矢量——一阶
张量。
张量：32个数的集合，当坐标变换时，根据式Ti’j’=Mi’i Mj’jTij,由Tij变为Ti’j’，则此九个分量定义为二阶张量——简
1 9 2 3 3 3 3 3
第二章-应力分析-例题-东北大学课件
2019年固体力学与岩石力学基础例题第二章 应力分析例题2.1 设某点的应力张量为012120201⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭σ试求过该点平面12331x x x ++=上的应力矢量，并求正应力矢量和切应力矢量。
解：设该平面的法线矢量为：v =(l ，m ，n)由几何关系知：l 1=m 3=n 1联立方程：l 2+m 2+n 2=1于是解得：l =√1111，m =3√1111，n =√1111所以，该平面上的应力矢量的三个分量分别为：T x =σx l +τyx m +τzx n =0×√1111+1×3√1111+2×√1111=5√1111 T y =τyx l +σy m +τzy n =1×√1111+2×3√1111+0×√1111=7√1111 T z =τzx l +τzy m +σz n =2×√1111+0×3√1111+1×√1111=3√1111该平面的法向应力和切向应力为：σv =T x l +T y m +T z n =5√1111×√1111+7√1111×3√1111+3√1111×√1111=2911τv 2=T v 2−σv 2=8311−841121=72121τv =6√211解答完毕。
例题2.2 设有图2.1示三角形水坝，试列出OP 面（光滑面）的应力边界条件。
图2.1解：在OP 面上有应力边界条件：(σx1x2)x1=0=γx 2 (τx1x2)x1=0=0式中，γ为水的比重。
解答完毕。
例题2.3 已知一点的应力张量为2201211210σ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭过该点的一个作用面，作用面上的应力矢量=N 0，求： 1）22σ；2）作用面法线与坐标系的夹角余弦(,,)l m n 。
解：由于具有一个平面，使得在过改点的一个平面上，应力矢量为0，即：0×l +1×m +2×n =0 1×l +σ22×m +1×n =0 2×l +1×m +0×n =0又根据几何关系：l 2+m 2+n 2=1解得：σ22=12l =√66 m =−√63n =√66解答完毕。
塑性加工力学_第3章应力分析PPT课件
• 3.9 平面应力状态和轴对称应力状态
引言
为了简化研究过程，塑性理论通常采用以下假设：
• 变形体是连续的，即整个体积内不存任何空隙。这样， 应力、应变、位移等物理量也都是连续的，并可用坐标 的连续函数来表示。
• 变形体是均质的和各向同性的。这样，从变形体切取的 任一微元体都能保持原变形体所具有的物理性质，不随 坐标的改变而变化。
3、应 力：单位面积上的内力，称为应力。 S：全应力 σ：正应力，垂直于作用面 τ：剪应力
全应力、正应力、切应力 ：
P2
P3
P1
N Sσ
dP dF
Z
CF
P8 τ Q
P4
P7
P6
P5
O
x
面力、内力和应力
C
τyz τ
S
τyQx σy N
C y
P
全应力：
S
lim 0 F
正应力：
s
lim
0
N F
切应力：
(sx s) yx
zx
即： xy (sy s) zy 0
xz
yz (sz s)
得应力状态的特征方程：
s 3 I1s 2 I 2s I 3 0
∴ 解此方程式可求得有三个主应力分量
• 将s1,s2,s3分别代入下列方程，并可求得该主应力分量的作用方向
（l1,m1,n2）， （l2,m2,n2）， （l3,m3,n3） ：
lim T
0 F
单向均匀拉伸时任意截面上的应力
S0
dP dF
P F0
s0
F0 P
N θ
0 0
σ0
σθ
S0
S
s
P F1 S
引言
为了简化研究过程，塑性理论通常采用以下假设：
• 变形体是连续的，即整个体积内不存任何空隙。这样， 应力、应变、位移等物理量也都是连续的，并可用坐标 的连续函数来表示。
• 变形体是均质的和各向同性的。这样，从变形体切取的 任一微元体都能保持原变形体所具有的物理性质，不随 坐标的改变而变化。
3、应 力：单位面积上的内力，称为应力。 S：全应力 σ：正应力，垂直于作用面 τ：剪应力
全应力、正应力、切应力 ：
P2
P3
P1
N Sσ
dP dF
Z
CF
P8 τ Q
P4
P7
P6
P5
O
x
面力、内力和应力
C
τyz τ
S
τyQx σy N
C y
P
全应力：
S
lim 0 F
正应力：
s
lim
0
N F
切应力：
(sx s) yx
zx
即： xy (sy s) zy 0
xz
yz (sz s)
得应力状态的特征方程：
s 3 I1s 2 I 2s I 3 0
∴ 解此方程式可求得有三个主应力分量
• 将s1,s2,s3分别代入下列方程，并可求得该主应力分量的作用方向
（l1,m1,n2）， （l2,m2,n2）， （l3,m3,n3） ：
lim T
0 F
单向均匀拉伸时任意截面上的应力
S0
dP dF
P F0
s0
F0 P
N θ
0 0
σ0
σθ
S0
S
s
P F1 S
连续介质力学第三章(分析“应力”文档)共110张PPT
一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示，称为 应变张量，用表示，即：
x xy xz
ij
y
yz
=
(对称)
z
x
1 2
xy
y
(对称 )
u
x
1 2
u y
v x
1 2
u z
w x
=
v y
1 2
v z
w y
(对称)
w
z
1
2 1
2
xz yz
z
◆ 几何方程：
x
u x
；
y
v y
性体变，从而出现奇异屈服面。
⑩.平衡（或运动）微分方程
◆ 平衡微分方程：
x
x
yx
y
zx
z
F
x 0
2u t2
xy
x
y
y
zy
z
F
y
0
2v t2
xz
x
yz
y
z
z
F
z 0
2w t2
ij'j Fi 0
◆ 一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点的 应力分量和体力分量必定满足这组方程。
xxyssii n n xyycco o s sq q00sci on s xy
(xyq0)ctg (xyq0) tg
yxtan
左边界：据圣文南原理和平衡的原理得：
Fx 0 , Fy 0 , M0 0 ,
h
hxdy 0
h
hxydy P0
h
h x ydy M 0
h xdy 0
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
x xy xz
ij
y
yz
=
(对称)
z
x
1 2
xy
y
(对称 )
u
x
1 2
u y
v x
1 2
u z
w x
=
v y
1 2
v z
w y
(对称)
w
z
1
2 1
2
xz yz
z
◆ 几何方程：
x
u x
；
y
v y
性体变，从而出现奇异屈服面。
⑩.平衡（或运动）微分方程
◆ 平衡微分方程：
x
x
yx
y
zx
z
F
x 0
2u t2
xy
x
y
y
zy
z
F
y
0
2v t2
xz
x
yz
y
z
z
F
z 0
2w t2
ij'j Fi 0
◆ 一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点的 应力分量和体力分量必定满足这组方程。
xxyssii n n xyycco o s sq q00sci on s xy
(xyq0)ctg (xyq0) tg
yxtan
左边界：据圣文南原理和平衡的原理得：
Fx 0 , Fy 0 , M0 0 ,
h
hxdy 0
h
hxydy P0
h
h x ydy M 0
h xdy 0
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
应力张量例题
ab 2 a b J3 2 0 a b 2 ab 2 0 0 0 0 0
ab
J3 0 b 0 0 0 0 0
结论
两个应力张量表示同一应力状态。
一、应力张量不变量及其应用
应力张量不变量问题小结
1、由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特
征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由
（2）
齐次线性应力平衡方程组
方向余弦条件
l 2 m2 n 2 1
（3）
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 2、最大切应力
l 2 m 3 n 1l 2 m 3n
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2
2 2
1）与正应力一样，切应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值 最大的切应力为最大切应力，记为 max 。 2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。
数。 等效应力定义式
3 8 2
3 2 J2 3 2
3J 2
二、几种重要应力的计算
例 题 对于oxyz直角坐标系，受力物体内一点的应力状态为
5 0 5 (Mpa) ij 0 5 0 5 0 5
1) 2)
画出该点的应力单元体； 试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向；
例题解答
对于 ij
1
同理，对于
J1
2 ij
J1 a b 0 a b
a 0 b 0 0 0 J2 ab 0 b 0 0 0 a
a 0 0
ab ab 0 ab 2 2 a b a b ab 0 0 2 0 2 J2 2 ab 0 a b a b 0 0 2 2 2
ab
J3 0 b 0 0 0 0 0
结论
两个应力张量表示同一应力状态。
一、应力张量不变量及其应用
应力张量不变量问题小结
1、由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特
征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由
（2）
齐次线性应力平衡方程组
方向余弦条件
l 2 m2 n 2 1
（3）
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 2、最大切应力
l 2 m 3 n 1l 2 m 3n
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2
2 2
1）与正应力一样，切应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值 最大的切应力为最大切应力，记为 max 。 2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。
数。 等效应力定义式
3 8 2
3 2 J2 3 2
3J 2
二、几种重要应力的计算
例 题 对于oxyz直角坐标系，受力物体内一点的应力状态为
5 0 5 (Mpa) ij 0 5 0 5 0 5
1) 2)
画出该点的应力单元体； 试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向；
例题解答
对于 ij
1
同理，对于
J1
2 ij
J1 a b 0 a b
a 0 b 0 0 0 J2 ab 0 b 0 0 0 a
a 0 0
ab ab 0 ab 2 2 a b a b ab 0 0 2 0 2 J2 2 ab 0 a b a b 0 0 2 2 2
第二章第2节作用于流体的力应力张量
24
4、牛顿流体 流体中流点的应力和变形速度间的关系满足广义
牛顿公式（2.36）的流体称为牛顿（粘性）流体。 如水和空气。
还有一些流体不满足（2.36）式，称为非牛顿流体， 如颜料、低温下的润滑油等，这些属于胶体化学。
25
总结
26
精品课件！
27
精品课件！
28
End
29
携手共进，齐创精品工程
3
问题
那么，要描写某一点的应力就需要知道所有通过该点 的面上所受的应力。-------是否一定要这样做？ ----------不必，后面就会看到，过同一点不同面上所受到的 应力并不是处处相互独立，事实上，只要知道三个与坐标 面平行面上的应力，则任一以 为法向的面上的应力都可 以通过它们及 表示出来。
随着受力面元取向的不同而变化，即：
是空间某一点的位置, 是该点某一个受力面元的法向单位矢。
这段话可以这样理解：流体中有各个位置的点，不同点用 确定， 对于某一点 ，过这一点可以做无数个不同方向的面元，这些 面元就用 区别开来了，作用在这些面元上的面力 一般来说是不 同的，因此， 是 位置 和表面法向 的函数了，另外还 随着时间变化。
pzx
pxy pyy pzy
p p px y zzzzp1 0 01 0 01 0 02exx e ez1 3 yd xxxV iveyy e e1 3 x zd yy V ivezz e e1 3 x ydzz V iv
22
p px yx x
pzx
pxy pyy pzy
p p px y zzzzp1 0 01 0 01 0 02exx e ez1 3 yd xxxV iveyy e e1 3 x zd yy V ivezz e e1 3 x ydzz V iv
张量和应力张量PPT课件
1.1 角标符号
• 带有下角标的符号称为角标符号，可用来表 示成组的符号或数组。
• 例：
– 直角坐标系的三根轴
• x、y、z→x1、x2、x3 → xi(i=1，2，3)；
– 空间直线的方向余弦
• l、m、n → lx、ly、lz → li(i=x，y，z)；
– 表示一点应力状态的九个应力分量
• σxx、σxy… → σij(i，j=x，y，z)；
a11b32
x13
a12b32 x23
a13b32
x33
y13
y33
1.3 张量的基本概念
• 只需一个实数就可以表示出来简单的物理量称为 标量。例如距离、时间、温度等。
• 需用空间坐标系中的三个分量来表示的物理量称 为矢量。 例如位移、速度、力等。
• 对于复杂的物理量，例如应力状态、应变状态等， 需要用空间坐标系中的三个矢量(也即九个分量) 才能完整地表示出来，这就是张量。
• 张量是矢量的推广，与矢量相类似，可以定义为： 由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量所 组成的集合称为张量。
• 物理量P
– 在j=1空，间2，坐3标)；系xi (i=1，2，3)中存在九个分量Pij (i，
– 在新空间坐标系 xk(k=1’，2’，3’)中存在九个新 分量Pkr(k，r=1’，2’，3’)。
1.5 应力张量
• 外力确定后，受力物体内任意点的应力状态即已 确定。但表示该点应力状态的各个分量在不同坐 标系中将有不同的数值，因此在不同坐标系中该 点的应力分量之间应该存在一定的关系。
• 设受力物体内一点的应力状态为： – 在xi(i=x，y，z)坐标系中为σij(i，j=x，y，z)；
– 在xk (k=x’，y’，z’)坐标系中为σkr(k，r=x’，y’，
《流体力学》课件 第二次课 应力张量、应变率张量
1
1 2
2 x3
3 x3
3 x2
1
2 1
2
3 2
1 2
3
2
1 2
1
1
2 1
2
2 1
3
1. 变形速度张量对角线分量的物理意义
r1 xi，r2 yj ，r3 zk
（1）（2）（3）
d r V r V
dt
（1）（4）（, 2）（5）（, 3）（6）
d dt d dt
pnn pnn
pnz pzz pnz pnn
pnn pxx p yy pzz p
解：
n
i
3
j
k
1
i
3
j
k
1 1，3，1
1 32 1 11
11
0 1 2
pn n P
1 11
1，3，11
2
2 0
0 1
1 5，7，3
11
pnn
pn
n
n
P n
1 5，7，31，3，1T
2.2 速度分解定理
2.2.1 流体微团内流体质点速度之间的关系
i
i
0i
i
x j
x j
i x j
1 2
i x j
j xi
1 i 2 x j
j xi
aij
sij
AS
i
i
x j
x j
aijx j
sijx j
式中： aij
1 2
i x j
j xi
— 旋转率张量；sij
x、y、z的应变率
z
d dt
z
w z
z 2
材料成型原理——应力张量与主应力
变形： 形状的改变 + 体积的改变
应力偏张量
应力球张量
+ σ ij = ⎡⎢⎢τσxxyx
τ yx σ yy
τ τ
zx zy
⎤ ⎥ ⎥
=
⎡σ ⎢
xx
−
σm
τ yx
⎢τ xy σ yy − σ m
τ
zx
⎤ ⎥
τ zy ⎥
⎢⎣τ xz
τ yz
σ
zz
⎥ ⎦
⎢⎣τ xz
τ yz
σ zz
−σm
⎥ ⎦
⎡σ m 0 0⎤ ⎢⎢0 σ m 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 σ m ⎥⎦
⎢⎣1 1 5⎥⎦ ⎢⎣1 1 4⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
z 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 z 存在张量不变量（张量分量的函数）
二、主应力和应力张量不变量
z 主平面： τ = 0 的微分面 z 主应力：主平面上作用的正应力 z 主平面上的法线方向则称为应力主方向或应力主轴
**任意一点的应力状态一定存在相互垂直的三个主方向、三个主平 面和三个主应力。这是应力张量的重要特征**
二、主应力和应力张量不变量
Sx = σl Sy =σm Sz = σn
Sx = σNl Sy =σNm Sz = σNn
代入
⎧S ⎪
x
= σ xl
+τ yxm
+τ zxn
⎨Sy = τ xyl + σ ym +τ zyn
⎪⎩Sz = τ xzl +τ yzm + σ zn
得到
⎧(σ ⎪
x
−σ
N
)l
二、主应力和应力张量不变量
σ x − σ N τ yx τ zx τ xy σ y − σ N τ zy = 0 τ xz τ yz σ z − σ N
一-一点的应力状态与应力张量
一 一点的应力状态与应力张量二 主应力与应力不变量对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示,如P 点处应力状态在直角坐标系可表示为ij S σ==x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦如图1-1所示.在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，新旧坐标的应力分量具有一定变换关系.通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量.式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量.因为它具有xz τ=zx τ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。
已知物体内某点P 的九个应力分量,则可求过该点的任意倾斜面上的应力。
在P 点处取出一无限小四面体oabc (图1-2)它的三个面分别与x ，y ，z 三个轴相垂直。
另一方面即任意斜面,它的法线N,其方向余弦为l ，m ，n 。
分别以dF 、x dF 、y dF 、z dF 代表abc 、obc 、oac 、 oab 三角形面积。
x y z dF ldF dF mdF dF ndF ⎫=⎪=⎬⎪=⎭（1。
2)在三个垂直于坐标的平面上有应力分量,在倾斜面abc 上有合应力N P ，它可分解为正应力N σ及切向剪应力N τ，即222N N N P στ=+N P 沿坐标轴方向分量为N x ，N y ，N z ，由平衡条件可得N x xy xz N yx y yz N zx zy z x l m n y l m n z l m n στττστττσ⎫=++⎪=++⎬⎪=++⎭求出N x ,N y ，N z 在法线上的投影之和，即得正应力N σ222222N N N N x y z xy yz zx x l y m z n l m n lm mn nl σσσστττ=++=+++++ 1—5而剪应力则由式1—5得 2N τ=2N P —2N σ在空间应力状态下一点的应力张量有三个主方向，三个主应力。
第05讲 应力张量
2 2 2 J3 x y z 2 xy xz yz ( x yz y xz z xy ) 0
主应力
3、应力不变量
( a b ) / 2 ( a b ) / 2 ij (a b) / 2 (a b) / 2 0 0
2 2 S 2 2 S12 S 2 S32 2 2 2 12l 2 2 m 2 3 n 2 ( 1 l 2 2 m 2 3 n 2 ) 2
应力椭球体
1、应力椭球体
S1 1l , S2 2m, S3 3n
2 2 2 2 ( 12 3 )l 2 ( 2 3 )m 2 3 [( 1 3 )l 2 ( 2 3 )m 2 3 ]2
2 * l 2l (12 32 ) 2[(1 3 )l 2 ( 2 3 )m2 3 ] 2l (1 3 ) 0
应力椭球体
2、应力状态的分类
d）若σ1≠σ2=σ3——圆柱应力状态（包括单向应力状态）。⊥ σ1 的方向均为主方向。 e）若σ1=σ2=σ3——球应力（静水应力）状态。τ≡0,各方向均 为主方向。
( x )l yx m zx n 0 xyl ( y )m zy n 0 l m ( )n 0 yz z xz l 2 m2 n2 1
（3）二阶张量T，若TT=T，则称为对称张量，若TT=--T，
则称为反对称张量，非对称张量可以化为一个对称张量和 一个反对称张量之和。
1 1 1 pij pij ( p ji p ji ) ( pij p ji ) ( pij p ji ) 2 2 2
主应力
3、应力不变量
( a b ) / 2 ( a b ) / 2 ij (a b) / 2 (a b) / 2 0 0
2 2 S 2 2 S12 S 2 S32 2 2 2 12l 2 2 m 2 3 n 2 ( 1 l 2 2 m 2 3 n 2 ) 2
应力椭球体
1、应力椭球体
S1 1l , S2 2m, S3 3n
2 2 2 2 ( 12 3 )l 2 ( 2 3 )m 2 3 [( 1 3 )l 2 ( 2 3 )m 2 3 ]2
2 * l 2l (12 32 ) 2[(1 3 )l 2 ( 2 3 )m2 3 ] 2l (1 3 ) 0
应力椭球体
2、应力状态的分类
d）若σ1≠σ2=σ3——圆柱应力状态（包括单向应力状态）。⊥ σ1 的方向均为主方向。 e）若σ1=σ2=σ3——球应力（静水应力）状态。τ≡0,各方向均 为主方向。
( x )l yx m zx n 0 xyl ( y )m zy n 0 l m ( )n 0 yz z xz l 2 m2 n2 1
（3）二阶张量T，若TT=T，则称为对称张量，若TT=--T，
则称为反对称张量，非对称张量可以化为一个对称张量和 一个反对称张量之和。
1 1 1 pij pij ( p ji p ji ) ( pij p ji ) ( pij p ji ) 2 2 2
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2
1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 3 3 3 3
2
2
2
3
1 3
1 2 2 3 3 1
应力状态特征方程
3 J1 2 J2 2 J3 0
xy l y m zy n 0 xz l yz m z n 0
（1）
x l yx m zx n 0
试判断以下两个应力张量是否表示同一应力状态？
a 0 0 1 ij 0 b 0 0 0 0
a b 2 a b 2 ij 2 0
a b 2 ab 2 0
0 0 0
一、应力张量不变量及其应用
例题解答
对于 ij
1
同理，对于
J1
2 ij
J1 a b 0 a b
a 0 b 0 0 0 J2 ab 0 b 0 0 0 a
a 0 0
ab ab 0 ab 2 2 a b a b ab 0 0 2 0 2 J2 2 ab 0 a b a b 0 0 2 2 2
取应力主轴为坐标轴，则任意斜微分面上的切应力为
l 2 m 3 n 1l 2 m 3n
2
？
2 2 1
2
2
2
2
2
2
2 2
最大切应力计算公式
max
1 max min 2
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 3、八面体应力
1）以受力物体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠近该点处作与三个应 力主轴等倾斜的微分面，其法线与三个主轴的夹角都相等。在主轴坐标系空 间八个象限中的等倾微分面构成一个正八面体。正八面体的每个平面 称八面 体平面，八面体平面上的应力称为八面应力。 2）八面体平面是一点应力状态的特殊平面，平面上的应力值对研究
一、应力张量不变量及其应用
知识要点回顾 二阶张量的定义:
P kr P ij lki lrj
i, j =1,2,3; k,r =1 ,2,3
P 11 P 21 P31 P 12 P22 P32 P 13 P23 P33
二阶张量主不变量：
J1 P 11 P 22 P 33
一个应力状态有重要作用。
3
Q 1
1 54 44 3
2
arccos
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 3、八面体应力 八面体平面的方向余弦
S1 l 1 S2 m 2 S3 n 3
8 = S1 S2
l 2 S3 m l 1 m2 2 n 2 3 n
P J 2 11 P21 P22 P 12 P22 P32 P23 P33 P33 P 13 P31 P 11
P 11 J 3 P21 P31
P 12 P22 P32
P 13 P23 P33
一、应力张量不变量及其应用
应力张量是二阶实对称张量，有三个独立的主不变量。 利用应力张量的三个主不变量，可以判别应力状态的异同。 例 题
此定义了应力的状态。 2、判断两个应力的状态是否相同，可以通过判断对应
的三个主不变量是否相同来实现。
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 1、主应力
P 11 P 21 P31
P 12 P22 P32
P 13 P23 P33
P 11 0 0
0
P22
（2）
齐次线性应力平衡方程组
方向余弦条件Biblioteka l 2 m2 n 2 1
（3）
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 2、最大切应力
l 2 m 3 n 1l 2 m 3n
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2
2 2
1）与正应力一样，切应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值 最大的切应力为最大切应力，记为 max 。 2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。
0
0 0 P33
1）应力张量为实对称张量，通过坐标转换可以得到切应力为零的状态，此时 的应力称为主应力。本质上与矩阵代数中通过初等变换将一个矩阵化为标准 形的问题相同。(主应力就是法应力，不在矩阵主轴上的分量都是切应力。） 2）可根据三个主应力的特点来直观地区分各种应力状态，或者定性地比较某 一种材料采用不同的塑性成形工序加工时，塑性和变形抗力的差异。
ab 2 a b J3 2 0 a b 2 ab 2 0 0 0 0 0
ab
J3 0 b 0 0 0 0 0
结论
两个应力张量表示同一应力状态。
一、应力张量不变量及其应用
应力张量不变量问题小结
1、由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特
征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由
lmn
1 1 8 1 2 3 m J1 3 3
1 3
8
1 m 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 l J2 J22 0 0 2 3 3 1 m n l m n 2 3 m 1 2 1 2 1 2 3 0 6 0 3 m