虚位移原理 第二章(格式整齐)

x
优质材料
10
虚位移与实位移的关系:
oy
实位移除了与约束条件有 关外,还与时间,主动力,及
θl
初始条件有关,而虚位移只
M(x，y)与约束条件有关.
x
在定常约束下, 实位移是虚位
移 中的一个.
在非定常约束下, 实位移不一
定是虚位移 中的一个.
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11
真实位移和虚位移都满足位移投影定理。


(A)AB (B )AB
(Fxixi Fyiyi Fzizi ) 0
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虚位移原理 对具有理想约束的质点系可
直接求出主动力,而不必计算约束力,为人类 节省多少华年,增添巨大方便。 力学之金律
对具有不理想约束的质点系,将不理想约束
解除,使之成为具有理想约束的质点系,将不
理想约束力视为主动力,又可应用虚位移原理。 多么辩证！
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2 定常约束和非定常约束
约束条件随时间变化的称非定常约束，否则称定
常约束。
x2 y2 l0 vt2
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3 其它分类
约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分而不能 表成有限形式 的约束称非完整约束，否则为完整约束。
约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束）,约束 方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束） 。本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束
第十四章 虚位移原理 （静力学问题）
§14-1 约束,虚位移和虚功 §14-2 虚位移原理
1,学会给机构虚位移
2,学会求虚功
（几何法和解析法）
3,学会虚位移原理解题
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1
在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系 的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的 平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质 点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得 出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研 究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理 相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。
虚位移原理
具有理想约束的质点系(整体机构)，平衡的必要 与充分条件是：作用于质点系的所有主动力（真实主
动力和非理想约束力）在任何虚位移上所作的虚功之
和等于零。即
WF
M
Fi ri 0
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F
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1 几何法 (在图中调整正负号)

WF Fi ri 0
2 解析法 ((1),在方程中调整正负号 (2)保证机构上点的坐标任意性)
将约束解除，代之相应的约束反力，并视
为主动力，又可求出约束力。多么灵活！
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解题类型
一,求出主动力(具有理想或非理想约束的机构)
二,求约束力(具有理想或非理想约束的结构)
解题步骤
1，以受力系作用而平衡的质点系为研究对象 2，把质点系改变为具有理想约束的机构
3，受力图 （主动力，非理想约束，要求的一个约束力）
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三 虚位移和虚功
虚位移
非自由质点系:受到约束的质点系,运动不可 能完全自由的.
虚位移:在某一瞬时, 质点系
在约束允许的条件下, 可能
M
实现的任何无限小的位移.
可以是线位移,也可以是
角位移, 用 (变分符号)
表示. 优质材料
9
只画关键点的虚位移
y
AxA, yA
r
l

BxB, yB
A
B
φφ

O
rA
O’
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虚功
比照力的功，我们定义力的虚功
W

F
r
虚功同虚位移一样，是假想的。
r
F
1,力是真实的，位移是虚位移
2, 真实的力在力的作用点的虚位移上做的功，是 虚功。
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M
F 求M ,F的虚功
给关键点 (有力的点 )的虚位移
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例 计算单摆重力的虚功
(drA)AB (drB )AB


dr
dt

(rA )AB (rB )AB
A B
drB
drA
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A B rB

rA
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求机构上点A,B,C的虚位移之间的关系
优质材料
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rD D

rE
E
rA sin rB
rD rE 2rB
rB
记为
WN

Ni
ri
0
理想约束的典型例子如下：
1、光滑支承面
WN N r 0
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18
2、光滑铰链
WN N r N 'r 0
3、无重刚杆 4、不可伸长的柔索
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§14-2 虚位移原理
受理想约束的杆 在平衡力系作用下
Pl1 Ql2
给受理想约束的杆 杆一个虚位移
l1 P

P
l2 Q
Q
Pr1 Qr2 Pl1 Ql2 (Pl1 Ql2 ) 0
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拉格朗日--意大利数学家， Josepb Louis Lagrange 研究变分法,第一位提出 （1736---1813） 虚位移原理。
4，用虚位移原理（几何法或解析法）求解未知量
优质材料
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一,求出主动力(具有理想约束的机构)
例 图所示椭圆规机构中，连杆AB长为L，滑块Ａ，Ｂ
与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。
求Leabharlann Baidu主动力FA与FB 之间的关系。
优质材料
2 A

y
2 A

r2
xB x A yB yA 2 l 2
yB 0
fi x1, y1, z1,, xn , y , z n优质材n料 0
i 1,2,, s 5
限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束。
vA r 0 xA r 0
y o

θl
几何法
W

mg
rrlmgl
sin
解析法
W Fxx Fyy Fzz
r
W mg (l cos )
x
M(x，y)
mgl sin
352页思考题15-4
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理想约束
如果约束反力在质点系的任何虚位移中的 虚功之和等于零，则这种约束称为理想约束
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2
§14-1 约束,虚位移和虚功
一 定义
约束： 限制质点或质点系位置和运动的条件 约束方程： 限制条件的数学方程
二 约束分类
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3
1, 几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间的几何位置 的条件称为几何约束。
f (x, y, z) 0 x2 y2 l2 0
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4
x